Aritmetik çözüm yöntemi. Matematik problemlerini çözme
dersimizin amacı
Büyük matematikçi Henri Poincare, "matematik, farklı şeylere aynı adı verme sanatıdır" demiştir. Bu eğlenceli aforizmada derin bir anlam var.
Ders kitabıyla çalışın.
Bir problem cebirsel olarak çözüldüğünde öncelikle problemin durumu matematik diline çevrilir. Böyle bir çevirinin temeli, ilk adımı, bilinmeyen bir miktarı belirtmek için bir harfin eklenmesidir.
Çeviri sonucunda genellikle bir harf içeren bir eşitlik elde edilir. Bu eşitlik, zaten bildiğiniz gibi, denklem .
Problemin aritmetik çözümü:
Dört çocuğu var. 2000 yılında her birinin yaşı 2 yıl daha azdır, bu da toplam yaşlarının 2 · 4 = 8 (yıl) daha az olduğu anlamına gelir. Böylece 2000 yılında ikizler birlikte 50 - 8 = 42 (yıl) idi.
Hepsi daha genç olsaydı, 2000'de
birlikte 42 - 3 2 = 36 (yıl). Yani, 2000 yılındaki en genç
36: 4 \u003d 9 (yıl) ve en eskisi - 9 + 3 \u003d 12 (yıl).
Problem çözmenin cebirsel yolu
Ailede üç yıl arayla doğan iki çift ikiz var. 2012'de herkes birlikte 50 yaşına girdi. 2010 yılında ikizlerin her biri kaç yaşındaydı?
Problemin cebirsel çözümü:
ile belirtmek X 2010'daki küçük ikizlerin yaşı. Daha sonra bu yılki daha büyük ikizler x+ 3 yıl. 2012'de, yani 2 yıl sonra, küçük ikizler x+ 2 yaş ve üzeri - tarafından x+ 5 yıl.
Sorunun durumuna göre 2012 yılında ikizlerin toplam yaşı
50 yıl. Anlamına geliyor, ( X + 2) + ( X + 2) + ( X + 5) + ( X + 5) = 50.
Böylece denklem kurulur.
Bilinmeyen x sayısını bulmak için bu denklemin çözülmesi gerekir.
Çalışma kitabı № 79
Atölye
Çalışma Kitabı No. 80
x op x op
12 işlem 12 işlem
(x - 12)op (x + 12)op
3(x - 12) = (x + 12)
81 Numaralı Çalışma Kitabı
x + 8 = 3x
Atölye
336 Numaralı Ders Kitabı
x kişi ile belirtin. - 1 vagondaydı,
sonra 2. arabada (x + 14) kişi vardı.
Sorunun durumuna göre iki araçtaki kişi sayısı 86 oldu.
Denklemi yazın: x + (x + 14) = 86
1 denklem
2 denklem
x kişi ile belirtin. - 2. arabadaydı,
Bir denklem yapalım: x + (x - 14) \u003d 86
337 Numaralı Ders Kitabı
x ilk paketteki yaprak sayısını göstersin,
Sonra 2 pakette 4 yaprak vardı.
Sorunun durumuna göre iki paketteki yaprak sayısı 350 idi.
Denklemi yapalım: x + 4x = 350
1 denklem
2 denklem
İkinci paketteki sayfa sayısını x ile gösterelim Denklemi yazın: x + x: 4 \u003d 350
343 Numaralı Ders Kitabı
Petya'nın yaşını x yıl olarak gösterelim,
o zaman babanın yaşı 3, dedenin yaşı 6'dır.
Problemin durumuna göre Petya, baba ve dedenin toplam yaşı 110'dur.
6x + 3x + x = 110
1 denklem
2 denklem
Denklemi yapalım: 110 - (6x + 3x) \u003d x
3 denklem
Denklemi yapalım: 110 - 6x \u003d 3x + x
345 Numaralı Ders Kitabı
denklem
338 numaralı ders kitabı
(x + 11): 2 = x + 2
Sağ
(x + 3) + x = 21; 21 - (x + 3) = x;
x + 1.5x = 15; 15 - 1.5x \u003d x;
336, 337, 343, 345 Sözlü: s. 103-104
İyi çalışmalarınızı bilgi tabanına gönderin basittir. Aşağıdaki formu kullanın
Bilgi tabanını çalışmalarında ve çalışmalarında kullanan öğrenciler, yüksek lisans öğrencileri, genç bilim adamları size çok minnettar olacaktır.
Yayınlanan http://www.allbest.ru/
giriiş
1.1 Bir metin problemi kavramı
1.2 Aritmetik problem türleri
1.3 Problemin matematikteki rolü
1.4 Metin problemlerini çözme aşamaları ve bunların uygulanması için yöntemler
1.5 Kelime problemlerini çözmenin bazı yolları
2.4 İlgi görevleri
2.5 İşbirliği için görevler
Çözüm
Edebiyat
giriiş
Öğrencilere pek çok türde problemi çözmeyi öğretmek mümkündür, ancak gerçek tatmin ancak öğrencilerimize sadece bilgiyi değil, aynı zamanda zihin esnekliğini de aktarabildiğimiz zaman gelecektir. W.U. testereci
Problem çözme yeteneği, seviyenin ana göstergelerinden biridir. matematiksel gelişim, geliştirme derinliği Eğitim materyali. Okulun ilk günlerinden itibaren çocuk bir görevle karşı karşıyadır. Bir matematik problemi, eğitimin başlangıcından sonuna kadar, öğrencinin doğru matematiksel kavramlar geliştirmesine, çevresindeki yaşamdaki ilişkilerin çeşitli yönlerini daha iyi anlamasına yardımcı olur ve çalışılan teorik pozisyonları uygulamasını mümkün kılar. Kelime problemleri matematik öğretiminin önemli bir yoludur. Onların yardımı ile öğrenciler, niceliklerle çalışma, aralarındaki ilişkiyi kavrama, pratik problemleri çözmek için matematiği uygulama konusunda deneyim kazanırlar. Problemleri çözmek için aritmetik yöntemlerin kullanılması, yaratıcılık ve yaratıcılık geliştirir, soru sorma, onlara cevap verme, yani doğal dili geliştirir. Metin problemlerini çözmek için aritmetik yöntemler, problem durumlarını analiz etme, bilinen ve bilinmeyen miktarlar arasındaki ilişkiyi (sorunun türünü dikkate alarak) dikkate alarak bir çözüm planı oluşturma, her eylemin sonucunu çerçeve içinde yorumlama yeteneğini geliştirmenize izin verir. problem ifadesinin, ters bir problemi derleyerek ve çözerek, yani önemli genel eğitim becerilerini oluşturmak ve geliştirmek için çözümün doğruluğunu kontrol edin.
Metin problemlerini çözmek için aritmetik yöntemler, çocuklara ilk soyutlamaları öğretir, mantıklı bir kültür geliştirmelerine izin verir ve okul çocuklarının gelişimine katkıda bulunabilir. Estetik anlamda problem çözme ve matematik çalışması ile ilgili olarak, önce probleme bir çözüm bulma sürecinde, sonra da çalışılan konuya ilgi uyandırır.
Metin görevleri, okul çocuklarının önemli bir kısmı için geleneksel olarak zor materyallerdir. Uygulamada, çoğu öğretmen problem çözmeye çok az dikkat eder.Öğrenciler genellikle istenen ve veriyi nasıl tanımlayacaklarını, problemde yer alan miktarlar arasında bir bağlantı kurmayı bilmezler; bir çözüm planı hazırlayın, elde edilen sonucu kontrol edin.
Amacım son iş-- metin problemlerini aritmetik bir şekilde çözmeye yönelik öğretim yöntemlerinin incelenmesi, bir metin probleminin yapısını, problemleri aritmetik yöntemle çözmenin aşamalarını dikkate alma, problem çözmedeki zorlukları, bu zorlukların üstesinden gelme yeteneği, bir kişisel uygulamadan metin problemlerini çözmek için aritmetik yöntem.
Çalışmanın amacı matematik derslerinde eğitim sürecidir.
İş görevleri:
- bu konudaki psikolojik ve pedagojik literatürü analiz etmek; metin problemlerinin çözümünü öğretmeyi amaçlayan bilimsel ve metodolojik literatürü incelemek;
- metin görevinin özelliklerini ve onunla çalışma metodolojisini göz önünde bulundurun;
- Kelime problemlerinin çözümünde aritmetik yöntemin kullanımını gösterir.
İş yapısı. Çalışmam bir giriş, “Bir metin probleminin özellikleri ve onunla çalışma yöntemleri” bölümleri ve “Okul çocuklarına metin problemlerini aritmetik bir şekilde nasıl çözeceklerini öğretmek”, sonuç bölümlerinden oluşmaktadır. Birinci bölümde, metin problemi kavramını, problem türlerini, problem çözmenin ne anlama geldiğini, problem çözme sürecinin aşamalarını aritmetik yöntemlerle, kesirler, yüzde hesaplama görevleri, ortak çalışma için inceledim. ; tablolar yardımıyla çözülen görevler, görevlerde aritmetik ortalama. Öğrencilere metin problemlerini çözmeyi öğretme metodolojisini, sınıftaki eğitim sürecindeki yerlerini göstermeye çalıştım. Çalışmamda, kişisel deneyimimi kullanarak, kelime problemlerini çözmek için aritmetik yöntemlerin özel bir uygulamasını göstermek istiyorum.
Bu konuda yeterince literatür var. Bunlardan bazılarını incelerken, S. Lukyanova'nın "Metin problemlerinin aritmetik yollarla hesaplanmasının" geliştirilmesi kitabını not etmek istiyorum. 5-6. sınıflarda. Yazar, her biri yalnızca aritmetik işlemlerin yardımıyla uygulanan, çoğu için bir çözüm önerilen (bazıları için - birkaç yol) yaklaşık 200 sorunu farklı karmaşıklık seviyelerinde değerlendirir.Kitapta " Metin problemlerini çözmeyi öğrenmek. Öğretmen için bir kitap", yazar Shevkin A.V. en iyi gelenekler Matematik eğitimi, öğrenmenin erken bir aşamasında denklemlerin kullanımını terk etme ve problem çözmek için aritmetik yöntemlerin daha geniş kullanımına geri dönme, geleneksel öğretim metodolojisinde ayarlamalar yapma ve uygulamasının karakteristik eksikliklerinden kaçınmaya çalışma ihtiyacı hakkında. AT çalışma Rehberi Fridman L.M. “Matematikte konu problemleri. Tarih, teori, metodoloji”, problemleri çözerken çeşitli metodlar daha geniş bir problem yelpazesine yayılan birini seçmek tercih edilir ve aritmetik olarak çözülmesi cebirden daha kolay olan bir takım problemler vardır ve cebir için hiç de erişilemeyen bazı problemler vardır, ancak bunlar için zorluk arz etmeseler de aritmetik.
Çalışmada 23 - 2005 Sayılı "Matematik" ("Birinci Eylül" Yayınevi), "Geleneksel olmayan dersler" adlı eğitici ve metodik gazetenin materyallerini kullandım. Matematik 5-11 hücre." (M.E. Kozina, M.E. Fadeeva - Volgograd, 2008), 5-6. sınıflar için yönergeler, didaktik malzemeler 5-6 (M.K. Potapov, A.V. Shevkin) ve diğerleri için.
Bölüm I. Bir metin probleminin özellikleri ve onunla çalışma yöntemleri
çözüm kelime problem aritmetiği
Matematik bir düşünme aracıdır, cephaneliğinde binlerce yıldır insanların düşüncesinin oluşumuna, standart dışı problemleri çözme yeteneğine ve zor durumlardan onurlu bir şekilde kurtulmaya katkıda bulunan çok sayıda görev vardır.
İle çalışan metin görevleriÇocukların dikkatini bir problemi çözmenin çeşitli yollarını aramaya ve karşılaştırmaya, matematiksel modellerin inşasına, problemleri çözerken kendi akıl yürütmelerini sunma okuryazarlığına çekmek için çok zaman ayrılmalıdır.
1.1 Bir metin problemi kavramı
Metin problemlerini çözmek, öğrencilerin gelişimi ve eğitimi için zengin materyal sağlar. Bu görevler doğal dilde formüle edilmiştir, bu nedenle bunlara metin görevleri denir. Genellikle bazı fenomenlerin, olayların nicel tarafını tanımlarlar, bu nedenle genellikle arsa olarak adlandırılırlar. Problemleri çözerek öğrenciler yeni matematiksel bilgiler edinir, pratik etkinliklere hazırlanır. Görevler gelişimlerine katkıda bulunur mantıksal düşünme. Büyük önemÖğrencilerin kişiliklerinin eğitiminde sorunlara çözüm bulunur. Bu nedenle, öğretmenin metin problemi, yapısı hakkında derin bir anlayışa sahip olması ve bu tür problemleri çeşitli yollarla çözebilmesi önemlidir. “Görev, görevde belirtilen koşullara bağlı olarak ve bunlar dikkate alınarak cevaplanması gereken bir gereksinim veya sorudur” L.M. Friedman'ın "Matematikte Plot Problemleri" adlı çalışmasında.
Bir metin görevi, bu durumun herhangi bir bileşeninin nicel bir tanımını vermek, bileşenleri arasında bir ilişkinin varlığını veya yokluğunu belirlemek veya bu ilişkinin türünü belirlemek için doğal bir dilde belirli bir durumun açıklamasıdır. . Metin görevleri, metin sayılar arasındaki ilişkiyi sözlü olarak açıkladığında (Biri diğerinden 18 fazlaysa ve toplamı 80 ise iki sayı bulun) veya belirli bir arsa ile (stadyuma giriş bileti) soyut içerikli olabilir. maliyeti 160 ruble.Giriş ücreti düşürüldükten sonra seyirci %50 ve gelir %25 arttıktan sonra (Giriş ücreti düşürüldükten sonra bir bilet maliyeti ne kadar?).
Her görev bir koşul ve hedef birliğidir. Bu bileşenlerden biri eksikse, görev yoktur. Problemin metnini böyle bir bütünlük içinde analiz edebilmek için bunu akılda tutmak çok önemlidir. Bu, problemin durumunun analizinin problemin sorusuyla ilişkilendirilmesi gerektiği ve tersine, problemin sorusunun koşulla yönlendirilmiş bir şekilde analiz edilmesi gerektiği anlamına gelir. Bir bütün oldukları için parçalanamazlar.
Matematik problemi, bazı niceliklerin değerlerinin girildiği ve diğerlerinin bulunmasının önerildiği ilgili özlü bir hikayedir. bilinmeyen değerler verilere bağlı ve koşulda belirtilen belirli oranlarla ilişkilendirilen miktarlar.
Herhangi bir metin görevi iki bölümden oluşur: koşullar ve gereksinimler (soru) ve koşullar ve gereksinimler birbirine bağlıdır.
Durum, nesneler ve nesnenin verilerini karakterize eden bazı miktarlar, bu miktarların bilinen ve bilinmeyen değerleri, aralarındaki ilişkiler hakkında bilgilerle uyumludur.
Görev gereksinimleri, neyin bulunması gerektiğinin bir göstergesidir. Emir veya soru cümlesi ile ifade edilebilir (“Bisikletçilerin hızını bulun veya “Turist üç günün her birinde kaç kilometre yürüdü?”). Bir görevde birkaç gereksinim olabilir.
Problemi düşünün: 1 kg 200 gr yünden bir kazak, bir şapka ve bir atkı örülmüştür. Eşarp, şapkadan 100 gr daha fazla ve süveterden 400 gr daha az yün gerektiriyordu. Her ürün için ne kadar yün kullanıldı?
Görev nesneleri: eşarp, şapka, kazak. Bu nesnelerle ilgili olarak, belirli ifadeler ve gereksinimler vardır.
Açıklamalar: Kazak, şapka, atkı 1200 gr yünden örülür.
Bir atkıya şapkadan 100 gr daha fazla harcadık.
Bir şapkaya bir süveterden 400 g daha az harcandı.
Gereksinimler: Kazak için ne kadar yün kullandınız?
Şapka için ne kadar yün kullandınız?
Eşarp için ne kadar yün kullandınız?
Problemde, biri problemin gereksiniminde yer alan üç bilinmeyen miktar değeri vardır. Bu değere istenen değer denir.
Bazen görevler, koşulun bir kısmı veya tüm koşulun görev gereksinimiyle birlikte tek bir cümleye dahil edileceği şekilde oluşturulur.
Gerçek hayatta, genellikle çok çeşitli sorun durumları ortaya çıkar. Temelde formüle edilen görevler, gereksiz bilgiler, yani görevin gerekliliklerini yerine getirmek için gerekli olmayan bilgiler içerebilir.
Hayatta ortaya çıkan problem durumları temelinde, gereksinimleri yerine getirmek için yeterli bilginin olmadığı görevler de formüle edilebilir. Öyleyse problemde: "Birincisi diğerinden 48 litre daha fazlaysa, her varilde kaç litre su vardır?" - sorusunu cevaplamak için yeterli veri yok. Bu sorunu çözmek için, eksik verilerle tamamlamak gerekir.
Aynı problem, mevcut ve belirleyici değerlere bağlı olarak yeterli sayıda veriye sahip bir problem olarak değerlendirilebilir.
Sorunu bu kavramın dar anlamıyla ele alarak, içinde aşağıdaki kurucu unsurlar ayırt edilebilir:
1. Açıkça veya örtülü bir biçimde, sayısal değerleri problemde yer alan nicelikler arasında işlevsel bir ilişkinin belirtildiği arsanın sözlü sunumu.
2. Problemin metninde atıfta bulunulan niceliklerin sayısal değerleri veya sayısal veriler.
Bir veya daha fazla miktarın bilinmeyen değerlerini bulmanın önerildiği, genellikle bir soru olarak formüle edilen bir görev. Bu değerlere istenen denir.
Görevin rolünü ve öğrencinin eğitim ve yetiştirilmesindeki yerini anlayan öğretmen, problemin seçimine ve onu çözmek için yöntemlerin seçimine makul ve net bir şekilde yaklaşmalı ve verilen problemi çözerken öğrenciye ne iş vermesi gerektiğini açıkça bilmelidir. ona.
1.2 Aritmetik problem türleri
Tüm aritmetik problemler, onları çözmek için gerçekleştirilen eylemlerin sayısına göre basit ve bileşik olarak ayrılır. Çözümü için bir kez aritmetik işlem yapılması gereken soruna basit sorun denir. Çözülmesi için birkaç eylem gerektiren bir göreve bileşik görev denir.
Matematik öğretim sistemindeki basit görevler son derece önemli rol. Basit problemleri çözmenin yardımıyla, ilk matematik dersinin temel kavramlarından biri oluşur - aritmetik işlemler kavramı ve bir dizi başka kavram. Karar verme yeteneği basit görevler Bileşik bir problemin çözümü bir dizi basit problemin çözümüne indirgendiğinden, öğrencilerin bileşik problemleri çözme becerisine hakim olmaları için bir hazırlık aşamasıdır. Basit problemleri çözerken, problem ve bileşenleri ile ilk tanışma gerçekleşir. Basit problemlerin çözümüyle bağlantılı olarak, çocuklar bir problem üzerinde çalışmanın temel yöntemlerinde ustalaşırlar.
Bileşik bir problem, bazı basit problemlerden istenenlerin diğerleri için veri görevi görecek şekilde birbirine bağlı bir dizi basit problemi içerir. Bileşik bir problemin çözümü, onu bir dizi basit probleme ve bunların sıralı çözümüne bölmeye indirgenir. Bu nedenle, bileşik bir problemi çözmek için, veri ile istenen arasında, hangisinin seçileceğine göre bir ilişkiler sistemi kurmak ve ardından aritmetik işlemleri yapmak gerekir.
Bileşik bir problemin çözümünü üzerine bir ifade derleyerek kaydetmek, öğrencilerin problem üzerindeki çalışmanın mantıksal tarafına odaklanmalarını, bir bütün olarak çözmenin ilerlemesini görmelerini sağlar. Aynı zamanda, çocuklar bir problemi çözmek için bir plan yazmayı ve zamandan tasarruf etmeyi öğrenirler.
Bileşik bir problemin çözümünde, basit bir problemin çözümüne kıyasla esasen yeni bir şey ortaya çıktı: burada, aritmetik işlemlerin geliştirildiği bir bağlantı değil, birkaç bağlantı kurulur. Bu nedenle, çocukları bileşik bir problemle tanıştırmak ve bileşik problemleri çözme becerilerini geliştirmek için özel çalışmalar yürütülmektedir.
1.3 Problemin matematikteki rolü
Matematikte önemli bir yer kelime problemleriyle doludur. Aritmetik işlemlerin anlamı, eylemler arasında var olan bağlantı ve bileşenler ile eylemlerin sonuçları arasındaki ilişki düşünüldüğünde, bunlara karşılık gelen basit görevler (bir aritmetik işlemle çözülen problemler) kesinlikle kullanılır. Metin görevleri bunlardan biridir. temel fonlarçocukları matematiksel ilişkilere alıştırmak, payı anlamak ve bir dizi geometrik kavramın oluşumunda ve ayrıca cebir öğelerinin dikkate alınmasında yardımcı olmak için kullanılır.
Bilginin oluşumu için özel bir materyal görevi gören görevler, teoriyi pratiğe, öğrenmeyi yaşamla ilişkilendirme fırsatı sunar. Problem çözme, çocuklarda her insan için gerekli olan pratik becerileri oluşturur. Gündelik Yaşam. Örneğin, bir satın alma maliyetini hesaplayın, treni kaçırmamak için ne zaman ayrılmanız gerektiğini hesaplayın, vb.
Yeni bilgileri tanıtmak ve çocukların zaten sahip olduğu bilgileri uygulamak için somut bir temel olarak görevlerin kullanılması, çocuklarda materyalist bir dünya görüşünün unsurlarını şekillendirmede son derece önemli bir rol oynar. Problemleri çözen öğrenci, birçok matematiksel kavramın gerçek hayatta, insanların pratiğinde kökleri olduğuna ikna olur. Problem çözme yoluyla, çocuklar önemli bilişsel ve eğitici tutum Gerçekler. Birçok görevin içeriği, çocukların ve yetişkinlerin çalışmalarını, ülkemizin ulusal ekonomi, teknoloji, bilim ve kültür alanındaki başarılarını yansıtmaktadır.
Problemleri belirli bir metodoloji ile çözme sürecinin kendisi, zihinsel işlemlerin performansını gerektirdiğinden, okul çocuklarının zihinsel gelişimi üzerinde çok olumlu bir etkiye sahiptir: analiz ve sentez, somutlaştırma ve soyutlama, karşılaştırma, genelleme. Böylece, herhangi bir problemi çözerken, öğrenci analiz yapar: soruyu koşuldan ayırır, verileri ve istenen sayıları vurgular; çözüm için bir plan çizerek, somutlaştırmayı (zihinsel olarak problemin durumunu çizer) ve ardından soyutlamayı (belirli bir durumdan uzaklaştırarak, aritmetik işlemleri seçer) kullanarak bir sentez gerçekleştirir; belirli bir türdeki çoklu problem çözmenin bir sonucu olarak, öğrenci, veriler arasındaki ilişkiler ve bu tür problemlerde arananlar hakkındaki bilgileri genelleştirir, bunun sonucunda bu tür problemleri çözme yöntemi genelleştirilir.
Görevler, çocuklarda mantıksal düşünme, analiz etme ve sentezleme, genelleme, soyutlama ve somutlaştırma ve incelenen fenomenler arasında var olan bağlantıları ortaya çıkarma yeteneği geliştirmenin yararlı bir yoludur. Problem çözme, düşünmeyi geliştiren bir alıştırmadır. Ayrıca, problem çözmek, sabrın, azim ve iradenin gelişmesine katkıda bulunur, çözüm bulma sürecine ilginin uyanmasına yardımcı olur ve başarılı bir çözümle ilgili derin memnuniyet deneyimlemeyi mümkün kılar.
Problem çözmeden ve analiz etmeden matematiğin temellerine hakim olmak düşünülemez. önemli bağlantılar matematiğin bilgi zincirinde, bu tür bir aktivite sadece matematiğin çalışmasını aktive etmekle kalmaz, aynı zamanda onu derinlemesine anlamanın da yolunu açar. Belirli bir matematik problemini çözme sürecini anlamaya çalışmak, çocuğun düşüncesinin gelişimine ivme kazandırır. Problemleri çözmek başlı başına bir amaç olarak görülemez, derinlemesine incelemenin bir aracı olarak görülmelidir. teorik hükümler ve aynı zamanda düşünmeyi geliştirmenin bir yolu, çevreleyen gerçekliği anlamanın bir yolu, dünyayı anlamanın bir yolu. Ayrıca, problem çözmenin çocuklarda olumlu karakter niteliklerini ortaya çıkardığını ve onları estetik olarak geliştirdiğini unutmamalıyız.
1.4 Çözüm adımları test görevleri ve bunları nasıl yapacağım
Sorunlar ve çözümleri, okul çocuklarının eğitiminde hem zaman açısından hem de çocuğun zihinsel gelişimine etkileri açısından çok önemli bir yer tutmaktadır. Problemin çözümü sonuçtur, yani problemin ihtiyacına cevap, sonucu bulma sürecidir. Ayrıca, bu süreç iki şekilde ele alınır: sonucu bulma yöntemi ve belirleyici olanın gerçekleştirdiği eylemlerin sırasını, bir veya başka bir yöntem kullanarak bulma yöntemi. Yani, bu durumda, sorunun çözümü, tüm insan faaliyetleri olarak anlaşılmaktadır, problem çözme. Metin problemlerini çözmenin ana yöntemleri aritmetik ve cebirseldir. Bir problemi aritmetik yoldan çözmek, sayılar üzerinde aritmetik işlemler yaparak problemin ihtiyacına cevap bulmak demektir.
Problem çözme biraz sıra dışı bir iştir, yani zihinsel çalışmadır. Ve herhangi bir işi öğrenmek için önce üzerinde çalışmanız gereken materyali, bu çalışmanın gerçekleştirildiği araçları iyice incelemelisiniz.
Bu nedenle, sorunları nasıl çözeceğinizi öğrenmek için ne olduklarını, nasıl düzenlendiklerini, nereden geldiklerini anlamanız gerekir. oluşturan parçalar sorunları çözmek için hangi araçların kullanıldığını içerirler.
Bir örnek düşünün: “Belli bir kişi bir yıllığına bir işçi tuttu, ona 12 ruble ve bir kaftan vereceğine söz verdi. Ancak 7 ay çalışmış, ayrılmak istedi ve bir kaftanla iyi bir ücret istedi. Sahibi ona 5 ruble ve bir kaftan değerinde bir yerleşim yeri verdi. Soru şu ki, o kaftanın fiyatı neydi?
Sorunun çözümü: çalışan 12 - 7 = 5 (ay) için 12 - 5 = 7 (ruble) almadı,
bu nedenle, bir ay boyunca 7: 5 = 1.4 (ruble) ödendi,
ve 7 ayda 7 * 1.4 = 9.8 (ruble) aldı,
daha sonra kaftan maliyeti 9,8 - 5 = 4,8 (ruble).
Cevap: kaftanın maliyeti 4,8 ruble.
Aynı problem farklı aritmetik yöntemlerle çözülebilir. Problem çözme sürecinde gerçekleştirilen muhakeme mantığında birbirlerinden farklıdırlar.
Genişletilmiş bir biçimde, bir metin sorununun çözümü, aşağıdaki adımların bir dizisi olarak temsil edilebilir:
1) görev analizi;
2) bir model oluşturmak;
3) bir çözüm aramak (bir çözüm planı hazırlamak);
4) kararın kaydı;
5) çözümün doğrulanması;
6) problemin incelenmesi ve çözümü;
7) cevabın formülasyonu;
8) sorunun eğitimsel ve bilişsel analizi ve çözümü.
Çoğu zaman, sadece dört aşama uygulanır: problem analizi, bir çözüm planı hazırlama, bir çözüm yazma, bir cevap formüle etme ve tüm aşamalarda yalnızca karmaşık, sorunlu görevleri veya belirli bir genelleme - teorik değeri olan görevleri çözerken dururlar.
Bir görevin analizi her zaman gereksinimine yöneliktir.
Aşama hedefleri: - problemde açıklanan durumu anlamak;
Koşulları ve gereksinimleri vurgulayın;
Bilinen ve aranan nesneleri adlandırın;
Aralarındaki tüm ilişkileri (bağımlılıkları) seçin.
Görevin içeriğini anlamak, koşulları ve gereksinimleri izole etmek için özel sorular sormanız gerekir:
1. Görev ne hakkında?
2. Problemde bulunması gereken nedir?
3. Problem metnindeki belirli kelimeler ne anlama geliyor?
4. Problemde bilinmeyen nedir?
5. Ne aranıyor?
Bir örnek düşünün: “İki erkek çocuk aynı yönde yol boyunca yürüyor. İlk başta aralarındaki mesafe 2 km idi, ancak önden yürüyen çocuğun hızı 4 km/s ve ikincisinin hızı 5 km/s olduğu için ikincisi birinciyi geçiyor. Hareketin başlangıcından ikinci çocuk birinciyi yakalayana kadar, aralarında 8 km / s hızla bir köpek koşar. Arkadan yürüyen çocuktan öndeki yürüyene koşar, koşar, geri gelir ve çocuklar yakına gelene kadar böyle koşar. Köpek bunca zaman ne kadar koşacak?
Problem analizi: 1) Bu problem neyle ilgili?
İki erkek ve bir köpeğin hareket sorunu. Harekete katılanların her biri için hız, zaman ve kat edilen mesafe ile karakterize edilir.
2) Problemde ne bulmak gerekiyor?
Görev, köpeğin hareketin başlangıcından çocuklar yakına gelene kadar tüm zaman boyunca koşacağı mesafeyi bulmaktır, yani. ikincisi birinciyi yakalamaz.
3) Problemde, katılımcılarının her birinin hareketi hakkında bilinen nedir?
Problemde şu biliniyor: a) çocuklar aynı yöne gidiyorlar;
b) hareketin başlamasından önce erkekler arasındaki mesafe 2 km idi;
c) Önden yürüyen ilk çocuğun hızı 4 km/saat;
d) arkadan yürüyen ikinci çocuğun hızı 5 km/saat;
e) köpeğin koştuğu hız, 8 km/saat;
f) Toplantıdan önce çocuklar arasındaki mesafenin 2 km olduğu hareket zamanı.
4) Problemde bilinmeyen nedir?
Problemde bilinmiyor: a) ikinci çocuğun birinciye yetişeceği zaman (tüm katılımcılarının hareket zamanı);
b) oğlanların ne kadar hızlı yaklaştıkları;
c) Köpeğin koştuğu mesafe (bunun problemde bulunması gerekir).
5) İstenen nedir: bir sayı, bir niceliğin değeri, bir tür ilişki?
İstenen değer, miktarın değeridir - erkek çocukların hareketinin başlangıcından toplantı anına kadar geçen süre boyunca köpeğin koştuğu mesafe.
Görevin anlaşılmasında büyük bir yardım, teknik tarafından sağlanır - görev metnini başka sözcüklerle ifade etmek. Yani, gereksiz her şey (esas değil) problemin metninden atılır ve bazı kavramların açıklamaları karşılık gelen terimlerle değiştirilir ve bunun tersi, bazı terimlerin yerine karşılık gelen kavramların içeriğinin bir açıklaması gelir.
Görev metninin başka sözcüklerle ifade edilmesi - görev metnini bir çözüm planı bulmak için uygun bir forma dönüştürmek. Açıklamanın sonucu, ana durumların vurgulanması olmalıdır. Problemi daha kolay anlamak için bir tablo veya şematik bir çizim şeklinde yazabilirsiniz. Hem tablo hem de şematik çizim, problemin yardımcı modelleridir. Bir metin sorununun analizini düzeltmenin bir biçimi olarak hizmet ederler ve çözümü için bir plan bulmanın ana araçlarıdır. Yardımcı modeli oluşturduktan sonra şunları kontrol etmeniz gerekir:
1) görevin tüm nesnelerinin modelde gösterilip gösterilmediği;
2) nesneler arasındaki tüm ilişkilerin yansıtılıp yansıtılmadığı;
3) tüm sayısal verilerin verilip verilmediği;
4) bir soru (gereksinim) olup olmadığı ve neyin arandığını doğru bir şekilde gösterip göstermediği.
Bir sorunu çözmek için bir plan bulma
Aşama hedefleri: veriler ve kaynak nesneler arasında bir bağlantı kurmak;
bir dizi eylemin ana hatlarını çizin.
Bir problemi çözme planı, sadece bir çözüm fikridir, onun fikridir. Bulunan fikir yanlış olabilir. Ardından, sorunun analizine tekrar dönmek ve her şeye yeniden başlamak gerekir.
Bir problemi aritmetik bir şekilde çözmek için bir plan bulmanın en iyi bilinen yöntemlerinden biri, problemi metinden veya onun yardımcı modelinden ayrıştırmaktır. Sorunun analizi, hem sorunun verilerinden hem de sorularından başlayabilen bir akıl yürütme zinciri şeklinde gerçekleştirilir. Problemi veriden soruya analiz ederken, çözücü problem metnindeki iki veriyi seçer ve aralarındaki ilişki bilgisine dayanarak (bu bilgi problem analiz edilirken elde edilmelidir), hangi bilinmeyenin bulunabileceğini belirler. bu veriler ve bunların yardımıyla aritmetik işlem. Daha sonra, bu bilinmeyeni veri olarak kabul ederek, çözücü tekrar birbirine bağlı iki veriyi seçer, bunlardan bulunabilecek bilinmeyeni belirler ve hangi eylemin yardımıyla vb. sorun. Problemi sorudan veriye ayrıştırırken, problemin sorusuna dikkat etmeniz ve (problemin analizinde elde edilen bilgilere dayanarak) bu soruyu cevaplamak için nelerin yeterli olduğunu belirlemeniz gerekmektedir. Neden koşullara başvurmanız ve bunun için gerekli verilerin olup olmadığını öğrenmeniz gerekiyor. Böyle bir veri yoksa veya sadece bir veri varsa, eksik veriyi (eksik veri) vb. bulmak için bilmeniz gerekenleri belirleyin. Ardından sorunun çözümü için bir plan yapılır. Akıl yürütme şurada gerçekleştirilir: Ters sipariş. Problemin metnine göre analiz: “Bir turist, 56 km / s hızla hareket eden bir trende 6 saat seyahat etti. Bundan sonra, sürdüğünden 4 kat daha fazla araba kullanmak zorunda kaldı. Bir turistin tüm yolu nedir?
Verilerden soruya akıl yürütme: biliniyor: turist trenle 6 saat seyahat etti;
trenin hızı 56 km/h.
Bu verilerden, bir turistin 6 saatte kat ettiği mesafeyi öğrenebilirsiniz (hızı zamana göre çarpın). Kat edilen mesafenin bir kısmını ve kalan mesafenin 4 kat daha fazla olduğunu bilerek, neye eşit olduğunu bulabilirsiniz (kat edilen mesafe 4 ile çarpılmalıdır (4 kat artır)). Turistin kaç kilometre kat ettiğini ve gidecek ne kadar kaldığını bilerek, yolun bulunan bölümlerini ekleyerek tüm yolu bulabilirsiniz.
Yani eylemler: 1) turistin trenle kat ettiği mesafe;
2) kat etmesi gereken mesafe; . 3) sonuna kadar.
Sorudan verilere akıl yürütme: Problemde turistin tüm yolunu bilmesi gerekmektedir. Yolun iki bölümden oluştuğunu belirledik. Bu, görevin gereğini yerine getirmek için turistin kaç kilometre kat ettiğini ve seyahat etmek için kaç kilometre kaldığını bilmek yeterlidir. İkisi de bilinmiyor. Seyahat edilen mesafeyi bulmak için turistin seyahat ettiği zamanı ve hızı bilmek yeterlidir. Bu problemde biliniyor. Hızı zamanla çarparak turistin gittiği yolu buluyoruz. Kalan yol, kat edilen mesafeyi 4 kat artırarak (4 ile çarparak) bulunabilir. Böylece, önce kat edilen yolu, sonra kalanını bulabilir, ardından ek olarak tüm yolu bulabilirsiniz.
Sorunu çözmek için planın uygulanması:
Aşamanın amacı: Plana uygun olarak tüm eylemleri tamamlayarak görevin ihtiyacına cevap bulmak.
Aritmetik bir şekilde çözülen metin problemleri için aşağıdaki teknikler kullanılır:
Eylemlerin kaydı (açıklamalı, açıklamasız, sorulu);
Bir ifade olarak kayıt.
a) Gerçekleştirilen her eylem için bir açıklama içeren eylemlere ilişkin bir kararın kaydedilmesi: 1) 56 * 6 \u003d 336 (km) - turist 6 saat içinde seyahat etti.
2) 336 * 4 = 1344 (km) - turistin geçmesi için kalır;
3) 336 + 1344 = 1680 (km) - bir turistin geçmesi gerekiyordu.
Açıklamalar sözlü olarak verilmişse (veya hiç verilmemişse) giriş şu şekilde olacaktır: 1) 56 * 6 = 336 (km);
2) 336 * 4 = 1344(km);
3) 336 + 1344 = 1680(km)
b) Eylemlerle ilgili bir kararın sorularla kaydedilmesi:
1) Turist trenle kaç kilometre seyahat etti?
56 * 6 = 336(km)
2) Turistin sürmesi için kaç kilometre kaldı?
336 * 4 = 1344(km)
3) Turist kaç kilometre seyahat etmek zorunda kaldı?
336 + 1344 = 1680(km)
Sorunun çözümünü kontrol etme:
Aşamanın amacı: çözümün doğruluğunu veya yanlışlığını belirlemek.
Sorunun doğru bir şekilde çözülüp çözülmediğini belirlemeye yardımcı olacak birkaç teknik bilinmektedir. Ana olanları düşünün:
1. Sonuç ile problemin koşulları arasında bir yazışma kurmak. Bunu yapmak için, bulunan sonuç problemin metnine girilir ve muhakeme temelinde bu durumda bir çelişki ortaya çıkıp çıkmadığı belirlenir.
2. Problemi farklı bir şekilde çözmek.
Sorunu bir şekilde çözerek bir sonuç elde edelim. Başka bir şekilde çözümü aynı sonucu veriyorsa, sorun doğru bir şekilde çözülür.
1.5 Kelime problemlerini çözmenin bazı yolları.
Matematiksel anlamdaki benzerliğe ve farklı çözüm yöntemlerinin birbirinin yerine kullanılabilirliğine bağlı olarak, tüm aritmetik yöntemler aşağıdaki gruplarda birleştirilebilir:
1) bir birime indirgeme yöntemi, ortak bir ölçüye indirgeme, bir birime ters indirgeme, ilişkiler yöntemi;
2) sorunları "sondan" çözmenin bir yolu;
3) bilinmeyenleri ortadan kaldırma yöntemi (bir bilinmeyeni diğeriyle değiştirme, bilinmeyenleri karşılaştırma, verileri karşılaştırma, iki koşulu çıkarma yoluyla karşılaştırma, iki koşulu bir araya getirme); tahmin yolu;
4) orantılı bölme, benzerlik veya parça bulma;
5) bir sorunu diğerine dönüştürmek için bir yöntem (karmaşık bir sorunu basit, hazırlıklı olanlara ayrıştırmak; bilinmeyenleri oranlarının bilindiği değerlere indirgemek; bilinmeyen niceliklerden biri için keyfi bir sayı belirleme yöntemi) .
Bu yöntemlere ek olarak, aritmetik ortalama yöntemini, artık yöntemini, bilineni ve bilinmeyeni değiştirme yöntemini, "yanlış" kurallar yöntemini dikkate almak tavsiye edilir.
Yöntemlerden hangisinin ulusal olduğunu önceden belirlemek, hangisinin öğrenci için en basit ve en anlaşılır çözüme ulaştıracağını önceden kestirmek genellikle imkansız olduğundan, öğrencilere farklı yöntemler tanıtılmalı ve hangisini seçme fırsatı verilmelidir. belirli bir sorunu çözerken kullanmak için.
Bilinmeyen Hariç Tutma Yöntemi
Bu yöntem, problemde birkaç bilinmeyen olduğunda kullanılır. Böyle bir problem, beş yöntemden biri kullanılarak çözülebilir: 1) bilinmeyeni diğeriyle değiştirmek; 2) bilinmeyenlerin karşılaştırılması; 3) çıkarma yoluyla iki koşulun karşılaştırılması; 4) veri karşılaştırması; 5) birkaç koşulu bir araya getirmek.
Yukarıdaki yöntemlerden birinin uygulanması sonucunda, birkaç bilinmeyen yerine, bulunabilen bir tane kalır. Hesapladıktan sonra, diğer bilinmeyenleri bulmak için bağımlılık durumundaki verileri kullanın.
Bazı yöntemlere daha yakından bakalım.
1. Bir bilinmeyeni diğeriyle değiştirmek
Tekniğin adı fikrini ortaya koyuyor: Problemin durumuna göre verilen bağımlılıklara (çokluk veya fark) dayanarak, tüm bilinmeyenleri bunlardan biri aracılığıyla ifade etmek gerekiyor.
Bir görev. Sergey ve Andrey'in toplamda 126 pulu var. Sergey, Andrey'den 14 puan fazla. Her çocuğun kaç pulu vardı?
Durumun kısa açıklaması:
Sergey -- ? pullar, 14 pul daha
Andrew -- ? pullar
Toplam -- 126 pul
1. Çözüm
(daha büyük bir bilinmeyeni daha küçük olanla değiştirmek)
1) Sergey'in Andrey kadar pulu olmasına izin verin. O zaman toplam pul sayısı 126 -- 14 = 112 (marka) olur.
2) Oğlanların artık aynı sayıda pulu olduğu için, Andrey'nin ilk başta kaç pulu olduğunu bulacağız: 112: 2 = 56 (marka).
3) Sergey'in Andrey'den 14 puan fazla olduğu düşünülürse, şunu elde ederiz: 56 + 14 = 70 (marka).
2. Çözüm
(daha küçük bilinmeyeni daha büyük olanla değiştirmek)
1) Andrei'nin Sergei ile aynı sayıda pula sahip olmasına izin verin. O zaman toplam pul sayısı 126 + 14 = 140 (pul) olur.
2) Oğlanların artık aynı sayıda pulu olduğu için, Sergey'in ilk başta kaç pulu olduğunu bulacağız: 140: 2 = 70 (marka).
3) Andrei'nin Sergei'den 14 puan daha az olduğu göz önüne alındığında, şunu elde ederiz: 70 - 14 = 56 (marka).
Cevap: Sergei'nin 70 puanı ve Andrey'nin 56 puanı vardı.
Öğrenciler tarafından daha küçük bir bilinmeyeni daha büyük olanla değiştirme yöntemini en iyi şekilde özümsemek için, düşünmeden önce aşağıdaki gerçeği öğrencilerle netleştirmek gerekir: A sayısı B sayısından C birimleri ile büyükse, o zaman A ve B sayılarını karşılaştırmak için gereklidir:
a) A sayısından C sayısını çıkarın (o zaman her iki sayı da B sayısına eşittir);
b) C sayısını B sayısına ekleyin (o zaman her iki sayı da A sayısına eşittir).
Öğrencilerin daha büyük bir bilinmeyeni daha küçük olanla değiştirme yeteneği ve bunun tersi, bir denklemi oluştururken bilinmeyeni seçme ve diğer nicelikleri bunun aracılığıyla ifade etme yeteneğinin gelişimine katkıda bulunur.
2. Bilinmeyenlerin Karşılaştırılması
Bir görev. Dört rafta 188 kitap vardı. İkinci rafta birinciden 16, üçüncü rafta ikinciden 8 fazla ve dördüncü rafta üçüncü raftan 12 daha az kitap vardı. Her rafta kaç kitap var?
Görev Analizi
Dört bilinmeyen miktar (her raftaki kitap sayısı) arasındaki bağımlılığı daha iyi anlamak için şemayı kullanıyoruz:
BENCE _________________________________
II________
III__________________________________
IV__________ _ _ _ _ _
Her raftaki kitap sayısını şematik olarak gösteren bölümleri karşılaştırdığımızda şu sonuçlara varıyoruz: Birinci rafta ikinciye göre 16 kitap daha var; üçüncüde, ikinciden 8 daha fazla; dördüncü - 12 - 8 = 4 (kitap) ikinciden daha az. Bu nedenle, her raftaki kitap sayısı karşılaştırılarak sorun çözülebilir. Bunu yapmak için ilk raftan 16 kitap, üçüncü raftan 8 kitap çıkaracak ve dördüncü rafa 4 kitap koyacağız. Sonra tüm raflarda aynı sayıda kitap olacak, yani ikincisinde ilk başta olduğu gibi.
1) Görevin analizinde açıklanan işlemlerden sonra tüm raflarda kaç kitap var?
188 -- 16 -- 8 + 4 = 168 (kitaplar)
2) İkinci rafta kaç kitap vardı?
168:4 = 42 (kitaplar)
3) Birinci rafta kaç kitap vardı?
42 + 16 = 58 (kitaplar)
4) Üçüncü rafta kaç kitap vardı?
42 + 8 = 50 (kitap)
5) Dördüncü rafta kaç kitap vardı?
50 -- 12 = 38 (kitaplar)
Cevap: Dört rafın her birinde 58, 42, 50 ve 38 kitap vardı.
Yorum. Birinci, ikinci veya dördüncü raflardaki bilinmeyen sayıda kitabı karşılaştırırsak, öğrencilere bu sorunu başka şekillerde çözmelerini önerebilirsiniz.
3. Çıkarma yoluyla iki koşulun karşılaştırılması
Bu teknikle çözülen problemin grafiği genellikle iki orantılı miktar içerir (malların miktarı ve maliyeti, işçi sayısı ve yaptıkları iş vb.). Koşul, bir miktarın iki değerini ve bunlara orantılı olarak başka bir miktarın iki sayısal değerinin farkını verir.
Bir görev. 4 kg portakal ve 5 kg muz için 620 ruble ödediler ve bir dahaki sefere aynı fiyattan alınan 4 kg portakal ve 3 kg muz için 500 ruble ödediler. 1 kg portakal ve 1 kg muz ne kadardır?
Durumun kısa açıklaması:
4kg uygulaması ve 5kg yasağı. - 620 ruble,
4kg uygulaması ve 3kg yasağı. - 500 ruble.
1) İki satın almanın maliyetini karşılaştırın. Hem ilk hem de ikinci seferde aynı sayıda portakalı aynı fiyata aldılar. İlk kez daha fazla muz aldıkları için daha fazla ödediler. İlk defa kaç kilogram muz daha fazla satın alındığını bulalım: 5 - 3 = 2 (kg).
2) İlk seferde ikinciden ne kadar daha fazla ödediklerini bulalım (yani, 2 kg muzun ne kadara mal olduğunu bulduk): 620 - 500 = 120 (ruble).
3) 1 kg muzun fiyatını bulun: 120: 2 = 60 (ruble).
4) Birinci ve ikinci alımların maliyetini bildiğimizde 1 kg portakalın fiyatını bulabiliriz. Bunu yapmak için önce satın alınan muzların maliyetini, ardından portakalların maliyetini ve ardından 1 kg'ın fiyatını buluyoruz. Bizde: (620 - 60 * 5): 4 \u003d 80 (ruble).
Cevap: 1 kg portakalın fiyatı 80 ruble ve 1 kg muzun fiyatı 60 ruble.
4. Veri karşılaştırması
Bu tekniğin kullanılması, verileri karşılaştırmayı ve çıkarma yöntemini uygulamayı mümkün kılar. Veri değerlerini karşılaştırabilirsiniz:
1) çarpmayı kullanma (en küçük ortak kat ile karşılaştırma);
2) bölmeyi kullanarak (bunları en büyük ile karşılaştırarak) ortak bölen).
Bunu bir örnekle gösterelim.
Bir görev. 4 kg portakal ve 5 kg muz için 620 ruble ödediler ve bir dahaki sefere 6 kg portakal için 660 ruble ödediler ve aynı fiyatlarla 3 kg muz aldılar. 1 kg portakal ve 1 kg muz ne kadardır?
Durumun kısa açıklaması:
4kg uygulaması ve 5kg yasağı. - 620 ruble,
6kg uygulaması ve 3kg yasağı. - 660 ruble.
Portakal ve muz sayısını en küçük ortak kat ile karşılaştırarak eşitleyelim: LCM(4;6) = 12.
Çözüm 1.
1) İlk durumda satın alınan meyvelerin sayısını ve maliyetlerini 3 kat, ikinci durumda ise 2 kat artıralım. Koşul için aşağıdaki kısayolu elde ederiz:
12kg uygulaması ve 15kg yasağı. - 1860 ruble,
12kg uygulaması ve 6kg yasağı. - 1320 ruble.
2) İlk defa kaç tane daha muz satın alındığını bulun: 15-6 = 9 (kg).
3) 9 kg muz ne kadara mal olur? 1860 - 1320 = 540 (ruble).
4) 1 kg muzun fiyatını bulun: 540: 9 = 60 (ruble).
5) 3 kg muzun maliyetini bulun: 60 * 3 = 180 (ruble).
6) 6 kg portakalın maliyetini bulun: 660 - 180 = 480 (ruble).
7) 1 kg portakalın fiyatını bulun: 480: 6 = 80 (ruble).
Çözüm2.
Portakal ve muz sayısını en büyük ortak bölenle karşılaştırarak eşitleyelim: gcd (4; 6) = 2.
1) İlk ve ikinci kez satın alınan portakal sayısını eşitlemek için, satın alınan malların miktarını ve ilk durumda maliyetini 2 kat, ikincisinde - 3 kat azaltıyoruz. Bu kadar kısa kondisyon kaydı olan bir görev alalım
2kg uygulaması ve 2.5 kg yasağı. - 310 ruble,
2kg uygulaması ve 1kg yasağı. - 220 ruble.
2) Şimdi kaç tane daha muz satın alındı: 2,5 - 1 = 1,5 (kg).
3) 1,5 kg muzun maliyetini bulun: 310 - 220 = 90 (ruble).
4) 1 kg muzun fiyatını bulun: 90: 1.5 = 60 (ruble).
5) 1 kg portakalın fiyatını bulun: (660 - 60 * 3): 6 = 80 (ruble).
Cevap: 1 kg portakalın fiyatı 80 ruble, 1 kg muzun fiyatı 60 ruble.
Veri karşılaştırma yöntemini kullanarak problem çözerken, bu kadar ayrıntılı bir analiz ve kayıt yapamazsınız, sadece karşılaştırma için yapılan değişiklikleri kaydedip bir tablo şeklinde yazabilirsiniz.
5. Birden çok koşulu tek bir koşulda birleştirmek
Bazen birkaç koşulu tek bir koşulda birleştirerek gereksiz bilinmeyenlerden kurtulabilirsiniz.
Bir görev. Turistler kamptan ayrıldılar ve önce 4 saat yürüdüler, ardından 4 saat daha belirli bir sabit hızda bisiklet sürdüler ve kamptan 60 km uzaklaştılar. İkinci kez kamptan ayrılıp ilk önce 7 saat aynı hızda bisiklet sürdüler, sonra ters yöne döndüler ve 4 saat yaya olarak hareket ederek kendilerini kampa 50 km uzaklıkta buldular. Turistler ne kadar hızlı bisiklet sürüyorlardı?
Problemde iki bilinmeyen var: Turistlerin bisiklet sürme hızları ve yürüme hızları. Bunlardan birini hariç tutmak için iki koşulu bir araya getirebilirsiniz. O zaman turistlerin ilk kez yürüyerek 4 saatte kat ettikleri mesafe, ikinci kez geri giderken 4 saatte kat ettikleri mesafeye eşittir. Bu nedenle bu mesafelere dikkat etmiyoruz. Bu da turistlerin bisikletle 4+7=11(saat) de kat edecekleri mesafenin 50+60=110(km) olacağı anlamına geliyor.
Daha sonra bisikletli turistlerin hızı: 110:11 = 10 (km/sa).
Cevap: Bisikletler 10 km/h hızla hareket eder.
6. Kabul yöntemi
Problem çözmede varsayım yönteminin kullanılması çoğu öğrenci için zorluk yaratmaz. Bu nedenle, öğrencilerin bu yöntemin adım şemasının mekanik olarak ezberlenmesini ve her biri üzerinde gerçekleştirilen eylemlerin özünün yanlış anlaşılmasını önlemek için, öğrencilere önce deneme yöntemi (“yanlış kural” ve “kuralın kuralı” gösterilmelidir. eski Babilliler”).
Örnekleme yöntemini, özellikle "yanlış kuralı" kullanırken, bilinmeyen miktarlardan birine bir miktar değer verilir ("izin verilir"). Daha sonra tüm koşulları kullanarak başka bir miktarın değerini bulurlar. Ortaya çıkan değer, koşulda belirtilen değerle karşılaştırılır. Elde edilen değer, koşulda verilen değerden farklıysa, belirtilen ilk değer doğru değildir ve 1 artırılıp azaltılmalıdır ve yine başka bir değerin değeri bulunur. Bu yüzden problemin durumunda olduğu gibi başka bir miktarın değerini elde edene kadar yapmak gerekir.
Bir görev. Kasiyerde 50 jeton 50 kopek ve 10 kopek olmak üzere toplam 21 ruble vardır. Kasiyerin ayrı ayrı kaç 50 bin jetonu olduğunu bulun. ve 10k.
Çözüm 1. (örnekleme yöntemi)
"Antik" Babillilerin kuralını kullanalım. Kasiyerin her kupürden eşit madeni paraya, yani 25 parçaya sahip olduğunu varsayalım. O zaman para miktarı 50 * 25 + 10 * 25 \u003d 1250 + 250 \u003d 1500 (k.), Veya 15 ruble olacaktır. Ancak 21 ruble durumunda, yani alınandan daha fazla, 21 UAH - 15 ruble = 6 ruble. Bu, toplam 21 ruble elde edene kadar 50 kopeklik jeton sayısını artırmamız ve 10 kopeklik jeton sayısını azaltmamız gerektiği anlamına gelir. Coin sayısındaki değişimi ve toplam tutarı tabloya yazıyoruz.
madeni para sayısı |
madeni para sayısı |
Para miktarı |
Para miktarı |
toplam tutar |
Koşuldan daha küçük veya daha büyük |
|
6 rubleden az. |
||||||
5rub60k'dan az |
||||||
Durumda olduğu gibi |
Tablodan da görüleceği üzere kasada 40 adet 50 kopek ve 10 adet 10 kopek bulunmaktadır.
Çözüm 1'de ortaya çıktığı gibi, kasiyerin 50k'lık eşit jetonları varsa. ve her biri 10k, sonra toplamda 15 ruble parası vardı. Bir madeni paranın her değişiminin 10k olduğunu görmek kolaydır. 50k jeton için. toplam tutarı 40k artırır. Bu, bu tür değiştirmelerin kaç tane yapılması gerektiğini bulmanın gerekli olduğu anlamına gelir.Bunu yapmak için, önce toplam miktarı ne kadar parayla artırmanın gerekli olduğunu buluruz:
21 ovmak - 15 ovmak. = 6 ruble. = 600 bin
Böyle bir değiştirmenin kaç kez yapılması gerektiğini bulalım: 600 k. : 40 k. = 15.
O zaman 50 k. her biri 25 +15 = 40 (jeton) olacak ve 10 k jeton kalacak
25 -- 15 = 10.
Doğrulama, bu durumda toplam para miktarının 21 ruble olduğunu doğrular.
Cevap: Kasiyerde 50 kopeklik 40 jeton ve 10 kopeklik 10 jeton vardı.
Öğrencileri seçime davet etmek Farklı anlamlar 50 kopeklik jeton sayısı, onları rasyonellik açısından en iyisinin, kasiyerin yalnızca aynı değerde madeni paralara sahip olduğu varsayımı olduğu fikrine getirmek gerekir (örneğin, 50 kopeklik 50 jetonun tümü veya her biri 10 k'lık 50 jetonun tümü). Bu nedenle, bilinmeyenlerden biri hariç tutulur ve yerine başka bir bilinmeyen gelir.
7. Kalıntı yöntemi
Bu yöntemin, problemleri deneme yanılma yoluyla çözerken düşünme ile bazı benzerlikleri vardır. Bir yönde hareket problemlerini çözerken, yani daha yüksek bir hızla geride kalan ilk nesnenin, ikinci nesneyi yakalayacağı süreyi bulmak gerektiğinde, artıklar yöntemini kullanırız. daha düşük hız. 1 saat içinde, birinci nesne ikinciye hızlarındaki fark kadar, yani ikincinin hızına kıyasla sahip olduğu hızın "geri kalanına" eşit bir mesafede yaklaşır. Birinci cismin hareketin başlangıcında ikinci cismin kendisi ile arasındaki mesafeyi aşması gereken süreyi bulmak için, bu mesafeye "kalan"ın kaç kez yerleştirildiğini belirlemek gerekir.
Çizimden soyutlar ve sadece problemin matematiksel yapısını ele alırsak, o zaman iki faktörden (her iki nesnenin hareket hızı) veya bu faktörler ile iki ürün arasındaki farktan (kapsadıkları mesafeler) veya farklarından bahseder. Bilinmeyen çarpanlar (zaman) aynıdır ve bulunması gerekir. Matematiksel bir bakış açısıyla, bilinmeyen faktör, ürünlerin farkında bilinen faktörlerin farkının kaç kez bulunduğunu gösterir. Bu nedenle artıklar yöntemiyle çözülen problemlere iki farkla sayıları bulma problemleri denir.
Bir görev. Öğrenciler tatilden fotoğrafları albüme yapıştırmaya karar verdiler. Her sayfaya 4 fotoğraf yapıştırırlarsa albümde 20 fotoğraf için yeterli alan kalmayacaktır. Her sayfaya 6 fotoğraf yapıştırırsanız 5 sayfa boş kalır. Öğrenciler albüme kaç fotoğraf koyacaklar?
Görev Analizi
Birinci ve ikinci yapıştırma seçenekleri için fotoğraf sayısı aynı kalır. Sorunun durumuna göre belli değil ama bir sayfada yer alan fotoğraf sayısı ve albümdeki sayfa sayısı biliniyorsa bulunabilir.
Bir sayfaya yapıştırılan fotoğrafların sayısı bilinmektedir (ilk çarpan). Albümdeki sayfa sayısı bilinmiyor ve değişmeden kalıyor (ikinci çarpan). Albümün 5 sayfasının ikinci kez boş kaldığı bilindiği için albüme kaç tane daha fotoğraf yapıştırılabileceğini bulabilirsiniz: 6*5 = 30 (fotoğraf).
Yani bir sayfadaki fotoğraf sayısı 6 - 4 = 2 artarsa yapıştırılan fotoğraf sayısı 20 + 30 = 50 artar.
İkinci kez her sayfaya iki fotoğraf daha yapıştırıldığından ve toplam 50 fotoğraf daha yapıştırıldığından, albümdeki sayfa sayısını buluyoruz: 50: 2 = 25 (s.).
Dolayısıyla toplamda 4*25 + 20=120 fotoğraf vardı.
Cevap: Albümde 25 sayfa vardı ve 120 fotoğraf yapıştırıldı.
Bölüm II. Okul çocuklarına metin aritmetik problemlerini nasıl çözeceklerini öğretmek
Okul kursunun her konusunu incelerken, metin problemlerini sistematik olarak çözme yöntemleri konusunda eğitim veriyorum.
2.1 Eklem hareketi problemlerini çözme
5. sınıftan itibaren öğrenciler sıklıkla bu problemlerle karşılaşırlar. Ayrıca ilkokulöğrencilere “genel hız” kavramı verilir.Sonuç olarak, yaklaşma hızı ve uzaklaştırma hızı hakkında tam olarak doğru fikirler oluşturmazlar (ilkokulda böyle bir terminoloji yoktur).Çoğu zaman, bir problem çözerken, öğrenciler toplamı bulur. Bu sorunları çözmeye şu kavramların tanıtılmasıyla başlamak en iyisidir: “yakınlaşma oranı”, “kaldırma oranı”. Netlik için, vücutların bir yönde ve farklı yönlerde hareket edebileceğini açıklayan ellerin hareketini kullanabilirsiniz. Her iki durumda da bir yaklaşma hızı ve uzaklaşma hızı olabilir, ancak farklı durumlarda bunlar farklı şekillerde bulunur. Daha sonra öğrenciler aşağıdaki tabloyu yazarlar:
Tablo 1.
Yaklaşma hızını ve uzaklaştırma hızını bulma yöntemleri
Problem analiz edilirken aşağıdaki sorular sorulur.
1. Ellerin hareketini kullanarak, vücutların birbirine göre nasıl hareket ettiğini (bir yönde, farklı yönlerde) öğreniriz.
2. Hızın hangi eylem olduğunu (toplama, çıkarma) buluyoruz.
3. Hangi hızda olduğunu belirleyin (yaklaşma, uzaklaşma).
Sorunun çözümünü yazın.
Örnek No. 1. Aralarındaki mesafe 600 km olan A ve B şehirlerinden aynı anda bir kamyon ve bir araba birbirine doğru bırakılmıştır. Bir arabanın hızı 100 km/h, bir kamyonun hızı 50 km/h'dir. Kaç saat sonra buluşacaklar?
Öğrenciler arabaların nasıl hareket ettiğini göstermek için ellerini kullanır ve aşağıdaki sonuçları çıkarır:
a. arabalar farklı yönlerde hareket eder;
b. hız eklenerek bulunur;
içinde. birbirlerine doğru hareket ettikleri için, bu yaklaşma hızıdır.
1. 100 + 50 = 150 (km/sa) - kapanma hızı.
2. 600: 150 = 4 (h) - toplantıdan önceki hareket zamanı.
Cevap: 4 saat sonra.
Örnek #2. Adam ve oğlan aynı anda kır evi için evden ayrıldılar ve aynı yöne gittiler. Adamın hızı 5 km/s ve çocuğun hızı 3 km/s. 3 saat sonra birbirlerinden ne kadar uzakta olacaklar?
El hareketlerinin yardımıyla şunları öğreniyoruz:
a. oğlan ve adam aynı yönde hareket ediyor;
b. hız farktır;
içinde. adam daha hızlı yürür, yani çocuktan uzaklaşır (kaldırma hızı).
1. 5 - 3 \u003d 2 (km / s) - kaldırma hızı.
2. 2 * 2 \u003d 4 (km / s) - 2 saat sonra bir erkek ve bir erkek arasındaki mesafe
Cevap: 4km.
2.2 Tablolar kullanılarak çözülen görevler
Bu tür sorunları çözmeye hazırlanırken sinyal haritalarını başarıyla kullanabilirsiniz.
Sözlü sayım, her öğrencinin sahip olması gereken ve tüm sınıfın çalışmaya dahil olmasını sağlayan kart verileri kullanılarak yapılmalıdır.
Örnek 1 numara. Birinci çocuğun ikinciden 5 puan fazlası var. İkincisinde kaç pul olduğu nasıl bulunur?
Öğrenciler 1 numaralı kartı yükseltir ve “by ... devamı” tonlaması ile vurgulayarak, 5 tane daha olduğu için ilk sayıya 5'in eklenmesi gerektiğini açıklar.
Örnek #2. İkinci çocuğun 30 puanı var ve ilkinin 3 katı daha az. İlk çocuğun kaç pulu var?
Öğrenciler 4 numaralı kartı tutmalı ve cevap vermelidir: 30:3 \u003d 10'dan beri 10 puan. Destekleyici kelimeler - "in ... daha az."
Sözlü sayma için görev seçimi çeşitlendirilmelidir, ancak her seferinde öğrenci anahtar kelimeleri adlandırarak bir açıklama yapmalıdır. Tablodaki anahtar kelimelerin altını çizmek daha iyidir.
Örnek #3. Sürücü, 5 saatte 80 km yol kat etti. Hızı binicinin hızından 24 km/s fazla ise bisikletçi bu yolda ne kadar zaman harcar?
Öğrenci, tabloyu doldururken anahtar kelimelerin altını çizmeli ve bisikletçinin hızının 16 km/s ve 24 km/s toplanarak bulunduğunu açıklamalıdır. Ardından değerler arasında işlevsel bir ilişki kurarak öğrenciler tablonun tüm satırlarını ve sütunlarını doldurur. Bundan sonra, öğrenci göreve bağlı olarak ya soruyu cevaplar ya da bir çözüm çizer. Bir tabloyla çalışırken, öğrenci bir problemi çözerken, tüm satırların ve sütunların problem verileriyle ve nicelikler arasındaki işlevsel bir ilişkinin kullanılmasından kaynaklanan verilerle doldurulması gerektiğini anlamalıdır.
2.3 Bir sayının bir kısmını ve bir sayıyı parça parça bulma problemlerini çözme
Bu problemleri çözmeye hazırlanmak için kesir kavramına hakim olmak için çalışmalar devam etmektedir. Sözlü sayma ile her öğrencinin aşağıdakileri bildiğinden emin olmak gerekir: a. kesirli çubuk hangi eylemi gösterir;
b. kesir demektir.
Kesir çizgisi bölme eylemini, 3/4 kesri verilenin 4 eşit parçaya bölündüğünü ve 3 parçanın alındığını gösterir. Bunun için tüm öğrencilerin velilerinin yardımıyla hazırladıkları zarfları kullanmakta fayda var. Daireler zarfların içine alınır: bütün, ikiye bölünmüş, 3 eşit parçaya, 4'e; 6; 8 parça. Bir dairenin her payı aynı renge sahiptir. Öğrenciler bu materyali kullanarak kesirlerin nasıl elde edildiğini görsel olarak görürler.
Örneğin. 5/6 kesirini gösteren bir şekil düzenleyin. Paylaşımların renklerini bilen öğretmen, öğrencilerin yaptığı hataları görür ve görevi analiz eder. Öğrenci cevap verirken dairenin 6'ya bölündüğünü söyler. eşit parçalar ve bu tür 5 parça aldı.
Bu tür zarfların varlığı, aynı paydalara sahip kesirlerin eklenmesini ve bir birimden bir kesrin çıkarılmasını görselleştirmeyi mümkün kılar. Tüm öğrenciler çalışmaya dahil olduğundan ve toplama açıkça görülebildiğinden, iki örnekten sonra öğrenciler aynı paydalarla kesirleri toplama kuralını kendileri formüle ederler.
Çıkarmayı düşünün. 1'den 1/4 çıkarın. Öğrenciler masaya bir daire koyarlar, ancak henüz ondan hiçbir şeyin çıkarılamayacağını fark ederler. Sonra daireyi 4 eşit parçaya kesmeyi ve birini çıkarmayı teklif ediyorlar. 1'in yerine 4/4'lük bir kesir konulması gerektiği sonucuna varıyoruz. 2-3 örnekten sonra öğrenciler kendi sonuçlarını çıkarırlar.
Bu materyalin kullanımıyla, 1/3 fraksiyona 2/6 empoze ettiklerinde, bir fraksiyonun ana özelliği kavramı verilir. Bu materyali çalıştıktan sonra problemleri çözmeye devam ediyoruz.
Örnek 1. Bahçede 120 ağaç var. Huş ağaçları, tüm ağaçların 2 / 3'ünü oluşturur ve geri kalanı çamdır. Kaç tane çam vardı?
Soru: 2/3 kesri ne anlama geliyor?
Cevap: Tüm ağaç sayısı 3 eşit parçaya bölündü ve huş ağaçları 2 parça oluşturdu.
40 * 2 \u003d 80 (köy) - huş ağacı vardı.
120 - 80 \u003d 40 (köy) - çamlar vardı.
II yolu:
120: 3 = 40 (der.) - bir parça oluşturur.
3 - 2 \u003d 1 (parça) - makyaj çamları.
40 * 1 \u003d 40 (köy) - makyaj çamları.
...Benzer Belgeler
Çocuklara matematik derslerinde bir metin problemini çözmenin bir yolunu bulmayı öğretmek. Matematiğin ilk dersinde aritmetik problemlerin rolü. Ortak hareket için problem çözme, bir sayının bir bölümünü ve bir sayıyı parça parça bulma, yüzdeler, ortak çalışma için.
tez, 28/05/2008 eklendi
İş biçimlerinin özellikleri küçük okul çocukları matematik derslerinde. Bir metin problemini çözme sürecinde çeşitli çalışma biçimlerinin kullanılması. İlkokulda metin problemlerini çözme. Okul çocuklarının problem çözme becerilerinin oluşum seviyesinin teşhisi.
tez, eklendi 09/04/2010
Bir metin problemi kavramı ve matematik dersindeki rolü. Metin problemlerini çözme yöntemleri. Orantılı Bölme için Bileşik Problemleri Çözmek İçin Öğretim Yöntemleri. Hareket problemlerini çözmeyi öğrenmek. Öğrencilerin bileşik problemleri çözme becerilerinin düzeyinin belirlenmesi.
dönem ödevi, eklendi 08/20/2010
Eğitimde görevlerin sınıflandırılması ve işlevleri. Metodolojik özellikler standart olmayan görevleri çözme. Metin problemlerini ve parametrelerle ilgili problemleri çözme özellikleri. Denklemleri ve eşitsizlikleri çözme tekniği. Pedagojik deney ve sonuçların analizi.
tez, 24/02/2010 eklendi
Metin problemlerini çözmek için cebirsel yöntemin özü. Onlarla çalışırken öğretmenin tipik metodolojik hataları. Metin sorunlarını çözme cebirsel yöntem G.G.'ye göre Levitas ve V. Lebedev. Çözümlerini öğretmek için metodolojinin pratik uygulamasının analizi.
dönem ödevi, eklendi 09/30/2010
İlkokulda çözülen metin görevlerinin özellikleri. Okul çocuklarına grafik modelleme kullanarak metin problemlerini çözmeyi öğretmek için metodik teknikler. Problemin türünü ve onu çözmenin yolunu belirleme yeteneğinin oluşum seviyesinin incelenmesi.
dönem ödevi, eklendi 05/04/2019
Bir sorun kavramı ve çözümü. Matematiksel modellemenin aşamalarını vurgulayarak problem çözme. Analitik-sentetik akıl yürütmenin cebirsel bir şekilde çözme becerilerinin oluşumundaki rolü. Matematiksel modellerin derlenmesinde becerilerin oluşumu için görevler.
tez, eklendi 23/04/2011
Yeterlilik ve yeterlilik kavramları. Okulda yetkinlik temelli yaklaşımın uygulanmasına ilişkin görüşler. Temel eğitim yeterliliklerinin sınıflandırılması ve içeriği. 5-6. sınıflarda matematik derslerinde temel yeterlilikler. Yetkinliklerin oluşumuna örnekler.
tez, eklendi 06/24/2009
"Metin görevi" kavramı ve yapısı. Metin problemlerini çözme süreci. Çözümün öğretilmesinde kullanılan metodik teknikler. Öğrencilerin genelleştirilmiş becerilerinin oluşumu. Basılı olarak not defterlerini kullanarak bir metin görevi üzerinde çalışın.
dönem ödevi, eklendi 03/16/2012
Aritmetik problemlerin önemi zihinsel gelişimçocuklar. Matematiksel problem türleri ve sınıflandırılması. Çocuklar tarafından görevlerin özüne hakim olmanın özellikleri. Okul öncesi çocuklara problem çözmeyi öğretme yöntemleri ve aşamaları. Çocuklar tarafından yapılan aritmetik problemler.
Aritmetik yöntemle problem çözme hakkında genel açıklamalar.
Eylemlerin sonuçlarına göre bilinmeyenleri bulma görevleri.
Orantılı bölme görevleri.
Yüzdeler ve parçalar için görevler.
Görevler tersten çözüldü.
1. Aritmetik yöntem, ilkokulda metin problemlerini çözmenin ana yöntemidir. Uygulamasını ortadaki bağlantıda bulur ortaokul. Bu yöntem, görevdeki çalışmanın her aşamasının önemini ve önemini daha iyi anlamanızı ve takdir etmenizi sağlar.
Bazı durumlarda problemin aritmetik yöntemle çözümü diğer yöntemlere göre çok daha basittir.
Basitliği ve erişilebilirliği ile rüşvet veren aritmetik yöntem aynı zamanda oldukça karmaşıktır ve bu yöntemle problem çözme yöntemlerine hakim olmak ciddi ve özenli bir çalışma gerektirir. Çok çeşitli problem türleri, problemlerin analizine evrensel bir yaklaşım oluşturmaya, onları çözmenin bir yolunu aramaya izin vermez: problemler, bir grupta bir araya gelse bile, tamamen farklı çözüm yollarına sahiptir.
2 . üzerindeki görevler için bilinmeyenleri farklarına ve oranlarına göre bulma bu değerleri bilinen farktan ve belirli bir miktarın iki değerinin bölümünden bulmanın gerekli olduğu problemleri içerir.
Cebirsel model:
Cevap formüllerle verilir: X= ak / (k - 1), y \u003d a / (k - 1).
Örnek. Hızlı trenin ikinci sınıf vagonlarında kompartımanlara göre 432 daha fazla yolcu var. Kompartıman arabalarında ayrılmış koltuklara göre 4 kat daha az yolcu varsa, ayrılmış koltuk ve kompartıman arabalarında ayrı ayrı kaç yolcu vardır?
Çözüm. Problemin grafik modeli şekil 2'de gösterilmektedir. dört.
Pirinç. dört
Kompartıman arabalarındaki yolcu sayısı 1 kısım olarak alınacaktır. Ardından ikinci sınıf otomobillerde yolcu sayısı için kaç parça olduğunu ve ardından 432 yolcu için kaç parça olduğunu bulabilirsiniz. Bundan sonra, 1 parçayı oluşturan yolcu sayısını belirleyebilirsiniz (kompartıman arabalarında bulunur). İkinci sınıf vagonlarda 4 kat daha fazla yolcu olduğunu bilerek onların sayısını buluyoruz.
1 4 \u003d 4 (h) - ayrılmış koltuklardaki yolcuları hesaba katar;
4 - 1 \u003d 3 (saat) - ayrılmış koltuk ve kompartıman arabalarındaki yolcu sayısı arasındaki farka düşer;
432: 3 = 144 (s.) - kompartıman arabalarında;
144 4 \u003d 576 (s.) - ayrılmış koltuklu arabalarda.
Bu sorun, başka bir şekilde çözülerek kontrol edilebilir, yani:
1 4 \u003d 4 (h);
4 - 1 = 3 (h);
432: 3 = 144 (s.);
144 + 432 = 576 (s.).
Cevap: Kompartımanlarda 144, ayrılmış koltuklarda 576 yolcu vardır.
üzerindeki görevler için bilinmeyenleri iki veya iki kalanla bulma farklılıklar, bir miktarın iki değeri ile diğer miktarın karşılık gelen değerlerinin farkının bilindiği ve iki doğrudan veya ters orantılı miktarın dikkate alındığı problemleri içerir ve bulunması gerekir. bu miktarın kendi değerleri.
Cebirsel model:
Cevaplar formüllere göre bulunur:
Örnek.İki tren aynı hızda seyahat etti - biri 837 km, diğeri 248 km ve ilki ikinciden 19 saat daha fazla yoldaydı. Her tren kaç saat yol almıştır?
Çözüm. Görevin grafik modeli Şekil 5'te gösterilmektedir.
Pirinç. 5
Sorunun sorusunu cevaplamak için, şu veya bu trenin kaç saat yolda olduğunu, kat ettiği mesafeyi ve hızını bilmeniz gerekir. Mesafe durumda verilir. Hızı bilmek için, mesafeyi ve bu mesafeyi kat etmek için geçen süreyi bilmeniz gerekir. Durum, ilk trenin 19 saat daha uzun gittiğini ve bu süre zarfında kat ettiği mesafenin bulunabileceğini söylüyor. Fazladan 19 saat yürüdü - belli ki bu süre zarfında fazladan bir mesafe yürüdü.
837 - 248 \u003d 589 (km) - ilk tren çok daha fazla kilometre yol kat etti;
589: 19 = 31 (km/sa) – ilk trenin hızı;
837: 31 = 27 (h) - ilk tren yoldaydı;
4) 248: 31 = 8 (h) - ikinci tren yoldaydı.
Problemin çözümünde elde edilen veriler ile sayılar arasında bir yazışma kurarak problemin çözümünü kontrol edelim.
Her trenin yolda ne kadar sürdüğünü öğrendikten sonra, ilk trenin ikinciden kaç saat daha fazla yolda olduğunu buluyoruz: 27 - 8 \u003d 19 (h). Bu sayı, koşulda verilenle eşleşir. Bu nedenle, sorun doğru bir şekilde çözülür.
Bu sorun, farklı bir şekilde çözülerek doğrulanabilir. Dört soru ve ilk üç eylem aynı kalır.
4) 27 –19 = 8 (saat).
Cevap: İlk tren 31 saat, ikinci tren - 8 saat yoldaydı.
Çiftler halinde alınan bu bilinmeyenlerin üç toplamı için üç bilinmeyen bulma görevleri:
Cebirsel model:
Cevap formüllerle verilir:
x =(a -b + c)/2, y = (bir +b – c)/2, z = (b + İle birlikte -a)/ 2.
Örnek.İngilizce ve almanca dilleri 116 öğrenci Almanca ve İspanyolca, 46 öğrenci İngilizce ve İspanyolca, 90 öğrenci ise İngilizce ve İspanyolca eğitimi almaktadır. Her öğrencinin yalnızca bir dil öğrendiği biliniyorsa, kaç öğrenci İngilizce, Almanca ve İspanyolca'yı ayrı ayrı öğrenir?
Çözüm. Görevin grafik modeli Şekil 6'da gösterilmektedir.
Her bir dili kaç öğrenci öğreniyor?
Problemin grafiksel modeli şunu gösteriyor: (116 + 90 + 46) koşulda verilen okul çocuklarının sayısını toplarsak, İngilizce, Almanca ve İspanyolca öğrenen okul çocuklarının iki katı sayısını elde ederiz. İkiye bölerek toplam öğrenci sayısını buluyoruz. Okuyan öğrenci sayısını bulmak için ingilizce dili, bu sayıdan Almanca ve İspanyolca öğrenen öğrenci sayısını çıkarmak yeterlidir. Benzer şekilde, kalan istenen sayıları buluyoruz.
Eylemlere ilişkin kararı açıklamalarla birlikte yazalım:
116 + 90 + 46 = 252 (okul) - dil öğrenen öğrenci sayısının iki katı;
252: 2 = 126 (okul) - dilleri öğrenin;
126 - 46 = 80 (okul) - İngilizce öğren;
126 - 90 = 36 (okul) - Almanca öğren;
126 - 116 = 10 (okul) - İspanyolca öğrenin.
Bu sorun, farklı bir şekilde çözülerek doğrulanabilir.
116 - 46 = 70 (okul) - çok daha fazla öğrenci İspanyolca'dan çok İngilizce öğreniyor;
90 + 70 = 160 (okul) - İngilizce okuyan öğrenci sayısının iki katı;
160: 2 = 80 (okul) - İngilizce çalışın;
90 - 80 = 10 (okul) - İspanyolca öğren;
116 - 80 = 36 (okul) - Almanca öğrenin.
Cevap: İngilizce 80 öğrenciye, Almanca 36 öğrenciye, İspanyolca 10 öğrenciye öğretilmektedir.
3. Orantılı bölme problemleri, belirli bir miktarın belirli bir değerinin, verilen sayılarla orantılı olarak parçalara bölünmesi gereken problemleri içerir. Bazılarında kısımlar açıkça sunulurken bazılarında bu miktarın bir kısmı için bu miktarın değerlerinden biri alınarak diğer değerlerine kaç tane bu parçanın düştüğü belirlenerek bu kısımlar ayırt edilmelidir.
Orantılı bölme için beş tür görev vardır.
1) Bir sayıyı doğrudan parçalara bölme görevleribir dizi tam veya kesirli sayı ile orantılı
Görevlere bu türden numaranın yer aldığı görevleri içerir. ANCAK X 1, X 2 , x 3 , ..., X n sayılarla doğru orantılı a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n .
Cebirsel model:
Cevap formüllerle verilir:
Örnek. Seyahat şirketinin aynı kapasitede binalara sahip dört rekreasyon merkezi vardır. 1. rekreasyon merkezinin topraklarında 6 bina, 2. - 4. bina, 3. - 5. bina, 4. - 7. bina var. 4 üssün tamamı 2112 kişiyi ağırlayabiliyorsa, her bir üste kaç tatilci konaklayabilir?
Çözüm. Görevin bir özeti Şekil 7'de gösterilmektedir.
Pirinç. 7
Her bir üste kaç tatilcinin konaklayabileceği sorusuna cevap vermek için, bir binada kaç tatilcinin konaklayabileceğini ve her bir üssün topraklarında kaç binanın bulunduğunu bilmeniz gerekir. Her bir kaidedeki gövde sayısı koşulda verilmiştir. Bir binada kaç tatilcinin konaklayabileceğini öğrenmek için, 4 üssün hepsinde (bu koşulda verilir) kaç tatilcinin konaklayabileceğini ve 4 üssün tümünde kaç binanın bulunduğunu bilmeniz gerekir. İkincisi, her bir üssün topraklarında kaç binanın bulunduğu koşulundan bilinerek belirlenebilir.
Eylemlere ilişkin kararı açıklamalarla birlikte yazalım:
6 + 4 + 5 + 7 = 22 (c.) - 4 üssün topraklarında bulunur;
2112: 22 = 96 (saat) - bir binada konaklayabilir;
96 6 \u003d 576 (h) - birinci kaideye yerleştirilebilir;
96 4 \u003d 384 (h) - ikinci tabana yerleştirilebilir;
96 5 \u003d 480 (h) - üçüncü tabana yerleştirilebilir;
96 7 \u003d 672 (h) - dördüncü tabana yerleştirilebilir.
muayene 4 bazda kaç tatilcinin konaklayabileceğini hesaplıyoruz: 576 + 384 + 480 + 672 = 2 112 (saat). Sorunun durumu ile herhangi bir tutarsızlık yoktur. Sorun doğru çözüldü.
Cevap: ilk üs 576 tatilci, ikinci - 384 tatilci, üçüncü - 480 tatilci, dördüncü - 672 tatilciyi ağırlayabilir.
2) Bir sayıyı bir dizi tamsayı veya kesirli sayı ile ters orantılı parçalara bölme problemleri
Bunlar, sayının dahil olduğu görevleri içerir. ANCAK(bir miktarın değeri) parçalara bölünmelidir x 1 i , x 2 , x 3 i , ..., X" sayılarla ters orantılı a 1b a 2 , a 3 ,..., a n .
Cebirsel model:
veya
x 1 : x 2 :X 3 :...:х„ = a 2 a 3 ...a n :a 1 a 3 ...a P :a 1 a 2 a 4 ...a n :...:a 1 a 2 ...a n -1
Cevap formüllerle verilir:
nerede S = a 2 a 3 ...bir„ +a ben a i ... a n + bir ] a 2 a 4 ...a n + ... + bir 1 a 2 ...a n -1.
Örnek. Dört ay boyunca, kürk çiftliğinin kürk satışından elde ettiği gelir 1.925.000 ruble idi ve aylara göre alınan para 2, 3, 5, 4 sayılarıyla ters orantılı olarak dağıtıldı. her ay ayrı mı?
Çözüm. Koşulda belirtilen geliri belirlemek için dört aylık toplam gelir, yani gerekli dört sayının toplamı ve gerekli sayılar arasındaki ilişki verilir. İstenilen gelir 2, 3, 5, 4 sayıları ile ters orantılıdır.
belirtmek arzu edilen gelir, sırasıyla, x ile, X 2 , X 3 , X 4 . Daha sonra problem Şekil 8'de gösterildiği gibi kısaca yazılabilir.
Pirinç. sekiz
İstenen sayıların her birine düşen parça sayısını bilerek, toplamlarındaki parça sayısını buluruz. Dört aylık verilen toplam gelirden, yani istenen sayıların toplamından ve bu toplamın içerdiği parça sayısından, bir parçanın değerini ve ardından istenen geliri buluyoruz.
Eylemlere ilişkin kararı açıklamalarla birlikte yazalım:
1. İstenen gelir 2, 3, 5, 4 sayılarıyla ters orantılıdır yani verilerle ters orantılı sayılarla doğru orantılıdır yani ilişkiler vardır . Kesirli sayılardaki bu ilişkileri tamsayı ilişkileriyle değiştiririz:
2. Bunu bilmek X 30 eşit parça içerir, X 2 – 20, X 3 – 12, X 4 – 15, toplamlarında kaç parça bulunduğunu bulun:
30 + 20 + 12+ 15 = 77 (saat).
3. Parça başına kaç ruble?
1,925,000: 77 = 25,000 (r.).
4. İlk aydaki çiftlik geliri nedir?
25.000 30 = 750.000 (r.).
5. İkinci ayda çiftlik geliri nedir?
25.000 20 = 500.000 (r.).
6. Üçüncü aydaki çiftlik geliri nedir?
25.000–12 = 300.000 (s.).
7. Dördüncü aydaki çiftlik geliri nedir?
25.000–15 = 375.000 (s.).
Cevap: ilk ayda, çiftliğin geliri 750.000 ruble, ikinci - 500.000 ruble, üçüncü - 300.000 ruble, dördüncü - 375.000 ruble idi.
3) Her bir istenen sayı çifti için ayrı oranlar verildiğinde, bir sayıyı parçalara bölme görevleri
Bu türdeki görevler, numaranın bulunduğu görevleri içerir. ANCAK(belirli bir miktarın değeri) x 1 parçaya bölünmelidir, X 2 , x 3, ..., X",Çiftler halinde alınan istenen sayılar için bir dizi oran verildiğinde. Cebirsel model:
x 1: X 2 = bir 1 : b 1, X 2 : X 3 = bir 2 : b 2, x 3 : X 4 = bir 3 : b 3 , ..., X n-1 : X n = bir n -1 : b n-1 .
n = 4. Cebirsel model:
X X :X 2 = bir 1 : b 1, X 2 :X 3= a 2 : b 2, X 3 : X 4 = bir 3: b 3 .
Yani, X 1: X 2 : x 3: X 4 = a 1 a 2 a 3 : b 1 a 2 a 3 : b 1 b 2 a 3 : b 1 b 2 b 3 .
nerede S = a 1 a 2 a 3 + b 1 a G a 3 + b 1 b 2 a 3 + b 1 b 2 b 3
Örnek.Üç şehrin 168.000 nüfusu var. Birinci ve ikinci şehirlerin sakinlerinin sayıları orantılıdır. , ve ikinci ve üçüncü şehirler - ile ilgili olarak . Her şehirde kaç kişi yaşıyor?
Çözüm.İstenen sakin sayısını sırasıyla şu şekilde gösterelim: X 1 , X 2 , X 3 . Daha sonra problem Şekil 9'da gösterildiği gibi kısaca yazılabilir.
Pirinç. 9
Sakinlerin sayısını belirlemek için, üç şehirdeki sakinlerin sayıları, yani istenen üç sayının toplamı ve ayrıca istenen sayılar arasındaki bireysel ilişkiler verilmiştir. Bu oranları bir dizi oran ile değiştirerek, eşit kısımlardaki üç şehrin sakinlerini ifade ediyoruz. İstenen sayıların her birine düşen parça sayısını bilerek, toplamlarındaki parça sayısını buluruz. Üç şehirdeki verilen toplam nüfus sayısından, yani istenen sayıların toplamından ve bu toplamın içerdiği kısım sayısından, bir kısmın değerini ve ardından istenen nüfusu buluyoruz.
Eylemlere ilişkin kararı açıklamalarla birlikte yazalım.
1. Kesirli sayıların oranını tam sayıların oranıyla değiştiriyoruz:
İkinci şehrin sakinlerinin sayısına 15 sayısı (3 ve 5 sayılarının en küçük ortak katı) atanır.
Ortaya çıkan ilişkiyi buna göre değiştirin:
X 1: X 2 \u003d 4: 3 \u003d (4-5): (3-5) \u003d 20: 15, x 2: x 3 \u003d 5: 7 \u003d (5-3): (7-3) \u003d 15: 21.
Bireysel ilişkilerden bir dizi ilişki kurarız:
X 1: X 2 : X 3 = 20: 15: 21.
2. 20 + 15 + 21 \u003d 56 (h) - pek çok eşit parça 168.000 sayısına karşılık gelir;
3. 168.000: 56 \u003d 3.000 (f.) - bir kısım için hesaplar;
4. 3.000 20 = 60.000 (kadın) - ilk şehirde;
5. 3.000 15 = 45.000 (kadın) - ikinci şehirde;
3.000 21 = 63.000 (kadın) - üçüncü şehirde.
Cevap: 60.000 nüfuslu; 45.000 nüfuslu; 63.000 nüfuslu.
4) Bir sayıyı iki, üç vb. sayı sıralarına göre parçalara bölme görevleri
Bu türdeki sorunlar, sayının ANCAK(bir miktarın değeri) parçalara bölünmelidir X 1, X 2 , X 3 ,..., X n iki, üç, ..., ile orantılı olarak N sayı sıraları.
Problemi çözmek için hantal formüller nedeniyle Genel görünümözel bir durum düşünelim ne zaman n = 3 ve N = 2.İzin vermek X 1 X 2 , X 3 sayılarla doğru orantılı a 1 , a 2 , a 3 ve sayılarla ters orantılı b 1 , b 2 , b 3 .
Cebirsel model:
(bu paragrafın 1. maddesine bakınız),
Örnek.İki işçi 1.800 ruble aldı. Biri 3 gün 8 saat, diğeri 6 gün 6 saat çalıştı 1 saatlik çalışma eşit olarak alınırsa her biri ne kadar kazandı?
Çözüm. Görevin bir özeti Şekil 10'da gösterilmektedir.
Pirinç.10
Her işçinin ne kadar aldığını öğrenmek için, 1 saatlik çalışma için kaç ruble ödendiğini ve her işçinin kaç saat çalıştığını bilmek gerekir. 1 saatlik çalışma için kaç ruble ödendiğini öğrenmek için, tüm çalışma için ne kadar ödediklerini (koşulda verilen) ve her iki işçinin birlikte kaç saat çalıştığını bilmeniz gerekir. Toplam çalışılan saat sayısını bulmak için, her birinin kaç saat çalıştığını bilmeniz gerekir ve bunun için her birinin kaç gün çalıştığını ve günde kaç saat çalıştığını bilmeniz gerekir. Bu bilgi koşula dahildir.
Eylemlere ilişkin kararı açıklamalarla birlikte yazalım:
8 3 \u003d 24 (h) - ilk çalışan işçi;
6 6 \u003d 36 (h) - ikinci işçi çalıştı;
24 + 36 = 60 (saat) - her iki işçi birlikte çalıştı;
1800: 60 = 30 (s.) - 1 saatlik çalışma için alınan işçiler;
30 24 \u003d 720 (s.) - kazanılan ilk işçi;
30 36 \u003d 1080 (s.) - kazanılan ikinci işçi. Cevap: 720 ruble; 1080 ruble
5) Birkaç sayı bulma görevlerioranlarına ve toplamına veya farkına göre (bazılarının toplamı veya farkı)
Örnek. Okul yönetimi, oyun alanı, sera ve spor salonunun donatılması için 49.000 ruble harcadı. Oyun alanının ekipmanı seraların yarısı kadar, seralar ise 3 kat daha ucuza mal oluyor. Spor salonu ve birlikte oyun alanı. Bu tesislerin her birini donatmak için ne kadar para harcandı?
Çözüm. Görevin bir özeti Şekil 11'de gösterilmektedir.
Pirinç. on birHer bir nesnenin ekipmanına harcanan para miktarını bulmak için, harcanan tüm paranın kaç parçasının her bir nesnenin ekipmanına harcandığını ve her parça tarafından kaç ruble hesaplandığını bilmek gerekir. Her nesnenin ekipmanına harcanan paranın parça sayısı, sorunun durumuna göre belirlenir. Her tesisin ekipmanı için parça sayısını ayrı ayrı belirledikten ve ardından toplamlarını bulduktan sonra, bir parçanın değerini (ruble cinsinden) hesaplıyoruz.
Eylemlere ilişkin kararı açıklamalarla birlikte yazalım.
Oyun alanı ekipmanlarına harcanan parayı 1 kısım olarak kabul ediyoruz. Duruma göre, seranın ekipmanına 2 kat daha fazla harcandı, yani 1 2 = 2 (saat); Oyun alanı ve spor salonunun ekipmanına seradan 3 kat daha fazla harcandı, yani 2 3 = 6 (saat), bu nedenle spor salonunun ekipmanına 6 - 1 = 5 (saat) harcandı.
Oyun alanı ekipmanlarına 1 kısım, seralar için 2 kısım, spor salonu için 5 kısım harcandı. Tüm tüketim 1 + 2 + + 5 = 8 (saat) idi.
8 kısım 49.000 ruble, bir kısım bu miktardan 8 kat daha az: 49.000: 8 \u003d 6.125 (r.). Sonuç olarak, oyun alanının ekipmanına 6.125 ruble harcandı.
Sera ekipmanına 2 kat daha fazla harcandı: 6 125 2 = 12 250 (r.).
Spor salonunun donanımına 5 parça harcandı: 6 125 5 = 30 625 (r.).
Cevap: 6 125 ruble; 12 250 ruble; 30 625 ruble
6) Bilinmeyenlerden birini ortadan kaldırmak için görevler
Bu grubun problemleri, iki tekrar eden faktörlü iki çarpım toplamının verildiği ve bu faktörlerin değerlerinin bulunması gereken problemleri içerir. cebirsel model
Cevap formüllerle verilir:
Bu görevler, veri ayarlama yöntemi, veri ayarlama yöntemi ve istenenler, veri değiştirme yöntemi ve ayrıca “tahmin” yöntemi ile çözülür.
Örnek. Bir konfeksiyon fabrikasında 24 kat 45 takım elbise için 204 m, 24 kat ve 30 takım elbise için 162 m kumaş kullanılmıştır.Bir takım elbise için ne kadar ve bir kat için ne kadar kumaş kullanılmıştır?
Çözüm. Problemi veri eşitleme yoluyla çözelim. Görevin kısa bir kaydı.
Metin problemlerini çözmeyi öğrenmek, matematiksel bilginin oluşumunda önemli bir rol oynar. Metin görevleri, öğrencilerin düşünmelerinin gelişimi için çok fazla alan sağlar. Problem çözme eğitimi sadece bazı tipik durumlarda doğru cevaplar alma tekniğini öğretmekle kalmaz, aynı zamanda çözümler bulmaya, zihinsel aktivitede deneyim kazanmaya ve öğrencilere çeşitli problemleri çözmede matematiğin olanaklarını göstermeye yönelik yaratıcı bir yaklaşım öğretir. Ancak, 5-6. sınıflarda kelime problemlerini çözerken, denklem en sık kullanılır. Ancak beşinci sınıf öğrencilerinin düşünceleri, denklemleri çözerken yapılan resmi işlemler için henüz hazır değildir. Aritmetik problem çözme yönteminin cebirsel olana göre bir takım avantajları vardır, çünkü eylemlerdeki her adımın sonucu daha net ve daha spesifiktir ve beşinci sınıf öğrencilerinin deneyiminin ötesine geçmez. Öğrenciler problemleri denklem kullanmaktansa eylemlerle daha iyi ve daha hızlı çözerler. Çocukların düşüncesi somuttur ve onu belirli nesneler ve nicelikler üzerinde geliştirmek, ardından yavaş yavaş soyut görüntülerle işlemeye geçmek gerekir.
Görev üzerinde çalışmak, her kelimenin anlamını anlayarak, durumun metninin dikkatli bir şekilde okunmasını içerir. Aritmetik olarak kolay ve basit bir şekilde çözülebilecek problemlere örnekler vereceğim.
Görev 1. Reçel yapmak için iki parça ahududu için üç parça şeker alınır. 2 kg 600 gr ahududu için kaç kg şeker alınmalıdır?
Bir problemi “parçalar” halinde çözerken, problemin durumunu görselleştirmeyi öğrenmelisiniz, yani. çizime güvenmek daha iyidir.
- 2600:2=1300 (g) - sıkışmanın bir kısmını oluşturur;
- 1300 * 3 = 3900 (g) - şeker almanız gerekiyor.
Görev 2.İlk rafta 3 kez durdu daha fazla kitap ikinciden daha. İki rafta birlikte 120 kitap vardı. Her rafta kaç kitap vardı?
1) 1+3=4 (parçalar) - tüm kitaplara düşer;
2) 120:4=30 (kitaplar) - bir kısım için hesaplar (ikinci raftaki kitaplar);
3) 30 * 3 = 90 (kitap) - ilk rafta durdu.
Görev 3. Sülünler ve tavşanlar bir kafeste oturuyor. Toplamda 27 kafa ve 74 bacak vardır. Kafesteki sülün sayısını ve tavşan sayısını bulun.
Sülünlerin ve tavşanların oturduğu kafesin kapağına havuç koyduğumuzu hayal edin. Sonra tüm tavşanlar ona ulaşmak için arka ayakları üzerinde duracaklar. O zamanlar:
- 27*2=54 (bacaklar) - yerde duracak;
- 74-54=20 (feet) - en üstte olacak;
- 20:2=10 (tavşanlar);
- 27-10=17 (sülün).
Görev 4. Sınıfımızda 30 öğrenci var. 23 kişi müze gezisine, 21 kişi sinemaya gitti ve 5 kişi ne geziye ne de sinemaya gitti. Hem tura hem de sinemaya kaç kişi gitti?
Durumu analiz etmek ve bir çözüm planı seçmek için “Euler çemberlerini” kullanabilirsiniz.
- 30-5=25 (kişi) - sinemaya veya tura gitti,
- 25-23=2 (kişi) - sadece sinemaya gitti;
- 21-2=19 (kişi) - sinemaya ve geziye gitti.
Görev 5.Üç ördek yavrusu ve dört tırtıl 2 kg 500 g, dört ördek yavrusu ve üç tırtıl 2 kg 400 g ağırlığındadır. Bir kaz yavrusu ne kadardır?
- 2500+2400=2900 (g) - yedi ördek yavrusu ve yedi kaz yavrusu ağırlığında;
- 4900:7=700 (g) - bir ördek yavrusu ve bir tırtılın ağırlığı;
- 700 * 3 \u003d 2100 (g) - ağırlık 3 ördek yavrusu ve 3 kaz yavrusu;
- 2500-2100 \u003d 400 (g) - tırtılın ağırlığı.
Görev 6.İçin çocuk Yuvası 20 piramit satın aldı: büyük ve küçük - her biri 7 ve 5 yüzük. Tüm piramitlerin 128 halkası vardır. Kaç tane büyük piramit vardı?
Tüm büyük piramitlerden iki halka çıkardığımızı hayal edin. O zamanlar:
1) 20*5=100 (yüzük) - sol;
2) 128-100-28 (halkalar) - çıkardık;
3) 28:2=14 (büyük piramitler).
Görev 7. 20 kg ağırlığındaki bir karpuz %99 su içeriyordu. Biraz küçüldüğünde su içeriği %98'e düştü. Karpuzun kütlesini belirleyin.
Kolaylık sağlamak için, çözüme bir dikdörtgen çizimi eşlik edecektir.
%99 su | %1 kuru madde |
%98 su | %2 kuru madde |
Bu durumda, karpuzdaki "kuru madde" kütlesi değişmeden kaldığı için "kuru madde" dikdörtgenlerinin eşit olarak çizilmesi istenir.
1) 20:100=0.2 (kg) – “kuru madde” kütlesi;
2) 0.2:2=0.1 (kg) - kurutulmuş karpuzun %1'ini oluşturur;
3) 0.1 * 100 \u003d 10 (kg) - karpuz kütlesi.
Görev 8. Konuklar sordu: Üç kız kardeşin her biri kaç yaşındaydı? Vera, kendisinin ve Nadia'nın 28 yıldır birlikte olduklarını, Nadia ve Lyuba'nın 23 yıldır birlikte olduklarını ve üçünün de 38 yaşında olduğunu söyledi. Her kız kardeş kaç yaşında?
- 38-28=10 (yıl) - Luba;
- 23-10=13 (yıl) - Nadia;
- 28-13=15 (yıl) - Vera.
Metin problemlerini çözmenin aritmetik yöntemi, çocuğa bilinçli, mantıksal olarak doğru hareket etmeyi öğretir, çünkü bu şekilde çözerken “neden” sorusuna dikkat artar ve büyük bir gelişim potansiyeli vardır. Bu, öğrencilerin gelişimine, problem çözmeye ve matematik bilimine olan ilgilerinin oluşumuna katkıda bulunur.
Öğrenmeyi mümkün, heyecanlı ve öğretici kılmak için, metin problemlerinin seçiminde çok dikkatli olunmalı, bunları çözmenin çeşitli yollarını düşünmeli, en iyilerini seçmeli, gelecekte geometrik problemleri çözerken gerekli olan mantıksal düşünmeyi geliştirmelidir.
Öğrenciler problem çözmeyi ancak çözerek öğrenebilirler. D. Poya, “Mathematical Discovery” kitabında “Yüzmeyi öğrenmek istiyorsanız, cesaretle suya girin ve problemleri nasıl çözeceğinizi öğrenmek istiyorsanız, onları çözün” diye yazıyor.
Deneyimin genelleştirilmesi.
Okul matematik dersinde metin görevleri.
Problem çözmenin aritmetik yolları.
Soldatova Svetlana Anatolievna
birinci kategori matematik öğretmeni
MOU Uglich Fizik ve Matematik Lisesi
2017
"... matematik öğretimini hayatla ilişkilendirmeye çalışırken, bizim için kelime problemleri olmadan yapmamız zor olacak - yerli metodoloji için matematik öğretmenin geleneksel bir yolu."
AV Şevkin
"Görev" terimi ile günlük hayatımızda her zaman karşılaşırız. Her birimiz, görev dediğimiz belirli sorunları çözeriz. Kelimenin geniş anlamıylaGörev, bir kişinin araştırma ve karar vermesini gerektiren bir durumdur. .
Nesnelerin matematiksel olduğu görevler (teoremleri kanıtlama, hesaplama alıştırmaları, çalışılan matematiksel kavramın özellikleri ve işaretleri, geometrik şekil) genellikle denir.Matematik problemleri . Gerçek bir nesne olan en az bir nesnenin olduğu matematiksel problemlere genellikle denir.Metin. İlköğretim matematikte kelime problemlerinin rolü büyüktür.
Metin problemlerini çözerek, öğrenciler yeni matematiksel bilgiler edinir, pratik etkinliklere hazırlanır. Görevler, mantıksal düşünmelerinin gelişimine katkıda bulunur.
Metin problemlerini çözmek için çeşitli yöntemler vardır: aritmetik, cebirsel, geometrik, mantıksal, pratik, vb. Her yöntem çeşitli matematiksel modellere dayanır. Örneğin, ne zamancebirsel yöntem problemin çözümü, denklemler veya eşitsizlikler ile derlenir.geometrik - çizelgeler veya grafikler oluşturulur. sorunun çözümümantıklı Yöntem, algoritmanın derlenmesiyle başlar.
Seçilen yöntem çerçevesinde hemen hemen her sorunun çeşitli modeller kullanılarak çözülebileceği unutulmamalıdır. Böylece, cebirsel yöntemi kullanarak, aynı problemin ihtiyacına cevap, tamamen farklı denklemleri derleyip çözerek, mantıksal yöntemi kullanarak - farklı algoritmalar kurarak elde edilebilir. Bu durumlarda, benim adlandırdığım belirli bir sorunu çözmek için çeşitli yöntemlerle uğraştığımız açıktır.çözümler.
Görevi çözmek için aritmetik yöntem - sayılar üzerinde aritmetik işlemler yaparak problemin ihtiyacına cevap bulmak demektir. Birçok durumda bir ve aynı problem farklı aritmetik yöntemlerle çözülebilir. Bir problemin çözümleri, veriler ile çözümlerin altında yatan istenenler arasındaki bağlantılarda veya bu bağlantıların sıralamasında farklılık gösteriyorsa, farklı şekillerde çözüldüğü kabul edilir.
Geleneksel Rus okul matematik öğretiminde, kelime problemleri her zaman meşgul olmuştur. özel mekan. Bir yandan tüm uygar devletlerde öğrenme sürecinde metin görevlerini kullanma pratiği, Eski Babil'in kil tabletlerinden ve diğer eski yazılı kaynaklardan gelir, yani ilgili kökleri vardır. Öte yandan, Rusya için tipik olan öğretmenlerin metin görevlerine yakın ilgisi neredeyse tamamen Rus bir fenomendir.
Sorunlara büyük ilgi gösterilmesinin nedenlerinden biri, tarihsel olarak uzun süredir çocuklara aritmetik öğretme amacının, pratik hesaplamalarla ilgili belirli bir dizi hesaplama becerisinde ustalaşmak olmasıdır. Aynı zamanda, aritmetiğin ana çizgisi - sayılar çizgisi - henüz geliştirilmemiştir ve hesaplamalar görevler aracılığıyla öğretilmiştir.
Rusya'da kelime problemlerinin kullanımına artan ilginin ikinci nedeni, Rusya'da sadece benimseyip geliştirmemeleridir. eski moda yol metin problemlerinin yardımıyla matematiksel bilgi ve muhakeme tekniklerini aktarır, aynı zamanda metin analizi ile ilgili önemli genel eğitim becerileri oluşturmayı, bir problemin ve bir sorunun koşullarını vurgulamayı, bir çözüm planı hazırlamayı, bir soru oluşturmayı ve koşulları aramayı öğrenir. sonucu kontrol ederek buna bir cevap alabilirsiniz.
50'lerin ortalarındaXXiçinde. metin görevleri iyi sistematik hale getirildi,Parçalar için görevler, toplamları ve farkları, oranları ve toplamları (farkları) ile iki sayı bulmak için, kesirler için, yüzdeler için, ortak çalışma için, çözeltiler ve alaşımlar için, doğrudan ve ters orantılılık vb.
Bu zamana kadar, eğitim sürecinde uygulama metodolojisi iyi gelişmişti, ancak 60'ların sonlarında matematik eğitimi reformu sırasında onlara karşı tutum değişti. Okul dersleri sisteminde aritmetiğin rolünü ve yerini gözden geçirerek, denklemlerin ve fonksiyonların daha önce tanıtılması yoluyla matematiğin bilimsel sunumunu artırmaya çalışan matematikçiler ve metodolojist-matematikçiler, problem çözmek için aritmetik yöntemleri öğretmek için çok fazla zaman harcandığını düşündüler. .
Ancak çocuğu cebirde ustalaşmaya hazırlayan şey, kelime problemleri ve onları çözmek için aritmetik yöntemlerdir. Ve bu olduğunda, cebir bazı (ama hepsini değil!) Problemleri çözmenin aritmetik yollarından daha basitini öğretecektir. Diğer aritmetik çözümler öğrencinin aktif bagajında kalacaktır. Örneğin, bir öğrenciye bu oranda bir sayıyı bölmeyi öğrettiyse, lisede bile 15 sayısını bir denklem kullanarak 2: 3 oranında bölmez, aritmetik işlemler yapar:
1) ,
2) ,
3) 15 – 6 = 9.
Yukarıdaki reforma katılan tam olarak o nesil okul çocuklarının bir temsilcisi olduğumu belirtmek isterim. 1968'de okula gittim ve birinci sınıf ders kitabımın adı Aritmetikti. Görünüşe göre bundan en son öğrenen bizlermişiz. İkinci sınıfta, birinci sınıftaki kız arkadaşlarımın konusunun ve buna bağlı olarak ders kitabının “matematik” olarak adlandırılması benim için şaşırtıcı ve olağandışıydı. Üçüncü sınıfta zaten "matematik" okuduk. Orta bağlantıda ve buna bağlı olarak son sınıflarda, metin problemlerini çözmenin ana yolu cebirseldi. 60'ların sonundaki reformun etkisini bu güne kadar hissediyorum, çünkü. katılan ebeveynler Eğitim süreciÇocuklar, belirli bir klişe geliştirdikleri için, problemlerin denklemler yardımıyla çözülmesi gerektiğine dair bir fikir oluştu. Anneler ve babalar, diğer yöntemleri bilmeden, ısrarla evde kendi yollarıyla açıklamaya çalışırlar, bu her zaman faydalı değildir, hatta bazen sadece öğretmenin işini zorlaştırır.
Hiçbir durumda, evrensel olan ve bazen daha karmaşık problemleri çözmede tek olan cebirsel problem çözme yönteminin değeri küçümsenmemelidir. Ek olarak, genellikle eylemlerle çözmenin bir yolunu bulmak için bir ipucu veren denklemdir. Ancak uygulama, eğitimde daha fazla kullanım açısından, bu umut verici erken uygulamanın, yeterli hazırlık olmadan problem çözme yönteminin etkisiz olduğunu göstermiştir.
5-6. sınıflarda, metin problemlerini çözmenin aritmetik yöntemine azami dikkat gösterilmeli ve denklem kullanarak problem çözmeye geçmek için acele edilmemelidir. Bir öğrenci cebirsel yolu bir kez öğrendiğinde, onu "eylemle karara" geri döndürmek neredeyse imkansızdır. Bir denklem derledikten sonra, ana şey, hesaplama hatasını önlemek için onu doğru bir şekilde çözmektir. Ve kesinlikle çözme sürecinde hangi aritmetik işlemlerin yapıldığını, her bir eylemin sonucunun ne olduğunu düşünmeye gerek yoktur. Ve eğer denklemin çözümünü adım adım izlersek, aritmetik yöntemle aynı eylemleri göreceğiz.
Çok sık olarak, soyut bir değişken tanıtıldığında ve "let x ..." ifadesi göründüğünde, çocuğun sorunu cebirsel bir şekilde çözmeye hazır olmadığını görebilirsiniz. Bu "X" nereden geldi, yanına hangi kelimeler yazılmalı - bu aşamada öğrenci için net değil. Ve bu, bu yaştaki çocukların görsel-figüratif düşünme geliştirmiş olmaları nedeniyle olur. Ve denklem soyut bir modeldir. Evet ve beşinci sınıfın altıncı sınıfın başındaki çocuklarda denklemleri çözmek için hiçbir araç yoktur. Tarihsel olarak, insanlar “parça”, “yığın” vb. kavramlarla çalışmak zorunda oldukları problemlerin çözümlerini genelleştirerek denklemleri kullanmaya başladılar. Çocuk da aynı yoldan gitmeli!
Başarılı bir çalışma için, öğretmenin metin problemini, yapısını derinlemesine anlaması ve bu tür problemleri çeşitli şekillerde çözebilmesi önemlidir.
Yıllar önce elimde 5-8. sınıflardaki öğretmenler için uzun süredir yayınlanmış bir el kitabı vardı. modern okul- 5-9 sınıf) "Moskova Matematik Olimpiyatları Koleksiyonu (çözümlerle)" 1967, yazarı Galina Ivanovna Zubelevich. İçindeki problemlerin büyük çoğunluğu aritmetik olarak çözülüyor, ki bu beni çok ilgilendiriyor. Daha sonra, A.V.'nin "Aritmetik, 6" ve "Aritmetik, 6" adlı iki ders kitabı dikkatimi çekti. Shevkin ve aynı yazar tarafından "5-6. sınıflarda metin problemi çözme öğretimi" öğretmen kılavuzu. Bu kaynaklar, bu konudaki çalışmamın başlangıcıydı. Önerilen fikirler, belirtilen konuyu anlamamla çok alakalı ve uyumlu görünüyordu, yani:
1) öğrenmenin erken bir aşamasında denklemlerin kullanımını terk etmek ve problemleri çözmek için aritmetik yöntemlerin daha geniş kullanımına geri dönmek;
2) "tarihsel" sorunların ve bunları çözmenin eski yollarının daha geniş kullanımı;
3) öğrencilere verilen görevlerin kaotik bir teklifinin reddedilmesi farklı konular ve tüm öğrencilerin erişebileceği en basitten karmaşık ve çok karmaşık olana kadar bir görevler zincirinin dikkate alınması.
Çözüm yöntemine göre sözel problem türleri.
Metin görevleri koşullu olarak aritmetik ve cebirsel olarak ayrılabilir. Bu ayrım, belirli bir problem için daha karakteristik (rasyonel) olan bir çözüm yönteminin seçilmesinden kaynaklanmaktadır.
Aritmetik problemler, okul çocuklarına bağımsız düşünmeyi öğretmek, bariz olmayan yaşam durumlarını analiz etmek için büyük fırsatları gizler. Aritmetik, doğayı anlamanın en kısa yoludur, çünkü en basit, en temel, deneysel gerçeklerle ilgilenir (örneğin,
"sıralara göre" ve "sütunlara göre" taşlar her zaman bir
sonuç):
5+5+5 = 3+3+3+3+3.
Bazı görev türlerini ele alalım.
“Aynı miktara iki derece mal alındı, birinci derece ikinci derecenin yarısı kadardır. Karışımın yarısını karıştırıp en yüksek, kalanı en düşük fiyattan sattılar. Satıştan elde edilen kâr veya zararın yüzde kaçı?
Bu, özünde, keyfi ölçü birimlerinin tanıtılmasıyla çözülen tipik bir sorundur. Ancak bu durumda bile çözüm için gerekli olan bilinmeyen niceliklerin çalışması burada açıkça ifade edilmiştir.cebirsel karakter. Bununla birlikte, çoğu zaman, aksine, aritmetik çözüm yolunun cebirsel olandan çok daha basit olduğu problemler vardır. Bu iki nedene bağlı olabilir. Bazı durumlarda, bilinenden bilinmeyene geçiş o kadar basittir ki, denklemlerin formülasyonu (bilinmeyenden bilinene geçiş) çözüm sürecini yavaşlatan gereksiz hantallık getirir. Örneğin, aşağıdaki görev şöyledir:
“Bir keresinde Şeytan, aylaklara para kazanmayı teklif etti. "Bu köprüyü geçer geçmez," dedi, para ikiye katlanacak. İstediğin kadar geçebilirsin ama her geçişten sonra bana bunun için 24 kopek ver. Loafer kabul etti ve ... üçüncü geçişten sonra beş parasız kaldı. İlk başta ne kadar parası vardı?
İkincisi, koşulun paradoksal formülasyonu nedeniyle ilginç olan klasik bir problemdir. "Sentetik" çözümün aşamaları, önceki problemde olduğu gibi, açıklanan olayların seyrinin tersi sırayla ortaya çıkar.
“Yumurta tüccarı ilk alıcıya sepetindeki toplam yumurta sayısının yarısını ve diğer yarısını da sattı; ikinci alıcı - kalanın yarısı ve başka bir yarım yumurta, üçüncü - kalanın yarısı ve başka bir yarım yumurta, bundan sonra hiçbir şeyi kalmadı. Başlangıçta sepette kaç yumurta vardı?
Diğer durumlarda, bir denklemin formülasyonu, hedefe ulaşmak için kendi başına yeterli olan bir tür akıl yürütmeyi gerektirir. Bunlar kelimenin tam anlamıyla aritmetik problemlerdir: cebirsel çözümleri daha kolay değil, daha zordur ve genellikle ekstra bilinmeyenlerin eklenmesiyle ilişkilendirilir, bunlar daha sonra dışlanması gerekir, vb.
Yani, örneğin, problemdeTanya dedi ki: Kız kardeşimden 3 erkek kardeşim daha var. Tanya'nın ailesinde kız kardeşlerden daha fazla erkek kardeş var mı? x'e kadar olan erkek kardeşlerin sayısını, y'ye kadar olan kız kardeşlerin sayısını belirtin, o zaman denklem x − (y − 1) = 3 olacaktır, ancak zaten y−1 yazmamız gerektiğini tahmin ettiysek (kız kardeş düşünmedi kendisi), o zaman zaten 3 erkek kardeş değil, sadece 2 kız kardeşten daha fazla olduğu açıktır.
Birkaç örnek daha alalım.
"Ben akıntıya karşı kürek çekiyordum ve bir köprünün altından geçerken şapkamı kaybettim. 10 dakika sonra bunu fark ettim ve aynı kuvvetle dönerek ve kürek çekerken köprünün 1 km altında şapkayı yakaladım. Nehrin akış hızı nedir?
Çözüm: 1 (60:(10+10))=3(km/sa)
“İstasyona geldiğimde genellikle benim için bir araba gönderdiler. Bir saat önce geldiğimde yürüyerek gittim ve benim için gönderilen arabayı karşılayarak, her zamankinden 10 dakika önce onunla birlikte yere vardım. Araba benim yürüdüğümden kaç kez daha hızlı gidiyor?
Eylemlerle bu sorunun çözümünü düşünün:
1) 10:2=5 (dk) - arabanın buluşma noktasından istasyona zamanında varması için kalan süre.
2) 60-5=55 (dk) - Yayanın aynı mesafe için harcadığı süre.
3) 55:5=11(kez) araba daha hızlı gidiyor.
"Bir teknede akıntıya karşı belirli bir mesafe yüzmek, akıntıya karşı olduğundan üç kat daha az zaman alır. Teknenin hızı, akıntının hızından kaç kat fazladır?
Bu problemde, zaman zaman mesafeye gitmek için tahmin etmeniz gerekiyor.
Bunlar çok iyi aritmetik problemlerdir: ezberlenmiş biçimsel kalıplara göre eylemleri değil, ilgili özel durumun net bir şekilde anlaşılmasını gerektirirler.
İşte çözümü için herhangi bir “eylem” gerçekleştirmenin gerekli olmadığı başka bir aritmetik problem örneği:
« Hain biri, bir şişe katrandan bir kaşık katranı bir kavanoz balın içine döktü. İyice karıştırdım ve aynı kaşık dolusu karışımı bir kavanozdan katranlı bir şişeye döktüm. Sonra tekrar yaptı. Daha fazla ne çıktı: bir kavanoz bal içinde katranlı veya katranlı bir şişede bal? »
Sorunu çözmek için kendinize şu soruyu sormanız yeterlidir: katran, bal ile yer değiştiren şişeden nereye gitti?
Bu cebir değildir, benzer terimlerin indirgenmesi değildir ve "zıt işaretli bir kısımdan diğerine aktarım" değildir. Bu tam olarak hayali ile ilişkili bir mantık türüdür, ancak geliştirilmesi ve iyileştirilmesi aritmetiğin doğrudan görevlerine dahil olan incelenen miktarlar alanında oldukça gerçek bir öneme sahiptir.
Aritmetik ve cebirsel problemler arasındaki ayrımlar, sanki "birkaç tane" ve "bir demet" arasında bir çizgi çizilememesi gibi, değerlendirmede aynı fikirde olmayan niceliksel işaretlere bağlı oldukları için biraz bulanıktır. taneler".
Metin problemlerinin türleri ve bunların nasıl çözüleceği üzerinde daha ayrıntılı olarak duralım. Birçoğunun denklemler yardımıyla çözme eğiliminde olduğu ve aynı zamanda eylemler için basit ve bazen çok güzel çözümlere sahip olduğu sorunları düşünün.
1. Görevleri çoklu oranlarına ve toplamlarına veya farklılıklarına ("parçalara") göre bulma.
Bu tür problemlerle tanışma, parçalardan saf haliyle bahsettiğimiz yerlerle başlamalıdır. Bunları çözerken, oranlarına ve toplamına (farkına) göre iki sayı bulma problemlerini çözmek için bir temel oluşturulur. Öğrenciler, 1 kısım için uygun bir değer almayı öğrenmeli, bu tür kaç parçanın başka bir değere düştüğünü, toplamlarını (farkını) belirlemelidir.
a) Reçel için 2 ölçü çilek için 3 ölçü şeker alınır. 3 kg çilek için ne kadar şeker alınmalı?
b) 2700 gr kuru meyve satın aldı. Elmalar 4 kısım, armutlar - 3 kısım, erikler - 2 kısımdır. Elma, armut ve erik ayrı ayrı kaç gramdır?
c) Kız, bıraktığından 3 kat daha az sayfa okudu. 42 sayfa daha az okursa kitap kaç sayfa olur?
Bu sorunun çözümüne bir çizimle başlamanız önerilir:
1) - 42 sayfa için hesap.
2) - 1 kısım veya kızın okuduğu çok fazla sayfa.
3) - kitapta.
Gelecekte, öğrenciler daha karmaşık problemleri çözebilecekler.
c) S.A.'nın görevi Rachinsky. Moskova'da, kırsalda ve yolda bir yıl geçirdim - ve ayrıca Moskova'da yoldan 8 kat daha fazla ve kırsalda Moskova'dan 8 kat daha fazla zaman geçirdim. Yolda, Moskova'da ve kırsalda kaç gün geçirdim?
d) Öğrenciler devlet çiftliğinde hasat yaparken salatalıktan 2 kat, patatesten 3 kat daha az domates hasat etmişlerdir. Patatesler domateslerden 200 kg fazla toplandığında öğrenciler kaç tane sebzeyi ayrı toplamıştır?
e) Dede torunlarına der ki: “İşte size 130 fındık. Bunları 2 parçaya bölün, böylece 4 kat artan küçük parça, 3 kat azaltılmış daha büyük parçaya eşit olur.
f) İki sayının toplamı 37.75'tir. İlk terim 5 kat, ikinci terim 3 kat artırılırsa, yeni toplam 154,25'e eşit olacaktır. Bu sayıları bulun.
Bu açıdan bir sayının bölünmesi ile ilgili görevler bu türe aittir.
2. İki sayıyı toplamları ve farklarıyla bulma.
a) İki pakette 50 defter, ilk pakette 8 defter daha var. Her pakette kaç defter var?
Bu tür problemleri çözmeye her zaman bir çizimle başlarım. Sonra değerleri eşitlemeyi öneriyorum. Adamlar iki yol sunuyor: ilk paketten çıkarın veya ikincisine ekleyin. Böylece ana iki yol belirlenir: ikiye katlanmış daha küçük bir sayı veya ikiye katlanmış daha büyük bir sayı.
Bu yöntemler üzerinde çalışıldığında, bu tür sorunları çözmenin "eski" yolunu göstermek uygundur. "Not defteri yığınları, toplam defter sayısı değişmeden nasıl eşitlenebilir?" sorusundan sonra. öğrenciler bunu nasıl yapacaklarını tahmin ederler ve şu sonuca varırlar: daha küçük bir sayı bulmak için, yarım farkı yarım toplamdan çıkarmanız ve daha büyük bir sayı bulmak için yarım farkı yarım toplama eklemeniz gerekir. . Güçlü öğrenenler, değişmez ifadeleri dönüştürerek bunu haklı çıkarabilirler:
,
kullanma Bu method Aşağıdaki görev tek adımda çözülür:
b) İki sayının aritmetik ortalaması 3'tür ve yarı farkları 1'dir. Küçük sayının değeri nedir?
– daha küçük sayı.
Ayar yöntemi problemde de geçerlidir:
c) 8 buzağı ve 5 koyun 835 kg yem yemiştir. Bu süre zarfında her buzağıya bir koyundan 28 kg daha fazla yem verildi. Her buzağı ve koyun ne kadar yem yedi?
3. "Varsayım" ile ilgili görevler.
Bu tür görevler, nesneler ve miktarlarla amaçlanan eylemlerle ilişkilendirilir. Geleneksel metodolojide, bu tür problemlerin en ünlü problemler için başka isimleri de vardı: “mavi ve kırmızı kumaş”, “ΙΙ türünün karıştırılması”. "Tahmin" problemleri arasında en meşhurunun eski Çin problemi olduğunu düşünüyorum.
a) Sülünler ve tavşanlar bir kafeste oturuyorlar. 35 başları ve 94 bacakları olduğu bilinmektedir. Sülün sayısını ve tavşan sayısını öğrenin.
Kafeste sadece sülünlerin oturduğunu hayal edin. Kaç tane bacakları var?
Neden daha az bacak var? (Bütün sülünler değil, aralarında tavşanlar da var). Daha kaç bacak?
Bir sülün yerine tavşan konursa bacak sayısı ne kadar artar? (2'de)
Tüm tavşanları hayal ederek başka bir yol seçebilirsiniz.
Matematik metodolojisinin eski ustaları tarafından verilen ve çocuklarda büyük ilgi uyandıran bir başka akıl yürütme çok ilginçtir.
-Sülünlerin ve tavşanların oturduğu kafesin üstüne bir havuç koyduğumuzu hayal edin. Tüm tavşanlar havuca ulaşmak için arka ayakları üzerinde duracaktır. Şu anda yerde kaç ayak olacak?
2 35= 70(n.)
- Ama problem durumunda 94 ayak verilmiş, diğerleri nerede?
- Gerisi sayılmaz - bunlar tavşanların ön pençeleridir.
- Onlardan kaçı?
94 - 70 \u003d 24 (n.)
- Kaç tavşan?
24:2
= 12
Ve sülünler?
35
– 12 = 23
Akıl yürütme algoritmasına hakim olan çocuklar, aşağıdaki sorunları kolayca çözer:
b) Toplam maliyeti 540 ruble olan iki çeşit 135 kilo çay. Birinci sınıfın bir poundu 5 rubleye ve ikinci sınıfın bir poundu 3 rubleye mal olursa, her iki sınıftan kaç pound ayrı ayrı alındı?
c) 94 ruble için. 35 arşın mavi ve kırmızı kumaş aldı. Mavi kumaştan bir arşin için 2 ruble ve kırmızı kumaştan bir arşin için 4 ruble ödediler. Her iki bezden ayrı ayrı kaç arşın aldınız?
d) Sahibi, yaşlı ve genç 112 koyun aldı ve 49 ruble ödedi. 20 Altın. Yaşlı bir koç için 15 altyn ve 4 polushka ve genç bir koç için 10 altyn ödedi. Kaç tane ve hangi ramler satın alındı? Altyn - 3 kopek, yarım - çeyrek kopek.
I.V.'nin makalesindeki sorun Arnold "Aritmetik problemlerin seçimi ve derlenmesi için ilkeler" (1946) arabalar hakkında:
e)“İstasyonun yanından geçerken, istasyonda duran 31 vagonluk bir yük treni fark ettim ve bir yağlayıcı ile bir bağlayıcı arasında bir konuşma duydum. İlki şöyle dedi: "Toplamda 105 dingilin kontrol edilmesi gerekiyordu." İkincisi, bileşimde birçok dört dingilli araba olduğunu fark etti - iki dingilli olanlardan üç kat daha fazla, gerisi üç dingilli olanlar. Bir sonraki aşamada, hiçbir şey yapmadan bu trende kaç araba olduğunu hesaplamak istedim. Nasıl yapılır?"
Aritmetik bir çözüm, cebirsel bir çözümden daha basittir ve iki dingilli ve dört dingilli arabaların (nicel olarak) belirli gruplara (her biri 4 araba) dahil edildiği konusunda net bir fikir gerektirir. Tüm vagonların üç dingilli olanlarla hayali “değiştirilmesi”, öğrenciler için yaygın ve zaten iyi bilinen bir tekniktir.
Bir yardım olabilirgrafik doğrusal görev koşullarının gösterilmesi.
4. Hareket için görevler.
Bu görevler geleneksel olarak zordur. Öğrenciler, yaklaşma hızı ve uzaklaştırma hızı gibi iyi biçimlendirilmiş kavramlara sahip olmalıdır. Öğrenciler bu tür problemleri bir denklem kullanarak nasıl çözeceklerini öğrendiklerinde, cevaba ulaşmaları çok daha kolay olacaktır. Ama daha kolay daha iyi anlamına gelmez. Yıllar önce, matematikte oldukça güçlü olan öğrencilerimden biri, hevesle aritmetik yol Problemi çözmek, tüm sınıfın bir denklem yardımıyla çözdüğü bir zamanda. Benim için çok anlaşılır olan sözlerini iyi hatırladım: "Denklemle ilgilenmiyorum."
Birkaç problemin şartlarını ve çözümünü vereceğim.
a) Eski bir problem. İki tren aynı anda Moskova'dan Tver'e gitti. Birincisi 39 verstte geçti ve Tver'e 26 verstte geçen ikinciden iki saat önce geldi. Moskova'dan Tver'e kaç mil var?
Çözüm:
1) ikinci tren çok gerideydi.
2) - kaldırma oranı.
3) ilk tren yoldaydı.
4) Moskova ile Tver arasındaki mesafe.
b) Moskova'dan aynı yönde aynı anda iki uçak havalandı: biri 350 km/s, diğeri 280 km/s hızla. İki saat sonra, ilki hızı 230 km/saate indirdi. Moskova'dan hangi mesafede ikinci uçak birinciyi geçecek?
Çözüm:
1) kaldırma hızı.
2) - ikinci uçak çok geride.
3) yaklaşma hızı.
4) ikinci uçağın birinciyi yakalaması ne kadar sürer.
5) (km) - Moskova'ya bu mesafede, ikinci uçak birinciyi yakalayacak.
c) Arası 560 km olan iki şehirden iki araba birbirine doğru hareket ederek 4 saat sonra karşılaştı. Birinci arabanın hızı %15 azaltılırsa ve ikinci arabanın hızı %20 arttırılırsa toplantı da 4 saat sonra gerçekleşecektir.Her arabanın hızını bulunuz.
Çözüm:
İlk arabanın %100 veya 1 hızı olarak kabul edelim.
1) yaklaşma hızı.
2) - birincinin hızından ikincinin hızıdır.
3) yaklaşma hızı ile ilgilidir.
4) ilk arabanın hızı.
5) ikinci araba hızı.
d) Tren bir telgraf direğini çeyrek dakikada, 0,7 km uzunluğundaki bir köprüyü 50 saniyede geçmektedir. Trenin ortalama hızını ve uzunluğunu hesaplayın.
Çözüm: Bu problemi çözerken öğrenciler şunu anlamalı, köprüyü geçmek - yolu geçmek, uzunluğa eşit köprü ve trenin uzunluğu, telgraf direğini geçin - trenin uzunluğuna eşit yoldan gidin.
1) tren, köprünün uzunluğuna eşit bir mesafe kat eder.
2) trenin hızıdır.
3) tren uzunluğu.
e) İki iskele arasındaki geçiş, bir tekneden 40 dakika daha fazla bir vapur gerektirir. Teknenin hızı 40 km/h ve vapurun hızı 30 km/s'dir. Marinalar arasındaki mesafeyi bulun.
Çözüm: 40 dakika s
1) gemi gecikmesi.
2) - kaldırma oranı
2) - Yolda bir tekne vardı.
3) iskeleler arasındaki mesafe.
Bunlar, çok çeşitli hareket görevlerinden sadece birkaçı. Onların örneğini kullanarak, öğrencilerde onları çözme yeteneği oluşmadan denklemler olmadan nasıl yapabileceğinizi göstermek istedim. Doğal olarak, bu tür görevler güçlü öğrencilerin gücü dahilindedir, ancak bu onların matematiksel gelişimi için büyük bir fırsattır.
5. "Havuzlar" için görevler.
Bu, çocuklarda hem ilgi hem de zorluk yaratan başka bir görev türüdür. Ortak çalışma görevleri olarak da adlandırılabilir ve bazı hareket görevleri onlar için de geçerlidir.
Bu türün adı, çok iyi bilinen eski bir problem tarafından verilmiştir:
a) Atina şehrinde, içine 3 borunun döşendiği bir su kütlesi vardı. Borulardan biri havuzu saat 1'de, diğeri daha ince, saat 2'de, üçüncü hatta daha ince olan saat 3'te doldurabilir. Öyleyse, bir saatin hangi bölümünde üç borunun birlikte havuzu dolduracağını öğrenin?
Çözüm:
1) (v./h) - ΙΙ boru hattından doldurma hızı.
2) (v./h) - ΙΙΙ borusundan doldurma hızı.
3) (v./h) - toplam hız.
4) (h) - 3 boru hazneyi dolduracaktır.
Çocuklara başka bir ilginç çözüm sunabilirsiniz:
6 saatte 6 rezervuar Ι borusundan, 3 rezervuar ΙΙ borusundan, 2 rezervuar ΙΙΙ borusundan doldurulur. 6 saatte tüm borular sırasıyla 11 rezervuarı dolduracak, bir rezervuarı doldurmak için gerekli olacak h.
Aşağıdaki sorunun benzer bir çözümü var:
b) Aslan koyunu bir saatte, kurt koyunu iki saatte, köpek koyunu üç saatte yedi. Ne kadar çabuk olursa olsun, üçü de - bir aslan, bir kurt ve bir köpek - o koyunu yedi, sayın. (17. yüzyılın matematiksel el yazmaları).
c) Bir adam bir bardak içkiyi 14 günde, karısıyla aynı bardaktan 10 günde içecek ve bilse de, karısının özellikle aynı bardağı kaç günde içeceği var. (Magnitsky'nin Aritmetiğinden)
Çözüm:
1) (h) - birlikte bir gün iç.
) (h) - koca bir gün içer.
3) (h) - karısı bir gün içer.
4) (d.) - karısının bir bardak içki içmesi gerekecek.
d) Eski bir sorun. Bir yaban ördeği 7 gün boyunca Güney Denizi'nden Kuzey Denizi'ne uçar. Yabani kaz 9 gün boyunca kuzey denizinden güney denizlerine uçar. Artık yaban ördeği ve yaban kazı aynı anda uçuyor. Kaç gün sonra buluşacaklar? (benzer çözüm)
e) İki yaya, A ve B noktalarından aynı anda birbirlerine doğru ayrıldı. Ayrıldıktan 40 dakika sonra buluştular ve toplantıdan 32 dakika sonra ilki B'ye geldi. İkincisi B'den ayrıldıktan kaç saat sonra A'ya geldi?
Çözüm:
1) (yol / dak) - yaklaşma hızı.
) (yollar / dak) - ilk yayanın hızı.
3) (yollar / dak) - ikinci yayanın hızı.
4) (dk) – yolda ikinci bir yaya vardı.
90 dakika1.5 saat
f) Nizhny Novgorod'dan Astrakhan'a giden gemi 5 gün ve 7 gün geri döner. Nizhny Novgorod'dan Astrakhan'a sallar kaç gün sürecek?
Çözüm:
1) (yol / gün) - aşağı yönde hız.
) (yol / gün) - akıma karşı hız.
3) (yol / gün) - akımın iki katı hızı. Sorun ilk olarak Genel Aritmetik'te yayınlandı.I. Newton, ama o zamandan beri alaka düzeyini kaybetmedi ve birbir denklem kurarak çözülebilse de, çok daha güzel olan güzel aritmetik problemlerden biri - bunu sıralı akıl yürütme yardımıyla yapmak. Lise öğrencilerinin bunun üzerine nasıl kafa karıştırdığını, birkaç değişkeni tanıttığını ve aynı zamanda beşinci sınıf öğrencilerinin bir çözüm fikri ile yönlendirilirlerse çözümü nasıl kolayca bulduklarını izlemek zorunda kaldım.
Çayırdaki çimen eşit kalınlıkta ve hızlı büyür. 70 ineğin 24 günde tüm otları, 30 ineğin ise 60 günde yediği bilinmektedir. Çayırdaki bütün otları 96 günde kaç inek yiyecek?
Bu yazıda örnekler verilmiş ve çok sayıdaki kelime problemlerinin sadece bir kısmı analiz edilmiştir.
Sonuç olarak, sorunları çözmenin çeşitli yollarını memnuniyetle karşılamanın gerekli olduğunu belirtmek isterim. Aynen öyleProblemleri farklı şekillerde çözmek, farklı yaş gruplarındaki öğrenciler için son derece heyecan verici bir aktivitedir. İlgi, merak, yaratıcılık, başarılı olma arzusu - bunlar aktivitenin çekici yönleridir.Bir öğrenci matematik derslerinde metin görevleriyle başa çıkarsa, yani kararının mantıksal zincirini izleyebilir ve açıklayabilir, tüm niceliklerin tanımını verebilir, o zaman fizik ve kimyadaki problemleri başarıyla çözebilir, karşılaştırabilir ve analiz edebilir. , tüm akademik konularda okul kursundaki bilgileri dönüştürün.
Edebiyat.
1. Arnold I.V. Aritmetik problemlerin seçim ve derlenmesi ilkeleri // Izvestiya APN RSFSR. 1946. - Sayı. 6 - S. 8-28.
2. Zubelevich G. I. Moskova Matematik Olimpiyatlarının problemlerinin toplanması. – M.: Aydınlanma, 1971.
3. Shevkin A. V. 5-6. sınıflarda metin problemlerini çözmeyi öğrenme. – M.: Gals plus, 1998.
4 . Shevkin A.V. Dersin materyalleri "Metin görevleri okul kursu Matematik": Dersler 1-4. - M.: Pedagoji Üniversitesi "Birinci Eylül", 2006. 88 s.