Чим відрізняється простий дріб від десяткового. Звичайний дріб
Вивчаючи царицю всіх наук - математику, у певний момент усі стикаються з дробами. Хоча це поняття (як і самі види дробів чи математичні діїз ними) зовсім нескладне, до нього потрібно ставитись уважно, адже в реальному житті за межами школи воно дуже знадобиться. Отже, давайте освіжимо свої знання про дроби: що це, для чого потрібно, які види їх бувають і як робити з ними різні арифметичні дії.
Її величність дріб: це що таке
Дробами в математиці називаються числа, кожне з яких складається з однієї або кількох частин одиниці. Такі дроби ще називають звичайними або простими. Як правило, вони записуються у вигляді двох чисел, які розділені горизонтальною або сліш-чортою, вона називається «дрібною». Наприклад: ½, ¾.Верхнє, чи перше з цих чисел – це чисельник (показує, скільки взято часток від числа), а нижнє, чи друге – знаменник (демонструє, стільки частин розділена одиниця).
Дробова характеристика практично виконує функції символу поділу. Наприклад, 7:9 = 7/9
Зазвичай прості дроби менше одиниці. У той час як десяткові можуть бути більшими за неї.
Навіщо потрібні дроби? Та для всього, адже в реальному світідалеко не всі числа цілі. Наприклад, дві школярки у їдальні купили у складчину одну смачну шоколадку. Коли вони вже зібралися ділити десерт, зустріли подружку і вирішили почастувати і її. Однак тепер необхідно правильно розділити шоколадку, якщо врахувати, що вона складається із 12 квадратиків.
Спочатку дівчата хотіли розділити все порівну, і тоді кожній би дісталося по чотири шматочки. Але, роздумавши, вони вирішили почастувати подружку, не 1/3, а 1/4 шоколадки. А оскільки школярки погано вивчали дроби, то вони не врахували, що за такого розкладу в результаті у них залишиться 9 шматочків, які дуже погано діляться на двох. Цей досить простий приклад показує, наскільки важливо вміти правильно знаходити частину числа. Адже в житті подібних випадків набагато більше.
Види дробів: звичайні та десяткові
Всі математичні дроби поділяються на два великі розряди: звичайні та десяткові. Про особливості першого з них було розказано у попередньому пункті, тож тепер варто приділити увагу другому.Десятичним називають позиційний запис дробу числа, який фіксується на листі через кому, без рисочки або слішу. Наприклад: 0,75, 0,5.
Фактично десятковий дріб ідентичний звичайному, однак, у його знаменнику завжди одиниця з наступними нулями – звідси походить і її назва.
Число, що передує комою, - це ціла частина, а все, що знаходиться після - дробова. Будь-який простий дріб можна перевести в десятковий. Так, зазначені у попередньому прикладі десяткові дробиможна записати як звичайні: ¾ та ½.
І десяткові, і прості дроби може бути як позитивними, і негативними. Якщо перед ними стоїть знак "-", цей дріб негативний, якщо "+" - то позитивний.
Підвиди звичайних дробів
Є такі види простих дробів.- Правильні. У них значення чисельника завжди менше, ніж у знаменника. Наприклад: 7/8. Це правильний дріб, оскільки чисельник 7 менший, ніж знаменник 8. Неправильні. У таких дробах чисельник і знаменник рівні між собою (8/8), чи значення нижнього числа менше, ніж верхнього (9/8). Змішана. Так називається правильний дріб, записаний разом із цілим числом: 8 ½. Вона розуміється як сума цього числа та дробу. До речі, досить просто можна зробити так, щоб на її місці з'явився неправильний дріб. Для цього 8 потрібно записати як 16/2+1/2=17/2.Складові. Як відомо з назви, вони складаються з кількох дробових характеристик: ½ / ¾.Скоротні/нескоротні. До них може відноситися як правильний, так і неправильний дріб. Все залежить від того, чи можна розділити чисельник і знаменник на те саме число. Наприклад, 6/9 є скоротливим дробом, адже обидва її складових можна розділити на 3 і вийде 2/3. А ось 7/9 відноситься до нескоротних, оскільки 7 і 9 – прості числа, які не мають спільного дільникаі не може бути скорочено.
Підвиди десяткового дробу
На відміну від простого, десятковий дріб ділиться всього на 2 види.- Кінцева – отримала таку назву через те, що після коми у неї обмежене (кінцеве) число цифр: 19,25. Нескінченний дріб – це число з нескінченною кількістю цифр після коми. Наприклад, при розподілі 10 на 3 результатом буде нескінченний дріб 3,333…
Складання дробів
Проводити різні арифметичні маніпуляції із дробами трохи складніше, ніж із звичайними числами. Однак, якщо засвоїти основні правила, вирішити будь-який приклад з ними не складе особливих труднощів.Отже, щоб скласти між собою дроби, передусім потрібно зробити так, щоб у обох доданків були однакові знаменники. Для цього належить знайти найменше число, яке здатне поділитися без залишку на знаменники доданків.
Наприклад: 2/3+3/4. Найменшим загальним кратним їм буде 12, отже, необхідно, щоб у кожному знаменнику стояло це число. Для цього чисельник і знаменник першого дробу множимо на 4, виходить 8/12, аналогічно чинимо з другим доданком, але тільки множимо на 3 - 9/12. Тепер можна легко вирішити приклад: 8/12+9/12=17/12. Дріб, що вийшов - це неправильна величина, оскільки чисельник більше знаменника. Її можна і потрібно перетворювати на правильну змішану, розділивши 17:12 = 1 і 5/12.
Якщо складаються змішані дроби, спочатку дії відбуваються з цілими числами, а потім з дробовими.
Якщо в прикладі є десятковий дріб і звичайний, необхідно, щоб обидві стали простими, потім привести їх до одного знаменника і скласти. Наприклад 3,1+1/2. Число 3,1 можна записати як змішаний дріб 3 і 1/10 або як неправильний - 31/10. Загальним знаменником для доданків буде 10, тому потрібно помножити по черзі чисельник і знаменник 1/2 на 5, виходить 5/10. Далі можна легко все вирахувати: 31/10+5/10=35/10. Отриманий результат - неправильний скоротитий дріб, наводимо його в нормальний вигляд, скоротивши на 5: 7/2=3 і 1/2, або десятковий - 3,5.
Якщо складати 2 десяткові дроби, важливо, щоб після коми була однакова кількість цифр. Якщо це не так, потрібно просто дописати необхідну кількість нулів, адже в десятковому дробі це можна зробити безболісно. Наприклад, 3,5+3,005. Щоб вирішити це завдання, потрібно до першого числа додати 2 нулів і далі по черзі складати: 3,500 +3,005 = 3,505.
Віднімання дробів
Віднімаючи дроби, варто чинити так само, як і при складанні: звести до спільному знаменнику, відібрати один чисельник від іншого, при необхідності перевести результат у змішаний дріб.Наприклад: 16/20-5/10. Загальним знаменником буде 20. Потрібно привести другий дріб до цього знаменника, помноживши обидві його частини на 2, виходить 10/20. Тепер можна вирішувати приклад: 16/20-10/20 = 6/20. Однак цей результат відноситься до скоротливих дробів, тому варто поділити обидві частини на 2 і виходить результат – 3/10.
Розмноження дробів
Розподіл та множення дробів – значно простіші дії, ніж додавання та віднімання. Справа в тому, що, виконуючи ці завдання, немає потреби шукати спільний знаменник.Щоб помножити дроби, потрібно просто по черзі перемножити між собою обидва чисельники, а потім і обидва знаменники. Результат, що вийшов, скоротити, якщо дріб – це скоротима величина.
Наприклад: 4/9х5/8. Після послідовного множення виходить такий результат 4х5/9х8=20/72. Такий дріб скоротний на 4, тому кінцева відповідь у прикладі – 5/18.
Як ділити дроби
Розподіл дробів - теж нескладна дія, фактично воно все одно зводиться до їхнього множення. Щоб розділити один дріб на інший, потрібно другий перевернути і помножити на перший.Наприклад, поділ дробів 5/19 та 5/7. Щоб вирішити приклад, потрібно поміняти місцями знаменник і чисельник другого дробу та помножити: 5/19х7/5=35/95. Результат можна скоротити на 5 – виходить 7/19.
Якщо необхідно розділити дріб на просте число, методика трохи відрізняється. Спочатку варто записати це число як неправильний дріб, а потім ділити за тією ж схемою. Наприклад, 2/13:5 слід записати як 2/13: 5/1. Тепер потрібно перевернути 5/1 і помножити дроби: 2/13х1/5= 2/65.
Іноді доводиться здійснювати поділ дробів змішаних. З ними треба чинити, як і з цілими числами: перетворити на неправильні дроби, перевернути дільник і помножити все. Наприклад, 8 ½: 3. Перетворюємо все на неправильні дроби: 17/2: 3/1. Далі слідує переворот 3/1 і множення: 17/2х1/3= 17/6. Тепер слід перевести неправильний дріб у правильний – 2 цілих та 5/6.
Отже, розібравшись з тим, що таке дроби і як можна з ними робити різні арифметичні дії, потрібно постаратися не забувати про це. Адже люди завжди схильні ділити щось на частини, ніж додавати, тому потрібно вміти робити це правильно.
Десятковий дріб відрізняється від звичайного дробу тим, що знаменник у нього - це розрядна одиниця.
Наприклад:
Десяткові дроби виділені із звичайних дробів у окремий вигляд, що призвело до власних правил порівняння, додавання, віднімання, множення та поділу цих дробів. В принципі, з десятковими дробами можна працювати і за правилами звичайних дробів. Власні правила перетворення десяткових дробів спрощують обчислення, а правила перетворення звичайних дробів на десяткові, і навпаки, є зв'язкою між цими видами дробу.
Запис та читання десяткових дробів дозволяє їх записувати, порівнювати та робити дії над ними за правилами, дуже схожими на правила дій з натуральними числами.
Вперше система десяткових дробів та дій над ними була викладена у XV ст. самаркандським математиком та астрономом Джемшид ібн-Масудаль-Каші у книзі «Ключ до мистецтва рахунку».
Ціла частина десяткового дробу відокремлена від дробової частини комою, у деяких країнах (США) ставлять крапку. Якщо десяткового дробу немає цілої частини, то перед комою ставлять число 0.
До дробової частини десяткового дробу праворуч можна дописувати будь-яку кількість нулів, це величину дробу не змінює. Дробна частина десяткового дробу читається за останнім значним розрядом.
Наприклад:
0,3 - три десятих
0,75 - сімдесят п'ять сотих
0,000005 – п'ять мільйонних.
Читання цілої частини десяткового дробу таке саме, як і натуральних чисел.
Наприклад:
27,5 - двадцять сім...;
1,57 - одна...
Після цілої частини десяткового дробу вимовляється слово "цілих".
Наприклад:
10.7 - десять цілих сім десятих
0,67 - нуль цілих шістдесят сім сотих.
Десяткові знаки – це цифри дробової частини. Дробна частина читається за розрядами (на відміну натуральних чисел), а цілком, тому дробова частина десяткового дробу визначається останнім праворуч значним розрядом. Розрядна система дробової частини десяткового дробу дещо інша, ніж у натуральних чисел.
- 1-й розряд після зайнятої - розряд десятих
- 2-й розряд після коми - розряд сотих
- 3-й розряд після коми - розряд тисячних
- 4-й розряд після коми - розряд десятитисячних
- 5-й розряд після коми - розряд стотисячних
- 6-й розряд після коми - розряд мільйонних
- 7-й розряд після коми - розряд десятимільйонних
- 8-й розряд після коми - розряд стомільйонних
У обчисленнях найчастіше використовуються перші три розряди. Велика розрядність дробової частини десяткових дробів використовується лише у специфічних галузях знань, де обчислюються нескінченно малі величини.
Переведення десяткового дробу в змішаний дрібскладається н наступному: число, що стоїть до коми записати цілою частиною змішаного дробу; число, що стоїть після коми - чисельником її дробової частини, а знаменнику дробової частини записати одиницю зі стількими нулями, скільки цифр коштує після коми.
Чверть
- Упорядкованість. aі bіснує правило, що дозволяє однозначно ідентифікувати між ними одне і лише одне із трьох відносин: «<
», « >» або «=». Це правило називається правилом упорядкуванняі формулюється наступним чином: два невід'ємних числа і пов'язані тим самим ставленням, що і два цілі числа і ; два непозитивні числа aі bпов'язані тим самим ставленням, як і два неотрицательных числа і ; якщо ж раптом aневід'ємно, а b- негативно, то a > b. style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Підсумовування дробів
- Операція складання.Для будь-яких раціональних чисел aі bіснує так зване правило підсумовування c. При цьому саме число cназивається сумоючисел aі bі позначається , а процес відшукання такого числа називається підсумовуванням. Правило підсумовування має такий вигляд: .
- Операція множення.Для будь-яких раціональних чисел aі bіснує так зване правило множення, яке ставить їм у відповідність деяке раціональне число c. При цьому саме число cназивається творомчисел aі bі позначається, а процес відшукання такого числа також називається множенням. Правило множення має такий вигляд: .
- Транзитивність відносин порядку.Для будь-якої трійки раціональних чисел a , bі cякщо aменше bі bменше c, то aменше c, а якщо aодно bі bодно c, то aодно c. 6435">Комутативність складання. Від зміни місць раціональних доданків сума не змінюється.
- Асоціативність складання.Порядок додавання трьох раціональних чисел не впливає на результат.
- Наявність нуля.Існує раціональне число 0, яке зберігає будь-яке інше раціональне число під час підсумовування.
- Наявність протилежних чисел.Будь-яке раціональне число має протилежне раціональне число при сумуванні з яким дає 0.
- Комутативність множення.Від зміни місць раціональних множників твір не змінюється.
- Асоціативність множення.Порядок перемноження трьох раціональних чисел впливає результат.
- Наявність одиниці.Існує раціональне число 1, яке зберігає інше раціональне число при множенні.
- Наявність зворотних чисел.Будь-яке раціональне число має обернене раціональне число, при множенні на яке дає 1.
- Дистрибутивність множення щодо складання.Операція множення узгоджена з операцією додавання за допомогою розподільчого закону:
- Зв'язок відносин порядку з операцією складання.До лівої і правої частин раціонального нерівності можна додавати те саме раціональне число. max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
- Аксіома Архімеда.Яке б не було раціональне число a, можна взяти стільки одиниць, що їх сума перевищить a. style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">
Додаткові властивості
Всі інші властивості, властиві раціональним числам, не виділяють в основні, тому що вони, взагалі кажучи, не спираються безпосередньо на властивості цілих чисел, а можуть бути доведені виходячи з наведених основних властивостей або безпосередньо за визначенням деякого математичного об'єкта. Таких додаткових властивостей дуже багато. Тут має сенс навести лише деякі з них.
Style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">
Рахунковість множини
Нумерація раціональних чисел
Щоб оцінити кількість раціональних чисел, потрібно знайти потужність їхньої множини. Легко довести, що безліч раціональних чисел лічимо. Для цього достатньо навести алгоритм, який нумерує раціональні числа, тобто встановлює бієкцію між множинами раціональних та натуральних чисел.
Найпростіший з таких алгоритмів має такий вигляд. Складається нескінченна таблиця звичайних дробів, на кожній i-й рядку в кожному j-ом стовпці якої розташовується дріб. Для певності вважається, що рядки та стовпці цієї таблиці нумеруються з одиниці. Осередки таблиці позначаються , де i- номер рядка таблиці, в якій розташовується комірка, а j- Номер стовпця.
Отримана таблиця обходиться «змійкою» за формальним алгоритмом.
Ці правила проглядаються зверху вниз і наступне положення вибирається за першим збігом.
У процесі такого обходу кожному новому раціональному числу ставиться у відповідність чергове натуральне число. Т. е. дробу 1/1 ставиться у відповідність число 1, дробу 2/1 - число 2, і т. д. Потрібно відзначити, що нумеруються тільки нескоротні дроби. Формальною ознакою нескоротності є рівність одиниці найбільшого загального дільника чисельника та знаменника дробу.
Наслідуючи цей алгоритм, можна занумерувати всі позитивні раціональні числа. Це означає, що багато позитивних раціональних чисел лічимо. Легко встановити біекцію між множинами позитивних і негативних раціональних чисел, просто поставивши у відповідність кожному раціональному числу протилежне йому. Т. о. безліч негативних раціональних чисел теж лічимо. Їх об'єднання також лічимо за якістю лічильних множин. Багато ж раціональних чисел теж лічимо як поєднання лічильної множини з кінцевим.
Твердження про рахунковість безлічі раціональних чисел може викликати деяке здивування, тому що на перший погляд складається враження, що воно набагато ширше за безліч натуральних чисел. Насправді, це не так і натуральних чисел вистачає, щоб занумерувати всі раціональні.
Недостатність раціональних чисел
Гіпотенуза такого трикутника не виражається жодним. раціональним числом
Раціональними числами виду 1/ nпри великих nможна вимірювати як завгодно малі величини. Цей факт створює оманливе враження, що раціональними числами можна виміряти взагалі будь-які геометричні відстані. Легко показати, що це не так.
З теореми Піфагора відомо, що гіпотенуза прямокутного трикутника виражається як квадратний корінь суми квадратів його катетів. Т. о. довжина гіпотенузи рівнобедреного прямокутного трикутниказ одиничним катетом дорівнює, тобто числу, квадрат якого дорівнює 2.
Якщо припустити, що число є деяким раціональним числом, то знайдеться таке ціле число mі таке натуральне число n, що , причому дріб нескоротний, тобто числа mі n- Взаємно прості.
Якщо то , тобто. m 2 = 2n 2 . Отже, число m 2 парно, але твір двох непарних чиселнепарно, що означає, що саме число mтакож парно. А значить знайдеться натуральне число k, Таке що число mможна уявити у вигляді m = 2k. Квадрат числа mу цьому сенсі m 2 = 4k 2 , але з іншого боку m 2 = 2n 2 , значить 4 k 2 = 2n 2 , або n 2 = 2k 2 . Як показано раніше для числа m, це означає, що число n- парно, як і m. Але тоді вони є взаємно простими, оскільки обоє діляться навпіл. Отримане протиріччя доводить, що немає раціональне число.
Вже у початковій школіучні стикаються з дробами. І потім вони з'являються у кожній темі. Забувати дії із цими числами не можна. Тому потрібно знати всю інформацію про звичайні та десяткові дроби. Поняття ці нескладні, головне - розбиратися в усьому порядку.
Навіщо потрібні дроби?
Навколишній світ складається з цілих предметів. Тож у частках потреби немає. Зате повсякденне життяпостійно наштовхує людей працювати з частинами предметів і речей.
Наприклад, шоколад складається з кількох часточок. Розглянемо ситуацію, коли його плитка утворена дванадцятьма прямокутниками. Якщо її поділити на двох, то вийде по 6 частин. Вона добре розділиться і на трьох. А ось п'ятьом не вдасться дати за цілою кількістю часточок шоколаду.
До речі, ці часточки – вже дроби. А подальше їхнє поділ призводить до появи більш складних чисел.
Що таке «дроб»?
Це число, що складається із частин одиниці. Зовні воно виглядає як два числа, розділені горизонтальною або похилою межею. Ця риса називається дробової. Число, записане зверху (ліворуч), називається чисельником. Те, що стоїть знизу (праворуч), є знаменником.
Насправді, дробова характеристика виявляється знаком поділу. Тобто чисельник можна назвати ділимим, а знаменник дільником.
Які існують дроби?
У математиці їх є лише два види: прості та десяткові дроби. З першими школярі знайомляться у початкових класах, називаючи їх просто «дроби». Другі дізнаються у 5 класі. Саме тоді з'являються ці назви.
Звичайні дроби - всі ті, що записуються у вигляді двох чисел, розділених рисою. Наприклад, 4/7. Десяткова - це число, в якому дробова частина має позиційний запис і відокремлюється від цілої за допомогою коми. Наприклад, 4,7. Учням потрібно чітко усвідомити, що два наведені приклади - це зовсім різні числа.
Кожен простий дріб можна записати у вигляді десяткового. Це твердження майже завжди є вірним і у зворотному напрямку. Існують правила, які дозволяють записати звичайним дробом десятковий дріб.
Які підвиди мають вказані види дробів?
Почати краще в хронологічному порядку, оскільки вони вивчаються. Першими йдуть прості дроби. Серед них можна виділити 5 підвидів.
Правильна. Її чисельник завжди менший за знаменник.
Неправильна. У неї чисельник більший або дорівнює знаменнику.
Скоротима/нескоротна. Вона може виявитися як правильною, так і неправильною. Важливо інше, чи є у чисельника зі знаменником спільні множники. Якщо є, то на них потрібно розділити обидві частини дробу, тобто скоротити його.
Змішана. До її звичної правильної (неправильної) дробової частини приписується ціле число. Причому воно завжди стоїть ліворуч.
Складова. Вона утворюється із двох розділених один на одного дробів. Тобто в ній налічується одразу три дробові риси.
У десяткових дробів є лише два підвиди:
кінцева, тобто та, у якої дрібна частина обмежена (має кінець);
нескінченна - число, у якого цифри після коми не закінчуються (їх можна писати нескінченно).
Як переводити десятковий дріб у звичайний?
Якщо це кінцеве число, то застосовується асоціація, заснована на правилі як чую, так пишу. Тобто потрібно правильно прочитати її та записати, але вже без коми, а з дробовою рисою.
Як підказка про необхідний знаменник, потрібно запам'ятати, що він завжди одиниця і кілька нулів. Останніх потрібно написати стільки, скільки цифр у дрібній частині розглянутого числа.
Як перевести десяткові дроби у звичайні, якщо їхня ціла частина відсутня, тобто дорівнює нулю? Наприклад, 0,9 або 0,05. Після застосування зазначеного правила виходить, що потрібно написати нуль цілих. Але він не вказується. Залишається записати лише дрібні частини. У першого числа знаменник дорівнюватиме 10, у другого — 100. Тобто зазначені приклади відповідями матимуть числа: 9/10, 5/100. Причому останнє можна скоротити на 5. Тому результатом для неї потрібно записати 1/20.
Як із десяткового дробу зробити звичайний, якщо його ціла частина відмінна від нуля? Наприклад, 5,23 чи 13,00108. В обох прикладах читається ціла частина та записується її значення. У першому випадку це 5, у другому 13. Потім потрібно переходити до дробової частини. З ними потрібно провести ту саму операцію. У першого числа з'являється 23/100, у другого – 108/100000. Друге значення потрібно знову скоротити. У відповіді виходять такі змішані дроби: 5 23/100 та 13 27/25000.
Як перевести нескінченний десятковий дріб у звичайний?
Якщо вона є неперіодичною, то таку операцію провести не вдасться. Цей факт пов'язаний з тим, що кожен десятковий дріб завжди переводиться або в кінцевий або періодичний.
Єдине, що допускається робити з таким дробом, це округлювати її. Але тоді десяткова буде приблизно такою, як і нескінченна. Її вже можна перетворити на звичайну. Але зворотний процес: переведення в десяткову - ніколи не дасть початкового значення Тобто нескінченні неперіодичні дроби у звичайні не переводяться. Це слід запам'ятати.
Як записати нескінченний періодичний дріб у вигляді звичайного?
У цих числах після коми завжди з'являються одна або кілька повторюваних цифр. Їх називають періодом. Наприклад, 0,3 (3). Тут "3" у періоді. Їх відносять до класу раціональних, оскільки можуть бути перетворені на прості дроби.
Тим, хто зустрічався з періодичними дробами, відомо, що вони можуть бути чистими чи змішаними. У першому випадку період починається відразу від коми. У другому — дрібна частина починається з якихось цифр, а потім починається повтор.
Правило, яким потрібно записати як звичайного дробу нескінченну десяткову, буде різним для зазначених двох видів чисел. Чисті періодичні дроби записати звичайними досить легко. Як із кінцевими, їх треба перетворити: в чисельник записати період, а знаменником буде цифра 9, що повторюється стільки разів, скільки цифр містить період.
Наприклад, 0(5). Цілої частини у числа немає, тому відразу потрібно приступати до дробової. У чисельник записати 5, а знаменник одну 9. Тобто відповіддю буде дріб 5/9.
Правило про те, як записати звичайний десятковий періодичний дріб, що є змішаним.
Подивитися на довжину періоду. Стільки 9 матиме знаменник.
Записати знаменник: спочатку дев'ятки, потім нулі.
Щоб визначити чисельник, потрібно записати різницю двох чисел. Зменшуються всі цифри після коми, разом з періодом. Віднімається — воно ж без періоду.
Наприклад, 0,5(8) - запишіть періодичний десятковий дріб у вигляді звичайного. У дрібній частині до періоду стоїть одна цифра. Значить, нуль буде один. У періоді також лише одна цифра — 8. Тобто дев'ятка одна. Тобто у знаменнику треба написати 90.
Для визначення чисельника з 58 необхідно відняти 5. Виходить 53. Відповіддю наприклад доведеться записати 53/90.
Як переводять звичайні дроби до десяткових?
Найпростішим варіантом виявляється число, у знаменнику якого стоїть число 10, 100 та інше. Тоді знаменник просто відкидається, а між дрібною і цілою частинамиставиться кома.
Бувають ситуації, коли знаменник легко перетворюється на 10, 100 тощо. буд. Наприклад, числа 5, 20, 25. Їх досить помножити на 2, 5 і 4 відповідно. Тільки множити потрібно як знаменник, а й чисельник на те саме число.
Для решти випадків знадобиться просте правило: розділити чисельник на знаменник. У цьому випадку може вийти два варіанти відповідей: кінцевий або періодичний десятковий дріб.
Дії зі звичайними дробами
Додавання та віднімання
З ними учні знайомляться раніше за інших. Причому спочатку дроби мають однакові знаменники, а потім різні. Загальні правила можна звести до такого плану.
Знайти найменше загальне кратне знаменників.
Записати додаткові множники до всіх звичайних дробів.
Помножити чисельники та знаменники на певні для них множники.
Скласти (відняти) чисельники дробів, а загальний знаменник залишити без зміни.
Якщо чисельник меншого віднімається, то потрібно з'ясувати, перед нами змішане число або правильний дріб.
У першому випадку ціла частина повинна зайняти одиницю. До чисельника дробу додати знаменник. А потім виконувати віднімання.
У другому - необхідно застосувати правило віднімання з меншого числа більше. Тобто з модуля віднімається відняти модуль зменшуваного, а у відповідь поставити знак «-».
Уважно подивитися на результат додавання (віднімання). Якщо вийшов неправильний дріб, то потрібно виділити цілу частину. Тобто поділити чисельник на знаменник.
Множення та розподіл
Для виконання дробу не потрібно приводити до спільного знаменника. Це полегшує виконання дій. Але в них все одно слід дотримуватися правил.
При множенні звичайних дробів необхідно розглянути числа чисельників і знаменниках. Якщо якийсь чисельник та знаменник мають спільний множник, їх можна скоротити.
Перемножити чисельники.
Перемножити знаменники.
Якщо вийшов скоротитий дріб, то його потрібно знову спростити.
При розподілі потрібно спочатку замінити розподіл на множення, а дільник (другий дріб) - на зворотний дріб (поміняти місцями чисельник і знаменник).
Потім діяти, як із множенні (починаючи з пункту 1).
У завданнях, де помножити (ділити) потрібно ціле число, останнє потрібно записати як неправильної дробу. Тобто зі знаменником 1. Потім діяти, як описано вище.
Дії з десятковими дробами
Додавання та віднімання
Звичайно, завжди можна перетворити десятковий дріб на звичайний. І діяти за вже описаним планом. Але іноді зручніше діяти без цього перекладу. Тоді правила для їх складання та віднімання будуть абсолютно однаковими.
Зрівняти число цифр у дробовій частині числа, тобто після коми. Приписати в ній недостатню кількість нулів.
Записати дроби так, щоб кома опинилася під комою.
Скласти (відняти) як натуральні числа.
Знести кому.
Множення та розподіл
Важливо, що тут не слід дописувати нулі. Дроби потрібно залишати в тому вигляді, як вони дані в прикладі. А далі йти за планом.
Для множення потрібно написати дроби одна під одною, не звертаючи увагу на коми.
Помножити як натуральні числа.
Поставити у відповіді кому, відрахувавши від правого кінця відповіді стільки цифр, скільки їх коштує в дробових частинах обох множників.
Для поділу потрібно спочатку перетворити дільник: зробити його натуральним числом. Тобто помножити його на 10, 100 і т. д., залежно від того, скільки цифр у дрібній частині дільника.
На те число помножити поділене.
Розділити десятковий дріб на натуральне число.
Поставити у відповіді кому в той момент, коли закінчиться розподіл цілої частини.
Як бути, якщо в одному прикладі є обидва види дробів?
І в математиці нерідко зустрічаються приклади, у яких необхідно здійснити події над звичайними і десятковими дробами. У таких завданнях можливі два шляхи вирішення. Потрібно об'єктивно зважити числа та вибрати оптимальний.
Перший шлях: уявити звичайні десятковими
Він підходить, якщо при розподілі чи перекладі виходять кінцеві дроби. Якщо хоча б одне число дає періодичну частину, цей прийом застосовувати заборонено. Тому, навіть якщо не подобається працювати зі звичайними дробами, доведеться рахувати їх.
Другий шлях: записати десяткові дроби звичайними
Цей прийом виявляється зручним, якщо частини після коми коштують 1-2 цифри. Якщо їх більше, може вийти дуже великий звичайний дріб та десяткові записи дозволять порахувати завдання швидше та простіше. Тому завжди потрібно тверезо оцінювати завдання та вибирати найпростіший метод вирішення.