Графіки функцій та їх формули як вирішувати. Основні елементарні функції: їх властивості та графіки
Знання основних елементарних функцій, їх властивостей та графіківне менш важливо, ніж знання таблиці множення. Вони як фундамент, на них усе ґрунтується, з них все будується і до них все зводиться.
У цій статті ми перерахуємо всі основні елементарні функції, наведемо їх графіки та дамо без висновку та доказів властивості основних елементарних функційза схемою:
- поведінка функції на межах області визначення, вертикальні асимптоти (за потреби дивіться статтю класифікація точок розриву функції);
- парність та непарність;
- проміжки опуклості (випуклості вгору) та увігнутості (випуклості вниз), точки перегину (при необхідності дивіться статтю опуклість функції, напрям опуклості, точки перегину, умови опуклості та перегину);
- похилі та горизонтальні асимптоти;
- особливі точки функцій;
- особливі властивості деяких функцій (наприклад, найменший позитивний період тригонометричних функцій).
Якщо Вас цікавить або, то можете перейти до цих розділів теорії.
Основними елементарними функціямиє: постійна функція (константа), корінь n-ого ступеня, статечна функція, показова, логарифмічна функція, тригонометричні та зворотні тригонометричні функції.
Навігація на сторінці.
Постійна функція.
Постійна функціязадається на багатьох всіх дійсних чисел формулою , де C - деяке дійсне число. Постійна функція ставить у відповідність кожному дійсному значенню незалежної змінної x те саме значення залежної змінної y – значення С . Постійну функцію називають константою.
Графіком постійної функції є пряма, паралельна осі абсцис і через точку з координатами (0,C) . Наприклад покажемо графіки постійних функцій y=5 , y=-2 і , яким малюнку, наведеному нижче, відповідають чорна, червона і синя прямі відповідно.
Властивості постійної функції.
- Область визначення: всі множини дійсних чисел.
- Постійна функція є парною.
- Область значень: безліч, що складається з однини С .
- Постійна функція незростаюча і неубутня (на те вона і постійна).
- Говорити про опуклість і увігнутість постійної немає сенсу.
- Асимптот немає.
- Функція проходить через точку (0, C) координатної площини.
Корінь n-ого ступеня.
Розглянемо основну елементарну функцію, що визначається формулою , де n – натуральне числобільше одиниці.
Корінь n-ого ступеня, n - парне число.
Почнемо з функції корінь n-ого ступеня при парних значеннях показника кореня n.
Для прикладу наведемо малюнок із зображеннями графіків функцій і , їм відповідають чорна, червона та синя лінії.
Аналогічний вигляд мають графіки функцій корінь парного ступеня за інших значень показника.
Властивості функції корінь n-ого ступеня при парних n.
Корінь n-ого ступеня, n - непарне число.
Функція корінь n-ого ступеня з непарним показником кореня n визначена на всій кількості дійсних чисел. Для прикладу наведемо графіки функцій і , їм відповідають чорна, червона та синя криві.
При інших непарних значеннях показника кореня графіки функції матимуть схожий вид.
Властивості функції корінь n-ого ступеня при непарних n.
Ступінна функція.
Ступінна функція задається формулою виду.
Розглянемо вид графіків статечної функції та властивості статечної функції залежно від значення показника ступеня.
Почнемо зі статечної функції з цілим показником a. У цьому випадку вид графіків статечних функцій та властивості функцій залежать від парності чи непарності показника ступеня, а також його знака. Тому спочатку розглянемо статечні функції при непарних позитивних значеннях показника a, далі – при парних позитивних, далі – при непарних негативних показниках ступеня, і, нарешті, при парних негативних a.
Властивості статечних функцій з дробовими та ірраціональними показниками (як і вид графіків таких статечних функцій) залежать від значення показника a . Їх розглядатимемо, по-перше, при a від нуля до одиниці, по-друге, при a великих одиниці, по-третє, при a від мінус одиниці до нуля, по-четверте, при a менших мінус одиниці.
Наприкінці цього пункту для повноти картини опишемо статечну функцію з нульовим показником.
Ступінна функція з непарним позитивним показником.
Розглянемо статечну функцію при непарному позитивному показнику ступеня, тобто при а = 1,3,5, ....
На малюнку нижче наведено графіки статечних фнукцій – чорна лінія, – синя лінія, – червона лінія, – зелена лінія. При а=1 маємо лінійну функцію y=x.
Властивості статечної функції з непарним позитивним показником.
Ступінна функція з парним позитивним показником.
Розглянемо статечну функцію з парним позитивним показником ступеня, тобто при а=2,4,6,….
Як приклад наведемо графіки статечних функцій – чорна лінія, – синя лінія, – червона лінія. При а=2 маємо квадратичну функцію, графіком якої є квадратична парабола.
Властивості статечної функції з парним позитивним показником.
Ступінна функція з непарним негативним показником.
Подивіться графіки статечної функції при непарних негативних значеннях показника ступеня, тобто, при а=-1,-3,-5,… .
На малюнку як приклади показані графіки статечних функцій – чорна лінія, – синя лінія, – червона лінія, – зелена лінія. При а=-1 маємо зворотну пропорційність, графіком якої є гіпербола.
Властивості статечної функції з непарним негативним показником.
Ступінна функція з парним негативним показником.
Перейдемо до статечної функції при а=-2,-4,-6,….
На малюнку зображені графіки статечних функцій – чорна лінія, – синя лінія, – червона лінія.
Властивості статечної функції з парним негативним показником.
Ступінна функція з раціональним або ірраціональним показником, значення якого більше за нуль і менше одиниці.
Зверніть увагу!Якщо a - позитивний дріб з непарним знаменником, деякі автори вважають областю визначення статечної функції інтервал . У цьому обумовлюються, що показник ступеня a – нескоротний дріб. Зараз автори багатьох підручників з алгебри та початків аналізу НЕ ВИЗНАЧАЮТЬ статечні функції з показником у вигляді дробу з непарним знаменником при негативних значеннях аргументу. Ми будемо дотримуватися саме такого погляду, тобто вважатимемо областями визначення статечних функцій з дробовими позитивними показниками ступеня безліч. Рекомендуємо учням дізнатися погляд Вашого викладача на цей тонкий момент, щоб уникнути розбіжностей.
Розглянемо статечну функцію з раціональним чи ірраціональним показником a, причому.
Наведемо графіки статечних функцій при а=11/12 (чорна лінія), а=5/7 (червона лінія), (синя лінія), а=2/5 (зелена лінія).
Ступінна функція з нецілим раціональним чи ірраціональним показником, більшим за одиниці.
Розглянемо статечну функцію з нецілісним раціональним чи ірраціональним показником a, причому.
Наведемо графіки статечних функцій, заданих формулами (чорна, червона, синя та зелена лінії відповідно).
>При інших значеннях показника ступеня a графіки функції матимуть схожий вигляд.
Властивості статечної функції при .
Ступінна функція з дійсним показником, який більший за мінус одиниці і менший за нуль.
Зверніть увагу!Якщо a - негативний дріб з непарним знаменником, деякі автори вважають областю визначення статечної функції інтервал . У цьому обумовлюються, що показник ступеня a – нескоротний дріб. Зараз автори багатьох підручників з алгебри та початків аналізу НЕ ВИЗНАЧАЮТЬ статечні функції з показником у вигляді дробу з непарним знаменником при негативних значеннях аргументу. Ми дотримуватимемося саме такого погляду, тобто вважатимемо областями визначення статечних функцій із дробовими дробовими негативними показниками ступеня безліч відповідно. Рекомендуємо учням дізнатися погляд Вашого викладача на цей тонкий момент, щоб уникнути розбіжностей.
Переходимо до статечної функції, до року.
Щоб добре представляти вид графіків статечних функцій при наведемо приклади графіків функцій (чорна, червона, синя та зелена криві відповідно).
Властивості статечної функції з показником a, .
Ступінна функція з нецілим дійсним показником, який менший за мінус одиниці.
Наведемо приклади графіків статечних функцій при , вони зображені чорною, червоною, синьою та зеленою лініями відповідно.
Властивості статечної функції з нецілим негативним показником, меншим за мінус одиниці.
При а=0 і маємо функцію - це пряма з якої виключена точка (0;1) (виразу 0 0 домовилися не надавати жодного значення).
Показова функція.
Однією з основних елементарних функцій показова функція.
Графік показової функціїде і приймає різний виглядв залежності від значення основи а. Розберемося в цьому.
Спочатку розглянемо випадок, коли основа показової функції набуває значення від нуля до одиниці, тобто .
Наприклад наведемо графіки показової функції при а = 1/2 – синя лінія, a = 5/6 – червона лінія. Аналогічний вигляд мають графіки показової функції за інших значеннях основи з інтервалу.
Властивості показової функції з основою меншою одиниці.
Переходимо до випадку, коли основа показової функції більше одиниці, тобто .
Як ілюстрацію наведемо графіки показових функцій – синя лінія та – червона лінія. При інших значеннях підстави, високих одиниць, графіки показової функції матимуть схожий вид.
Властивості показової функції з основою великої одиниці.
Логарифмічна функція.
Наступною основною елементарною функцією є логарифмічна функція де , . Логарифмічна функція визначена лише позитивних значень аргументу, тобто, при .
Графік логарифмічної функції набуває різного вигляду залежно від значення підстави а.
Почнемо з нагоди, коли .
Наприклад наведемо графіки логарифмічної функції при а = 1/2 – синя лінія, a = 5/6 – червона лінія. При інших значеннях підстави, не перевищують одиниці, графіки логарифмічної функції матимуть подібний вид.
Властивості логарифмічної функції із основою меншою одиниці.
Перейдемо на випадок, коли основа логарифмічної функції більше одиниці ().
Покажемо графіки логарифмічних функцій – синя лінія – червона лінія. При інших значеннях підстави, високих одиниць, графіки логарифмічної функції матимуть схожий вид.
Властивості логарифмічної функції з основою великої одиниці.
Тригонометричні функції, їх властивості та графіки.
Усі тригонометричні функції (синус, косинус, тангенс та котангенс) відносяться до основних елементарних функцій. Тепер ми розглянемо їх графіки і перерахуємо характеристики.
Тригонометричним функціям властиве поняття періодичності(повторюваності значень функції при різних значеннях аргументу, відмінних один від одного на величину періоду де Т - період), тому, до списку властивостей тригонометричних функцій доданий пункт «найменший позитивний період». Також кожної тригонометричної функції ми вкажемо значення аргументу, у яких відповідна функція звертається в нуль.
Тепер розберемося з усіма тригонометричними функціями по порядку.
Функція синус y = sin (x).
Зобразимо графік функціїсинус, його називають "синусоїда".
Властивості функції синус y = sinx.
Функція косинус y = cos(x).
Графік функції косинус (його називають "косинусоїда") має вигляд:
Властивості функції косинус y = cosx.
Функція тангенс y = tg (x).
Графік функції тангенс (його називають "тангенсоіда") має вигляд:
Властивості функції тангенс y = tgx.
Функція котангенс y = ctg (x).
Зобразимо графік функції котангенс (його називають "котангенсоіда"):
Властивості функції котангенс y = ctgx.
Зворотні тригонометричні функції, їх властивості та графіки.
Зворотні тригонометричні функції (арксінус, арккосинус, арктангенс і арккотангенс) є основним елементарним функціями. Часто через приставку "арк" зворотні тригонометричні функції називають аркфункціями. Тепер ми розглянемо їх графіки і перерахуємо характеристики.
Функція арксинус y = arcsin (x).
Зобразимо графік функції арксинус:
Властивості функції арккотангенс y = arcctg(x).Список літератури.
- Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвітні установи.
- Вигодський М.Я. Довідник з елементарної математики.
- Новосьолов С.І. Алгебра та елементарні функції.
- Туманов С.І. Елементарна алгебра. Посібник для самоосвіти.
Лінійною функцією називається функція виду y=kx+b, де x-незалежна змінна, k та b-будь-які числа.
Графік лінійної функції є пряма.
1. Щоб побудувати графік функції,нам потрібні координати двох точок, що належать графіку функції. Щоб їх знайти, потрібно взяти два значення х, підставити їх на рівняння функції, і за ними обчислити відповідні значення y.
Наприклад, щоб побудувати графік функції y=x+2, зручно взяти x=0 та x=3, тоді ординати цих точок дорівнюватимуть y=2 та y=3. Отримаємо точки А(0;2) та В(3;3). З'єднаємо їх та отримаємо графік функції y=x+2:
2.
У формулі y=kx+b число k називається коефіцієнтом пропорційності:
якщо k>0, то функція y=kx+b зростає
якщо k
Коефіцієнт b показує усунення графіка функції вздовж осі OY:
якщо b>0, то графік функції y=kx+b виходить із графіка функціїy=kx зрушенням на b одиниць вгору вздовж осі OY
якщо b
На малюнку нижче зображено графіки функцій y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3
Зауважимо, що у всіх цих функціях коефіцієнт k більше нуля,та функції є зростаючими.Причому чим більше значення k, тим більше кут нахилу прямий до позитивного напрямку осі OX.
У всіх функціях b=3 – і бачимо, що це графіки перетинають вісь OY у точці (0;3)
Тепер розглянемо графіки функцій y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3
На цей раз у всіх функціях коефіцієнт k меньше нуля,та функції спадають.Коефіцієнт b=3, і графіки як у попередньому випадку перетинають вісь OY в точці (0;3)
Розглянемо графіки функцій y=2x+3; y=2x; y=2x-3
Тепер у всіх рівняннях функцій коефіцієнти k дорівнюють 2. І ми отримали три паралельні прямі.
Але коефіцієнти b різні, і ці графіки перетинають вісь OY у різних точках:
Графік функції y=2x+3 (b=3) перетинає вісь OY у точці (0;3)
Графік функції y=2x (b=0) перетинає вісь OY у точці (0;0) – початку координат.
Графік функції y=2x-3 (b=-3) перетинає вісь OY у точці (0;-3)
Отже, якщо знаємо знаки коефіцієнтів k і b, можемо відразу уявити, як виглядає графік функції y=kx+b.
Якщо k 0
Якщо k>0 та b>0, то графік функції y=kx+b має вигляд:
Якщо k>0 та b, то графік функції y=kx+b має вигляд:
Якщо k, то графік функції y=kx+b має вигляд:
Якщо k=0, то функція y=kx+b перетворюється на функцію y=b та її графік має вигляд:
Ординати всіх точок графіка функції y=b дорівнюють b Якщо b=0, То графік функції y = kx (пряма пропорційність) проходить через початок координат:
3. Окремо відзначимо графік рівняння x = a.Графік цього рівняння є пряму лінію, паралельну осі OY всі точки якої мають абсцису x=a.
Наприклад, графік рівняння x=3 виглядає так:
Увага!Рівняння x=a не є функцією, тому одному значенню аргументу відповідають різні значенняфункції, що відповідає визначенню функції.
4. Умова паралельності двох прямих:
Графік функції y=k 1 x+b 1 паралельний графіку функції y=k 2 x+b 2 якщо k 1 =k 2
5. Умова перепендикулярності двох прямих:
Графік функції y=k 1 x+b 1 перепендикулярний графіку функції y=k 2 x+b 2 якщо k 1 *k 2 =-1 або k 1 =-1/k 2
6. Точки перетину графіка функції y=kx+b із осями координат.
З віссю ОY. Абсцис будь-якої точки, що належить осі ОY дорівнює нулю. Тому, щоб знайти точку перетину з віссю ОY потрібно в рівняння функції замість х підставити нуль. Отримаємо y=b. Тобто точка перетину з віссю OY має координати (0; b).
З віссю ОХ: Ордината будь-якої точки, що належить осі ОХ, дорівнює нулю. Тому, щоб знайти точку перетину з віссю ОХ, потрібно в рівняння функції замість y підставити нуль. Отримаємо 0=kx+b. Звідси x=-b/k. Тобто точка перетину з віссю OX має координати (-b/k; 0):
Для початку спробуй знайти область визначення функції:
Впорався? Порівняємо відповіді:
Все вірно? Молодець!
Тепер спробуємо знайти область значень функції:
Знайшов? Порівнюємо:
Зійшлося? Молодець!
Ще раз попрацюємо з графіками, тільки тепер трохи складніше - знайти і область визначення функції, і область значень функції.
Як знайти область визначення і область значень функції (просунутий варіант)
Ось що вийшло:
З графіками, я гадаю, ти розібрався. Тепер спробуємо відповідно до формул знайти область визначення функції (якщо ти не знаєш як це зробити, прочитай розділ про ):
Впорався? Звіримо відповіді:
- , так як підкорене вираз має бути більше або дорівнює нулю.
- , Так як на нуль ділити не можна і підкорене вираз не може бути негативним.
- , оскільки відповідно при всіх.
- , Так як на нуль ділити не можна.
Однак у нас залишився ще один нерозібраний момент.
Ще раз повторю визначення і зроблю на ньому акцент:
Помітив? Слово «єдиний» - це дуже важливий елемент нашого визначення. Постараюся пояснити тобі на пальцях.
Допустимо, у нас є функція, задана прямою. . При, ми підставляємо це значення в наше «правило» і отримуємо, що. Одному значенню відповідає одне значення. Ми навіть можемо скласти таблицю різних значень і побудувати графік цієї функції, щоб у цьому.
«Дивися! - скажеш ти, - «» зустрічається двічі!» Так можливо парабола не є функцією? Ні, є!
Те, що «» зустрічається двічі далеко не привід звинувачувати параболу у неоднозначності!
Справа в тому, що, при розрахунку для, ми отримали один гравець. І при розрахунку ми отримали один гравець. Так що все правильно, парабола є функцією. Подивися на графік:
Розібрався? Якщо ні, ось тобі життєвий прикладСоовсем далекий від математики!
Припустимо, у нас є група абітурієнтів, які познайомилися під час подачі документів, кожен з яких у розмові розповів, де він живе.
Погодься, цілком реально, що кілька хлопців живуть в одному місті, але неможливо, щоб одна людина жила в кількох містах одночасно. Це ніби логічне уявлення нашої «параболи» - декільком різним ікс відповідає один і той же гравець.
Тепер вигадаємо приклад, коли залежність не буде функцією. Припустимо, ці ж хлопці розповідали, на які спеціальності вони подали документи:
Тут у нас зовсім інша ситуація: одна людина може спокійно подати документи як на один, так і на кілька напрямків. Тобто одному елементубезлічі ставиться у відповідність кілька елементівмножини. Відповідно, це функція.
Перевіримо твої знання практично.
Визнач за малюнками, що є функцією, а що ні:
Розібрався? А ось і відповіді:
- Функцією є - В,Є.
- Функцією не є – А, Б, Г, Д.
Ти спитаєш чому? Та ось чому:
На всіх малюнках крім в)і Е)на один доводиться кілька!
Упевнена, тепер, ти з легкістю відрізниш функцію від функції, скажеш, що таке аргумент і що таке залежна змінна, а так само визначиш область допустимих значень аргументу і область визначення функції. Приступаємо до наступного розділу – як задати функцію?
Способи завдання функції
Як ти вважаєш, що означають слова "задати функцію"? Правильно, це означає пояснити всім охочим, про яку функцію в даному випадку йде мова. Причому пояснити так, щоб кожен зрозумів тебе правильно і намальовані людьми на твоє пояснення графіки функцій були однакові.
Як це можна зробити? Як встановити функцію?Найпростіший спосіб, який вже не раз застосовувався у цій статті за допомогою формули.Ми пишемо формулу, і, підставляючи у ній значення, обчислюємо значення. А як ти пам'ятаєш, формула - це закон, правило, за яким нам та іншій людині стає ясно, як ікс перетворюється на ігрек.
Зазвичай, саме так і роблять - у завданнях ми бачимо вже готові функції, задані формулами, однак, існують інші способи задати функцію, про які всі забувають, у зв'язку з чим питання «як ще можна задати функцію?» ставить у глухий кут. Розберемося у всьому порядку, а почнемо з аналітичного способу.
Аналітичний спосіб завдання функції
Аналітичний спосіб і є завдання функції з допомогою формули. Це універсальний і вичерпний і однозначний спосіб. Якщо у тебе є формула, то ти знаєш про функцію абсолютно все – ти можеш скласти по ній табличку значень, можеш побудувати графік, визначити, де функція зростає, а де зменшується загалом досліджувати її за повною програмою.
Розглянемо функцію. Чому одно?
"Що це означає?" - Запитаєш ти. Зараз поясню.
Нагадаю, що у записі вираз у дужках називається аргументом. І цей аргумент може бути будь-яким виразом, не обов'язково простим. Відповідно, яким би не був аргумент (вираз у дужках), ми його запишемо натомість у виразі.
У нашому прикладі вийде так:
Розглянемо ще завдання, пов'язане з аналітичним способом завдання функції, яке буде на іспиті.
Знайдіть значення виразу, при.
Впевнена, що спочатку, ти злякався, побачивши такий вираз, але в ньому немає нічого страшного!
Все як і в минулому прикладі: яким би не був аргумент (вираз у дужках), ми його запишемо натомість у виразі. Наприклад, для функції.
Що ж потрібно зробити у нашому прикладі? Замість треба написати, а замість - :
скоротити вираз, що вийшов:
От і все!
Самостійна робота
Тепер спробуй самостійно знайти значення наступних виразів:
- , якщо
- , якщо
Впорався? Порівняємо наші відповіді: Ми звикли, що функція має вигляд
Навіть у наших прикладах ми задаємо функцію саме таким чином, проте аналітично можна задати функцію у неявному вигляді, наприклад.
Спробуй збудувати цю функцію самостійно.
Впорався?
Ось як будувала її я.
Яке рівняння ми вивели?
Правильно! Лінійне, а це означає, що графіком буде пряма лінія. Зробимо табличку, щоб визначити, які точки належать нашій прямій:
Ось саме те, про що ми говорили... Одному відповідає кілька.
Спробуємо намалювати те, що вийшло:
Чи є те, що ми отримали функцією?
Правильно, ні! Чому? Спробуй відповісти на це запитання малюнком. Що в тебе вийшло?
«Оскільки одному значенню відповідає кілька значень!»
Який висновок ми можемо зробити з цього?
Правильно, функція не завжди може бути виражена явно, і не завжди те, що замасковано під функцію є функцією!
Табличний спосіб завдання функції
Як випливає з назви, цей спосіб є простою табличкою. Так Так. На кшталт тієї, якою ми з тобою вже становили. Наприклад:
Тут ти одразу помітив закономірність – ігорок утричі більший за ікс. А тепер завдання на «дуже добре подумати»: як ти вважаєш, чи функція, задана у вигляді таблиці, функції?
Не будемо довго міркувати, а малюватимемо!
Отже. Малюємо функцію, задану шпалерами способами:
Бачиш різницю? Справа зовсім не у зазначених точках! Придивись уважніше:
Тепер побачив? Коли ми задаємо функцію табличним способом, ми на графіку відображаємо лише ті точки, які є у нас у таблиці, і лінія (як у нашому випадку) проходить лише через них. Коли ми задаємо функцію аналітичним способом, ми можемо взяти будь-які точки і наша функція ними не обмежується. Ось така особливість. Запам'ятай!
Графічний спосіб побудови функції
Графічний спосіб побудови функції не менш зручний. Ми малюємо нашу функцію, а інша зацікавлена людина може знайти чому дорівнює ігорок при певному ікс і так далі. Графічний та аналітичний методи одні з найпоширеніших.
Однак тут потрібно пам'ятати про що ми з тобою говорили на самому початку - не кожна «загогулина» намальована в системі координат є функцією! Згадав? Про всяк випадок скопіюю тобі сюди визначення, що функцією є:
Як правило, люди зазвичай називають саме ті три способи завдання функції, які ми розібрали – аналітичний (за допомогою формули), табличний та графічний, геть-чисто забуваючи про те, що функцію можна словесно описати. Як це? Так, дуже просто!
Словесний опис функції
Як описати функцію словесно? Візьмемо наш недавній приклад. Цю функцію можна описати «кожного дійсного значення ікс відповідає його потрійне значення». От і все. Нічого складного. Ти, звичайно, заперечиш - «є настільки складні функції, які словесно поставити просто неможливо!» Так, є такі, але є функції, які описати словесно легше, ніж задати формулою. Наприклад: «кожному натуральному значенню ікс відповідає різниця між цифрами, з яких він складається, при цьому за зменшення береться найбільша цифра, що містяться в записі числа». Тепер розглянемо, як наш словесний опис функції реалізується практично:
Найбільша цифра у даному числі- , відповідно, - що зменшується, тоді:
Основні види функцій
Тепер перейдемо до найцікавішого - розглянемо основні види функцій, з якими ти працював/працюєш і працюватимеш в курсі шкільної та інститутської математики, тобто познайомимося з ними, так би мовити і дамо їм коротку характеристику. Докладніше про кожну функцію читай у відповідному розділі.
Лінійна функція
Функція виду, де, - дійсні числа.
Графіком цієї функції служить пряма, тому побудова лінійної функції зводиться до знаходження координат двох точок.
Положення прямої на координатній площині залежить від кутового коефіцієнта.
Область визначення функції (як область допустимих значень аргументу) - .
Область значень - .
Квадратична функція
Функція виду, де
Графіком функції є парабола, при гілки параболи спрямовані вниз, при вгору.
Багато властивостей квадратичної функції залежить від значення дискримінанта. Дискримінант обчислюється за формулою
Положення параболи на координатній площині щодо значення та коефіцієнта показано на малюнку:
Область визначення
Область значень залежить від екстремуму цієї функції (точки вершини параболи) та коефіцієнта (напрямки гілок параболи)
Зворотня пропорційність
Функція, що задається формулою, де
Число називається коефіцієнтом зворотної пропорційності. Залежно від того, яке значення, гілки гіперболи знаходяться у різних квадратах:
Область визначення - .
Область значень - .
КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ
1. Функцією називається правило, яким кожному елементу множини ставиться у відповідність єдиний елемент множини.
- - це формула, що означає функцію, тобто залежність однієї змінної від іншої;
- - змінна величина, або аргумент;
- - Залежна величина - змінюється при зміні аргументу, тобто згідно з якоюсь певною формулою, що відображає залежність однієї величини від іншої.
2. Допустимі значенняаргументу, чи область визначення функції - те, що пов'язані з можливими, у яких функція має сенс.
3. Область значень функції- це те, які значення набуває, при допустимих значеннях.
4. Існує 4 способи завдання функції:
- аналітичний (за допомогою формул);
- табличний;
- графічний
- словесний опис.
5. Основні види функцій:
- : , де, - дійсні числа;
- : , де;
- : , де.
Функції та їх графіки - одна з найцікавіших тем у шкільній математиці. Шкода тільки, що проходить вона... повз уроки і повз учнів. На неї завжди бракує часу у старших класах. А ті функції, які проходять у 7-му класі, - лінійна функція та парабола - надто прості та нехитрі, щоб показати всю різноманітність цікавих завдань.
Вміння будувати графіки функцій необхідне вирішення завдань із параметрами на ЄДІ з математики. Це одна з перших тем курсу математичного аналізу у ВНЗ. Це настільки важлива тема, що ми в ЄДІ-Студії проводимо по ній спеціальні інтенсивності для старшокласників та вчителів, у Москві та онлайн. І часто учасники кажуть: "Шкода, що ми не знали цього раніше".
Але це не все. Саме з поняття функції і починається справжня, доросла математика. Адже додавання та віднімання, множення та поділ, дроби та пропорції – це все-таки арифметика. Перетворення виразів – це алгебра. А математика - наука як про числах, а й взаємозв'язки величин. Мова функцій та графіків зрозуміла і фізику, і біологу, і економісту. І, як сказав Галілео Галілей, «Книга природи написана мовою математики».
Точніше, Галілео Галілей сказав так: "Математика є алфавіт, через який Господь написав Всесвіт".
Теми для повторення:
1. Побудуємо графік функції
Знайоме завдання! Такі зустрічалися в варіантах ОДЕпо математиці. Там вони вважалися складними. Але складного тут нічого немає.
Спростимо формулу функції:
Графік функції – пряма з виколотою точкою
2. Побудуємо графік функції
Виділимо у формулі функції цілу частину:
Графік функції - гіпербола, зсунута на 3 вправо по x і на 2 вгору по y розтягнута в 10 разів у порівнянні з графіком функції
Виділення цілої частини - корисний прийом, що застосовується у вирішенні нерівностей, побудові графіків та оцінці цілих величин у задачах на числа та їх властивості. Він зустрінеться вам також на першому курсі, коли доведеться брати інтеграли.
3. Побудуємо графік функції
Він виходить з графіка функції розтягуванням у 2 рази, відображенням по вертикалі та зрушенням на 1 вгору по вертикалі
4. Побудуємо графік функції
Головне – правильна послідовність дій. Запишемо формулу функції у зручнішому вигляді:
Діємо по порядку:
1) Графік функції y=sinx зрушимо наліво;
2) стиснемо в 2 рази по горизонталі,
3) розтягнемо в 3 рази по вертикалі,
4) ссунемо на 1 вгору
Зараз ми збудуємо кілька графіків дробово-раціональних функцій. Щоб краще зрозуміти, як ми це робимо, читайте статтю «Поведінка функції в безкінечності». Асимптоти».
5. Побудуємо графік функції
Область визначення функції:
Нулі функції: і
Пряма x = 0 (вісь Y) – вертикальна асимптота функції. Асимптота- Пряма, до якої нескінченно близько підходить графік функції, але не перетинає її і не зливається з нею (дивись тему «Поведінка функції в нескінченності. Асимптоти»)
Чи є інші асимптоти нашої функції? Щоб з'ясувати це, подивимося, як поводиться функція, коли x прагне нескінченності.
Розкриємо дужки у формулі функції:
Якщо x прагне нескінченності, то прагне нуля. Пряма є похилою асимптотою до графіка функції.
6. Побудуємо графік функції
Це дрібно-раціональна функція.
Область визначення функції
Нулі функції: точки – 3, 2, 6.
Проміжки знаковості функції визначимо за допомогою методу інтервалів.
Вертикальні асимптоти:
Якщо x прагне нескінченності, то прагне 1. Значить, - горизонтальна асимптота.
Ось ескіз графіка:
Ще один цікавий прийом – складання графіків.
7. Побудуємо графік функції
Якщо x прагне до нескінченності, то і графік функції буде нескінченно близько підходити до похилої асимптоти
Якщо x прагне до нуля, то функція поводиться як Це ми і бачимо на графіку:
Ось ми побудували графік суми функцій. Тепер графік твору!
8. Побудуємо графік функції
Область визначення цієї функції - позитивні числа, оскільки тільки для позитивних x визначено
Значення функції дорівнюють нулю при (коли логарифм дорівнює нулю), а також у точках, де тобто при
При , значення (cos x) дорівнює одиниці. Значення функції у цих точках дорівнюватиме
9. Побудуємо графік функції
Функція визначена при парних, оскільки є добутком двох непарних функцій і графік симетричний щодо осі ординат.
Нулі функції - у точках, де тобто при
Якщо x прагне нескінченності, прагне нуля. Але що буде, якщо x прагне нулю? Адже і x, і sin x стануть менше і менше. Як же поводитиметься приватне?
Виявляється, якщо x прагне до нуля, то прагне одиниці. У математиці це твердження зветься «Першої чудової межі».
А як же похідна? Так, нарешті ми до неї дісталися. Похідна допомагає точніше будувати графіки функцій. Знаходити точки максимуму та мінімуму, а також значення функції у цих точках.
10. Побудуємо графік функції
Область визначення функції - всі дійсні числа, оскільки
Функція непарна. Її графік симетричний щодо початку координат.
При x=0 значення функції дорівнює нулю. За значення функції позитивні, за негативні.
Якщо x прагне нескінченності, то прагне нуля.
Знайдемо похідну функції
За формулою похідної частки,
Якщо або
У точці похідна змінює знак з мінусу на плюс, - точка мінімуму функції.
У точці похідна змінює знак із «плюсу» на «мінус», - точка максимуму функції.
Знайдемо значення функції за x=2 і за x=-2.
Графіки функцій зручно будувати за певним алгоритмом або схемою. Пам'ятаєте, чи ви вивчали її в школі?
Загальна схема побудови графіка функції:
1. Область визначення функції
2. Область значень функції
3. Парність – непарність (якщо є)
4. Періодичність (якщо є)
5. Нулі функції (точки, у яких графік перетинає осі координат)
6. Проміжки знакостійності функції (тобто проміжки, у яких вона суворо позитивна чи суворо негативна).
7. Асимптоти (якщо є).
8. Поведінка функції у нескінченності
9. Похідна функції
10. Проміжки зростання та спадання. Точки максимуму та мінімуму та значення у цих точках.
Побудувати функцію
Ми пропонуємо до вашої уваги сервіс з потроєння графіків функцій онлайн, всі права на які належать компанії Desmos. Для введення функцій скористайтесь лівою колонкою. Можна вводити вручну або за допомогою віртуальної клавіатури внизу вікна. Для збільшення вікна з графіком можна приховати як ліву колонку, і віртуальну клавіатуру.
Переваги побудови графіків онлайн
- Візуальне відображення функцій, що вводяться
- Побудова дуже складних графіків
- Побудова графіків, заданих неявно (наприклад, еліпс x^2/9+y^2/16=1)
- Можливість зберігати графіки та отримувати на них посилання, яке стає доступним для всіх в інтернеті.
- Управління масштабом, кольором ліній
- Можливість побудови графіків за точками, використання констант
- Побудова одночасно кількох графіків функцій
- Побудова графіків у полярній системі координат (використовуйте r та θ(\theta))
З нами легко в режимі онлайн будувати графіки різної складності. Побудова провадиться миттєво. Сервіс затребуваний знаходження точок перетину функцій, зображення графіків для подальшого їх переміщення у Word документ як ілюстрацій під час вирішення завдань, для аналізу поведінкових особливостей графіків функций. Оптимальним браузером для роботи з графіками на цій сторінці є Google Chrome. У разі використання інших браузерів коректність роботи не гарантується.