Skaičių su skirtingais rodikliais sudėjimas. Veiksmai su monomijomis
Kaip padauginti galias? Kurias galias galima padauginti, o kurių ne? Kaip padauginti skaičių iš laipsnio?
Algebroje galių sandaugą galite rasti dviem atvejais:
1) jei laipsniai turi tą patį pagrindą;
2) jei laipsniai turi vienodus rodiklius.
Dauginant laipsnius su ta pačia baze, bazė turi likti tokia pati, o laipsniai turi būti pridedami:
Dauginant laipsnius iš tų pačių rodiklių, bendrą rodiklį galima išimti iš skliaustų:
Apsvarstykite, kaip padauginti galias, pateikdami konkrečius pavyzdžius.
Vienetas eksponente nerašomas, bet dauginant laipsnius atsižvelgiama į:
Dauginant laipsnių skaičius gali būti bet koks. Reikėtų atsiminti, kad prieš raidę negalima rašyti daugybos ženklo:
Išraiškose pirmiausia atliekama eksponencija.
Jei jums reikia padauginti skaičių iš laipsnio, pirmiausia turite atlikti eksponentinį koeficientą, o tik tada - dauginti:
www.algebraclass.ru
Galių sudėjimas, atimtis, daugyba ir padalijimas
Laipsnių sudėjimas ir atėmimas
Akivaizdu, kad skaičius su galiomis gali būti pridedamas kaip ir kiti dydžiai , pridedant juos po vieną su jų ženklais.
Taigi a 3 ir b 2 suma yra a 3 + b 2 .
A 3 - b n ir h 5 -d 4 suma yra a 3 - b n + h 5 - d 4.
Šansai tos pačios tų pačių kintamųjų galios galima pridėti arba atimti.
Taigi 2a 2 ir 3a 2 suma yra 5a 2 .
Taip pat akivaizdu, kad jei paimtume du kvadratus a, tris kvadratus a arba penkis kvadratus a.
Bet laipsniai įvairūs kintamieji ir įvairių laipsnių identiški kintamieji, reikia pridėti juos pridedant prie jų ženklų.
Taigi, a 2 ir a 3 suma yra 2 + a 3 suma.
Akivaizdu, kad a kvadratas ir a kubas yra ne du kartus didesnis už a kvadratą, bet du kartus didesnis už a kubą.
A 3 b n ir 3a 5 b 6 suma yra a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Atimtisįgaliojimai atliekami taip pat, kaip ir sudėjimas, išskyrus tai, kad atitinkamai turi būti pakeisti poskyrio ženklai.
Arba:
2a 4 – (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 - 4h 2b 6 \u003d -h 2b 6
5 (a – h) 6 – 2 (a – h) 6 = 3 (a – h) 6
Galios dauginimas
Skaičius su laipsniais galima dauginti kaip ir kitus dydžius, rašant juos vieną po kito, su daugybos ženklu tarp jų arba be jo.
Taigi, padauginus a 3 iš b 2, gaunamas a 3 b 2 arba aaabb.
Arba:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Rezultatą paskutiniame pavyzdyje galima rūšiuoti pridedant tuos pačius kintamuosius.
Išraiška bus tokia: a 5 b 5 y 3 .
Palyginę kelis skaičius (kintamuosius) su laipsniais, pamatysime, kad padauginus bet kuriuos du iš jų, gaunamas skaičius (kintamasis), kurio galia lygi suma terminų laipsniai.
Taigi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Čia 5 yra daugybos rezultato laipsnis, lygus 2 + 3, terminų galių suma.
Taigi, a n .a m = a m+n .
Jei a n , a imamas kaip veiksnys tiek kartų, kiek yra n laipsnis;
Ir a m , imamas kaip koeficientas tiek kartų, kiek laipsnis m lygus;
Štai kodėl, galias su tomis pačiomis bazėmis galima padauginti pridedant eksponentus.
Taigi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Ir x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Arba:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Padauginkite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Atsakymas: x 4 - y 4.
Padauginkite (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Ši taisyklė galioja ir skaičiams, kurių rodikliai yra − neigiamas.
1. Taigi, a -2 .a -3 = a -5 . Tai galima parašyti kaip (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Jei a + b padauginami iš a - b, rezultatas bus a 2 - b 2: tai yra
Dviejų skaičių sumos arba skirtumo padauginimo rezultatas yra lygus jų kvadratų sumai arba skirtumui.
Jei dviejų skaičių suma ir skirtumas pakeltos į kvadratas, rezultatas bus lygus šių skaičių sumai arba skirtumui ketvirta laipsnį.
Taigi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 – y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 – y 8 .
Valdžių padalijimas
Skaičiai su laipsniais gali būti dalijami kaip ir kiti skaičiai, atimant iš daliklio arba pateikiant juos trupmenos pavidalu.
Taigi a 3 b 2 padalytas iš b 2 yra a 3 .
5 padalytas iš 3 atrodo kaip $\frac $. Bet tai lygu 2. Skaičių serijoje
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bet kurį skaičių galima padalyti iš kito, o rodiklis bus lygus skirtumas dalijamųjų skaičių rodikliai.
Dalijant laipsnius su ta pačia baze, jų rodikliai atimami..
Taigi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Tai yra, $\frac = y$.
Ir a n+1:a = a n+1-1 = a n . Tai yra, $\frac = a^n$.
Arba:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
Taisyklė taip pat galioja skaičiams su neigiamas laipsnių vertės.
-5 padalijus iš -3 rezultatas yra -2 .
Taip pat $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 arba $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Būtina labai gerai įvaldyti galių daugybą ir padalijimą, nes tokie veiksmai algebroje yra labai plačiai naudojami.
Pavyzdžiai, kaip išspręsti pavyzdžius su trupmenomis, kuriose yra skaičių su laipsniais
1. Sumažinkite eksponentus $\frac $ Atsakymas: $\frac $.
2. Sumažinkite eksponentus $\frac$. Atsakymas: $\frac $ arba 2x.
3. Sumažinkite eksponentus a 2 / a 3 ir a -3 / a -4 ir padidinkite iki Bendras vardiklis.
a 2 .a -4 yra pirmasis skaitiklis -2.
a 3 .a -3 yra 0 = 1, antrasis skaitiklis.
a 3 .a -4 yra -1 , bendras skaitiklis.
Supaprastinus: a -2 /a -1 ir 1/a -1 .
4. Sumažinkite eksponentus 2a 4 /5a 3 ir 2 /a 4 ir suveskite iki bendro vardiklio.
Atsakymas: 2a 3 / 5a 7 ir 5a 5 / 5a 7 arba 2a 3 / 5a 2 ir 5/5a 2.
5. Padauginkite (a 3 + b)/b 4 iš (a - b)/3.
6. Padauginkite (a 5 + 1)/x 2 iš (b 2 - 1)/(x + a).
7. Padauginkite b 4 /a -2 iš h -3 /x ir a n /y -3 .
8. Padalinkite 4 /y 3 iš 3 /y 2 . Atsakymas: a/y.
laipsnio savybes
Primename, kad į šią pamoką suprasti laipsnio savybes su natūraliais rodikliais ir nuliu. Laipsniai su racionalūs rodikliai o jų savybės bus aptariamos 8 klasei skirtose pamokose.
Laipsnis c natūralus rodiklis turi keletą svarbios savybės, kurios leidžia supaprastinti skaičiavimus pavyzdžiuose su galiomis.
1 nuosavybė
Galių produktas
Dauginant laipsnius su ta pačia baze, bazė lieka nepakitusi, o laipsniai pridedami.
a m a n \u003d a m + n, kur "a" yra bet koks skaičius, o "m", "n" yra bet kokie natūralūs skaičiai.
Ši galių savybė taip pat turi įtakos trijų ar daugiau galių sandaugai.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Atkreipkite dėmesį, kad nurodytoje nuosavybėje buvo kalbama tik apie galių dauginimą tais pačiais pagrindais.. Tai netaikoma jų papildymui.
Sumos (3 3 + 3 2) negalite pakeisti 3 5 . Tai suprantama, jei
apskaičiuokite (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 ir 3 5 = 243
2 nuosavybė
Privatūs laipsniai
Dalijant laipsnius ta pačia baze, bazė lieka nepakitusi, o daliklio rodiklis atimamas iš dividendo laipsnio.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Pavyzdys. Išspręskite lygtį. Mes naudojame dalinių laipsnių savybę.
3 8: t = 3 4
Atsakymas: t = 3 4 = 81
Naudodami savybes Nr. 1 ir Nr. 2 galite lengvai supaprastinti išraiškas ir atlikti skaičiavimus.
- Pavyzdys. Supaprastinkite išraišką.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 - 4 m - 3 = 4 2 m + 5
Pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę naudodami laipsnio savybes.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Atkreipkite dėmesį, kad 2 nuosavybė buvo susijusi tik su galių padalijimu tais pačiais pagrindais.
Skirtumo (4 3 −4 2) negalite pakeisti 4 1 . Tai suprantama, jei apskaičiuojate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 ir 4 1 = 4
3 turtas
Eksponentiškumas
Didinant laipsnį į laipsnį, galios bazė lieka nepakitusi, o laipsniai dauginami.
(a n) m \u003d a n m, kur "a" yra bet koks skaičius, o "m", "n" yra bet kokie natūralūs skaičiai.
Atkreipkite dėmesį, kad nuosavybė Nr. 4, kaip ir kitos laipsnių savybės, taip pat naudojama Atvirkštinė tvarka.
(a n b n)= (a b) n
Tai yra, norėdami padauginti laipsnius su tais pačiais eksponentais, galite padauginti bazes ir palikti eksponentą nepakeistą.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
Daugiau sunkūs pavyzdžiai gali būti atvejų, kai daugyba ir dalyba turi būti atliekama laipsniais su skirtingais pagrindais ir skirtingais laipsniais. Tokiu atveju patariame atlikti šiuos veiksmus.
Pavyzdžiui, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Dešimtainės trupmenos eksponencijos pavyzdys.
4 21 (-0,25) 20 = 4 4 20 (-0,25) 20 = 4 (4 (-0,25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = keturi
Savybės 5
Dalinio galia (trupmenomis)
Norėdami padidinti koeficientą iki laipsnio, galite atskirai padidinti dividendą ir daliklį iki šios laipsnio, o pirmąjį rezultatą padalyti iš antrojo.
(a: b) n \u003d a n: b n, kur "a", "b" yra bet kokie racionalūs skaičiai, b ≠ 0, n yra bet koks natūralusis skaičius.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Primename, kad koeficientas gali būti pavaizduotas trupmena. Todėl kitame puslapyje mes išsamiau aptarsime trupmenos pakėlimo į laipsnį temą.
Laipsniai ir šaknys
Operacijos su galiomis ir šaknimis. Laipsnis su neigiamu ,
nulis ir trupmena indikatorius. Apie posakius, kurie neturi prasmės.
Operacijos su laipsniais.
1. Dauginant laipsnius su ta pačia baze, jų rodikliai sumuojami:
esu · a n = a m + n .
2. Dalijant laipsnius su tuo pačiu pagrindu, jų rodikliai atimta .
3. Dviejų ar daugiau veiksnių sandaugos laipsnis yra lygus šių veiksnių laipsnių sandaugai.
4. Santykio laipsnis (trupmena) lygus dividendo (skaitiklio) ir daliklio (vardiklio) laipsnių santykiui:
(a/b) n = a n / b n .
5. Didinant laipsnį iki laipsnio, jų rodikliai dauginami:
Visos aukščiau pateiktos formulės skaitomos ir vykdomos abiem kryptimis iš kairės į dešinę ir atvirkščiai.
PAVYZDYS (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .
Operacijos su šaknimis. Visose toliau pateiktose formulėse simbolis reiškia aritmetinė šaknis(radikali išraiška yra teigiama).
1. Kelių veiksnių sandaugos šaknis yra lygi šių veiksnių šaknų sandaugai:
2. Santykio šaknis lygi dividendo ir daliklio šaknų santykiui:
3. Keliant šaknį į galią, pakanka pakelti iki šios galios šakninis numeris:
4. Jei šaknies laipsnį padidinsite m kartų ir kartu pakelsite šaknies skaičių iki m laipsnio, tada šaknies reikšmė nepasikeis:
5. Jei šaknies laipsnį sumažinsite m kartų ir tuo pačiu metu iš radikalinio skaičiaus ištrauksite m-ojo laipsnio šaknį, tada šaknies reikšmė nepasikeis:
Laipsnio sąvokos išplėtimas. Iki šiol laipsnius vertinome tik su natūraliu rodikliu; bet operacijos su galiomis ir šaknimis taip pat gali sukelti neigiamas, nulis ir trupmeninis rodikliai. Visiems šiems rodikliams reikia papildomo apibrėžimo.
Laipsnis su neigiamu rodikliu. Tam tikro skaičiaus, turinčio neigiamą (sveikąjį) rodiklį, laipsnis apibrėžiamas kaip laipsnis, padalytas iš to paties skaičiaus laipsnio, kurio rodiklis lygus absoliučiai neigiamo eksponento vertei:
Dabar formulė esu : a n = a m-n gali būti naudojamas ne tik m, daugiau nei n, bet ir adresu m, mažiau nei n .
PAVYZDYS a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .
Jei norime formulės esu : a n = esu — n buvo sąžiningas m = n, mums reikia nulinio laipsnio apibrėžimo.
Laipsnis su nuliniu rodikliu. Bet kurio nulinio skaičiaus, kurio rodiklis nulinis, laipsnis yra 1.
PAVYZDŽIAI. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Laipsnis su trupmeniniu rodikliu. Norint pakelti tikras numeris ir laipsniui m / n, iš šio skaičiaus a m laipsnio reikia išskirti n-ojo laipsnio šaknį:
Apie posakius, kurie neturi prasmės. Yra keletas tokių posakių.
kur a ≠ 0 , neegzistuoja.
Iš tiesų, jei manytume, kad x yra tam tikras skaičius, tada pagal padalijimo operacijos apibrėžimą turime: a = 0· x, t.y. a= 0, o tai prieštarauja sąlygai: a ≠ 0
— bet koks skaičius.
Iš tiesų, jei manysime, kad ši išraiška yra lygi tam tikram skaičiui x, tada pagal padalijimo operacijos apibrėžimą turime: 0 = 0 x. Tačiau ši lygybė galioja bet koks skaičius x, kas turėjo būti įrodyta.
0 0 — bet koks skaičius.
Sprendimas. Apsvarstykite tris pagrindinius atvejus:
1) x = 0 – ši reikšmė šios lygties netenkina
2) kada x> 0 gauname: x/x= 1, t.y. 1 = 1, iš kur seka,
ką x- bet koks skaičius; bet atsižvelgiant į tai
mūsų atvejis x> 0, atsakymas yra x > 0 ;
Galių dauginimo skirtingais pagrindais taisyklės
LAIPSNIS SU RACIONALIU RODIKLIU,
MAITINIMO FUNKCIJA IV
§ 69. Valdžių dauginimas ir padalijimas tais pačiais pagrindais
1 teorema. Norint padauginti laipsnius su tomis pačiomis bazėmis, pakanka pridėti eksponentus, o bazę palikti tą pačią, tai yra
Įrodymas. Pagal laipsnio apibrėžimą
2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.
Mes svarstėme dviejų galių sandaugą. Tiesą sakant, įrodyta savybė galioja bet kokiam skaičiui galių, turinčių tuos pačius pagrindus.
2 teorema. Norint padalinti laipsnius tomis pačiomis bazėmis, kai dividendo rodiklis yra didesnis už daliklio rodiklį, pakanka atimti daliklio rodiklį iš dividendo rodiklio, o bazę palikti tą pačią, tai yra adresu t > n
(a =/= 0)
Įrodymas. Prisiminkite, kad vieno skaičiaus dalijimosi iš kito koeficientas yra skaičius, kurį padauginus iš daliklio gaunamas dividendas. Todėl įrodykite formulę , kur a =/= 0, tai tarsi formulės įrodymas
Jeigu t > n , tada skaičius t - p bus natūralus; todėl pagal 1 teoremą
2 teorema įrodyta.
Atkreipkite dėmesį, kad formulė
mes įrodėme tik darydami prielaidą, kad t > n . Todėl iš to, kas buvo įrodyta, dar negalima padaryti, pavyzdžiui, šių išvadų:
Be to, mes dar nesvarstėme laipsnių su neigiamais eksponentais ir dar nežinome, kokia reikšmė gali būti suteikta išraiškai 3 - 2 .
3 teorema. Norint padidinti laipsnį iki laipsnio, pakanka padauginti laipsnius, paliekant laipsnio bazę ta pačia, tai yra
Įrodymas. Naudodamiesi laipsnio apibrėžimu ir šio skyriaus 1 teorema, gauname:
Q.E.D.
Pavyzdžiui, (2 3) 2 = 2 6 = 64;
518 (Žodžiu.) Nustatyti X iš lygčių:
1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;
2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .
519. (Koreguotas) Supaprastinti:
520. (Koreguotas) Supaprastinti:
521. Pateikite šias išraiškas kaip laipsnius su tais pačiais pagrindais:
1) 32 ir 64; 3) 85 ir 163; 5) 4 100 ir 32 50;
2) -1000 ir 100; 4) -27 ir -243; 6) 81 75 8 200 ir 3 600 4 150.
Matematikos laipsnio sąvoka supažindinama jau 7 klasėje algebros pamokoje. Ir ateityje, per visą matematikos studijų laikotarpį, ši sąvoka aktyviai naudojama įvairiomis formomis. Laipsniai yra gana sudėtinga tema, reikalaujanti įsiminti vertybes ir mokėti teisingai ir greitai skaičiuoti. Norėdami greičiau ir geriau dirbti su matematikos laipsniais, jie sugalvojo laipsnio savybes. Jie padeda sumažinti didelių skaičiavimų skaičių, tam tikru mastu paversti didžiulį pavyzdį į vieną skaičių. Savybių nėra tiek daug, ir visas jas lengva prisiminti ir pritaikyti praktikoje. Todėl straipsnyje aptariamos pagrindinės laipsnio savybės, taip pat kur jos taikomos.
laipsnio savybes
Išnagrinėsime 12 laipsnio savybių, įskaitant tos pačios bazės laipsnius, ir pateiksime kiekvienos savybės pavyzdį. Kiekviena iš šių savybių padės greičiau išspręsti su laipsniais susijusias problemas, taip pat sutaupys nuo daugybės skaičiavimo klaidų.
1-asis turtas.
Daugelis žmonių labai dažnai pamiršta apie šią savybę, daro klaidas, skaičių iki nulio laipsnio pateikdami kaip nulį.
2-asis turtas.
3 turtas.
Reikia atsiminti, kad šią savybę galima naudoti tik dauginant skaičius, ji neveikia su suma! Ir mes neturime pamiršti, kad šios ir šios savybės taikomos tik galioms, turinčioms tą patį pagrindą.
4-asis turtas.
Jei skaičius vardiklyje padidinamas iki neigiamos laipsnio, tada atimant vardiklio laipsnis imamas skliausteliuose, kad tolesniuose skaičiavimuose būtų teisingai pakeistas ženklas.
Savybė veikia tik dalijant, o ne atimant!
5-asis turtas.
6-asis turtas.
Ši savybė taip pat gali būti taikoma išvirkščia pusė. Vienetas, padalytas iš skaičiaus tam tikru laipsniu, yra tas skaičius, kurio laipsnis yra neigiamas.
7-asis turtas.
Ši savybė negali būti taikoma sumai ir skirtumui! Keliant sumą ar skirtumą į laipsnį, naudojamos sutrumpintos daugybos formulės, o ne laipsnio savybės.
8-asis turtas.
9-asis turtas.
Šis turtas tinka bet kuriam trupmeninis laipsnis kai skaitiklis lygus vienetui, formulė bus ta pati, tik šaknies laipsnis keisis priklausomai nuo laipsnio vardiklio.
Be to, ši savybė dažnai naudojama atvirkštine tvarka. Bet kurios skaičiaus laipsnio šaknis gali būti pavaizduota kaip skaičius, padalytas iš šaknies laipsnio. Ši savybė labai naudinga tais atvejais, kai skaičiaus šaknis nėra išgaunama.
10-asis turtas.
Ši nuosavybė veikia ne tik su kvadratinė šaknis ir antrasis laipsnis. Jei šaknies laipsnis ir šios šaknies pakilimo laipsnis yra vienodi, tada atsakymas bus radikali išraiška.
11-asis turtas.
Sprendžiant šią nuosavybę reikia laiku pamatyti, kad apsisaugotumėte nuo didžiulių skaičiavimų.
12-asis turtas.
Kiekviena iš šių savybių sutiks jus ne kartą atliekant užduotis, ji gali būti pateikta gryna forma arba gali prireikti tam tikrų transformacijų ir naudoti kitas formules. Todėl teisingam sprendimui neužtenka žinoti tik savybes, reikia praktikuotis ir susieti likusias matematines žinias.
Laipsnių taikymas ir jų savybės
Jie aktyviai naudojami algebroje ir geometrijoje. Matematikos laipsniai turi atskirą, svarbią vietą. Jų pagalba sprendžiamos eksponentinės lygtys ir nelygybės, taip pat galios dažnai apsunkina lygtis ir pavyzdžius, susijusius su kitomis matematikos dalimis. Rodikliai padeda išvengti didelių ir ilgų skaičiavimų, lengviau sumažinti ir apskaičiuoti rodiklius. Tačiau norint dirbti su didelėmis galiomis arba su didelių skaičių galiomis, reikia žinoti ne tik laipsnio savybes, bet ir kompetentingai dirbti su bazėmis, mokėti jas suskaidyti, kad būtų lengviau atlikti savo užduotį. Kad būtų patogiau, taip pat turėtumėte žinoti skaičių, pakeltų iki laipsnio, reikšmę. Tai sumažins jūsų sprendimo laiką, nes nebereikės ilgų skaičiavimų.
Laipsnio sąvoka logaritmuose vaidina ypatingą vaidmenį. Kadangi logaritmas iš esmės yra skaičiaus galia.
Sutrumpintos daugybos formulės yra dar vienas galių naudojimo pavyzdys. Jie negali naudoti laipsnių savybių, jie skaidomi pagal specialias taisykles, tačiau kiekvienoje sutrumpintoje daugybos formulėje visada yra laipsnių.
Laipsniai taip pat aktyviai naudojami fizikoje ir informatikoje. Visi vertimai į SI sistemą atliekami naudojant laipsnius, o ateityje, sprendžiant uždavinius, taikomos laipsnio savybės. Informatikos moksle dviejų galios aktyviai naudojamos, kad būtų patogiau skaičiuoti ir supaprastinti skaičių suvokimą. Tolesni matavimo vienetų perskaičiavimo arba uždavinių skaičiavimai, kaip ir fizikoje, atliekami naudojant laipsnio savybes.
Laipsniai labai praverčia ir astronomijoje, kur retai galima rasti laipsnio savybių panaudojimą, tačiau patys laipsniai aktyviai naudojami įvairių dydžių ir atstumų fiksavimui sutrumpinti.
Taip pat naudojami laipsniai įprastas gyvenimas, skaičiuojant plotus, tūrius, atstumus.
Naudojant laipsnius, bet kurioje mokslo srityje užrašomos labai didelės ir labai mažos vertės.
eksponentinės lygtys ir nelygybės
Ypatinga vieta laipsnio savybės užima būtent in eksponentinės lygtys ir nelygybės. Šios užduotys yra labai dažnos, kaip mokyklos kursas taip pat egzaminuose. Visi jie sprendžiami taikant laipsnio savybes. Nežinomybė visada yra pačiame laipsnyje, todėl žinant visas savybes, tokią lygtį ar nelygybę išspręsti nebus sunku.
Viena iš pagrindinių algebros ir visos matematikos savybių yra laipsnis. Žinoma, XXI amžiuje visus skaičiavimus galima atlikti naudojant internetinį skaičiuotuvą, tačiau geriau išmokti tai padaryti patiems smegenų vystymuisi.
Šiame straipsnyje apžvelgsime daugiausiai svarbius klausimus apie šį apibrėžimą. Būtent, mes suprasime, kas tai apskritai yra ir kokios yra pagrindinės jo funkcijos, kokios savybės egzistuoja matematikoje.
Pažiūrėkime į pavyzdžius, kaip atrodo skaičiavimas, kokios yra pagrindinės formulės. Išanalizuosime pagrindinius dydžių tipus ir kuo jie skiriasi nuo kitų funkcijų.
Suprasime, kaip naudojant šią reikšmę išspręsti įvairias problemas. Pavyzdžiais parodysime, kaip pakelti iki nulio laipsnio, neracionalu, neigiama ir pan.
Internetinė eksponencijos skaičiuoklė
Koks yra skaičiaus laipsnis
Ką reiškia posakis „pakelti skaičių iki laipsnio“?
Skaičiaus a laipsnis n yra a dydžio veiksnių sandauga n kartų iš eilės.
Matematiškai tai atrodo taip:
a n = a * a * a * …a n .
Pavyzdžiui:
- 2 3 = 2 trečiame žingsnyje. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 žingsniu. du = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 žingsniu. keturi = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 \u003d 10 5 žingsniais. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000;
- 10 4 \u003d 10 4 žingsniais. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10 000.
Žemiau yra kvadratų ir kubelių nuo 1 iki 10 lentelė.
Laipsnių lentelė nuo 1 iki 10
Žemiau pateikiami statybos rezultatai natūraliuosius skaičius prie teigiamų galių – „nuo 1 iki 100“.
Ch-lo | 2 klasė | 3 klasė |
1 | 1 | 1 |
2 | 4 | 8 |
3 | 9 | 27 |
4 | 16 | 64 |
5 | 25 | 125 |
6 | 36 | 216 |
7 | 49 | 343 |
8 | 64 | 512 |
9 | 81 | 279 |
10 | 100 | 1000 |
Laipsnio savybės
Kas būdinga tokiai matematinei funkcijai? Pažvelkime į pagrindines savybes.
Mokslininkai nustatė šiuos dalykus Visiems laipsniams būdingi ženklai:
- a n * a m = (a) (n+m) ;
- a n: a m = (a) (n-m) ;
- (a b) m =(a) (b*m) .
Patikrinkime su pavyzdžiais:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Kita vertus, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.
Panašiai: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Kitu atveju 2 3-2 = 2 1 =2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. O jei skiriasi? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
Kaip matote, taisyklės veikia.
Bet kaip būti su pridėjimu ir atėmimu? Viskas paprasta. Pirmiausia atliekama eksponencija, o tik tada sudėjimas ir atėmimas.
Pažiūrėkime į pavyzdžius:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16
Tačiau šiuo atveju pirmiausia turite apskaičiuoti priedą, nes skliausteliuose yra veiksmų: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
Kaip gaminti skaičiuoti daugiau sunkių atvejų ? Tvarka ta pati:
- jei yra skliaustų, reikia pradėti nuo jų;
- tada eksponencija;
- tada atlikti daugybos, dalybos operacijas;
- po sudėjimo, atimties.
Yra specifinių savybių, kurios būdingos ne visiems laipsniams:
- N-ojo laipsnio šaknis nuo skaičiaus a iki laipsnio m bus parašyta taip: a m / n .
- Keliant trupmeną į laipsnį: ši procedūra taikoma ir skaitikliui, ir jo vardikliui.
- Statant kūrinį skirtingi skaičiai laipsniui, išraiška atitiks šių skaičių sandaugą su duotuoju laipsniu. Tai yra: (a * b) n = a n * b n .
- Didinant skaičių iki neigiamo laipsnio, 1 reikia padalyti iš skaičiaus, turinčio tą pačią laipsnį, bet su „+“ ženklu.
- Jei trupmenos vardiklis yra neigiamo laipsnio, tai ši išraiška bus lygi skaitiklio ir vardiklio sandaugai teigiamoje laipsnėje.
- Bet koks skaičius, kurio laipsnis 0 = 1, ir žingsnis. 1 = sau.
Šios taisyklės yra svarbios atskirais atvejais, toliau jas panagrinėsime plačiau.
Laipsnis su neigiamu rodikliu
Ką daryti su neigiamu laipsniu, tai yra, kai rodiklis yra neigiamas?
Remiantis 4 ir 5 savybėmis(žr. aukščiau esantį punktą) paaiškėja:
A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.
Ir atvirkščiai:
1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.
O jei tai trupmena?
(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.
Laipsnis su natūraliu rodikliu
Jis suprantamas kaip laipsnis, kurio rodikliai lygūs sveikiesiems skaičiams.
Ką reikia atsiminti:
A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...ir t.t.
A1 = A, 11 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3 ir tt
Be to, jei (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2… tada rezultatas bus su „+“ ženklu. Jeigu neigiamas skaičius pakeltas iki nelyginės galios, atvirkščiai.
Jiems būdingos ir bendrosios savybės bei visos aukščiau aprašytos specifinės savybės.
Trupmeninis laipsnis
Šį vaizdą galima parašyti kaip schemą: A m / n. Jis skaitomas taip: skaičiaus A n-ojo laipsnio šaknis iki laipsnio m.
Su trupmeniniu indikatoriumi galite padaryti bet ką: sumažinti, suskaidyti į dalis, pakelti iki kito laipsnio ir pan.
Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu
Tegul α yra neracionalus skaičius ir А ˃ 0.
Norėdami suprasti laipsnio esmę naudojant tokį rodiklį, Pažvelkime į įvairius galimus atvejus:
- A \u003d 1. Rezultatas bus lygus 1. Kadangi yra aksioma - 1 yra lygus vienetui visomis laipsniais;
А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 yra racionalieji skaičiai;
- 0˂А˂1.
Šiuo atveju atvirkščiai: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 tomis pačiomis sąlygomis kaip ir antroje pastraipoje.
Pavyzdžiui, eksponentas yra skaičius π. Tai racionalu.
r 1 - šiuo atveju jis lygus 3;
r 2 - bus lygus 4.
Tada, jei A = 1, 1 π = 1.
A = 2, tada 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.
A = 1/2, tada (½) 4˂ (½) π˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π˂ 1/8.
Tokiems laipsniams būdingi visi aukščiau aprašyti matematiniai veiksmai ir specifinės savybės.
Išvada
Apibendrinkime – kam šios reikšmės, kokie tokių funkcijų pranašumai? Žinoma, pirmiausia jie supaprastina matematikų ir programuotojų gyvenimą sprendžiant pavyzdžius, nes leidžia sumažinti skaičiavimus, sumažinti algoritmus, sisteminti duomenis ir daug daugiau.
Kur dar šios žinios gali būti naudingos? Bet kurioje darbo specialybėje: medicina, farmakologija, odontologija, statyba, technologija, inžinerija, dizainas ir kt.
Akivaizdu, kad skaičius su galiomis gali būti pridedamas kaip ir kiti dydžiai , pridedant juos po vieną su jų ženklais.
Taigi a 3 ir b 2 suma yra a 3 + b 2 .
A 3 - b n ir h 5 - d 4 suma yra a 3 - b n + h 5 - d 4 .
Šansai tos pačios tų pačių kintamųjų galios galima pridėti arba atimti.
Taigi 2a 2 ir 3a 2 suma yra 5a 2 .
Taip pat akivaizdu, kad jei paimtume du kvadratus a, tris kvadratus a arba penkis kvadratus a.
Bet laipsniai įvairūs kintamieji ir įvairių laipsnių identiški kintamieji, reikia pridėti juos pridedant prie jų ženklų.
Taigi, a 2 ir a 3 suma yra 2 + a 3 suma.
Akivaizdu, kad a kvadratas ir a kubas yra ne du kartus didesnis už a kvadratą, bet du kartus didesnis už a kubą.
A 3 b n ir 3a 5 b 6 suma yra a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Atimtisįgaliojimai atliekami taip pat, kaip ir sudėjimas, išskyrus tai, kad atitinkamai turi būti pakeisti poskyrio ženklai.
Arba:
2a 4 – (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 - 4h 2b 6 = -h 2b 6
5 (a – h) 6 – 2 (a – h) 6 = 3 (a – h) 6
Galios dauginimas
Skaičius su laipsniais galima dauginti kaip ir kitus dydžius, rašant juos vieną po kito, su daugybos ženklu tarp jų arba be jo.
Taigi, padauginus a 3 iš b 2, gaunamas a 3 b 2 arba aaabb.
Arba:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Rezultatą paskutiniame pavyzdyje galima rūšiuoti pridedant tuos pačius kintamuosius.
Išraiška bus tokia: a 5 b 5 y 3 .
Palyginę kelis skaičius (kintamuosius) su laipsniais, pamatysime, kad padauginus bet kuriuos du iš jų, gaunamas skaičius (kintamasis), kurio galia lygi suma terminų laipsniai.
Taigi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Čia 5 yra daugybos rezultato laipsnis, lygus 2 + 3, terminų galių suma.
Taigi, a n .a m = a m+n .
Jei a n , a imamas kaip veiksnys tiek kartų, kiek yra n laipsnis;
Ir a m , imamas kaip koeficientas tiek kartų, kiek laipsnis m lygus;
Štai kodėl, galias su tomis pačiomis bazėmis galima padauginti pridedant eksponentus.
Taigi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Ir x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Arba:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Padauginkite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Atsakymas: x 4 - y 4.
Padauginkite (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Ši taisyklė galioja ir skaičiams, kurių eksponentai yra - neigiamas.
1. Taigi, a -2 .a -3 = a -5 . Tai galima parašyti kaip (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Jei a + b padauginami iš a - b, rezultatas bus a 2 - b 2: tai yra
Dviejų skaičių sumos arba skirtumo padauginimo rezultatas yra lygus jų kvadratų sumai arba skirtumui.
Jei dviejų skaičių suma ir skirtumas pakeltos į kvadratas, rezultatas bus lygus šių skaičių sumai arba skirtumui ketvirta laipsnį.
Taigi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 – y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 – y 8 .
Valdžių padalijimas
Skaičiai su laipsniais gali būti dalijami kaip ir kiti skaičiai, atimant iš daliklio arba pateikiant juos trupmenos pavidalu.
Taigi a 3 b 2 padalytas iš b 2 yra a 3 .
Arba:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
Rašant 5 padalijus iš 3 atrodo $\frac(a^5)(a^3)$. Bet tai lygu 2. Skaičių serijoje
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bet kurį skaičių galima padalyti iš kito, o rodiklis bus lygus skirtumas dalijamųjų skaičių rodikliai.
Dalijant laipsnius su ta pačia baze, jų rodikliai atimami..
Taigi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Tai yra, $\frac(yyy)(yy) = y$.
Ir a n+1:a = a n+1-1 = a n . Tai yra, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
Arba:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
Taisyklė taip pat galioja skaičiams su neigiamas laipsnių vertės.
-5 padalijus iš -3 rezultatas yra -2 .
Taip pat $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 arba $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
Būtina labai gerai įvaldyti galių daugybą ir padalijimą, nes tokie veiksmai algebroje yra labai plačiai naudojami.
Pavyzdžiai, kaip išspręsti pavyzdžius su trupmenomis, kuriose yra skaičių su laipsniais
1. Sumažinkite eksponentus $\frac(5a^4)(3a^2)$ Atsakymas: $\frac(5a^2)(3)$.
2. Sumažinkite eksponentus $\frac(6x^6)(3x^5)$. Atsakymas: $\frac(2x)(1)$ arba 2x.
3. Sumažinkite eksponentus a 2 / a 3 ir a -3 / a -4 ir suveskite iki bendro vardiklio.
a 2 .a -4 yra pirmasis skaitiklis -2.
a 3 .a -3 yra 0 = 1, antrasis skaitiklis.
a 3 .a -4 yra -1 , bendras skaitiklis.
Supaprastinus: a -2 /a -1 ir 1/a -1 .
4. Sumažinkite eksponentus 2a 4 /5a 3 ir 2 /a 4 ir suveskite iki bendro vardiklio.
Atsakymas: 2a 3 / 5a 7 ir 5a 5 / 5a 7 arba 2a 3 / 5a 2 ir 5/5a 2.
5. Padauginkite (a 3 + b)/b 4 iš (a - b)/3.
6. Padauginkite (a 5 + 1)/x 2 iš (b 2 - 1)/(x + a).
7. Padauginkite b 4 /a -2 iš h -3 /x ir a n /y -3 .
8. Padalinkite 4 /y 3 iš 3 /y 2 . Atsakymas: a/y.
9. Padalinkite (h 3 – 1)/d 4 iš (d n + 1)/h.
Jei reikia padidinti konkretų skaičių iki laipsnio, galite naudoti . Dabar pažvelgsime atidžiau galių savybės.
Eksponentiniai skaičiai atveria dideles galimybes, jie leidžia paversti daugybą į sudėjimą, o sudėti daug lengviau nei dauginti.
Pavyzdžiui, turime padauginti 16 iš 64. Šių dviejų skaičių sandauga yra 1024. Tačiau 16 yra 4x4, o 64 - 4x4x4. Taigi 16 kartų 64 = 4x4x4x4x4, kuris taip pat yra 1024.
Skaičius 16 taip pat gali būti pavaizduotas kaip 2x2x2x2, o 64 - kaip 2x2x2x2x2x2, o jei padauginsime, vėl gausime 1024.
Dabar naudokimės taisykle. 16 = 4 2 arba 2 4 , 64 = 4 3 arba 2 6 , o 1024 = 6 4 = 4 5 arba 2 10 .
Todėl mūsų uždavinį galima parašyti ir kitaip: 4 2 x4 3 =4 5 arba 2 4 x2 6 =2 10, ir kiekvieną kartą gauname 1024.
Galime išspręsti daugybę panašių pavyzdžių ir pamatyti, kad skaičių dauginimas su laipsniais sumažėja iki eksponentų pridėjimas, arba eksponentas, žinoma, su sąlyga, kad veiksnių bazės yra lygios.
Taigi, nedauginant galime iš karto pasakyti, kad 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.
Ši taisyklė galioja ir dalijant skaičius laipsniais, tačiau šiuo atveju el daliklio rodiklis atimamas iš dividendo rodiklio. Taigi, 2 5:2 3 =2 2 , kuris įprastais skaičiais lygus 32:8=4, tai yra 2 2 . Apibendrinkime:
a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, kur m ir n yra sveikieji skaičiai.
Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad taip skaičių daugyba ir dalyba laipsniais nėra labai patogu, nes pirmiausia reikia pavaizduoti skaičių eksponentine forma. Nesunku pavaizduoti skaičius 8 ir 16 tokia forma, ty 2 3 ir 2 4, bet kaip tai padaryti su skaičiais 7 ir 17? Arba ką daryti tais atvejais, kai skaičius gali būti pavaizduotas eksponentine forma, tačiau skaičių eksponentinių išraiškų pagrindai labai skiriasi. Pavyzdžiui, 8×9 yra 2 3 x 3 2, tokiu atveju negalime sumuoti eksponentų. Nei 2 5, nei 3 5 nėra atsakymas, taip pat nėra atsakymas tarp jų.
Tada ar verta vargti su šiuo metodu? Tikrai verta. Tai suteikia didžiulių pranašumų, ypač atliekant sudėtingus ir daug laiko reikalaujančius skaičiavimus.