İkinci dereceden denklemler. Temel konseptler
Sınıf: 8
Standart (okul matematik dersinde okudu) ve standart olmayan çözme yöntemlerini düşünün ikinci dereceden denklemler.
1. İkinci dereceden denklemin sol tarafının doğrusal faktörlere ayrıştırılması.
Örnekleri düşünün:
3) x 2 + 10x - 24 = 0.
6(x 2 + x - x) = 0 | : 6
x 2 + x - x - \u003d 0;
x(x - ) + (x - ) = 0;
x(x - ) (x + ) = 0;
= ; – .Cevap: ; – .
Bağımsız çalışma için:
İkinci dereceden bir denklemin sol tarafını doğrusal faktörlere ayırma yöntemini kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözün.
a) x 2 - x \u003d 0; d) x 2 - 81 = 0; g) x 2 + 6x + 9 = 0; |
b) x 2 + 2x \u003d 0; e) 4x 2 - = 0; h) x 2 + 4x + 3 = 0; |
c) 3x 2 - 3x = 0; f) x 2 - 4x + 4 = 0; i) x 2 + 2x - 3 = 0. |
a) 0; bir | b) -2; 0 | c) 0; bir |
2. Tam kare seçme yöntemi.
Örnekleri düşünün:
Bağımsız çalışma için.
Tam kare yöntemini kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözün.
3. İkinci dereceden denklemlerin formülle çözümü.
balta 2 + + c \u003d 0, (a | 4a
4a 2 x 2 + 4ab + 4ac = 0;
2ax + 2ax 2v + 2'de - 2'de + 4ac \u003d 0;
2 = 2 - 4ac'de; =±;Örnekleri düşünün.
Bağımsız çalışma için.
x 1,2 = formülünü kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözün.
4. Vieta teoremini kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözme (doğrudan ve ters)
x 2 + px + q = 0 - indirgenmiş ikinci dereceden denklem
Vieta teoremi ile.O zaman denklemin iki özdeş kökü varsa ve bu katsayıya bağlıdır.
p ise, o zaman .
p ise, o zaman .
Örneğin:
O zaman denklemin farklı işaretli iki kökü varsa ve daha büyük kök p ise ve p ise olacaktır.
Örneğin:
Bağımsız çalışma için.
İkinci dereceden denklemi çözmeden, köklerinin işaretlerini belirlemek için ters Vieta teoremini kullanın:
a, b, j, l - çeşitli kökler;
c, e, h – negatif;
d, f, g, ben, m – pozitif;
5. İkinci dereceden denklemlerin “transfer” yöntemiyle çözümü.
Bağımsız çalışma için.
"Flip" yöntemini kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözün.
6. İkinci dereceden denklemleri katsayılarının özelliklerini kullanarak çözme.
I. ax 2 + bx + c = 0, burada 0
1) a + b + c \u003d 0 ise, x 1 \u003d 1; x 2 =
Kanıt:
balta 2 + bx + c = 0 |: bir
x 2 + x + = 0.
Vieta teoremine göre
a + b + c = 0 koşuluyla, sonra b = -a - c. Sonra, alırız
Bundan x 1 =1; x2 = . Q.E.D.
2) a - b + c \u003d 0 (veya b \u003d a + c) ise, x 1 \u003d - 1; x 2 \u003d -
Kanıt:
Vieta teoremine göre
a - b + c \u003d 0 koşuluna göre, yani. b = a + c. Sonra şunu elde ederiz:
Bu nedenle, x 1 \u003d - 1; x 2 \u003d -.
Örnekleri düşünün.
1) 345 x 2 - 137 x - 208 = 0.
a + b + c \u003d 345 - 137 - 208 \u003d 0
x 1 = 1; x 2 ==
2) 132 x 2 - 247 x + 115 = 0.
a + b + c = 132 -247 -115 = 0.
x 1 = 1; x 2 ==
Cevap: 1;
Bağımsız çalışma için.
İkinci dereceden bir denklemin katsayılarının özelliklerini kullanarak denklemleri çözün
II. ax 2 + bx + c = 0, burada 0
x 1.2 = . b = 2k olsun, yani Bile. sonra alırız
x 1.2 = = = =
Bir örnek düşünün:
3x 2 - 14x + 16 = 0.
D 1 \u003d (-7) 2 - 3 16 \u003d 49 - 48 \u003d 1
x 1 = = 2; x 2 =
Cevap: 2;
Bağımsız çalışma için.
a) 4x 2 - 36x + 77 = 0
b) 15x 2 - 22x - 37 = 0
c) 4x 2 + 20x + 25 = 0
d) 9x 2 - 12x + 4 = 0
Yanıtlar:
III. x 2 + piksel + q = 0
x 1,2 = - ± 2 - q
Bir örnek düşünün:
x 2 - 14x - 15 = 0
x 1,2 = 7 = 7
x 1 \u003d -1; x 2 = 15.
Cevap: -1; 15.
Bağımsız çalışma için.
a) x 2 - 8x - 9 \u003d 0
b) x 2 + 6x - 40 = 0
c) x 2 + 18x + 81 = 0
d) x 2 - 56x + 64 = 0
7. İkinci dereceden bir denklemi grafikler kullanarak çözme.
a) x 2 - 3x - 4 \u003d 0
Cevap 1; dört
b) x 2 - 2x + 1 = 0
c) x 2 - 2x + 5 = 0
cevap:çözüm yok
Bağımsız çalışma için.
İkinci dereceden denklemleri grafiksel olarak çözün:
8. İkinci dereceden denklemleri pergel ve cetvelle çözme.
ax2 + bx + c = 0,
x 2 + x + = 0.
x 1 ve x 2 köktür.
A(0; 1), C(0;
Sekant teoremine göre:
OV · OD = OA · İşletim Sistemi.
Bu nedenle elimizde:
x 1 x 2 = 1 İşletim Sistemi;
İşletim Sistemi = x 1 x 2
K(; 0), burada = -
F(0; ) = (0; ) = )
1) S(-; ) - dairenin merkezini ve A(0;1) noktasını oluşturun.
2) Yarıçapı R = SA/ olan bir daire çizin
3) Bu dairenin x ekseni ile kesişme noktalarının apsisleri, orijinal ikinci dereceden denklemin kökleridir.
3 durum mümkündür:
1) R > SK (veya R > ).
Daire, x eksenini B(x 1; 0) ve D(x 2; 0) noktalarında keser; burada x 1 ve x 2, ikinci dereceden ax 2 + bx + c = 0 denkleminin kökleridir.
2) R = SK (veya R = ).
Daire, ıstırap içinde x eksenine dokunur B 1 (x 1; 0), burada x 1 ikinci dereceden denklemin köküdür
ax2 + bx + c = 0.
3) R< SK (или R < ).
Dairenin x ekseni ile ortak noktası yoktur, yani. çözümler yok.
1) x 2 - 2x - 3 = 0.
Merkez S(-; ), yani
x 0 = = - = 1,
y 0 = = = – 1.
(1; – 1) dairenin merkezidir.
A(0; 1) olan bir daire (S; AS) çizelim.
9. Bir nomogram kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözme
Çözüm için, V.M.'nin dört basamaklı matematiksel tabloları. Bradys (Levha XXII, s. 83).
Nomogram, x 2 + px + q = 0 ikinci dereceden denklemini çözmeden, denklemin köklerini katsayılarıyla belirlemeye izin verir. Örneğin:
5) z2 + 4z + 3 = 0.
Her iki kök de negatiftir. Bu nedenle, bir değiştirme yapacağız: z 1 = - t. Yeni bir denklem elde ederiz:
t 2 - 4t + 3 = 0.
t 1 \u003d 1; t2 = 3
z 1 \u003d - 1; z2 \u003d - 3.
Cevap: - 3; - bir
6) p ve q katsayıları ölçek dışıysa, z \u003d k t ikamesini yapın ve nomogramı kullanarak denklemi çözün: z 2 + pz + q \u003d 0.
k 2 t 2 + p kt + q = 0. |: k 2
k eşitsizliklerin gerçekleşmesi beklentisiyle alınır:
Bağımsız çalışma için.
y 2 + 6y - 16 = 0.
y 2 + 6y = 16, |+ 9
y 2 + 6y + 9 = 16 + 9
y 1 = 2, y 2 = -8.
Cevap: -8; 2
Bağımsız çalışma için.
y 2 - 6y - 16 = 0 denklemini geometrik olarak çözün.
Bu video eğitimi size ikinci dereceden bir denklemin nasıl çözüleceğini gösterir. İkinci dereceden denklemlerin çözümü genellikle genel eğitim okulu, 8. sınıf. İkinci dereceden bir denklemin kökleri özel bir formül kullanılarak bulunur. ax2+bx+c=0 biçiminde ikinci dereceden bir denklem verilsin, burada x bir bilinmeyen, a, b ve c gerçek sayılar olan katsayılardır. İlk olarak, D=b2-4ac formülünü kullanarak diskriminantı belirlemeniz gerekir. Bundan sonra, ikinci dereceden denklemin köklerini kullanarak hesaplamak kalır. iyi bilinen formül. Şimdi çözmeye çalışalım özel örnek. Başlangıç denklemi olarak x2+x-12=0 alalım. katsayısı a=1, b=1, c=-12. İyi bilinen formüle göre, diskriminantı belirleyebilirsiniz. Ardından, denklemin köklerini bulmak için formülü kullanarak onları hesaplıyoruz. Bizim durumumuzda diskriminant 49'a eşit olacaktır. Diskriminant değerinin pozitif bir sayı olması bize bu ikinci dereceden denklemin iki kökü olacağını söyler. Basit hesaplamalardan sonra x1=-4, x2=3 elde ederiz. Böylece ikinci dereceden denklemi köklerini hesaplayarak çözdük Video dersi “İkinci dereceden denklemleri çözme (8. sınıf). Köklerini, istediğiniz zaman çevrimiçi olarak ücretsiz olarak izleyebilirsiniz” formülüyle buluyoruz. Sana iyi şanslar!
İkinci dereceden denklemler 8. sınıfta incelenir, bu nedenle burada karmaşık bir şey yoktur. Onları çözme yeteneği çok önemlidir.
İkinci dereceden bir denklem, a , b ve c katsayılarının keyfi sayılar ve a ≠ 0 olduğu ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki bir denklemdir.
Belirli çözüm yöntemlerini incelemeden önce, tüm ikinci dereceden denklemlerin üç sınıfa ayrılabileceğini not edelim:
- Kökleri yok;
- Tam olarak bir köke sahiptirler;
- İki farklı köke sahiptirler.
Bu, kökün her zaman var olduğu ve benzersiz olduğu ikinci dereceden ve doğrusal denklemler arasındaki önemli bir farktır. Bir denklemin kaç kökü olduğu nasıl belirlenir? Bunun için harika bir şey var - ayrımcı.
diskriminant
İkinci dereceden ax 2 + bx + c = 0 denklemi verilsin, o zaman diskriminant basitçe D = b 2 − 4ac sayısıdır.
Bu formül ezbere bilinmelidir. Nereden geldiği artık önemli değil. Başka bir şey önemlidir: Diskriminantın işaretiyle ikinci dereceden bir denklemin kaç kökü olduğunu belirleyebilirsiniz. Yani:
- eğer D< 0, корней нет;
- D = 0 ise, tam olarak bir kök vardır;
- D > 0 ise iki kök olacaktır.
Lütfen dikkat: ayrımcı, birçok insanın düşündüğü gibi, tüm işaretlerini değil, kök sayısını gösterir. Örneklere bir göz atın ve her şeyi kendiniz anlayacaksınız:
Bir görev. İkinci dereceden denklemlerin kaç kökü vardır:
- x 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
İlk denklemin katsayılarını yazıyoruz ve diskriminantı buluyoruz:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Diskriminant pozitiftir, yani denklemin iki farklı kökü vardır. İkinci denklemi aynı şekilde analiz ediyoruz:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.
Diskriminant negatiftir, kökleri yoktur. Son denklem kalır:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
Diskriminant sıfıra eşittir - kök bir olacaktır.
Her denklem için katsayıların yazıldığını unutmayın. Evet, uzun, evet, sıkıcı - ama olasılıkları karıştırmayacaksın ve aptalca hatalar yapmayacaksın. Kendiniz seçin: hız veya kalite.
Bu arada, “elinizi doldurursanız”, bir süre sonra artık tüm katsayıları yazmanıza gerek kalmayacak. Bu tür işlemleri kafanızda gerçekleştireceksiniz. Çoğu insan bunu 50-70 çözülmüş denklemden sonra bir yerde yapmaya başlar - genel olarak, çok fazla değil.
İkinci dereceden bir denklemin kökleri
Şimdi çözüme geçelim. Diskriminant D > 0 ise, kökler aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir:
İkinci dereceden bir denklemin kökleri için temel formül
D = 0 olduğunda, bu formüllerden herhangi birini kullanabilirsiniz - cevap olacak aynı sayıyı alırsınız. Son olarak, eğer D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 - 2x - x2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0.
İlk denklem:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ denklemin iki kökü vardır. Onları bulalım:
İkinci denklem:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.
D > 0 ⇒ denklemin yine iki kökü vardır. onları bulalım
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \sağ))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \sağ))=3. \\ \end(hiza)\]
Son olarak, üçüncü denklem:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ denklemin bir kökü vardır. Herhangi bir formül kullanılabilir. Örneğin, ilki:
Örneklerden de görebileceğiniz gibi, her şey çok basit. Formülleri biliyor ve sayabiliyorsanız, sorun olmayacaktır. Çoğu zaman, formüle negatif katsayılar yerleştirildiğinde hatalar meydana gelir. Burada yine yukarıda açıklanan teknik yardımcı olacaktır: formüle kelimenin tam anlamıyla bakın, her adımı boyayın - ve çok yakında hatalardan kurtulun.
Eksik ikinci dereceden denklemler
İkinci dereceden denklem, tanımda verilenden biraz farklı olur. Örneğin:
- x2 + 9x = 0;
- x2 − 16 = 0.
Bu denklemlerde terimlerden birinin eksik olduğunu görmek kolaydır. Bu tür ikinci dereceden denklemlerin çözülmesi standart olanlardan bile daha kolaydır: diskriminantı hesaplamaları bile gerekmez. O halde yeni bir konsept sunalım:
ax 2 + bx + c = 0 denklemi, b = 0 veya c = 0 ise, yani tamamlanmamış ikinci dereceden denklem olarak adlandırılır. x değişkeninin veya serbest elemanın katsayısı sıfıra eşittir.
Tabii ki, bu katsayıların her ikisi de sıfıra eşit olduğunda çok zor bir durum mümkündür: b \u003d c \u003d 0. Bu durumda, denklem ax 2 \u003d 0 şeklini alır. Açıkçası, böyle bir denklemin tek bir denklemi vardır. kök: x \u003d 0.
Diğer durumları ele alalım. B \u003d 0 olsun, o zaman ax 2 + c \u003d 0 biçiminde eksik bir ikinci dereceden denklem elde ederiz. Biraz dönüştürelim:
çünkü aritmetik Kare kök yalnızca negatif olmayan bir sayıdan vardır, son eşitlik yalnızca (−c /a ) ≥ 0 için anlamlıdır. Sonuç:
- ax 2 + c = 0 biçimindeki tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem (−c / a ) ≥ 0 eşitsizliğini sağlıyorsa, iki kök olacaktır. Formül yukarıda verilmiştir;
- Eğer (−c / a )< 0, корней нет.
Gördüğünüz gibi, diskriminant gerekli değildi - eksik ikinci dereceden denklemlerde hiçbir karmaşık hesaplama yoktur. Aslında (−c / a ) ≥ 0 eşitsizliğini hatırlamak bile gerekli değildir. x 2 değerini ifade etmek ve eşittir işaretinin diğer tarafında ne olduğunu görmek yeterlidir. eğer varsa pozitif sayı iki kök olacak. Negatifse, hiç kök olmayacaktır.
Şimdi, serbest elemanın sıfıra eşit olduğu ax 2 + bx = 0 biçimindeki denklemlerle ilgilenelim. Burada her şey basit: her zaman iki kök olacak. Polinomu çarpanlara ayırmak yeterlidir:
Ortak faktörü parantezden çıkarmakFaktörlerden en az biri sıfıra eşit olduğunda ürün sıfıra eşittir. Köklerin geldiği yer burasıdır. Sonuç olarak, bu denklemlerden birkaçını analiz edeceğiz:
Bir görev. İkinci dereceden denklemleri çözün:
- x2 − 7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 − 9 = 0.
x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.
5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Kök yok çünkü kare negatif bir sayıya eşit olamaz.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1.5.
Ders, ikinci dereceden bir denklem kavramını tanıtacak, iki türünü ele alacaktır: tam ve eksik. Derste özellikle eksik ikinci dereceden denklem çeşitlerine dikkat edilecek, dersin ikinci yarısında birçok örnek ele alınacaktır.
Başlık:ikinci dereceden denklemler.
Ders:İkinci dereceden denklemler. Temel konseptler
Tanım.ikinci dereceden denklem formun denklemi denir
Sabit gerçek sayılar ikinci dereceden bir denklem tanımlayan. Bu numaraların belirli adları vardır:
Kıdemli katsayı (çarpanında );
İkinci katsayı (çarpanında );
Ücretsiz üye (çarpan değişkeni olmayan sayı).
Yorum.İkinci dereceden bir denklemde belirtilen terimlerin yazılmasının standart olduğu, ancak zorunlu olmadığı ve yeniden düzenlenmesi durumunda, sayısal katsayıların sıralı düzenlemelerine göre değil, ait olduklarına göre belirlenebilmesi gerektiği anlaşılmalıdır. değişkenlere.
Tanım. ifade denir kare üç terimli.
örnek 1İkinci dereceden bir denklem verildiğinde . Oranları:
kıdemli katsayı;
İkinci katsayı (katsayının önde gelen bir işaretle gösterildiğine dikkat edin);
Ücretsiz Üye.
Tanım. Eğer , o zaman ikinci dereceden denklem denir indirgenmemiş, ve eğer , o zaman ikinci dereceden denklem denir verilen.
Örnek 2İkinci dereceden bir denklem verin . Her iki parçayı da 2'ye bölelim: .
Yorum. Bir önceki örnekte görüldüğü gibi, baştaki katsayıya bölerek denklemi değiştirmedik, formunu değiştirdik (indirgendik), benzer şekilde sıfır olmayan bir sayı ile de çarpılabilir. Böylece, ikinci dereceden denklem tek bir sayı üçlüsü ile verilmez, ancak şöyle söylenir: sıfır olmayan bir katsayı kümesine kadar belirtilir.
Tanım.Azaltılmış ikinci dereceden denklem indirgenmemiş olandan önde gelen faktöre bölünerek elde edilir ve şu şekildedir:
.
Aşağıdaki tanımlamalar kabul edilir: . O zamanlar indirgenmiş ikinci dereceden denklemşuna benziyor:
.
Yorum. İkinci dereceden denklemin yukarıdaki biçiminde, ikinci dereceden denklemin sadece iki sayı ile belirtilebileceği görülebilir: .
Örnek 2 (devamı).İndirgenmiş ikinci dereceden denklemi tanımlayan katsayıları gösterelim . , . Bu katsayılar da işaret dikkate alınarak belirtilir. Aynı iki sayı karşılık gelen indirgenmemiş ikinci dereceden denklemi tanımlar .
Yorum. Karşılık gelen indirgenmemiş ve indirgenmiş ikinci dereceden denklemler aynıdır, yani. aynı kök kümesine sahiptir.
Tanım. İkinci dereceden denklemin indirgenmemiş biçimindeki veya indirgenmiş biçimindeki katsayıların bazıları sıfır olabilir. Bu durumda ikinci dereceden denklem denir. eksik. Tüm katsayılar sıfır değilse, ikinci dereceden denklem denir. tamamlamak.
Birkaç tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklem vardır.
Tam ikinci dereceden denklemin çözümünü henüz düşünmediysek, eksik olanı zaten bildiğimiz yöntemleri kullanarak kolayca çözebiliriz.
Tanım.İkinci dereceden bir denklemi çözün- değişkenin tüm değerlerini (denklemin kökleri) bulmak anlamına gelir. verilen denklem sağa döner sayısal eşitlik veya böyle bir değer olmadığını ayarlayın.
Örnek 3 Bu tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin bir örneğini düşünün. Denklemi çözün.
Çözüm. Ortak çarpanı çıkaralım. Bu tür denklemleri aşağıdaki prensibe göre çözebiliriz: çarpım sıfıra eşittir, ancak ve ancak faktörlerden biri sıfıra eşitse ve diğeri değişkenin bu değeri için mevcutsa. Böylece:
Cevap.; .
Örnek 4 Denklemi çözün.
Çözüm. 1 yol. Kareler farkı formülünü kullanarak çarpanlara ayırın
, bu nedenle, önceki örneğe benzer veya .
2 yol. Serbest terimi sağa kaydıralım ve her iki parçanın da karekökünü alalım.
Cevap. .
Örnek 5 Denklemi çözün.
Çözüm. Serbest terimi sağa taşırız, ancak , yani denklemde, negatif olmayan bir sayı, değişkenin herhangi bir değeri için anlamlı olmayan negatif bir sayıya eşittir, bu nedenle kök yoktur.
Cevap. Kök yok.
Örnek 6.Denklemi çözün.
Çözüm. Denklemin her iki tarafını da 7'ye bölün: .
Cevap. 0.
İlk önce ikinci dereceden denklemi standart forma getirmeniz ve ardından çözmeniz gereken örnekleri düşünün.
Örnek 7. Denklemi çözün.
Çözüm. İkinci dereceden bir denklemi standart bir forma getirmek için, tüm terimleri bir yönde, örneğin sola aktarmak ve benzerlerini getirmek gerekir.
Nasıl çözüleceğini zaten bildiğimiz eksik bir ikinci dereceden denklem elde edildi, bunu elde ederiz veya .
Cevap. .
Örnek 8 (metin problemi). Ardışık iki doğal sayının çarpımı, küçük sayının karesinin iki katıdır. Bu sayıları bulun.
Çözüm. Metin görevleri, kural olarak, aşağıdaki algoritma ile çözülür.
1) Matematiksel bir model çizmek. Bu aşamada, problemin metnini matematiksel sembollerin diline çevirmek (denklem yapmak) gereklidir.
Önce biraz olsun doğal sayı bilinmeyeni ifade edin, ardından bir sonraki (ardışık sayılar) olacaktır. Bu sayıların en küçüğü sayıdır, denklemi problemin durumuna göre yazıyoruz:
, nerede . Matematiksel model derlenmiştir.