Aritmetik ilerlemede a1 bulma formülü. Aritmetik ilerleme nasıl bulunur? Çözümlü aritmetik ilerleme örnekleri
ders türü: yeni materyal öğrenmek.
Dersin Hedefleri:
- aritmetik ilerleme kullanılarak çözülen görevler hakkında öğrencilerin fikirlerinin genişletilmesi ve derinleştirilmesi; aritmetik ilerlemenin ilk n üyesinin toplamı için formül türetirken öğrencilerin arama etkinliğinin organizasyonu;
- bağımsız olarak yeni bilgi edinme becerilerinin geliştirilmesi, görevi gerçekleştirmek için önceden edinilmiş bilgileri kullanma;
- elde edilen olguları genelleme isteği ve ihtiyacının gelişmesi, bağımsızlığın gelişmesi.
Görevler:
- “Aritmetik ilerleme” konusundaki mevcut bilgileri genelleştirmek ve sistematik hale getirmek;
- bir aritmetik ilerlemenin ilk n üyesinin toplamını hesaplamak için formüller türetmek;
- elde edilen formüllerin çeşitli problemlerin çözümünde nasıl uygulanacağını öğretmek;
- öğrencilerin dikkatini sayısal bir ifadenin değerini bulma prosedürüne çekin.
Teçhizat:
- gruplar ve çiftler halinde çalışmak için görevleri olan kartlar;
- değerlendirme kağıdı;
- sunum “Aritmetik ilerleme”.
I. Temel bilginin gerçekleştirilmesi.
1. Bağımsız işçift halde.
1. seçenek:
Bir aritmetik ilerleme tanımlayın. Bir aritmetik ilerlemeyi tanımlayan özyinelemeli bir formül yazın. Bir aritmetik ilerleme örneği veriniz ve farkını belirtiniz.
2. seçenek:
Bir aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için formülü yazın. Bir aritmetik ilerlemenin 100. terimini bulun ( bir}: 2, 5, 8 …
Bu sırada iki öğrenci ters taraf kurullar aynı soruların cevaplarını hazırlar.
Öğrenciler, ortağın çalışmasını tahta ile karşılaştırarak değerlendirir. (Cevapları içeren broşürler teslim edilir).
2. Oyun anı.
1. Egzersiz.
Öğretmen. Bazı aritmetik ilerlemeler tasarladım. Bana sadece iki soru sorun, böylece cevaplardan sonra bu ilerlemenin 7. üyesini hızlı bir şekilde adlandırabilirsiniz. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)
Öğrencilerden gelen sorular.
- Dizinin altıncı dönemi nedir ve farkı nedir?
- Dizinin sekizinci terimi nedir ve farkı nedir?
Başka soru yoksa, öğretmen onları teşvik edebilir - d (fark) için bir “yasak”, yani farkın ne olduğunu sormaya izin verilmez. Soru sorabilirsiniz: ilerlemenin 6. dönemi nedir ve ilerlemenin 8. dönemi nedir?
Görev 2.
Tahtada yazılı 20 sayı vardır: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.
Öğretmen sırtı tahtaya dönük olarak duruyor. Öğrenciler numaranın numarasını söyler ve öğretmen hemen numarayı kendisi arar. Nasıl yapabilirim açıklar mısınız?
Öğretmen n'inci dönemin formülünü hatırlar. bir n \u003d 3n - 2 ve verilen n değerlerini değiştirerek karşılık gelen değerleri bulur bir .
II. Eğitim görevinin beyanı.
Mısır papirüslerinde bulunan MÖ 2. binyıla kadar uzanan eski bir sorunu çözmeyi öneriyorum.
Bir görev:"Size denilsin ki: 10 ölçek arpayı 10 kişiye bölüştürün, her kişi ile komşusu arasındaki fark, ölçünün 1/8'i kadardır."
- Bu problemin aritmetik ilerleme konusuyla nasıl bir ilişkisi var? (Her bir sonraki kişi, ölçümün 1/8'ini daha fazla alır, yani fark d=1/8, 10 kişi, yani n=10.)
- Sizce 10 sayısı ne anlama geliyor? (İlerlemenin tüm üyelerinin toplamı.)
- Arpaları sorunun durumuna göre bölmeyi kolay ve basit hale getirmek için başka ne bilmeniz gerekiyor? (İlerlemenin ilk terimi.)
ders hedefi- ilerlemenin terimlerinin toplamının sayılarına, ilk terime ve farkına bağımlılığının elde edilmesi ve sorunun eski zamanlarda doğru çözülüp çözülmediğinin kontrol edilmesi.
Formülü türetmeden önce, eski Mısırlıların sorunu nasıl çözdüğüne bakalım.
Ve bunu şöyle çözdüler:
1) 10 ölçü: 10 = 1 ölçü - ortalama pay;
2) 1 ölçü ∙ = 2 ölçü - ikiye katlandı ortalama Paylaş.
ikiye katlandı ortalama pay, 5. ve 6. kişinin paylarının toplamıdır.
3) 2 ölçü - 1/8 ölçü = 1 7/8 ölçü - beşinci kişinin payının iki katı.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - beşincinin payı; vb. her bir önceki ve sonraki kişinin payını bulabilirsiniz.
Sırayı alıyoruz:
III. Görevin çözümü.
1. Gruplar halinde çalışın
1. grup: Ardışık 20'nin toplamını bulun doğal sayılar: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.
2. grup: 1'den 100'e kadar doğal sayıların toplamını bulun (Legend of Little Gauss).
S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050
Çözüm:
3. grup: 1'den 21'e kadar olan doğal sayıların toplamını bulunuz.
Çözüm: 1+21=2+20=3+19=4+18…
Çözüm:
IV grubu: 1'den 101'e kadar doğal sayıların toplamını bulun.
Çözüm:
Ele alınan problemleri çözmenin bu yöntemine “Gauss yöntemi” denir.
2. Her grup problemin çözümünü tahtada sunar.
3. Keyfi bir aritmetik ilerleme için önerilen çözümlerin genelleştirilmesi:
bir 1 , bir 2 , bir 3 ,…, bir n-2 , bir n-1 , bir n .
S n \u003d bir 1 + bir 2 + bir 3 + bir 4 + ... + bir n-3 + bir n-2 + bir n-1 + bir n.
Bu toplamı benzer şekilde tartışarak buluruz:
4. Görevi çözdük mü?(Evet.)
IV. Problem çözümünde elde edilen formüllerin birincil olarak kavranması ve uygulanması.
1. Çözümün doğrulanması eski sorun formüle göre.
2. Formülün çeşitli problemlerin çözümünde uygulanması.
3. Formülü problem çözmede uygulama yeteneğinin oluşumu için alıştırmalar.
A) 613 numara
verildi :( ve n) - aritmetik ilerleme;
(bir n): 1, 2, 3, ..., 1500
Bulmak: S 1500
Çözüm: , ve 1 = 1 ve 1500 = 1500,
B) Verilen: ( ve n) - aritmetik ilerleme;
(ve n): 1, 2, 3, ...
sn = 210
Bulmak: n
Çözüm:
V. Karşılıklı doğrulama ile bağımsız çalışma.
Denis kurye olarak çalışmaya gitti. İlk ayda maaşı 200 rubleydi, sonraki her ay 30 ruble arttı. Bir yılda ne kadar kazandı?
verildi :( ve n) - aritmetik ilerleme;
1 = 200, d=30, n=12
Bulmak: S 12
Çözüm:
Cevap: Denis, yıl boyunca 4380 ruble aldı.
VI. Ev ödevi talimatı.
- s.4.3 - formülün türetilmesini öğrenin.
- №№ 585, 623 .
- Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı formülünü kullanarak çözülecek bir problem oluşturun.
VII. Dersi özetlemek.
1. Skor tablosu
2. Cümlelere devam edin
- Bugün sınıfta öğrendim...
- Öğrenilen Formüller...
- Bence …
3. 1'den 500'e kadar olan sayıların toplamını bulabilir misiniz? Bu sorunu çözmek için hangi yöntemi kullanacaksınız?
Kaynakça.
1. Cebir, 9. sınıf. Öğretici Eğitim Kurumları. Ed. GV Dorofeeva. Moskova: Aydınlanma, 2009.
Evet, evet: aritmetik ilerleme sizin için bir oyuncak değil :)
Pekala arkadaşlar, eğer bu metni okuyorsanız, içsel sınır kanıtı bana aritmetik ilerlemenin ne olduğunu hala bilmediğinizi, ancak gerçekten (hayır, bunun gibi: ÇOOOOOO!) bilmek istediğinizi söylüyor. Bu nedenle, sizi uzun tanıtımlarla eziyet etmeyeceğim ve hemen işe başlayacağım.
Başlamak için birkaç örnek. Birkaç sayı kümesini göz önünde bulundurun:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Tüm bu setlerin ortak noktası nedir? İlk bakışta, hiçbir şey. Ama aslında bir şey var. Yani: sonraki her eleman bir öncekinden aynı sayı kadar farklıdır.
Kendiniz için yargılayın. İlk küme, her biri bir öncekinden fazla olan ardışık sayılardan oluşur. İkinci durumda, bitişik sayılar arasındaki fark zaten beşe eşittir, ancak bu fark hala sabittir. Üçüncü durumda, genel olarak kökler vardır. Ancak, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ iken, $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, yani bu durumda sonraki her öğe basitçe $\sqrt(2)$ artar (ve bu sayının irrasyonel olduğundan korkmayın).
Yani: tüm bu dizilere sadece aritmetik ilerlemeler denir. Kesin bir tanım verelim:
Tanım. Her birinin bir öncekinden tamamen aynı miktarda farklı olduğu bir sayı dizisine aritmetik dizi denir. Sayıların farklı olduğu miktara ilerleme farkı denir ve çoğunlukla $d$ harfiyle gösterilir.
Gösterim: $\left(((a)_(n)) \right)$ ilerlemenin kendisidir, $d$ farkıdır.
Ve sadece bir çift Önemli notlar. İlk olarak, ilerleme sadece kabul edilir düzenli sayı dizisi: kesinlikle yazıldıkları sıraya göre okunmalarına izin verilir - başka hiçbir şeye izin verilmez. Numaraları yeniden düzenleyemez veya değiştiremezsiniz.
İkincisi, dizinin kendisi sonlu veya sonsuz olabilir. Örneğin, (1; 2; 3) kümesi açıkça sonlu bir aritmetik ilerlemedir. Ancak (1; 2; 3; 4; ...) gibi bir şey yazarsanız - bu zaten sonsuz bir ilerlemedir. Dörtten sonraki üç nokta, olduğu gibi, pek çok sayının daha ileri gittiğini ima ediyor. Örneğin sonsuz sayıda. :)
Ayrıca ilerlemelerin arttığını ve azaldığını da belirtmek isterim. Artanları zaten gördük - aynı küme (1; 2; 3; 4; ...). İşte azalan ilerleme örnekleri:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
Tamam, tamam: son örnek aşırı derecede karmaşık görünebilir. Ama geri kalanı, bence anlıyorsun. Bu nedenle, yeni tanımlar getiriyoruz:
Tanım. Bir aritmetik ilerleme denir:
- sonraki her eleman bir öncekinden büyükse artan;
- aksine, sonraki her öğe bir öncekinden daha azsa azalır.
Ek olarak, sözde "sabit" diziler vardır - bunlar aynı tekrar eden sayıdan oluşur. Örneğin, (3; 3; 3; ...).
Geriye tek bir soru kalıyor: artan bir ilerlemeyi azalan bir ilerlemeden nasıl ayırt edebilirim? Neyse ki, buradaki her şey yalnızca $d$ sayısının işaretine bağlıdır, yani. ilerleme farklılıkları:
- $d \gt 0$ ise, ilerleme artıyor demektir;
- $d \lt 0$ ise, ilerleme açıkça azalmaktadır;
- Son olarak, $d=0$ durumu vardır - bu durumda tüm ilerleme aynı sayılardan oluşan durağan bir diziye indirgenir: (1; 1; 1; 1; ...), vb.
Yukarıdaki üç azalan ilerleme için $d$ farkını hesaplamaya çalışalım. Bunu yapmak için, herhangi iki bitişik öğeyi (örneğin, birinci ve ikinci) alıp sağdaki sayıdan soldaki sayıyı çıkarmak yeterlidir. Bunun gibi görünecek:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Gördüğünüz gibi, her üç durumda da fark gerçekten negatif çıktı. Ve şimdi tanımları az çok anladığımıza göre, ilerlemelerin nasıl tanımlandığını ve hangi özelliklere sahip olduklarını anlamanın zamanı geldi.
İlerleme üyeleri ve yinelenen formül
Dizilerimizin öğeleri değiştirilemediğinden, numaralandırılabilirler:
\[\left(((a)_(n)) \sağ)=\left\( ((a)_(1))\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \Sağ\)\]
Bu kümenin bireysel öğelerine ilerlemenin üyeleri denir. Bir sayı yardımıyla bu şekilde belirtilirler: birinci üye, ikinci üye vb.
Ek olarak, zaten bildiğimiz gibi, ilerlemenin komşu üyeleri aşağıdaki formülle ilişkilidir:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Kısacası dizinin $n$th terimini bulmak için $n-1$th terimini ve $d$ farkını bilmeniz gerekir. Böyle bir formüle tekrarlayan denir, çünkü onun yardımıyla, yalnızca bir öncekini (ve aslında öncekilerin tümünü) bilerek herhangi bir sayıyı bulabilirsiniz. Bu çok elverişsizdir, dolayısıyla herhangi bir hesaplamayı ilk terime ve farka indirgeyen daha kurnaz bir formül vardır:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \sağ)d\]
Muhtemelen bu formülle daha önce karşılaşmışsınızdır. Her türlü kaynak kitap ve reşebniklerde vermeyi severler. Ve matematikle ilgili herhangi bir mantıklı ders kitabında, ilklerden biridir.
Ancak, biraz pratik yapmanızı öneririm.
Görev numarası 1. $((a)_(1))=8,d=-5$ ise, $\left(((a)_(n)) \right)$ aritmetik dizinin ilk üç terimini yazın.
Çözüm. Böylece, $((a)_(1))=8$ ilk terimini ve $d=-5$ ilerleme farkını biliyoruz. Biraz önce verilen formülü kullanalım ve $n=1$, $n=2$ ve $n=3$ yerine koyalım:
\[\begin(hizala) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \sağ)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \sağ)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \sağ)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(hizala)\]
Cevap: (8; 3; -2)
Bu kadar! İlerlememizin azaldığına dikkat edin.
Elbette, $n=1$ değiştirilemezdi - ilk terimi zaten biliyoruz. Ancak birimi değiştirerek formülümüzün ilk terim için bile çalışmasını sağladık. Diğer durumlarda, her şey banal aritmetiğe indi.
Görev numarası 2. Yedinci terimi -40 ve on yedinci terimi -50 olan bir aritmetik dizinin ilk üç terimini yazın.
Çözüm. Sorunun durumunu olağan terimlerle yazıyoruz:
\[((a)_(7))=-40;\dörtlü ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(hizala) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(hizala) \sağ.\]
\[\left\( \begin(hizala) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(hizala) \Sağ.\]
Bu gereksinimlerin eş zamanlı olarak karşılanması gerektiği için sistemin işaretini koyuyorum. Ve şimdi birinci denklemi ikinci denklemden çıkarırsak (bunu yapmaya hakkımız var, çünkü bir sistemimiz var), şunu elde ederiz:
\[\begin(hizala) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \sağ)=-50-\left(-40 \sağ); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(hizala)\]
Aynen böyle, ilerleme farkını bulduk! Bulunan sayıyı sistemin denklemlerinden herhangi birinde değiştirmek için kalır. Örneğin, ilkinde:
\[\begin(matris) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matris)\]
Şimdi, birinci terimi ve farkı bilerek, ikinci ve üçüncü terimleri bulmaya devam ediyor:
\[\begin(hizala) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(hizala)\]
Hazır! Sorun çözüldü.
Cevap: (-34; -35; -36)
Dizinin keşfettiğimiz ilginç bir özelliğine dikkat edin: $n$th ve $m$th terimlerini alıp birbirinden çıkarırsak, dizilim farkının $n-m$ sayısıyla çarpımını elde ederiz:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
Basit ama çok kullanışlı özellik, kesinlikle bilmeniz gereken - onun yardımıyla, ilerlemelerdeki birçok sorunun çözümünü önemli ölçüde hızlandırabilirsiniz. İşte bunun en önemli örneği:
Görev numarası 3. Aritmetik dizinin beşinci terimi 8.4 ve onuncu terimi 14.4'tür. Bu ilerlemenin on beşinci terimini bulun.
Çözüm. $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ olduğundan ve $((a)_(15))$ bulmamız gerektiğinden, şunu not ediyoruz:
\[\begin(hizala) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(hizala)\]
Ancak $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ koşuluna göre, yani $5d=6$, dolayısıyla:
\[\begin(hizala) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(hizala)\]
Cevap: 20.4
Bu kadar! Herhangi bir denklem sistemi oluşturmamıza ve ilk terimi ve farkı hesaplamamıza gerek yoktu - her şeye sadece birkaç satırda karar verildi.
Şimdi başka bir sorun türünü ele alalım - ilerlemenin olumsuz ve olumlu üyelerini aramak. İlerleme artarsa, ilk terimi negatifken, er ya da geç pozitif terimlerin içinde görüneceği bir sır değil. Ve tam tersi: azalan bir ilerlemenin koşulları er ya da geç olumsuz olacaktır.
Aynı zamanda, öğeleri sırayla sıralayarak bu anı "alında" bulmak her zaman mümkün olmaktan uzaktır. Genellikle problemler, formülleri bilmeden hesaplamalar birkaç sayfa alacak şekilde tasarlanır - cevabı bulana kadar uyuyakalırdık. Dolayısıyla bu sorunları daha hızlı çözmeye çalışacağız.
Görev numarası 4. Bir aritmetik ilerlemede kaç tane negatif terim -38.5; -35.8; …?
Çözüm. Yani, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, buradan hemen farkı buluruz:
Farkın pozitif olduğuna dikkat edin, bu nedenle ilerleme artıyor. İlk terim negatiftir, yani gerçekten de bir noktada pozitif sayılara rastlayacağız. Tek soru bunun ne zaman olacağı.
Terimlerin olumsuzluğunun ne kadar süreyle (yani, hangi $n$ doğal sayısına kadar) korunduğunu bulmaya çalışalım:
\[\begin(hizala) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \sağ)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \sağ. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \sağ) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(hizala)\]
Son satırın açıklığa kavuşturulması gerekiyor. Yani $n \lt 15\frac(7)(27)$ olduğunu biliyoruz. Öte yandan, sayının yalnızca tamsayı değerleri bize uyacaktır (ayrıca: $n\in \mathbb(N)$), bu nedenle izin verilen en büyük sayı tam olarak $n=15$ ve hiçbir durumda 16 değildir.
Görev numarası 5. Aritmetik ilerlemede $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Bu ilerlemenin ilk pozitif teriminin sayısını bulun.
Bu, bir öncekiyle tamamen aynı problem olurdu, ancak $((a)_(1))$'ı bilmiyoruz. Ancak komşu terimler bilinmektedir: $((a)_(5)$ ve $((a)_(6))$, böylece ilerleme farkını kolayca bulabiliriz:
Ayrıca beşinci terimi birinci terim ve fark cinsinden standart formülü kullanarak ifade etmeye çalışalım:
\[\begin(hizala) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \sağ)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cnokta 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(hizala)\]
Şimdi bir önceki probleme benzeterek ilerliyoruz. Sıralamamızın hangi noktasında pozitif sayıların görüneceğini öğreniyoruz:
\[\begin(hizala) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \sağ)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Sağ ok ((n)_(\min ))=56. \\ \end(hizala)\]
Bu eşitsizliğin minimum tamsayı çözümü 56 sayısıdır.
Lütfen son görevde her şeyin katı eşitsizliğe indirgendiğini unutmayın, bu nedenle $n=55$ seçeneği bize uymayacaktır.
Artık basit problemleri nasıl çözeceğimizi öğrendiğimize göre, daha karmaşık problemlere geçelim. Ama önce, aritmetik ilerlemelerin bize çok zaman kazandıracak ve gelecekte eşit olmayan hücreler kazandıracak çok yararlı bir özelliğini daha öğrenelim. :)
Aritmetik ortalama ve eşit girintiler
$\left(((a)_(n)) \right)$ artan aritmetik dizinin birkaç ardışık terimini ele alalım. Bunları bir sayı satırında işaretlemeye çalışalım:
Sayı doğrusundaki aritmetik ilerleme üyeleri$((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ rastgele üyelerini özellikle not ettim ve $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ vb. Çünkü şimdi size anlatacağım kural her "segment" için aynı şekilde işliyor.
Ve kural çok basit. Özyinelemeli formülü hatırlayalım ve tüm işaretli üyeler için yazalım:
\[\begin(hizala) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(hizala)\]
Ancak, bu eşitlikler farklı şekilde yeniden yazılabilir:
\[\begin(hizala) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(hizala)\]
Peki ne olmuş? Ancak $((a)_(n-1))$ ve $((a)_(n+1))$ terimlerinin $((a)_(n)) $'dan aynı uzaklıkta olması gerçeği . Ve bu uzaklık $d$'a eşittir. Aynı şey $((a)_(n-2))$ ve $((a)_(n+2))$ terimleri için de söylenebilir - bunlar ayrıca $((a)_(n)'den çıkarılır. )$ aynı mesafe ile $2d$'a eşit. Süresiz olarak devam edebilirsiniz, ancak resim anlamı iyi açıklıyor
İlerleme üyeleri merkezden aynı uzaklıkta bulunur
Bu bizim için ne anlama geliyor? Bu, eğer komşu numaralar biliniyorsa $((a)_(n))$ bulabileceğiniz anlamına gelir:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Muhteşem bir önerme çıkardık: Bir aritmetik dizinin her bir üyesi, komşu üyelerin aritmetik ortalamasına eşittir! Dahası, $((a)_(n))$'den sola ve sağa bir adım değil, $k$ adım sapabiliriz - ve yine de formül doğru olacaktır:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Şunlar. $((a)_(100))$ ve $((a)_(200))$'yi bilirsek kolayca $((a)_(150)$ bulabiliriz, çünkü $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200))))(2)$. İlk bakışta, bu gerçek bize yararlı bir şey vermiyor gibi görünebilir. Bununla birlikte, pratikte, birçok görev, aritmetik ortalamanın kullanımı için özel olarak "keskinleştirilmiştir". Bir göz at:
Görev numarası 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ ve $14+4((x)^(2))$ sayıları ardışık üyeler olacak şekilde $x$'ın tüm değerlerini bulun bir aritmetik ilerleme (belirtilen sırada).
Çözüm. Bu sayılar bir ilerlemenin üyeleri olduğundan, aritmetik ortalama koşulu onlar için karşılanır: merkezi öğe $x+1$, komşu öğeler cinsinden ifade edilebilir:
\[\begin(hizala) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(hizala)\]
Sonuç, klasik bir ikinci dereceden denklemdir. Kökleri: $x=2$ ve $x=-3$ cevaplar.
Cevap: -3; 2.
Görev numarası 7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ sayıları bir aritmetik ilerleme oluşturacak şekilde $$ değerlerini bulun (bu sırayla).
Çözüm. Yine orta terimi komşu terimlerin aritmetik ortalaması cinsinden ifade edelim:
\[\begin(hizala) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\sağ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2)-7x+6=0. \\ \end(hizala)\]
Başka bir ikinci dereceden denklem. Ve yine iki kök: $x=6$ ve $x=1$.
Cevap 1; 6.
Bir sorunu çözme sürecinde bazı acımasız sayılar alırsanız veya bulunan cevapların doğruluğundan tam olarak emin değilseniz, o zaman kontrol etmenizi sağlayan harika bir numara vardır: sorunu doğru çözdük mü?
Diyelim ki 6. problemde -3 ve 2 cevaplarını aldık. Bu cevapların doğru olup olmadığını nasıl kontrol edebiliriz? Onları orijinal durumuna takalım ve ne olacağını görelim. Aritmetik bir ilerleme oluşturması gereken üç sayıya ($-6(()^(2))$, $+1$ ve $14+4(()^(2))$) sahip olduğumuzu hatırlatmama izin verin. $x=-3$'ı değiştirin:
\[\begin(hizala) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(hizala)\]
-54 rakamlarını aldık; -2; 52 farkla 50, şüphesiz aritmetik bir dizidir. Aynı şey $x=2$ için de olur:
\[\begin(hizala) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(hizala)\]
Yine bir ilerleme ama 27 farkla. Böylece sorun doğru bir şekilde çözülmüş oluyor. Dileyenler ikinci görevi kendileri kontrol edebilir ama hemen söyleyeceğim: orada da her şey doğru.
Genel olarak, son görevleri çözerken başka birine rastladık. ilginç gerçek, ayrıca hatırlanması gereken:
Üç sayı, ikincisi birinci ve sonuncunun ortalaması olacak şekildeyse, bu sayılar bir aritmetik ilerleme oluşturur.
Gelecekte, bu ifadeyi anlamak, sorunun durumuna bağlı olarak gerekli ilerlemeleri kelimenin tam anlamıyla "inşa etmemize" izin verecektir. Ancak böyle bir "inşaya" girmeden önce, daha önce ele alınanların doğrudan sonucu olan bir gerçeğe daha dikkat etmeliyiz.
Gruplandırma ve öğelerin toplamı
Tekrar sayı doğrusuna dönelim. Orada, belki aralarında, ilerlemenin birkaç üyesini not ediyoruz. diğer birçok üyeye değer:
Sayı doğrusunda işaretlenmiş 6 element"Sol kuyruk"u $((a)_(n))$ ve $d$ cinsinden ve "sağ kuyruk"u $((a)_(k))$ ve $ cinsinden ifade etmeye çalışalım. d$. Çok basit:
\[\begin(hizala) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(hizala)\]
Şimdi aşağıdaki toplamların eşit olduğuna dikkat edin:
\[\begin(hizala) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(hizala)\]
Basitçe söylemek gerekirse, ilerlemenin toplamda $S$ sayısına eşit olan iki öğesini bir başlangıç olarak ele alırsak ve sonra bu öğelerden zıt yönlerde adım atmaya başlarsak (birbirimize doğru veya tam tersi uzaklaşmak için), sonra rastlayacağımız elementlerin toplamları da eşit olacaktır.$S$. Bu en iyi grafiksel olarak temsil edilebilir:
Aynı girintiler eşit toplamlar verir
Bu gerçeği anlamak, sorunları temelde daha fazla çözmemizi sağlayacaktır. yüksek seviye yukarıda tartışılanlardan daha karmaşıktır. Örneğin, bunlar:
Görev numarası 8. Birinci terimi 66 olan ve ikinci ve on ikinci terimlerin çarpımı mümkün olan en küçük olan bir aritmetik dizinin farkını belirleyin.
Çözüm. Bildiğimiz her şeyi yazalım:
\[\begin(hizala) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(hizala)\]
Yani, $d$ ilerlemesinin farkını bilmiyoruz. Aslında, $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ çarpımı aşağıdaki gibi yeniden yazılabileceğinden, tüm çözüm fark etrafında inşa edilecektir:
\[\begin(hizala) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \sağ)\cdot \left(d+6 \sağ). \end(hizala)\]
Tanktakiler için: 11 ortak çarpanını ikinci parantezden çıkardım. Böylece istenen ürün, $d$ değişkenine göre ikinci dereceden bir fonksiyondur. Bu nedenle, $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ fonksiyonunu düşünün - grafiği dalları yukarı olan bir parabol olacaktır, çünkü parantezleri açarsak şunu elde ederiz:
\[\begin(hizala) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(hizala)\]
Gördüğünüz gibi, en yüksek terimdeki katsayı 11'dir - bu pozitif sayı, bu yüzden gerçekten dalları olan bir parabol ile uğraşıyoruz:
ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiği - parabolLütfen dikkat: bu parabol minimum değerini apsis $((d)_(0))$ ile tepe noktasında alır. Elbette bu apsisi standart şemaya göre hesaplayabiliriz ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ formülü vardır), ancak çok daha mantıklı olacaktır. istenen tepe noktasının parabolün eksen simetrisi üzerinde olduğuna dikkat edin, dolayısıyla $((d)_(0))$ noktası $f\left(d \right)=0$ denkleminin köklerinden eşit uzaklıktadır:
\[\begin(hizala) & f\left(d\sağ)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \sağ)\cdot \left(d+6 \sağ)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\dörtlü ((d)_(2))=-6. \\ \end(hizala)\]
Bu yüzden köşeli parantezleri açmak için acelem yoktu: orijinal haliyle kökleri bulmak çok ama çok kolaydı. Bu nedenle, apsis -66 ve -6 sayılarının aritmetik ortalamasına eşittir:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Bize keşfedilen sayıyı veren nedir? Bununla birlikte, gerekli ürün alır en küçük değer(Bu arada, $((y)_(\min ))$ hesaplamadık - bunu yapmak zorunda değiliz). Aynı zamanda, bu sayı ilk ilerlemenin farkıdır, yani. cevabı bulduk :)
Cevap: -36
Görev numarası 9. $-\frac(1)(2)$ ve $-\frac(1)(6)$ sayıları arasına üç sayı yerleştirin, böylece verilen sayılarla birlikte aritmetik bir dizi oluştururlar.
Çözüm. Aslında, ilk ve son sayısı zaten bilinen beş sayıdan oluşan bir dizi oluşturmamız gerekiyor. Eksik sayıları $x$, $y$ ve $z$ değişkenleriyle belirtin:
\[\left(((a)_(n)) \sağ)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \sağ\ )\]
$y$ sayısının dizimizin "ortası" olduğuna dikkat edin - $x$ ve $z$ sayılarından ve $-\frac(1)(2)$ ve $-\frac sayılarından eşit uzaklıktadır (1)( 6)$. Ve şu anda $x$ ve $z$ sayılarından $y$ elde edemiyorsak, o zaman ilerlemenin sonunda durum farklıdır. Aritmetik ortalamayı hatırla:
Şimdi, $y$'ı bilerek kalan sayıları bulacağız. $x$'ın yeni bulunan $-\frac(1)(2)$ ve $y=-\frac(1)(3)$ arasında olduğuna dikkat edin. Bu yüzden
Benzer şekilde tartışarak, kalan sayıyı buluruz:
Hazır! Üç sayıyı da bulduk. Cevapta orijinal sayıların arasına yerleştirilmeleri gereken sırayla yazalım.
Yanıt: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Görev numarası 10. Girilen sayıların birinci, ikinci ve sonuncularının toplamının 56 olduğu biliniyorsa, 2 ile 42 sayıları arasına, verilen sayılarla birlikte aritmetik bir ilerleme oluşturan birkaç sayı girin.
Çözüm. Bununla birlikte, öncekilerle aynı şekilde - aritmetik ortalama yoluyla çözülen daha da zor bir görev. Sorun şu ki, tam olarak kaç sayı ekleyeceğimizi bilmiyoruz. Bu nedenle, kesinlik için, ekleme işleminden sonra tam olarak $n$ sayısı olacağını ve bunlardan ilkinin 2 ve sonuncusunun 42 olduğunu varsayıyoruz. Bu durumda, istenen aritmetik ilerleme şu şekilde temsil edilebilir:
\[\left(((a)_(n)) \sağ)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \sağ\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Bununla birlikte, $((a)_(2))$ ve $((a)_(n-1))$ sayılarının, kenarlarda birbirine doğru bir adım duran 2 ve 42 sayılarından elde edildiğine dikkat edin. , yani . dizinin merkezine. Ve bu şu anlama gelir:
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Ancak daha sonra yukarıdaki ifade şu şekilde yeniden yazılabilir:
\[\begin(hizala) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \sağ)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(hizala)\]
$((a)_(3)$ ve $((a)_(1))$'yi bilerek, ilerleme farkını kolayca bulabiliriz:
\[\begin(hizala) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \sağ)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Sağ ok d=5. \\ \end(hizala)\]
Sadece kalan üyeleri bulmak için kalır:
\[\begin(hizala) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2)=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cnokta 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cnokta 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cnokta 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cnokta 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cnokta 5=42; \\ \end(hizala)\]
Böylece, zaten 9. adımda dizinin sol ucuna geleceğiz - 42 sayısı. Toplamda yalnızca 7 sayının eklenmesi gerekiyordu: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Cevap: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
İlerlemeli metin görevleri
Sonuç olarak, birkaçını düşünmek istiyorum basit görevler. Pekala, basit olanlar: Okulda matematik okuyan ve yukarıda yazılanları okumamış çoğu öğrenci için bu görevler bir jest gibi görünebilir. Bununla birlikte, matematikte OGE ve USE'de tam olarak bu tür görevler karşımıza çıkıyor, bu yüzden onlara aşina olmanızı tavsiye ederim.
Görev numarası 11. Ekip Ocak ayında 62 parça üretti ve sonraki her ay bir öncekinden 14 parça daha fazla üretti. Tugay Kasım ayında kaç parça üretti?
Çözüm. Açıkçası, aya göre boyanmış parça sayısı artan bir aritmetik ilerleme olacaktır. Ve:
\[\begin(hizala) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cnokta 14. \\ \end(hizala)\]
Kasım yılın 11. ayıdır, dolayısıyla $((a)_(11))$'ı bulmamız gerekiyor:
\[((a)_(11))=62+10\cnokta 14=202\]
Bu nedenle Kasım ayında 202 parça üretilecek.
Görev numarası 12. Cilt atölyesi Ocak ayında 216 kitap ciltledi ve her ay bir önceki aya göre 4 kitap daha ciltledi. Atölye Aralık ayında kaç kitap ciltledi?
Çözüm. Hepsi aynı:
$\begin(hizala) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(hizala)$
Aralık yılın son 12. ayıdır, dolayısıyla $((a)_(12))$'ı arıyoruz:
\[((a)_(12))=216+11\cnokta 4=260\]
Cevap bu - Aralık ayında 260 kitap ciltlenecek.
Pekala, buraya kadar okuduysanız, sizi tebrik etmek için acele ediyorum: "genç dövüşçü kursunu" aritmetik ilerlemelerde başarıyla tamamladınız. İlerleme toplamı formülünü ve bunun önemli ve çok faydalı sonuçlarını inceleyeceğimiz bir sonraki derse güvenle geçebiliriz.
Ne ana nokta formüller?
Bu formül bulmanızı sağlar hiç NUMARASINA GÖRE" n" .
Tabii ki, ilk terimi bilmeniz gerekiyor bir 1 ve ilerleme farkı d, peki, bu parametreler olmadan belirli bir ilerleme yazamazsınız.
Bu formülü ezberlemek (veya kopya çekmek) yeterli değildir. Özünü özümsemek ve formülü çeşitli görevlerde uygulamak gerekir. Evet ve doğru zamanda unutma, evet ...) Nasıl unutma- Bilmiyorum. Fakat nasıl hatırlanır Gerekirse sana bir ipucu veririm. Dersi sonuna kadar bilenler için.)
Öyleyse, bir aritmetik ilerlemenin n'inci üyesinin formülünü ele alalım.
Genel olarak formül nedir - hayal ediyoruz.) Aritmetik dizi nedir, üye sayısı, dizi farkı nedir - bir önceki derste açıkça belirtilmiştir. Okumadıysanız bir göz atın. Orada her şey basit. Ne olduğunu bulmak için kalır n. üye.
Genel olarak ilerleme, bir dizi sayı olarak yazılabilir:
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , .....
bir 1- bir aritmetik ilerlemenin ilk terimini gösterir, 3- üçüncü üye 4- dördüncü vb. Beşinci dönemle ilgileniyorsak, birlikte çalışıyoruz diyelim. 5, yüz yirminci ise - itibaren 120.
Genel olarak nasıl tanımlanır hiç bir aritmetik ilerlemenin üyesi, s hiç sayı? Çok basit! Bunun gibi:
bir
işte bu aritmetik ilerlemenin n'inci üyesi. N harfinin altında tüm üye sayıları aynı anda gizlenir: 1, 2, 3, 4 vb.
Ve böyle bir kayıt bize ne veriyor? Bir düşünün, bir sayı yerine bir mektup yazdılar ...
Bu giriş bize güçlü araç aritmetik ilerleme ile çalışmak. Gösterimi kullanma bir, hızlıca bulabiliriz hiçüye hiç aritmetik ilerleme. Ve ilerlemede çözülmesi gereken bir dizi görev. Devamını göreceksiniz.
Bir aritmetik ilerlemenin n'inci üyesinin formülünde:
bir n = bir 1 + (n-1)d |
bir 1- aritmetik ilerlemenin ilk üyesi;
n- üye numarası.
Formül, herhangi bir ilerlemenin temel parametrelerini birbirine bağlar: bir ; bir 1; d ve n. Bu parametreler etrafında, tüm bulmacalar ilerleme içinde döner.
n'inci terim formülü, belirli bir ilerlemeyi yazmak için de kullanılabilir. Örneğin, problemde ilerlemenin koşul tarafından verildiği söylenebilir:
n = 5 + (n-1) 2.
Böyle bir problem kafa karıştırabilir bile ... Seri yok, fark yok ... Ama durumu formülle karşılaştırarak, bu ilerlemede bunu anlamak kolaydır. 1 \u003d 5 ve d \u003d 2.
Ve daha da öfkeli olabilir!) Aynı koşulu alırsak: bir n = 5 + (n-1) 2, evet, parantezleri açıp benzerlerini veriyor musunuz? Yeni bir formül elde ediyoruz:
bir = 3 + 2n.
BT Sadece genel değil, belirli bir ilerleme için. Tuzağın yattığı yer burasıdır. Bazı insanlar ilk terimin üç olduğunu düşünüyor. Gerçekte ilk üye beş olmasına rağmen ... Biraz daha aşağıda böyle değiştirilmiş bir formülle çalışacağız.
İlerleme görevlerinde başka bir gösterim var - bir n+1. Bu, tahmin ettiğiniz gibi, ilerlemenin "n artı ilk" terimidir. Anlamı basit ve zararsızdır.) Bu, sayısı n sayısından birer fazla olan dizilim üyesidir. Örneğin, eğer bazı problemlerde bir beşinci dönem, o zaman bir n+1 altıncı üye olacak. Vb.
Çoğu zaman atama bir n+1özyinelemeli formüllerde oluşur. Bu korkunç kelimeden korkma!) Bu sadece bir aritmetik ilerleme terimini ifade etmenin bir yoludur. bir önceki aracılığıyla. Tekrarlayan formülü kullanarak bize bu formda bir aritmetik ilerleme verildiğini varsayalım:
bir n+1 = bir n +3
2 = 1 + 3 = 5+3 = 8
3 = 2 + 3 = 8+3 = 11
Dördüncü - üçüncü, beşinci - dördüncü, vb. Ve hemen nasıl sayılır, yirminci terim söyle, 20? Ama olmaz!) 19. dönem bilinmezken 20. dönem sayılamaz. Özyinelemeli formül ile n'inci terimin formülü arasındaki temel fark budur. Yinelemeli yalnızca aracılığıyla çalışır öncesi terim ve n'inci terimin formülü - aracılığıyla ilk ve izin verir hemen herhangi bir üyeyi numarasına göre bulun. Tüm sayı dizisini sırayla saymamak.
Bir aritmetik ilerlemede, özyinelemeli bir formül kolayca düzenli bir formüle dönüştürülebilir. Bir çift ardışık terimi sayın, farkı hesaplayın d, gerekirse ilk terimi bulun bir 1, formülü her zamanki biçimde yazın ve onunla çalışın. GIA'da bu tür görevler sıklıkla bulunur.
Bir aritmetik ilerlemenin n'inci üyesinin formülünün uygulanması.
İlk olarak, formülün doğrudan uygulanmasına bakalım. Sonunda önceki ders bir problem vardı:
Bir aritmetik ilerleme (a n) verildiğinde. a 1 =3 ve d=1/6 ise 121'i bulun.
Bu problem, herhangi bir formül olmaksızın, basitçe aritmetik ilerlemenin anlamına bağlı olarak çözülebilir. Ekle, evet ekle ... Bir veya iki saat.)
Ve formüle göre çözüm bir dakikadan az sürecek. Zamanlayabilirsiniz.) Biz karar veririz.
Koşullar, formülü kullanmak için tüm verileri sağlar: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. ne olduğu görülmeye devam ediyor n. Sorun değil! Bulmalıyız 121. İşte yazıyoruz:
Lütfen dikkatini ver! indeks yerine n belirli bir sayı ortaya çıktı: 121. Bu oldukça mantıklı.) Aritmetik dizinin üyesiyle ilgileniyoruz. numara yüz yirmi bir. Bu bizim olacak n. Bu anlam n= 121'i formülde parantez içinde yerine koyacağız. Formüldeki tüm sayıları değiştirin ve hesaplayın:
121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Hepsi bu kadar. Beş yüz onuncu üye ve bin üçüncü üye herhangi biri kadar çabuk bulunabilirdi. yerine koyduk n" harfinin dizininde istenen sayı a" ve parantez içinde ve düşünüyoruz.
Size özü hatırlatmama izin verin: bu formül bulmanızı sağlar hiç aritmetik ilerleme terimi NUMARASINA GÖRE" n" .
Sorunu daha akıllıca çözelim. Diyelim ki aşağıdaki sorunumuz var:
a 17 = -2 ise, aritmetik dizinin ilk terimini (a n) bulun; d=-0.5.
Herhangi bir zorluk yaşarsanız, ilk adımı önereceğim. Bir aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için formülü yazın! Evet evet. El ile doğrudan defterinize yazın:
bir n = bir 1 + (n-1)d |
Ve şimdi formülün harflerine baktığımızda hangi verilere sahip olduğumuzu ve neyin eksik olduğunu anlıyoruz? Mevcut d=-0.5, on yedinci bir üye var ... Her şey mi? Hepsi bu kadar sanıyorsanız, o zaman sorunu çözemezsiniz, evet...
numaramız da var n! durumda bir 17 = -2 gizlenmiş İki seçenek. Bu hem on yedinci üyenin değeri (-2) hem de numarasıdır (17). Şunlar. n=17. Bu "küçük şey" genellikle kafanın yanından kayar ve onsuz ("küçük şey" olmadan, kafa değil!) Sorun çözülemez. Yine de ... ve kafasız da.)
Şimdi verilerimizi aptalca formüle koyabiliriz:
17 \u003d 1 + (17-1) (-0,5)
Oh evet, 17-2 olduğunu biliyoruz. Tamam, koyalım:
-2 \u003d 1 + (17-1) (-0,5)
Özünde hepsi bu. Geriye aritmetik ilerlemenin ilk terimini formülden ifade etmek ve hesaplamak kalır. Cevabı alırsınız: 1 = 6
Böyle bir teknik - bir formül yazmak ve basitçe bilinen verileri değiştirmek - çok yardımcı olur basit görevler. Peki, elbette, bir formülden bir değişkeni ifade edebilmelisiniz, ama ne yapmalı!? Bu beceri olmadan matematik hiç çalışılamaz ...
Başka bir popüler sorun:
a 1 = 2 ise aritmetik ilerlemenin (a n) farkını bulun; bir 15 = 12.
Biz ne yapıyoruz? Şaşıracaksınız, formülü biz yazıyoruz!)
bir n = bir 1 + (n-1)d |
Ne bildiğimizi düşünün: bir 1 =2; 15 = 12; ve (özel vurgu!) n=15. Formülde değiştirmekten çekinmeyin:
12=2 + (15-1)d
Aritmetiği yapalım.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Bu doğru cevap.
Yani, görevler bir n , bir 1 ve d karar verilmiş. Numarayı nasıl bulacağınızı öğrenmek için kalır:
99 sayısı, a 1 = 12 olduğu bir aritmetik ilerlemenin (bir n) üyesidir; d=3. Bu üyenin numarasını bulun.
Bilinen miktarları n'inci terimin formülünde yerine koyarız:
bir n = 12 + (n-1) 3
İlk bakışta burada bilinmeyen iki nicelik vardır: bir n ve n. Fakat bir numaralı ilerlemenin bir üyesidir n... Ve bildiğimiz ilerlemenin bu üyesi! 99. Numarasını bilmiyoruz. n, bu yüzden bu sayının da bulunması gerekiyor. İlerleme terimi 99'u formülde değiştirin:
99 = 12 + (n-1) 3
Formülden ifade ediyoruz n, düşünürüz. Cevabı alıyoruz: n=30.
Ve şimdi aynı konuyla ilgili, ancak daha yaratıcı bir problem):
117 sayısının bir aritmetik ilerlemenin (bir n) üyesi olup olmayacağını belirleyin:
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Formülü tekrar yazalım. Ne, seçenek yok mu? Hm... Neden göze ihtiyacımız var?) İlerlemenin ilk üyesini görüyor muyuz? Görürüz. Bu -3.6. Güvenle yazabilirsiniz: 1 \u003d -3.6. Fark d seriden belirlenebilir mi? Bir aritmetik ilerlemenin farkının ne olduğunu biliyorsanız, bu kolaydır:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Evet, en basit şeyi yaptık. Bilinmeyen bir numara ile uğraşmaya devam ediyor n ve anlaşılmaz bir sayı 117. Bir önceki problemde en azından verilen ilerlemenin terimi olduğu biliniyordu. Ama burada bunu bile bilmiyoruz ... Nasıl olunur!? Peki nasıl olunur, nasıl olunur... Aç Yaratıcı beceriler!)
Biz sanmak 117, ne de olsa ilerlememizin bir üyesi. Bilinmeyen numara ile n. Ve tıpkı önceki problemdeki gibi bu sayıyı bulmaya çalışalım. Şunlar. formülü (evet-evet!) yazıyoruz ve sayılarımızı değiştiriyoruz:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Yine formülden ifade ediyoruzn, sayar ve elde ederiz:
Hata! Numara ortaya çıktı kesirli! Yüz bir buçuk. Ve ilerlemelerde kesirli sayılar olamaz. Nasıl bir sonuç çıkarıyoruz? Evet! 117 numara değil ilerlememizin üyesi. 101. ve 102. üyeler arasında bir yerdedir. Sayının doğal olduğu ortaya çıktıysa, yani. pozitif tamsayı, o zaman sayı bulunan sayı ile ilerlemenin bir üyesi olacaktır. Ve bizim durumumuzda, sorunun cevabı şöyle olacaktır: hayır.
Görev tabanlı gerçek versiyon GİA:
Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir:
bir n \u003d -4 + 6.8n
İlerlemenin ilk ve onuncu terimlerini bulun.
Burada ilerleme alışılmadık bir şekilde belirlenir. Bir çeşit formül ... Olur.) Ancak bu formül (yukarıda yazdığım gibi) - ayrıca bir aritmetik ilerlemenin n'inci üyesinin formülü! O da izin verir ilerlemenin herhangi bir üyesini numarasına göre bulun.
İlk üyeyi arıyoruz. Düşünen kişi. ilk terimin eksi dört olması ölümcül bir hatadır!) Çünkü problemdeki formül değiştirilmiş. İçinde bir aritmetik ilerlemenin ilk terimi gizlenmiş. Hiçbir şey, şimdi bulacağız.)
Tıpkı önceki görevlerde olduğu gibi, değiştiriyoruz n=1 bu formüle:
1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8
Burada! İlk terim 2.8, -4 değil!
Benzer şekilde, onuncu terimi arıyoruz:
10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64
Hepsi bu kadar.
Ve şimdi bu satırlara kadar okuyanlara vaat edilen ikramiye.)
Diyelim ki, GIA'nın veya Birleşik Devlet Sınavının zorlu bir savaş durumunda, bir aritmetik ilerlemenin n'inci üyesinin yararlı formülünü unuttunuz. Aklına bir şey geliyor, ama bir şekilde belirsiz ... n orada veya n+1 veya n-1... nasıl olunur!?
Sakinlik! Bu formülü türetmek kolaydır. Çok katı değil, ama kesinlikle güven ve doğru karar için yeterli!) Sonuç için, aritmetik ilerlemenin temel anlamını hatırlamak ve birkaç dakika zaman ayırmak yeterli. Sadece bir resim çizmeniz gerekiyor. Açıklık için.
Sayısal bir eksen çiziyoruz ve ilkini üzerine işaretliyoruz. ikinci, üçüncü vb. üyeler. Ve farkı not edin düyeler arasında. Bunun gibi:
Resme bakıyoruz ve düşünüyoruz: ikinci terim neye eşit? İkinci bir d:
a 2 = bir 1 + 1 d
Üçüncü terim nedir? Üçüncü terim eşittir birinci terim artı iki d.
a 3 = bir 1 + 2 d
anladın mı Bazı kelimeleri boşuna kalın harflerle yazmadım. Tamam, bir adım daha.)
Dördüncü terim nedir? Dördüncü terim eşittir birinci terim artı üç d.
a 4 = bir 1 + 3 d
Boşluk sayısının farkına varmanın zamanı geldi, yani. d, Her zaman aradığınız üye sayısından bir eksik n. Yani sayıya kadar n, boşluk sayısı olacak n-1. Yani, formül şöyle olacaktır (seçenek yok!):
bir n = bir 1 + (n-1)d |
Genel olarak görsel resimler, matematikteki birçok problemin çözümünde çok yardımcı olur. Resimleri ihmal etmeyin. Ama bir resim çizmek zorsa, o zaman ... sadece bir formül!) Ek olarak, n'inci terimin formülü, matematiğin tüm güçlü cephaneliğini çözüme - denklemler, eşitsizlikler, sistemler vb. - bağlamanıza olanak tanır. Denkleme bir resim koyamazsınız...
Bağımsız karar için görevler.
Isınma için:
1. Aritmetik dizide (a n) a 2 =3; 5 \u003d 5.1. 3'ü bulun.
İpucu: resme göre problem 20 saniyede çözülüyor ... Formüle göre daha zor çıkıyor. Ancak formüle hakim olmak için daha kullanışlıdır.) 555. Bölümde bu sorun hem resimle hem de formülle çözülmektedir. Farkı Hisset!)
Ve bu artık bir ısınma değil.)
2. Aritmetik ilerlemede (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. 3'ü bulun.
Ne, resim çizme isteksizliği mi?) Yine de! Formülde daha iyi, evet ...
3. Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir:1 \u003d -5,5; bir n+1 = bir n +0,5. Bu dizinin yüz yirmi beşinci terimini bulun.
Bu görevde, ilerleme tekrarlayan bir şekilde verilir. Ama yüz yirmi beşinci döneme kadar saymak... Herkes böyle bir başarıyı başaramaz.) Ama n'inci dönemin formülü herkesin elinde!
4. Bir aritmetik ilerleme (a n) verildiğinde:
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
İlerlemedeki en küçük pozitif terimin sayısını bulun.
5. Görev 4'ün durumuna göre, ilerlemenin en küçük pozitif ve en büyük negatif üyelerinin toplamını bulun.
6. Artan bir aritmetik dizinin beşinci ve on ikinci terimlerinin çarpımı -2,5, üçüncü ve on birinci terimlerin toplamı sıfırdır. 14'ü bulun.
En kolay görev değil, evet ...) Burada "parmaklarda" yöntemi işe yaramayacak. Formüller yazmalı ve denklemleri çözmelisiniz.
Yanıtlar (karmaşa içinde):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Olmuş? Bu iyi!)
Her şey yolunda değil mi? Olur. Bu arada, son görevde ince bir nokta var. Sorunu okurken dikkat gerekli olacaktır. Ve mantık.
Tüm bu sorunların çözümü, Bölüm 555'te ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Ve dördüncü için fantezi unsuru ve altıncı için ince an ve n'inci terimin formülü için herhangi bir sorunu çözmek için genel yaklaşımlar - her şey boyanmıştır. Ben tavsiye ediyorum.
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözme alıştırmaları yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenmek - ilgiyle!)
fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
cebir çalışırken genel eğitim okulu(9. Sınıf) Önemli konulardan biri, geometrik ve aritmetik ilerlemeleri içeren sayısal dizilerin incelenmesidir. Bu yazıda, aritmetik bir ilerlemeyi ve çözümleri olan örnekleri ele alacağız.
Aritmetik ilerleme nedir?
Bunu anlamak için, ele alınan ilerlemenin bir tanımını vermek ve ayrıca problem çözmede daha sonra kullanılacak temel formülleri vermek gerekir.
Aritmetik veya cebirsel ilerleme, her bir üyesi bir öncekinden sabit bir değerle farklılık gösteren böyle bir sıralı rasyonel sayılar kümesidir. Bu değere fark denir. Yani, sıralı bir sayı dizisinin herhangi bir üyesini ve farkı bilerek, tüm aritmetik ilerlemeyi geri yükleyebilirsiniz.
Bir örnek alalım. Bir sonraki sayı dizisi aritmetik bir ilerleme olacaktır: 4, 8, 12, 16, ..., çünkü bu durumda fark 4'tür (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ancak 3, 5, 8, 12, 17 sayıları artık dikkate alınan ilerleme türüne atfedilemez, çünkü bunun farkı sabit bir değer değildir (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Önemli formüller
Şimdi aritmetik ilerleme kullanarak problemleri çözmek için ihtiyaç duyulacak temel formülleri veriyoruz. Bir n, dizinin n'inci üyesini göstersin, burada n bir tam sayıdır. Fark, Latin harfi d ile gösterilir. O zaman aşağıdaki ifadeler doğrudur:
- n'inci terimin değerini belirlemek için formül uygundur: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
- İlk n terimin toplamını belirlemek için: S n = (a n + a 1)*n/2.
9. sınıftaki bir çözümle aritmetik ilerlemenin herhangi bir örneğini anlamak için, bu iki formülü hatırlamak yeterlidir, çünkü söz konusu türdeki herhangi bir problem kullanımları üzerine inşa edilmiştir. Ayrıca, ilerleme farkının şu formülle belirlendiğini unutmayın: d = a n - a n-1 .
Örnek 1: Bilinmeyen Bir Üyeyi Bulma
Aritmetik ilerlemenin basit bir örneğini ve çözmek için kullanılması gereken formülleri veriyoruz.
10, 8, 6, 4, ... dizisi verilsin, içinde beş terim bulmak gerekiyor.
Problemin koşullarından zaten ilk 4 terimin bilindiğini takip ediyor. Beşinci iki şekilde tanımlanabilir:
- Önce farkı hesaplayalım. Elimizde: d = 8 - 10 = -2. Benzer şekilde, yan yana duran herhangi iki terim daha alınabilir. Örneğin, d = 4 - 6 = -2. d \u003d a n - a n-1 olduğu bilindiğinden, d \u003d a 5 - a 4, nereden alırız: a 5 \u003d a 4 + d. Vekil bilinen değerler: 5 = 4 + (-2) = 2.
- İkinci yöntem de söz konusu ilerlemenin farkı hakkında bilgi sahibi olmayı gerektirir, bu nedenle önce yukarıda gösterildiği gibi belirlemeniz gerekir (d = -2). İlk terim a 1 = 10 olduğunu bilerek, dizinin n sayısı için formülü kullanırız. Elimizde: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Son ifadede n = 5'i değiştirerek şunu elde ederiz: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Gördüğünüz gibi, her iki çözüm de aynı sonucu veriyor. Bu örnekte ilerlemenin d farkının negatif olduğuna dikkat edin. Bu tür dizilere azalan denir çünkü birbirini izleyen her terim bir öncekinden daha azdır.
Örnek 2: ilerleme farkı
Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım, nasıl olduğuna dair bir örnek verelim.
Bazılarında 1. terimin 6'ya, 7. terimin 18'e eşit olduğu bilinmektedir. Farkı bulmak ve bu diziyi 7. terime geri yüklemek gerekir.
Bilinmeyen terimi belirlemek için şu formülü kullanalım: a n = (n - 1) * d + a 1 . Koşuldan bilinen verileri, yani a 1 ve a 7 sayılarını değiştiririz, elimizde: 18 \u003d 6 + 6 * d. Bu ifadeden farkı kolayca hesaplayabilirsiniz: d = (18 - 6) / 6 = 2. Böylece sorunun ilk kısmı cevaplanmış oldu.
Diziyi 7. üyeye geri yüklemek için cebirsel ilerlemenin tanımını kullanmalısınız, yani a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, vb. Sonuç olarak, tüm diziyi geri yüklüyoruz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 6 = 14 + 2 = 16 ve 7 = 18.
Örnek 3: ilerleme kaydetmek
Sorunun durumunu daha da karmaşıklaştıralım. Şimdi bir aritmetik ilerlemenin nasıl bulunacağı sorusuna cevap vermeniz gerekiyor. Şu örneği verebiliriz: iki sayı verilir, örneğin 4 ve 5. Bunların arasına üç terim daha sığacak şekilde cebirsel bir dizi yapmak gerekir.
Bu sorunu çözmeye başlamadan önce, verilen sayıların ileriki süreçte nasıl bir yer kaplayacağını anlamak gerekir. Aralarında üç terim daha olacağı için, o zaman 1 \u003d -4 ve 5 \u003d 5. Bunu belirledikten sonra, öncekine benzer bir göreve geçiyoruz. Yine n'inci terim için şu formülü kullanırız: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Kimden: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Burada farkın tamsayı değerini almadık, ancak rasyonel sayı, dolayısıyla cebirsel ilerleme formülleri aynı kalır.
Şimdi bulunan farkı 1'e ekleyelim ve ilerlemenin eksik üyelerini geri yükleyelim. Şunu elde ederiz: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, bu da sorunun durumuyla örtüşüyordu.
Örnek 4: İlerlemenin ilk üyesi
Çözümlü aritmetik dizi örnekleri vermeye devam ediyoruz. Önceki tüm problemlerde, cebirsel ilerlemenin ilk sayısı biliniyordu. Şimdi farklı türden bir problem ele alalım: a 15 = 50 ve a 43 = 37 olmak üzere iki sayı verilsin. Bu dizinin hangi sayıdan başladığını bulmak gerekiyor.
Şimdiye kadar kullanılan formüller, a 1 ve d'nin bilgisini varsayar. Sorunun durumunda bu sayılar hakkında hiçbir şey bilinmiyor. Yine de bilgi sahibi olduğumuz her terim için ifadeleri yazalım: a 15 = a 1 + 14 * d ve a 43 = a 1 + 42 * d. 2 bilinmeyen miktarın (a 1 ve d) olduğu iki denklemimiz var. Bu, problemin bir doğrusal denklem sistemini çözmeye indirgendiği anlamına gelir.
Her denklemde bir 1 ifade ederseniz ve ardından elde edilen ifadeleri karşılaştırırsanız, belirtilen sistemi çözmesi en kolay olanıdır. Birinci denklem: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; ikinci denklem: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Bu ifadeleri eşitleyerek şunu elde ederiz: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, bu nedenle d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 farkı (yalnızca 3 ondalık basamak verilir).
d'yi bilerek, a 1 için yukarıdaki 2 ifadeden herhangi birini kullanabilirsiniz. Örneğin, önce: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.
Sonuç hakkında şüpheleriniz varsa kontrol edebilirsiniz, örneğin koşulda belirtilen ilerlemenin 43. üyesini belirleyebilirsiniz. Şunu elde ederiz: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. Küçük bir hata, hesaplamalarda binde bir yuvarlama kullanılmasından kaynaklanmaktadır.
Örnek 5: Toplam
Şimdi bir aritmetik ilerlemenin toplamı için çözümler içeren bazı örneklere bakalım.
Aşağıdaki biçimde bir sayısal dizi verilsin: 1, 2, 3, 4, ...,. Bu sayıların 100'ünün toplamı nasıl hesaplanır?
geliştirme sayesinde bilgisayar Teknolojisi bu sorunu çözebilirsiniz, yani kişi Enter tuşuna basar basmaz bilgisayarın yapacağı tüm sayıları sırayla toplayabilirsiniz. Bununla birlikte, sunulan sayı dizisinin cebirsel bir ilerleme olduğuna ve farkının 1 olduğuna dikkat ederseniz, sorun zihinsel olarak çözülebilir. Toplam için formülü uygulayarak şunu elde ederiz: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Bu sorunun "Gauss" olarak adlandırıldığını not etmek ilginçtir çünkü erken XVIII yüzyılın ünlü Alman'ı henüz 10 yaşında iken, birkaç saniye içinde kafasında çözebilmişti. Çocuk cebirsel ilerlemenin toplamının formülünü bilmiyordu, ancak dizinin kenarlarında bulunan sayı çiftlerini toplarsanız her zaman aynı sonucu, yani 1 + 100 = 2 + 99 elde ettiğinizi fark etti. = 3 + 98 = ... ve bu toplamlar tam olarak 50 (100 / 2) olacağından doğru cevaba ulaşmak için 50'yi 101 ile çarpmanız yeterlidir.
Örnek 6: n'den m'ye kadar olan terimlerin toplamı
Bir aritmetik ilerlemenin toplamının başka bir tipik örneği şudur: bir dizi sayı verildiğinde: 3, 7, 11, 15, ..., 8'den 14'e kadar olan terimlerinin toplamının ne olacağını bulmanız gerekir.
Sorun iki şekilde çözülür. Bunlardan ilki, 8'den 14'e kadar bilinmeyen terimleri bulmayı ve ardından sırayla toplamayı içerir. Az sayıda terim olduğu için bu yöntem yeterince zahmetli değildir. Bununla birlikte, bu sorunun daha evrensel olan ikinci yöntemle çözülmesi önerilmektedir.
Fikir, m ve n terimleri arasındaki cebirsel ilerlemenin toplamı için bir formül elde etmektir, burada n > m tam sayılardır. Her iki durumda da toplam için iki ifade yazarız:
- S m \u003d m * (bir m + bir 1) / 2.
- S n \u003d n * (bir n + bir 1) / 2.
n > m olduğundan, 2 toplamının birinciyi içerdiği açıktır. Son sonuç, bu toplamlar arasındaki farkı alırsak ve buna a m terimini eklersek (farkın alınması durumunda, S n toplamından çıkarılır), o zaman soruna gerekli cevabı alırız. Elimizde: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + bir n * n / 2 + bir m * (1- m / 2). Bu ifadeye bir n ve bir m yerine formüller koymak gerekir. Sonra şunu elde ederiz: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = bir 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Ortaya çıkan formül biraz külfetlidir, ancak S mn toplamı yalnızca n, m, a 1 ve d'ye bağlıdır. Bizim durumumuzda, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Bu sayıları yerine koyarak şunu elde ederiz: S mn = 301.
Yukarıdaki çözümlerden de görülebileceği gibi, tüm problemler n'inci terim için ifade bilgisine ve birinci terimler kümesinin toplamı formülüne dayanmaktadır. Bu sorunlardan herhangi birini çözmeye başlamadan önce, koşulu dikkatlice okumanız, ne bulmak istediğinizi net bir şekilde anlamanız ve ancak o zaman çözüme geçmeniz önerilir.
Başka bir ipucu, basitlik için çabalamaktır, yani soruyu karmaşık matematiksel hesaplamalar kullanmadan cevaplayabiliyorsanız, o zaman tam da bunu yapmanız gerekir, çünkü bu durumda hata yapma olasılığı daha azdır. Örneğin, 6 numaralı çözüme sahip bir aritmetik ilerleme örneğinde, S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m formülünde durabilir ve genel görevi ayrı alt görevlere ayırın (bu durumda önce a n ve a m terimlerini bulun).
Elde edilen sonuç hakkında şüphe varsa, verilen bazı örneklerde yapıldığı gibi kontrol edilmesi önerilir. Bir aritmetik ilerlemenin nasıl bulunacağını öğrendim. Bunu anladığınızda, o kadar da zor değil.
Resim ve şiir gibi matematiğin de kendine has bir güzelliği vardır.
Rus bilim adamı, tamirci N.E. Zhukovski
Çok yaygın görevler giriş sınavları matematikte, aritmetik ilerleme kavramıyla ilgili görevler vardır. Bu tür problemleri başarılı bir şekilde çözmek için, bir aritmetik dizinin özelliklerini iyi bilmek ve bunları uygulamada belirli becerilere sahip olmak gerekir.
Önce bir aritmetik ilerlemenin ana özelliklerini hatırlayalım ve en önemli formülleri sunalım., bu kavramla ilişkilidir.
Tanım. sayısal dizi, sonraki her terimin bir öncekinden aynı sayıda farklı olduğu, aritmetik ilerleme denir. Aynı zamanda numarailerleme farkı denir.
Aritmetik ilerleme için formüller geçerlidir
, (1)
nerede . Formül (1), bir aritmetik ilerlemenin ortak teriminin formülü olarak adlandırılır ve formül (2), bir aritmetik ilerlemenin ana özelliğidir: ilerlemenin her bir üyesi, komşu üyelerinin aritmetik ortalamasıyla çakışır ve .
İncelenmekte olan ilerlemenin "aritmetik" olarak adlandırılmasının tam da bu özellik nedeniyle olduğuna dikkat edin.
Yukarıdaki formüller (1) ve (2) aşağıdaki şekilde özetlenmiştir:
(3)
Toplamı hesaplamak için ilk aritmetik ilerlemenin üyeleriformül genellikle kullanılır
(5) nerede ve .
Formülü dikkate alırsak (1), o zaman formül (5) şu anlama gelir:
tayin edersek
nerede . , o zaman formüller (7) ve (8), karşılık gelen formüller (5) ve (6)'nın bir genellemesidir.
Özellikle , formül (5)'ten aşağıdaki gibidir, ne
Çoğu öğrenci tarafından az bilinenlerden biri, aşağıdaki teorem aracılığıyla formüle edilen bir aritmetik dizinin özelliğidir.
teorem. eğer , o zaman
Kanıt. eğer , o zaman
Teorem kanıtlanmıştır.
Örneğin , teoremi kullanarak, gösterilebilir ki
"Aritmetik ilerleme" konusundaki tipik problem çözme örneklerini incelemeye geçelim.
örnek 1 ve . Bulmak .
Çözüm. Formül (6)'yı uygulayarak, elde ederiz. beri ve , sonra veya .
Örnek 2Üç kat daha fazla olsun ve bölüme bölündüğünde 2 çıkıyor ve kalan 8 oluyor.
Çözüm. Denklem sistemi örneğin durumundan çıkar.
, , ve olduğundan, o zaman denklem sisteminden (10) şunu elde ederiz:
Bu denklem sisteminin çözümü ve .
Örnek 3 ve olup olmadığını bulun.
Çözüm. Formül (5)'e göre, elimizde veya var. Ancak, özelliği (9) kullanarak, elde ederiz.
beri ve , o zaman eşitlikten denklem aşağıdaki gibidir veya .
Örnek 4 varsa bulun.
Çözüm.Formül (5) ile elimizdeki
Bununla birlikte, teoremi kullanarak yazılabilir
Buradan ve formül (11)'den şunu elde ederiz.
Örnek 5. Verilen: . Bulmak .
Çözüm. O zamandan beri . Bununla birlikte .
Örnek 6 ve . Bulmak .
Çözüm. Formül (9)'u kullanarak, elde ederiz. Bu nedenle, eğer , o zaman veya .
beri ve o zaman burada bir denklem sistemimiz var
Hangisini çözerek, elde ederiz ve .
Denklemin doğal kökü dır-dir .
Örnek 7 ve olup olmadığını bulun.
Çözüm. Formül (3)'e göre buna sahip olduğumuzdan, denklem sistemi problemin durumundan çıkar.
ifadesini yerine koyarsaksistemin ikinci denklemine, sonra elde ederiz veya .
Köklü ikinci dereceden denklem vardır ve .
İki durumu ele alalım.
1. Bırak , sonra . O zamandan beri ve , o zaman .
Bu durumda, formül (6)'ya göre, elimizdeki
2. Eğer , o zaman , ve
Cevap: ve.
Örnek 8 Bilindiği gibi ve Bulmak .
Çözüm. Formül (5)'i ve örneğin durumunu dikkate alarak ve yazarız.
Bu, denklem sistemini ima eder
Sistemin birinci denklemini 2 ile çarpar ve ikinci denkleme eklersek,
Formül (9) 'a göre, elimizdeki. Bu bağlamda, (12)'den şu şekildedir: veya .
O zamandan beri ve , o zaman .
Cevap: .
Örnek 9 ve olup olmadığını bulun.
Çözüm.Çünkü , ve koşula göre , o zaman veya .
Formül (5)'ten bilinir, ne . O zamandan beri .
Sonuç olarak , burada bir lineer denklem sistemimiz var
Buradan ve . Formül (8) dikkate alınarak yazıyoruz .
Örnek 10 Denklemi çözün.
Çözüm. Verilen denklemden şu çıkar. , ve olduğunu varsayalım. Bu durumda .
Formül (1)'e göre veya yazabiliriz.
olduğundan, denklem (13) benzersiz bir uygun köke sahiptir.
Örnek 11. ve olması koşuluyla maksimum değeri bulun.
Çözüm., o zamandan beri dikkate alınan aritmetik ilerleme azalmaktadır. Bu bağlamda, ifade, ilerlemenin minimum pozitif üyesinin sayısı olduğunda maksimum bir değer alır.
Formül (1) kullanıyoruz ve gerçeği, hangisi ve . Sonra bunu alırız veya .
Çünkü, o zaman veya . Ancak bu eşitsizlikteen büyük doğal sayı, bu yüzden .
, ve değerleri formül (6) ile değiştirilirse, o zaman elde ederiz.
Cevap: .
Örnek 12. 6 ile bölündüğünde kalan 5 olan iki basamaklı doğal sayıların toplamını bulunuz.
Çözüm. Tüm iki değerli doğal sayılar kümesiyle, yani . Daha sonra, kümenin 6 sayısına bölündüğünde 5 kalanını veren öğelerinden (sayılardan) oluşan bir alt küme oluştururuz.
Kurulumu kolay, ne . Açıkça , yani kümenin elemanlarıaritmetik ilerleme oluşturmak, hangisinde ve .
Kümenin kardinalitesini (öğe sayısını) belirlemek için şunu varsayıyoruz: . ve olduğundan, formül (1) veya anlamına gelir. Formül (5) dikkate alındığında, elde ederiz.
Yukarıdaki problem çözme örnekleri, hiçbir şekilde ayrıntılı olma iddiasında olamaz. Bu makale analize dayanmaktadır modern yöntemler Belirli bir konudaki tipik problemleri çözme. Aritmetik ilerlemeyle ilgili problemlerin çözümüne yönelik yöntemlerin daha derinlemesine incelenmesi için önerilen literatür listesine bakılması tavsiye edilir.
1. Teknik üniversitelere başvuran adaylar için matematik görevlerinin toplanması / Ed. Mİ. Scanavi. - M.: Dünya ve Eğitim, 2013. - 608 s.
2. Suprun V.P. Lise öğrencileri için matematik: ek bölümler Okul müfredatı. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 s.
3. Medynsky M.M. Tam kurs görevler ve alıştırmalarda temel matematik. 2. Kitap: Sayı Dizileri ve İlerlemeler. – M.: Düzenleme, 2015. - 208 s.
Sormak istediğiniz bir şey var mı?
Bir öğretmenin yardımını almak için - kayıt olun.
site, malzemenin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.