Temelde. Logaritma
Doğal logaritma kavramını tanıtmadan önce, $e$ sabit sayısı kavramını ele alalım.
Sayı $e$
Tanım 1
Sayı $e$ aşkın bir sayı olan ve $e\approx 2,718281828459045\ldots$'a eşit olan matematiksel bir sabittir.
Tanım 2
aşkın tamsayı katsayılı bir polinomun kökü olmayan bir sayıdır.
Not 1
Son formül açıklıyor ikinci harika sınır.
e sayısına da denir Euler sayıları ve bazen Napier numaraları.
Not 2
$е$ sayısının ilk rakamlarını hatırlamak için sıklıkla aşağıdaki ifade kullanılır: "2$$, 7$, iki katı Leo Tolstoy". Tabi bunu kullanabilmek için Leo Tolstoy'un $1828$'da doğduğunu hatırlamak gerekiyor. $e$ sayısının değerinde $2$ tamsayı kısmından sonra iki kez tekrarlanan bu sayılardır. ondalık kısım $7$.
Doğal logaritmayı incelerken $e$ sayısı kavramını dikkate almaya başladık çünkü bu sayı genellikle $\log_(e)a$ logaritmasının tabanında yer alıyor. doğal ve bunu $\ln a$ biçiminde yazın.
Doğal logaritma
Çoğu zaman, hesaplamalarda tabanı $е$ sayısı olan logaritmalar kullanılır.
Tanım 4
$e$ tabanına sahip bir logaritmaya denir doğal.
Onlar. doğal logaritma $\log_(e)a$ olarak gösterilebilir, ancak matematikte $\ln a$ gösteriminin kullanılması yaygındır.
Doğal logaritmanın özellikleri
Çünkü herhangi bir birlik tabanının logaritması $0$'a eşitse, bu durumda birliğin doğal logaritması $0$'a eşit olur:
$е$ sayısının doğal logaritması bire eşittir:
İki sayının çarpımının doğal logaritması, bu sayıların doğal logaritmasının toplamına eşittir:
$\ln (ab)=\ln a+\ln b$.
İki sayının bölümünün doğal logaritması, bu sayıların doğal logaritmasının farkına eşittir:
$\ln\frac(a)(b)=\ln a-\ln b$.
Bir sayının üssünün doğal logaritması, üssün çarpımı ve alt logaritmik sayının doğal logaritması olarak temsil edilebilir:
$\ln a^s=s \cdot \ln a$.
Örnek 1
$\frac(2 \ln 4e-\ln 16)(\ln 5e-\frac(1)(2) \ln 25)$ ifadesini basitleştirin.
Çözüm.
Çarpım logaritması özelliğini pay ve paydadaki birinci logaritmaya, kuvvet logaritması özelliğini ise pay ve paydanın ikinci logaritmasına uygulayalım:
$\frac(2 \ln 4e-\ln16)(\ln 5e-\frac(1)(2) \ln 25)=\frac(2(\ln 4+\ln e) -\ln 4^2)(\ln 5+\ln e-\frac(1)(2) \ln 5^2)=$
parantezleri açıp verelim benzer terimler ve ayrıca $\ln e=1$ özelliğini de uygulayın:
$=\frac(2 \ln 4+2-2 \ln 4)(\ln 5+1-\frac(1)(2) \cdot 2 \ln 5)=\frac(2)( \ln 5+1-\ln 5)=2$.
Cevap: $\frac(2 \ln 4e-\ln 16)(\ln 5e-\frac(1)(2) \ln 25)=2$.
Örnek 2
$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)$ ifadesinin değerini bulun.
Çözüm.
Logaritmaların toplamı için formülü uygulayalım:
$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=\ln 2e^2 \cdot \frac(1)(2e)=\ln e=1$.
Cevap: $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=1$.
Örnek 3
$2 \lg 0.1+3 \ln e^5$ logaritmik ifadesinin değerini hesaplayın.
Çözüm.
Bir kuvvetin logaritması özelliğini uygulayalım:
$2 \lg 0,1+3 \ln e^5=2 \lg 10^(-1)+3 \cdot 5 \ln e=-2 \lg 10+15 \ln e=-2+ 15= 13 dolar.
Cevap: $2 \lg 0,1+3 \ln e^5=13$.
Örnek 4
$\ln \frac(1)(8)-3 \ln 4$ logaritmik ifadesini basitleştirin.
$3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln 27=3 \ln (\frac(3)(e))^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \ frac(3)(e)-2 \cdot 3 \ln 3=6 \ln \frac(3)(e)-6 \ln 3=$
Bölümün logaritmasının özelliğini birinci logaritmaya uyguluyoruz:
$=6(\ln 3-\ln e)-6 \ln 3=$
Parantezleri açıp benzer terimleri sunalım:
$=6 \ln 3-6 \ln e-6 \ln 3=-6$.
Cevap: $3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln 27=-6$.
Konularla ilgili ders ve sunum: "Doğal logaritma. Doğal logaritmanın tabanı. Doğal sayının logaritması"
Ek malzemeler
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.
11. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında eğitim yardımcıları ve simülatörler
9-11. Sınıflar için etkileşimli el kitabı "Trigonometri"
10-11. Sınıflar için etkileşimli el kitabı "Logarithms"
Doğal logaritma nedir
Arkadaşlar, son derste yeni, özel bir sayı öğrendik - bugün bu sayıyla çalışmaya devam edeceğiz.Logaritmaları inceledik ve bir logaritmanın tabanının 0'dan büyük birçok sayı olabileceğini biliyoruz. Bugün ayrıca tabanı e olan bir logaritmaya da bakacağız. Bu tür bir logaritma genellikle doğal logaritma olarak adlandırılır. Kendi gösterimi vardır: $\ln(n)$ doğal logaritmadır. Bu girdi şu girdiye eşdeğerdir: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Üstel ve logaritmik fonksiyonlar terstir, bu durumda doğal logaritma fonksiyonun tersidir: $y=e^x$.
Ters fonksiyonlar $y=x$ düz çizgisine göre simetriktir.
Üstel fonksiyonu $y=x$ düz çizgisine göre çizerek doğal logaritmayı çizelim.
$y=e^x$ fonksiyonunun grafiğine (0;1) noktasındaki teğetin eğim açısının 45° olduğunu belirtmekte fayda var. Bu durumda (1;0) noktasındaki doğal logaritmanın grafiğine teğetin eğim açısı da 45° olacaktır. Bu teğetlerin her ikisi de $y=x$ doğrusuna paralel olacaktır. Teğetlerin diyagramını çizelim:
$y=\ln(x)$ fonksiyonunun özellikleri
1. $D(f)=(0;+∞)$.2. Ne çift ne de tektir.
3. Tanımın tüm alanı boyunca artar.
4. Yukarıdan sınırlı değildir, aşağıdan sınırlı değildir.
5. En büyük değer HAYIR, en düşük değer HAYIR.
6. Sürekli.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Yukarı doğru dışbükey.
9. Her yerde türevlenebilir.
biliyorum yüksek matematik kanıtlanmıştır bir ters fonksiyonun türevi, belirli bir fonksiyonun türevinin tersidir.
İspatın derinliklerine inmenin pek bir anlamı yok, sadece şu formülü yazalım: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.
Örnek.
Fonksiyonun türevinin değerini hesaplayın: $y=\ln(2x-7)$ $x=4$ noktasında.
Çözüm.
İÇİNDE genel görünüm fonksiyonumuz $y=f(kx+m)$ fonksiyonu ile temsil ediliyor, bu tür fonksiyonların türevlerini hesaplayabiliyoruz.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
İstenilen noktada türevin değerini hesaplayalım: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Cevap: 2.
Örnek.
$y=ln(x)$ fonksiyonunun grafiğine $х=е$ noktasında bir teğet çizin.
Çözüm.
Bir fonksiyonun grafiğine $x=a$ noktasındaki teğet denklemini iyi hatırlıyoruz.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Gerekli değerleri sırayla hesaplıyoruz.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
$x=e$ noktasındaki teğet denklem $y=\frac(x)(e)$ fonksiyonudur.
Doğal logaritmayı ve teğet doğrusunu çizelim.
Örnek.
Fonksiyonu monotonluk ve ekstremum açısından inceleyin: $y=x^6-6*ln(x)$.
Çözüm.
$D(y)=(0;+∞)$ fonksiyonunun tanım alanı.
Verilen fonksiyonun türevini bulalım:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Türev, tanım alanındaki tüm x'ler için mevcuttur, o zaman kritik noktalar HAYIR. Durağan noktaları bulalım:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
6$*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
$х=-1$ noktası tanım alanına ait değildir. O zaman bir sabit noktamız var $x=1$. Artma ve azalma aralıklarını bulalım:
$x=1$ noktası minimum noktadır, bu durumda $y_min=1-6*\ln(1)=1$ olur.
Cevap: Fonksiyon (0;1] segmentinde azalır, $ ışınında fonksiyon artar
Önümüzde bir logaritmanın tanımından başka bir şey yok. Hatırlamak: logaritma bir kuvvettir Bir argüman elde etmek için tabanın içine inşa edilmesi gerekir. Bir güce yükseltilen tabandır - resimde kırmızıyla vurgulanmıştır. Tabanın her zaman altta olduğu ortaya çıktı! Öğrencilerime bu harika kuralı daha ilk derste anlatıyorum ve hiçbir kafa karışıklığı ortaya çıkmıyor.
Tanımı bulduk; geriye kalan tek şey logaritmanın nasıl sayılacağını öğrenmek. "log" işaretinden kurtulun. Başlangıç olarak, tanımdan iki önemli gerçeğin çıktığını not ediyoruz:
- Argüman ve taban her zaman sıfırdan büyük olmalıdır. Bu, derecenin tanımından kaynaklanmaktadır. rasyonel gösterge Logaritmanın tanımı buraya gelir.
- Taban birden farklı olmalıdır, çünkü bir dereceye kadar bir hala bir olarak kalır. Bu nedenle “iki elde etmek için kişinin hangi güce yükseltilmesi gerekir” sorusu anlamsızdır. Böyle bir derece yok!
Bu tür kısıtlamalara denir kabul edilebilir değerler aralığı(ODZ). Logaritmanın ODZ'sinin şu şekilde göründüğü ortaya çıktı: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
B sayısı (logaritmanın değeri) üzerinde herhangi bir kısıtlama olmadığını unutmayın. Örneğin logaritma negatif olabilir: log 2 0,5 = −1, çünkü 0,5 = 2 −1.
Ancak şimdi yalnızca logaritmanın VA'sını bilmenin gerekli olmadığı sayısal ifadeleri ele alıyoruz. Tüm kısıtlamalar, görevlerin yazarları tarafından zaten dikkate alınmıştır. Ancak logaritmik denklemler ve eşitsizlikler devreye girdiğinde DL gereklilikleri zorunlu hale gelecektir. Sonuçta, temel ve argüman, yukarıdaki kısıtlamalara tam olarak uymayan çok güçlü yapılar içerebilir.
Şimdi düşünelim genel şema Logaritmaların hesaplanması. Üç adımdan oluşur:
- A tabanını ve x argümanını mümkün olan minimum tabanı birden büyük olacak şekilde bir kuvvet olarak ifade edin. Bu arada ondalık sayılardan kurtulmak daha iyidir;
- b değişkeninin denklemini çözün: x = a b ;
- Ortaya çıkan b sayısı cevap olacaktır.
İşte bu! Logaritmanın irrasyonel olduğu ortaya çıkarsa, bu zaten ilk adımda görülecektir. Tabanın birden büyük olması gerekliliği çok önemlidir: bu, hata olasılığını azaltır ve hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirir. Aynısı ondalık sayılar: Bunları hemen normal olanlara dönüştürürseniz, çok daha az hata olacaktır.
Belirli örnekleri kullanarak bu şemanın nasıl çalıştığını görelim:
Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 5 25
- Tabanı ve argümanı beşin kuvveti olarak düşünelim: 5 = 5 1; 25 = 52;
- Denklemi oluşturup çözelim:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2; - Cevabını aldık: 2.
Görev. Logaritmayı hesaplayın:
[Resmin başlığı]
Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 4 64
- Tabanı ve argümanı ikinin kuvveti olarak düşünelim: 4 = 2 2; 64 = 26;
- Denklemi oluşturup çözelim:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3; - Cevabını aldık: 3.
Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 16 1
- Tabanı ve argümanı ikinin kuvveti olarak düşünelim: 16 = 2 4; 1 = 2 0;
- Denklemi oluşturup çözelim:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0; - Cevabını aldık: 0.
Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 7 14
- Tabanı ve argümanı yedinin kuvveti olarak düşünelim: 7 = 7 1; 7 1 olduğundan 14 yedinin kuvveti olarak temsil edilemez< 14 < 7 2 ;
- Önceki paragraftan logaritmanın sayılmadığı anlaşılmaktadır;
- Cevap değişiklik yok: log 7 14.
Son örnekle ilgili küçük bir not. Bir sayının başka bir sayının tam kuvveti olmadığından nasıl emin olabilirsiniz? Çok basit; sadece parçalara ayırın asal faktörler. Ve eğer bu faktörler aynı üslere sahip kuvvetler halinde toplanamıyorsa, o zaman orijinal sayı tam bir kuvvet değildir.
Görev. Sayıların tam kuvvetleri olup olmadığını öğrenin: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - tam derece, çünkü yalnızca bir çarpan vardır;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - tam bir kuvvet değildir, çünkü iki çarpan vardır: 3 ve 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - tam derece;
35 = 7 · 5 - yine kesin bir kuvvet değil;
14 = 7 · 2 - yine kesin bir derece değil;
Şunu da belirtelim ki biz kendimiz asal sayılar her zaman kendilerinin kesin dereceleridir.
Ondalık logaritma
Bazı logaritmalar o kadar yaygındır ki özel bir isme ve sembole sahiptirler.
X'in ondalık logaritması, 10 tabanına göre logaritmasıdır; X sayısını elde etmek için 10 sayısının yükseltilmesi gereken kuvvet. Tanım: lg x.
Örneğin log 10 = 1; lg100 = 2; lg 1000 = 3 - vb.
Artık bir ders kitabında "Lg 0.01'i bul" gibi bir ifade göründüğünde şunu bilin: bu bir yazım hatası değil. Bu bir ondalık logaritmadır. Ancak bu gösterime aşina değilseniz, istediğiniz zaman yeniden yazabilirsiniz:
günlük x = günlük 10 x
Sıradan logaritmalar için doğru olan her şey ondalık logaritmalar için de doğrudur.
Doğal logaritma
Kendi tanımı olan başka bir logaritma var. Bazı yönlerden ondalık sayıdan bile daha önemlidir. yaklaşık Doğal logaritma hakkında.
X'in doğal logaritması e tabanının logaritmasıdır, yani. x sayısını elde etmek için e sayısının yükseltilmesi gereken güç. Tanım: ln x .
Birçoğu şunu soracak: e sayısı nedir? Bu irrasyonel sayı, kesin değerini bulmak ve yazmak imkansızdır. Sadece ilk rakamları vereceğim:
e = 2,718281828459...
Bu sayının ne olduğu ve neden gerekli olduğu konusunda ayrıntıya girmeyeceğiz. Sadece e'nin doğal logaritmanın tabanı olduğunu unutmayın:
ln x = log e x
Böylece ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - vb. Öte yandan ln 2 irrasyonel bir sayıdır. Genel olarak herhangi bir rasyonel sayının doğal logaritması irrasyoneldir. Elbette birlik hariç: ln 1 = 0.
Doğal logaritmalar için sıradan logaritmalar için geçerli olan tüm kurallar geçerlidir.
Doğal logaritma
Doğal logaritma fonksiyonunun grafiği. Fonksiyon arttıkça yavaş yavaş pozitif sonsuza yaklaşır. X ve hızla negatif sonsuza yaklaşırken X herhangi bir değerle karşılaştırıldığında 0'a ("yavaş" ve "hızlı") eğilimlidir. güç fonksiyonu itibaren X).
Doğal logaritma tabanın logaritması , Nerede e- yaklaşık 2,718281 828'e eşit irrasyonel bir sabit. Doğal logaritma genellikle şu şekilde yazılır: ln( X), kayıt e (X) veya bazen sadece log( X), eğer taban e ima edildi.
Bir sayının doğal logaritması X(olarak yazılır ln(x)) sayının yükseltilmesi gereken üs e almak için X. Örneğin, ln(7,389...) 2'ye eşit çünkü e 2 =7,389... . Sayının kendisinin doğal logaritması e (ln(e)) 1'e eşittir çünkü e 1 = e ve doğal logaritma 1'dir ( (1)) 0'a eşittir çünkü e 0 = 1.
Doğal logaritma herhangi bir pozitif gerçek sayı için tanımlanabilir. A eğrinin altındaki alan olarak sen = 1/X 1'den A. Doğal logaritmayı kullanan diğer birçok formülle tutarlı olan bu tanımın basitliği, "doğal" ismine yol açmıştır. Bu tanım aşağıda tartışıldığı gibi karmaşık sayılara genişletilebilir.
Doğal logaritmayı gerçek bir değişkenin gerçek bir fonksiyonu olarak düşünürsek, bu üstel fonksiyonun ters fonksiyonudur ve bu da özdeşliklere yol açar:
Tüm logaritmalar gibi, doğal logaritma da çarpmayı toplamaya eşler:
Dolayısıyla logaritmik fonksiyon, pozitif pozitifler grubunun bir izomorfizmidir. gerçek sayılar Bir fonksiyon olarak temsil edilebilecek bir grup gerçek sayının toplama yoluyla çarpmasıyla ilgili:
Logaritma yalnızca 1 dışında herhangi bir pozitif taban için tanımlanabilir. e ancak diğer tabanlara ilişkin logaritmalar doğal logaritmadan yalnızca sabit bir faktörle farklılık gösterir ve genellikle doğal logaritma cinsinden tanımlanır. Logaritmalar, bilinmeyenleri üs olarak içeren denklemleri çözmek için kullanışlıdır. Örneğin, bilinen bir yarı ömür için bozunma sabitini bulmak veya radyoaktivite problemlerini çözerken bozunma süresini bulmak için logaritmalar kullanılır. oynuyorlar önemli rol Matematiğin birçok alanında uygulamalı bilimler, finansta bileşik faiz bulmak da dahil olmak üzere birçok sorunu çözmek için kullanılır.
Hikaye
Doğal logaritmanın ilk sözü Nicholas Mercator'un eserinde yapılmıştır. Logaritmoteknik 1668'de yayınlandı, ancak matematik öğretmeni John Spidell 1619'da bir doğal logaritma tablosu derledi. Daha önce hiperbolik logaritma olarak adlandırılıyordu çünkü hiperbolün altındaki alana karşılık geliyordu. Bu terimin orijinal anlamı biraz farklı olmasına rağmen bazen Napier logaritması olarak da adlandırılır.
Tanımlama kuralları
Doğal logaritma genellikle “ln( X)", 10 tabanına göre logaritma - "lg( X)" ve diğer nedenler genellikle "log" sembolüyle açıkça belirtilir.
Ayrık matematik, sibernetik ve bilgisayar bilimi üzerine birçok çalışmada yazarlar “log(” gösterimini kullanırlar. X)", ancak bu kural genel olarak kabul edilmez ve ilk kullanıldığında ya kullanılan notasyon listesinde ya da (böyle bir listenin yokluğunda) bir dipnot ya da yorumla açıklama yapılmasını gerektirir.
Logaritma argümanının etrafındaki parantezler (eğer bu formülün hatalı okunmasına yol açmıyorsa) genellikle atlanır ve bir logaritmayı bir kuvvete yükseltirken üs doğrudan logaritmanın işaretine atanır: ln 2 ln 3 4 X 5 = [ içinde ( 3 )] 2 .
Anglo-Amerikan sistemi
Matematikçiler, istatistikçiler ve bazı mühendisler genellikle doğal logaritmayı veya "log( X)" veya "ln( X)" ve 10 tabanındaki logaritmayı belirtmek için - "log 10 ( X)».
Bazı mühendisler, biyologlar ve diğer uzmanlar her zaman “ln( X)" (veya bazen "log e ( X)") doğal logaritmayı kastettikleri zaman ve "log( X)", log 10'u kastediyorlar ( X).
kayıt e"doğal" bir logaritmadır çünkü otomatik olarak oluşur ve matematikte çok sık görülür. Örneğin logaritmik bir fonksiyonun türevi problemini düşünün:
Eğer baz B eşittir e, bu durumda türev basitçe 1/ X ve ne zaman X= 1 bu türev 1'e eşittir. Tabanın başka bir nedeni e Logaritmayla ilgili en doğal şey, oldukça basit bir şekilde tanımlanabilmesidir. basit integral veya diğer logaritmalar için söylenemeyen Taylor serileri.
Doğallığa ilişkin diğer gerekçeler notasyonla ilgili değildir. Örneğin, doğal logaritmalara sahip birkaç basit seri vardır. Pietro Mengoli ve Nicholas Mercator onları aradı logaritma doğallığı Newton ve Leibniz diferansiyel ve integral hesabı geliştirene kadar birkaç on yıl sürdü.
Tanım
Resmi olarak ln( A) grafiğin eğrisinin altındaki alan olarak tanımlanabilir 1/ X 1'den A, yani bir integral olarak:
Bu gerçekten bir logaritmadır çünkü logaritmanın temel özelliğini karşılar:
Bu, aşağıdaki gibi varsayılarak gösterilebilir:
Sayısal değer
Bir sayının doğal logaritmasının sayısal değerini hesaplamak için Taylor serisi açılımını şu biçimde kullanabilirsiniz:
Daha iyi bir yakınsama oranı elde etmek için aşağıdaki kimliği kullanabilirsiniz:
ln için( X), Nerede X> 1, değer ne kadar yakınsa X 1'e, o zaman daha yüksek hız yakınsama. Logaritmayla ilişkili kimlikler hedefe ulaşmak için kullanılabilir:
Bu yöntemler, sayısal tabloların kullanıldığı ve yukarıda açıklananlara benzer manipülasyonların yapıldığı hesap makinelerinin ortaya çıkmasından önce bile kullanılıyordu.
Yüksek doğruluk
Çok sayıda hassas basamakla doğal logaritmanın hesaplanmasında Taylor serisi yakınsaması yavaş olduğundan verimli değildir. Bir alternatif, serisi daha hızlı yakınsayan üstel bir fonksiyona tersine çevirmek için Newton yöntemini kullanmaktır.
Çok yüksek hesaplama doğruluğu için bir alternatif formüldür:
Nerede M 1 ve 4/s'nin aritmetik-geometrik ortalamasını belirtir ve
Möyle seçilmiş P doğruluk işaretleri elde edilir. (Çoğu durumda m için 8 değeri yeterlidir.) Aslında, eğer bu yöntem kullanılırsa, üstel fonksiyonu verimli bir şekilde hesaplamak için Newton'un doğal logaritmasının tersi uygulanabilir. (In 2 ve pi sabitleri, bilinen hızlı yakınsak serilerden herhangi biri kullanılarak istenen doğrulukta önceden hesaplanabilir.)
Hesaplama karmaşıklığı
Doğal logaritmanın hesaplama karmaşıklığı (aritmetik-geometrik ortalama kullanılarak) O( M(N)in N). Burada N doğal logaritmanın değerlendirilmesi gereken hassas basamak sayısıdır ve M(N) ikiyi çarpmanın hesaplama karmaşıklığıdır N-haneli sayılar.
Devam eden kesirler
Bir logaritmayı temsil edecek basit sürekli kesirler olmamasına rağmen, aşağıdakiler de dahil olmak üzere çeşitli genelleştirilmiş sürekli kesirler kullanılabilir:
Karmaşık logaritmalar
Üstel fonksiyon, karmaşık sayı formunu veren bir fonksiyona genişletilebilir. e X herhangi bir keyfi için karmaşık sayı X, bu durumda karmaşık bir sonsuz seri X. Bu üstel fonksiyon karmaşık bir logaritma oluşturacak şekilde ters çevrilebilir; çoğunlukla Sıradan logaritmanın özellikleri. Ancak iki zorluk var: X, bunun için e X= 0 ve öyle görünüyor ki e 2πi = 1 = e 0. Çarpma özelliği karmaşık bir üstel fonksiyon için geçerli olduğundan, o zaman e z = e z+2hayır tüm karmaşıklar için z ve bütün N.
Logaritma tüm karmaşık düzlem üzerinde tanımlanamaz ve bu durumda bile çok değerlidir; herhangi bir karmaşık logaritma, 2'nin herhangi bir tamsayı katının eklenmesiyle "eşdeğer" bir logaritma ile değiştirilebilir. πi. Karmaşık logaritma yalnızca karmaşık düzlemin bir diliminde tek değerli olabilir. Örneğin, ln Ben = 1/2 πi veya 5/2 πi veya −3/2 πi, vb. ve buna rağmen Ben 4 = 1,4 günlük Ben 2 olarak tanımlanabilir πi veya 10 πi veya −6 πi, ve benzeri.
Ayrıca bakınız
- John Napier - logaritmanın mucidi
Notlar
- Fiziksel kimya için matematik. - 3.. - Academic Press, 2005. - S. 9. - ISBN 0-125-08347-5,Sayfa 9'dan alıntı
- JJ O"Connor ve EF Robertson Numara e. MacTutor Matematik Tarihi arşivi (Eylül 2001). 12 Şubat 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi.
- Cajori Florian Matematik Tarihi, 5. baskı. - AMS Kitabevi, 1991. - S. 152. -