Hangi cebirsel ifadeye tamsayı denir. cebirsel ifadeler
Sayısal ve cebirsel ifadeler. İfade dönüştürme.
Matematikte bir ifade nedir? İfade dönüştürmeleri neden gereklidir?
Soru, dedikleri gibi, ilginç... Gerçek şu ki, bu kavramlar tüm matematiğin temelidir. Tüm matematik ifadelerden ve bunların dönüşümlerinden oluşur. Çok temiz değil? Açıklamama izin ver.
Diyelim ki kötü bir örneğiniz var. Çok büyük ve çok karmaşık. Diyelim ki matematikte iyisin ve hiçbir şeyden korkmuyorsun! Hemen cevaplayabilir misin?
Zorunda olacaksın karar ver bu örnek. Sırayla, adım adım, bu örnek basitleştirmek. Elbette belli kurallara göre. Şunlar. yapmak ifade dönüştürme. Bu dönüşümleri ne kadar başarılı bir şekilde gerçekleştiriyorsunuz yani matematikte güçlüsünüz. Doğru dönüşümleri nasıl yapacağınızı bilmiyorsanız, matematikte yapamazsınız. hiç bir şey...
Böyle rahatsız edici bir gelecekten (veya şimdiki zamandan ...) kaçınmak için bu konuyu anlamaktan zarar gelmez.)
Başlamak için, öğrenelim matematikte bir ifade nedir. Ne sayısal ifade ve nedir cebirsel ifade.
Matematikte bir ifade nedir?
Matematikte ifadeçok geniş bir kavramdır. Matematikte uğraştığımız hemen hemen her şey bir dizi matematiksel ifadedir. Herhangi bir örnek, formül, kesir, denklem vb. - hepsi şunlardan oluşur: matematiksel ifadeler.
3+2 matematiksel bir ifadedir. c 2 - gün 2 aynı zamanda matematiksel bir ifadedir. Ve sağlıklı bir kesir ve hatta bir sayı - bunların hepsi matematiksel ifadelerdir. Örneğin denklem şudur:
5x + 2 = 12
eşittir işaretiyle birbirine bağlanan iki matematiksel ifadeden oluşur. Bir ifade solda, diğeri sağda.
Genel anlamda, terim matematiksel ifade" çoğu zaman mırıldanmamak için kullanılır. Örneğin, size sıradan bir kesrin ne olduğunu soracaklar? Ve nasıl cevap verilir?!
Cevap 1: "Bu... m-m-m-m... böyle bir şey ... hangi ... Daha iyi bir kesir yazabilir miyim? Hangisini istersin?"
İkinci cevap seçeneği: "Sıradan bir kesir (neşeyle ve neşeyle!) matematiksel ifade , pay ve paydadan oluşur!"
İkinci seçenek bir şekilde daha etkileyici, değil mi?)
Bu amaçla, deyimi " matematiksel ifade "çok iyi. Hem doğru hem de sağlam. Ancak pratik uygulama için iyi bilgili olmanız gerekir. matematikte belirli ifade türleri .
Spesifik tip başka bir konudur. BT çok başka bir şey! Her bir matematiksel ifade türü, benim kararda kullanılması gereken bir dizi kural ve teknik. Kesirlerle çalışmak için - bir set. Trigonometrik ifadelerle çalışmak için - ikincisi. Logaritmalarla çalışmak için - üçüncü. Ve benzeri. Bir yerde bu kurallar çakışıyor, bir yerde keskin bir şekilde farklılar. Ancak bu korkunç sözlerden korkmayın. Logaritmalar, trigonometri ve ilgili bölümlerde ustalaşacağımız diğer gizemli şeyler.
Burada iki ana matematiksel ifade türünde ustalaşacağız (veya - istediğiniz gibi tekrarlayacağız ...). Sayısal ifadeler ve cebirsel ifadeler.
Sayısal ifadeler.
Ne sayısal ifade? Bu çok basit bir kavramdır. Adın kendisi, bunun sayılar içeren bir ifade olduğunu ima ediyor. Bu böyle. Sayılar, parantezler ve işaretlerden oluşan matematiksel ifade Aritmetik işlemler sayısal ifade denir.
7-3 sayısal bir ifadedir.
(8+3.2) 5.4 aynı zamanda sayısal bir ifadedir.
Ve bu canavar:
ayrıca sayısal bir ifade, evet...
Sıradan bir sayı, bir kesir, x'ler ve diğer harfler olmadan herhangi bir hesaplama örneği - bunların hepsi sayısal ifadelerdir.
ana özellik sayısal içindeki ifadeler harf yok. Hiçbiri. Yalnızca sayılar ve matematiksel simgeler (gerekirse). Çok basit, değil mi?
Ve sayısal ifadelerle neler yapılabilir? Sayısal ifadeler genellikle sayılabilir. Bunu yapmak için bazen parantez açmanız, işaretleri değiştirmeniz, kısaltmanız, terimleri değiştirmeniz gerekir - yani. yapmak ifade dönüşümleri. Ama daha fazlası aşağıda.
Burada sayısal bir ifade ile böyle komik bir durumla ilgileneceğiz. hiçbir şey yapmak zorunda değilsin. Eh, hiçbir şey! Bu güzel operasyon Hiçbirşey yapmamak)- ifade çalıştırıldığında mantıklı değil.
Sayısal bir ifade ne zaman anlamlı olmaz?
Tabii ki, önümüzde bir çeşit abrakadabra görürsek, örneğin
o zaman hiçbir şey yapmayacağız. Çünkü onunla ne yapılacağı belli değil. Biraz saçmalık. Artıların sayısını saymazsak ...
Ancak dışarıdan oldukça iyi ifadeler var. Örneğin bu:
(2+3) : (16 - 2 8)
Ancak bu ifade aynı zamanda mantıklı değil! Basit bir nedenle, ikinci parantez içinde - sayarsanız - sıfır alırsınız. Sıfıra bölemezsiniz! Bu matematikte yasak bir işlemdir. Bu nedenle, bu ifadeyle de herhangi bir şey yapmaya gerek yoktur. Böyle bir ifadeye sahip herhangi bir görev için cevap her zaman aynı olacaktır: "İfade mantıklı değil!"
Böyle bir cevap vermek için elbette parantez içinde ne olacağını hesaplamam gerekiyordu. Ve bazen parantez içinde böyle bir bükülme ... Eh, bu konuda yapılacak bir şey yok.
Matematikte çok fazla yasaklanmış işlem yoktur. Bu başlıkta sadece bir tane var. Sıfıra bölüm. Köklerde ve logaritmalarda ortaya çıkan ek yasaklar ilgili başlıklarda tartışılmaktadır.
Yani, ne olduğu hakkında bir fikir sayısal ifade- var. kavram sayısal ifade mantıklı değil- gerçekleştirilen. Daha ileri gidelim.
Cebirsel ifadeler.
Sayısal bir ifadede harfler görünüyorsa, bu ifade şu olur... İfade olur... Evet! O olur cebirsel ifade. Örneğin:
5a2; 3x-2y; 3(z-2); 3.4m/n; x 2 +4x-4; (a + b) 2; ...
Bu tür ifadelere de denir. gerçek ifadeler. Veya değişkenli ifadeler. Pratik olarak aynı şeydir. İfade 5a +c, örneğin - hem gerçek hem de cebirsel ve değişkenlerle ifade.
kavram cebirsel ifade - sayısaldan daha geniştir. BT içerir ve tüm sayısal ifadeler. Şunlar. sayısal bir ifade aynı zamanda cebirsel bir ifadedir, sadece harfler olmadan. Her ringa balığı balıktır ama her balık ringa balığı değildir...)
Neden gerçek- açık. Eh, harfler olduğu için ... İfade değişkenlerle ifade ayrıca çok kafa karıştırıcı değil. Rakamların harflerin altında gizli olduğunu anlarsanız. Harflerin altına her türlü sayı gizlenebilir... Ve 5, ve -18 ve ne isterseniz. Yani, bir mektup olabilir yer değiştirmek farklı numaralar için Bu yüzden harfler denir değişkenler.
ifadede y+5, örneğin, de - değişken. Ya da sadece " değişken", "değer" kelimesi olmadan. Sabit bir değer olan beşin aksine. Ya da sadece - devamlı.
Terim cebirsel ifade bu ifadeyle çalışmak için yasaları ve kuralları kullanmanız gerektiği anlamına gelir. cebir. Eğer bir aritmetik belirli sayılarla çalışır, ardından cebir- aynı anda tüm sayılarla. Açıklama için basit bir örnek.
Aritmetikte şöyle yazılabilir
Ancak cebirsel ifadelerle benzer bir eşitlik yazarsak:
a + b = b + bir
hemen karar vereceğiz tüm sorular. İçin tüm sayılar felç. Sonsuz sayıda şey için. Çünkü harflerin altında a ve b ima edilen tüm sayılar. Ve sadece sayılar değil, hatta diğer matematiksel ifadeler. Cebir böyle çalışır.
Cebirsel bir ifade ne zaman anlamsız olur?
Sayısal ifadeyle ilgili her şey açıktır. Sıfıra bölemezsiniz. Ve harflerle neye böldüğümüzü bulmak mümkün mü?!
Örnek olarak aşağıdaki değişken ifadesini ele alalım:
2: (a - 5)
Mantıklı geliyor? Ama onu kim tanıyor? a- herhangi bir numara...
Herhangi biri, herhangi biri... Ama bir anlamı var a, bu ifade için kesinlikle mantıklı değil! Ve bu sayı nedir? Evet! 5 oldu! değişken ise a parantez içinde 5 rakamıyla değiştirin ("ikame" derler), sıfır çıkacaktır. hangi bölünemez. Yani bizim ifademiz çıkıyor mantıklı değil, eğer bir = 5. Ama diğer değerler için a mantıklı geliyor? Diğer sayıları değiştirebilir misin?
Tabii ki. Bu gibi durumlarda, basitçe söylenir ki, ifade
2: (a - 5)
herhangi bir değer için mantıklı a, a = 5 hariç .
Tüm sayılar kümesi Yapabilmek verilen ifadenin yerine ikame denir geçerli aralık bu ifade.
Gördüğünüz gibi, zor bir şey yok. Değişkenli ifadeye bakarız ve şunu düşünürüz: yasaklanmış işlem (sıfıra bölme) değişkenin hangi değerinde elde edilir?
Ve sonra ödev sorusuna baktığınızdan emin olun. Ne soruyorlar?
mantıklı değil, yasak değerimiz cevap olacaktır.
İfadenin değişkenin hangi değerinde olduğunu sorarlarsa anlamı var(farkı hissedin!), cevap diğer tüm sayılar yasak olanlar hariç.
Neden ifadenin anlamına ihtiyacımız var? O orada, o değil... Ne fark eder ki?! Gerçek şu ki, bu kavram lisede çok önemli hale geliyor. Son derece önemli! Bu, geçerli değerler aralığı veya bir işlevin kapsamı gibi katı kavramların temelidir. Bu olmadan, ciddi denklemleri veya eşitsizlikleri hiç çözemezsiniz. Bunun gibi.
İfade dönüştürme. Kimlik dönüşümleri.
Sayısal ve cebirsel ifadelerle tanıştık. "İfadenin bir anlamı yok" ifadesinin ne anlama geldiğini anlayın. Şimdi ne olduğunu bulmamız gerekiyor ifade dönüştürme. Cevap basit, aşırı derecede.) Bu, bir ifadeye sahip herhangi bir eylemdir. Ve bu kadar. Bu dönüşümleri birinci sınıftan beri yapıyorsunuz.
3+5 havalı sayısal ifadesini alın. Nasıl dönüştürülebilir? Evet, çok kolay! Hesaplamak:
Bu hesaplama ifadenin dönüşümü olacaktır. Aynı ifadeyi farklı bir şekilde yazabilirsiniz:
Burada hiçbir şey saymadık. Sadece ifadeyi yaz farklı bir formda. Bu aynı zamanda ifadenin bir dönüşümü olacaktır. Şu şekilde yazılabilir:
Ve bu da bir ifadenin dönüşümüdür. Bu dönüşümlerden istediğiniz kadar yapabilirsiniz.
Hiç bir ifade üzerinde eylem hiç farklı bir biçimde yazmaya ifade dönüşümü denir. Ve her şey. Her şey çok basit. Ama burada bir şey var çok önemli kural. O kadar önemli ki güvenle çağrılabilir ana kural tüm matematik. Bu kuralı çiğnemek kaçınılmaz olarak hatalara yol açar. anladık mı?)
Diyelim ki ifademizi keyfi olarak şöyle değiştirdik:
Dönüşüm? Tabii ki. İfadeyi farklı bir şekilde yazdık, burada yanlış olan ne?
Öyle değil.) Gerçek şu ki, dönüşümler "her neyse" matematik hiç ilgilenmez.) Tüm matematik, içinde bulunduğu dönüşümler üzerine kuruludur. dış görünüş, ama ifadenin özü değişmez.Üç artı beş herhangi bir biçimde yazılabilir, ancak sekiz olmalıdır.
dönüşümler, özü değiştirmeyen ifadeler aranan birebir aynı.
Aynen öyle özdeş dönüşümler ve adım adım dönüştürmemize izin verin karmaşık örnek tutmak, basit bir ifadeye örneğin özü. Dönüşümler zincirinde bir hata yaparsak, özdeş DEĞİL bir dönüşüm yaparız, sonra karar veririz. bir diğerörnek. Doğru olanlarla ilgili olmayan diğer cevaplarla.)
İşte herhangi bir görevi çözmenin ana kuralı: dönüşümlerin kimliğine uygunluk.
Netlik için 3+5 sayısal ifade ile örnek verdim. Cebirsel ifadelerde özdeş dönüşümler formül ve kurallarla verilir. Diyelim ki cebirde bir formül var:
a(b+c) = ab + ac
Yani, herhangi bir örnekte, ifade yerine şunları yapabiliriz: a(b+c) bir ifade yazmaktan çekinmeyin ab+ac. Ve tam tersi. BT özdeş dönüşüm. Matematik bize bu iki ifadeden birini seçme şansı verir. Ve hangisi yazılacak - Vaka Analizi bağlı olmak.
Başka bir örnek. En önemli ve gerekli dönüşümlerden biri, bir kesrin temel özelliğidir. Bağlantıda daha fazla ayrıntı görebilirsiniz, ancak burada sadece kuralı hatırlatıyorum: bir kesrin pay ve paydası aynı sayıyla veya sıfıra eşit olmayan bir ifadeyle çarpılırsa (bölünürse) kesir değişmez. Bu özellik için özdeş dönüşümlere bir örnek:
Muhtemelen tahmin ettiğiniz gibi bu zincir süresiz olarak devam ettirilebilir...) Çok önemli özellik. Her türlü örnek canavarı beyaz ve kabarık hale getirmenize izin veren budur.)
Özdeş dönüşümleri tanımlayan birçok formül vardır. Ama en önemlisi - oldukça makul bir miktar. Temel dönüşümlerden biri çarpanlara ayırmadır. İlköğretimden ileri düzeye kadar tüm matematikte kullanılır. Onunla başlayalım. sonraki derste.)
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnekleri çözme alıştırması yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenme - ilgiyle!)
fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
Cebirsel ifade toplama, çıkarma, çarpma, bölme, tamsayıya çıkarma ve kök çıkarma işlemlerinin işaretleri ile birbirine bağlanan harf ve sayılardan oluşan bir ifade (üsler ve kök sabit sayılar olmalıdır). A. in. Kök çıkarma işareti altında içermiyorsa, içerdiği bazı harflere göre rasyonel olarak adlandırılır, örneğin a, b ve c'ye göre rasyoneldir. A. in. bazı harflere göre bu harfleri içeren ifadelerle bölme içermiyorsa tam sayı olarak adlandırılır, örneğin 3a / c + bc 2 - 3ac / 4
a ve b'ye göre tam sayıdır. Harflerin bazıları (veya tümü) değişken olarak kabul edilirse, A. c. cebirsel bir fonksiyondur.
Büyük sovyet ansiklopedisi. - M.: Sovyet Ansiklopedisi. 1969-1978 .
Diğer sözlüklerde "Cebirsel İfade" nin ne olduğunu görün:
Cebirsel işlemlerin işaretleriyle birbirine bağlanan harf ve sayılardan oluşan bir ifade: toplama, çıkarma, çarpma, bölme, bir kuvvete yükseltme, bir kök çıkarma ... Büyük ansiklopedik sözlük
cebirsel ifade- - Petrol ve gaz endüstrisi konuları EN cebirsel ifade ... Teknik Çevirmenin El Kitabı
Cebirsel ifade, cebirsel işlemlerin işaretleri ile birbirine bağlanan bir veya daha fazla cebirsel niceliktir (sayılar ve harfler): toplama, çıkarma, çarpma ve bölmenin yanı sıra kökü çıkarma ve bir tamsayıya yükseltme ... ... Wikipedia
Cebirsel işlemlerin işaretleriyle birbirine bağlanan harf ve sayılardan oluşan bir ifade: toplama, çıkarma, çarpma, bölme, bir kuvvete yükseltme, bir kök çıkarma. * * * CEBİRSEL İFADE CEBİRSEL İFADE, deyim, ... ... ansiklopedik sözlük
cebirsel ifade- algebrinė išraiška durumları T sritis fizika atitikmenys: engl. cebirsel ifade vok. cebirsel Ausdruck, m rus. cebirsel ifade, prank. ifade cebiri, f … Fizikos terminų žodynas
Cebirlerin işaretleriyle birbirine bağlanan harf ve sayılardan oluşan bir ifade. eylemler: toplama, çıkarma, çarpma, bölme, üs alma, kök çıkarma ... Doğal bilim. ansiklopedik sözlük
Belirli bir değişken için bir cebirsel ifade, aşkın olanın aksine, bu miktarın toplamları, ürünleri veya güçleri dışında, belirli bir miktarın diğer işlevlerini içermeyen bir ifadedir, ayrıca terimler ... Ansiklopedik Sözlük F.A. Brockhaus ve I.A. efron
İFADE, ifadeler, bkz. 1. Bölüme göre eylem. ekspres ekspres. Minnettarlığımı ifade edecek kelime bulamıyorum. 2. çoğu zaman Bir fikrin bir tür sanat (felsefi) formlarında somutlaştırılması. Böyle bir ifadeyi ancak büyük bir sanatçı yaratabilir, ... ... Sözlük Uşakov
İki cebirsel ifadenin eşitlenmesiyle elde edilen bir denklem (Bkz. Cebirsel İfade). A. y. Bilinmeyen paydada yer alıyorsa bir bilinmeyene kesirli, bilinmeyen paydada ise irrasyonel denir. Büyük Sovyet Ansiklopedisi
İFADE- aritmetik işlemlerin işaretleri ile birbirine bağlanan harf ve sayıların kaydı anlamına gelen birincil matematiksel kavram, parantezler, işlev tanımları vb. kullanılabilir; genellikle B bunun formül milyon kısmıdır. Ayırt (1) ... ... Büyük Politeknik Ansiklopedisi
Doğa bilimleri ve matematik ile ilgili makaleler
Sayısal ve cebirsel bir ifade nedir?
sayısal ifade- Bu, aritmetik işlemlerin sayı ve işaretlerinden oluşan ve bilinen kurallara göre yazılmış ve bunun sonucunda belirli bir anlamı olan herhangi bir kayıttır. Örneğin, aşağıdaki girişler sayısal ifadelerdir: 4 + 5; -1,05 × 22,5 - 34. Öte yandan, × 16 - × 0,5 gösterimi sayısal değildir, çünkü sayılardan ve aritmetik işlemlerin işaretlerinden oluşmasına rağmen, sayısal ifadeleri derleme kurallarına göre yazılmaz.
Sayısal bir ifade, sayılar yerine harfler içeriyorsa (tümü veya yalnızca bir kısmı), bu ifade zaten cebirsel.
Harf kullanmanın anlamı yaklaşık olarak aşağıdaki gibidir. Harfler yerine farklı sayılar ikame edilebilir, bu da ifadenin farklı anlamlara sahip olabileceği anlamına gelir. Bir bilim olarak cebir, ifadeleri basitleştirme, çeşitli kurallar, yasalar, formüller arama ve kullanma ilkelerini inceler. Cebir en çok çalışır rasyonel yollar hesaplamalar yapmak ve sadece bunun için genellemelere, yani belirli sayılar yerine değişkenlerin (harflerin) kullanılmasına ihtiyaç vardır.
Cebirsel gerçekler, toplama ve çarpma yasalarını, negatif sayı kavramlarını, adi ve ondalık kesirleri ve bunlarla aritmetik işlem kurallarını, adi kesirlerin özelliklerini içerir. Cebir, tüm bu çeşitli gerçekleri anlamak, onlara nasıl kullanacaklarını öğretmek, yasaların belirli sayısal ve cebirsel ifadelerde uygulanabilirliğini görmek için çağrılır.
Sayısal bir ifade değerlendirildiğinde, sonuç onun değeridir. Cebirsel bir ifadenin değeri, ancak belirli harfler belirli harflerle değiştirilirse hesaplanabilir. Sayısal değerler. Örneğin, a = 3 ve b = 5 olan a ÷ b ifadesinin değeri 3 ÷ 5 veya 0,6'dır. Bununla birlikte, cebirsel bir ifade, değişkenlerin (harflerin) bazı değerleri için hiç mantıklı gelmeyebilir. Aynı örnek için (a ÷ b), sıfıra bölemeyeceğiniz için ifade b = 0 için bir anlam ifade etmez.
Bu nedenle, izin verilen ve izin verilmeyen hakkında konuşurlar. izin verilen değerler bu veya bu cebirsel ifade için değişkenler.
bilim ülkesi.info
cebirsel ifadeler
- kavram tanımı
- ifade değeri
- kimlik ifadeleri
- Problem çözme
- Ne öğrendik?
kavram tanımı
Hangi ifadelere cebirsel denir? Bu, sayılar, harfler ve aritmetik işlemlerin işaretlerinden oluşan matematiksel bir gösterimdir. Harflerin varlığı, sayısal ve cebirsel ifadeler arasındaki temel farktır. Örnekler:
Cebirsel ifadelerde bir harf bir sayıyı temsil eder. Bu nedenle, buna değişken denir - ilk örnekte a, ikinci - b ve üçüncü - c harfidir. Cebirsel ifadenin kendisine de denir değişken ifade.
ifade değeri
Cebirsel bir ifadenin anlamı bu ifadede belirtilen tüm aritmetik işlemlerin yapılması sonucunda elde edilen sayıdır. Ancak bunu elde etmek için harflerin sayılarla değiştirilmesi gerekir. Bu nedenle, örnekler her zaman harfin hangi sayıya karşılık geldiğini gösterir. a=3 ise 8a-14*(5-a) ifadesinin değerini nasıl bulacağınızı düşünün.
A harfinin yerine 3 sayısını koyalım. Şu girişi elde ederiz: 8*3-14*(5-3).
Sayısal ifadelerde olduğu gibi, cebirsel bir ifadenin çözümü, aritmetik işlemleri gerçekleştirme kurallarına göre gerçekleştirilir. Her şeyi sırayla çözelim.
Böylece, a=3 için 8a-14*(5-a) ifadesinin değeri -4'tür.
Bir değişkenin değeri, ifade onun için anlamlıysa, yani çözümünü bulmak mümkünse geçerli olarak adlandırılır.
5:2a ifadesi için geçerli bir değişken örneği 1 sayısıdır. Bunu ifadede yerine koyarsak 5:2*1=2.5 elde ederiz. Bu ifade için geçersiz değişken 0'dır. İfadeye sıfır koyarsak 5:2*0, yani 5:0 elde ederiz. Sıfıra bölemezsiniz, bu nedenle ifade bir anlam ifade etmez.
kimlik ifadeleri
İki ifade, kurucu değişkenlerinin herhangi bir değeri için eşitse, bunlara denir. birebir aynı.
Örnek özdeş ifadeler
:
4(a+c) ve 4a+4c.
a ve c harflerinin aldığı değerler ne olursa olsun, ifadeler her zaman eşit olacaktır. Herhangi bir ifade, onunla aynı olan başka bir ifadeyle değiştirilebilir. Bu sürece kimlik dönüşümü denir.
Özdeş bir dönüşüm örneği
.
4 * (5a + 14c) - bu ifade, matematiksel çarpma kanunu uygulanarak aynı ifadeyle değiştirilebilir. Bir sayıyı iki sayının toplamı ile çarpmak için bu sayıyı her terimle çarpmanız ve sonuçları toplamanız gerekir.
Böylece 4*(5a+14c) ifadesi 20a+64c ile aynıdır.
Cebirsel bir ifadede değişmez değişkenden önce gelen sayıya katsayı denir. Katsayı ve değişken çarpanlardır.
Problem çözme
Cebirsel ifadeler problem ve denklemleri çözmek için kullanılır.
Görevi düşünelim. Petya bir sayı buldu. Sınıf arkadaşı Sasha'nın tahmin etmesi için Petya ona: önce sayıya 7 ekledim, sonra ondan 5 çıkardım ve 2 ile çarptım. Sonuç olarak 28 sayısını aldım. Hangi sayıyı tahmin ettim?
Sorunu çözmek için, gizli sayıyı a harfiyle belirtmeniz ve ardından belirtilen tüm işlemleri onunla gerçekleştirmeniz gerekir.
Şimdi ortaya çıkan denklemi çözelim.
Petya 12 sayısını tahmin etti.
Ne öğrendik?
Cebirsel ifade, aritmetik işlemlerin harf, sayı ve işaretlerinden oluşan bir kayıttır. Her ifadenin, ifadedeki tüm aritmetiği yaparak bulunan bir değeri vardır. Cebirsel ifadedeki harfe değişken, önündeki sayıya katsayı denir. Problemleri çözmek için cebirsel ifadeler kullanılır.
6.4.1. Cebirsel ifade
BEN. Harflerle birlikte sayıların, aritmetik işlemlerin işaretleri ve parantezlerin kullanılabildiği ifadelere cebirsel ifadeler denir.
Cebirsel ifadelere örnekler:
2m-n; 3 · (2a+b); 0.24x; 0.3a-b · (4a + 2b); 2 - 2ab;
Cebirsel ifadedeki bir harf bazı farklı sayılarla değiştirilebildiğinden, harfe değişken denir ve cebirsel ifadenin kendisine değişkenli bir ifade denir.
II. Bir cebirsel ifadede harfler (değişkenler) değerleriyle değiştirilirse ve belirtilen eylemler gerçekleştirilirse, elde edilen sayıya cebirsel ifadenin değeri denir.
Örnekler. Bir ifadenin değerini bulun:
1) a = -2 için a + 2b -c; b = 10; c = -3,5.
2) |x| + |y| -|z| x = -8'de; y=-5; z = 6.
1) a = -2 için a + 2b -c; b = 10; c = -3,5. Değişkenler yerine değerlerini değiştiririz. Alırız:
2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.
2) |x| + |y| -|z| x = -8'de; y=-5; z = 6. Belirtilen değerleri yerine koyuyoruz. Negatif bir sayının modülünün karşıt sayıya eşit olduğunu ve modülün pozitif sayı bu sayıya eşittir. Alırız:
|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.
III. Cebirsel ifadenin anlam ifade ettiği bir harfin (değişkenin) değerlerine, harfin (değişkenin) geçerli değerleri denir.
Örnekler. Değişkenin hangi değerlerinde ifade anlamlı değil?
Çözüm. Sıfıra bölmenin imkansız olduğunu biliyoruz, bu nedenle kesrin paydasını sıfıra çeviren harfin (değişkenin) değeri ile bu ifadelerin her biri bir anlam ifade etmeyecektir!
Örnek 1)'de, bu a = 0 değeridir. Gerçekten de, a yerine 0'ı değiştirirsek, 6 sayısının 0'a bölünmesi gerekir, ancak bu yapılamaz. Cevap: 1) ifadesi a = 0 olduğunda bir anlam ifade etmez.
Örnek 2)'de x = 4'te payda x - 4 = 0, bu nedenle bu değer x = 4 ve alınamaz. Cevap: ifade 2) x = 4 için bir anlam ifade etmiyor.
Örnek 3)'te payda, x = -2 için x + 2 = 0'dır. Cevap: 3) ifadesi x = -2'de bir anlam ifade etmiyor.
Örnek 4)'te payda 5 -|x| = 0 |x| = 5. Ve |5| = 5 ve |-5| \u003d 5, o zaman x \u003d 5 ve x \u003d -5 alamazsınız. Cevap: ifade 4) x = -5 ve x = 5 için bir anlam ifade etmez.
IV. Değişkenlerin herhangi bir kabul edilebilir değeri için, bu ifadelerin karşılık gelen değerleri eşitse, iki ifade aynı şekilde eşit olarak adlandırılır.
Örnek: 5 (a - b) ve 5a - 5b aynıdır, çünkü 5 (a - b) = 5a - 5b eşitliği, a ve b'nin herhangi bir değeri için doğru olacaktır. Eşitlik 5 (a - b) = 5a - 5b bir özdeşliktir.
Kimlik içerdiği değişkenlerin tüm kabul edilebilir değerleri için geçerli olan bir eşitliktir. Sizin zaten bildiğiniz kimlik örnekleri, örneğin toplama ve çarpma özellikleri, dağıtım özelliğidir.
Bir ifadenin, ona eşit olarak başka bir ifadeyle değiştirilmesine, özdeş bir dönüşüm veya basitçe bir ifadenin dönüşümü denir. kimlik dönüşümleri değişkenli ifadeler, sayılar üzerindeki işlemlerin özelliklerine göre yürütülür.
a)çarpmanın dağılma özelliğini kullanarak ifadeyi aynı eşitliğe dönüştürün:
1) 10 (1.2x + 2.3y); 2) 1.5 (a-2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).
Çözüm. Çarpmanın dağılma özelliğini (yasasını) hatırlayın:
(a+b) c=a c+b c(toplamaya göre çarpmanın dağıtım yasası: iki sayının toplamını üçüncü bir sayı ile çarpmak için, her terimi bu sayı ile çarpabilir ve sonuçları toplayabilirsiniz).
(a-b) c=a c-b c(Çıkarmaya göre çarpmanın dağıtım yasası: iki sayının farkını üçüncü bir sayı ile çarpmak için, bu sayının indirgenmiş ve ayrı ayrı çarpılması ve ikincisini ilk sonuçtan çıkarabilirsiniz).
1) 10 (1.2x + 2.3y) \u003d 10 1.2x + 10 2.3y \u003d 12x + 23y.
2) 1.5 (a -2b + 4c) = 1.5a -3b + 6c.
3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.
b) değişmeli kullanarak ifadeyi aynı eşitliğe dönüştürün ve ilişkisel özellikler(yasaları) ekleme:
4) x + 4.5 + 2x + 6.5; 5) (3a + 2.1) + 7.8; 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s.
Çözüm. Ekleme yasalarını (özelliklerini) uygularız:
a+b=b+a(yer değiştirme: toplam, terimlerin yeniden düzenlenmesinden değişmez).
(a+b)+c=a+(b+c)(ilişkili: iki terimin toplamına üçüncü bir sayı eklemek için, ikinci ve üçüncünün toplamını birinci sayıya ekleyebilirsiniz).
4) x + 4.5 + 2x + 6.5 = (x + 2x) + (4.5 + 6.5) = 3x + 11.
5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9.
6) 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s = (5.4s -2.3s) + (-3 -2.5) = 3.1s -5.5.
içinde)çarpmanın değişmeli ve birleştirici özelliklerini (yasalarını) kullanarak ifadeyi özdeş olarak eşit hale getirin:
7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2 yıl · (-bir); 9) 3a · (-3) · 2s.
Çözüm.Çarpma yasalarını (özelliklerini) uygulayalım:
bir b=b bir(yer değiştirme: faktörlerin permütasyonu ürünü değiştirmez).
(a b) c=a (b c)(birleştirici: iki sayının çarpımını üçüncü bir sayı ile çarpmak için, birinci sayıyı ikinci ve üçüncünün çarpımı ile çarpabilirsiniz).
7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.
8) -3,5 · 2 yıl · (-1) = 7y.
9) 3a · (-3) · 2s = -18as.
Bir cebirsel ifade indirgenebilir bir kesir olarak verilirse, kesir indirgeme kuralı kullanılarak basitleştirilebilir, yani. ona eşit olarak daha basit bir ifadeyle değiştirin.
Örnekler. Kesir azaltma kullanarak basitleştirin.
Çözüm. Bir kesri azaltmak, payını ve paydasını sıfır dışında aynı sayıya (ifadeye) bölmektir. Kesir 10) azaltılacaktır 3b; kesir 11) azaltmak a ve kesir 12) azaltmak 7n. Alırız:
Cebirsel ifadeler formülleri formüle etmek için kullanılır.
Formül, iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi ifade eden bir eşitlik olarak yazılmış cebirsel bir ifadedir.Örnek: bildiğiniz yol formülü s=vt(s - kat edilen mesafe, v - hız, t - zaman). Bildiğiniz diğer formülleri hatırlayın.
www.mathematics-repetition.com
Cebirsel bir ifadenin kural değeri
Sayısal ve Cebirsel İfadeler
İlkokulda, hesaplama yapmayı öğrendiniz. tam ve kesirli sayılar denklemleri çöz, tanı geometrik şekiller, İle birlikte koordinat uçağı. Bütün bunlar birinin içeriğiydi okul konusu "Matematik". Aslında, matematik gibi önemli bir bilim alanı, çok sayıda bağımsız disipline bölünmüştür: cebir, geometri, olasılık teorisi, matematiksel analiz, matematiksel mantık, matematiksel istatistik, oyun teorisi vb. Her disiplinin kendi çalışma nesneleri, kendi gerçekliği bilme yöntemleri vardır.
Çalışmak üzere olduğumuz cebir, bir kişiye sadece çeşitli işlemleri gerçekleştirme fırsatı vermez. hesaplamalar ama aynı zamanda ona bunu mümkün olduğu kadar çabuk ve akılcı bir şekilde yapmayı öğretir. Sahibi olan kişi cebirsel yöntemler, bu yöntemlere sahip olmayanlara göre bir avantaja sahiptir: daha hızlı hesaplar, daha başarılı bir şekilde kendini yönlendirir. yaşam durumları daha net kararlar verir, daha iyi düşünür. Görevimiz cebirsel yöntemlerde ustalaşmanıza yardımcı olmaktır, göreviniz öğrenmeye direnmek, bizi takip etmeye hazır olmak, zorlukların üstesinden gelmek.
Aslında alt sınıflarda size bir pencere açılmış zaten. sihir dünyası cebir, çünkü cebir öncelikle sayısal ve cebirsel ifadeleri inceler.
Sayısal bir ifadenin, sayılardan ve aritmetik işlemlerin işaretlerinden oluşan herhangi bir kayıt olduğunu hatırlayın (elbette anlamlı bir şekilde oluşur: örneğin, 3 + 57 sayısal bir ifadedir, 3 + : ise sayısal bir ifade değil, anlamsız bir ifadedir. karakter kümesi). Bazı nedenlerden dolayı (bunlar hakkında daha sonra konuşacağız), belirli sayılar yerine genellikle harfler kullanılır (çoğunlukla Latin alfabesinden); sonra cebirsel bir ifade elde edilir. Bu ifadeler çok hantal olabilir. Cebir, bunları kullanarak basitleştirmeyi öğretir farklı kurallar, yasalar, özellikler, algoritmalar, formüller, teoremler.
örnek 1. Sayısal ifadeyi basitleştirin:
Çözüm. Şimdi sizinle birlikte bir şeyi hatırlayacağız ve zaten ne kadar cebirsel gerçek bildiğinizi göreceksiniz. Her şeyden önce, hesaplamaların uygulanması için bir plan geliştirmeniz gerekir. Bunu yapmak için, eylemlerin sırası hakkında matematikte kabul edilen kuralları kullanmanız gerekecektir. Prosedür bu örnekşöyle olacak:
1) İlk parantez içindeki ifadenin A değerini bulun:
A \u003d 2.73 + 4.81 + 3.27 - 2.81;
2) ikinci parantez içindeki ifadenin değerini bulun:
3) A'yı B'ye böleriz - o zaman payda hangi C sayısının bulunduğunu bileceğiz (yani yatay çizginin üstünde);
4) paydanın D değerini bulun (yani, yatay çubuğun altında yer alan ifade):
D \u003d 25 - 37-0.4;
5) C'yi D'ye böleriz - bu istenen sonuç olacaktır. Yani bir hesap planı var (ve bir planın varlığı yarı yarıya
başarı!), uygulamasına başlayalım.
1) A \u003d 2.73 + 4.81 + 3.27 - 2.81'i bulun. Tabii ki, arka arkaya veya “alnına” dedikleri gibi: 2.73 + 4.81, sonra bu sayıya ekleyebilirsiniz.
3.27, ardından 2.81'i çıkarın. Ama kültürlü bir insan böyle hesap yapmaz. Toplama işleminin değişmeli ve birleştirici yasalarını hatırlayacaktır (ancak bunları hatırlamasına gerek yoktur, bunlar her zaman kafasındadır) ve aşağıdaki gibi hesaplayacaktır:
(2,73 + 3,27) + 4,81 — 2,81) = 6 + 2 = 8.
Ve şimdi bir kez daha, örneği çözme sürecinde hangi matematiksel gerçekleri hatırlamamız gerektiğini birlikte analiz edeceğiz (ve sadece hatırlamakla kalmayıp, aynı zamanda kullanın).
1. Aritmetik işlemlerin sırası.
2. Değişmeli toplama yasası: a + b = b + a.
4. Eklemenin kombinasyon yasası:
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c).
5. Birleştirici çarpma yasası: abc = (ab)c = a(bc).
6. Kavramlar ortak kesir, ondalık kesir , negatif bir sayı.
7. Ondalık kesirlerle aritmetik işlemler.
8. Adi kesirlerle aritmetik işlemler.
10. Olumlu ve olumsuz eylem kuralları sayılar. Bütün bunları biliyorsun, ama bunların hepsi cebirsel gerçekler. Böylece, daha düşük sınıflarda cebir ile zaten biraz aşina oldunuz. Asıl zorluk, Örnek 1'de görülebileceği gibi, bu tür pek çok gerçek olması ve kişinin bunları yalnızca bilmekle kalmayıp, aynı zamanda dedikleri gibi, "doğru zamanda ve zamanda" kullanabilmesi gerektiğidir. doğru yerde." Öğreneceğimiz şey bu.
Cebirsel ifadeyi oluşturan harflere farklı sayısal değerler verilebildiğinden (yani harflerin değerlerini değiştirebilirsiniz) bu harflere değişken denir.
b) Benzer şekilde, işlem sırasını takip ederek sırasıyla şunları buluruz:
Sıfıra bölemezsiniz! Bu durumda (ve diğer benzer durumlarda) bu ne anlama geliyor? Bu, verilen cebirsel ifadenin ne zaman : anlam ifade etmediği anlamına gelir.
Aşağıdaki terminoloji kullanılır: harflerin (değişkenlerin) belirli değerleri için, cebirsel bir ifadenin sayısal bir değeri varsa, değişkenlerin belirtilen değerlerine kabul edilebilir denir; Harflerin (değişkenlerin) belirli değerleri için cebirsel ifade bir anlam ifade etmiyorsa, değişkenlerin belirtilen değerlerine geçersiz denir.
Yani örnek 2'de a = 1 ve b = 2, a = 3.7 ve b = -1.7 değerleri geçerli iken, değerler geçerlidir.
geçersiz (daha doğrusu: ilk iki değer çifti geçerlidir ve üçüncü değer çifti geçersizdir).
Genel olarak, örnek 2'de, a, b değişkenlerinin bu değerleri, a + b = 0 veya a - b = 0 olan geçersiz olacaktır. Örneğin, a = 7, b = - 7 veya a = 28.3, b = 28 ,3 - geçersiz değer çiftleri; ilk durumda, a + b = 0 ve ikinci durumda, a - b = 0. Her iki durumda da, bu örnekte verilen ifadenin paydası kaybolur ve tekrar ediyoruz, sıfıra bölmek imkansızdır. . Şimdi, muhtemelen, a, b değişkenleri için hem geçerli değer çiftlerini hem de bu değişkenler için geçersiz değer çiftlerini Örnek 2'de bulabileceksiniz. Deneyin!
Çevrimiçi matematik materyalleri, sınıfa göre görevler ve cevaplar, matematik ders planları indir
A. V. Pogorelov, 7-11. sınıflar için Geometri, Eğitim kurumları için ders kitabı
düzeltmeleriniz veya önerileriniz varsa bu ders bize yazın.
Dersler için diğer düzeltmeleri ve önerileri görmek istiyorsanız, buraya bakın - Eğitim Forumu.
Cebir dersleri bizi çeşitli tipler ifade. Yeni malzeme geldikçe, ifadeler daha karmaşık hale gelir. Güçlerle tanıştığınızda, yavaş yavaş ifadeye eklenerek karmaşık hale getirilir. Kesirler ve diğer ifadelerle de olur.
Malzemenin çalışmasını mümkün olduğunca uygun hale getirmek için, bu, onları vurgulayabilmek için belirli isimlerle yapılır. Bu makale, tüm temel okul cebirsel ifadelerine tam bir genel bakış sunacaktır.
Monomiyaller ve polinomlar
İfadeler tek terimli ve polinomlarda incelenir. Okul müfredatı 7. sınıftan itibaren. Ders kitaplarında bu tür tanımlar verilmiştir.
tanım 1
tek terimler sayılar, değişkenler, dereceleri doğal gösterge, onların yardımıyla yapılan herhangi bir iş.
tanım 2
polinomlar tek terimlilerin toplamı denir.
Örneğin, 5 sayısını, x değişkenini, z 7 derecesini, o zaman formun çarpımlarını alırsak 5x ve 7x2 7z7 tek üye olarak kabul edilir. Formun tek terimlilerinin toplamı alındığında 5+x veya z 7 + 7 + 7 x 2 7 z 7, sonra bir polinom elde ederiz.
Bir monomiali polinomdan ayırt etmek için derecelere ve tanımlarına dikkat edin. Katsayı kavramı önemlidir. Benzer terimleri azaltırken, polinomun serbest terimine veya önde gelen katsayıya bölünürler.
Çoğu zaman, monomialler ve polinomlar üzerinde bazı eylemler gerçekleştirilir, ardından ifade bir monomial görmek için indirgenir. Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri polinomlar üzerinde işlem yapmak için bir algoritmaya dayalı olarak gerçekleştirilir.
Bir değişken olduğunda, polinomu, ürün olarak gösterilen bir polinoma bölmek mümkündür. Bu eyleme polinomun çarpanlara ayrılması denir.
Rasyonel (cebirsel) kesirler
Rasyonel kesirler kavramı 8. sınıfta incelenir lise. Bazı yazarlar bunlara cebirsel kesirler diyor.
tanım 3
Rasyonel cebirsel kesir Polinomların veya tek terimlerin, sayıların, pay ve paydanın yerini aldığı bir kesre diyorlar.
Kayıt örneğini düşünün rasyonel kesirler 3 x + 2 , 2 a + 3 b 4 , x 2 + 1 x 2 - 2 ve 2 2 x + - 5 1 5 y 3 x x 2 + 4 türünden. Tanımdan yola çıkarak, her kesrin rasyonel bir kesir olarak kabul edildiğini söyleyebiliriz.
Cebirsel kesirler toplanabilir, çıkarılabilir, çarpılabilir, bölünebilir, bir kuvvete yükseltilebilir. Bu, cebirsel kesirlerle işlemler bölümünde daha ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Bir kesri dönüştürmek gerekirse, genellikle indirgeme ve indirgeme özelliğini kullanırlar. ortak payda.
Rasyonel İfadeler
AT okul kursu rasyonel ifadelerle çalışmak gerektiğinden, irrasyonel kesirler kavramı incelenmektedir.
Tanım 4
Rasyonel İfadeler sayısal ve alfabetik ifadeler olarak kabul edilir. rasyonel sayılar ve toplama, çıkarma, çarpma, bölme, tamsayı kuvvetine yükseltme ile harfler.
Rasyonel ifadeler, irrasyonelliğe yol açan fonksiyona ait işaretlere sahip olmayabilir. Rasyonel ifadeler kök içermez, kesirli irrasyonel üslü dereceler, üslü değişkenli dereceler, logaritmik ifadeler, trigonometrik fonksiyonlar ve benzeri.
Yukarıdaki kurala dayanarak rasyonel ifadelere örnekler vereceğiz. Yukarıdaki tanımdan, hem 1 2 + 3 4 hem de 5, 2 + (- 0, 1) 2 2 - 3 5 - 4 3 4 + 2: 12 7 - 1 + 7 formunun sayısal bir ifadesini elde ederiz. - 2 2 3 3 - 2 1 + 0 , 3 rasyonel kabul edilir. Harfleri içeren ifadeler, a x 2 + b x + c biçimindeki değişkenlerle rasyonel a 2 + b 2 3 a - 0, 5 b olarak da adlandırılır. ve x 2 + x y - y 2 1 2 x - 1 .
Tüm rasyonel ifadeler tamsayı ve kesirli olarak ayrılır.
Tamsayı rasyonel ifadeler
tanım 5Tamsayı rasyonel ifadeler negatif dereceli değişkenlere sahip ifadelere bölme içermeyen ifadelerdir.
Tanımdan, tam bir rasyonel ifadenin aynı zamanda harfler içeren bir ifade olduğunu görüyoruz, örneğin, a + 1 , birkaç değişken içeren bir ifade, örneğin, x 2 · y 3 − z + 3 2 ve a + b 3 .
gibi ifadeler x: (y − 1) ve 2 x + 1 x 2 - 2 x + 7 - 4 değişkenli bir ifadeyle bölme işlemine sahip oldukları için rasyonel tam sayılar olamaz.
kesirli rasyonel ifadeler
tanım 6kesirli rasyonel ifade negatif derece değişkenli bir ifadeyle bölmeyi içeren bir ifadedir.
Tanımdan, kesirli rasyonel ifadelerin 1: x, 5 x 3 - y 3 + x + x 2 ve 3 5 7 - a - 1 + a 2 - (a + 1) (a - 2) 2 olabileceği sonucu çıkar.
Bu tür ifadeleri (2 x - x 2) göz önüne alırsak: 4 ve a 2 2 - b 3 3 + c 4 + 1 4, 2, içinde değişkenli ifadeleri olmadığı için kesirli rasyonel olarak kabul edilmezler. payda.
güç ile ifadeler
Tanım 7Gösterimin herhangi bir bölümünde güçler içeren ifadelere denir. güç ifadeleri veya güç ifadeleri.
Kavram için böyle bir ifadeye bir örnek veriyoruz. Değişkenler içeremezler, örneğin 2 3 , 32 - 1 5 + 1 , 5 3 , 5 · 5 - 2 5 - 1 , 5 . Ayrıca karakteristik güç ifadeleri 3 x 3 x - 1 + 3 x , x y 2 1 3 şeklindedir . Bunları çözmek için bazı dönüşümler yapmak gerekir.
İrrasyonel ifadeler, köklü ifadeler
İfadede yer alan kök, ona farklı bir isim verir. Onlara mantıksız denir.
Tanım 8
irrasyonel ifadeler kayıtta kök işaretleri olan ad ifadeleri.
Tanımdan, bunların 64 , x - 1 4 3 + 3 3 , 2 + 1 2 - 1 - 2 + 3 2 , a + 1 a 1 2 + 2 , x y , 3 x biçimindeki ifadeler olduğu görülebilir. + 1 + 6 x 2 + 5 x ve x + 6 + x - 2 3 + 1 4 x 2 3 + 3 - 1 1 3 . Her birinin en az bir kök simgesi vardır. Kökler ve dereceler birbirine bağlıdır, böylece x 7 3 - 2 5, n 4 8 · m 3 5: 4 · m 2 n + 3 gibi ifadeleri görebilirsiniz.
trigonometrik ifadeler
Tanım 9trigonometrik ifade sin , cos , tg ve ctg ve bunların terslerini içeren ifadelerdir - arcsin , arccos , arctg ve arcctg .
Trigonometrik fonksiyonların örnekleri açıktır: sin π 4 cos π 6 cos 6 x - 1 ve 2 sin x t g 2 x + 3 , 4 3 tg π - arcsin - 3 5 .
Bu tür işlevlerle çalışmak için, çizgilerin özelliklerini, temel formüllerini ve ters fonksiyonlar. Trigonometrik fonksiyonların makale dönüşümü bu konuyu daha ayrıntılı olarak ortaya çıkaracaktır.
Logaritmik İfadeler
Logaritma ile tanıştıktan sonra karmaşık logaritmik ifadelerden bahsedebiliriz.
Tanım 10
Logaritması olan ifadelere denir. logaritmik.
Bu tür işlevlerin bir örneği, log 3 9 + ln e , log 2 (4 a b) , log 7 2 (x 7 3) log 3 2 x - 3 5 + log x 2 + 1 (x 4 + 2) olabilir.
Derecelerin ve logaritmaların olduğu yerlerde bu tür ifadeleri bulabilirsiniz. Bu anlaşılabilir bir durumdur, çünkü logaritmanın tanımından bunun bir üs olduğu çıkar. Sonra x l g x - 10 , log 3 3 x 2 + 2 x - 3 , log x + 1 (x 2 + 2 x + 1) 5 x - 2 gibi ifadeler elde ederiz.
Malzemenin çalışmasını derinleştirmek için, logaritmik ifadelerin dönüşümü ile ilgili malzemeye başvurmalısınız.
kesirler
Kesir adı verilen özel türden ifadeler vardır. Bir payları ve bir paydaları olduğundan, yalnızca sayısal değerleri değil, aynı zamanda herhangi bir türdeki ifadeleri de içerebilirler. Bir kesrin tanımını düşünün.
Tanım 11
Atış hem sayısal hem de alfabetik gösterimlerin veya ifadelerin bulunduğu bir pay ve paydaya sahip böyle bir ifadeyi çağırırlar.
Payında ve paydasında sayıları olan kesir örnekleri şöyle görünür: 1 4 , 2 , 2 - 6 2 7 , π 2 , - e π , (− 15) (− 2) . Pay ve payda (a + 1) 3 , (a + b + c) (a 2 + b 2) , 1 3 + 1 - 1 3 - 1 1 1 + 1 1 biçiminde hem sayısal hem de alfabetik ifadeler içerebilir. + 1 5 , cos 2 α - sin 2 α 1 + 3 t g α , 2 + ln 5 ln x .
2 5 − 3 7 , x x 2 + 1: 5 gibi ifadeler kesir olmasa da, gösterimlerinde bir kesir vardır.
Genel ifade
Kıdemli sınıflar, USE'deki C grubunun tüm birleşik görevlerini içeren artan zorluktaki görevleri dikkate alır. Bu ifadeler özellikle karmaşıktır ve çeşitli kök, logaritma, güç ve trigonometrik fonksiyon kombinasyonlarına sahiptir. Bunlar, x 2 - 1 sin x + π 3 veya sin a r c t g x - a x 1 + x 2 gibi işlerdir.
Görünümleri, yukarıdaki türlerden herhangi birine atfedilebileceğini gösterir. Belirli bir birleşik çözüme sahip oldukları için çoğu zaman herhangi biri olarak sınıflandırılmazlar. Genel bir formun ifadeleri olarak kabul edilirler ve açıklama için ek açıklamalar veya ifadeler kullanılmaz.
Böyle bir cebirsel ifadeyi çözerken, notasyonuna, kesirlerin, kuvvetlerin veya ek ifadelerin varlığına her zaman dikkat etmek gerekir. Bunu çözmenin yolunu doğru bir şekilde belirlemek için bu gereklidir. Adından emin değilseniz, onu bir ifade olarak adlandırmanız önerilir. genel tip ve yukarıdaki algoritmaya göre karar verin.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
İfadenin değeri hesaplanırken en son yapılan aritmetik işlem "ana"dır.
Yani, harfler yerine bazı (herhangi bir) sayı yerine koyarsanız ve ifadenin değerini hesaplamaya çalışırsanız, o zaman son eylem bir çarpma olacak - bu, bir ürünümüz olduğu anlamına gelir (ifade, çarpanlara ayrılır).
Son eylem toplama veya çıkarma ise, bu ifadenin çarpanlara ayrılmadığı (ve dolayısıyla indirgenemeyeceği) anlamına gelir.
Kendiniz düzeltmek için birkaç örnek:
Örnekler:
Çözümler:
1. Umarım hemen kesmek için acele etmediniz ve? Bunun gibi birimleri “azaltmak” hala yeterli değildi:
İlk adım, çarpanlara ayırmak olmalıdır:
4. Kesirlerde toplama ve çıkarma. Kesirleri ortak bir paydaya getirmek.
Sıradan kesirlerin toplanması ve çıkarılması iyi bilinen bir işlemdir: ortak bir payda ararız, her kesri eksik faktörle çarpar ve payları toplar / çıkarırız.
Hatırlayalım:
Yanıtlar:
1. Paydalar ve aralarında asaldır, yani ortak bölenleri yoktur. Bu nedenle, bu sayıların LCM'si çarpımlarına eşittir. Bu ortak payda olacaktır:
2. Burada ortak payda:
3. Burada ilk şey karışık kesirler onları yanlış olanlara çevirin ve sonra - olağan şemaya göre:
Kesirlerin harf içermesi tamamen başka bir konudur, örneğin:
Basitten başlayalım:
a) Paydalar harf içermez
Burada her şey sıradan sayısal kesirlerle aynıdır: ortak bir payda buluruz, her kesri eksik faktörle çarpar ve payları ekler / çıkarırız:
şimdi payda varsa benzerlerini getirebilir ve çarpanlara ayırabilirsiniz:
Kendin dene:
Yanıtlar:
b) Paydalar harf içerir
Harfsiz ortak payda bulma ilkesini hatırlayalım:
Öncelikle ortak çarpanları belirliyoruz;
Sonra tüm ortak çarpanları bir kez yazıyoruz;
ve bunları yaygın olanlarla değil, diğer tüm faktörlerle çarpın.
Paydaların ortak çarpanlarını belirlemek için önce bunları basit çarpanlara ayırırız:
Ortak faktörleri vurguluyoruz:
Şimdi ortak çarpanları bir kez yazıyoruz ve onlara ortak olmayan (altı çizili olmayan) tüm faktörleri ekliyoruz:
Bu ortak paydadır.
Mektuplara dönelim. Paydalar tam olarak aynı şekilde verilir:
Paydaları faktörlere ayırırız;
ortak (özdeş) çarpanları belirlemek;
tüm ortak faktörleri bir kez yazın;
Bunları ortak olanlarla değil, diğer tüm faktörlerle çarpıyoruz.
Yani, sırayla:
1) paydaları faktörlere ayırın:
2) ortak (özdeş) faktörleri belirleyin:
3) tüm ortak faktörleri bir kez yazın ve bunları diğer tüm (altı çizili olmayan) faktörlerle çarpın:
Yani ortak payda burada. İlk kesir, ikincisi - ile çarpılmalıdır:
Bu arada, bir numara var:
Örneğin: .
Paydalarda aynı faktörleri görüyoruz, sadece farklı göstergeler. Ortak payda şöyle olacaktır:
ölçüde
ölçüde
ölçüde
derece olarak.
Görevi karmaşıklaştıralım:
Kesirlerin paydaları aynı nasıl yapılır?
Bir kesrin temel özelliğini hatırlayalım:
Hiçbir yerde, bir kesrin pay ve paydasından aynı sayının çıkarılabileceği (veya eklenebileceği) söylenmez. Çünkü bu doğru değil!
Kendiniz görün: örneğin herhangi bir kesir alın ve pay ve paydaya bir sayı ekleyin, örneğin . Ne öğrenildi?
Yani, başka bir sarsılmaz kural:
Kesirleri ortak paydaya getirdiğinizde sadece çarpma işlemini kullanın!
Ama elde etmek için neyi çarpmanız gerekiyor?
İşte ve çoğaltın. Ve şununla çarpın:
Çarpanlara ayrılamayan ifadelere "temel çarpanlar" adı verilir.
Örneğin, temel bir faktördür. - fazla. Ama - hayır: faktörlere ayrıştırılır.
Peki ya ifade? İlköğretim mi?
Hayır, çünkü çarpanlara ayrılabilir:
("" konusundaki çarpanlara ayırma hakkında zaten okudunuz).
Bu nedenle, ifadeyi harflerle ayrıştırdığınız temel faktörler bir analogdur. asal faktörler hangi sayıları ayrıştırırsınız. Ve biz de onlarla aynı şeyi yapacağız.
Her iki paydanın da bir çarpanı olduğunu görüyoruz. Güçteki ortak paydaya gidecek (nedenini hatırlıyor musun?).
Çarpan temeldir ve ortak noktaları yoktur, bu da ilk kesrin basitçe onunla çarpılması gerektiği anlamına gelir:
Başka bir örnek:
Çözüm:
Bu paydaları panik içinde çarpmadan önce, onları nasıl çarpanlarına ayıracağınızı mı düşünmeniz gerekiyor? Her ikisi de şunları temsil eder:
Harika! O zamanlar:
Başka bir örnek:
Çözüm:
Her zamanki gibi, paydaları çarpanlarına ayırıyoruz. İlk paydada, onu basitçe parantezlerin dışına çıkardık; ikincisinde - karelerin farkı:
Görünüşe göre ortak faktörler yok. Ama yakından bakarsanız, zaten çok benzerler ... Ve gerçek şu ki:
Öyleyse yazalım:
Yani, şöyle çıktı: parantez içinde terimleri değiştirdik ve aynı zamanda kesrin önündeki işaret tam tersine değişti. Dikkat edin, bunu sık sık yapmanız gerekecek.
Şimdi ortak bir paydaya getiriyoruz:
Anladım? Şimdi kontrol edelim.
Bağımsız çözüm için görevler:
Yanıtlar:
Burada bir şeyi daha hatırlamalıyız - küplerin farkı:
Lütfen ikinci kesrin paydasının "toplamın karesi" formülünü içermediğini unutmayın! Toplamın karesi şöyle görünür:
A, toplamın tamamlanmamış karesi olarak adlandırılır: içindeki ikinci terim, birinci ve sonun çarpımıdır, iki katına çıkmış ürünü değildir. Toplamın eksik karesi, küp farkının genişlemesindeki faktörlerden biridir:
Ya zaten üç kesir varsa?
Evet aynısı! Öncelikle şöyle yapalım en yüksek miktar paydalardaki faktörler aynıydı:
Dikkat edin: Bir parantez içindeki işaretleri değiştirirseniz, kesrin önündeki işaret tam tersi olur. İkinci parantezdeki işaretleri değiştirdiğimizde kesrin önündeki işaret yine ters çevrilir. Sonuç olarak, o (kesirin önündeki işaret) değişmedi.
İlk paydayı ortak paydaya tam olarak yazarız ve sonra henüz yazılmamış olan tüm faktörleri ikinciden ve sonra üçüncüden (ve daha fazla kesir varsa) ekleriz. Yani, şöyle gider:
Hmm ... Kesirlerle ne yapılması gerektiği açık. Peki ya ikisi?
Çok basit: kesirleri nasıl ekleyeceğinizi biliyorsunuz, değil mi? Bu nedenle, ikilinin bir kesir haline geldiğinden emin olmalısınız! Unutmayın: kesir bir bölme işlemidir (aniden unuttuysanız, pay paydaya bölünür). Ve bir sayıyı bölmekten daha kolay bir şey yoktur. Bu durumda, sayının kendisi değişmeyecek, ancak bir kesire dönüşecektir:
Tam olarak ne gerekli!
5. Kesirlerde çarpma ve bölme.
Neyse, en zor kısım artık bitti. Ve önümüzde en basit, ama aynı zamanda en önemlisi:
prosedür
Sayısal bir ifadeyi hesaplama prosedürü nedir? Unutmayın, böyle bir ifadenin değerini göz önünde bulundurarak:
saydın mı?
İşe yaramalı.
O yüzden hatırlatırım.
İlk adım dereceyi hesaplamaktır.
İkincisi çarpma ve bölmedir. Aynı anda birkaç çarpma ve bölme varsa, bunları herhangi bir sırayla yapabilirsiniz.
Ve son olarak toplama ve çıkarma işlemi yapıyoruz. Yine, herhangi bir sırayla.
Ancak: parantez içindeki ifade düzensiz olarak değerlendirilir!
Birkaç parantez birbiriyle çarpılır veya bölünürse, önce parantez içindeki ifadeyi değerlendirir, sonra çarpar veya böleriz.
Parantez içinde başka parantezler varsa ne olur? Bir düşünelim: parantez içinde bir ifade yazıyor. Bir ifadeyi değerlendirirken yapılacak ilk şey nedir? Bu doğru, parantezleri hesaplayın. Pekala, anladık: önce iç parantezleri hesaplıyoruz, sonra diğer her şeyi.
Dolayısıyla, yukarıdaki ifade için eylem sırası aşağıdaki gibidir (geçerli eylem kırmızı ile vurgulanmıştır, yani şu anda gerçekleştirdiğim eylem):
Tamam, hepsi basit.
Ama bu harfli bir ifadeyle aynı şey değil, değil mi?
Hayır, aynı! Sadece aritmetik işlemler yerine cebirsel işlemleri, yani önceki bölümde açıklanan işlemleri yapmak gerekir: benzerini getirmek, kesirler ekleme, kesirleri azaltma vb. Tek fark, polinomları çarpanlara ayırma eylemi olacaktır (kesirlerle çalışırken sıklıkla kullanırız). Çoğu zaman, çarpanlara ayırma için i kullanmanız veya ortak faktörü parantezlerden çıkarmanız gerekir.
Genellikle amacımız, bir ifadeyi bir ürün veya bölüm olarak temsil etmektir.
Örneğin:
İfadeyi sadeleştirelim.
1) Önce parantez içindeki ifadeyi sadeleştirelim. Burada kesir farkımız var ve amacımız onu bir çarpım veya bölüm olarak göstermek. Bu yüzden kesirleri ortak bir paydaya getiriyoruz ve ekliyoruz:
Bu ifadeyi daha fazla basitleştirmek imkansızdır, buradaki tüm faktörler temeldir (bunun ne anlama geldiğini hala hatırlıyor musunuz?).
2) Şunları elde ederiz:
Kesirlerin çarpımı: daha kolay ne olabilir?
3) Şimdi kısaltabilirsiniz:
Tamam şimdi her şey bitti. Karmaşık bir şey yok, değil mi?
Başka bir örnek:
Ifadeyi basitleştir.
Önce kendiniz çözmeye çalışın ve ancak o zaman çözüme bakın.
Çözüm:
Her şeyden önce, prosedürü tanımlayalım.
Önce parantez içindeki kesirleri ekleyelim, iki kesir yerine bir tane çıkacak.
Daha sonra kesirlere bölme işlemi yapacağız. Son kesir ile sonucu ekliyoruz.
Adımları şematik olarak numaralandıracağım:
Şimdi mevcut eylemi kırmızı ile renklendirerek tüm süreci göstereceğim:
1. Benzerleri varsa derhal getirilmelidir. Benzerlerimiz ne zaman olursa olsun, hemen getirmeniz tavsiye edilir.
2. Aynı şey kesirleri azaltmak için de geçerlidir: Azaltma fırsatı doğar doğmaz kullanılmalıdır. İstisna, eklediğiniz veya çıkardığınız kesirlerdir: şimdi aynı paydalara sahiplerse, azaltma daha sonraya bırakılmalıdır.
İşte kendi başınıza çözmeniz için bazı görevler:
Ve en başında söz verdi:
Yanıtlar:
Çözümler (kısa):
En azından ilk üç örnekle başa çıktıysanız, konuya hakim olduğunuzu düşünün.
Şimdi öğrenmeye devam edin!
İFADE DÖNÜŞÜMÜ. ÖZET VE TEMEL FORMÜL
Temel sadeleştirme işlemleri:
- benzerlerini getirmek: eklemek (getirmek) benzer terimler, katsayılarını eklemek ve harf kısmını atamak gerekir.
- çarpanlara ayırma: ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak, uygulamak vb.
- kesir azaltma: bir kesrin payı ve paydası, kesrin değerinin değişmediği sıfır olmayan aynı sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir.
1) pay ve payda çarpanlara ayırmak
2) Pay ve paydada ortak çarpanlar varsa bunların üzeri çizilebilir.ÖNEMLİ: sadece çarpanlar azaltılabilir!
- Kesirlerde toplama ve çıkarma:
; - Kesirlerde çarpma ve bölme:
;