Hatta işlev görmek için. Çift ve tek fonksiyonlar nasıl belirlenir
Temmuz 2020'de NASA, Mars'a bir keşif seferi başlattı. uzay aracı Mars'a, keşif gezisinin tüm kayıtlı üyelerinin isimleriyle birlikte bir elektronik taşıyıcı teslim edecek.
Bu gönderi sorununuzu çözdüyse veya beğendiyseniz, bağlantıyı sosyal ağlarda arkadaşlarınızla paylaşın.
Bu kod seçeneklerinden birinin kopyalanıp web sayfanızın koduna, tercihen etiketler arasına yapıştırılması gerekir.
ve veya etiketten hemen sonra . İlk seçeneğe göre MathJax daha hızlı yüklenir ve sayfayı daha az yavaşlatır. Ancak ikinci seçenek, MathJax'in en son sürümlerini otomatik olarak izler ve yükler. İlk kodu eklerseniz, periyodik olarak güncellenmesi gerekecektir. İkinci kodu yapıştırırsanız, sayfalar daha yavaş yüklenir, ancak MathJax güncellemelerini sürekli olarak izlemeniz gerekmez.MathJax'ı bağlamanın en kolay yolu Blogger veya WordPress'te: site kontrol panelinde, üçüncü taraf JavaScript kodunu eklemek için tasarlanmış bir pencere öğesi ekleyin, yukarıdaki yükleme kodunun birinci veya ikinci sürümünü buna kopyalayın ve pencere öğesini yakına yerleştirin. şablonun başlangıcı (bu arada, MathJax betiği eşzamansız olarak yüklendiğinden bu hiç gerekli değildir). Bu kadar. Şimdi MathML, LaTeX ve ASCIIMathML biçimlendirme sözdizimini öğrenin ve matematik formüllerini web sayfalarınıza yerleştirmeye hazırsınız.
Başka bir Yeni Yıl Arifesi... soğuk hava ve pencere camındaki kar taneleri... Bütün bunlar beni tekrar fraktallar ve Wolfram Alpha'nın bildikleri hakkında yazmaya sevk etti. Bu vesileyle, iki boyutlu fraktal yapıların örneklerinin olduğu ilginç bir makale var. Burada daha fazla bakacağız karmaşık örneklerüç boyutlu fraktallar.
Bir fraktal, ayrıntıları orijinal şeklin kendisiyle aynı şekle sahip olan geometrik bir şekil veya gövde (her ikisinin de bir küme olduğu, bu durumda bir nokta kümesi olduğu anlamına gelir) olarak görsel olarak temsil edilebilir (tanımlanabilir). Yani, büyütüldüğünde, büyütme olmadan aynı şekli göreceğimiz ayrıntıları göz önüne alındığında, kendine benzer bir yapıdır. Olağan durumda ise geometrik şekil(fraktal değil), yakınlaştırdığımızda, orijinal şeklin kendisinden daha basit bir şekle sahip ayrıntıları göreceğiz. Örneğin, yeterince yüksek bir büyütmede, elipsin bir kısmı düz bir doğru parçası gibi görünür. Bu, fraktallarda olmaz: Onlarda herhangi bir artış olduğunda, her artışta tekrar tekrar tekrarlanacak olan aynı karmaşık şekli tekrar göreceğiz.
Fraktal biliminin kurucusu Benoit Mandelbrot, Fraktallar ve Bilim için Sanat adlı makalesinde şunları yazdı: "Fraktallar, genel formları kadar ayrıntılarında da karmaşık olan geometrik şekillerdir. bütünün boyutuna büyütülürse, bütün gibi ya da tam olarak ya da belki hafif bir deformasyonla görünecektir.
Bile, etki alanındaki tüm \(x\) için doğruysa: \(f(-x)=f(x)\) .
Bir çift fonksiyonun grafiği \(y\) eksenine göre simetriktir:
Örnek: \(f(x)=x^2+\cos x\) işlevi çifttir, çünkü \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).
\(\blacktriangleright\) \(f(x)\) işlevi çağrılır garip, etki alanındaki tüm \(x\) için doğruysa: \(f(-x)=-f(x)\) .
Tek bir fonksiyonun grafiği, orijine göre simetriktir:
Örnek: \(f(x)=x^3+x\) işlevi tektir çünkü \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Ne çift ne de tek olan fonksiyonlara fonksiyon denir Genel görünüm. Böyle bir fonksiyon her zaman bir çift ve bir tek fonksiyonun toplamı olarak benzersiz bir şekilde temsil edilebilir.
Örneğin, \(f(x)=x^2-x\) işlevi, bir çift \(f_1=x^2\) işlevinin ve bir tek \(f_2=-x\) işlevinin toplamıdır.
\(\siyahüçgensağ\) Bazı özellikler:
1) Aynı pariteye sahip iki fonksiyonun çarpımı ve bölümü çift fonksiyondur.
2) Farklı pariteye sahip iki fonksiyonun çarpımı ve bölümü - Tek işlev.
3) Çift fonksiyonların toplamı ve farkı çift fonksiyondur.
4) Tek fonksiyonların toplamı ve farkı tek fonksiyondur.
5) \(f(x)\) bir çift fonksiyon ise, o zaman \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) denkleminin benzersiz bir kökü vardır, ancak ve ancak, \(x =0\) .
6) \(f(x)\) bir çift veya tek fonksiyon ise ve \(f(x)=0\) denkleminin bir \(x=b\) kökü varsa, o zaman bu denklemin mutlaka bir saniyesi olacaktır. kök \(x =-b\) .
\(\blacktriangleright\) Bir \(f(x)\) fonksiyonu, eğer bir sayı için \(T\ne 0\) \(f(x)=f(x+) varsa, \(X\) üzerinde periyodik olarak adlandırılır. T) \) , burada \(x, x+T\in X\) . Bu eşitliğin tutulduğu en küçük \(T\) işlevin ana (temel) periyodu olarak adlandırılır.
saat periyodik fonksiyon\(nT\) biçimindeki herhangi bir sayı, burada \(n\in \mathbb(Z)\) da bir nokta olacaktır.
Örnek: herhangi trigonometrik fonksiyon periyodiktir;
\(f(x)=\sin x\) ve \(f(x)=\cos x\) fonksiyonları için asal nokta \(2\pi\) , \(f(x)= fonksiyonları için \mathrm( tg)\,x\) ve \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) ana nokta \(\pi\) şeklindedir.
Periyodik bir fonksiyonu çizmek için, grafiğini \(T\) (ana periyot) uzunluğundaki herhangi bir segment üzerinde çizebilirsiniz; daha sonra, oluşturulan kısmı tam sayıda periyotla sağa ve sola kaydırarak tüm fonksiyonun grafiği tamamlanır:
\(\blacktriangleright\) \(f(x)\) fonksiyonunun \(D(f)\) etki alanı, fonksiyonun kendisi için anlamlı olduğu \(x\) argümanının tüm değerlerinden oluşan kümedir. (tanımlanmış).
Örnek: \(f(x)=\sqrt x+1\) işlevinin bir tanım alanı vardır: \(x\in
Görev 1 #6364
Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavına Eşittir
\(a\) parametresinin hangi değerleri için denklem
benzersiz bir çözümü var mı?
\(x^2\) ve \(\cos x\)'den beri - eşit işlevler, o zaman denklemin bir kökü \(x_0\) varsa, aynı zamanda bir \(-x_0\) kökü olacaktır.
Gerçekten, \(x_0\) bir kök olsun, yani eşitlik \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) Sağ. yerine \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).
Böylece, \(x_0\ne 0\) ise, denklemin zaten en az iki kökü olacaktır. Bu nedenle, \(x_0=0\) . O zamanlar:
İki parametre değerimiz var \(a\) . \(x=0\)'ın tam olarak orijinal denklemin kökü olduğu gerçeğini kullandığımıza dikkat edin. Ama onun tek olduğu gerçeğini asla kullanmadık. Bu nedenle, \(a\) parametresinin sonuç değerlerini orijinal denklemde değiştirmek ve \(a\) kökünün \(x=0\) gerçekten benzersiz olacağını kontrol etmek gerekir.
1) \(a=0\) ise, denklem \(2x^2=0\) biçimini alacaktır. Açıkçası, bu denklemin yalnızca bir kökü \(x=0\) vardır. Bu nedenle \(a=0\) değeri bize uygundur.
2) \(a=-\mathrm(tg)\,1\) ise, denklem şu şekli alır: \ Denklemi formda yeniden yazıyoruz \ Çünkü \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), sonra \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Bu nedenle denklemin (*) sağ tarafındaki değerler segmente aittir. \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).
\(x^2\geqslant 0\) olduğundan, denklemin (*) sol tarafı \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) değerinden büyük veya eşittir.
Bu nedenle eşitlik (*) yalnızca denklemin her iki tarafı da \(\mathrm(tg)^2\,1\) değerine eşit olduğunda geçerli olabilir. Ve bu şu anlama geliyor \[\begin(durumlar) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(durumlar) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(durumlar) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(durumlar)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Bu nedenle \(a=-\mathrm(tg)\,1\) değeri bize uyar.
Cevap:
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
Görev 2 #3923
Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavına Eşittir
Her biri için fonksiyonun grafiği olan \(a\) parametresinin tüm değerlerini bulun \
orijine göre simetriktir.
Bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetrik ise, böyle bir fonksiyon tektir, yani, \(f(-x)=-f(x)\) herhangi bir \(x\) için sağlanır. işlevin etki alanı. Bu nedenle, \(f(-x)=-f(x).\) olan parametre değerlerini bulmak gerekir.
\[\begin(hizalanmış) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\sağ)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ matrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\sağ)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\sağ)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\sağ)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\sağ) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\sağ)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\sağ)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(hizalanmış)\]
Son denklem, \(f(x)\) alanındaki tüm \(x\) için geçerli olmalıdır, dolayısıyla \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).
Cevap:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
Görev 3 #3069
Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavına Eşittir
\(a\) parametresinin tüm değerlerini bulun, her biri için \ denkleminin 4 çözümü vardır; burada \(f\), \(T=\dfrac(16)3\) ile çift periyodik bir fonksiyondur. gerçek satırın tamamında tanımlı ve için \(f(x)=ax^2\) \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(Abonelerden gelen görev)
Görev 4 #3072
Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavına Eşittir
Her biri için denklemin olduğu tüm değerleri \(a\) bulun \
en az bir kökü vardır.
(Abonelerden gelen görev)
Denklemi formda yeniden yazıyoruz \
ve iki işlevi göz önünde bulundurun: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) ve \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
\(g(x)\) işlevi çifttir, bir minimum noktasına sahiptir \(x=0\) (ve \(g(0)=49\) ).
\(x>0\) için \(f(x)\) işlevi azalıyor ve \(x için)<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
Gerçekten de, \(x>0\) için ikinci modül pozitif olarak genişler (\(|x|=x\) ), bu nedenle, ilk modülün nasıl genişlediğine bakılmaksızın, \(f(x)\) \'ye eşit olacaktır. ( kx+A\) , burada \(A\) \(a\)'dan bir ifadedir ve \(k\) \(-9\) veya \(-3\)'e eşittir. \(x için<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
\(f\) değerini maksimum noktada bulun: \
Denklemin en az bir çözümü olması için, \(f\) ve \(g\) fonksiyonlarının grafiklerinin en az bir kesişme noktasına sahip olması gerekir. Bu nedenle, ihtiyacınız var: \ Bu sistem setini çözerek cevabı alıyoruz: \\]
Cevap:
\(bir\in \(-7\)\cup\)
Görev 5 #3912
Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavına Eşittir
Her biri için denklemin olduğu \(a\) parametresinin tüm değerlerini bulun \
altı farklı çözümü vardır.
\((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) ikamesini yapalım. O zaman denklem şeklini alacak \
Orijinal denklemin altı çözüme sahip olacağı koşulları yavaş yavaş yazacağız.
dikkat, ki ikinci dereceden denklem\((*)\) en fazla iki çözüme sahip olabilir. Herhangi bir kübik denklemin \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) üçten fazla çözümü olamaz. Bu nedenle, \((*)\) denkleminin iki farklı çözümü varsa (pozitif!, çünkü \(t\) sıfırdan büyük olmalıdır) \(t_1\) ve \(t_2\) , o zaman tersini yaptıktan sonra ikame, şunu elde ederiz: \[\left[\begin(toplanmış)\begin(hizalanmış) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(hizalanmış)\end(toplanmış)\sağ.\] herhangi bir yana pozitif sayı bir dereceye kadar \(\sqrt2\) olarak temsil edilebilir, örneğin, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), daha sonra kümenin ilk denklemi şeklinde yeniden yazılacaktır. \
Daha önce de söylediğimiz gibi, herhangi bir kübik denklemin üçten fazla çözümü yoktur, bu nedenle kümedeki her denklemin üçten fazla çözümü olmayacaktır. Bu, tüm setin altıdan fazla çözüme sahip olmayacağı anlamına gelir.
Bu, orijinal denklemin altı çözüme sahip olması için, ikinci dereceden denklemin \((*)\) iki farklı çözümü olması ve sonuçta ortaya çıkan her kübik denklemin (kümeden) üç farklı çözümü olması (tek bir çözüme sahip olmaması) gerektiği anlamına gelir. bir denklemin çözümü hangisiyle - veya ikincisinin kararıyla!)
Açıkçası, ikinci dereceden denklemin \((*)\) bir çözümü varsa, orijinal denklem için altı çözüm elde edemeyiz.
Böylece çözüm planı netleşir. Yerine getirilmesi gereken şartları madde madde yazalım.
1) \((*)\) denkleminin iki farklı çözümü olması için diskriminantının pozitif olması gerekir: \
2) Ayrıca her iki kökün de pozitif olmasına ihtiyacımız var (çünkü \(t>0\) ). İki kökün çarpımı pozitif ve toplamı pozitif ise, köklerin kendisi pozitif olacaktır. Bu nedenle, ihtiyacınız var: \[\begin(durumlar) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(durumlar)\dört\Leftrightarrow\dört a<10\]
Böylece, kendimize iki farklı pozitif kök \(t_1\) ve \(t_2\) sağladık.
3)
Bu denkleme bakalım \
Hangi \(t\) için üç farklı çözümü olacak? Böylece, \((*)\) denkleminin her iki kökü de \((1;4)\) aralığında olması gerektiğini belirledik. Bu koşul nasıl yazılır? Böylece 1., 2. ve 3. paragraflarda bulunan \(a\) parametre değerlerini kesiştirmemiz gerekiyor ve cevabı alacağız: \[\begin(durumlar) a\in (-\infty;8-2\sqrt3)\cup(8+2\sqrt3;+\infty)\\ a<10\\
4
Tanım 1. fonksiyon çağrılır Bile
(garip
) değişkenin her bir değeri ile birlikte ise Bu nedenle, bir fonksiyon yalnızca tanım alanı, gerçek çizgi üzerindeki koordinatların orijinine göre simetrik olduğunda çift veya tek olabilir (sayılar). X ve - X aynı anda ait olmak İşlev İşlev İşlev Bir çift fonksiyonun grafiği eksene göre simetriktir kuruluş birimi, çünkü eğer nokta Bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunu ispatlarken aşağıdaki ifadeler yararlıdır. teorem 1. a) İki çift (tek) fonksiyonun toplamı bir çift (tek) fonksiyondur. b) İki çift (tek) fonksiyonun çarpımı bir çift fonksiyondur. c) Bir çift ve bir tek fonksiyonun çarpımı bir tek fonksiyondur. d) Eğer f sette eşit bir fonksiyondur X, ve işlev g
sette tanımlanmış e) Eğer f sette tek bir fonksiyondur X, ve işlev g
sette tanımlanmış Kanıt. Örneğin b) ve d)'yi ispatlayalım. b) izin ver d) izin ver f
eşit bir fonksiyondur. O zamanlar. Teoremin diğer iddiaları da benzer şekilde ispatlanmıştır. Teorem kanıtlanmıştır. teorem 2. Herhangi bir işlev Kanıt. İşlev . İşlev Tanım 2. İşlev Böyle bir sayı T aranan dönem
fonksiyonlar Tanım 1, eğer T– fonksiyon periyodu Tanım 3. Bir fonksiyonun pozitif periyotlarının en küçüğüne fonksiyonu denir. ana
dönem. teorem 3. Eğer T fonksiyonun ana periyodudur f, o zaman kalan dönemler bunun katlarıdır. Kanıt. Bunun tersini, yani bir periyodun olduğunu varsayalım. fonksiyonlar f
(>0), çoklu değil T. Daha sonra bölme üzerinde T kalan ile elde ederiz yani – fonksiyon periyodu f, ve Trigonometrik fonksiyonların periyodik olduğu iyi bilinmektedir. Ana Dönem (çünkü ororor Anlam T, ilk eşitlikten belirlenen periyot olamaz, çünkü X, yani bir fonksiyonudur X, sabit bir sayı değil. Periyot ikinci eşitlikten belirlenir: Daha karmaşık bir periyodik fonksiyon örneği, Dirichlet fonksiyonudur. Dikkat edin, eğer T bir rasyonel sayıdır, o zaman herhangi bir rasyonel sayı için T. Bu nedenle, herhangi bir rasyonel sayı T Dirichlet fonksiyonunun periyodudur. Rastgele sıfıra yakın pozitif rasyonel sayılar olduğu için bu fonksiyonun ana periyodu olmadığı açıktır (örneğin, bir rasyonel sayı seçilerek yapılabilir). n keyfi olarak sıfıra yakın). teorem 4. Eğer işlev f
sette ayarla X ve bir dönemi var T, ve işlev g
sette ayarla Kanıt. biz bu nedenle yani, teoremin iddiası kanıtlanmıştır. Örneğin, o zamandan beri çünkü
x
bir dönemi var Tanım 4. Periyodik olmayan fonksiyonlara denir. düzenli olmayan
. Fonksiyon araştırması. 1) D(y) - Tanım alanı: x değişkeninin tüm bu değerlerinin kümesi. altında f(x) ve g(x) cebirsel ifadeleri anlamlıdır. İşlev bir formül tarafından verilirse, tanım alanı, formülün anlamlı olduğu bağımsız değişkenin tüm değerlerinden oluşur. 2) Fonksiyon özellikleri: çift/tek, periyodiklik: garip ve Bile argümanın işaretindeki değişime göre grafikleri simetrik olan fonksiyonlara denir. Tek işlev- bağımsız değişkenin işareti değiştiğinde değeri tersine değiştiren bir fonksiyon (koordinatların merkezine göre simetrik). Eşit işlev- bağımsız değişkenin işareti değiştiğinde değerini değiştirmeyen bir fonksiyon (y eksenine göre simetrik). Ne çift ne de tek işlev (genel işlev) simetrisi olmayan bir fonksiyondur. Bu kategori, önceki 2 kategoriye girmeyen işlevleri içerir. Yukarıdaki kategorilerden hiçbirine ait olmayan fonksiyonlara denir. ne çift ne tek(veya genel işlevler). Tek işlevler Keyfi bir tamsayı olan tek bir güç. Eşit işlevler Keyfi bir tamsayı olan çift bir güç. periyodik fonksiyon argümanın belirli bir düzenli aralığında değerlerini tekrarlayan bir fonksiyondur, yani argümana sıfırdan farklı bir sabit sayı eklendiğinde değerini değiştirmez ( dönem fonksiyonlar) tüm tanım alanı üzerinde. 3) Bir fonksiyonun sıfırları (kökleri), kaybolduğu noktalardır. Grafiğin eksenle kesiştiği noktayı bulma Oy. Bunu yapmak için değeri hesaplamanız gerekir. f(0). Ayrıca grafiğin eksenle kesişme noktalarını bulun Öküz, neden denklemin köklerini bulalım f(x) = 0 (veya kök olmadığından emin olun). Grafiğin ekseni kestiği noktalara denir fonksiyon sıfırları. Fonksiyonun sıfırlarını bulmak için denklemi çözmeniz, yani bu x değerleri, bunun için işlev kaybolur. 4) İşaretlerin sabitlik aralıkları, içlerindeki işaretler. f(x) fonksiyonunun işaretini koruduğu aralıklar. Sabitlik aralığı aralıktır olduğu her noktada fonksiyon pozitif veya negatiftir. x ekseninin ÜZERİNDE. AŞAĞI eksen. 5) Süreklilik (süreksizlik noktaları, süreksizliğin karakteri, asimptotlar). sürekli fonksiyon- "atlamalar" içermeyen bir işlev, yani argümandaki küçük değişikliklerin işlevin değerinde küçük değişikliklere yol açtığı bir işlev. fonksiyonun limiti ise var, ancak fonksiyon bu noktada tanımlı değil veya limit bu noktada fonksiyonun değeriyle eşleşmiyor: , sonra nokta denir kırılma noktası fonksiyonlar (karmaşık analizde, çıkarılabilir tekil bir nokta). Çıkarılabilir bir süreksizlik noktasında işlevi "düzeltirsek" ve , sonra bu noktada sürekli olan bir fonksiyon elde ederiz. Bir fonksiyon üzerinde böyle bir işleme denir. fonksiyonu sürekli olarak genişletmek veya fonksiyonun süreklilik ile genişletilmesi noktanın adını nokta olarak haklı çıkaran , tek kullanımlık açıklık. Birinci ve ikinci türden süreksizlik noktaları Fonksiyonun belirli bir noktada süreksizliği varsa (yani, belirli bir noktada fonksiyonun limiti yoksa veya belirli bir noktadaki fonksiyonun değeriyle örtüşmüyorsa), sayısal fonksiyonlar için iki olası seçenek vardır. sayısal fonksiyonların varlığı ile ilgili tek taraflı limitler: Her iki tek taraflı limit de mevcut ve sonlu ise, böyle bir noktaya denir. birinci türden kırılma noktası. Çıkarılabilir süreksizlik noktaları birinci türden süreksizlik noktalarıdır; Tek taraflı limitlerden en az biri yoksa veya sonlu bir değer değilse, böyle bir noktaya denir. ikinci türün kırılma noktası. asimptot
- dümdüz eğrinin bir noktasından bu noktaya olan uzaklık özelliğine sahip olan , dümdüz nokta dal boyunca sonsuza giderken sıfır olma eğilimindedir. dikey Dikey asimptot - sınır çizgisi . Kural olarak, dikey asimptotu belirlerken, bir sınır değil, iki tek taraflı olanı (sol ve sağ) ararlar. Bu, dikey asimptota farklı yönlerden yaklaşırken fonksiyonun nasıl davrandığını belirlemek için yapılır. Örneğin: Yatay asimptot - dümdüz varlığına bağlı olarak türler sınır . Eğik asimptot - dümdüz varlığına bağlı olarak türler sınırlar Not: Bir fonksiyon ikiden fazla eğik (yatay) asimptota sahip olamaz. Not: Yukarıda bahsedilen iki sınırdan en az biri mevcut değilse (veya 'ye eşitse), o zaman (veya ) noktasındaki eğik asimptot mevcut değildir. 2. maddede ise), o zaman ve limit yatay asimptot formülü ile bulunur, . 6)
Monotonluk aralıklarını bulma. Bir fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulun f(x) (yani, artış ve azalma aralıkları). Bu türevin işareti incelenerek yapılır. f(x). Bunu yapmak için türevi bulun f(x) ve eşitsizliği çöz f(x)0. Bu eşitsizliğin sağlandığı aralıklarda, fonksiyon f(x) artışlar. Ters eşitsizliğin geçerli olduğu yerde f(x)0, fonksiyon f(x) azalır. Yerel bir ekstremum bulma. Monotonluk aralıklarını bulduktan sonra, artışın bir azalma ile yer değiştirdiği, yerel maksimumların olduğu ve azalmanın bir artışla değiştirildiği yerel bir ekstremumun noktalarını hemen belirleyebiliriz, yerel minimumlar. Bu noktalarda fonksiyonun değerini hesaplayınız. Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları olmayan kritik noktaları varsa, fonksiyonun bu noktalarda da değerini hesaplamak yararlıdır. Bir doğru parçası üzerinde y = f(x) fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulma(devam) 1.
Bir fonksiyonun türevini bulun: f(x). 2.
Türevin sıfır olduğu noktaları bulun: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3.
Puanların sahipliğini belirleyin X 1 ,X 2 , …
segment [ a; b]: İzin Vermek x 1a;b, a x 2a;b . 4.
Seçilen noktalarda ve segmentin sonunda fonksiyon değerlerini bulun: f(x 1), f(x 2),..., f(x a),f(x b), 5.
Bulunanlardan fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerinin seçimi. Yorum.
Segmentte ise [ a; b] süreksizlik noktaları var, o zaman içlerinde tek taraflı limitleri hesaplamak ve daha sonra fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini seçerken değerlerini dikkate almak gerekiyor. 7)
Dışbükeylik ve içbükeylik aralıklarını bulma. Bu, ikinci türevin işareti incelenerek yapılır. f(x). Dışbükey ve içbükeylik aralıklarının birleşimlerindeki bükülme noktalarını bulun. Fonksiyonun bükülme noktalarındaki değerini hesaplayın. Fonksiyonun, ikinci türevinin 0'a eşit olduğu veya bulunmadığı başka süreklilik noktaları (bükülme noktaları dışında) varsa, bu noktalarda fonksiyonun değerini hesaplamak da yararlıdır. bulma f(x) eşitsizliği çözeriz f(x)0. Çözüm aralıklarının her birinde, fonksiyon aşağı doğru dışbükey olacaktır. Ters eşitsizliği çözme f(x)0, fonksiyonun yukarı doğru dışbükey (yani içbükey) olduğu aralıkları buluyoruz. Bükülme noktalarını, fonksiyonun dışbükeylik yönünü değiştirdiği (ve sürekli olduğu) noktalar olarak tanımlarız. Fonksiyon bükülme noktası- bu, fonksiyonun sürekli olduğu ve içinden geçerken fonksiyonun dışbükeylik yönünü değiştirdiği noktadır. Bir bükülme noktasının varlığı için gerekli koşul: fonksiyon noktanın delinmiş bir komşuluğunda iki kez türevlenebilirse, o zaman ya . Fonksiyonun grafiğinin y eksenine göre simetrik olup olmadığını kontrol edin. Simetri, grafiğin y ekseni etrafındaki ayna görüntüsünü ifade eder. Grafiğin y ekseninin sağındaki kısmı (bağımsız değişkenin pozitif değerleri) grafiğin y ekseninin solundaki kısmıyla (bağımsız değişkenin negatif değerleri) eşleşiyorsa, grafiği y eksenine göre simetriktir Fonksiyon y eksenine göre simetrik ise fonksiyon çifttir. Fonksiyonun grafiğinin orijine göre simetrik olup olmadığını kontrol edin. Orijin, koordinatları (0,0) olan noktadır. Kökenle ilgili simetri, pozitif bir değer olduğu anlamına gelir. y (\görüntüleme stili y)(pozitif bir değerle x (\görüntüleme stili x)) negatif bir değere karşılık gelir y (\görüntüleme stili y)(negatif bir değerle x (\görüntüleme stili x)) ve tersi. Tek fonksiyonların orijine göre simetrisi vardır. Fonksiyonun grafiğinde simetri olup olmadığını kontrol edin. Son işlev türü, grafiği simetriye sahip olmayan, yani hem y eksenine göre hem de orijine göre ayna görüntüsü olmayan bir işlevdir. Örneğin, verilen bir fonksiyon.
\(f(x)=x^3-3x^2+4\) işlevini düşünün.
çoğaltılabilir: \
Bu nedenle sıfırları: \(x=-1;2\) .
\(f"(x)=3x^2-6x\) türevini bulursak, o zaman iki uç nokta \(x_(max)=0, x_(min)=2\) elde ederiz.
Bu nedenle, grafik şöyle görünür:
Herhangi bir yatay çizginin \(y=k\) olduğunu görüyoruz, burada \(0
Böylece, ihtiyacınız var: \[\başlangıç(durumlar) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
Ayrıca hemen not edelim ki, \(t_1\) ve \(t_2\) sayıları farklıysa, o zaman \(\log_(\sqrt2)t_1\) ve \(\log_(\sqrt2)t_2\) sayıları farklı olacaktır. farklı olsun, bu yüzden denklemler \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) ve \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) farklı köklere sahip olacaktır.
\((**)\) sistemi şu şekilde yeniden yazılabilir: \[\başlangıç(durumlar) 1
Kökleri açıkça yazmayacağız.
\(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) işlevini düşünün. Grafiği, apsis ekseniyle iki kesişme noktası olan yukarı dalları olan bir paraboldür (bu koşulu paragraf 1'de yazdık). Apsis ekseni ile kesişme noktaları \((1;4)\) aralığında olacak şekilde grafiği nasıl görünmelidir? Yani:
İlk olarak, fonksiyonun \(1\) ve \(4\) noktalarındaki \(g(1)\) ve \(g(4)\) değerleri pozitif olmalı ve ikincisi, \(t_0\ ) parabolünün de \((1;4)\) aralığında olması gerekir. Bu nedenle, sistem yazılabilir: \[\begin(durumlar) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
anlam - X ayrıca ait
ve eşitlik
). Örneğin, işlev
tanım alanı olduğundan, ne çift ne de tektir.
orijine göre simetrik değildir.
hatta, çünkü
koordinatların kökenine göre simetrik ve.
garip çünkü
ve
.
ne çift ne de tuhaf, çünkü
ve orijine göre simetriktir, eşitlikler (11.1) sağlanmaz. Örneğin,.
grafiğe de aittir. Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir, çünkü eğer
grafiğe ait, ardından nokta
grafiğe de aittir.
, ardından işlev
- Bile.
ve hatta (tek), sonra işlev
- tek çift).
ve
bile fonksiyonlardır. Öyleyse, bu nedenle. Tek işlevler durumu benzer şekilde kabul edilir
ve
.
, sette tanımlanmış X orijine göre simetrik olan , bir çift ve bir tek fonksiyonun toplamı olarak gösterilebilir.
şeklinde yazılabilir
eşittir, çünkü
, ve işlev
garip çünkü. Böylece,
, nerede
- hatta ve
garip bir fonksiyondur. Teorem kanıtlanmıştır.
aranan periyodik
bir numara varsa
, öyle ki herhangi bir
sayılar
ve
ayrıca tanım alanına aittir
ve eşitlikler
.
, ardından sayı T fazla
fonksiyonun periyodudur
(çünkü değiştirirken Tüzerinde - T eşitlik korunur). Matematiksel tümevarım yöntemini kullanarak, şu şekilde gösterilebilir: T– fonksiyon periyodu f, sonra ve
, aynı zamanda bir dönemdir. Bir fonksiyonun periyodu varsa, sonsuz sayıda periyodu vardır.
, nerede
. Bu yüzden
olduğu gerçeğiyle çelişen T fonksiyonun ana periyodudur f. Teoremin iddiası, elde edilen çelişkiden kaynaklanmaktadır. Teorem kanıtlanmıştır.
ve
eşittir
,
ve
. Fonksiyonun periyodunu bulun
. İzin vermek
bu fonksiyonun periyodudur. O zamanlar
.
.
. Sonsuz sayıda dönem var
en küçük pozitif dönem elde edildiğinde
:
. Bu, işlevin ana dönemidir
.
ve
rasyonel sayılar rasyonel altında X ve irrasyonel olduğunda irrasyonel X. Bu yüzden
, sonra karmaşık fonksiyon
ayrıca bir dönemi var T.
, ardından fonksiyonlar
regl olmak
.Çıkarılabilir kesme noktaları
Yatay
eğik
varoluş koşulları