Bir fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini bulun. Fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri

Fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri

kavramlar matematiksel analiz. Bir fonksiyon tarafından bu fonksiyonun tanımlandığı kümenin bir noktasında aldığı değere, fonksiyon kümenin başka herhangi bir noktasında daha büyük (daha küçük) bir değere sahip değilse, bu kümedeki en büyük (en küçük) değer olarak adlandırılır. N. ve n. h. f. Yeterince yakın tüm noktalardaki değerleriyle karşılaştırıldığında, fonksiyonun ekstrema (sırasıyla, maksimum ve minimum) olarak adlandırılır. N. ve n. h. f., bir segment üzerinde verilen, türevin sıfıra eşit olduğu noktalarda veya olmadığı noktalarda veya segmentin uçlarında elde edilebilir. Bir segmentte verilen sürekli bir fonksiyon mutlaka maksimum ve minimum değerlerine ulaşır; bir aralıkta sürekli bir işlev düşünülürse (yani, uçları hariç tutulan bir segment), o zaman bu aralıktaki değerleri arasında maksimum veya minimum olmayabilir. Örneğin, işlev de = x aralığında verilen , sırasıyla en büyük ve en küçük değerlere ulaşır. x= 1 ve x= 0 (yani, segmentin sonunda); Bu işlevi (0; 1) aralığında düşünürsek, o zaman bu aralıktaki değerleri arasında ne en büyüğü ne de en küçüğü vardır, çünkü her biri için x0 bu aralığın her zaman sağda (solda) yatan bir noktası vardır x0, ve fonksiyonun bu noktadaki değeri, noktasından daha büyük (sırasıyla daha az) olacak şekilde x0. Benzer ifadeler birkaç değişkenli fonksiyonlar için geçerlidir. Ayrıca bkz. Extreme.

Büyük sovyet ansiklopedisi. - M.: Sovyet Ansiklopedisi. 1969-1978 .

Diğer sözlüklerde "Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerinin" neler olduğunu görün:

Büyük ansiklopedik sözlük

Matematiksel analiz kavramları. Bu fonksiyonun tanımlandığı kümenin bir noktasında fonksiyon tarafından alınan değere, bu kümedeki en büyük (en küçük) denir, eğer başka hiçbir noktada fonksiyonun daha büyük (daha az) değeri yoksa ... ... ansiklopedik sözlük

Matematik kavramları. analiz. Kümenin belirli bir noktasında fonksiyonun aldığı değere, bu fonksiyona verilen par rum denir. bu kümedeki en büyük (en küçük), başka hiçbir noktada fonksiyon daha büyük (daha küçük) bir değere sahip değilse ... Doğal bilim. ansiklopedik sözlük

MAKSİMUM VE MİNİMUM FONKSİYON- sırasıyla, yeterince yakın noktalarda değerlerine kıyasla fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri. Yüksek ve düşük noktalara uç noktalar denir... Büyük Politeknik Ansiklopedisi

Gerçek değerler alan bir fonksiyonun en büyük ve buna göre en küçük değerleri. Söz konusu fonksiyonun tanım alanının maksimum veya minimum aldığı noktaya denir. sırasıyla maksimum nokta veya minimum nokta ... ... Matematiksel Ansiklopedi

İşlevsel sistemler ve üçlü mantık teorisindeki üçlü bir işlev, üçlü bir küme olan ve işlevin aritesi veya yerelliği olarak adlandırılan negatif olmayan bir tam sayı olan bir tür işlevidir. Kümenin elemanları dijitaldir ... ... Wikipedia

Boole fonksiyonlarının normal formlarla temsili (bkz. Boole fonksiyonlarının Normal formları). bazı karmaşıklık ölçülerine göre en basiti. Genellikle, normal bir formun karmaşıklığı, içindeki harf sayısı olarak anlaşılır. Bu durumda, en basit forma denir ... ... Matematiksel Ansiklopedi

Argüman sonsuz küçük artışlarla arttıkça sonsuz küçük artışlar alan bir işlev. Tek değerli bir fonksiyon f (x), x0 argümanının değeri için sürekli olarak adlandırılır, eğer x argümanının x0'dan yeterince farklı olan tüm değerleri için ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

- (Latin maksimum ve minimum, kelimenin tam anlamıyla en büyük ve en küçük) (Matematik), bir fonksiyonun değerlerine göre en büyük ve en küçük değerleri, yeterince yakın noktalarda. Şekilde, y \u003d f (x) fonksiyonunun x1 ve x3 noktalarında ve x2 ... ... noktasında maksimum değeri vardır. ansiklopedik sözlük

- (Latince maksimum ve minimum, en büyük ve en küçük) (matematiksel), bir fonksiyonun yeterince yakın noktalarda değerlerine kıyasla en büyük ve en küçük değerleri. Yüksek ve düşük noktalara uç noktalar denir... Modern Ansiklopedi

$z=f(x,y)$ fonksiyonunun bazı sınırlı kapalı $D$ etki alanında tanımlı ve sürekli olmasına izin verin. Verilen fonksiyonun bu bölgede birinci mertebeden sonlu kısmi türevleri olsun (sonlu sayıda nokta hariç). Belirli bir kapalı bölgede iki değişkenli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için basit bir algoritmanın üç adımı gereklidir.

$D$ kapalı alanındaki $z=f(x,y)$ fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için algoritma.

1. $z=f(x,y)$ fonksiyonunun $D$ bölgesine ait kritik noktalarını bulun. Kritik noktalarda fonksiyon değerlerini hesaplayın.
2. Olası maksimum ve minimum değerlerin noktalarını bularak $D$ bölgesinin sınırındaki $z=f(x,y)$ fonksiyonunun davranışını araştırın. Elde edilen noktalarda fonksiyon değerlerini hesaplayın.
3. Önceki iki paragrafta elde edilen fonksiyon değerlerinden en büyüğünü ve en küçüğünü seçin.

Kritik noktalar nelerdir? göster/gizle

Altında kritik noktalar her iki birinci dereceden kısmi türevin de sıfıra eşit olduğu noktaları ifade eder (yani, $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ ve $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) veya en az bir kısmi türev mevcut değildir.

Genellikle birinci mertebeden kısmi türevlerin sıfıra eşit olduğu noktalara denir. sabit noktalar. Bu nedenle, durağan noktalar kritik noktaların bir alt kümesidir.

Örnek 1

$z=x^2+2xy-y^2-4x$ fonksiyonunun $x=3$, $y=0$ ve $y=x çizgileriyle sınırlanan kapalı bölgede maksimum ve minimum değerlerini bulun +1$.

Yukarıdakileri takip edeceğiz, ancak önce $D$ harfiyle göstereceğimiz belirli bir alanın çizimi ile ilgileneceğiz. Bize bu alanı sınırlayan üç düz çizginin denklemleri verildi. $x=3$ düz çizgisi, y eksenine (Oy eksenine) paralel $(3;0)$ noktasından geçer. Düz çizgi $y=0$, apsis ekseninin (Öküz ekseni) denklemidir. $y=x+1$ düz bir çizgi oluşturmak için, bu düz çizgiyi çizeceğimiz iki nokta bulalım. Elbette, $x$ yerine birkaç keyfi değeri değiştirebilirsiniz. Örneğin, $x=10$ yerine şunu elde ederiz: $y=x+1=10+1=11$. $(10;11)$ noktasını $y=x+1$ doğrusu üzerinde bulduk. Ancak, $y=x+1$ doğrusunun $x=3$ ve $y=0$ doğrularıyla kesiştiği noktaları bulmak daha iyidir. Neden daha iyi? Çünkü bir taşla birkaç kuş koyacağız: $y=x+1$ düz çizgisini oluşturmak için iki puan alacağız ve aynı zamanda bu düz çizginin verilenleri sınırlayan diğer çizgileri hangi noktalarda kestiğini öğreneceğiz. alan. $y=x+1$ doğrusu $x=3$ doğrusunu $(3;4)$ noktasında ve $y=0$ doğrusunu $(-1;0)$ noktasında kesiyor. Çözümün gidişatını yardımcı açıklamalarla karıştırmamak için bu iki noktanın elde edilmesi meselesini bir not olarak belirteceğim.

$(3;4)$ ve $(-1;0)$ puanları nasıl elde edildi? göster/gizle

$y=x+1$ ve $x=3$ doğrularının kesişme noktasından başlayalım. İstenen noktanın koordinatları hem birinci hem de ikinci satırlara aittir, bu nedenle bilinmeyen koordinatları bulmak için denklem sistemini çözmeniz gerekir:

$$ \left \( \begin(hizalı) & y=x+1;\\ & x=3. \end(hizalı) \sağ. $$

Böyle bir sistemin çözümü önemsizdir: elde edeceğimiz ilk denklemde $x=3$ yerine koyarsak: $y=3+1=4$. $(3;4)$ noktası, $y=x+1$ ve $x=3$ doğrularının istenen kesişme noktasıdır.

Şimdi $y=x+1$ ve $y=0$ doğrularının kesişme noktasını bulalım. Yine denklem sistemini oluşturup çözüyoruz:

$$ \left \( \begin(hizalı) & y=x+1;\\ & y=0. \end(hizalı) \sağ. $$

İlk denklemde $y=0$ yerine koyarsak, şunu elde ederiz: $0=x+1$, $x=-1$. $(-1;0)$ noktası, $y=x+1$ ve $y=0$ (apsis ekseni) doğrularının istenen kesişme noktasıdır.

Her şey şöyle görünecek bir çizim oluşturmaya hazır:

Notun sorusu bariz görünüyor, çünkü şekilden her şey görülebilir. Ancak, çizimin kanıt olarak hizmet edemeyeceğini hatırlamakta fayda var. Şekil, netlik için sadece bir örnektir.

Alanımız, onu sınırlayan doğruların denklemleri kullanılarak belirlendi. Bu çizgilerin bir üçgeni tanımladığı çok açık, değil mi? Yoksa çok açık değil mi? Ya da belki bize aynı çizgilerle sınırlanmış farklı bir alan verilmiştir:

Tabii ki, durum alanın kapalı olduğunu söylüyor, bu yüzden gösterilen resim yanlış. Ancak bu tür belirsizliklerden kaçınmak için bölgeleri eşitsizliklerle tanımlamak daha iyidir. Biz uçağın $y=x+1$ çizgisinin altındaki kısmıyla ilgileniyoruz? Tamam, yani $y ≤ x+1$. Alanımız $y=0$ çizgisinin üzerinde mi olmalı? Harika, yani $y ≥ 0$. Bu arada, son iki eşitsizlik kolayca tek bir eşitsizlikte birleştirilebilir: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(hizalı) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(hizalı) \sağ. $$

Bu eşitsizlikler $D$ alanını tanımlar ve herhangi bir belirsizlik olmaksızın benzersiz bir şekilde tanımlar. Ancak bu, dipnotun başındaki soruda bize nasıl yardımcı olur? Ayrıca yardımcı olacaktır :) $M_1(1;1)$ noktasının $D$ bölgesine ait olup olmadığını kontrol etmemiz gerekiyor. Bu bölgeyi tanımlayan eşitsizlikler sistemine $x=1$ ve $y=1$ yerine koyalım. Her iki eşitsizlik de sağlanırsa, nokta bölgenin içindedir. Eşitsizliklerden en az biri sağlanmazsa, nokta bölgeye ait değildir. Yani:

$$ \left \( \begin(hizalı) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(hizalı) \sağ. \;\; \left \( \begin(hizalı) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(hizalanmış) \sağ.$$

Her iki eşitsizlik de doğrudur. $M_1(1;1)$ noktası, $D$ bölgesine aittir.

Şimdi, etki alanının sınırındaki işlevin davranışını araştırma sırası, yani. git. $y=0$ düz çizgisiyle başlayalım.

Düz çizgi $y=0$ (apsis ekseni), $-1 ≤ x ≤ 3$ koşulu altında $D$ bölgesini sınırlar. Verilen $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$ işlevine $y=0$ yazın. Bir $x$ değişkeninin sonuçta ortaya çıkan ikame işlevi $f_1(x)$ olarak gösterilecektir:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Şimdi $f_1(x)$ fonksiyonu için $-1 ≤ x ≤ 3$ aralığındaki en büyük ve en küçük değerleri bulmamız gerekiyor. Bu fonksiyonun türevini bulun ve sıfıra eşitleyin:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

$x=2$ değeri, $-1 ≤ x ≤ 3$ segmentine aittir, dolayısıyla noktalar listesine $M_2(2;0)$ da ekleriz. Ek olarak, $-1 ≤ x ≤ 3$ segmentinin sonunda $z$ fonksiyonunun değerlerini hesaplıyoruz, yani. $M_3(-1;0)$ ve $M_4(3;0)$ noktalarında. Bu arada, $M_2$ noktası, incelenen segmente ait değilse, o zaman, elbette, içindeki $z$ fonksiyonunun değerini hesaplamaya gerek kalmayacaktı.

O halde $z$ fonksiyonunun $M_2$, $M_3$, $M_4$ noktalarındaki değerlerini hesaplayalım. Elbette, bu noktaların koordinatlarını orijinal $z=x^2+2xy-y^2-4x$ ifadesinde değiştirebilirsiniz. Örneğin, $M_2$ noktası için şunu elde ederiz:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Ancak, hesaplamalar biraz basitleştirilebilir. Bunu yapmak için, $M_3M_4$ segmentinde $z(x,y)=f_1(x)$ olduğunu hatırlamakta fayda var. Ayrıntılı olarak yazacağım:

\begin(hizalanmış) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(hizalanmış)

Tabii ki, genellikle böyle ayrıntılı girişlere gerek yoktur ve gelecekte tüm hesaplamaları daha kısa bir şekilde yazmaya başlayacağız:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Şimdi $x=3$ doğrusuna dönelim. Bu satır, $0 ≤ y ≤ 4$ koşulu altında $D$ alanını sınırlar. Verilen $z$ işlevine $x=3$ yazın. Böyle bir ikame sonucunda $f_2(y)$ fonksiyonunu elde ederiz:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

$f_2(y)$ fonksiyonu için $0 ≤ y ≤ 4$ aralığındaki en büyük ve en küçük değerleri bulmanız gerekir. Bu fonksiyonun türevini bulun ve sıfıra eşitleyin:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

$y=3$ değeri $0 ≤ y ≤ 4$ segmentine aittir, dolayısıyla daha önce bulunan noktalara $M_5(3;3)$ ekleriz. Ayrıca, $0 ≤ y ≤ 4$ segmentinin uç noktalarındaki $z$ fonksiyonunun değerini hesaplamak gerekir, yani. $M_4(3;0)$ ve $M_6(3;4)$ noktalarında. $M_4(3;0)$ noktasında, $z$ değerini zaten hesaplamıştık. $z$ fonksiyonunun değerini $M_5$ ve $M_6$ noktalarında hesaplayalım. $M_4M_6$ segmentinde $z(x,y)=f_2(y)$ olduğunu hatırlatmama izin verin, bu nedenle:

\begin(hizalanmış) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(hizalanmış)

Ve son olarak, $D$'ın son sınırını düşünün, yani. satır $y=x+1$. Bu çizgi $-1 ≤ x ≤ 3$ koşulu altında $D$ bölgesini sınırlar. $z$ işlevinde $y=x+1$ yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Bir kez daha bir değişken $x$ fonksiyonuna sahibiz. Ve yine, $-1 ≤ x ≤ 3$ segmentinde bu fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmanız gerekiyor. $f_(3)(x)$ fonksiyonunun türevini bulun ve sıfıra eşitleyin:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

$x=1$ değeri $-1 ≤ x ≤ 3$ aralığına aittir. $x=1$ ise, $y=x+1=2$ olur. Nokta listesine $M_7(1;2)$ ekleyelim ve bu noktada $z$ fonksiyonunun değerinin ne olduğunu bulalım. $-1 ≤ x ≤ 3$ segmentinin uçlarındaki noktalar, yani. $M_3(-1;0)$ ve $M_6(3;4)$ puanları daha önce düşünülmüştü, zaten onlarda fonksiyonun değerini bulduk.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Çözümün ikinci aşaması tamamlandı. Yedi değerimiz var:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

dönelim. Üçüncü paragrafta elde edilen sayılardan en büyük ve en küçük değerleri seçerek şunları elde edeceğiz:

$$z_(dk)=-4; \; z_(maks)=6.$$

Sorun çözüldü, sadece cevabı yazmak kalıyor.

Cevap: $z_(dk)=-4; \; z_(maks)=6$.

Örnek #2

$z=x^2+y^2-12x+16y$ fonksiyonunun $x^2+y^2 ≤ 25$ bölgesindeki en büyük ve en küçük değerlerini bulun.

Önce bir çizim yapalım. $x^2+y^2=25$ denklemi (bu, verilen alanın sınır çizgisidir), merkezi orijinde (yani $(0;0)$ noktasında) ve yarıçapı 5. $x^2 +y^2 ≤ 25$ eşitsizliği bahsedilen çemberin içindeki ve üzerindeki tüm noktaları karşılar.

üzerinde hareket edeceğiz. Kısmi türevleri bulalım ve kritik noktaları bulalım.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Bulunan kısmi türevlerin bulunmadığı hiçbir nokta yoktur. Her iki kısmi türevin hangi noktalarda aynı anda sıfıra eşit olduğunu bulalım, yani. sabit noktaları bulun.

$$ \left \( \begin(hizalı) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(hizalı) \sağ. \;\; \left \( \begin(hizalı) & x =6;\\ & y=-8.\end(hizalanmış) \sağ.$$

Durağan bir noktamız var $(6;-8)$. Ancak, bulunan nokta $D$ bölgesine ait değil. Bu, çizime bile başvurmadan gösterilmesi kolaydır. $D$ etki alanımızı tanımlayan $x^2+y^2 ≤ 25$ eşitsizliğinin geçerli olup olmadığını kontrol edelim. $x=6$, $y=-8$ ise, o zaman $x^2+y^2=36+64=100$, yani. $x^2+y^2 ≤ 25$ eşitsizliği tatmin edici değil. Sonuç: $(6;-8)$ noktası $D$ bölgesine ait değil.

Böylece $D$ içinde kritik nokta yoktur. Konusuna geçelim. Verilen alanın sınırındaki fonksiyonun davranışını araştırmamız gerekiyor, yani. $x^2+y^2=25$ çemberinde. Elbette $y$'ı $x$ cinsinden ifade edebilir ve ardından ortaya çıkan ifadeyi $z$ fonksiyonumuzun yerine koyabilirsiniz. Daire denkleminden şunu elde ederiz: $y=\sqrt(25-x^2)$ veya $y=-\sqrt(25-x^2)$. Örneğin, verilen işlevde $y=\sqrt(25-x^2)$ yerine şunu elde ederiz:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x) ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Diğer çözüm, önceki 1 No'lu örnekte bölgenin sınırındaki fonksiyonun davranışının incelenmesiyle tamamen aynı olacaktır. Ancak bu durumda Lagrange yöntemini uygulamak bana daha mantıklı geliyor. Biz sadece bu yöntemin ilk kısmıyla ilgileniyoruz. Lagrange yönteminin ilk bölümünü uyguladıktan sonra, hangi noktalara ulaşacağız ve minimum ve maksimum değerler için $z$ fonksiyonunu inceleyeceğiz.

Lagrange fonksiyonunu oluşturuyoruz:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Lagrange fonksiyonunun kısmi türevlerini buluyoruz ve karşılık gelen denklem sistemini oluşturuyoruz:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (hizalanmış) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(hizalanmış) \ \;\; \left \( \begin(hizalanmış) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( hizalanmış)\sağ.$$

Bu sistemi çözmek için hemen $\lambda\neq -1$ olduğunu belirtelim. Neden $\lambda\neq -1$? İlk denklemde $\lambda=-1$ yerine koymayı deneyelim:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Ortaya çıkan $0=6$ çelişkisi, $\lambda=-1$ değerinin geçersiz olduğunu söylüyor. Çıktı: $\lambda\neq -1$. $x$ ve $y$'ı $\lambda$ cinsinden ifade edelim:

\begin(hizalanmış) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(hizalanmış)

$\lambda\neq -1$ koşulunu neden özellikle şart koştuğumuzun burada açıkça ortaya çıktığına inanıyorum. Bu, $1+\lambda$ ifadesini paydalara müdahale olmadan sığdırmak için yapıldı. Yani paydanın $1+\lambda\neq 0$ olduğundan emin olmak için.

$x$ ve $y$ için elde edilen ifadeleri sistemin üçüncü denkleminde yerine koyalım, yani. $x^2+y^2=25$ içinde:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \sağ)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \sağ)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Ortaya çıkan eşitlikten, $1+\lambda=2$ veya $1+\lambda=-2$ çıkar. Dolayısıyla, $\lambda$ parametresinin iki değerine sahibiz, yani: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Buna göre, iki çift $x$ ve $y$ değeri elde ederiz:

\begin(hizalanmış) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(hizalanmış)

Böylece, olası bir koşullu ekstremumun iki noktasını elde ettik, yani. $M_1(3;-4)$ ve $M_2(-3;4)$. $M_1$ ve $M_2$ noktalarında $z$ fonksiyonunun değerlerini bulun:

\begin(hizalanmış) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(hizalanmış)

Birinci ve ikinci adımlarda elde ettiklerimizden en büyük ve en küçük değerleri seçmeliyiz. Ama bu durumda, seçim küçük :)

$$z_(dk)=-75; \; z_(maks)=125. $$

Cevap: $z_(dk)=-75; \; z_(maks)=125$.

Bu yazıda bahsedeceğim en büyük ve en küçük değeri bulmak için algoritma fonksiyon, minimum ve maksimum noktalar.

Teoriden, kesinlikle ihtiyacımız olacak türev tablosu ve farklılaşma kuralları. Hepsi bu panoda:

En büyük ve en küçük değerleri bulmak için algoritma.

açıklamayı daha kolay buluyorum özel örnek. Düşünmek:

Örnek: Bulmak en yüksek değer[–4;0] segmentinde y=x^5+20x^3–65x fonksiyonları.

Aşama 1. türevini alıyoruz.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Adım 2 Ekstremum noktaları bulma.

uç nokta fonksiyonun maksimum veya minimum değerine ulaştığı noktaları adlandırıyoruz.

Uç noktaları bulmak için fonksiyonun türevini sıfıra eşitlemek gerekir (y "= 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Şimdi bu ikili denklemi çözüyoruz ve bulunan kökler bizim ekstremum noktalarımız oluyor.

Bu tür denklemleri t = x^2, ardından 5t^2 + 60t - 65 = 0 yerine koyarak çözüyorum.

Denklemi 5 ile azaltın, şunu elde ederiz: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Ters ikameyi x^2 = t yaparız:

X_(1 ve 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 ve 4) = ±sqrt(-13) (hariç tutuyoruz, kökün altında olamaz negatif sayılar(tabii ki karmaşık sayılardan bahsetmiyorsak)

Toplam: x_(1) = 1 ve x_(2) = -1 - bunlar bizim uç noktalarımızdır.

Aşama 3 En büyüğünü belirliyoruz ve en küçük değer.

İkame yöntemi.

Bu durumda bize [b][–4;0] segmenti verildi. x=1 noktası bu parçaya dahil değildir. O yüzden dikkate almıyoruz. Ancak x=-1 noktasına ek olarak, segmentimizin sol ve sağ sınırlarını, yani -4 ve 0 noktalarını da dikkate almamız gerekiyor. Bunu yapmak için, tüm bu üç noktayı orijinal fonksiyona yerleştiriyoruz. Orijinalin (y=x^5+20x^3–65x) koşulunda verilen olduğuna dikkat edin, bazıları türevde yer değiştirmeye başlar...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Bu, fonksiyonun maksimum değerinin [b]44 olduğu ve fonksiyonun [-4; 0].

Karar verdik ve bir cevap aldık, harikayız, rahatlayabilirsiniz. Ama dur! y(-4) saymanın bir şekilde çok karmaşık olduğunu düşünmüyor musun? Kısıtlı zaman koşullarında başka bir yöntem kullanmak daha iyidir, ben buna şöyle derim:

Sabitlik aralıkları boyunca.

Bu boşluklar, fonksiyonun türevi için, yani bizim biquadratik denklemimiz için bulunur.

Aşağıdaki şekilde yapıyorum. Bir yön çizgisi çiziyorum. Noktaları belirledim: -4, -1, 0, 1. Verilen segmente 1 dahil edilmemesine rağmen, sabitlik aralıklarını doğru bir şekilde belirlemek için yine de not edilmelidir. 1'den birçok kez daha büyük bir sayı alalım, diyelim ki 100, bunu 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65 ikili denklemimizin yerine zihinsel olarak koyalım. Hiçbir şey saymadan bile, 100 noktasında açıkça ortaya çıkıyor. fonksiyon artı işaretine sahiptir. Bu, 1'den 100'e kadar olan aralıklar için artı işaretine sahip olduğu anlamına gelir. 1'den geçerken (sağdan sola gidiyoruz) fonksiyon işareti eksi olarak değiştirecektir. 0 noktasından geçerken, fonksiyon işaretini koruyacaktır, çünkü bu, denklemin kökü değil, yalnızca segmentin sınırıdır. -1'den geçerken, fonksiyon işareti tekrar artı olarak değiştirecektir.

Teoriden, fonksiyonun türevinin nerede olduğunu biliyoruz (ve bunun için bunu çizdik) işareti artıdan eksiye değiştirir (bizim durumumuzda -1 noktası) fonksiyon ulaşır yerel maksimum (y(-1)=44 daha önce hesaplandığı gibi) bu segmentte (bu mantıksal olarak çok açık, fonksiyon maksimuma ulaştığı ve azalmaya başladığı için artmayı bıraktı).

Buna göre, fonksiyonun türevi nerede işareti eksiden artıya değiştirir, ulaşıldı bir fonksiyonun yerel minimumu. Evet, evet, 1 olan yerel minimum noktayı da bulduk ve y(1), fonksiyonun aralıktaki minimum değeridir, diyelim ki -1'den +∞'ye. Lütfen bunun yalnızca YEREL MİNİMUM, yani belirli bir segmentte minimum olduğunu unutmayın. Gerçek (küresel) minimum işlev orada bir yere ulaşacağından, -∞ içinde.

Bence birinci yöntem teorik olarak daha kolay, ikincisi ise teknik açıdan daha kolay. Aritmetik işlemler, ancak teori açısından çok daha zor. Gerçekten de, bazen denklemin kökünden geçerken fonksiyonun işaretini değiştirmediği durumlar vardır ve gerçekten de bu yerel, küresel maksimum ve minimumlarla kafanız karışabilir, ancak bunu planlıyorsanız yine de bu konuda ustalaşmanız gerekecek. girmek teknik Üniversite(ve neden başka türlü teslim profil sınavı ve bu sorunu çözün). Ancak pratik yapın ve yalnızca pratik yapın, size bu tür sorunları bir kez ve herkes için nasıl çözeceğinizi öğretecektir. Ve sitemizde eğitim alabilirsiniz. Burada .

Herhangi bir sorunuz varsa veya net olmayan bir şey varsa, sorduğunuzdan emin olun. Size cevap vermekten ve makaleye değişiklikler, eklemeler yapmaktan mutluluk duyacağım. Bu siteyi birlikte yaptığımızı unutmayın!

Aşağıdaki şekiller, fonksiyonun en küçük ve en büyük değerine nereden ulaşabileceğini göstermektedir. Soldaki şekilde, en küçük ve en büyük değerler, fonksiyonun yerel minimum ve maksimum noktalarında sabitlenmiştir. Sağdaki şekilde - segmentin sonunda.

eğer fonksiyon y = f(x) segmentte sürekli [ a, b], sonra bu segmente ulaşır en az ve en yüksek değerler . Bu, daha önce de belirtildiği gibi, her iki durumda da olabilir. uç noktalar veya segmentin sonunda. Bu nedenle, bulmak en az ve fonksiyonun en büyük değerleri , segmentte sürekli [ a, b], tüm değerlerini hesaplamanız gerekir. kritik noktalar ve segmentin uçlarında ve ardından en küçüğünü ve en büyüğünü seçin.

Örneğin, fonksiyonun maksimum değerini belirlemek için gerekli olsun. f(x) segmentinde [ a, b] . Bunu yapmak için, üzerinde yatan tüm kritik noktalarını bulun [ a, b] .

kritik nokta olduğu nokta denir fonksiyon tanımlı, ve onun türev ya sıfırdır ya da yoktur. Daha sonra kritik noktalarda fonksiyonun değerlerini hesaplamanız gerekir. Ve son olarak, fonksiyonun değerleri kritik noktalarda ve segmentin sonunda karşılaştırılmalıdır ( f(a) ve f(b) ). Bu sayıların en büyüğü aralıktaki fonksiyonun en büyük değeri [a, b] .

bulma sorunu fonksiyonun en küçük değerleri .

Fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini birlikte arıyoruz

Örnek 1. Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulun segmentte [-1, 2] .

Çözüm. Bu fonksiyonun türevini buluyoruz. Türevi sıfıra () eşitleyin ve iki kritik nokta elde edin: ve . Belirli bir segment üzerinde bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulmak için, segmentin uçlarında ve noktasındaki değerlerini hesaplamak yeterlidir, çünkü nokta segmente ait değildir [-1, 2]. Bu fonksiyon değerleri şunlardır: , , . Bunu takip ediyor en küçük fonksiyon değeri(aşağıdaki grafikte kırmızı ile işaretlenmiştir), -7'ye eşit, segmentin sağ ucunda - noktasında ulaşılır ve En büyük(grafikte de kırmızı), kritik noktada 9'a eşittir.

Eğer fonksiyon belirli bir aralıkta sürekli ise ve bu aralık bir parça değilse (ancak örneğin bir aralık ise; bir aralık ile bir parça arasındaki fark: aralığın sınır noktaları aralığa dahil edilmez, ancak segmentin sınır noktaları segmente dahil edilir), daha sonra fonksiyonun değerleri arasında en küçük ve en büyük olmayabilir. Dolayısıyla, örneğin aşağıdaki şekilde gösterilen fonksiyon ]-∞, +∞[ üzerinde süreklidir ve en büyük değere sahip değildir.

Ancak, herhangi bir aralık için (kapalı, açık veya sonsuz), sürekli fonksiyonların aşağıdaki özelliği geçerlidir.

Hesaplamalar sırasında kendi kendine kontrol için şunları kullanabilirsiniz: çevrimiçi türev hesaplayıcı .

Örnek 4. Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulun segmentte [-1, 3] .

Çözüm. Bu fonksiyonun türevini bölümün türevi olarak buluruz:

.

Türevi sıfıra eşitleriz, bu bize bir verir. kritik nokta: . [-1, 3] aralığına aittir. Belirli bir segmentteki bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulmak için, değerlerini segmentin uçlarında ve bulunan kritik noktada buluruz:

Bu değerleri karşılaştıralım. Sonuç: noktada -5/13'e eşit ve en büyük değer noktada 1'e eşittir.

Fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini birlikte aramaya devam ediyoruz.

Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulma konusunda, öğrencilere az önce düşünülenlerden daha karmaşık örnekler vermeyen, yani fonksiyonun polinom veya kesir olduğu, payın olduğu öğretmenler var. ve paydası polinom olan. Ancak kendimizi bu tür örneklerle sınırlamayacağız, çünkü öğretmenler arasında öğrencileri tam olarak düşündürmeyi sevenler var (türevler tablosu). Bu nedenle logaritma ve trigonometrik fonksiyon kullanılacaktır.

Örnek 8. Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulun segmentte .

Çözüm. Bu fonksiyonun türevini şu şekilde buluruz: ürünün türevi :

Türevi sıfıra eşitleriz, bu da bir kritik nokta verir: . Segmentine aittir. Belirli bir segmentteki bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulmak için, değerlerini segmentin uçlarında ve bulunan kritik noktada buluruz:

Tüm eylemlerin sonucu: fonksiyon minimum değerine ulaşır, 0'a eşit, bir noktada ve bir noktada ve en büyük değer eşittir e² , noktada .

Hesaplamalar sırasında kendi kendine kontrol için şunları kullanabilirsiniz: çevrimiçi türev hesaplayıcı .

Örnek 9. Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulun segmentte .

Çözüm. Bu fonksiyonun türevini buluruz:

Türevi sıfıra eşitleyin:

Tek kritik nokta segmente aittir. Belirli bir segmentteki bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulmak için, değerlerini segmentin uçlarında ve bulunan kritik noktada buluruz:

Çözüm: fonksiyon minimum değerine ulaşır, eşit , noktasında ve en büyük değer, eşit , noktasında .

Uygulamalı ekstrem problemlerde en küçük (en büyük) fonksiyon değerlerini bulmak kural olarak minimumu (maksimumu) bulmaya indirgenir. Ancak, pratik açıdan daha fazla ilgi çeken minimumlar veya maksimumlar değil, elde edildikleri argümanın değerleridir. Uygulanan problemleri çözerken, ek bir zorluk ortaya çıkar - söz konusu fenomeni veya süreci tanımlayan fonksiyonların derlenmesi.

Örnek 10 Kare tabanlı ve üstü açık paralel boru şeklinde 4 kapasiteli bir tank kalaylanmalıdır. Tankı en az malzeme ile kaplamak için boyutları ne olmalıdır?

Çözüm. İzin vermek x- taban tarafı h- tank yüksekliği, S- örtüsüz yüzey alanı, V- hacmi. Tankın yüzey alanı formülle ifade edilir, yani. iki değişkenli bir fonksiyondur. İfade etmek S bir değişkenin fonksiyonu olarak, , nereden olduğu gerçeğini kullanırız. Bulunan ifadeyi yerine koymak h formülün içine S:

Bu fonksiyonu bir ekstremum için inceleyelim. ]0, +∞[ , ve her yerde tanımlanır ve türevlenebilir.

.

Türevi sıfıra () eşitliyoruz ve kritik noktayı buluyoruz. Ek olarak, 'de türev yoktur, ancak bu değer tanım alanına dahil değildir ve bu nedenle bir uç nokta olamaz. Yani, - tek kritik nokta. İkinciyi kullanarak bir ekstremumun varlığını kontrol edelim. yeterli işaret. İkinci türevi bulalım. İkinci türev sıfırdan büyük olduğunda (). Bunun anlamı, fonksiyon minimuma ulaştığında . Çünkü bu minimum - bu fonksiyonun tek ekstremumu, en küçük değeridir. Bu nedenle, tankın tabanının kenarı 2 m'ye ve yüksekliğine eşit olmalıdır.

Hesaplamalar sırasında kendi kendine kontrol için şunları kullanabilirsiniz:

Belirli bir aralıkta tanımlı ve sürekli bir fonksiyon verildi. Bu aralıkta fonksiyonun en büyük (en küçük) değerinin bulunması gerekir.

Teorik temel.
Teorem (İkinci Weierstrass Teoremi):

Bir fonksiyon kapalı bir aralıkta tanımlı ve sürekli ise maksimum ve minimum değerlerine bu aralıkta ulaşır.

Fonksiyon, maksimum ve minimum değerlerine aralığın iç noktalarında veya sınırlarında ulaşabilir. Tüm olası seçenekleri açıklayalım.

Açıklama:
1) Fonksiyon, noktasındaki aralığın sol sınırında maksimum değerine, noktasında ise aralığın sağ sınırında minimum değerine ulaşır.
2) Fonksiyon, noktada maksimum değerine (bu maksimum noktadır) ve minimum değerine noktadaki aralığın sağ sınırında ulaşır.
3) Fonksiyon, noktasındaki aralığın sol sınırında maksimum değerine ve noktasında minimum değerine ulaşır (bu minimum noktadır).
4) Fonksiyon aralıkta sabittir, yani. aralıktaki herhangi bir noktada minimum ve maksimum değerlerine ulaşır ve minimum ve maksimum değerler birbirine eşittir.
5) Fonksiyon, noktasında maksimum değerine ve noktasında minimum değerine ulaşır (fonksiyonun bu aralıkta hem maksimum hem de minimum olmasına rağmen).
6) Fonksiyon maksimum değerine bir noktada (bu maksimum noktadır) ve minimum değerine bir noktada (bu minimum noktadır) ulaşır.
Yorum:

"Maksimum" ve "maksimum değer" farklı şeylerdir. Bu, maksimumun tanımından ve "maksimum değer" ifadesinin sezgisel olarak anlaşılmasından kaynaklanmaktadır.

Problemi çözmek için algoritma 2.



4) Elde edilen değerlerden en büyüğünü (en küçüğünü) seçin ve cevabı yazın.

Örnek 4:

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini belirleme segment üzerinde.
Çözüm:
1) Fonksiyonun türevini bulun.

2) Denklemi çözerek durağan noktaları (ve bir ekstremumdan şüphelenilen noktaları) bulun. İki taraflı sonlu türevin olmadığı noktalara dikkat edin.

3) Durağan noktalarda ve aralık sınırlarında fonksiyonun değerlerini hesaplayın.

4) Elde edilen değerlerden en büyüğünü (en küçüğünü) seçin ve cevabı yazın.

Bu segment üzerindeki fonksiyon koordinatları olan noktada maksimum değerine ulaşır.

Bu segment üzerindeki fonksiyon koordinatları olan noktada minimum değerine ulaşır.

İncelenen fonksiyonun grafiğine bakarak hesaplamaların doğruluğunu kontrol edebilirsiniz.


Yorum: Fonksiyon, maksimum noktasında maksimum değerine ve segment sınırında minimum değere ulaşır.

Özel durum.

Bir segmentteki bazı fonksiyonların maksimum ve minimum değerlerini bulmak istediğinizi varsayalım. Algoritmanın ilk paragrafının yürütülmesinden sonra, yani. türevin hesaplanması, örneğin, söz konusu segmentin tamamında yalnızca negatif değerler aldığı açıktır. Türev negatifse, fonksiyonun azaldığını unutmayın. Fonksiyonun tüm aralıkta azaldığını bulduk. Bu durum makalenin başındaki 1 numaralı çizelgede gösterilmiştir.

Fonksiyon aralıkta azalır, yani. ekstremum noktaları yoktur. Fonksiyonun segmentin sağ sınırındaki en küçük değeri, soldaki en büyük değeri alacağı resimden görülebilir. aralığın türevi her yerde pozitif ise, fonksiyon artmaktadır. En küçük değer segmentin sol sınırında, en büyüğü sağdadır.