Alanı düğümlere göre bulma. Bilime başlayın
Bu konu, Birleşik Devlet Sınavına hazırlıklarının bir parçası olarak 10-11. sınıflardaki öğrencilerin ilgisini çekecektir. Kareli kağıt üzerinde gösterilen bir şeklin alanı hesaplanırken Pick formülü kullanılabilir (bu görev Birleşik Devlet Sınavı test materyallerinde önerilmektedir).
Ders ilerlemesi
"Matematiğin konusu o kadar ciddi ki
hiçbir fırsatı kaçırmamakta fayda var
biraz eğlenceli hale getir"
(B.Pascal)
Öğretmen: Alışılmadık ve aşağıdaki görevlere benzemeyen görevler var okul ders kitapları? Evet, bunlar kareli kağıt üzerindeki sorunlar. Bu tür görevler kontrol ve ölçümde mevcuttur Birleşik Devlet Sınavı materyalleri. Bu tür problemlerin özelliği nedir, kareli kağıt üzerindeki problemleri çözmek için hangi yöntem ve teknikler kullanılıyor? Bu dersimizde, çizilen bir şeklin alanının bulunmasını içeren kareli kağıt problemlerini inceleyeceğiz ve kareli bir kağıt parçası üzerine çizilen çokgenlerin alanının nasıl hesaplanacağını öğreneceğiz.
Öğretmen:Çalışmanın amacı kareli kağıt üzerindeki problemler olacaktır.
Araştırmamızın konusu kareli kağıt üzerinde çokgenlerin alanı hesaplama problemleri olacaktır.
Ve çalışmanın amacı Zirve formülü olacaktır.
B - çokgenin içindeki tamsayı noktalarının sayısı
Г - çokgenin sınırındaki tamsayı noktalarının sayısı
Bu, herhangi bir çokgenin alanını kareli kağıdın düğüm noktalarındaki köşelerle kesişmeden hesaplayabileceğiniz kullanışlı bir formüldür.
Zirve kimdir? Zirve Georg Alexandrov (1859-1943) - Avusturyalı matematikçi. Formülü 1899'da keşfetti.
Öğretmen: Bir hipotez formüle edelim: Pick formülü kullanılarak hesaplanan şeklin alanı, geometri formülleri kullanılarak hesaplanan şeklin alanına eşittir.
Kareli kağıt üzerindeki problemleri çözerken geometrik hayal gücüne ve bildiğimiz oldukça basit bilgilere ihtiyacımız olacak:
Dikdörtgenin alanı bitişik kenarların çarpımına eşittir.
Kare dik üçgen bir dik açı oluşturan kenarların çarpımının yarısına eşittir.
Öğretmen: Izgara düğümleri ızgara çizgilerinin kesiştiği noktalardır.
Çokgenin iç düğümleri mavidir. Çokgen sınırlarındaki düğümler kahverengidir.
Yalnızca köşeleri kareli kağıdın düğüm noktalarında bulunan çokgenleri ele alacağız.
Öğretmen:Üçgen için araştırma yapalım. Öncelikle Tepe formülünü kullanarak üçgenin alanını hesaplayalım.
İÇİNDE + G/2 − 1 , Nerede İÇİNDE G— çokgenin sınırındaki tam sayı noktalarının sayısı.
B = 34, G = 15,
İÇİNDE + G/2 − 1 = 34 + 15 :2 − 1 = 40, 5 Cevap: 40.5
Öğretmen: Şimdi geometri formüllerini kullanarak üçgenin alanını hesaplayalım. Kareli kağıda çizilen herhangi bir üçgenin alanı, kenarları çizilen üçgenin köşelerinden geçen ızgara çizgilerini takip eden dik üçgenlerin ve dikdörtgenlerin alanlarının toplamı veya farkı olarak temsil edilerek kolayca hesaplanabilir. Öğrenciler defterlerinde hesaplamalar yaparlar. Daha sonra sonuçlarını tahtadaki hesaplamalarla kontrol edin.
Öğretmen: Araştırma sonuçlarını karşılaştırın ve bir sonuç çıkarın. Pick formülü kullanılarak hesaplanan şeklin alanının, geometri formülleri kullanılarak hesaplanan şeklin alanına eşit olduğunu bulduk. Yani hipotezin doğru olduğu ortaya çıktı.
Daha sonra öğretmen, geometri formüllerini ve Seçim formülünü kullanarak "sizin" rastgele çokgeninizin alanını hesaplamayı ve sonuçları karşılaştırmayı önerir. Matematiksel çalışmalar web sitesinde Pick'in formülüyle "oynayabilirsiniz".
Makalenin sonunda “Pick formülünü kullanarak rastgele bir çokgenin alanının hesaplanması” konulu çalışmalardan biri önerilmiştir.
Daha fazlaörnek:
Köşeleri tamsayı olan bir çokgenin alanı İÇİNDE + G/2 − 1 , Nerede İÇİNDEçokgenin içindeki tamsayı noktalarının sayısıdır ve G— çokgenin sınırındaki tam sayı noktalarının sayısı.
B = 10, G = 6,
İÇİNDE + G/2 − 1 = 10 + 6 :2 − 1 = 12 CEVAP: 12
Öğretmen: Aşağıdaki sorunların çözümüne dikkat etmenizi öneririm:
Cevap: 12
Cevap: 13
Cevap: 9
Cevap: 11.5
Cevap: 4
|
Bir şeklin alanının hesaplanması.
Seçim yöntemi
Irkutsk'taki MBOU Ortaokulu No. 23'te 5B sınıfı bir öğrencinin çalışması
Balsukova Alexandra
Başkan: Khodyreva T.G.
2014
Bir şeklin alanının hesaplanması. Seçim yöntemi
Çalışmanın amacı : kareli kağıt üzerindeki sorunlar
Araştırma konusu : Kareli kağıt üzerinde bir çokgenin alanının hesaplanmasına yönelik problemler, bunları çözme yöntemleri ve teknikleri.
Araştırma yöntemleri : karşılaştırma, genelleme, analojiler, literatür ve internet kaynaklarının incelenmesi, bilgi analizi.
Çalışmanın amacı:
ana, ilginç, anlaşılır bilgileri seçin
Alınan bilgileri analiz edin ve sistematik hale getirin
Bulmak çeşitli yöntemler kareli kağıt üzerinde problem çözme teknikleri ve teknikleri
alanları hesaplamak için formülleri kontrol edin geometrik şekiller Pick formülünü kullanarak
Toplanan materyali sunmak için çalışmanın elektronik sunumunu oluşturun
Geometri, zihinsel yetilerimizi keskinleştirmenin, doğru düşünmemizi ve akıl yürütmemizi sağlayan en güçlü araçtır.
(G.Galileo)
Konunun alaka düzeyi
Matematik tutkusu çoğu zaman bir problem hakkında düşünmekle başlar. Dolayısıyla “Çokgenlerin Alanı” konusunu incelerken ders kitabında tartışılan sorunlardan farklı sorunların olup olmadığı sorusu ortaya çıkıyor. Bu tür sorunlar kareli kağıt üzerindeki sorunları içerir. Bu tür sorunların özelliği nedir, var mı? özel yöntemler ve kareli kağıt üzerinde problem çözme teknikleri. Bir matematik dersi sırasında öğretmen bize çokgenleri hesaplamak için ilginç bir yöntem tanıttı. Bu konuyla ilgili literatürü ve internet kaynaklarını incelemeye başladım. Görünüşe göre damalı bir düzlemde, yani aynı karelere dizilmiş sonsuz bir kağıt parçasında büyüleyici bir şey bulunabilir. Damalı kağıtla ilgili görevlerin oldukça çeşitli olduğu ortaya çıktı. Kareli bir kağıt parçasına çizilen çokgenlerin alanının nasıl hesaplanacağını öğrendim. Kareli kağıt üzerindeki birçok problemin çözümü için genel bir kural ya da özel yöntem ve teknikler yoktur. Bu, belirli bir akademik yetenek veya becerinin değil, genel olarak düşünme, yansıtma, analiz etme, analoji arama yeteneğinin geliştirilmesi için değerlerini belirleyen mülkleridir, yani bu görevler en geniş anlamda düşünme becerilerini geliştirir.
Ayrıca bu tür görevlerin kontrolde dikkate alındığını da öğrendim. ölçüm malzemeleri GIA ve Birleşik Devlet Sınavı. Bu nedenle, bu materyalin çalışmasının sadece gelecekte değil, uygulaması için de yararlı olduğunu düşünüyorum. eğitim süreci aynı zamanda standart olmayan Olimpiyat problemlerini çözmek için de kullanılır.
2.Alan kavramı
Kare- iki boyutlu bir geometrik şeklin, bu şeklin boyutunu gösteren sayısal bir özelliği. Tarihsel olarak alan hesaplamasına . Alanı olan şekle denir karesi .
Geometri açısından düz bir şeklin alanı
1. Kare- Düzlemsel bir şeklin, bir kenarı bir birim uzunluğa eşit olan bir kare olan standart bir şekle göre ölçüsü.
2. Kare- belirli bir sınıfın düz şekillerine (örneğin çokgenler) atfedilen sayısal bir özellik. Bir kenar uzunluğu bir birim uzunluğa eşit olan bir karenin alanı, bir alan birimine eşit olarak alınır
3. Kare- sayısal değeri aşağıdaki özelliklere sahip olan pozitif bir miktar:
Eşit rakamlar sahip olmak eşit alanlar;
Bir şekil parçalara bölünürse basit rakamlar(yani sonlu sayıda düzlem üçgene bölünebilenler), o zaman bu şeklin alanı, parçalarının alanlarının toplamına eşittir;
Bir kenarı bir ölçü birimine eşit olan karenin alanı bire eşittir.
Böylece, alanın belirli bir miktar olmadığı, ancak herhangi bir düz rakamın yalnızca bazı koşullu özelliklerini verdiği sonucuna varabiliriz. Rasgele bir şeklin alanını bulmak için, bir kenarı bir birim uzunluğa eşit olan kaç tane kare içerdiğini belirlemeniz gerekir. Örneğin, santimetre karenin tam olarak 6 katına sığdığı bir dikdörtgeni alın. Bu, dikdörtgenin alanının 6 cm2 olduğu anlamına gelir.
Tüm alanların minimum ölçü birimi olarak, kenarı ölçü birimine eşit olan bir karenin alanının seçimi tesadüfi değildir. Bu, yüzyıllar süren "doğal" seçilim sırasında ortaya çıkan insanlar arasındaki bir anlaşmanın sonucudur. Ayrıca bir ölçü birimi için başka öneriler de vardı. Örneğin, bir eşkenar üçgenin alanının böyle bir birim olarak alınması önerildi (yani herhangi bir düz şekil, belirli bir sayının "toplamı" olarak temsil edilebilir) eşkenar üçgenler), bu da alanların sayısal temsilinde bir değişikliğe yol açacaktır.
Böylece, alan hesaplamaya yönelik formüller matematikte ortaya çıktı ve insan tarafından hemen fark edilmedi - bu yaşayan pek çok bilim insanı farklı dönemler Ve farklı ülkeler. (Yanlış formüller bilimde yer bulamadı ve unutulmaya yüz tuttu). Gerçek formüller, modern görünümleriyle bize ulaşana kadar binlerce yıl boyunca eklemeler yapıldı, düzeltildi ve kanıtlandı.
Aynı şey alan ölçümü Belirli bir şeklin alanının, bir ölçü birimi olarak alınan şeklin alanıyla karşılaştırılmasından oluşur. Karşılaştırma sonucunda belirli bir sayı elde edilir - belirli bir şeklin alanının sayısal değeri. Bu sayı, belirli bir şeklin alanının, alan birimi olarak alınan şeklin alanından kaç kat daha büyük (veya daha az) olduğunu gösterir.
T Böylece alanın, tarihsel olarak insan tarafından düz bir figürün bazı özelliklerini ölçmek için tanıtılan yapay bir miktar olduğu sonucuna varabiliriz. Böyle bir değer girme ihtiyacı, belirli bir bölgenin ne kadar büyük olduğunu, bir tarlayı ekmek için ne kadar tahıl gerektiğini veya süs fayanslarını süslemek için zemin yüzey alanını hesaplamayı bilme ihtiyacının artmasıyla belirlendi.
Seçim formülü
Kareli kağıt üzerinde bir çokgenin alanını tahmin etmek için bu çokgenin kaç hücreyi kapsadığını saymak yeterlidir (bir hücrenin alanını bir olarak alıyoruz). Daha doğrusu eğerS çokgenin alanıdır, B tamamen çokgenin içinde yer alan hücrelerin sayısıdır ve G, bir iç kısmı olan hücrelerin sayısıdır. Yalnızca tüm köşeleri kareli kağıdın düğümlerinde bulunan bu tür çokgenleri (çokgen ızgara çizgilerinin en az bir ortak noktayla kesiştiği yerleri) ele alacağız.
Kareli kağıda çizilen herhangi bir üçgenin alanı, kenarları çizilen üçgenin köşelerinden geçen ızgara çizgilerini takip eden dik üçgenlerin ve dikdörtgenlerin alanlarının toplamı veya farkı olarak temsil edilerek kolayca hesaplanabilir.
Böyle bir çokgenin alanını hesaplamak için aşağıdaki teoremi kullanabilirsiniz:
Teorem . İzin vermek - çokgenin içindeki tamsayı noktalarının sayısı, - sınırındaki tam sayı noktalarının sayısı, - alanı. O zaman adilSeçim formülü:
Örnek. Şekildeki çokgen içinL = 7 (kırmızı noktalar), 9 (yeşil noktalar) yaniS = 7+ 9/2 -1 = 10,5 kare birimler.
Pick teoremi- klasik sonuç Ve .
Düğüm noktalarında köşeleri olan ve içinde veya yanlarında (köşeler hariç) hiçbir düğüm içermeyen bir üçgenin alanı 1/2'dir. Bu gerçek.
3. Tarih
Pick formülü Avusturyalı matematikçi Georg Alexander (1859-1942) tarafından keşfedildi. . Georg, 16 yaşındayken okuldan mezun oldu ve üniversiteye girdi.. 20 yaşında fizik ve matematik öğretmeye hak kazandı. 1884'te Peake yola çıktıİle . Orada Klein'ın başka bir öğrencisiyle tanıştı.. Daha sonra 1885 yılında geri döndü.bilimsel kariyerinin geri kalanını burada geçirdi.
Georg Pieck, Einstein'ın arkadaşıydı. Peake ve Einstein'ın yalnızca ortak bilimsel ilgi alanları yoktu, aynı zamanda müzik tutkuları da vardı. Üniversite profesörlerinden oluşan bir dörtlüde çalan Pick, Einstein'ı Prag'ın bilim ve müzik topluluklarıyla tanıştırdı.
Peake'in matematiksel ilgi alanı son derece genişti. Özellikle 50 yaşın üzerinde olanlar bilimsel çalışmalar. Pick'in 1899'da keşfettiği çokgenin alanını hesaplama teoremi yaygın olarak tanındı. Almanya'da bu teorem okul ders kitaplarında yer almaktadır.
4.Seçim formülünün uygulamaları
Pick'in formülü sadece çokgenlerin alanlarını hesaplamak için değil aynı zamanda Olimpiyat düzeyindeki birçok problemi çözmek için de kullanılıyor.
Sorunları çözerken Seçim formülünü kullanmaya ilişkin bazı örnekler:
1) Satranç şahı 8x8 hücreden oluşan bir tahtanın etrafında dolaşarak her birini ziyaret etti.
ev alanı tam olarak bir kez ve son hamle orijinaline geri dönerek
alan. Alanların merkezlerini sırayla birleştiren kesikli çizgi
şahı geçti, kendisiyle kesişimi yok. Hangi alan olabilir
Bu kesikli çizgiyi sınırlayabilir misiniz? (Hücrenin kenarı 1’dir.)
Peak'in formülünden hemen şu sonuç çıkar: Lo tarafından sınırlanan alan.
mana, 64/2 − 1 = 31'e eşit; burada kafes düğümleri merkezlerdir 64
alanlar ve koşullar gereği hepsi çokgenin sınırında yer alıyor. Bu yüzden
Dolayısıyla, kralın bu tür pek çok "yörüngesi" olmasına rağmen, bunların hepsi
eşit alanlı sınırlı çokgenler.
Devlet Sınav Ajansı ve Birleşik Devlet Sınavının test ve ölçüm materyallerinden görevler
Görev B3
Kareli kağıt üzerinde gösterilen şeklin hücre boyutu 1 cm 1 cm olan alanını bulun (şekle bakın). Cevabınızı santimetre kare cinsinden verin.
4.Sonuç
Araştırma sürecinde referans ve popüler bilim literatürünü inceledim. Izgara düğümlerinde köşeleri olan bir çokgenin alanını bulma sorununun, Avusturyalı matematikçi Pieck'i 1899'da dikkate değer Pieck formülünü kanıtlamaya sevk ettiğini öğrendim.
Çalışmamın sonucunda kareli kağıt üzerinde problem çözme konusundaki bilgimi genişlettim, incelenen sorunların sınıflandırılmasını kendim belirledim ve bunların çeşitliliğine ikna oldum.
Kareli bir kağıt parçasına çizilen çokgenlerin alanlarını hesaplamayı öğrendim. Dikkate alınan görevlerin basitten olimpiyatlara kadar farklı zorluk seviyeleri vardır. Herkes, aralarında, daha zor olanların çözümüne geçmenin mümkün olacağı, uygun düzeyde karmaşıklığa sahip görevler bulabilir.
İlgimi çeken konunun oldukça çok yönlü olduğu, kareli kağıt üzerindeki sorunların çok çeşitli olduğu, bunları çözme yöntem ve tekniklerinin de çeşitli olduğu sonucuna vardım. Bu nedenle çalışmalarımızı bu yönde sürdürmeye karar verdik.
5. Kullanılan literatür:
1. Vasil'ev N. B. Seçim formülü etrafında // Kuantum. - 1974. - Sayı 12
2. K o k e P r a so lov V. V. Planimetri sorunları. - M.: MTsNMO, 2006.t e r G.S.M. Geometriye giriş. - M.: Bilim, 1966
3.Roslova L.O., Sharygin I.F. Ölçümler. – M.: Yayınevi. "Açık Dünya", 2005.
İnternet kaynakları:
:
İş için geri bildirim
“Düzlem figürlerinin alanlarının hesaplanması. Yöntemi Seç"
Bu konunun dikkate alınması gelişecektir bilişsel aktivite sonradan geometri derslerinde çizimin uyumunu görmeye başlayacak ve geometriyi (ve genel olarak matematiği) sıkıcı bir bilim olarak algılamayı bırakacak bir öğrenci.
Bir matematik öğretmeni tarafından incelendi
Khodyreva Tatyana Georgievna
Starkova Kristina, 8B sınıfı öğrencisi
Makale Pick teoremini ve onun kanıtını tartışıyor.
Çokgenlerin alanını bulma problemleri ele alınmıştır.
İndirmek:
Önizleme:
GENEL VE MESLEKİ EĞİTİM BÖLÜMÜ
ÇAYKOVSKİ BELEDİYE BÖLGESİ İDARESİ
PERM BÖLGESİ
VI BELEDİYE ARAŞTIRMA KONFERANSI
ÖĞRENCİLER
Belediye özerk eğitim kurumu
"ortalama ortaokul 11 numara"
BÖLÜM: MATEMATİK
Pick formülünün uygulanması
8. sınıf öğrencisi "B"
MAOU ortaokulu No. 11 Çaykovski
Başkan: Batueva L, N.,
Matematik öğretmeni MAOU Ortaokulu No. 11
Çaykovski
2012
I. Giriş……………………………………………………. 2
II. Seçim formülü
2.1.Kafesler.Düğümler………………………………………….4
2.2 Bir çokgenin üçgenlenmesi………………………5.
2.3. Pick of Pick teoreminin kanıtı………………………6
2.4 Çokgenlerin alanlarının incelenmesi…………9
2.5. Sonuç……………………………………………………..12
III.Pratik içerikli geometrik problemler...13
IV. Sonuç……………………………………………………………..14
V. Referans listesi…………………………..16
- giriiş
Matematik tutkusu çoğu zaman bir problem hakkında düşünmekle başlar. Dolayısıyla, “Çokgenlerin Alanları” konusunu incelerken, geometri ders kitaplarında tartışılan problemlerden farklı problemlerin olup olmadığı sorusu ortaya çıktı. Bunlar kareli kağıt üzerindeki problemlerdir. Sorularımız vardı: Bu tür sorunların özelliği nedir, kareli kağıt üzerinde sorunları çözmek için özel yöntem ve teknikler var mı? Birleşik Devlet Sınavı ve Devlet Sınavı'nın test ve ölçüm materyallerinde bu tür sorunları gördükten sonra, gösterilen şeklin alanını bulmayla ilgili sorunları mutlaka kareli kağıt üzerinde incelemeye karar verdim.
Bu konuyla ilgili literatürü ve internet kaynaklarını incelemeye başladım. Görünüşe göre damalı bir düzlemde, yani aynı karelere dizilmiş sonsuz bir kağıt parçasında büyüleyici bir şey bulunabilir mi? Acele yargılamayın. Damalı kağıtla ilgili görevlerin oldukça çeşitli olduğu ortaya çıktı. Kareli bir kağıt parçasına çizilen çokgenlerin alanının nasıl hesaplanacağını öğrendim. Kareli kağıt üzerindeki birçok problemin çözümü için genel bir kural ya da özel yöntem ve teknikler yoktur. Bu, belirli bir akademik yetenek veya becerinin değil, genel olarak düşünme, yansıtma, analiz etme, analoji arama yeteneğinin geliştirilmesi için değerlerini belirleyen mülkleridir, yani bu görevler en geniş anlamda düşünme becerilerini geliştirir.
Tanımladık:
Çalışmanın amacı: kareli kağıt üzerindeki sorunlar
Araştırma konusu: Kareli kağıt üzerinde bir çokgenin alanının hesaplanmasına yönelik problemler, bunları çözme yöntemleri ve teknikleri.
Araştırma yöntemleri: modelleme, karşılaştırma, genelleme, analojiler, edebi ve internet kaynaklarının incelenmesi, bilgilerin analizi ve sınıflandırılması.
- Çalışmanın amacı:Tepe formülünü kullanarak geometrik şekillerin alanlarını hesaplamak için formüller türetin ve kontrol edin
Bu hedefe ulaşmak için aşağıdakileri çözmeyi öngörüyoruz: görevler:
- Gerekli literatürü seçin
- Araştırma için materyal seçin, ana, ilginç, anlaşılır bilgileri seçin
- Alınan bilgileri analiz edin ve sistematik hale getirin
- Kareli kağıt üzerindeki problemleri çözmek için farklı yöntem ve teknikler bulun
- Toplanan materyali sınıf arkadaşlarına sunmak için çalışmanın elektronik sunumunu oluşturun
Kareli kağıt üzerindeki problemlerin çeşitliliği, “eğlenceli” olmaları ve genel kural ve çözüm yöntemlerinin olmayışı, okul çocuklarının bunları dikkate almasında zorluklara neden olmaktadır.
- Hipotez:. Tepe formülü kullanılarak hesaplanan şeklin alanı, planimetri formülü kullanılarak hesaplanan şeklin alanına eşittir.
Kareli kağıt üzerindeki problemleri çözerken geometrik hayal gücüne ve herkesin bildiği oldukça basit geometrik bilgilere ihtiyacımız olacak.
II. Seçim formülü
2.1.Kafesler.Düğümler.
Düzlem üzerinde, düzlemi eşit karelere bölen iki paralel çizgi ailesini ele alalım; bu çizgilerin tüm kesişme noktalarının kümesine nokta kafesi veya basitçe kafes denir ve noktaların kendilerine kafes düğümleri denir.
Bir çokgenin iç düğümleri - kırmızı.
Bir çokgenin yüzündeki düğümler - mavi.
Kareli kağıt üzerinde bir çokgenin alanını tahmin etmek için bu çokgenin kaç hücreyi kapsadığını saymak yeterlidir (bir hücrenin alanını bir olarak alıyoruz). Daha doğrusu eğer S çokgenin alanı, B, tamamen çokgenin içinde yer alan hücre sayısı ve G, çokgenin iç kısmı ile en az bir ortak noktaya sahip olan hücre sayısıdır.
Yalnızca köşelerinin tamamı kareli kağıdın düğümlerinde yer alan çokgenleri (ızgara çizgilerinin kesiştiği yerleri) ele alacağız.
Kareli kağıda çizilen herhangi bir üçgenin alanı, kenarları çizilen üçgenin köşelerinden geçen ızgara çizgilerini takip eden dik üçgenlerin ve dikdörtgenlerin alanlarının toplamı veya farkı olarak temsil edilerek kolayca hesaplanabilir.
2.2 Bir çokgenin üçgenlenmesi
Ağ düğümlerinde köşeleri olan herhangi bir çokgen üçgenleştirilebilir - "basit" üçgenlere bölünebilir.
Düzlemde bir çokgen ve bir sonlu küme verilsinİLE çokgenin içinde ve sınırında bulunan noktalar (ve çokgenin tüm köşeleri kümeye aittir)İLE ).
Köşelerle üçgenlemeİLE belirli bir çokgenin köşeleri kümede olan üçgenlere bölünmesine denirİLE öyle ki her noktaİLE bu noktanın ait olduğu üçgenleme üçgenlerinin her birinin tepe noktası görevi görür (yani,İLE üçgenlerin içine veya yanlarına düşmeyin, şek. 1.37).
Pirinç. 1.37
Teorem 2. a) Herhangi bir n -Bir üçgen çapraz olarak üçgenlere bölünebilir ve üçgenlerin sayısı eşit olacaktır. N – 2 (bu bölüm, köşelerde köşelerin bulunduğu bir üçgenlemedir n-gon).
Dejenere olmayan basit bir tamsayı çokgeni düşünün (yani bağlantılıdır - noktalarından herhangi ikisi tamamen içinde bulunan sürekli bir eğri ile bağlanabilir ve tüm köşeleri tamsayı koordinatlara sahiptir, sınırı kendi kesişimleri olmayan bağlantılı bir kesikli çizgidir) ve sıfır olmayan bir alana sahiptir).
Böyle bir çokgenin alanını hesaplamak için aşağıdaki teoremi kullanabilirsiniz:
2.3. Pick teoreminin kanıtı.
Çokgenin içindeki tam sayı noktalarının sayısı B olsun, sınırındaki tam sayı noktalarının sayısı G olsun,- alanı. O zaman adil Tepe formülü: S=B+G2-1
Örnek. Şekildeki çokgen için V=23 (sarı noktalar), Г=7, (mavi noktalar, köşeleri unutmayın!), yanikare birimler.
Öncelikle Pick formülünün birim kare için geçerli olduğunu unutmayın. Aslında bu durumda B = 0, G = 4 ve.
Kenarları kafes çizgileri üzerinde olan bir dikdörtgen düşünün. Kenar uzunlukları eşit olsun Ve . Bu durumda B = (a-1)(b-1) , Г = 2a + 2b elde ederiz, o zaman Tepe formülüne göre,
Şimdi bacakları koordinat eksenleri üzerinde olan bir dik üçgeni ele alalım. Böyle bir üçgen kenarları olan bir dikdörtgenden elde edilir Ve , önceki durumda çapraz olarak kesilerek ele alınmıştır. Çapraz olarak uzanmalarına izin verintamsayı noktaları. Daha sonra bunun için durum В=а-1)b-1, 2 Г= Г=2a+2b 2 +с-1 ve şunu anlıyoruz4) Şimdi keyfi bir üçgen düşünün. Bir dikdörtgenden birkaç dik üçgen ve muhtemelen bir dikdörtgen kesilerek elde edilebilir (resimlere bakın). Pick'in formülü hem dikdörtgen hem de dik üçgen için doğru olduğundan, bunun keyfi bir üçgen için de doğru olacağını bulduk.
Atılması gereken son adım kaldı: üçgenlerden çokgenlere geçiş. Herhangi bir çokgen üçgenlere bölünebilir (örneğin köşegenlerle). Bu nedenle, rastgele bir çokgene herhangi bir üçgen eklerken Pick formülünün doğru kaldığını kanıtlamanız yeterlidir. Çokgen olsun ve üçgen ortak bir yanı var. Bunun için olduğunu varsayalımPick formülü geçerlidir, bundan elde edilen bir çokgen için de doğru olacağını kanıtlayacağız. ekleyerek. O zamandan beri ortak bir kenarı varsa, iki köşe hariç bu tarafta bulunan tüm tamsayı noktaları yeni çokgenin iç noktaları olur. Köşeler sınır noktaları olacaktır. Ortak noktaların sayısını şu şekilde gösterelim: ve B=MT=BM+BT+c-2 elde ederiz - yeni çokgenin dahili tam sayı noktalarının sayısı, Г=Г(М)+Г(T)-2(с-2)-2 - yeni çokgenin sınır noktalarının sayısı. Bu eşitliklerden şunu elde ederiz: BM+BT+c-2 , G=G(M)+G(T)-2(s-2)-2. Teoremin doğru olduğunu varsaydığımız için ve için ayrı ayrı ise S(MT)+S(M)+S(T)=(B(M)+ GM2 -1)+B(T)+ GT2 -1)=(B(M)+ B(T))+( GM2+GT2)-2 =G(MT)-(c-2)+ B(MT) +2(c-2)+22 -2= G(MT)+ B(MT)2-1 Böylece Pick'in formülü kanıtlanmış oldu.
2.4 Çokgenlerin alanlarının incelenmesi.
2) 1 cm x 1 cm ölçülerinde kareli kareli kağıt üzerine üçgenin alanını santimetre kare cinsinden bulun. | ||
Çizim | Geometri formülüne göre | Pick'in formülüne göre |
S=12ah St.ABD=1/2 AD ∙ BD=1/2 ∙ 2 ∙ 1=1 St.BDC=1/2 DC ∙ BD=1/2 ∙ 3 ∙ 1=1,5 St.ABC=Str.BDC-Str.ABD= 1,5-1=0,5 | S=V+G2-1 Г=3 ;В=0. S=0+3/2-1=0,5 |
3) Kareli kağıt üzerine 1 cm x 1 cm ölçülerinde kareler içeren bir dikdörtgen gösterilmektedir. Alanını santimetre kare cinsinden bulun. | ||
Çizim | Geometri formülüne göre | Pick'in formülüne göre |
S=a∙b KmNE kare=7 ∙ 7=49 St.AKB=1/2 ∙ KB ∙ AK=1/2 ∙ 4 ∙ 4=8 St.AKB=Str.DCE=8 St.AND= 1/2 ∙ ND ∙ AN=1/2 ∙ 3 ∙ 3=4,5 St.AND=Str.BMC=4.5 Spr.= Sq.KMNE- St.AKB- St.DCE- St.AND- St.BMC=49-8-8-4.5-4.5=24 | S=V+G2-1 G=14;B=19. S=18+14/2-1=24 |
4) 1 cm x 1 cm ölçülerinde kareli kareli kağıt üzerine | ||
Çizim | Geometri formülüne göre | Pick'in formülüne göre |
S1= 12a∙ b=1/2 ∙ 7 ∙1= 3,5 S2= 12a∙ b=1/2 ∙ 7 ∙ 2=7 S3= 12a∙ b=1/2 ∙ 4 ∙ 1=2 S4= 12a∙ b=1/2 ∙ 5 ∙ 1=2,5 S5=a²=1²=1 Kare= a²=7²=49 S=49-3.5-7-2-2.5-1=32cm² | S=V+G2-1 Г=5;В=31. S=31+ 42 -1=32cm² |
|
5) 1 cm x 1 cm ölçülerinde kareli kareli kağıt üzerine dörtgen. Alanını santimetre kare cinsinden bulun. | ||
S=a ∙b a=36+36=62 b=9+9=32 S= 62∙32 =36 cm2 | S=V+G2-1 G=18, V=28 S=28+ 182 -1=36cm2 |
|
6) 1 cm x 1 cm ölçülerinde kareli kareli kağıt üzerine dörtgen. Alanının santimetre kare cinsinden bulunması | ||
S1= 12a∙ b=1/2 ∙ 3 ∙ 3=4,5 S2= 12a∙ b=1/2 ∙ 6 ∙ 6=18 S3= 12a∙ b=1/2 ∙ 3 ∙ 3=4,5 S=4,5+18+4,5=27 cm² | S=V+G2-1 G=18;B=28. S=28+ 182 -1=36cm² |
|
7) 1 cm x 1 cm ölçülerinde kareli kareli kağıt üzerine dörtgen. Alanının santimetre kare cinsinden bulunması | ||
S1= 12a∙ b=1/2 ∙ 3 ∙ 3=4,5 S2= 12a∙ b=1/2 ∙ 6 ∙ 6=18 S3= 12a∙ b=1/2 ∙ 3 ∙ 3=4,5 S4= 12a∙ b=1/2 ∙ 6 ∙ 6=18 Metrekare=9²=81cm² S=81-4.5-18-4.5-18=36cm² | S=V+G2-1 G=18;B=28. S=28+ 182 -1=36cm² |
8) 1 cm x 1 cm ölçülerinde kareli kareli kağıt üzerine dörtgen. Alanının santimetre kare cinsinden bulunması | ||
Çizim | Geometri formülüne göre | Pick'in formülüne göre |
S1= 12a∙ b=1/2 ∙ 2 ∙ 4=4 S2= 12ah =1/2 ∙ 4 ∙ 4=8 S3= 12ah =1/2 ∙ 8 ∙ 2=8 S4= 12ah =1/2 ∙ 4 ∙ 1=2 Yay= a∙ b=6 ∙ 8=48 S5=48-4-8-8-2=24 cm² | S= Г+В2-1 G=16;B=17. S=17+ 162 -1=24 cm² |
Çözüm
- Tablolardaki sonuçları karşılaştırdıktan ve Pick teoremini kanıtladıktan sonra, Pick formülü kullanılarak hesaplanan şeklin alanının, türetilmiş planimetri formülü kullanılarak hesaplanan şeklin alanına eşit olduğu sonucuna vardım.
Yani hipotezim doğru çıktı
III.Pratik içerikli geometrik problemler.
Peak'in formülü aynı zamanda pratik içerikli geometrik problemlerin çözümünde de bize yardımcı olacaktır.
Görev 9. 1 cm - 200 m ölçeğinde 1 × 1 (cm) kare ızgaralı bir planda gösterilen ormanın alanını (m² cinsinden) bulun (Şek. 10)
Çözüm.
Pirinç. 10 V = 8, D = 7. S = 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (cm²)
1 cm² - 200² m²; S = 40.000 10,5 = 420.000 (m²)
Cevap: 420.000 m²
Sorun 10 . 1 cm - 200 m ölçeğinde 1 × 1 (cm) kare ızgaralı bir planda gösterilen alanın alanını (m² cinsinden) bulun (Şek. 11)
Çözüm. Kareli kağıt üzerinde gösterilen dörtgenin alanını Pick formülünü kullanarak S bulalım: S = B + - 1
H = 7, D = 4. S = 7 + 4/2 – 1 = 8 (cm²)
Pirinç. 11 1 cm² - 200² m²; S = 40.000 8 = 320.000 (m²)
Cevap: 320.000 m²
Çözüm
Araştırma sürecinde referans ve popüler bilim literatürünü inceledim ve Notebook programında çalışmayı öğrendim. bunu öğrendim
Izgara düğümlerinde köşeleri olan bir çokgenin alanını bulma sorunu, Avusturyalı matematikçi Pieck'i 1899'da dikkate değer Pieck formülünü kanıtlamaya yöneltti.
Çalışmamın sonucunda kareli kağıt üzerinde problem çözme konusundaki bilgimi genişlettim, incelenen sorunların sınıflandırılmasını kendim belirledim ve bunların çeşitliliğine ikna oldum.
Kareli bir kağıt parçasına çizilen çokgenlerin alanlarını hesaplamayı öğrendim. Göz önünde bulundurulan görevlerin basitten olimpiyatlara kadar farklı zorluk seviyeleri vardır. Herkes, aralarında, daha zor olanların çözümüne geçmenin mümkün olacağı, uygun düzeyde karmaşıklığa sahip görevler bulabilir.
İlgimi çeken konunun oldukça çok yönlü olduğu, kareli kağıt üzerindeki sorunların çok çeşitli olduğu, bunları çözme yöntem ve tekniklerinin de çeşitli olduğu sonucuna vardım. Bu nedenle çalışmalarımızı bu yönde sürdürmeye karar verdik.
Edebiyat
1. Kareli kağıt üzerinde geometri. Küçük Mekanik ve Matematik Üniversitesi MSU.
2. Zharkovskaya N.M., Riess E.A. Kareli kağıdın geometrisi. Pick'in formülü // Matematik, 2009, Sayı. 17, s. 24-25.
3.Görevler açık banka matematik ödevleri FIPI, 2010 – 2011
4.V.V.Vavilov, A.V.Ustinov. Kafeslerde Çokgenler, M.MCNMO, 2006.
5. Tematik çalışmalar.etütler.ru
6.L.S.Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev ve diğerleri. Aydınlanma, 2010
Hesaplamanızı sağlayan harika bir formül var poligonun alanı koordinat ızgarasında neredeyse hiç hata olmadan. Bu bir formül bile değil, gerçek. teorem. İlk bakışta karmaşık görünebilir. Ancak birkaç sorunu çözmek için yeterli ve bu özelliğin ne kadar harika olduğunu anlayacaksınız. Öyleyse devam edin!
Öncelikle yeni bir tanım verelim:
Bir ızgara düğümü, o ızgaranın dikey ve yatay çizgilerinin kesişiminde bulunan herhangi bir noktadır.
Tanım:
İlk resimde düğümler hiç işaretlenmemiştir. İkincisi 4 düğümü gösterir. Son olarak, üçüncü resim 16 düğümün tamamını göstermektedir.
Bunun B5 göreviyle nasıl bir ilişkisi var? Gerçek şu ki, bu tür problemlerde çokgenin köşeleri Her zamanızgara düğümlerinde bulunur. Sonuç olarak, aşağıdaki teorem onlar için işe yarar:
Teorem. Koordinat ızgarasında, köşeleri bu ızgaranın düğüm noktalarında bulunan bir çokgen düşünün. O halde çokgenin alanı:
burada n, belirli bir çokgenin içindeki düğümlerin sayısıdır, k, sınırında bulunan düğümlerin (sınır düğümleri) sayısıdır.
Örnek olarak, bir koordinat ızgarası üzerindeki sıradan bir üçgeni düşünün ve iç ve sınır düğümlerini işaretlemeye çalışın.
İlk resim sıradan bir üçgeni gösteriyor. İkinci resimde sayısı n = 10 olan iç düğümler gösterilmektedir. Üçüncü resimde sınırda yer alan düğümler gösterilmektedir, toplamda k = 6 vardır.
Pek çok okuyucu için n ve k sayılarının nasıl sayılacağı açık olmayabilir. İç düğümlerle başlayın. Burada her şey açık: Üçgenin üzerini bir kalemle boyuyoruz ve kaç düğümün gölgelendiğini görüyoruz.
Sınır düğümleri biraz daha karmaşıktır. Çokgen kenarlığı - kapalı çoklu çizgi Koordinat ızgarasını birçok noktada kesen. En kolay yol, bir "başlangıç" noktası işaretlemek ve sonra geri kalanını dolaşmaktır.
Sınır düğümleri yalnızca sürekli çizgi üzerinde aynı anda kesiştikleri noktalar olacaktır. üç satır:
- Aslında bu kesikli bir çizgi;
- Yatay ızgara çizgisi;
- Dikey çizgi.
Tüm bunların gerçek problemlerde nasıl çalıştığını görelim.
Görev. Hücre boyutu 1 x 1 cm ise üçgenin alanını bulun:
Öncelikle üçgenin içinde ve sınırında bulunan düğümleri işaretleyelim:
Yalnızca bir dahili düğüm olduğu ortaya çıktı: n = 1. Altı taneye kadar sınır düğümü var: üçü çakışıyor üçgen köşeli ve yanlarda üç tane daha yatıyor. Toplam k = 6.
Şimdi aşağıdaki formülü kullanarak alanı hesaplıyoruz:
İşte bu! Sorun çözüldü.
Görev. Hücre boyutu 1 cm x 1 cm olan kareli kağıt üzerinde gösterilen dörtgenin alanını bulun. Cevabınızı santimetre kare olarak verin.
Yine iç ve sınır düğümlerini işaretliyoruz. Yalnızca n = 2 dahili düğüm vardır, K = 7 sınır düğümü vardır, bunlardan 4'ü bir dörtgenin köşeleri ve yanlarda 3 tane daha yatıyor.
Geriye n ve k sayılarını alan formülünde değiştirmek kalıyor:
Son örneğe dikkat edin. Bu sorun aslında şurada önerildi: teşhis çalışması 2012 yılında. Standart şemaya göre çalışırsanız çok sayıda ek inşaat yapmanız gerekecektir. Ve düğüm yöntemiyle her şey neredeyse sözlü olarak çözülür.
Alanlarla ilgili önemli not
Ancak formül her şey değildir. Sağ tarafa terimleri ekleyerek formülü biraz yeniden yazalım. İle ortak payda . Şunu elde ederiz:
n ve k sayıları düğüm sayısıdır ve her zaman tamsayılardır. Bu, payın tamamının da bir tamsayı olduğu anlamına gelir. Bunu 2'ye bölüyoruz, bu da önemli bir gerçeğe yol açıyor:
Alan her zaman ifade edilir tam sayı veya kesir. Üstelik kesrin sonunda her zaman “onda beş” bulunur: 10,5; 17.5 vb.
Bu nedenle, B5 problemindeki alan her zaman ***,5 formunun bir tamsayı veya kesri olarak ifade edilir. Cevap farklı ise bir yerde yanlışlık var demektir. Matematikte gerçek Birleşik Devlet Sınavına girdiğinizde bunu unutmayın!
Kareli kağıda bir çokgen çizelim. Örneğin, Şekil 1'de gösterildiği gibi.
Şimdi alanını hesaplamaya çalışalım. Bu nasıl yapılır? Muhtemelen en kolay yol, alanları hesaplaması ve sonuçları toplaması kolay olan dik üçgenlere ve dikdörtgenlere bölmektir. Kullandığım yöntem basit ama çok hantal ve ayrıca her çokgen için uygun değil.
Dejenere olmayan basit bir tamsayı çokgeni düşünün (yani bağlantılıdır - noktalarından herhangi ikisi tamamen içinde bulunan sürekli bir eğri ile bağlanabilir ve tüm köşeleri tamsayı koordinatlara sahiptir, sınırı kendi kesişimleri olmayan bağlantılı bir kesikli çizgidir) ve sıfır olmayan bir kareye sahiptir). Böyle bir çokgenin alanını hesaplamak için aşağıdaki teoremi kullanabilirsiniz:
Pick teoremi.Çokgenin içindeki tam sayı noktalarının sayısı, sınırındaki tam sayı noktalarının sayısı ve alanı olsun. O zaman adil Seçim formülü:
Örnek.Şekil 1'deki çokgen için (sarı noktalar), (mavi noktalar, köşeleri unutmayın!), dolayısıyla birim kareler.
Pick teoreminin kanıtı.Öncelikle Pick formülünün birim kare için geçerli olduğunu unutmayın. Aslında bu durumda elimizde
Kenarları kafes çizgileri üzerinde olan bir dikdörtgen düşünün. Kenar uzunlukları eşit olsun. Bu durumda Peak formülüne göre,
Şimdi bacakları koordinat eksenleri üzerinde olan bir dik üçgeni ele alalım. Böyle bir üçgen, kenarları olan bir dikdörtgenden ve önceki durumda tartışıldığı gibi çapraz olarak kesilerek elde edilir. Köşegen üzerinde tamsayı noktalar olsun. O zaman bu durum için şunu elde ederiz
Şimdi keyfi bir üçgen düşünün. Bir dikdörtgenden birkaç dik üçgenin ve muhtemelen bir dikdörtgenin kesilmesiyle elde edilebilir (bkz. Şekil 2 ve 3). Pick'in formülü hem dikdörtgen hem de dik üçgen için doğru olduğundan, bunun keyfi bir üçgen için de doğru olacağını bulduk.
Atılması gereken son adım kaldı: üçgenlerden çokgenlere geçiş. Herhangi bir çokgen üçgenlere bölünebilir (örneğin köşegenlerle). Bu nedenle, rastgele bir çokgene herhangi bir üçgen eklerken Pick formülünün doğru kaldığını kanıtlamanız yeterlidir.
Bir çokgenin ve üçgenin ortak bir kenarı olsun. Pick formülünün geçerli olduğunu varsayalım, toplamadan elde edilen çokgen için de aynı durumun geçerli olacağını kanıtlayacağız. Ortak bir kenarları olduğundan, iki köşe dışında bu tarafta bulunan tüm tamsayı noktaları yeni çokgenin iç noktaları haline gelir. Köşeler sınır noktaları olacaktır. Ortak noktaların sayısını şu şekilde belirtelim ve elde edelim:
Yeni çokgenin dahili tamsayı noktalarının sayısı,
Yeni çokgenin sınır noktalarının sayısı.
Bu eşitliklerden elde ettiğimiz
Teoremin ayrı ayrı ve için doğru olduğunu varsaydığımıza göre,
Böylece Pick'in formülü kanıtlanmış oldu.
Bu formül 1899 yılında Avusturyalı matematikçi Peak Georg Alexandrov (1859 - 1943) tarafından keşfedilmiştir. Bu formüle ek olarak Georg Pick, Pick, Pick-Julia, Pick-Nevalina teoremlerini keşfetti ve Schwartz-Pick eşitsizliğini kanıtladı. İÇİNDE Ek 1 Pick formülünü kullanarak düşündüğüm standart dışı sorunları görebilirsiniz.