Çift ve tek tanımı. Tek ve çift fonksiyonlar
Hangisi bir dereceye kadar size tanıdık geldi. Ayrıca, fonksiyon özellikleri stoğunun kademeli olarak yenileneceği de kaydedildi. Bu bölümde iki yeni özellik tartışılacaktır.
Tanım 1.
y \u003d f (x), x є X işlevi, X kümesinden herhangi bir x değeri için f (-x) \u003d f (x) eşitliği doğru olsa bile çağrılır.
Tanım 2.
X kümesindeki herhangi bir x değeri için f (-x) \u003d -f (x) eşitliği doğruysa, y \u003d f (x), x є X işlevine tek denir.
y = x 4'ün çift fonksiyon olduğunu kanıtlayın.
Çözüm. Şunlara sahibiz: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Ama (-x) 4 = x 4 . Dolayısıyla, herhangi bir x için, f (-x) = f (x) eşitliği, yani. fonksiyon eşittir.
Benzer şekilde, y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 işlevlerinin çift olduğu kanıtlanabilir.
y = x 3'ün tek bir fonksiyon olduğunu kanıtlayın.
Çözüm. Şunlara sahibiz: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Ama (-x) 3 = -x 3 . Dolayısıyla, herhangi bir x için, f (-x) \u003d -f (x) eşitliği, yani. fonksiyon garip.
Benzer şekilde, y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 fonksiyonlarının tek olduğu kanıtlanabilir.
Matematikteki yeni terimlerin çoğunlukla "dünyasal" bir kökene sahip olduğuna kendimizi defalarca ikna ettik, yani. bir şekilde açıklanabilirler. Bu hem çift hem de tek fonksiyonlar için geçerlidir. Bakınız: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 tek işlevler, y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 çift işlevlerdir. Ve genel olarak, y \u003d x "formunun herhangi bir işlevi için (aşağıda bu işlevleri özellikle inceleyeceğiz), burada n doğal bir sayıdır, şu sonuca varabiliriz: n değilse çift sayı, o zaman y \u003d x "işlevi tektir; n çift sayı ise, y \u003d xn işlevi çifttir.
Ne çift ne de tek olmayan fonksiyonlar da vardır. Örneğin, y \u003d 2x + 3 işlevi budur. Gerçekten de, f (1) \u003d 5 ve f (-1) \u003d 1. Gördüğünüz gibi, burada Dolayısıyla, ne f (-x) kimliği ) \u003d f ( x), ne de f(-x) = -f(x) kimliği.
Yani bir fonksiyon çift, tek veya hiçbiri olabilir.
Belirli bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğu sorusunun araştırılmasına genellikle parite fonksiyonunun incelenmesi denir.
Tanım 1 ve 2'de Konuşuyoruz fonksiyonun x ve -x noktalarındaki değerleri hakkında. Bu, fonksiyonun hem x noktasında hem de -x noktasında tanımlandığını varsayar. Bu, -x noktasının, x noktasıyla aynı zamanda fonksiyonun etki alanına ait olduğu anlamına gelir. Sayısal bir X kümesi, x öğelerinin her biri ile birlikte -x karşıt öğesini içeriyorsa, X'e simetrik küme denir. Diyelim ki (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) simetrik kümeler iken ; (∞;∞) simetrik kümelerdir ve , [–5;4] simetrik değildir.
- Fonksiyonların bile bir tanım alanı var mı - simetrik bir küme? Garip olanlar?
- Eğer D( f) bir asimetrik küme ise fonksiyonu nedir?
– Böylece, eğer fonksiyon de = f(X) çift veya tek ise tanım alanı D( f) simetrik bir kümedir. Fakat bir fonksiyonun tanım kümesi simetrik bir küme ise, o zaman çift mi yoksa tek mi olur?
- Yani tanım alanının simetrik bir kümesinin varlığı gerekli bir koşuldur, ancak yeterli bir koşul değildir.
– Peki parite fonksiyonunu nasıl araştırabiliriz? Bir algoritma yazmaya çalışalım.
Kayma
Parite için bir fonksiyonu incelemek için algoritma
1. Fonksiyonun tanım kümesinin simetrik olup olmadığını belirleyin. Değilse, fonksiyon ne çift ne de tektir. Evet ise, algoritmanın 2. adımına gidin.
2. için bir ifade yazın f(–X).
3. Karşılaştır f(–X).ve f(X):
- eğer f(–X).= f(X), o zaman fonksiyon eşittir;
- eğer f(–X).= – f(X), o zaman işlev tektir;
- eğer f(–X) ≠ f(X) ve f(–X) ≠ –f(X), o zaman fonksiyon ne çift ne de tektir.
Örnekler:
Parite fonksiyonunu araştırın a) de= x5 +; b) de= ; içinde) de= .
Çözüm.
a) h (x) \u003d x 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetrik küme.
2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),
3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e işlevi h(x)= x 5 + tek.
b) y =,
de = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetrik küme, yani fonksiyon ne çift ne de tek.
içinde) f(X) = , y = f(x),
1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?
seçenek 2
1. Verilen küme simetrik midir: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?
a); b) y \u003d x (5 - x 2).
a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d
Fonksiyonu Çiz de = f(X), eğer de = f(X) bir çift fonksiyondur.
Fonksiyonu Çiz de = f(X), eğer de = f(X) garip bir fonksiyondur.
karşılıklı kontrol kayma.
6. Ödev: №11.11, 11.21,11.22;
Parite özelliğinin geometrik anlamının kanıtı.
*** (KULLANIM seçeneğinin atanması).
1. Tek işlev y \u003d f (x) gerçek satırın tamamında tanımlanır. x değişkeninin negatif olmayan herhangi bir değeri için, bu fonksiyonun değeri g fonksiyonunun değeri ile çakışır( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). h( fonksiyonunun değerini bulun X) = X = 3.
7. Özetlemek
İşlev en önemli matematiksel kavramlardan biridir. İşlev - değişken bağımlılık de bir değişkenden x, eğer her bir değer X tek bir değerle eşleşir de. değişken X bağımsız değişken veya argüman denir. değişken de bağımlı değişken denir. Bağımsız değişkenin tüm değerleri (değişken x) fonksiyonun alanını oluşturur. Bağımlı değişkenin aldığı tüm değerler (değişken y), fonksiyonun aralığını oluşturur.
Fonksiyon Grafiği tüm noktaların kümesini çağır koordinat uçağı apsisi argümanın değerlerine eşit olan ve ordinatları fonksiyonun karşılık gelen değerlerine eşittir, yani değişkenin değerleri apsis boyunca çizilir x, ve değişkenin değerleri y ekseni boyunca çizilir y. Bir fonksiyonu çizebilmek için fonksiyonun özelliklerini bilmeniz gerekir. Fonksiyonun ana özellikleri aşağıda tartışılacaktır!
Bir fonksiyon grafiği çizmek için, programımızı - Graphing Functions Online'ı kullanmanızı öneririz. Bu sayfadaki materyali incelerken herhangi bir sorunuz olursa, bunları her zaman forumumuzda sorabilirsiniz. Ayrıca forumda matematik, kimya, geometri, olasılık teorisi ve diğer birçok konudaki problemleri çözmenize yardımcı olacaksınız!
Fonksiyonların temel özellikleri.
1) İşlev kapsamı ve işlev aralığı.
Bir fonksiyonun kapsamı, argümanın tüm geçerli geçerli değerlerinin kümesidir. x(değişken x) hangi işlev için y = f(x) tanımlı.
Bir fonksiyonun aralığı, tüm gerçek değerlerin kümesidir. y fonksiyonun kabul ettiğini belirtir.
İlköğretim matematikte, fonksiyonlar sadece gerçek sayılar kümesi üzerinde incelenir.
2) Fonksiyon sıfırları.
değerler X, hangi y=0, denir fonksiyon sıfırları. Bunlar, fonksiyonun grafiğinin x ekseni ile kesişme noktalarının apsisleridir.
3) Bir fonksiyonun işaret değişmezliği aralıkları.
Bir fonksiyonun işaret değişmezliği aralıkları, bu tür değer aralıklarıdır. x, fonksiyonun değerlerinin üzerinde y sadece pozitif veya sadece negatif denir fonksiyonun işaret sabitliği aralıkları.
4) Fonksiyonun monotonluğu.
Artan bir fonksiyon (belirli bir aralıkta), bu aralıktaki argümanın daha büyük bir değerinin fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık geldiği bir fonksiyondur.
Azalan işlev (bazı aralıklarda) - bu aralıktaki daha büyük bir argüman değerinin, işlevin daha küçük bir değerine karşılık geldiği bir işlev.
5) Çift (tek) fonksiyonlar.
Çift fonksiyon, tanım alanı orijine göre simetrik olan bir fonksiyondur. X f(-x) = f(x). Takvim eşit işlev y eksenine göre simetriktir.
Tek fonksiyon, tanım alanı orijine göre simetrik olan bir fonksiyondur. X tanım alanından eşitlik f(-x) = - f(x). Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir.
Eşit işlev
1) Tanım alanı (0; 0) noktasına göre simetriktir, yani a tanım alanına aittir, sonra nokta -a aynı zamanda tanım alanına da aittir.
2) Herhangi bir değer için x f(-x)=f(x)
3) Bir çift fonksiyonun grafiği Oy eksenine göre simetriktir.
Tek işlev aşağıdaki özelliklere sahiptir:
1) Tanım alanı (0; 0) noktasına göre simetriktir.
2) herhangi bir değer için x tanım alanına ait olan, eşitlik f(-x)=-f(x)
3) Tek bir fonksiyonun grafiği, orijine (0; 0) göre simetriktir.
Her fonksiyon çift veya tek değildir. Fonksiyonlar Genel görünüm ne çift ne de tektir.
6) Sınırlı ve sınırsız işlevler.
Böyle bir fonksiyon varsa, bir fonksiyona sınırlı denir. pozitif sayı M öyle ki |f(x)| x'in tüm değerleri için ≤ M . Böyle bir sayı yoksa, fonksiyon sınırsızdır.
7) Fonksiyonun periyodikliği.
f(x) fonksiyonu, fonksiyonun tanım kümesinden herhangi bir x için f(x+T) = f(x) olacak şekilde sıfır olmayan bir T sayısı varsa periyodiktir. Çok en küçük sayı fonksiyonun periyodu denir. Herşey trigonometrik fonksiyonlar periyodiktir. (Trigonometrik formüller).
İşlev föyle bir sayı varsa periyodik olarak adlandırılır. x tanım alanından eşitlik f(x)=f(x-T)=f(x+T). T fonksiyonun periyodudur.
Her periyodik fonksiyonun sonsuz sayıda periyodu vardır. Uygulamada, genellikle en küçük pozitif dönem kabul edilir.
değerler periyodik fonksiyon döneme eşit bir aralıktan sonra tekrarlayın. Bu, grafikler çizilirken kullanılır.