Ters trigonometrik fonksiyonlar. fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz
Kosinüs ile ters fonksiyon
y=cos x fonksiyonunun aralığı (bkz. Şekil 2) bir segmenttir. Aralıkta, fonksiyon süreklidir ve monoton olarak azalır.
Pirinç. 2
Bu, y=cos x fonksiyonunun tersi olan aralıkta bir fonksiyonun tanımlandığı anlamına gelir. Bu ters fonksiyona arkkosinüs denir ve y=arccos x ile gösterilir.
Tanım
|a|1 ise, a sayısının arkosinüsü, kosinüsü segmente ait olan açıdır; arccos a olarak adlandırılır.
Böylece, arccos a, aşağıdaki iki koşulu sağlayan bir açıdır: cos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a?r.
Örneğin, arccos, çünkü cos ve; arccos, çünkü çünkü.
y = arccos x fonksiyonu (Şekil 3) bir segment üzerinde tanımlanmıştır, aralığı bir segmenttir. Segmentte, y=arccos x fonksiyonu süreklidir ve p'den 0'a monoton olarak azalır (çünkü y=cos x segment üzerinde sürekli ve monoton olarak azalan bir fonksiyondur); segmentin sonunda uç değerlerine ulaşır: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. arccos 0 = olduğuna dikkat edin. y \u003d arccos x fonksiyonunun grafiği (bkz. Şekil 3), y \u003d cos x fonksiyonunun y \u003d x düz çizgisine göre grafiğine simetriktir.
Pirinç. 3
arccos(-x) = p-arccos x eşitliğinin gerçekleştiğini gösterelim.
Gerçekten de, tanım gereği, 0 ? arccos x? R. Son çift eşitsizliğin tüm kısımlarını (-1) ile çarparak - p? arccos x? 0. Son eşitsizliğin tüm kısımlarına p ekleyerek, 0? p-arccos x? R.
Böylece, arccos (-x) ve p - arccos x açılarının değerleri aynı segmente aittir. Bir doğru parçası üzerinde kosinüs monoton olarak azaldığı için, üzerinde eşit kosinüslere sahip iki farklı açı olamaz. arccos(-x) ve p-arccos x açılarının kosinüslerini bulun. Tanıma göre cos (arccos x) = - x, indirgeme formüllerine göre ve tanım gereği: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Yani açıların kosinüsleri eşittir, bu da açıların eşit olduğu anlamına gelir.
sinüsün tersi fonksiyon
[-p/2; p/2] segmentinde artan, sürekli olan ve segment [-1; bir]. Bu nedenle, segmentte [- p / 2; p/2] y=sin x fonksiyonunun tersi olan bir fonksiyon tanımlandı.
Pirinç. 6
Bu ters fonksiyon arksinüs olarak adlandırılır ve y=arcsin x ile gösterilir. a sayısının arksinüs tanımını sunuyoruz.
A sayısının yay sinüsü, sinüsü a sayısına eşit olan ve [-p / 2; p/2]; arcsin a olarak tanımlanır.
Böylece, arcsin a tatmin edici bir açıdır aşağıdaki koşullar: sin(arcsin a)=a, |a| ?bir; -r/2 ? arksin ha? p/2. Örneğin, sin ve [- p/2; p/2]; arcsin sin = ve [-p/2; p/2.
y=arcsin x fonksiyonu (Şekil 7) [- 1; 1], aralığı [-р/2;р/2] segmentidir. Segmentte [- 1; 1] y=arcsin x fonksiyonu süreklidir ve -p/2'den p/2'ye monoton olarak artar (bu, [-p/2; p/2] parçasındaki y=sin x fonksiyonunun sürekli olduğu gerçeğinden kaynaklanır ve monoton artan). En yüksek değer x \u003d 1: arcsin 1 \u003d p / 2'de ve en küçüğü - x \u003d -1'de: arcsin (-1) \u003d -r / 2'de alır. x \u003d 0'da fonksiyon sıfırdır: arcsin 0 \u003d 0.
y = arcsin x fonksiyonunun tek olduğunu gösterelim, yani. arksin(-x)= - herhangi bir x için arcsin x [ - 1; 1].
Gerçekten de, eğer |x| ?1, elimizde: - р/2 ? arksin x ? ? p/2. Yani açılar arcsin(-x) ve - arcsin x aynı segmente aittir [ - p/2; p/2.
Bunların sinüslerini bulun açılar: sin (yay (-x)) = - x (tanım gereği); y \u003d sin x işlevi tek olduğundan, sin (-arcsin x) \u003d - sin (arcsin x) \u003d - x. Böylece aynı aralığa [-p/2; p/2], eşittir, bu, açıların kendilerinin eşit olduğu anlamına gelir, yani. arksin (-x) = - arksin x. Bu nedenle, y=arcsin x işlevi tektir. y=arcsin x fonksiyonunun grafiği, orijine göre simetriktir.
Herhangi bir x [-p/2; p/2.
Gerçekten de, tanımı gereği -p/2 ? arcsin (günah x) ? р/2 ve koşuluna göre -р/2 ? x? p/2. Bu, x ve arksin (sin x) açılarının, y=sin x fonksiyonunun aynı monotonluk aralığına ait olduğu anlamına gelir. Bu tür açıların sinüsleri eşitse, açıların kendileri de eşittir. Bu açıların sinüslerini bulalım: x açısı için sin x, arksin (sin x) açısı için sin (yay (sin x)) = sin x var. Açıların sinüslerinin eşit olduğunu anladık, bu nedenle açılar eşittir, yani. arksin (sin x) = x. .
Pirinç. 7
Pirinç. 8
arcsin (sin|x|) fonksiyonunun grafiği, y=arcsin (sin x) grafiğinden olağan modulo dönüşümleri ile elde edilir (Şekil 8'de kesikli çizgi ile gösterilmiştir). İstenen y=arcsin (sin |x-/4|) grafiği, x ekseni boyunca /4 sağa kaydırılarak elde edilir (Şekil 8'de düz bir çizgi ile gösterilmiştir).
Teğete ters fonksiyon
Aralıktaki y=tg x işlevi tüm sayısal değerleri alır: E (tg x)=. Bu aralıkta sürekli ve monoton olarak artmaktadır. Bu nedenle, y = tg x fonksiyonunun tersi olan aralıkta bir fonksiyon tanımlanır. Bu ters fonksiyona ark tanjantı denir ve y = arktg x olarak gösterilir.
A sayısının yay tanjantı, tanjantı a'ya eşit olan aralıktaki açıdır. Böylece, arctg a aşağıdaki koşulları sağlayan bir açıdır: tg (yay a) = a ve 0 ? arctg bir ? R.
Bu nedenle, herhangi bir x sayısı her zaman y \u003d arctg x fonksiyonunun tek değerine karşılık gelir (Şekil 9).
Açıkçası, D (yay x) = , E (yay x) = .
y = arctg x işlevi artıyor çünkü y = tg x işlevi aralıkta artıyor. arctg(-x) = - arctgx, yani arktgx olduğunu kanıtlamak kolaydır. ark tanjantı olduğunu Tek işlev.
Pirinç. 9
y = arctg x fonksiyonunun grafiği, y = tg x fonksiyonunun grafiğine y = x düz çizgisine göre simetriktir, y = arctg x grafiği orijinden geçer (çünkü arctan 0 = 0) ve orijine göre simetriktir (tek bir fonksiyonun grafiği olarak).
x ise arctg (tg x) = x olduğu kanıtlanabilir.
Kotanjant ters fonksiyonu
Aralıktaki y = ctg x işlevi, aralıktaki tüm sayısal değerleri alır. Değer aralığı, hepsinin kümesiyle çakışıyor. gerçek sayılar. Aralıkta, y = ctg x işlevi süreklidir ve monoton olarak artar. Dolayısıyla, bu aralıkta y = ctg x fonksiyonunun tersi olan bir fonksiyon tanımlanır. Kotanjantın ters fonksiyonu ark kotanjantı olarak adlandırılır ve y = arcctg x olarak gösterilir.
a sayısının yay tanjantı, kotanjantı a'ya eşit olan aralığa ait açıdır.
Böylece, arcctg a aşağıdaki koşulları sağlayan bir açıdır: ctg (arcctg a)=a ve 0 ? arcctg bir ? R.
Ters fonksiyonun tanımından ve ark tanjantının tanımından D (arcctg x) = , E (arcctg x) = olduğu sonucu çıkar. Ark tanjantı azalan bir fonksiyondur çünkü y = ctg x fonksiyonu aralıkta azalır.
y \u003d arcctg x fonksiyonunun grafiği, y\u003e 0 R olduğundan Öküz eksenini geçmez. x \u003d 0 y \u003d arcctg 0 \u003d.
y = arcctg x fonksiyonunun grafiği Şekil 11'de gösterilmiştir.
Pirinç. 11
x'in tüm gerçek değerleri için özdeşliğin doğru olduğuna dikkat edin: arcctg(-x) = p-arcctg x.
sin, cos, tg ve ctg işlevlerine her zaman bir arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkotanjant eşlik eder. Biri diğerinin sonucudur ve trigonometrik ifadelerle çalışmak için fonksiyon çiftleri eşit derecede önemlidir.
Değerleri grafiksel olarak gösteren bir birim daire çizimini düşünün. trigonometrik fonksiyonlar.
OA, arcos OC, arctg DE ve arcctg MK yaylarını hesaplarsanız, hepsi α açısının değerine eşit olacaktır. Aşağıdaki formüller, ana trigonometrik fonksiyonlar ve bunlara karşılık gelen yaylar arasındaki ilişkiyi yansıtır.
Arksin özellikleri hakkında daha fazla bilgi edinmek için işlevini göz önünde bulundurmak gerekir. Takvim koordinatların merkezinden geçen asimetrik bir eğri şeklindedir.
Arksin özellikleri:
grafikleri karşılaştırırsak günah ve ark günah, iki trigonometrik fonksiyon ortak örüntüler bulabilir.
ark kosinüsü
a sayısının yayları, kosinüsü a'ya eşit olan α açısının değeridir.
eğri y = arkos x arksin x'in çizimini yansıtır, tek fark OY eksenindeki π/2 noktasından geçmesidir.
Arkosinüs fonksiyonunu daha ayrıntılı olarak düşünün:
- İşlev, [-1; bir].
- Arccos için ODZ - .
- Grafik tamamen I ve II çeyreklerinde bulunur ve fonksiyonun kendisi ne çift ne de tektir.
- x = 1 için Y = 0.
- Eğri tüm uzunluğu boyunca azalır. Ark kosinüsünün bazı özellikleri kosinüs fonksiyonu ile aynıdır.
Ark kosinüsünün bazı özellikleri kosinüs fonksiyonu ile aynıdır.
“Kemerler” hakkında böyle “ayrıntılı” bir çalışmanın okul çocukları için gereksiz görünmesi mümkündür. Aksi takdirde, ancak, bazı temel tip atamaları KULLANöğrencilerin kafasını karıştırabilir.
1. Egzersiz.Şekilde gösterilen işlevleri belirtin.
Cevap: pilav. 1 - 4, şekil 2 - 1.
Bu örnekte, vurgu küçük şeyler üzerindedir. Genellikle, öğrenciler grafiklerin oluşturulmasına ve fonksiyonların görünümüne çok dikkatsizdir. Gerçekten de, her zaman hesaplanan noktalardan oluşturulabiliyorsa, neden eğrinin şeklini ezberleyelim. Unutmayın ki test koşulları altında çizim için harcanan zaman basit bir görev daha karmaşık görevler için gereklidir.
arktanjant
Arctg a sayısı, α açısının öyle bir değeridir ki, tanjantı a'ya eşittir.
Ark tanjantının grafiğini düşünürsek, aşağıdaki özellikleri ayırt edebiliriz:
- Grafik sonsuzdur ve (- ∞; + ∞) aralığında tanımlanmıştır.
- Arktanjant tek bir fonksiyondur, bu nedenle arktan (- x) = - arktan x.
- x = 0 için Y = 0.
- Eğri, tüm tanım alanı boyunca artar.
İşte kısa Karşılaştırmalı analiz tablo olarak tg x ve arctg x.
ark tanjantı
a - sayısının Arcctg'si, kotanjantı a'ya eşit olacak şekilde (0; π) aralığından böyle bir α değeri alır.
Ark kotanjant fonksiyonunun özellikleri:
- Fonksiyon tanımlama aralığı sonsuzdur.
- Bölge izin verilen değerler aralıktır (0; π).
- F(x) ne çift ne de tektir.
- Uzunluğu boyunca, fonksiyonun grafiği azalır.
ctg x ve arctg x'i karşılaştırmak çok basittir, sadece iki çizim çizmeniz ve eğrilerin davranışını tanımlamanız yeterlidir.
Görev 2. Grafiği ve fonksiyonun şeklini ilişkilendirin.
Mantıksal olarak, grafikler her iki fonksiyonun da arttığını göstermektedir. Bu nedenle, her iki şekil de bir arktg işlevi gösterir. Ark tanjantının özelliklerinden x = 0 için y=0 olduğu bilinmektedir,
Cevap: pilav. 1 - 1, şek. 2-4.
Arcsin, arcos, arctg ve arcctg trigonometrik kimlikler
Daha önce, kemerler ve trigonometrinin ana işlevleri arasındaki ilişkiyi zaten tanımlamıştık. Bu bağımlılık, örneğin bir argümanın sinüsünün arksinüs, arksinüs yoluyla veya tam tersi yoluyla ifade edilmesine izin veren bir dizi formülle ifade edilebilir. Bu tür kimliklerin bilgisi, belirli örneklerin çözümünde faydalı olabilir.
Ayrıca arctg ve arcctg için oranlar da vardır:
Bir başka kullanışlı formül çifti, aynı açıdaki yayların ve arkların ve arkctg ve arkctg değerlerinin toplamının değerini belirler.
Problem çözme örnekleri
Trigonometri görevleri dört gruba ayrılabilir: hesapla Sayısal değer belirli bir ifade, bu fonksiyonun bir grafiğini oluşturun, tanım alanını veya ODZ'yi bulun ve örneği çözmek için analitik dönüşümler gerçekleştirin.
İlk tür görevleri çözerken, aşağıdaki eylem planına uymak gerekir:
Fonksiyon grafikleriyle çalışırken ana şey, özelliklerinin bilgisidir ve dış görünüşçarpık. Çözümler için trigonometrik denklemler ve eşitsizlikler kimlik tablolarına ihtiyaç vardır. Öğrenci ne kadar çok formül hatırlarsa, görevin cevabını bulması o kadar kolay olur.
Diyelim ki sınavda aşağıdaki türden bir denklemin cevabını bulmak gerekiyor:
İfadeyi doğru bir şekilde dönüştürür ve istediğiniz forma getirirseniz, çözümü çok basit ve hızlıdır. İlk olarak, arksin x'i denklemin sağ tarafına taşıyalım.
formülü hatırlarsak arksin (sinα) = α, o zaman iki denklem sistemini çözmeye yönelik cevap arayışını azaltabiliriz:
Model x üzerindeki kısıtlama, yine arcsin özelliklerinden kaynaklanmaktadır: ODZ for x [-1; bir]. ≠ 0 olduğunda, sistemin bir parçası ikinci dereceden denklem kökleri x1 = 1 ve x2 = - 1/a ile. a = 0 ile x 1'e eşit olacaktır.
Ters trigonometrik fonksiyonlarla ilgili ödevler genellikle okulda verilir. Final sınavları ve üzerinde Giriş sınavları bazı üniversitelerde. Bu konunun ayrıntılı bir çalışması ancak ders dışı sınıflarda veya seçmeli dersler. Önerilen kurs, matematik eğitimini geliştirmek için her öğrencinin yeteneklerini mümkün olduğunca tam olarak geliştirmek için tasarlanmıştır.
Kurs 10 saat için tasarlanmıştır:
1. arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x'in fonksiyonları (4 saat).
2. Ters trigonometrik fonksiyonlarda işlemler (4 saat).
3. Trigonometrik fonksiyonlarda ters trigonometrik işlemler (2 saat).
Ders 1 (2 saat) Konu: Fonksiyonlar y = yaysin x, y = yaylar x, y = yaytg x, y = yayctg x.
Amaç: Bu konunun tam kapsamı.
1. İşlev y \u003d arksin x.
a) Segmentteki y \u003d sin x işlevi için, arksinüs olarak adlandırmayı ve aşağıdaki gibi göstermeyi kabul ettiğimiz ters (tek değerli) bir işlev vardır: y \u003d yaylar x. Ters fonksiyonun grafiği, I - III koordinat açılarının açıortayına göre ana fonksiyonun grafiğiyle simetriktir.
Fonksiyon özellikleri y = arcsin x .
1) Tanım kapsamı: segment [-1; bir];
2) Değişim alanı: kesim ;
3) Fonksiyon y = yaysin x tek: yaysin (-x) = - yaysin x;
4) y = arcsin x fonksiyonu monoton olarak artıyor;
5) Grafik orijinde Ox, Oy eksenlerini kesiyor.
Örnek 1. a = arcsin bulun. Bu örnek aşağıdaki gibi ayrıntılı olarak formüle edilebilir: sinüsü eşit olan ile ile aralığında yer alan böyle bir a argümanı bulmak.
Çözüm. Sinüsü olan sayısız argüman vardır, örneğin: vb. Ama biz sadece aralıktaki argümanla ilgileniyoruz. Bu argüman olacaktır. Yani, .
Örnek 2. Bul .Çözüm.Örnek 1'dekiyle aynı şekilde tartışarak, şunu elde ederiz: .
b) sözlü egzersizler. Bul: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin 0 Örnek cevap: , çünkü . İfadeler anlamlı mı: ; arksin 1.5; ?
c) Artan sırada düzenleyin: arksin, arksin (-0.3), arksin 0.9.
II. Fonksiyonlar y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (benzer şekilde).
Ders 2 (2 saat) Konu: Ters trigonometrik fonksiyonlar, grafikleri.
Hedef: açık bu ders trigonometrik fonksiyonların değerlerini belirleme, D (y), E (y) ve gerekli dönüşümleri kullanarak ters trigonometrik fonksiyonları çizme becerilerini geliştirmek gerekir.
Bu derste, tanım alanını, türdeki fonksiyonların kapsamını bulmayı içeren alıştırmalar yapın: y = arcsin , y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos .
Fonksiyonların grafiklerini oluşturmak gereklidir: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arksin 2x; c) y \u003d arksin;
d) y \u003d arksin; e) y = arksin; f) y = arksin; g) y = | arksin | .
Örnek. y = arccos'u çizelim
Aşağıdaki alıştırmaları ödevinize dahil edebilirsiniz: fonksiyonların grafiklerini oluşturun: y = arccos , y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .
Ters fonksiyonların grafikleri
Ders #3 (2 saat) Konu:
Ters trigonometrik fonksiyonlar üzerinde işlemler.Amaç: ters trigonometrik fonksiyonlar için temel ilişkileri tanıtarak matematiksel bilgiyi genişletmek (bu, matematiksel hazırlık için artan gereksinimleri olan uzmanlıklara başvuranlar için önemlidir).
Ders materyali.
Ters trigonometrik fonksiyonlarda bazı basit trigonometrik işlemler: günah (arcsin x) \u003d x, ben xi? bir; çünkü (arсcos x) = x, ben xi? bir; tg (yay x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.
Egzersizler.
a) tg (1.5 + arktg 5) = - ctg (yay 5) = .
ctg (arctgx) = ; tg (yay x) = .
b) cos (+ arcsin 0.6) = - cos (arcsin 0.6). Yaylar 0,6 \u003d a, günah a \u003d 0,6 olsun;
cos(yay x) = ; günah (arccos x) = .
Not: a = arcsin x sağladığı için kökün önüne “+” işaretini alıyoruz.
c) günah (1.5 + arcsin) Cevap:;
d) ctg ( + arctg 3) Cevap: ;
e) tg (- arcctg 4) Cevap: .
f) cos (0.5 + arccos) . Cevap: .
Hesaplamak:
a) günah (2 arctan 5) .
arktg 5 = a olsun, sonra günah 2 a = veya günah(2 arctan 5) = ;
b) cos (+ 2 arcsin 0.8) Cevap: 0.28.
c) arktg + arktg.
a = yaytg, b = yaytg olsun,
sonra tan(a + b) = .
d) günah (arksin + arksin).
e) Tüm x I [-1; 1] gerçek yaylar x + yaylar x = .
Kanıt:
arcsin x = - arccos x
günah (arcsin x) = günah (- arccos x)
x = cos (yaylar x)
Bağımsız bir çözüm için: sin (arccos ), cos (arcsin ), cos (arcsin ()), günah (arctg (- 3)), tg (arccos ) , ctg (arccos ).
Bir ev çözümü için: 1) günah (arcsin 0.6 + arctg 0); 2) arksin + arksin; 3) ctg ( - arccos 0.6); 4) cos (2 arkctg 5) ; 5) günah (1.5 - arksin 0.8); 6) arktg 0,5 - arktg 3.
Ders No. 4 (2 saat) Konu: Ters trigonometrik fonksiyonlar üzerinde işlemler.
Amaç: Bu derste daha karmaşık ifadelerin dönüştürülmesinde oranların kullanımını göstermek.
Ders materyali.
SÖZLÜ:
a) günah (arccos 0.6), cos (arcsin 0.8);
b) tg (yay 5), ctg (yay 5);
c) günah (yay -3), cos (yay ());
d) tg (arccos ), ctg (arccos()).
YAZILI:
1) çünkü (arksin + arksin + arksin).
2) cos (arctg 5 - arccos 0.8) = cos (arctg 5) cos (arctg 0.8) + sin (arctg 5) sin (arctg 0.8) =
3) tg (- yaysin 0.6) = - tg (arksin 0.6) =
4)
Bağımsız çalışma, malzemenin asimilasyon seviyesini belirlemeye yardımcı olacaktır.
1) tg ( arktg 2 - arktg ) 2) çünkü ( - arctg2) 3) arcsin + arccos |
1) çünkü (arksin + arksin) 2) günah (1.5 - arctg 3) 3) arkctg3 - arktg 2 |
İçin ev ödevi sunabilir:
1) ctg (yay + yay + yay + yay); 2) günah 2 (yay 2 - arkctg ()); 3) günah (2 arctg + tg ( arcsin )); 4) günah (2 arctan); 5) tg ( (arsin ))
Ders No. 5 (2h) Konu: Trigonometrik fonksiyonlarda ters trigonometrik işlemler.
Amaç: Öğrencilerin trigonometrik fonksiyonlar üzerindeki ters trigonometrik işlemleri anlamalarını sağlamak, çalışılan teorinin anlamlılığını artırmaya odaklanmak.
Bu konu çalışılırken ezberlenecek teorik materyal miktarının sınırlı olduğu varsayılır.
Ders için malzeme:
y = arcsin (sin x) fonksiyonunu inceleyerek ve çizerek yeni materyal öğrenmeye başlayabilirsiniz.
3. Her x I R, y I ile ilişkilidir, yani.<= y <= такое, что sin y = sin x.
4. İşlev tektir: günah (-x) \u003d - günah x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).
6. Grafik y = arksin (sin x) üzerinde:
a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .
b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо
günah y \u003d günah ( - x) \u003d günah, 0<= - x <= .
Yani,
üzerinde y = arcsin (sin x) oluşturduktan sonra, [- ; 0], bu işlevin tuhaflığını dikkate alarak. Periyodikliği kullanarak, tüm sayısal eksene devam ediyoruz.
Sonra bazı oranları yazın: arcsin (sin a) = bir if<= a <= ; arccos (cos a ) = 0 ise<= a <= ; arctg (tg a) = eğer bir< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .
Ve aşağıdaki alıştırmaları yapın: a) arccos (sin 2) Cevap: 2 - ; b) arksin (cos 0.6) Cevap: - 0.1; c) arctg (tg 2) Cevap: 2 -;
d) arcctg (tg 0.6) Cevap: 0.9; e) arccos (cos ( - 2)) Cevap: 2 -; f) arksin (günah (- 0.6)). Cevap: - 0.6; g) arktg (tg 2) = arktg (tg (2 -)). Cevap: 2 - ; h) arkctg (tg 0.6). Cevap: - 0.6; - arktanks; e) arccos + arccos
Tanım ve gösterim
arksinüs (y = arksin x) sinüsün ters fonksiyonudur (x = günah -1 ≤ x ≤ 1 ve -π değerleri kümesi /2 ≤ y ≤ π/2.günah(yay x) = x ;
arksin(sin x) = x .
Arksine bazen şu şekilde atıfta bulunulur:
.
arksinüs fonksiyonunun grafiği
y = fonksiyonunun grafiği arksin x
Arksin grafiği, sinüs grafiğinden apsis ve ordinat eksenlerinin değiştirilmesiyle elde edilir. Belirsizliği ortadan kaldırmak için, değer aralığı, işlevin monoton olduğu aralıkla sınırlıdır. Bu tanım arksinüsünün ana değeri olarak adlandırılır.
arkkozin, arkos
Tanım ve gösterim
Ark kosinüsü (y = arccos x) kosinüsün tersidir (x = Rahat). Kapsamı var -1 ≤ x ≤ 1 ve birçok değer 0 ≤ y ≤ π.çünkü(yay x) = x ;
arccos(cos x) = x .
Arkozin bazen şu şekilde ifade edilir:
.
arkkosinüs fonksiyonunun grafiği
y = fonksiyonunun grafiği arccos x
Arkosinüs grafiği, apsis ve ordinat eksenlerinin yer değiştirmesi ile kosinüs grafiğinden elde edilir. Belirsizliği ortadan kaldırmak için, değer aralığı, işlevin monoton olduğu aralıkla sınırlıdır. Bu tanım ark kosinüsünün ana değeri olarak adlandırılır.
parite
Arksin fonksiyonu tektir:
arksin(-x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arksin x
Arccosine işlevi çift veya tek değil:
arccos(-x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - yaylar x ≠ ± yaylar x
Özellikler - aşırılık, artış, azalma
Arksin ve arkosin fonksiyonları tanım alanlarında süreklidir (süreklilik kanıtına bakınız). Arksin ve arkkozinin ana özellikleri tabloda sunulmaktadır.
y= arksin x | y= arccos x | |
Kapsam ve süreklilik | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
Değer aralığı | ||
Artan azalan | monoton olarak artar | monoton olarak azalır |
Maksimumlar | ||
düşük | ||
Sıfırlar, y= 0 | x= 0 | x= 1 |
y ekseni ile kesişme noktaları, x = 0 | y= 0 | y = π/ 2 |
arksinüs ve arkkozin tablosu
Bu tablo, argümanın bazı değerleri için derece ve radyan cinsinden arksinüs ve arkosin değerlerini gösterir.
x | arksin x | arccos x | ||
derece | memnun. | derece | memnun. | |
- 1 | - 90° | - | 180° | π |
- | - 60° | - | 150° | |
- | - 45° | - | 135 ° | |
- | - 30° | - | 120° | |
0 | 0° | 0 | 90° | |
30° | 60° | |||
45° | 45° | |||
60° | 30° | |||
1 | 90° | 0° | 0 |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
formüller
Ayrıca bakınız: Ters trigonometrik fonksiyonlar için formüllerin türetilmesiToplam ve fark formülleri
veya
ve
ve
veya
ve
ve
de
de
de
de
Logaritma, karmaşık sayılar açısından ifadeler
Ayrıca bakınız: formüllerin türetilmesiHiperbolik fonksiyonlar cinsinden ifadeler
türevler
;
.
Bkz. arksinüs ve arkkozin türevlerinin türetilmesi > > >
Daha yüksek siparişlerin türevleri:
,
derece polinomu nerede . Formüllerle belirlenir:
;
;
.
Bkz. arksinüs ve arkkozin yüksek dereceli türevlerinin türetilmesi > > >
integraller
x = ikamesi yaparız günah. -π/ olduğunu dikkate alarak parçalara göre entegre ederiz. 2 ≤ t ≤ π/2,
maliyet t ≥ 0:
.
Arkozini arksinüs cinsinden ifade ederiz:
.
Seri genişletme
|x| için< 1
aşağıdaki ayrışma gerçekleşir:
;
.
ters fonksiyonlar
Arksin ve arkkozinin tersi, sırasıyla sinüs ve kosinüs'tür.
Aşağıdaki formüller tanım alanı boyunca geçerlidir:
günah(yay x) = x
çünkü(yay x) = x .
Aşağıdaki formüller yalnızca arksinüs ve arkkozin değer kümesinde geçerlidir:
arksin(sin x) = x de
arccos(cos x) = x.
Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Yüksek Öğretim Kurumlarının Mühendisleri ve Öğrencileri için Matematik El Kitabı, Lan, 2009.
Ters trigonometrik fonksiyonlar arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkotanjanttır.
Önce tanımları verelim.
ark sinüs Veya sinüsü a sayısına eşit olan doğru parçasına ait böyle bir açı olduğunu söyleyebiliriz.
ark kosinüsü a sayısına öyle bir sayı denir ki
arktanjant a sayısına öyle bir sayı denir ki
ark tanjantı a sayısına öyle bir sayı denir ki
Bizim için bu dört yeni fonksiyon hakkında detaylı olarak konuşalım - ters trigonometrik.
Unutma, daha önce tanışmıştık.
Örneğin, a'nın aritmetik karekökü, karesi a olan negatif olmayan bir sayıdır.
b sayısının a tabanına göre logaritması bir c sayısıdır.
nerede
Matematikçilerin neden yeni fonksiyonlar "icat etmeleri" gerektiğini anlıyoruz. Örneğin, bir denklemin çözümleri vardır ve onları özel aritmetik karekök sembolü olmadan yazamazdık.
Örneğin böyle bir denkleme çözümler yazmak için logaritma kavramının gerekli olduğu ortaya çıktı: Bu denklemin çözümü irrasyonel bir sayıdır Bu, 7'yi elde etmek için 2'nin yükseltilmesi gereken üsdür.
Trigonometrik denklemlerde de durum aynıdır. Örneğin, denklemi çözmek istiyoruz.
Çözümlerinin, ordinatı eşit olan trigonometrik daire üzerindeki noktalara karşılık geldiği açıktır ve bunun sinüsün tablo değeri olmadığı açıktır. Çözümler nasıl yazılır?
Burada sinüsü belirli bir a sayısına eşit olan açıyı gösteren yeni bir fonksiyon olmadan yapamayız. Evet, herkes zaten tahmin etti. Bu arksinüs.
Sinüsü eşit olan doğru parçasına ait açı, dörtte birinin yay sinüsüdür. Ve böylece, denklemimizin trigonometrik çember üzerindeki doğru noktaya karşılık gelen çözüm serisi,
Ve denklemimizin ikinci çözüm serisi
Trigonometrik denklemleri çözme hakkında daha fazla bilgi -.
Açıklığa kavuşturulmaya devam ediyor - neden yay tanımında bunun segmente ait bir açı olduğu belirtiliyor?
Gerçek şu ki, örneğin sinüsü olan sonsuz sayıda açı vardır. İçlerinden birini seçmemiz gerekiyor. Segmentte yatanı seçiyoruz.
Trigonometrik daireye bir göz atın. Segmentte her köşenin sinüsün belirli bir değerine ve yalnızca bir tanesine karşılık geldiğini göreceksiniz. Ve tam tersi, segmentteki sinüsün herhangi bir değeri, segment üzerindeki açının tek bir değerine karşılık gelir. Bu, segmentte değer alan bir fonksiyon tanımlayabileceğiniz anlamına gelir.
Tanımı tekrar edelim:
a'nın ark sinüsü sayıdır , öyle ki
Tanımlama: Yay tanım alanı bir segmenttir.Değer aralığı bir segmenttir.
"Arxins sağda yaşıyor" ifadesini hatırlayabilirsiniz. Bunu sadece sağda değil, segmentte de unutmuyoruz.
Fonksiyonun grafiğini çizmeye hazırız
Her zamanki gibi yatay eksende x değerlerini, dikey eksende y değerlerini işaretliyoruz.
Bu nedenle x, -1 ile 1 arasında olduğu için.
Bu nedenle, y = arcsin x fonksiyonunun tanım kümesi segmenttir
y segmentine ait dedik. Bu, y = arcsin x fonksiyonunun aralığının segment olduğu anlamına gelir.
y=arcsinx fonksiyonunun grafiğinin tamamının çizgilerle sınırlanmış alana yerleştirildiğine ve
Her zaman olduğu gibi, bilinmeyen bir işlevi çizerken, bir tabloyla başlayalım.
Tanım olarak, sıfırın ark sinüsü, sinüsü sıfır olan segmentten bir sayıdır. Bu numara ne? - Bunun sıfır olduğu açık.
Benzer şekilde, birin ark sinüsü, sinüsü bire eşit olan segmentteki sayıdır. Açıkçası bu
Devam ediyoruz: - bu, sinüsü eşit olan segmentten bir sayıdır. Evet
0 | |||||
0 |
Bir fonksiyon grafiği oluşturuyoruz
İşlev Özellikleri
1. Tanım alanı
2. Değer aralığı
3. , yani bu fonksiyon tektir. Grafiği orijine göre simetriktir.
4. Fonksiyon monoton olarak artıyor. -'e eşit en küçük değeri 'de elde edilir ve en büyük değeri 'de 'de elde edilir.
5. Fonksiyon grafikleri ile ortak noktaları nelerdir? Tıpkı fonksiyonun sağ dalı ve fonksiyonun grafiği gibi veya üstel ve logaritmik fonksiyonların grafikleri gibi "aynı kalıba göre yapıldığını" düşünmüyor musunuz?
Sıradan bir sinüs dalgasından küçük bir parça kesip sonra dikey olarak çevirdiğimizi hayal edin - ve arksinüs grafiğini elde ederiz.
Bu aralıktaki fonksiyon için argümanın değerleri olduğu gerçeği, o zaman arksinüs için fonksiyonun değerleri olacaktır. Böyle olması gerekiyor! Sonuçta, sinüs ve ark sinüs karşılıklı olarak ters fonksiyonlardır. Karşılıklı olarak ters fonksiyon çiftlerinin diğer örnekleri, for ve , üstel ve logaritmik fonksiyonlardır.
Karşılıklı ters fonksiyonların grafiklerinin düz çizgiye göre simetrik olduğunu hatırlayın.
Benzer şekilde, fonksiyonu tanımlarız.Sadece ihtiyacımız olan segment, açının her değerinin kendi kosinüs değerine karşılık geldiği ve kosinüsü bilerek, açıyı benzersiz bir şekilde bulabiliriz. bir kesime ihtiyacımız var
a'nın ark kosinüsü sayıdır , öyle ki
Hatırlaması kolay: “yay kosinüsleri yukarıdan yaşıyor” ve sadece yukarıdan değil, bir segmentte
Tanım: Ark tanım alanı kosinüs - segment Değer aralığı - segment
Açıkçası, segment seçilmiştir, çünkü üzerinde her kosinüs değeri yalnızca bir kez alınır. Başka bir deyişle, -1'den 1'e kadar olan her kosinüs değeri, aralıktan tek bir açı değerine karşılık gelir.
Arkosinüs ne çift ne de tek fonksiyondur. Bunun yerine, aşağıdaki bariz ilişkiyi kullanabiliriz:
fonksiyonu çizelim
Fonksiyonun monoton olduğu, yani her bir değerini tam olarak bir kez aldığı bir bölüme ihtiyacımız var.
Bir segment seçelim. Bu segmentte fonksiyon monoton olarak azalır, yani kümeler arasındaki yazışmalar bire birdir. Her x değerinin kendi y değeri vardır. Bu segmentte, kosinüsün tersi, yani y \u003d arccosx işlevi vardır.
Ark kosinüs tanımını kullanarak tabloyu doldurun.
Aralığa ait x sayısının arkosinusu, aralığa ait olan y sayısı olacaktır.
Yani, çünkü;
Çünkü ;
Çünkü ,
Çünkü ,
0 | |||||
0 |
İşte arkozinin grafiği:
İşlev Özellikleri
1. Tanım alanı
2. Değer aralığı
Bu genel bir işlevdir - ne çift ne de tek.
4. Fonksiyon kesinlikle azalıyor. y \u003d arccosx işlevi, 'ye eşit en büyük değeri alır ve sıfıra eşit en küçük değeri alır
5. Fonksiyonlar ve karşılıklı olarak terstir.
Sonrakiler arktanjant ve arkotanjanttır.
a'nın ark tanjantı sayıdır , öyle ki
Tanım: . Ark tanjantının tanım alanı aralıktır.Değer aralığı aralıktır.
Aralığın uçları neden ark tanjantının tanımında hariç tutulur? Tabii ki, çünkü bu noktalardaki tanjant tanımlı değil. Bu açılardan herhangi birinin tanjantına eşit bir sayı yoktur.
Ark tanjantını çizelim. Tanıma göre, x sayısının yay tanjantı, aralığına ait bir y sayısıdır, öyle ki,
Bir grafiğin nasıl oluşturulacağı zaten açıktır. Arktanjant, tanjantın ters fonksiyonu olduğundan, aşağıdaki gibi ilerleyeceğiz:
Fonksiyon grafiğinin, x ve y arasındaki yazışmanın bire bir olduğu böyle bir bölümünü seçiyoruz. Bu, C aralığıdır. Bu bölümde, fonksiyon, değer alır.
Daha sonra ters fonksiyon, yani fonksiyon, tanım alanı, tüm sayı doğrusu olacak, değer aralığı ve aralığıdır.
Anlamına geliyor,
Anlamına geliyor,
Anlamına geliyor,
Ama x sonsuz büyükse ne olur? Başka bir deyişle, x artı sonsuz olduğunda bu fonksiyon nasıl davranır?
Kendimize şu soruyu sorabiliriz: aralıktaki hangi sayı için teğetin değeri sonsuzluğa eğilimlidir? - Açıkçası, bu
Böylece, sonsuz büyük x değerleri için, yay tanjantının grafiği yatay asimptota yaklaşır
Benzer şekilde, x eksi sonsuzluğa yöneldiği için, yay tanjantının grafiği yatay asimptota yaklaşır.
Şekilde - fonksiyonun grafiği
İşlev Özellikleri
1. Tanım alanı
2. Değer aralığı
3. İşlev tuhaf.
4. Fonksiyon kesinlikle artıyor.
6. Fonksiyonlar ve karşılıklı olarak terstir - elbette, fonksiyon aralıkta düşünüldüğünde
Benzer şekilde, ark kotanjantının fonksiyonunu tanımlar ve grafiğini çizeriz.
a'nın ark tanjantı sayıdır , öyle ki
İşlev Grafiği:
İşlev Özellikleri
1. Tanım alanı
2. Değer aralığı
3. İşlev genel bir biçimdedir, yani ne çift ne de tek.
4. Fonksiyon kesinlikle azalıyor.
5. Verilen fonksiyonun doğrudan ve - yatay asimptotları.
6. Fonksiyonlar ve aralıkta düşünülürse karşılıklı olarak terstirler