garip tanımı. Fonksiyon özellikleri
İşlev en önemli matematiksel kavramlardan biridir. İşlev - değişken bağımlılık de bir değişkenden x, eğer her bir değer X tek bir değerle eşleşir de. değişken X bağımsız değişken veya argüman denir. değişken de bağımlı değişken denir. Bağımsız değişkenin tüm değerleri (değişken x) fonksiyonun alanını oluşturur. Bağımlı değişkenin aldığı tüm değerler (değişken y), fonksiyonun aralığını oluşturur.
Fonksiyon Grafiği tüm noktaların kümesini çağır koordinat uçağı apsisi argümanın değerlerine eşit olan ve ordinatları fonksiyonun karşılık gelen değerlerine eşittir, yani değişkenin değerleri apsis boyunca çizilir x, ve değişkenin değerleri y ekseni boyunca çizilir y. Bir fonksiyonu çizebilmek için fonksiyonun özelliklerini bilmeniz gerekir. Fonksiyonun ana özellikleri aşağıda tartışılacaktır!
Bir fonksiyon grafiği çizmek için, programımızı - Graphing Functions Online'ı kullanmanızı öneririz. Bu sayfadaki materyali incelerken herhangi bir sorunuz olursa, bunları her zaman forumumuzda sorabilirsiniz. Ayrıca forumda matematik, kimya, geometri, olasılık teorisi ve diğer birçok konudaki problemleri çözmenize yardımcı olacaksınız!
Fonksiyonların temel özellikleri.
1) İşlev kapsamı ve işlev aralığı.
Bir fonksiyonun kapsamı, argümanın tüm geçerli geçerli değerlerinin kümesidir. x(değişken x) hangi işlev için y = f(x) tanımlı.
Bir fonksiyonun aralığı, tüm gerçek değerlerin kümesidir. y fonksiyonun kabul ettiğini belirtir.
İlköğretim matematikte, fonksiyonlar sadece gerçek sayılar kümesi üzerinde incelenir.
2) Fonksiyon sıfırları.
değerler X, hangi y=0, denir fonksiyon sıfırları. Bunlar, fonksiyonun grafiğinin x ekseni ile kesişme noktalarının apsisleridir.
3) Bir fonksiyonun işaret değişmezliği aralıkları.
Bir fonksiyonun işaret değişmezliği aralıkları, bu tür değer aralıklarıdır. x, fonksiyonun değerlerinin üzerinde y sadece pozitif veya sadece negatif denir fonksiyonun işaret sabitliği aralıkları.
4) Fonksiyonun monotonluğu.
Artan bir fonksiyon (belirli bir aralıkta), bu aralıktaki argümanın daha büyük bir değerinin fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık geldiği bir fonksiyondur.
Azalan işlev (bazı aralıklarda) - bu aralıktaki daha büyük bir argüman değerinin, işlevin daha küçük bir değerine karşılık geldiği bir işlev.
5) Çift (tek) fonksiyonlar.
Çift fonksiyon, tanım alanı orijine göre simetrik olan bir fonksiyondur. X f(-x) = f(x). Takvim eşit işlev y eksenine göre simetriktir.
Tek fonksiyon, tanım alanı orijine göre simetrik olan bir fonksiyondur. X tanım alanından eşitlik f(-x) = - f(x). Takvim Tek işlev orijine göre simetriktir.
Eşit işlev
1) Tanım alanı (0; 0) noktasına göre simetriktir, yani a tanım alanına aittir, sonra nokta -a aynı zamanda tanım alanına da aittir.
2) Herhangi bir değer için x f(-x)=f(x)
3) Bir çift fonksiyonun grafiği Oy eksenine göre simetriktir.
Tek işlev aşağıdaki özelliklere sahiptir:
1) Tanım alanı (0; 0) noktasına göre simetriktir.
2) herhangi bir değer için x tanım alanına ait olan, eşitlik f(-x)=-f(x)
3) Tek bir fonksiyonun grafiği, orijine (0; 0) göre simetriktir.
Her fonksiyon çift veya tek değildir. Fonksiyonlar Genel görünüm ne çift ne de tektir.
6) Sınırlı ve sınırsız işlevler.
Böyle bir fonksiyon varsa, bir fonksiyona sınırlı denir. pozitif sayı M öyle ki |f(x)| x'in tüm değerleri için ≤ M. Böyle bir sayı yoksa, fonksiyon sınırsızdır.
7) Fonksiyonun periyodikliği.
f(x) fonksiyonu, fonksiyonun tanım kümesinden herhangi bir x için f(x+T) = f(x) olacak şekilde sıfır olmayan bir T sayısı varsa periyodiktir. Çok en küçük sayı fonksiyonun periyodu denir. Herşey trigonometrik fonksiyonlar periyodiktir. (Trigonometrik formüller).
İşlev föyle bir sayı varsa periyodik olarak adlandırılır. x tanım alanından eşitlik f(x)=f(x-T)=f(x+T). T fonksiyonun periyodudur.
Her periyodik fonksiyonun sonsuz sayıda periyodu vardır. Uygulamada, genellikle en küçük pozitif dönem kabul edilir.
Periyodik fonksiyonun değerleri, periyoda eşit bir aralıktan sonra tekrarlanır. Bu, grafikler çizilirken kullanılır.
Gösteriyi Gizle
Bir işlevi ayarlamanın yolları
Fonksiyon şu formülle verilsin: y=2x^(2)-3 . Bağımsız değişken x'e herhangi bir değer atayarak, bağımlı değişken y'nin karşılık gelen değerlerini hesaplamak için bu formülü kullanabilirsiniz. Örneğin, x=-0.5 ise, formülü kullanarak, y'nin karşılık gelen değerinin y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5 olduğunu elde ederiz.
y=2x^(2)-3 formülündeki x bağımsız değişkeni tarafından alınan herhangi bir değer verildiğinde, buna karşılık gelen yalnızca bir işlev değeri hesaplanabilir. İşlev bir tablo olarak temsil edilebilir:
x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 |
Bu tabloyu kullanarak, -1 argümanının değeri için -3 fonksiyonunun değerinin karşılık geleceğini anlayabilirsiniz; ve x=2 değeri y=0'a karşılık gelecektir, vb. Tablodaki her bağımsız değişken değerinin yalnızca bir işlev değerine karşılık geldiğini bilmek de önemlidir.
Grafikler kullanılarak daha fazla fonksiyon ayarlanabilir. Grafik yardımıyla, fonksiyonun hangi değerinin belirli bir x değeri ile ilişkili olduğu belirlenir. Çoğu zaman, bu, işlevin yaklaşık bir değeri olacaktır.
Çift ve tek işlev
işlev eşit işlev, etki alanındaki herhangi bir x için f(-x)=f(x) olduğunda. Böyle bir fonksiyon Oy eksenine göre simetrik olacaktır.
işlev Tek işlev etki alanındaki herhangi bir x için f(-x)=-f(x) olduğunda. Böyle bir fonksiyon O (0;0) orijini etrafında simetrik olacaktır.
işlev bile değil, ne de tuhaf ve aradı genel işlev eksen veya orijine göre simetrisi olmadığında.
Parite için aşağıdaki fonksiyonu inceliyoruz:
f(x)=3x^(3)-7x^(7)
D(f)=(-\infty ; +\infty) orijin hakkında simetrik bir tanım alanı ile. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).
Dolayısıyla, f(x)=3x^(3)-7x^(7) işlevi tektir.
periyodik fonksiyon
f(x+T)=f(x-T)=f(x)'in herhangi bir x için doğru olduğu tanım kümesindeki y=f(x) işlevine denir. periyodik fonksiyon periyodu ile T \neq 0 .
Uzunluğu T olan apsis ekseninin herhangi bir segmentinde fonksiyonun grafiğinin tekrarı.
Fonksiyonun pozitif olduğu aralıklar, yani f (x) > 0 - apsis ekseninin, apsis ekseninin üzerinde bulunan fonksiyon grafiğinin noktalarına karşılık gelen bölümleri.
f(x) > 0 açık (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)
Fonksiyonun negatif olduğu boşluklar, yani f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.
f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \kupa (x_(2); x_(3))
Fonksiyon sınırlaması
aşağıdan sınırlı Herhangi bir x \in X için f(x) \geq A eşitsizliğinin geçerli olduğu bir A sayısı olduğunda, y=f(x), x \in X işlevini çağırmak gelenekseldir.
Aşağıda sınırlandırılmış bir fonksiyon örneği: y=\sqrt(1+x^(2)) çünkü herhangi bir x için y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 .
yukarıdan sınırlanmış y=f(x), x \in X işlevi, herhangi bir x \in X için f(x) \neq B eşitsizliğinin geçerli olduğu bir B sayısı varsa çağrılır.
Aşağıda sınırlandırılmış bir fonksiyon örneği: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 olduğundan herhangi bir x \in [-1;1] için.
Sınırlı Eşitsizliğin \left | f(x) \sağ | \neq K herhangi bir x için \in X .
Sınırlı fonksiyon örneği: y=\sin x tam sayı doğrusunda sınırlıdır çünkü \sol | \sin x \sağ | \neq 1.
Artan ve azalan fonksiyon
Söz konusu aralıkta artan bir fonksiyondan şu şekilde bahsetmek adettendir: artan fonksiyon daha büyük bir x değeri, y=f(x) fonksiyonunun daha büyük bir değerine karşılık geldiğinde. Buradan, x_(1) ve x_(2) argümanının ve x_(1) > x_(2) argümanının dikkate alınan aralıktan iki keyfi değeri alındığında, y(x_(1)) olacağı ortaya çıkıyor. > y(x_(2)) .
İncelenen aralıkta azalan bir fonksiyona denir. azalan fonksiyon daha büyük bir x değeri, y(x) fonksiyonunun daha küçük bir değerine karşılık geldiğinde. Buradan, x_(1) ve x_(2) argümanının ve x_(1) > x_(2) argümanının dikkate alınan aralıktan iki keyfi değeri alındığında, y(x_(1)) olacağı ortaya çıkıyor.< y(x_{2}) .
Fonksiyon kökleri F=y(x) fonksiyonunun apsis ekseniyle kesiştiği noktaları adlandırmak gelenekseldir (bunlar y(x)=0 denkleminin çözülmesinin bir sonucu olarak elde edilir).
a) Bir çift fonksiyon x > 0 için artarsa, x için azalır< 0
b) x > 0 için çift fonksiyon azaldığında, x için artar< 0
c) Bir tek fonksiyon x > 0 için arttığında, x için de artar< 0
d) Bir tek fonksiyon x > 0 için azaldığında, x için de azalacaktır.< 0
İşlev uç noktaları
Fonksiyon minimum noktası y=f(x) böyle bir noktayı x=x_(0) olarak adlandırmak adettendir, burada komşuluğu başka noktalara sahip olacaktır ( x=x_(0) noktası hariç) ve onlar için f( eşitsizliği) x) > f(x_(0)) . y_(min) - min noktasında fonksiyonun tanımı.
Fonksiyon maksimum noktası y=f(x) böyle bir noktayı x=x_(0) olarak adlandırmak gelenekseldir, burada komşuluğu başka noktalara ( x=x_(0) noktası dışında) ve ardından f(x) eşitsizliğine sahip olacaktır. onlar için tatmin olacak< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.
Gerekli kondisyon
Fermat'ın teoremine göre: f"(x)=0, x_(0) noktasında türevlenebilir olan f(x) fonksiyonu bu noktada bir ekstremum görünecektir.
Yeterli koşul
- Türevin işareti artıdan eksiye değiştiğinde, x_(0) minimum nokta olacaktır;
- x_(0) - sadece türev, x_(0) sabit noktasından geçerken işaretini eksiden artıya değiştirdiğinde maksimum nokta olacaktır.
Aralıktaki fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri
Hesaplama adımları:
- f"(x) türevi aranıyor ;
- Fonksiyonun durağan ve kritik noktaları bulunur ve aralığa ait olanlar seçilir;
- f(x) fonksiyonunun değerleri durağan halde bulunur ve kritik noktalar ve bölümün sonları. Sonuçların en küçüğü olacak en küçük değer fonksiyonlar, ve dahası - En büyük.
Tanım 1. fonksiyon çağrılır Bile
(garip
) değişkenin her bir değeri ile birlikte ise
anlam - X ayrıca ait
ve eşitlik
Bu nedenle, bir fonksiyon yalnızca tanım alanı, gerçek çizgi üzerindeki koordinatların orijinine göre simetrik olduğunda çift veya tek olabilir (sayılar). X ve - X aynı anda ait olmak
). Örneğin, işlev
tanım alanı olduğundan, ne çift ne de tektir.
orijine göre simetrik değildir.
İşlev
hatta, çünkü
koordinatların kökenine göre simetrik ve.
İşlev
garip çünkü
ve
.
İşlev
ne çift ne de tuhaf, çünkü
ve orijine göre simetriktir, eşitlikler (11.1) sağlanmaz. Örneğin,.
Bir çift fonksiyonun grafiği eksene göre simetriktir kuruluş birimi, çünkü eğer nokta
grafiğe de aittir. Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir, çünkü eğer
grafiğe ait, ardından nokta
grafiğe de aittir.
Bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunu ispatlarken aşağıdaki ifadeler yararlıdır.
teorem 1. a) İki çift (tek) fonksiyonun toplamı bir çift (tek) fonksiyondur.
b) İki çift (tek) fonksiyonun çarpımı bir çift fonksiyondur.
c) Bir çift ve bir tek fonksiyonun çarpımı bir tek fonksiyondur.
d) Eğer f sette eşit bir fonksiyondur X, ve işlev g
sette tanımlanmış
, ardından işlev
- Bile.
e) Eğer f sette tek bir fonksiyondur X, ve işlev g
sette tanımlanmış
ve hatta (tek), sonra işlev
- tek çift).
Kanıt. Örneğin b) ve d)'yi ispatlayalım.
b) izin ver
ve
bile fonksiyonlardır. Öyleyse, bu nedenle. Tek işlevler durumu benzer şekilde kabul edilir
ve
.
d) izin ver f eşit bir fonksiyondur. O zamanlar.
Teoremin diğer iddiaları da benzer şekilde ispatlanmıştır. Teorem kanıtlanmıştır.
teorem 2. Herhangi bir işlev
, sette tanımlanmış X orijine göre simetrik olan , bir çift ve bir tek fonksiyonun toplamı olarak gösterilebilir.
Kanıt. İşlev
şeklinde yazılabilir
.
İşlev
eşittir, çünkü
, ve işlev
garip çünkü. Böylece,
, nerede
- hatta ve
garip bir fonksiyondur. Teorem kanıtlanmıştır.
Tanım 2. İşlev
aranan periyodik
bir numara varsa
, öyle ki herhangi bir
sayılar
ve
ayrıca tanım alanına aittir
ve eşitlikler
Böyle bir sayı T aranan dönem
fonksiyonlar
.
Tanım 1, eğer T– fonksiyon periyodu
, ardından sayı T fazla
fonksiyonun periyodudur
(çünkü değiştirirken Tüzerinde - T eşitlik korunur). Matematiksel tümevarım yöntemini kullanarak, şu şekilde gösterilebilir: T– fonksiyon periyodu f, sonra ve
, aynı zamanda bir dönemdir. Bir fonksiyonun periyodu varsa, sonsuz sayıda periyodu vardır.
Tanım 3. Bir fonksiyonun pozitif periyotlarının en küçüğüne fonksiyonu denir. ana dönem.
teorem 3. Eğer T fonksiyonun ana periyodudur f, o zaman kalan dönemler bunun katlarıdır.
Kanıt. Bunun tersini, yani bir periyodun olduğunu varsayalım. fonksiyonlar f
(>0), çoklu değil T. Daha sonra bölme üzerinde T kalan ile elde ederiz
, nerede
. Bu yüzden
yani – fonksiyon periyodu f, ve
olduğu gerçeğiyle çelişen T fonksiyonun ana periyodudur f. Teoremin iddiası, elde edilen çelişkiden kaynaklanmaktadır. Teorem kanıtlanmıştır.
Trigonometrik fonksiyonların periyodik olduğu iyi bilinmektedir. Ana Dönem
ve
eşittir
,
ve
. Fonksiyonun periyodunu bulun
. İzin vermek
bu fonksiyonun periyodudur. O zamanlar
(çünkü
.
ororor
.
Anlam T, ilk eşitlikten belirlenen periyot olamaz, çünkü X, yani bir fonksiyonudur X, sabit bir sayı değil. Periyot ikinci eşitlikten belirlenir:
. Sonsuz sayıda dönem var
en küçük pozitif dönem elde edildiğinde
:
. Bu, işlevin ana dönemidir
.
Daha karmaşık bir periyodik fonksiyon örneği, Dirichlet fonksiyonudur.
Dikkat edin, eğer T bir rasyonel sayıdır, o zaman
ve
rasyonel sayılar rasyonel altında X ve irrasyonel olduğunda irrasyonel X. Bu yüzden
herhangi bir rasyonel sayı için T. Bu nedenle, herhangi bir rasyonel sayı T Dirichlet fonksiyonunun periyodudur. Bu fonksiyonun ana periyodu olmadığı açıktır, çünkü pozitif rasyonel sayılar keyfi olarak sıfıra yakın (örneğin, seçilerek rasyonel bir sayı yapılabilir n keyfi olarak sıfıra yakın).
teorem 4. Eğer işlev f
sette ayarla X ve bir dönemi var T, ve işlev g
sette ayarla
, sonra karmaşık fonksiyon
ayrıca bir dönemi var T.
Kanıt. biz bu nedenle
yani, teoremin iddiası kanıtlanmıştır.
Örneğin, o zamandan beri çünkü
x
bir dönemi var
, ardından fonksiyonlar
regl olmak
.
Tanım 4. Periyodik olmayan fonksiyonlara denir. düzenli olmayan .
- (Matematik) y \u003d f (x) işlevi, bağımsız değişken yalnızca işaret değiştirdiğinde değişmese bile, yani f (x) \u003d f (x) ise çağrılır. f (x) = f (x) ise, f (x) fonksiyonuna tek denir. Örneğin, y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...
F(x) = x, tek bir fonksiyon örneğidir. f(x) = x2, çift fonksiyona bir örnektir. f(x) = x3 ... Vikipedi
f (x) = f (x) eşitliğini sağlayan bir fonksiyon. Çift ve Tek Fonksiyonlara Bakın... Büyük Sovyet Ansiklopedisi
F(x) = x, tek bir fonksiyon örneğidir. f(x) = x2, çift fonksiyona bir örnektir. f(x) = x3 ... Vikipedi
F(x) = x, tek bir fonksiyon örneğidir. f(x) = x2, çift fonksiyona bir örnektir. f(x) = x3 ... Vikipedi
F(x) = x, tek bir fonksiyon örneğidir. f(x) = x2, çift fonksiyona bir örnektir. f(x) = x3 ... Vikipedi
F(x) = x, tek bir fonksiyon örneğidir. f(x) = x2, çift fonksiyona bir örnektir. f(x) = x3 ... Vikipedi
Fransız matematikçi E. Mathieu tarafından 1868'de eliptik bir zarın salınımı ile ilgili problemleri çözerken tanıtılan özel fonksiyonlar. M.f. eliptik bir silindirde elektromanyetik dalgaların yayılmasının incelenmesinde de kullanılır ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi
"Günah" isteği buraya yönlendirilir; diğer anlamlara da bakınız. "sn" isteği buraya yönlendirilir; diğer anlamlara da bakınız. "Sinüs" burada yönlendirir; diğer anlamlara da bakınız ... Wikipedia
Her bir x değerinin tek bir y değerine karşılık geldiği y değişkeninin x değişkenine bağımlılığına fonksiyon denir. Gösterim y=f(x)'dir. Her fonksiyonun monotonluk, parite, periyodiklik ve diğerleri gibi bir dizi temel özelliği vardır.
Parite özelliğini daha ayrıntılı olarak düşünün.
Bir y=f(x) işlevi, aşağıdaki iki koşulu sağlasa bile çağrılır:
2. Fonksiyonun kapsamına ait x noktasındaki fonksiyonun değeri, fonksiyonun -x noktasındaki değerine eşit olmalıdır. Yani, fonksiyonun etki alanından herhangi bir x noktası için, aşağıdaki eşitlik f (x) \u003d f (-x) doğru olmalıdır.
Eşit bir fonksiyonun grafiği
Bir çift fonksiyonun grafiğini oluşturursanız, y eksenine göre simetrik olacaktır.
Örneğin, y=x^2 işlevi çifttir. Hadi kontrol edelim. Tanım alanı, O noktası etrafında simetrik olduğu anlamına gelen tüm sayısal eksendir.
Keyfi bir x=3 alın. f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. Bu nedenle, f(x) = f(-x). Böylece her iki koşul da bizim için sağlanmış olur, yani fonksiyon çifttir. Aşağıda y=x^2 fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Şekil, grafiğin y eksenine göre simetrik olduğunu göstermektedir.
Garip bir fonksiyonun grafiği
Aşağıdaki iki koşulu sağlıyorsa, y=f(x) işlevine tek denir:
1. Verilen fonksiyonun tanım kümesi O noktasına göre simetrik olmalıdır. Yani, eğer bir a noktası fonksiyonun tanım alanına aitse, o zaman karşılık gelen -a noktası da verilen fonksiyonun alanına ait olmalıdır.
2. Herhangi bir x noktası için, fonksiyonun etki alanından aşağıdaki eşitlik f (x) \u003d -f (x) sağlanmalıdır.
Tek bir fonksiyonun grafiği, O noktasına göre simetriktir - orijin. Örneğin, y=x^3 işlevi tektir. Hadi kontrol edelim. Tanım alanı, O noktası etrafında simetrik olduğu anlamına gelen tüm sayısal eksendir.
Keyfi bir x=2 alın. f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. Bu nedenle f(x) = -f(x). Böylece her iki koşul da bizim için sağlanmış olur, yani fonksiyon tektir. Aşağıda y=x^3 fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Şekil, y=x^3 tek fonksiyonunun orijine göre simetrik olduğunu açıkça göstermektedir.