Lineer denklem sistemi belirleme yöntemi. Lineer cebirsel denklemlerin çözüm sistemleri, çözüm yöntemleri, örnekler
Lineer cebirsel denklem sistemlerini (SLAE) çözme, şüphesiz lineer cebir dersinin en önemli konusudur. Büyük miktar matematiğin tüm dallarından gelen problemler, çözme sistemlerine indirgenir lineer denklemler. Bu faktörler, bu makalenin oluşturulma nedenini açıklar. Makalenin malzemesi seçilmiş ve yapılandırılmıştır, böylece yardımı ile şunları yapabilirsiniz:
- lineer cebirsel denklem sisteminizi çözmek için en uygun yöntemi seçin,
- seçilen yöntemin teorisini incelemek,
- Tipik örneklerin ve problemlerin çözümlerini ayrıntılı olarak ele alarak lineer denklem sisteminizi çözün.
Makalenin malzemesinin kısa açıklaması.
İlk olarak, gerekli tüm tanımları, kavramları veriyoruz ve bazı gösterimleri tanıtıyoruz.
Daha sonra, denklem sayısının bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşit olduğu ve benzersiz bir çözümü olan lineer cebirsel denklem sistemlerini çözme yöntemlerini ele alacağız. İlk olarak, Cramer yöntemine odaklanalım, ikincisi, bu tür denklem sistemlerini çözmek için matris yöntemini göstereceğiz ve üçüncü olarak Gauss yöntemini (bilinmeyen değişkenlerin ardışık ortadan kaldırılması yöntemi) analiz edeceğiz. Teoriyi pekiştirmek için, kesinlikle birkaç SLAE'yi çeşitli şekillerde çözeceğiz.
Bundan sonra, lineer cebirsel denklem sistemlerini çözmeye dönüyoruz. Genel görünüm denklem sayısının bilinmeyen değişken sayısıyla örtüşmediği veya sistemin ana matrisinin dejenere olduğu. SLAE'lerin uyumluluğunu belirlememizi sağlayan Kronecker-Capelli teoremini formüle ediyoruz. Bir matrisin temel minör kavramını kullanarak sistemlerin çözümünü (uyumlulukları durumunda) analiz edelim. Gauss yöntemini de ele alacağız ve örneklerin çözümlerini ayrıntılı olarak anlatacağız.
Homojen ve homojen olmayan lineer cebirsel denklem sistemlerinin genel çözümünün yapısı üzerinde durduğunuzdan emin olun. Temel bir çözüm sistemi kavramını verelim ve temel çözüm sisteminin vektörleri kullanılarak SLAE'nin genel çözümünün nasıl yazıldığını gösterelim. Daha iyi anlamak için birkaç örneğe bakalım.
Sonuç olarak, çözümünde SLAE'lerin ortaya çıktığı çeşitli problemlerin yanı sıra doğrusal olanlara indirgenmiş denklem sistemlerini ele alıyoruz.
Sayfa gezintisi.
Tanımlar, kavramlar, adlandırmalar.
Formun n bilinmeyen değişkeni (p eşit olabilir) ile p lineer cebirsel denklem sistemlerini ele alacağız.
Bilinmeyen değişkenler, - katsayılar (bazı gerçek veya Karışık sayılar), - ücretsiz üyeler (ayrıca gerçek veya karmaşık sayılar).
SLAE'nin bu formuna koordinat.
AT matris formu bu denklem sistemi şu şekildedir,
nerede - sistemin ana matrisi, - bilinmeyen değişkenlerin matris sütunu, - serbest üyelerin matris sütunu.
A matrisine (n + 1)-th sütunu olarak serbest terimlerin matris sütununu eklersek, o zaman sözde olanı elde ederiz. genişletilmiş matris lineer denklem sistemleri. Genellikle, artırılmış matris T harfi ile gösterilir ve serbest üyelerin sütunu, sütunların geri kalanından dikey bir çizgi ile ayrılır, yani,
Lineer cebirsel denklemler sistemini çözerek sistemin tüm denklemlerini kimliklere dönüştüren bilinmeyen değişkenlerin bir dizi değeri olarak adlandırılır. Bilinmeyen değişkenlerin verilen değerleri için matris denklemi de bir özdeşliğe dönüşür.
Bir denklem sisteminin en az bir çözümü varsa buna denir. bağlantı.
Denklem sisteminin çözümü yoksa denir. uyumsuz.
Bir SLAE'nin benzersiz bir çözümü varsa, buna denir. belirli; birden fazla çözüm varsa, o zaman - belirsiz.
Sistemin tüm denklemlerinin serbest terimleri sıfıra eşitse , sonra sistem çağrılır homojen, aksi halde - heterojen.
Lineer cebirsel denklemlerin temel sistemlerinin çözümü.
Sistem denklemlerinin sayısı bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşitse ve ana matrisinin determinantı sıfıra eşit değilse, bu tür SLAE'leri arayacağız. temel. Bu tür denklem sistemlerinin benzersiz bir çözümü vardır ve homojen bir sistem durumunda tüm bilinmeyen değişkenler sıfıra eşittir.
Lisede böyle bir SLAE okumaya başladık. Bunları çözerken, bir denklem aldık, bilinmeyen bir değişkeni diğerleri cinsinden ifade ettik ve kalan denklemlere koyduk, sonra bir sonraki denklemi aldık, bir sonraki bilinmeyen değişkeni ifade ettik ve diğer denklemlere yerleştirdik, vb. Ya da toplama yöntemini kullandılar, yani bilinmeyen bazı değişkenleri ortadan kaldırmak için iki veya daha fazla denklem eklediler. Esasen Gauss yönteminin modifikasyonları oldukları için bu yöntemler üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağız.
Temel doğrusal denklem sistemlerini çözmenin ana yöntemleri Cramer yöntemi, matris yöntemi ve Gauss yöntemidir. Onları sıralayalım.
Lineer denklem sistemlerini Cramer yöntemiyle çözme.
Bir lineer cebirsel denklem sistemini çözmemiz gerekiyor
denklem sayısının bilinmeyen değişken sayısına eşit olduğu ve sistemin ana matrisinin determinantının sıfırdan farklı olduğu, yani .
Sistemin ana matrisinin determinantı olsun ve değiştirilerek A'dan elde edilen matrislerin belirleyicileridir. 1., 2., …, n. boş üyeler sütununa sırasıyla sütun:
Böyle bir gösterimle, bilinmeyen değişkenler Cramer yönteminin formülleriyle şu şekilde hesaplanır: . Lineer cebirsel denklemler sisteminin çözümü Cramer yöntemiyle bu şekilde bulunur.
Örnek.
Cramer yöntemi .
Çözüm.
Sistemin ana matrisi şu şekildedir: . Belirleyicisini hesaplayın (gerekirse makaleye bakın):
Sistemin ana matrisinin determinantı sıfırdan farklı olduğu için sistem Cramer yöntemi ile bulunabilen benzersiz bir çözüme sahiptir.
Gerekli belirleyicileri oluşturun ve hesaplayın (determinant, A matrisindeki ilk sütunun bir serbest üye sütunu ile değiştirilmesiyle elde edilir, determinant - ikinci sütunun bir serbest üye sütunu ile değiştirilmesi, - A matrisinin üçüncü sütununun bir serbest üye sütunu ile değiştirilmesiyle elde edilir. ):
Formülleri kullanarak bilinmeyen değişkenleri bulma :
Cevap:
Cramer yönteminin ana dezavantajı (eğer dezavantaj olarak adlandırılabilirse), sistem denklemlerinin sayısı üçten fazla olduğunda determinantları hesaplamanın karmaşıklığıdır.
Lineer cebirsel denklem sistemlerini matris yöntemiyle çözme (ters matris kullanarak).
Lineer cebirsel denklemler sistemi matris biçiminde verilsin, burada A matrisi n'ye n boyutuna sahiptir ve determinantı sıfır değildir.
A matrisi ters çevrilebilir olduğundan, ters matris vardır. Eşitliğin her iki kısmını sol ile çarparsak, bilinmeyen değişkenlerin sütun matrisini bulmak için bir formül elde ederiz. Böylece lineer cebirsel denklemler sisteminin çözümünü matris yöntemiyle elde ettik.
Örnek.
Lineer Denklemler Sistemini Çöz matris yöntemi.
Çözüm.
Denklem sistemini matris formunda yeniden yazalım:
Çünkü
daha sonra SLAE matris yöntemiyle çözülebilir. Ters matris kullanılarak bu sistemin çözümü şu şekilde bulunabilir: .
A matrisinin elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarının bir matrisini kullanarak bir ters matris oluşturalım (gerekirse makaleye bakın):
Hesaplamaya devam ediyor - ters matrisi çarparak bilinmeyen değişkenlerin matrisi serbest üyelerin matris sütununda (gerekirse makaleye bakın):
Cevap:
veya başka bir gösterimde x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Matris yöntemiyle lineer cebirsel denklem sistemlerine çözüm bulmadaki temel sorun, özellikle üçüncü dereceden daha yüksek mertebeden kare matrisler için ters matris bulmanın karmaşıklığıdır.
Gauss yöntemiyle lineer denklem sistemlerinin çözümü.
n bilinmeyen değişkenli n lineer denklem sistemine bir çözüm bulmamız gerektiğini varsayalım.
ana matrisinin determinantı sıfırdan farklıdır.
Gauss yönteminin özü bilinmeyen değişkenlerin art arda hariç tutulmasından oluşur: ilk olarak, x 1 ikinciden başlayarak sistemin tüm denklemlerinden hariç tutulur, ardından x 2 üçüncüden başlayarak tüm denklemlerden hariç tutulur ve bu şekilde, yalnızca bilinmeyen değişkene kadar x n son denklemde kalır. Bilinmeyen değişkenlerin art arda ortadan kaldırılması için sistemin denklemlerini dönüştürme işlemine denir. doğrudan Gauss yöntemi. Gauss yönteminin ileri çalışması tamamlandıktan sonra, son denklemden x n bulunur, bu değer kullanılarak sondan bir önceki denklemden x n-1 hesaplanır ve böylece ilk denklemden x 1 bulunur. Sistemin son denkleminden birincisine geçerken bilinmeyen değişkenleri hesaplama işlemine denir. ters Gauss yöntemi.
Bilinmeyen değişkenleri ortadan kaldırmak için algoritmayı kısaca tanımlayalım.
Bunu, sistemin denklemlerini yeniden düzenleyerek her zaman başarabileceğimiz için varsayacağız. Bilinmeyen değişken x 1'i, ikincisinden başlayarak sistemin tüm denklemlerinden hariç tutuyoruz. Bunu yapmak için, ilk çarpı ile çarpımı sistemin ikinci denklemine ekleyin, birinci çarpı ile çarpımı üçüncü denkleme ekleyin ve böylece ilk çarpı ile çarpımı n'inci denkleme ekleyin. Bu tür dönüşümlerden sonra denklem sistemi şu şekilde olacaktır:
burada bir .
Sistemin ilk denkleminde x 1'i diğer bilinmeyen değişkenler cinsinden ifade edersek ve elde edilen ifadeyi diğer tüm denklemlerde yerine koyarsak aynı sonuca varırdık. Böylece, x 1 değişkeni, ikinciden başlayarak tüm denklemlerden çıkarılır.
Daha sonra, benzer şekilde hareket ediyoruz, ancak yalnızca şekilde işaretlenmiş olan ortaya çıkan sistemin bir kısmı ile
Bunu yapmak için, ikinci çarpı ile çarpımı sistemin üçüncü denklemine ekleyin, ikinci çarpı ile çarpımı dördüncü denkleme ekleyin ve bu şekilde, ikinci çarpı ile çarpımı n'inci denkleme ekleyin. Bu tür dönüşümlerden sonra denklem sistemi şu şekilde olacaktır:
burada bir . Böylece, x 2 değişkeni, üçüncüden başlayarak tüm denklemlerden çıkarılır.
Daha sonra, sistemin şekilde işaretlenmiş kısmı ile benzer şekilde hareket ederken bilinmeyen x 3'ün ortadan kaldırılmasına geçiyoruz.
Bu yüzden sistem formu alana kadar Gauss yönteminin doğrudan seyrine devam ediyoruz.
Bu andan itibaren Gauss yönteminin ters seyrine başlıyoruz: Son denklemden x n'yi , elde edilen x n değerini kullanarak sondan bir önceki denklemden x n-1'i buluyoruz ve böyle devam ediyor, x n'yi buluyoruz. ilk denklem.
Örnek.
Lineer Denklemler Sistemini Çöz Gauss yöntemi.
Çözüm.
Bilinmeyen değişken x 1'i sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinden çıkaralım. Bunu yapmak için, ikinci ve üçüncü denklemlerin her iki kısmına, sırasıyla ve ile çarpılarak birinci denklemin karşılık gelen kısımlarını ekliyoruz:
Şimdi x 2'yi üçüncü denklemden, sol ve sağ kısımlarına ikinci denklemin sol ve sağ kısımlarını çarparak ekleyerek hariç tutuyoruz:
Bunun üzerine Gauss yönteminin ileri seyri tamamlandı, ters seyire başlıyoruz.
Ortaya çıkan denklem sisteminin son denkleminden x 3'ü buluruz:
İkinci denklemden elde ederiz.
İlk denklemden kalan bilinmeyen değişkeni buluruz ve bu Gauss yönteminin tersini tamamlar.
Cevap:
X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.
Genel formun lineer cebirsel denklem sistemlerini çözme.
Genel durumda, p sisteminin denklem sayısı, bilinmeyen değişkenlerin sayısı n ile çakışmaz:
Bu tür SLAE'lerin çözümü olmayabilir, tek bir çözümü olabilir veya sonsuz sayıda çözümü olabilir. Bu ifade, ana matrisi kare ve dejenere olan denklem sistemleri için de geçerlidir.
Kronecker-Capelli teoremi.
Bir lineer denklem sistemine bir çözüm bulmadan önce, uyumluluğunu belirlemek gerekir. SLAE ne zaman uyumlu, ne zaman uyumsuz sorusunun cevabı şu şekildedir: Kronecker-Capelli teoremi:
n bilinmeyenli (p, n'ye eşit olabilir) bir p denklem sisteminin tutarlı olması için, sistemin ana matrisinin rankının genişletilmiş matrisin rankına eşit olması gerekli ve yeterlidir, yani Rank( A)=Sıra(T) .
Örnek olarak bir lineer denklem sisteminin uyumluluğunu belirlemek için Kronecker-Cappelli teoreminin uygulamasını ele alalım.
Örnek.
Lineer denklem sisteminin olup olmadığını öğrenin çözümler.
Çözüm.
. Küçükleri sınırlama yöntemini kullanalım. İkinci dereceden küçük sıfırdan farklıdır. Etrafındaki üçüncü dereceden küçüklerin üzerinden geçelim:
Tüm sınırlayıcı üçüncü dereceden küçükler sıfıra eşit olduğundan, ana matrisin sırası ikidir.
Buna karşılık, artırılmış matrisin rankı üçüncü mertebenin küçüğünden beri üçe eşittir
sıfırdan farklıdır.
Böylece, Rang(A) , bu nedenle, Kronecker-Capelli teoremine göre, orijinal lineer denklem sisteminin tutarsız olduğu sonucuna varabiliriz.
Cevap:
Çözüm sistemi yok.
Böylece Kronecker-Capelli teoremini kullanarak sistemin tutarsızlığını kurmayı öğrendik.
Ancak uyumluluğu sağlanmışsa SLAE'nin çözümü nasıl bulunur?
Bunu yapmak için, bir matrisin küçük taban kavramına ve bir matrisin rankı üzerindeki teoreme ihtiyacımız var.
Küçük en yüksek mertebe sıfır olmayan matris A denir temel.
Temel minörün tanımından, sırasının matrisin sırasına eşit olduğu sonucu çıkar. Sıfır olmayan bir A matrisi için birkaç temel minör olabilir; her zaman bir temel minör vardır.
Örneğin, matrisi düşünün .
Bu matrisin tüm üçüncü dereceden küçükleri sıfıra eşittir, çünkü bu matrisin üçüncü satırının elemanları, birinci ve ikinci satırların karşılık gelen elemanlarının toplamıdır.
Aşağıdaki ikinci mertebeden küçükler, sıfırdan farklı oldukları için temeldir.
küçükler sıfıra eşit oldukları için temel değildirler.
Matris sıra teoremi.
p'ye n dereceli bir matrisin rankı r ise, matrisin satırlarının (ve sütunlarının) seçilen temel minörünü oluşturmayan tüm öğeleri, satırların (ve sütunların) karşılık gelen öğeleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilir. ) temeli minör oluşturan.
Matris sıralama teoremi bize ne verir?
Kronecker-Capelli teoremi ile sistemin uyumluluğunu belirlediysek, sistemin ana matrisinin herhangi bir temel minörünü seçeriz (sıralaması r'ye eşittir) ve olmayan tüm denklemleri sistemden çıkarırız. seçilen temel minörü oluşturur. Bu şekilde elde edilen SLAE, atılan denklemler hala gereksiz olduğundan (matris sıra teoremine göre, bunlar kalan denklemlerin doğrusal bir birleşimidir) orijinaline eşdeğer olacaktır.
Sonuç olarak, sistemin aşırı denklemleri atıldıktan sonra iki durum mümkündür.
Ortaya çıkan sistemdeki denklem sayısı r, bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşitse, o zaman kesin olacaktır ve tek çözüm Cramer yöntemi, matris yöntemi veya Gauss yöntemi ile bulunabilir.
Örnek.
.
Çözüm.
Sistemin ana matrisinin sıralaması ikinci mertebenin küçüğünden beri ikiye eşittir sıfırdan farklıdır. Genişletilmiş matris sıralaması ayrıca ikiye eşittir, çünkü üçüncü mertebenin tek küçüğü sıfıra eşittir
ve yukarıda ele alınan ikinci mertebenin küçüğü sıfırdan farklıdır. Kronecker-Capelli teoremine dayanarak, Rank(A)=Rank(T)=2 olduğundan, orijinal lineer denklem sisteminin uyumluluğu ileri sürülebilir.
Temel minör olarak, . Birinci ve ikinci denklemlerin katsayılarından oluşur:
Sistemin üçüncü denklemi, temel minör oluşumuna katılmaz, bu nedenle onu matris sıralama teoremine dayanarak sistemden hariç tutarız:
Böylece temel bir lineer cebirsel denklem sistemi elde ettik. Cramer yöntemiyle çözelim:
Cevap:
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.
Elde edilen SLAE'deki denklem sayısı r ise sayıdan az bilinmeyen değişkenler n, sonra denklemlerin sol tarafında temeli oluşturan terimleri küçük bırakır ve kalan terimleri ters işaretli sistemin denklemlerinin sağ tarafına aktarırız.
Denklemlerin sol tarafında kalan bilinmeyen değişkenlere (r tane vardır) denir. ana.
Sağ tarafta sona eren bilinmeyen değişkenler (bunlardan n - r vardır) denir Bedava.
Şimdi, serbest bilinmeyen değişkenlerin keyfi değerler alabileceğini, r ana bilinmeyen değişkenlerin ise benzersiz bir şekilde serbest bilinmeyen değişkenler cinsinden ifade edileceğini varsayıyoruz. İfadeleri, elde edilen SLAE'nin Cramer yöntemi, matris yöntemi veya Gauss yöntemi ile çözülmesiyle bulunabilir.
Bir örnek alalım.
Örnek.
Lineer Cebirsel Denklemler Sistemini Çöz .
Çözüm.
Sistemin ana matrisinin sırasını bulun sınırlayıcı küçükler yöntemiyle. Sıfırdan farklı bir birinci dereceden küçük olarak 1 1 = 1 alalım. Bu minörü çevreleyen sıfırdan farklı ikinci dereceden bir minör aramaya başlayalım:
Böylece ikinci dereceden sıfır olmayan bir minör bulduk. Üçüncü mertebeden sıfır olmayan bir kenarda kalan minör aramaya başlayalım:
Böylece, ana matrisin sırası üçtür. Artırılmış matrisin sıralaması da üçe eşittir, yani sistem tutarlıdır.
Üçüncü mertebeden bulunan sıfır olmayan minör, temel olarak alınacaktır.
Anlaşılır olması için, minörün temelini oluşturan unsurları gösteriyoruz:
Temel minöre katılan terimleri sistemin denklemlerinin sol tarafında bırakıp, zıt işaretlerle geri kalanını sağ taraflara aktarıyoruz:
Serbest bilinmeyen değişkenlere x 2 ve x 5 keyfi değerler veriyoruz, yani , keyfi sayılar nerede. Bu durumda, SLAE şu şekli alır:
Elde edilen temel lineer cebirsel denklem sistemini Cramer yöntemiyle çözüyoruz:
Sonuç olarak, .
Cevapta, serbest bilinmeyen değişkenleri belirtmeyi unutmayın.
Cevap:
Rasgele sayılar nerede.
Özetle.
Genel bir formun lineer cebirsel denklem sistemini çözmek için önce Kronecker-Capelli teoremini kullanarak uyumluluğunu buluruz. Ana matrisin sırası, genişletilmiş matrisin sırasına eşit değilse, sistemin tutarsız olduğu sonucuna varırız.
Ana matrisin sırası, genişletilmiş matrisin sırasına eşitse, temel minör seçilir ve seçilen temel minörün oluşumuna katılmayan sistemin denklemlerini atarız.
Temel minörün sırası bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşitse, SLAE'nin bildiğimiz herhangi bir yöntemle bulunabilen benzersiz bir çözümü vardır.
Temel minörün sırası bilinmeyen değişkenlerin sayısından azsa, sistemin denklemlerinin sol tarafında terimleri ana bilinmeyen değişkenlerle bırakıp kalan terimleri sağ taraflara aktarır ve keyfi değerler atarız ücretsiz bilinmeyen değişkenler için. Elde edilen lineer denklem sisteminden, ana bilinmeyen değişkenleri Cramer yöntemi, matris yöntemi veya Gauss yöntemiyle buluruz.
Genel formun lineer cebirsel denklem sistemlerinin çözümü için Gauss yöntemi.
Gauss yöntemini kullanarak, herhangi bir türdeki lineer cebirsel denklem sistemleri, uyumluluk için ön araştırma yapmadan çözülebilir. Bilinmeyen değişkenlerin art arda dışlanması işlemi, SLAE'nin hem uyumluluğu hem de tutarsızlığı hakkında bir sonuca varılmasını ve eğer bir çözüm varsa, onu bulmayı mümkün kılar.
Hesaplamalı çalışma açısından Gauss yöntemi tercih edilir.
Onu izle Detaylı Açıklama ve genel formun lineer cebirsel denklem sistemlerini çözmek için Gauss yöntemi makalesindeki örnekleri analiz etti.
Temel çözüm sisteminin vektörlerini kullanarak homojen ve homojen olmayan lineer cebirsel sistemlerin genel çözümünün kaydedilmesi.
Bu bölümde, sonsuz sayıda çözümü olan lineer cebirsel denklemlerin ortak homojen ve homojen olmayan sistemlerine odaklanacağız.
Önce homojen sistemlerle ilgilenelim.
Temel karar sistemi n bilinmeyen değişkenli homojen bir p lineer cebirsel denklem sistemi, bu sistemin lineer olarak bağımsız bir (n – r) çözümleri kümesidir; burada r, sistemin ana matrisinin temel minörünün mertebesidir.
Homojen bir SLAE'nin lineer bağımsız çözümlerini X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) olarak belirlersek, n boyutlu matris sütunlarıdır. 1 ile ), o zaman bu homojen sistemin genel çözümü, keyfi sabit katsayıları С 1 , С 2 , …, С (n-r), yani temel çözüm sisteminin vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilir.
Homojen bir lineer cebirsel denklem sisteminin (oroslau) genel çözümü terimi ne anlama geliyor?
Anlamı basittir: formül, orijinal SLAE'nin tüm olası çözümlerini tanımlar, başka bir deyişle, herhangi bir rastgele sabit değer kümesini alarak C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , formüle göre biz orijinal homojen SLAE'nin çözümlerinden birini alacaktır.
Böylece, temel bir çözüm sistemi bulursak, bu homojen SLAE'nin tüm çözümlerini .
Homojen bir SLAE için temel bir çözüm sistemi oluşturma sürecini gösterelim.
Orijinal lineer denklem sisteminin temel minörünü seçiyoruz, diğer tüm denklemleri sistemden çıkarıyoruz ve serbest bilinmeyen değişkenleri içeren tüm terimleri zıt işaretli sistemin denklemlerinin sağ tarafına aktarıyoruz. Serbest bilinmeyen değişkenlere 1,0,0,…,0 değerlerini verelim ve ortaya çıkan temel doğrusal denklem sistemini herhangi bir şekilde, örneğin Cramer yöntemiyle çözerek ana bilinmeyenleri hesaplayalım. Böylece, temel sistemin ilk çözümü olan X (1) elde edilecektir. Serbest bilinmeyenlere 0,1,0,0,…,0 değerlerini verir ve ana bilinmeyenleri hesaplarsak X (2) elde ederiz. Ve benzeri. Serbest bilinmeyen değişkenlere 0,0,…,0,1 değerlerini verir ve ana bilinmeyenleri hesaplarsak X (n-r) elde ederiz. Homojen SLAE'nin temel çözüm sistemi bu şekilde oluşturulacak ve genel çözümü formda yazılabilir.
Lineer cebirsel denklemlerin homojen olmayan sistemleri için genel çözüm şu şekilde temsil edilir:
Örneklere bakalım.
Örnek.
Homojen bir lineer cebirsel denklem sisteminin temel çözüm sistemini ve genel çözümünü bulun .
Çözüm.
Homojen lineer denklem sistemlerinin ana matrisinin sırası her zaman genişletilmiş matrisin sırasına eşittir. Ana matrisin sırasını küçükleri saçaklama yöntemiyle bulalım. Birinci mertebeden sıfır olmayan bir minör olarak, sistemin ana matrisinin a 1 1 = 9 öğesini alıyoruz. İkinci mertebenin sınırlayıcı sıfır olmayan minörünü bulun:
Sıfırdan farklı ikinci dereceden bir minör bulunur. Sıfır olmayan bir tane aramak için onu çevreleyen üçüncü dereceden küçükleri inceleyelim:
Üçüncü dereceden tüm sınırlayıcı küçükler sıfıra eşittir, bu nedenle ana ve genişletilmiş matrisin sırası ikidir. Temel minörü ele alalım. Netlik için, onu oluşturan sistemin unsurlarını not ediyoruz:
Orijinal SLAE'nin üçüncü denklemi, temel minör oluşumuna katılmaz, bu nedenle hariç tutulabilir:
Ana bilinmeyenleri içeren terimleri denklemlerin sağ taraflarına bırakıyoruz ve serbest bilinmeyenli terimleri sağ taraflara aktarıyoruz:
Orijinal homojen lineer denklem sistemine temel bir çözüm sistemi oluşturalım. Bu SLAE'nin temel çözüm sistemi, orijinal SLAE dört bilinmeyen değişken içerdiğinden ve temel minörünün sırası iki olduğundan, iki çözümden oluşur. X (1)'i bulmak için, serbest bilinmeyen değişkenlere x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 değerlerini veriyoruz, sonra denklem sisteminden ana bilinmeyenleri buluyoruz
.
Lineer cebirsel denklem sistemlerini çözmek, lineer cebirin ana problemlerinden biridir. Bu problem, bilimsel ve teknik problemlerin çözümünde büyük pratik öneme sahiptir, ayrıca hesaplamalı matematik, matematiksel fizik, deneysel çalışmaların sonuçlarının işlenmesi gibi birçok algoritmanın uygulanmasında yardımcıdır.
Lineer cebirsel denklemler sistemi formun denklem sistemi olarak adlandırılır: (1)
nerede – Bilinmeyen; - ücretsiz üyeler.
Denklem sistemini çözme(1) sisteme yerleştirilen herhangi bir sayı kümesini adlandırın (1) bilinmeyen yerine sistemin tüm denklemlerini gerçek sayısal eşitliklere dönüştürür.
Denklem sistemi denir bağlantı en az bir çözümü varsa ve uyumsuz eğer çözümleri yoksa.
Ortak denklem sistemi denir belirli tek bir çözümü varsa ve belirsiz en az iki farklı çözümü varsa.
İki denklem sistemi denir eşdeğer veya eşdeğer eğer aynı çözümlere sahiplerse.
Sistem (1) denir homojen serbest terimler sıfıra eşitse:
Homojen bir sistem her zaman tutarlıdır - bir çözümü vardır (belki de tek değil).
(1) sisteminde ise, o zaman sisteme sahibiz n lineer denklemler n bilinmeyen: nerede – Bilinmeyen; bilinmeyenlerin katsayıları, - ücretsiz üyeler.
Doğrusal sistem tek bir çözümü olabilir, sonsuz sayıda çözümü olabilir veya hiçbiri olmayabilir.
İki bilinmeyenli iki lineer denklem sistemi düşünün
O zaman sistemin benzersiz bir çözümü varsa;
eğer öyleyse sistemin çözümü yok;
eğer öyleyse sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır.
Örnek. Sistemin bir çift sayı için benzersiz bir çözümü var
Sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır. Örneğin, bu sistemin çözümleri sayı çiftleridir, vb.
Sistemin çözümü yoktur, çünkü iki sayının farkı iki farklı değer alamaz.
Tanım. İkinci dereceden belirleyici gibi bir ifade denir:
Determinantı D sembolü ile gösteriniz.
Sayılar a 11, …, a 22 belirleyici unsurlar olarak adlandırılır.
Elemanların oluşturduğu köşegen a 11 ; a 22 çağrı ana, elemanların oluşturduğu köşegen a 12 ; a 21 − yan.
Yani ikinci dereceden determinant farka eşittir ana ve ikincil köşegenlerin elemanlarının ürünleri.
Cevabın bir sayı olduğunu unutmayın.
Örnek. Belirleyicileri hesaplayalım:
İki bilinmeyenli iki lineer denklem sistemi düşünün: nerede X 1, X 2 – Bilinmeyen; a 11 , …, a 22 - bilinmeyenler için katsayılar, b 1 ,b 2 - ücretsiz üyeler.
İki bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistemin benzersiz bir çözümü varsa, o zaman ikinci dereceden belirleyiciler kullanılarak bulunabilir.
Tanım. Bilinmeyenlerin katsayılarından oluşan determinant denir. sistem niteleyicisi: D=.
D determinantının sütunları sırasıyla katsayılardır. X 1 ve , X 2. iki tane tanıtalım ek belirleyiciler, sütunlardan birinin serbest üyelerden oluşan bir sütunla değiştirilmesiyle sistemin determinantından elde edilenler: D 1 = D 2 = .
Teorem 14(Kramer, n=2 durumu için). Sistemin determinantı D sıfırdan (D¹0) farklıysa, sistem aşağıdaki formüllerle bulunan benzersiz bir çözüme sahiptir:
Bu formüller denir Cramer formülleri.
Örnek. Sistemi Cramer kuralına göre çözüyoruz:
Çözüm. sayıları bulalım
Cevap.
Tanım. Üçüncü dereceden belirleyici gibi bir ifade denir:
Elementler a 11; a 22 ; a 33 - ana köşegeni oluşturun.
Sayılar a 13; a 22 ; a 31 - bir yan köşegen oluşturun.
Artı içeren giriş şunları içerir: ana köşegen üzerindeki elemanların çarpımı, kalan iki terim, tabanları ana köşegene paralel olan üçgenlerin köşelerinde bulunan elemanların çarpımıdır. Eksi olan terimler, ikincil köşegenle aynı şekilde oluşur.
Örnek. Belirleyicileri hesaplayalım:
Üç bilinmeyenli üç lineer denklem sistemi düşünün: nerede – Bilinmeyen; bilinmeyenlerin katsayıları, - ücretsiz üyeler.
Benzersiz bir çözüm durumunda, 3. dereceden determinantlar kullanılarak üç bilinmeyenli 3 lineer denklem sistemi çözülebilir.
D sisteminin determinantı şu şekildedir:
Üç ek belirleyici sunuyoruz:
Teorem 15(Kramer, n=3 durumu için). Sistemin determinantı D sıfır değilse, sistem Cramer formülleri kullanılarak bulunan benzersiz bir çözüme sahiptir:
Örnek. Sistemi Cramer kuralını kullanarak çözelim.
Çözüm. sayıları bulalım
Cramer'in formüllerini kullanalım ve orijinal sisteme bir çözüm bulalım:
Cevap.
Denklemlerin sayısı bilinmeyenlerin sayısına eşit olduğunda ve D sisteminin determinantı sıfırdan farklı olduğunda Cramer teoreminin uygulanabilir olduğuna dikkat edin.
Sistemin determinantı sıfıra eşitse, bu durumda sistemin ya hiç çözümü olmayabilir ya da sonsuz sayıda çözümü olabilir. Bu vakalar ayrı ayrı inceleniyor.
Sadece bir vakayı not ediyoruz. Sistemin determinantı sıfıra eşitse (D=0) ve ek determinantlardan en az biri sıfırdan farklıysa, sistemin çözümü yoktur, yani tutarsızdır.
Cramer teoremi sisteme genelleştirilebilir n lineer denklemler n bilinmeyen: nerede – Bilinmeyen; bilinmeyenlerin katsayıları, - ücretsiz üyeler.
Bilinmeyen bir lineer denklem sisteminin determinantı ise, sistemin tek çözümü Cramer formülleri kullanılarak bulunur:
Bilinmeyen için bir katsayılar sütunu içeriyorsa, D determinantından ek bir determinant elde edilir. x benücretsiz üyelerden oluşan bir sütunla değiştirin.
D, D 1 , … , D belirleyicilerinin n sipariş var n.
Lineer denklem sistemlerini çözmek için Gauss yöntemi
Lineer cebirsel denklem sistemlerini çözmek için en yaygın yöntemlerden biri bilinmeyenlerin ardışık eliminasyonu yöntemidir. −Gauss yöntemi. Bu yöntem, ikame yönteminin bir genellemesidir ve bir bilinmeyenli bir denklem kalana kadar bilinmeyenlerin art arda ortadan kaldırılmasından oluşur.
Yöntem, orijinal sisteme eşdeğer bir sistemle sonuçlanan lineer denklem sisteminin bazı dönüşümlerine dayanmaktadır. Yöntemin algoritması iki aşamadan oluşmaktadır.
İlk aşama denir Düz bir çizgide Gauss yöntemi. Denklemlerden bilinmeyenlerin art arda çıkarılmasından oluşur. Bunun için ilk adımda sistemin ilk denklemi şuna bölünür (aksi takdirde sistemin denklemleri permüte edilir). Elde edilen indirgenmiş denklemin katsayıları gösterilir, katsayı ile çarpılır ve sistemin ikinci denkleminden çıkarılır, böylece ikinci denklemden çıkarılır (katsayı sıfırlanır).
Denklemlerin geri kalanı benzer şekilde ele alınır ve tüm denklemlerde, ikincisinden başlayarak, katsayıları yalnızca sıfır içeren yeni bir sistem elde edilir. Açıkçası, ortaya çıkan yeni sistem, orijinal sisteme eşdeğer olacaktır.
Yeni katsayılar, at , hepsi sıfıra eşit değilse, bunları üçüncü ve sonraki denklemlerden aynı şekilde eleyebiliriz. Aşağıdaki bilinmeyenler için bu işleme devam edilerek sistem üçgensel forma getirilir:
Burada semboller ve dönüşümler sonucunda değişen sayısal katsayıları ve serbest terimleri ifade etmektedir.
Sistemin son denkleminden, kalan bilinmeyenler belirlenir ve ardından ardışık ikame ile.
Yorum. Bazen dönüşümler sonucunda herhangi bir denklemde tüm katsayılar ve sağ taraf sıfıra döner yani denklem 0=0 özdeşliğine dönüşür. Böyle bir denklemin sistemden çıkarılmasıyla denklem sayısı bilinmeyen sayısına göre azaltılır. Böyle bir sistemin benzersiz bir çözümü olamaz.
Gauss yöntemini uygulama sürecinde, herhangi bir denklem 0=1 biçiminde bir eşitliğe dönüşürse (bilinmeyenlerin katsayıları 0'a döner ve sağ taraf sıfır olmayan bir değer alır), o zaman orijinal sistemin hiçbir değeri yoktur. çözüm, çünkü böyle bir eşitlik bilinmeyen herhangi bir değer için yanlıştır.
Üç bilinmeyenli üç lineer denklem sistemi düşünün:
nerede – Bilinmeyen; bilinmeyenlerin katsayıları, - ücretsiz üyeler. , bulunan yerine
Çözüm. Gauss yöntemini bu sisteme uygulayarak elde ederiz.
Nereden Son eşitlik, bilinmeyenlerin herhangi bir değeri için yanlıştır, bu nedenle sistemin bir çözümü yoktur.
Cevap. Sistemin çözümü yok.
Daha önce ele alınan Cramer yönteminin, yalnızca denklem sayısının bilinmeyen sayısıyla çakıştığı ve sistemin determinantının sıfırdan farklı olması gerektiği sistemleri çözmek için kullanılabileceğini unutmayın. Gauss yöntemi daha evrenseldir ve herhangi bir sayıda denklemi olan sistemler için uygundur.
Lineer cebirsel denklem sistemlerini çözmek için matris yöntemi - formül türetme.
matris için izin ver ANCAK emir nüzerinde n ters matris vardır. Soldaki matris denkleminin her iki tarafını (matris sıraları) ile çarpın A⋅X ve AT böyle bir işlemi gerçekleştirmeye izin verin, matrislerle ilgili makale işlemlerine, işlemlerin özelliklerine bakın). Sahibiz . Uygun mertebelerdeki matrislerin çarpılması işlemi birleşim özelliği ile karakterize edildiğinden, son eşitlik şu şekilde yeniden yazılabilir: , ve ters matrisin tanımı gereği ( E düzenin kimlik matrisidir nüzerinde n), bu yüzden
Böylece, bir lineer cebirsel denklem sisteminin matris yöntemiyle çözümü, formülle belirlenir. Başka bir deyişle, SLAE çözümü ters matris kullanılarak bulunur.
kare matris olduğunu biliyoruz ANCAK emir nüzerinde n sadece determinantı sıfır değilse ters matrise sahiptir. Bu nedenle SİSTEM n DOĞRUSAL CEBİRSEL DENKLEMLER n BİLİNMEYENLER SADECE SİSTEMİN ANA MATRİSİNİN BELİRLENENİ SIFIR OLMADIĞINDA MATRİS YÖNTEMİYLE ÇÖZÜLEBİLİR.
Sayfanın başı
Lineer cebirsel denklem sistemlerini matris yöntemiyle çözme örnekleri.
Örneklerle matris yöntemini düşünün. Bazı örneklerde, matrislerin determinantlarını hesaplama sürecini ayrıntılı olarak açıklamayacağız, gerekirse bir matrisin determinantını hesaplayan makaleye bakın.
Örnek.
Ters matrisi kullanarak lineer denklem sisteminin çözümünü bulun .
Çözüm.
Matris formunda, orijinal sistem şu şekilde yazılabilir, burada . Ana matrisin determinantını hesaplayalım ve sıfırdan farklı olduğundan emin olalım. Aksi takdirde sistemi matris yöntemiyle çözemeyiz. Sahibiz , bu nedenle, matris için ANCAK ters matris bulunabilir. Böylece, ters matrisi bulursak, SLAE'nin istenen çözümü olarak tanımlanacaktır. Böylece, görev ters matrisin inşasına indirgendi. Onu bulalım.
Bunu matris için biliyoruz ters matris şu şekilde bulunabilir: , öğelerin cebirsel tümleyenleri nerede .
bizim durumumuzda
O zamanlar
Elde edilen çözümü kontrol edelim , onu orijinal denklem sisteminin matris formuna koyarak . Bu eşitlik bir özdeşliğe dönüşmeli, yoksa bir yerde hata yapılmıştır.
Bu nedenle çözüm doğrudur.
Cevap:
veya başka bir girişte .
Örnek.
SLAE'yi matris yöntemiyle çözün.
Çözüm.
Sistemin ilk denklemi bilinmeyen bir değişken içermiyor x2, ikinci - x 1, üçüncü - x 3. Yani bu bilinmeyen değişkenlerin önündeki katsayılar sıfıra eşittir. Denklem sistemini şu şekilde yeniden yazıyoruz: . Bu formdan SLAE notasyonunun matris formuna geçmek daha kolaydır. . Bu denklem sisteminin ters matris kullanılarak çözülebildiğinden emin olalım. Başka bir deyişle, şunu göstereceğiz:
Cebirsel eklemelerden oluşan bir matris kullanarak bir ters matris oluşturalım:
sonra,
SLAE'ye çözüm bulmak için kalır:
Cevap:
.
Bir lineer cebirsel denklem sisteminin olağan biçiminden matris biçimine geçerken, sistemin denklemlerindeki bilinmeyen değişkenlerin sırasına dikkat edilmelidir. Örneğin, SLAU olarak yazılamaz . Önce sistemin tüm denklemlerindeki tüm bilinmeyen değişkenleri sıralamanız ve ardından matris notasyonuna geçmeniz gerekir:
veya
Ayrıca, bilinmeyen değişkenlerin gösterimi yerine dikkatli olun. x 1 , x 2 , …, xn başka harfler olabilir. Örneğin, SLAU matris formunda şu şekilde yazılır .
Bir örnek alalım.
Örnek.
ters matris kullanarak.
Çözüm.
Bilinmeyen değişkenleri sistemin denklemlerinde sıraladıktan sonra matris formunda yazıyoruz.
. Ana matrisin determinantını hesaplayın:
Sıfır değildir, bu nedenle denklem sisteminin çözümü ters matris kullanılarak şu şekilde bulunabilir: . Formüle göre ters matrisi bulun :
İstenen çözümü elde ederiz:
Cevap:
x=0, y=-2, z=3.
Örnek.
Lineer cebirsel denklemler sistemine bir çözüm bulun matris yöntemi.
Çözüm.
Sistemin ana matrisinin determinantı sıfıra eşittir
bu nedenle matris yöntemini uygulayamayız.
Bu tür sistemlere bir çözüm bulma, lineer cebirsel denklem sistemlerini çözme bölümünde açıklanmıştır.
Örnek.
SLAE'yi çözün matris yöntemi, bir gerçek sayıdır.
Çözüm.
Matris formundaki denklem sistemi şu şekildedir: . Sistemin ana matrisinin determinantını hesaplayalım ve sıfırdan farklı olduğundan emin olalım:
Üç terimli kare, diskriminantı negatif olduğundan, herhangi bir gerçek değer için kaybolmaz, bu nedenle sistemin ana matrisinin determinantı, herhangi bir gerçek değer için sıfıra eşit değildir. Matris yöntemiyle, . Ters matrisi formüle göre oluşturalım :
O zamanlar
Cevap:
.Başa dönüş
Özetle.
Matris yöntemi, denklem sayısının bilinmeyen değişken sayısıyla çakıştığı ve sistemin ana matrisinin determinantının sıfırdan farklı olduğu SLAE'lerin çözümü için uygundur. Sistem üçten fazla denklem içeriyorsa, ters matrisi bulmak önemli bir hesaplama çabası gerektirir, bu nedenle, bu durumda, çözmek için Gauss yönteminin kullanılması tavsiye edilir.
Denklem sistemleri, ekonomik endüstride çeşitli süreçlerin matematiksel modellemesinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin, üretim yönetimi ve planlaması, lojistik rotaları (nakliye sorunu) veya ekipman yerleşimi sorunlarını çözerken.
Denklem sistemleri sadece matematik alanında değil, fizik, kimya ve biyolojide de popülasyon büyüklüğünü bulma problemlerinin çözümünde kullanılmaktadır.
Bir lineer denklem sistemi, ortak bir çözüm bulmanın gerekli olduğu birkaç değişkenli iki veya daha fazla denklem için kullanılan bir terimdir. Tüm denklemlerin gerçek eşitlik haline geldiği veya dizinin var olmadığını kanıtladığı böyle bir sayı dizisi.
Doğrusal Denklem
ax+by=c biçimindeki denklemlere doğrusal denir. x, y atamaları, değeri bulunması gereken bilinmeyenlerdir, b, a değişkenlerin katsayılarıdır, c denklemin serbest terimidir.
Denklemi grafiğini çizerek çözmek, tüm noktaları polinomun çözümü olan düz bir çizgi gibi görünecektir.
Lineer denklem sistemlerinin türleri
En basitleri, iki değişken X ve Y olan doğrusal denklem sistemlerinin örnekleridir.
F1(x, y) = 0 ve F2(x, y) = 0, burada F1,2 fonksiyonlar ve (x, y) fonksiyon değişkenleridir.
Bir denklem sistemini çözün - sistemin dönüştüğü bu tür değerleri (x, y) bulmak anlamına gelir. gerçek eşitlik veya uygun x ve y değerleri olmadığını belirleyin.
Nokta koordinatları olarak yazılan bir çift değere (x, y) doğrusal denklem sisteminin çözümü denir.
Sistemlerin ortak bir çözümü varsa veya çözümü yoksa, bunlara eşdeğer denir.
Homojen lineer denklem sistemleri, sağ tarafı sıfıra eşit olan sistemlerdir. Eşittir işaretinden sonraki sağ kısım bir değere sahipse veya bir fonksiyonla ifade ediliyorsa, böyle bir sistem homojen değildir.
Değişken sayısı ikiden çok daha fazla olabilir, o zaman üç veya daha fazla değişkenli bir lineer denklem sistemi örneğinden bahsetmeliyiz.
Sistemlerle karşı karşıya kalan okul çocukları, denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısıyla mutlaka çakışması gerektiğini varsayar, ancak bu böyle değildir. Sistemdeki denklemlerin sayısı değişkenlere bağlı değildir, keyfi olarak çok sayıda olabilir.
Denklem sistemlerini çözmek için basit ve karmaşık yöntemler
Bu tür sistemleri çözmenin genel bir analitik yolu yoktur, tüm yöntemler sayısal çözümlere dayanmaktadır. AT okul kursu Matematik, permütasyon, cebirsel toplama, ikame gibi yöntemlerin yanı sıra grafik ve matris yöntemi, Gauss yöntemiyle çözümü ayrıntılı olarak açıklar.
Çözme yöntemlerinin öğretilmesindeki ana görev, sistemin nasıl doğru bir şekilde analiz edileceğini ve her bir örnek için en uygun çözüm algoritmasını nasıl bulacağını öğretmektir. Ana şey, her yöntem için bir kurallar ve eylemler sistemini ezberlemek değil, belirli bir yöntemi uygulama ilkelerini anlamaktır.
Programın 7. sınıfının doğrusal denklem sistemlerinin örneklerini çözme ortaokul oldukça basit ve çok detaylı anlatılmış. Matematikle ilgili herhangi bir ders kitabında bu bölüme yeterince dikkat edilir. Gauss ve Cramer yöntemiyle doğrusal denklem sistemleri örneklerinin çözümü, yüksek öğretim kurumlarının ilk derslerinde daha ayrıntılı olarak incelenir.
Sistemlerin ikame yöntemiyle çözümü
Yerine koyma yönteminin eylemleri, bir değişkenin değerini ikinci aracılığıyla ifade etmeyi amaçlar. İfade, kalan denklemde ikame edilir, ardından tek değişkenli bir forma indirgenir. Sistemdeki bilinmeyenlerin sayısına göre işlem tekrarlanır.
Yerine koyma yöntemiyle 7. sınıfın doğrusal denklem sistemine bir örnek verelim:
Örnekten görülebileceği gibi, x değişkeni F(X) = 7 + Y ile ifade edildi. Ortaya çıkan ifade, sistemin 2. denkleminde X yerine ikame edilerek, 2. denklemde bir Y değişkeninin elde edilmesine yardımcı oldu. . Çözüm bu örnek zorluk çıkarmaz ve Y değerini almanızı sağlar.Son adım alınan değerleri kontrol etmektir.
Bir lineer denklem sistemi örneğini ikame yoluyla çözmek her zaman mümkün değildir. Denklemler karmaşık olabilir ve değişkenin ikinci bilinmeyen cinsinden ifadesi sonraki hesaplamalar için çok hantal olacaktır. Sistemde 3'ten fazla bilinmeyen olduğunda, ikame çözümü de pratik değildir.
Lineer homojen olmayan denklemler sisteminin bir örneğinin çözümü:
Cebirsel toplama kullanarak çözüm
Toplama yöntemi ile sistemlere çözüm aranırken terim terim toplama ve denklemlerin çeşitli sayılarla çarpma işlemleri yapılır. Nihai amaç matematiksel işlemler tek değişkenli bir denklemdir.
Bu yöntemin uygulamaları pratik ve gözlem gerektirir. Değişken sayısı 3 veya daha fazla olan bir doğrusal denklem sistemini toplama yöntemini kullanarak çözmek kolay değildir. Cebirsel toplama, denklemler kesirler ve ondalık sayılar içerdiğinde kullanışlıdır.
Çözüm eylem algoritması:
- Denklemin her iki tarafını da bir sayı ile çarpın. Sonuç olarak aritmetik işlem değişkenin katsayılarından biri 1'e eşit olmalıdır.
- Elde edilen ifadeyi terime göre ekleyin ve bilinmeyenlerden birini bulun.
- Kalan değişkeni bulmak için elde edilen değeri sistemin 2. denkleminde yerine koyun.
Yeni bir değişken tanıtarak çözüm yöntemi
Sistemin en fazla iki denklem için bir çözüm bulması gerekiyorsa yeni bir değişken eklenebilir, bilinmeyenlerin sayısı da ikiden fazla olmamalıdır.
Yöntem, yeni bir değişken ekleyerek denklemlerden birini basitleştirmek için kullanılır. Yeni denklem girilen bilinmeyene göre çözülür ve elde edilen değer orijinal değişkeni belirlemek için kullanılır.
Yeni bir t değişkeni ekleyerek, sistemin 1. denklemini standart bir kare üç terimliye indirgemenin mümkün olduğu örnekten görülebilir. Diskriminantı bularak bir polinomu çözebilirsiniz.
Diskriminantın değerini şu şekilde bulmak gerekir: iyi bilinen formül: D = b2 - 4*a*c, burada D istenen diskriminanttır, b, a, c polinomun çarpanlarıdır. Verilen örnekte, a=1, b=16, c=39, dolayısıyla D=100. Diskriminant sıfırdan büyükse iki çözüm vardır: t = -b±√D / 2*a, diskriminant sıfırdan küçükse tek bir çözüm vardır: x= -b / 2*a.
Elde edilen sistemlerin çözümü toplama yöntemi ile bulunur.
Sistemleri çözmek için görsel bir yöntem
3 denklemli sistemler için uygundur. Yöntem, sisteme dahil edilen her bir denklemin grafiklerini koordinat ekseninde çizmekten oluşur. Eğrilerin kesişme noktalarının koordinatları sistemin genel çözümü olacaktır.
Grafik yönteminin birkaç nüansı vardır. Lineer denklem sistemlerini görsel olarak çözmenin birkaç örneğini düşünün.
Örnekte görüldüğü gibi, her satır için iki nokta oluşturulmuştur, x değişkeninin değerleri keyfi olarak seçilmiştir: 0 ve 3. x değerlerine göre, y için değerler bulundu: 3 ve 0. Koordinatları (0, 3) ve (3, 0) olan noktalar grafik üzerinde işaretlendi ve bir çizgi ile birleştirildi.
Adımlar ikinci denklem için tekrarlanmalıdır. Doğruların kesiştiği nokta sistemin çözümüdür.
Aşağıdaki örnek bulması gerekiyor grafik çözüm lineer denklem sistemleri: 0,5x-y+2=0 ve 0,5x-y-1=0.
Örnekte görülebileceği gibi, grafikler paralel olduğundan ve tüm uzunlukları boyunca kesişmediğinden sistemin çözümü yoktur.
Örnek 2 ve 3'teki sistemler benzerdir, ancak inşa edildiklerinde çözümlerinin farklı olduğu aşikar hale gelir. Unutulmamalıdır ki, sistemin bir çözümü olup olmadığını söylemek her zaman mümkün değildir, her zaman bir grafik oluşturmak gereklidir.
Matris ve çeşitleri
Matrisler, bir lineer denklem sistemini kısaca yazmak için kullanılır. Matris, sayılarla dolu özel bir tablo türüdür. n*m'de n - satır ve m - sütun vardır.
Sütun ve satır sayısı eşit olduğunda bir matris karedir. Bir matris vektörü, sonsuz sayıda satıra sahip tek sütunlu bir matristir. Köşegenlerden biri boyunca birimleri ve diğer sıfır öğeleri olan bir matrise kimlik denir.
Ters bir matris böyle bir matristir, çarpıldığında orijinalin bir birime dönüştüğü zaman, böyle bir matris yalnızca orijinal kare için var olur.
Bir denklem sistemini matrise dönüştürme kuralları
Denklem sistemleri ile ilgili olarak, denklemlerin katsayıları ve serbest elemanları matrisin sayıları olarak yazılır, bir denklem matrisin bir satırıdır.
Satırın en az bir elemanı sıfıra eşit değilse, bir matris satırına sıfırdan farklı denir. Bu nedenle, denklemlerden herhangi birinde değişken sayısı farklıysa, eksik bilinmeyen yerine sıfır girmek gerekir.
Matrisin sütunları kesinlikle değişkenlere karşılık gelmelidir. Bu, x değişkeninin katsayılarının yalnızca bir sütuna, örneğin ilk, bilinmeyen y'nin katsayısı - yalnızca ikinci sütuna yazılabileceği anlamına gelir.
Bir matris çarpılırken, tüm matris elemanları sırayla bir sayı ile çarpılır.
Ters matrisi bulma seçenekleri
Ters matrisi bulma formülü oldukça basittir: K -1 = 1 / |K|, burada K -1 ters matris ve |K| - matris determinantı. |K| sıfıra eşit olmamalıdır, o zaman sistemin bir çözümü vardır.
Belirleyici ikiye iki matris için kolayca hesaplanır, sadece elemanları çapraz olarak birbirleriyle çarpmak gerekir. "Üçte üç" seçeneği için |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c formülü vardır. 3 + bir 3 b 2 c 1 . Formülü kullanabilir veya öğelerin sütun ve satır numaralarının üründe tekrarlanmaması için her satırdan ve her sütundan bir eleman almanız gerektiğini hatırlayabilirsiniz.
Matris yöntemiyle doğrusal denklem sistemleri örneklerinin çözümü
Çözüm bulmanın matris yöntemi, çok sayıda değişken ve denklem içeren sistemleri çözerken hantal girdileri azaltmayı mümkün kılar.
Örnekte, a nm denklemlerin katsayılarıdır, matris bir vektördür x n değişkenlerdir ve b n serbest terimlerdir.
Gauss yöntemiyle sistemlerin çözümü
AT yüksek Matematik Gauss yöntemi Cramer yöntemi ile birlikte çalışılır ve sistemlere çözüm bulma işlemine Gauss-Cramer çözüm yöntemi denir. Bu yöntemler, çok sayıda lineer denkleme sahip sistemlerin değişkenlerini bulmak için kullanılır.
Gauss yöntemi, ikame ve cebirsel toplama çözümlerine çok benzer, ancak daha sistematiktir. Okul dersinde, 3 ve 4 denklem sistemleri için Gauss çözümü kullanılır. Yöntemin amacı, sistemi ters yamuk şekline getirmektir. Cebirsel dönüşümler ve ikamelerle, sistemin denklemlerinden birinde bir değişkenin değeri bulunur. İkinci denklem, sırasıyla 2 bilinmeyenli ve 3 ve 4 - sırasıyla 3 ve 4 değişkenli bir ifadedir.
Sistemi tarif edilen forma getirdikten sonra, diğer çözüm, bilinen değişkenlerin sistemin denklemlerinde sıralı ikamesine indirgenir.
AT okul ders kitapları 7. sınıf için, Gauss yöntemine göre bir çözüm örneği aşağıda açıklanmıştır:
Örnekten görülebileceği gibi, (3) adımında 3x 3 -2x 4 =11 ve 3x 3 +2x 4 =7 olmak üzere iki denklem elde edilmiştir. Herhangi bir denklemin çözümü, x n değişkenlerinden birini bulmanızı sağlayacaktır.
Metinde bahsi geçen Teorem 5, sistemin denklemlerinden birinin eşdeğeri ile değiştirilirse, ortaya çıkan sistemin de orijinaline eşdeğer olacağını belirtir.
Gauss yöntemini öğrencilerin anlaması zordur lise, ancak matematik ve fizik derslerinde ileri düzeyde bir çalışma programına kayıtlı çocukların yaratıcılığını geliştirmenin en ilginç yollarından biridir.
Hesaplamaları kaydetme kolaylığı için aşağıdakileri yapmak gelenekseldir:
Denklem katsayıları ve serbest terimler, matrisin her satırının sistemin denklemlerinden birine karşılık geldiği bir matris şeklinde yazılır. denklemin sol tarafını sağ tarafından ayırır. Romen rakamları, sistemdeki denklemlerin sayısını gösterir.
Önce çalışılacak matrisi, ardından satırlardan biriyle gerçekleştirilen tüm eylemleri yazarlar. Ortaya çıkan matris "ok" işaretinden sonra yazılır ve sonuç elde edilene kadar gerekli cebirsel işlemleri gerçekleştirmeye devam eder.
Sonuç olarak, köşegenlerden birinin 1 olduğu ve diğer tüm katsayıların sıfıra eşit olduğu bir matris elde edilmelidir, yani matris tek bir forma indirgenir. Denklemin her iki tarafının sayıları ile hesaplama yapmayı unutmamalıyız.
Bu gösterim daha az hantaldır ve çok sayıda bilinmeyeni listeleyerek dikkatinizin dağılmamasını sağlar.
Herhangi bir çözüm yönteminin ücretsiz uygulanması, özen ve belirli bir miktar deneyim gerektirecektir. Tüm yöntemler uygulanmaz. Çözüm bulmanın bazı yolları, belirli bir insan faaliyeti alanında daha çok tercih edilirken, diğerleri öğrenme amacıyla mevcuttur.
Lineer denklem sistemleri. ders 6
Lineer denklem sistemleri.
Temel konseptler.
görüntüleme sistemi
aranan sistem - bilinmeyenli lineer denklemler.
Sayılar , denir sistem katsayıları.
numaralar denir sistemin ücretsiz üyeleri, – sistem değişkenleri. Matris
aranan sistemin ana matrisi ve matris
– genişletilmiş matris sistemi. Matrisler - sütunlar
Ve buna uygun olarak sistemin serbest üyeleri ve bilinmeyenlerinin matrisleri. Daha sonra matris formunda denklem sistemi olarak yazılabilir. Sistem çözümü değişkenlerin değerleri olarak adlandırılır, ikame edildiğinde, sistemin tüm denklemleri gerçek sayısal eşitliklere dönüşür. Sistemin herhangi bir çözümü bir matris-sütun olarak temsil edilebilir. O zaman matris eşitliği doğrudur.
Denklem sistemi denir bağlantı en az bir çözümü varsa ve uyumsuzçözümü yoksa.
Bir lineer denklem sistemini çözmek, uyumlu olup olmadığını bulmak ve eğer uyumluysa genel çözümünü bulmak demektir.
sistem denir homojen tüm serbest terimleri sıfıra eşitse. Homojen bir sistem her zaman uyumludur çünkü çözümü vardır.
Kronecker-Kopelli teoremi.
Doğrusal sistemlerin çözümlerinin varlığı ve benzersizliği sorusunun cevabı, bilinmeyenli bir doğrusal denklem sistemi hakkında aşağıdaki ifadeler olarak formüle edilebilecek aşağıdaki sonucu elde etmemizi sağlar.
(1)
Teorem 2. Doğrusal denklemler sistemi (1), yalnızca ana matrisin sıralaması genişletilmiş olanın (.
Teorem 3. Bir ortak lineer denklem sisteminin ana matrisinin rankı, bilinmeyenlerin sayısına eşitse, sistemin benzersiz bir çözümü vardır.
teorem 4. Bir ortak sistemin ana matrisinin rankı bilinmeyenlerin sayısından küçükse, sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır.
Sistemleri çözme kuralları.
3. Ana değişkenlerin serbest olanlar cinsinden ifadesini bulun ve sistemin genel çözümünü elde edin.
4. Serbest değişkenlere keyfi değerler verilerek ana değişkenlerin tüm değerleri elde edilir.
Lineer denklem sistemlerini çözme yöntemleri.
Ters matris yöntemi.
ve , yani sistemin benzersiz bir çözümü var. Sistemi matris formunda yazıyoruz
nerede , , .
Soldaki matris denkleminin her iki tarafını matrisle çarpın
Bilinmeyenleri bulmak için eşitlik elde ettiğimiz için
Örnek 27. Ters matris yöntemini kullanarak doğrusal denklem sistemini çözün
Çözüm. Sistemin ana matrisi ile belirtin
.
O halde çözümü formülle bulalım.
Hesaplayalım.
O zamandan beri, sistemin benzersiz bir çözümü var. Tüm cebirsel eklemeleri bul
, ,
, ,
, ,
, ,
Böylece
.
Hadi kontrol edelim
.
Ters matris doğru olarak bulunur. Buradan formülü kullanarak değişkenlerin matrisini buluruz.
.
Matrislerin değerlerini karşılaştırarak şu cevabı alırız: .
Cramer yöntemi.
Bilinmeyenleri olan bir lineer denklem sistemi verilsin
ve , yani sistemin benzersiz bir çözümü var. Sistemin çözümünü matris formunda yazıyoruz veya
belirtmek
. . . . . . . . . . . . . . ,
Böylece, adı verilen bilinmeyenlerin değerlerini bulmak için formüller elde ederiz. Cramer formülleri.
Örnek 28. Aşağıdaki lineer denklem sistemini Cramer yöntemini kullanarak çözün .
Çözüm. Sistemin ana matrisinin determinantını bulun
.
O zamandan beri, sistemin benzersiz bir çözümü var.
Cramer formülleri için kalan belirleyicileri bulun
,
,
.
Cramer formüllerini kullanarak değişkenlerin değerlerini buluyoruz.
Gauss yöntemi.
Yöntem, değişkenlerin sıralı dışlanmasından oluşur.
Bilinmeyenleri olan bir lineer denklem sistemi verilsin.
Gauss çözüm süreci iki adımdan oluşur:
İlk aşamada, sistemin genişletilmiş matrisi, temel dönüşümler yardımıyla adımsal forma indirgenir.
,
nerede, sisteme karşılık gelen
Bundan sonra değişkenler serbest kabul edilir ve her denklemde sağ tarafa aktarılır.
İkinci aşamada, değişken son denklemden ifade edilir, elde edilen değer denkleme ikame edilir. Bu denklemden
değişken ifade edilir. Bu işlem ilk denkleme kadar devam eder. Sonuç, temel değişkenlerin serbest değişkenler cinsinden ifadesidir. .
Örnek 29. Aşağıdaki sistemi Gauss yöntemini kullanarak çözün
Çözüm. Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve adım formuna indirgeyelim.
.
Çünkü bilinmeyenlerin sayısından büyükse, sistem uyumludur ve sonsuz sayıda çözüme sahiptir. Adım matrisi için sistemi yazalım
İlk üç sütundan oluşan bu sistemin genişletilmiş matrisinin determinantı sıfıra eşit olmadığı için onu temel kabul ediyoruz. Değişkenler
Temel olacak ve değişken ücretsiz olacak. Tüm denklemlerde sol tarafa kaydıralım
Son denklemden ifade ediyoruz
Bu değeri sondan bir önceki ikinci denklemde yerine koyarsak,
nerede . Değişkenlerin değerlerini ve ilk denklemde yerine koyarak, buluruz . Cevabı aşağıdaki forma yazıyoruz