n'inci türev için Leibniz formülü. Daha yüksek dereceli türevler
Eserin metni resimsiz ve formülsüz olarak yerleştirilmiştir.
Tam versiyonçalışma, PDF formatında "Çalışma dosyaları" sekmesinde mevcuttur
"Ben de, Newton'un iki terimlisi!»
Usta ve Margarita'dan
“Pascal'ın üçgeni o kadar basit ki, on yaşındaki bir çocuk bile onu yazabilir. Aynı zamanda tükenmez hazineleri gizler ve birbirine bağlar. çeşitli yönler ilk bakışta birbirleriyle hiçbir ortak yanı olmayan matematikçiler. Bu tür alışılmadık özellikler, Pascal üçgenini tüm matematiğin en zarif şemalarından biri olarak görmemizi sağlar.
Martin Gardner.
Çalışmanın amacı: kısaltılmış çarpma formüllerini genelleştirir, problem çözmede uygulamalarını gösterir.
Görevler:
1) bu konudaki bilgileri incelemek ve sistematik hale getirmek;
2) Newton'un iki terimlisinin kullanımına ilişkin problem örneklerini ve derecelerin toplamı ve farkı için formülleri analiz eder.
Araştırma nesneleri: Newton'un iki terimlisi, derecelerin toplamı ve farkı için formüller.
Araştırma Yöntemleri:
Eğitim ve popüler bilim literatürü, İnternet kaynakları ile çalışmak.
Hesaplamalar, karşılaştırma, analiz, analoji.
alaka. Bir kişi genellikle, hepsinin sayısını saymanız gereken problemlerle uğraşmak zorundadır. olası yollar bazı nesnelerin konumu veya bazı eylemleri gerçekleştirmenin tüm olası yollarının sayısı. Bir kişinin seçmesi gereken farklı yollar veya seçenekler, çok çeşitli kombinasyonlar oluşturur. Ve kombinatorik adı verilen bütün bir matematik dalı, şu veya bu durumda kaç tane kombinasyon olduğu sorularına cevap aramakla meşgul.
Pek çok uzmanlığın temsilcileri, kombinatorik niceliklerle uğraşmak zorundadır: kimyager, biyolog, tasarımcı, sevk memuru, vb. Son zamanlarda Sibernetik ve bilgisayar teknolojisinin hızlı gelişimi nedeniyle.
giriiş
Muhatabın karşılaştığı görevlerin karmaşıklığını abarttığını vurgulamak istediklerinde, "Newton'un iki terimlisine de ihtiyacım var!" Diyelim ki, işte Newton'un iki terimlisi, zor ama ne gibi problemleriniz var! İlgileri matematikle hiçbir ilgisi olmayan insanlar bile Newton'un iki terimlisini duymuştur.
"Binom" kelimesi bir binom anlamına gelir, yani. iki terimin toplamı. İtibaren okul kursu sözde kısaltılmış çarpma formülleri bilinmektedir:
( A+ b) 2 = bir 2 + 2ab + b 2 , (a+b) 3 = bir 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 .
Bu formüllerin genelleştirilmesi, Newton'un binom formülü adı verilen bir formüldür. Kareler farkı, küpler toplamı ve farkı çarpanlarına ayırma formülleri de okulda kullanılıyor. Diğer dereceler için bir genellemeleri var mı? Evet, bu tür formüller var, genellikle çeşitli problemlerin çözümünde kullanılırlar: bölünebilirliği kanıtlamak, kesirleri azaltmak, yaklaşık hesaplamalar.
Genelleme formüllerinin incelenmesi, tümdengelimsel-matematiksel düşünmeyi ve genel zihinsel yetenekleri geliştirir.
BÖLÜM 1. NEWTON'UN BİNOM FORMÜLÜ
Kombinasyonlar ve özellikleri
X, n elemanlı bir küme olsun. X kümesinin k eleman içeren herhangi bir Y alt kümesine, n ve k ≤ n'den gelen k elemanların bir kombinasyonu denir.
n elemandan k elemanın farklı kombinasyonlarının sayısı C n k ile gösterilir. Kombinatoriğin en önemli formüllerinden biri, C n k sayısı için aşağıdaki formüldür:
Bariz kısaltmalardan sonra aşağıdaki gibi yazılabilir:
Özellikle,
Bu, X kümesinde 0 elemanlı yalnızca bir alt küme olduğu gerçeğiyle oldukça tutarlıdır - boş alt küme.
C n k sayıları bir dizi dikkate değer özelliğe sahiptir.
С n k = С n - k n formülü geçerlidir, (3)
Formül (3)'ün anlamı, X'ten tüm k-üyeli altkümelerin kümesi ile X'ten tüm (n - k)-üyeli altkümelerin kümesi arasında bire bir karşılık gelmesidir: bu yazışmayı kurmak için, Y'nin her bir k üyeli alt kümesinin, X kümesindeki tamamlayıcısıyla eşleşmesi yeterlidir.
С 0 n + С 1 n + С 2 n + ... + С n n = 2 n formülü geçerlidir (4)
Sol taraftaki toplam, X kümesinin tüm alt kümelerinin sayısını ifade eder (C 0 n, 0 üyeli alt kümelerin sayısıdır, C 1 n, tek üyeli alt kümelerin sayısıdır, vb.).
Herhangi bir k, 1≤ k≤ n için eşitlik
C k n \u003d C n -1 k + C n -1 k -1 (5)
Bu eşitliği formül (1) kullanarak elde etmek kolaydır. Aslında,
1.2. Newton'un binom formülünün türetilmesi
İki terimlinin güçlerini düşünün bir +B .
n = 0, (bir +B ) 0 = 1
n = 1, (bir +B ) 1 = 1a+1B
n = 2(bir +B ) 2 = 1a 2 + 2aB +1 B 2
n = 3(bir +B ) 3 = 1 bir 3 + 3a 2 B + 3aB 2 +1 B 3
n = 4(bir +B ) 4 = 1a 4 + 4a 3 B + 6a 2 B 2 +4aB 3 +1 B 4
n=5(bir +B ) 5 = 1 A 5 + 5a 4 B + 10a 3 B 2 + 10a 2 B 3 + 5aB 4 + 1 B 5
Aşağıdaki düzenliliklere dikkat edin:
Ortaya çıkan polinomun terim sayısı, iki terimlinin üssünden bir fazladır;
Birinci terimin üssü n'den 0'a düşer, ikinci terimin üssü 0'dan n'ye yükselir;
Tüm tek terimlilerin dereceleri, koşuldaki iki terimlinin derecelerine eşittir;
Her tek terimli, birinci ve ikinci ifadelerin çeşitli güçlerde ve belirli bir sayıda - binom katsayısının ürünüdür;
Genişletmenin başlangıcından ve sonundan eşit uzaklıktaki binom katsayıları eşittir.
Bu formüllerin genelleştirilmesi, Newton'un binom formülü olarak adlandırılan aşağıdaki formüldür:
(A + B ) N = C 0 N A N B 0 + C 1 N A N -1 B + C 2 N A N -2 B 2 + ... + C N -1 N ab N -1 + C N N A 0 B N . (6)
bu formülde N herhangi bir doğal sayı olabilir.
Formül (6)'yı elde ederiz. Öncelikle şunu yazalım:
(A + B ) N = (A + B )(A + B ) ... (A + B ), (7)
burada çarpılacak parantez sayısı N. Bir toplamı bir toplamla çarpmak için olağan kuraldan, (7) ifadesinin aşağıdaki gibi oluşturulabilen tüm olası çarpımların toplamına eşit olduğu sonucu çıkar: toplamların ilkindeki herhangi bir terim bir + b ikinci toplamın herhangi bir terimi ile çarpılır a+b, üçüncü toplamın herhangi bir teriminde vb.
Anlatılanlardan, ifadedeki terimin olduğu açıktır. (A + B ) N harflerden oluşan n uzunluğundaki dizileri eşleştirme (bire bir) a ve B. Terimler arasında benzer terimler olacaktır; bu tür üyelerin aynı sayıda harf içeren dizilere karşılık geldiği açıktır. A. Ancak tam olarak k kez harf içeren satır sayısı A, eşittir C n k . Bu nedenle, a harfini tam olarak k kez bir faktörle içeren tüm terimlerin toplamı, С n k'ye eşittir. A N - k B k . k, 0, 1, 2, ..., n-1, n değerlerini alabildiğinden, formül (6) bizim muhakememizden çıkar. (6)'nın daha kısa yazılabileceğine dikkat edin: (8)
Formül (6) Newton'un adı olarak anılsa da, gerçekte Newton'dan önce keşfedilmiştir (örneğin, Pascal bunu biliyordu). Newton'un değeri, tamsayı olmayan üsler için bu formülün bir genellemesini bulmasında yatmaktadır. 1664-1665'te I. Newton'du. keyfi kesirli ve negatif üsler için iki terimli derecesini ifade eden bir formül türetmiştir.
Formül (6)'da yer alan C 0 n , C 1 n , ..., C n n sayılarına genellikle aşağıdaki gibi tanımlanan binom katsayıları denir:
Formül (6)'dan, bu katsayıların bir dizi özelliği elde edilebilir. Örneğin, varsayarak A=1, b = 1, şunu elde ederiz:
2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... + C n n ,
onlar. formül (4). eğer koyarsak A= 1, b = -1, o zaman şunu elde ederiz:
0 \u003d C 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n
veya С 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ... .
Bu, açılımın çift terimlerinin katsayılarının toplamının, açılımın tek terimlerinin katsayılarının toplamına eşit olduğu anlamına gelir; her biri 2 n-1'e eşittir.
Açılımın uçlarına eşit uzaklıktaki terimlerin katsayıları eşittir. Bu özellik şu ilişkiden çıkar: С n k = С n n - k
İlginç bir özel durum
(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0
veya daha kısa (x +1) n = ∑C n k x n - k .
1.3. polinom teoremi
teorem.
Kanıt.
Parantezleri açtıktan sonra bir monom elde etmek için, hangi parantezlerden alındığı, hangi parantezlerden alındığı vb. ve alındığı köşeli parantezler. Bu tek terimlinin benzer terimlerin indirgenmesinden sonraki katsayısı, böyle bir seçimin yapılabileceği yolların sayısına eşittir. Seçim dizisinin ilk adımı şekillerde, ikinci adım - , üçüncü - vb., -inci adım - şekillerde yapılabilir. İstenen katsayı ürüne eşittir
BÖLÜM 2. Yüksek dereceden türevler.
Yüksek dereceden türev kavramı.
Fonksiyonun bir aralıkta türevlenebilir olmasına izin verin. Daha sonra, genel olarak konuşursak, türevi şuna bağlıdır: X, yani, bir işlevidir X. Bu nedenle, ona göre, bir türevin varlığı sorusunu yeniden gündeme getirebiliriz.
Tanım . Birinci türevin türevi denir ikinci dereceden türev veya ikinci türev ve sembol veya ile gösterilir, yani
Tanım . İkinci türevin türevi, üçüncü mertebeden türev veya üçüncü türev olarak adlandırılır ve veya simgesiyle gösterilir.
Tanım . türevN inci sıra fonksiyonlar türevin birinci türevi denir (N Bu fonksiyonun -1)-inci sırası ve veya sembolü ile gösterilir:
Tanım . Birinciden daha yüksek mertebeden türevler denir daha yüksek türevler.
Yorum. Benzer şekilde, formül elde edilebilir N fonksiyonun -inci türevi:
Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun ikinci türevi
Bir fonksiyon denklemlerle parametrik olarak verilirse, ikinci dereceden türevi bulmak için, birinci türevinin ifadesini şu şekilde türevlemek gerekir: karmaşık fonksiyon bağımsız değişken.
O zamandan beri
ve bunu göz önünde bulundurarak,
Anladık yani
Benzer şekilde üçüncü türevi de bulabiliriz.
Toplam, çarpım ve bölümün farkı.
Türevden diferansiyel, bağımsız değişkenin diferansiyeli ile çarpılarak elde edildiğinden, o zaman ana türevi bilmek temel fonksiyonlar, türevleri bulma kurallarının yanı sıra, diferansiyelleri bulmak için benzer kurallara ulaşılabilir.
1 0 . Bir sabitin diferansiyeli sıfırdır.
2 0 . Sonlu sayıda türevlenebilir fonksiyonların cebirsel toplamının diferansiyeli, bu fonksiyonların diferansiyellerinin cebirsel toplamına eşittir. .
3 0 . İki türevlenebilir fonksiyonun çarpımının diferansiyeli, birinci fonksiyonun çarpımları ile ikinci ve ikinci fonksiyonun diferansiyeli ve birincinin diferansiyelinin toplamına eşittir. .
Sonuçlar. Sabit çarpan, diferansiyelin işaretinden çıkarılabilir.
2.3. Parametrik olarak verilen fonksiyonlar, türevleri.
Tanım . Her iki değişken de varsa, bir fonksiyonun parametrik olarak tanımlandığı söylenir. X Ve y, aynı yardımcı değişkenin - parametrenin tek değerli fonksiyonları olarak ayrı ayrı tanımlanırT :
NeredeT içinde değişir.
Yorum . Bir daire ve bir elipsin parametrik denklemlerini sunuyoruz.
a) Orijin ve yarıçap merkezli çember R parametrik denklemlere sahiptir:
b) Elips için parametrik denklemleri yazalım:
Parametreyi hariç tutarak T Ele alınan çizgilerin parametrik denklemlerinden kanonik denklemlerine ulaşılabilir.
teorem . eğer işlev argümandan y x, denklemlerle parametrik olarak verilir, burada ve göre türevlenebilirT fonksiyonlar ve sonra.
2.4. Leibniz formülü
Türevi bulmak için Nİki fonksiyonun çarpımının üçüncü mertebesi olan Leibniz formülünün pratik önemi büyüktür.
İzin vermek sen Ve v- bir değişkenden bazı işlevler X herhangi bir mertebeden türevi olan ve y = UV. İfade etmek N fonksiyonların türevleri aracılığıyla -inci türev sen Ve v .
Biz sürekli olarak
İkinci ve üçüncü türev ifadeleri ile Newton binomunun sırasıyla ikinci ve üçüncü kuvvetlerdeki açılımı arasındaki benzerliği fark etmek kolaydır, ancak üsler yerine türevin sırasını belirleyen sayılar vardır ve fonksiyonların kendileri "sıfır dereceden türevler" olarak kabul edilebilir. Bunu göz önünde bulundurarak, Leibniz formülünü elde ederiz:
Bu formül yöntemle kanıtlanabilir matematiksel tümevarım.
BÖLÜM 3. LEIBNIZ FORMÜLÜNÜN UYGULANMASI.
İki fonksiyonun çarpımından herhangi bir mertebenin türevini hesaplamak için, iki fonksiyonun çarpımının türevini hesaplamak için formülün sıralı uygulamasını atlayarak şunu kullanırız: Leibniz formülü.
Bu formülü kullanarak, iki fonksiyonun çarpımının n'inci türevini hesaplama örneklerini düşünün.
örnek 1
Bir fonksiyonun ikinci türevini bulun
Tanım olarak, ikinci türev, birinci türevin birinci türevidir, yani.
Bu nedenle, önce verilen fonksiyonun birinci dereceden türevini şuna göre buluruz: farklılaşma kuralları ve kullanarak türev tablosu:
Şimdi birinci dereceden türevin türevini buluyoruz. Bu istenen ikinci dereceden türev olacaktır:
Cevap:
Örnek 2
Bir fonksiyonun inci mertebeden türevini bulun
Çözüm.
-inci türevine genelleştirilebilecek bir model oluşturmak için, verilen fonksiyonun birinci, ikinci, üçüncü ve benzeri dereceden türevlerini art arda bulacağız.
Birinci mertebeden türevi şu şekilde buluruz: bölümün türevi:
Buradaki ifadeye bir sayının faktöriyeli denir. Bir sayının faktöriyeli, birden bire kadar olan sayıların çarpımına eşittir, yani,
İkinci türev, birinci türevin birinci türevidir, yani
Üçüncü dereceden türev:
Dördüncü türev:
Düzenliliğe dikkat edin: pay, türevin mertebesine eşit olan bir sayının faktöriyelini içerir ve payda, türevin mertebesinden bir kat daha büyük bir ifade içerir, yani
Cevap.
Örnek 3
Bir fonksiyonun bir noktadaki üçüncü türevinin değerini bulun.
Çözüm.
Buna göre yüksek mertebeden türev tablosu, sahibiz:
Bu örnekte, yani, elde ederiz
Benzer bir sonucun türevleri art arda bularak da elde edilebileceğine dikkat edin.
İÇİNDE verilen noktaüçüncü türev:
Cevap:
Örnek 4
Bir fonksiyonun ikinci türevini bulun
Çözüm.İlk olarak, birinci türevi bulalım:
İkinci türevi bulmak için birinci türevin ifadesini tekrar türevliyoruz:
Cevap:
Örnek 5
bul eğer
Verilen fonksiyon iki fonksiyonun çarpımı olduğundan, dördüncü dereceden türevi bulmak için Leibniz formülünü uygulamak tavsiye edilir:
Tüm türevleri buluyoruz ve terimlerin katsayılarını hesaplıyoruz.
1) Terimler için katsayıları hesaplayın:
2) Fonksiyonun türevlerini bulun:
3) Fonksiyonun türevlerini bulun:
Cevap:
Örnek 6
y=x 2 cos3x fonksiyonu verilir. Üçüncü mertebenin türevini bulun.
u=cos3x , v=x 2 olsun . Sonra, Leibniz formülüne göre şunu buluruz:
Bu ifadedeki türevler:
(cos3x)′=−3sin3x,
(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,
(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,
(x2)′=2x,
(x2)''=2,
(x2)'''=0.
Bu nedenle, verilen fonksiyonun üçüncü türevi
1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0
27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.
Örnek 7
Türevi bul N -inci sıra fonksiyonu y=x 2 cosx.
Leibniz formülünü kullanıyoruz, ayaru=cosx, v=x 2 . Daha sonra
Serinin kalan terimleri sıfıra eşittir, çünkü i>2 için (x2)(i)=0.
türev n -inci dereceden kosinüs fonksiyonu:
Bu nedenle, fonksiyonumuzun türevi
ÇÖZÜM
Okul, kısaltılmış çarpma formüllerini inceler ve kullanır: iki ifadenin toplamının ve farkının kareleri ve küpleri ve kareler farkını, iki ifadenin küplerinin toplamı ve farkını çarpanlarına ayırmak için formüller. Bu formüllerin genelleştirilmesi, Newton binom formülü adı verilen bir formül ve kuvvetlerin toplamını ve farkını çarpanlarına ayırma formülleridir. Bu formüller genellikle çeşitli problemlerin çözümünde kullanılır: bölünebilirliği kanıtlama, kesirleri azaltma, yaklaşık hesaplamalar. Pascal üçgeninin, Newton'un iki terimlisiyle yakından ilişkili olan ilginç özellikleri ele alınır.
Makale, konuyla ilgili bilgileri sistematize eder, Newton'un iki terimlisinin kullanımına yönelik görev örnekleri ve derecelerin toplamı ve farkı için formüller verir. Çalışma, matematiksel bir dairenin çalışmasında olduğu kadar, bireysel çalışma matematiğe ilgi duyanlar.
KULLANILAN KAYNAKLAR LİSTESİ
1. Vilenkin N.Ya. Kombinatorik - ed. "Bilim". - M., 1969
2. Nikolsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. cebir ve başlangıçlar matematiksel analiz. 10. sınıf: ders kitabı. genel eğitim için kuruluşlar temel ve ileri düzey - M.: Eğitim, 2014. - 431 s.
3. İstatistik, kombinatorik ve olasılık teorisinde problem çözme. 7-9 hücre / yazar - derleyici V.N. Studenetskaya. - ed. 2., düzeltilmiş, - Volgograd: Öğretmen, 2009
4. Savushkina I.A., Khugaev K.D., Tishkin S.B. cebirsel denklemler daha yüksek dereceler / araç setiüniversiteler arası hazırlık bölümü öğrencileri için. - St.Petersburg, 2001.
5. Sharygin I.F. İsteğe bağlı kurs matematikte: Problem çözme. Öğretici 10 hücre için. lise. - M.: Aydınlanma, 1989.
6.Bilim ve yaşam, Newton'un iki terimlisi ve Pascal üçgeni [elektronik kaynak]. - Giriş türü: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/
Uygulanan problemlerin çözümü integralin hesaplanmasına indirgenir, ancak bunu doğru bir şekilde yapmak her zaman mümkün değildir. Bazen anlamını bilmek gerekir kesin integral bir dereceye kadar doğrulukla, örneğin binde bir oranında.
Belirli bir integralin yaklaşık değerini gerekli doğrulukla bulmanın gerekli olacağı görevler vardır, ardından Simposn yöntemi, yamuklar, dikdörtgenler gibi sayısal entegrasyon kullanılır. Tüm durumlar, onu belirli bir doğrulukla hesaplamamıza izin vermez.
Bu makale, Newton-Leibniz formülünün uygulanmasını ele almaktadır. Bu, belirli integralin tam olarak hesaplanması için gereklidir. Verilmiş olacak ayrıntılı örnekler, belirli integraldeki değişken değişimini dikkate alırız ve parça parça integral alırken belirli integralin değerlerini buluruz.
Newton-Leibniz formülü
tanım 1y = y (x) işlevi [ a ; b ] ve F (x) bu segmentin işlevinin ters türevlerinden biridir, o zaman Newton-Leibniz formülü adil sayılır. Bunu şöyle yazalım ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .
Bu formül dikkate alınır integral hesabının temel formülü.
Bu formülü kanıtlamak için, kullanılabilir değişken üst sınırı olan bir integral kavramını kullanmak gerekir.
y = f(x) fonksiyonu [ a ; b ] , ardından x ∈ a bağımsız değişkeninin değeri; b , ve integral ∫ a x f (t) d t biçimindedir ve bir fonksiyon olarak kabul edilir üst sınır. Fonksiyonun gösteriminin ∫ a x f (t) d t = Φ (x) şeklini alacağını, sürekli olduğunu ve ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = formunun eşitsizliğini kabul etmek gerekir. f(x) bunun için geçerlidir.
Φ (x) fonksiyonunun artışının ∆ x argümanının artışına karşılık geldiğini sabitliyoruz, belirli bir integralin beşinci ana özelliğini kullanmak ve elde etmek gerekiyor
Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ bir x + ∆ x f (t) d t - ∫ bir x f (t) d t = = ∫ bir x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f(c) ∆x
burada değer c ∈ x ; x + ∆x .
Eşitliği Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) biçiminde düzeltiriz. Bir fonksiyonun türevinin tanımı gereği, ∆ x → 0 olarak sınıra geçmek gerekir, sonra [ a ; b ] üzerinde yer alan formun formülünü elde ederiz, aksi halde ifade yazılabilir
F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C , burada C'nin değeri sabittir.
Belirli integralin birinci özelliğini kullanarak F(a)'yı hesaplayalım. O zaman bunu anladık
F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C , dolayısıyla C = F (a) . Sonuç, F (b) hesaplanırken uygulanabilir ve şunu elde ederiz:
F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a) , başka bir deyişle, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (bir) . Eşitlik, Newton-Leibniz formülünü kanıtlar ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .
Fonksiyonun artışı F x a b = F(b) - F(a) olarak alınır. Notasyon yardımıyla Newton-Leibniz formülü ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) olur.
Formülü uygulamak için, [ a ; b ] , bu segmentten ters türevin artışını hesaplayın. Newton-Leibniz formülünü kullanan birkaç hesaplama örneğini ele alalım.
örnek 1
Newton-Leibniz formülünü kullanarak ∫ 1 3 x 2 d x belirli integralini hesaplayın.
Çözüm
Bunu bir düşün integrand y = x 2 formunun [ 1 ; 3 ] , sonra ve bu segmentte integrallenebilir. tabloya göre belirsiz integraller y \u003d x 2 fonksiyonunun x'in tüm gerçek değerleri için bir dizi antitürevi olduğunu görüyoruz, yani x ∈ 1; 3, F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C olarak yazılacaktır. Antiderivatifi C \u003d 0 ile almak gerekir, sonra F (x) \u003d x 3 3 elde ederiz.
Newton-Leibniz formülünü kullanalım ve belirli integralin hesaplanmasının ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 şeklini almasını sağlayalım.
Cevap:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3
Örnek 2
Newton-Leibniz formülünü kullanarak ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x belirli integralini hesaplayın.
Çözüm
Verilen fonksiyon [ - 1 ; 2 ], bunun üzerine entegre edilebilir olduğu anlamına gelir. Diferansiyel işareti altında toplama yöntemini kullanarak ∫ x e x 2 + 1 d x belirsiz integralinin değerini bulmak gerekir, o zaman ∫ x e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d (x 2 + 1) elde ederiz. ) = 1 2 e x 2+1+C.
Dolayısıyla, y = x · e x 2 + 1 fonksiyonunun tüm x , x ∈ - 1 için geçerli olan bir ters türevleri kümesine sahibiz; 2.
C = 0'da ters türevi alıp Newton-Leibniz formülünü uygulamak gerekir. Sonra formun bir ifadesini alırız
∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
Cevap:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
Örnek 3
∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x ve ∫ - 1 4 x 3 + 2 x 2 d x integrallerini hesaplayın.
Çözüm
Bölüm - 4; - 1 2, integral işareti altındaki fonksiyonun sürekli olduğunu yani integrallenebilir olduğunu söylüyor. Buradan y = 4 x 3 + 2 x 2 fonksiyonunun ters türev kümesini buluyoruz. anladık
∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C
Antiderivatif F (x) \u003d 2 x 2 - 2 x'i almak gerekir, ardından Newton-Leibniz formülünü uygulayarak hesapladığımız integrali elde ederiz:
∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28
İkinci integralin hesaplanmasına geçiş yapıyoruz.
[ - 1 ; 1 ] integralin sınırsız olduğu kabul edilir, çünkü lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , o zaman şunu takip eder gerekli kondisyon bir segmentten entegre edilebilirlik. O halde F (x) = 2 x 2 - 2 x, [ - 1 ; 1 ] , çünkü O noktası segmente aittir, ancak tanım alanına dahil değildir. Bu, y = 4 x 3 + 2 x 2 fonksiyonu için [ - 1 ; 1] .
Cevap: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28, y = 4 x 3 + 2 x 2 fonksiyonu için [ - 1 ; 1] .
Newton-Leibniz formülünü kullanmadan önce, belirli bir integralin varlığını tam olarak bilmeniz gerekir.
Belirli bir integralde değişken değişimi
y = f(x) fonksiyonu tanımlı ve [ a ; b ] , ardından mevcut küme [ a ; b ], α aralığında tanımlanan x = g(z) fonksiyonunun aralığı olarak kabul edilir; β mevcut sürekli türev ile, burada g (α) = a ve g β = b , dolayısıyla ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z .
Bu formül, ∫ a b f (x) d x integralini hesaplamak gerektiğinde kullanılır, burada belirsiz integral ∫ f (x) d x şeklindedir, ikame yöntemini kullanarak hesaplarız.
Örnek 4
∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x biçiminde belirli bir integrali hesaplayın.
Çözüm
İntegrand, entegrasyon aralığında sürekli kabul edilir, bu da belirli integralin var olduğu anlamına gelir. 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 gösterimini verelim. X \u003d 9 değeri, z \u003d 2 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3 olduğu anlamına gelir ve x \u003d 18 için z \u003d 2 18 - 9 \u003d 27 \u003d 3 3, ardından g α \ u003d g (3) \u003d 9 , g β = g 3 3 = 18 . Elde edilen değerleri ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z formülüne koyarak şunu elde ederiz:
∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 gün
Belirsiz integraller tablosuna göre, 2 z 2 + 9 fonksiyonunun ters türevlerinden birinin 2 3 r c t g z 3 değerini aldığını biliyoruz. Sonra, Newton-Leibniz formülünü uygulayarak şunu elde ederiz:
∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 bir r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 bir r c t g 3 3 3 - 2 3 bir r c t g 3 3 = 2 3 bir r c t g 3 - bir r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18
Bulgu, ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z formülü kullanılmadan yapılabilir.
Değiştirme yöntemi ∫ 1 x 2 x - 9 d x biçiminde bir integral kullanıyorsa, ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C sonucuna ulaşabiliriz.
Buradan Newton-Leibniz formülünü kullanarak hesaplamalar yapacak ve belirli integrali hesaplayacağız. anladık
∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 \u003d π 18
Sonuçlar eşleşti.
Cevap: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18
Belirli bir integralin hesaplanmasında parçalara göre entegrasyon
[ a ; b ] u(x) ve v(x) fonksiyonları tanımlanmış ve süreklidir, o zaman birinci dereceden türevleri v " (x) u(x) integrallenebilir, dolayısıyla bu aralıktan integrallenebilir fonksiyon u " (x) v ( x) eşitlik ∫ a b v " (x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b sen " (x) v (x) d x doğrudur.
Formül o zaman kullanılabilir, ∫ a b f (x) d x integralini hesaplamak gerekir ve ∫ f (x) d x onu parçalara göre entegrasyon kullanarak bulmak gerekliydi.
Örnek 5
∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x belirli integralini hesaplayın.
Çözüm
x sin x 3 + π 6 fonksiyonu - π 2 segmentinde integrallenebilir; 3 π 2 , dolayısıyla süreklidir.
u (x) \u003d x, sonra d (v (x)) \u003d v "(x) d x \u003d günah x 3 + π 6 d x ve d (u (x)) \u003d u "(x) olsun d x \u003d d x ve v (x) = - 3 çünkü π 3 + π 6 . ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b sen " (x) v (x) d x formülünden şunu elde ederiz
∫ - π 2 3 π 2 x günah x 3 + π 6 d x = - 3 x çünkü x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 çünkü x 3 + π 6 d x \u003d \u003d - 3 3 π 2 çünkü π 2 + π 6 - - 3 - π 2 çünkü - π 6 + π 6 + 9 günah x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π 4 - 3 π 2 + 9 günah π 2 + π 6 - günah - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2
Örneğin çözümü başka bir şekilde yapılabilir.
Newton-Leibniz formülünü kullanarak parçalara göre entegrasyonu kullanarak x sin x 3 + π 6 fonksiyonunun ters türev kümesini bulun:
∫ x sin x x 3 + π 6 d x = u = x, d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d sen = d x , v = - 3 çünkü x 3 + π 6 = = - 3 çünkü x 3 + π 6 + 3 ∫ çünkü x 3 + π 6 d x = = - 3 x çünkü x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 çünkü x 3 + π 6 + 9 günah x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 çünkü - π 6 + π 6 + 9 günah - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2
Cevap: ∫ x günah x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Daha yüksek dereceli türevler
Açık bu ders"n'inci" türev için genel formülü yazmanın yanı sıra daha yüksek mertebeden türevleri nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. Ek olarak, böyle bir türev için Leibniz formülü dikkate alınacak ve yoğun talep üzerine daha yüksek mertebeden türevler örtük işlev. Hemen bir mini test yapmanızı öneririm:
İşte işlev: ve işte birinci türevi:
Bu örnekle ilgili herhangi bir zorluk/yanlış anlama yaşarsanız, lütfen kursumun iki temel maddesiyle başlayın: Türevi nasıl bulunur? Ve Karmaşık bir fonksiyonun türevi. Temel türevlere hakim olduktan sonra dersi okumanızı tavsiye ederim. Bir türev ile ilgili en basit problemler ele aldığımız, özellikle ikinci türev.
İkinci türevin 1. türevin türevi olduğunu tahmin etmek bile zor değil:
Prensip olarak, ikinci türev zaten daha yüksek mertebeden bir türev olarak kabul edilir.
Benzer şekilde: üçüncü türev, 2. türevin türevidir:
Dördüncü türev, 3. türevin türevidir:
Beşinci türev: , ve daha yüksek mertebeden tüm türevlerin de sıfıra eşit olacağı açıktır:
Roma rakamlarına ek olarak, pratikte genellikle aşağıdaki tanımlamalar kullanılır:
n'inci dereceden türevi ise ile gösterilir. Bu durumda, üst simge dizini parantez içine alınmalıdır.- derecedeki "y"den türevi ayırt etmek.
Bazen şöyle bir giriş olur: - sırasıyla üçüncü, dördüncü, beşinci, ..., "n'inci" türevler.
Korku ve şüphe duymadan ilerleyin:
örnek 1
Verilen bir işlev. Bulmak .
Çözüm: ne diyebilirsin ... - dördüncü türev için ileri :)
Artık dört vuruş koymak alışılmış bir şey değil, bu yüzden sayısal endekslere geçiyoruz:
Cevap:
Tamam, şimdi şu soruyu düşünelim: koşula göre 4. değil, örneğin 20. türevi bulmak gerekiyorsa ne yapmalı? 3-4-5'in türevi için ise (maksimum, 6-7.) sırayla, çözüm oldukça hızlı bir şekilde hazırlanır, o zaman daha yüksek mertebeden türevlere "ulaşırız", ah, ne kadar yakında değil. Aslında 20 satır yazmayın! Böyle bir durumda, bulunan birkaç türevi analiz etmeniz, modeli görmeniz ve "n'inci" türev için bir formül oluşturmanız gerekir. Bu nedenle, Örnek No. 1'de, sonraki her farklılaşmada, ek bir "üçlü"nün üssün önüne "sıçrayacağını" ve herhangi bir adımda "üçlü" derecesinin sayısına eşit olduğunu anlamak kolaydır. türev, bu nedenle:
Keyfi bir doğal sayı nerede.
Ve aslında, eğer , o zaman tam olarak 1. türev elde edilir: , eğer - o zaman 2.: vb. Böylece, yirminci türev anında belirlenir: - ve "kilometre sayfası" yok!
Kendi başımıza ısınmak:
Örnek 2
Özellikleri bulun. mertebe türevini yazın
Çözüm ve cevap dersin sonunda.
Canlandırıcı bir ısınmadan sonra, daha fazlasına bir göz atalım karmaşık örnekler, yukarıdaki çözüm algoritmasını çalışacağımız yer. Dersi okuyanlar için Sıra sınırı, biraz daha kolay olacak:
Örnek 3
işlev için bulun.
Çözüm: durumu açıklığa kavuşturmak için birkaç türev buluyoruz:
Ortaya çıkan sayıları çarpmak için acelemiz yok! ;-)
Belki de yeter. ... Hatta biraz abarttım.
Bir sonraki adımda, "n'inci" türevin formülünü yazmak en iyisidir. (koşul bunu gerektirmediği anda, bir taslakla idare edebilirsiniz). Bunu yapmak için, elde edilen sonuçlara bakarız ve bir sonraki türevin elde edildiği kalıpları belirleriz.
Önce imzalarlar. Interleaving sağlar "flaşör" ve 1. türev pozitif olduğundan, aşağıdaki çarpan genel formüle girecektir: . Eşdeğer bir seçenek işe yarar, ancak kişisel olarak, bir iyimser olarak artı işaretini seviyorum =)
İkincisi, payda "rüzgarlar" faktöriyel, ve türevin sayısını bir birim "geride kalıyor":
Üçüncüsü, türev sayısına eşit olan payda "iki" nin gücü artar. Aynı şey paydanın derecesi için de söylenebilir. Nihayet:
Doğrulama amacıyla, örneğin birkaç "en" değerini değiştirelim ve:
Harika, şimdi hata yapmak sadece günahtır:
Cevap:
Daha basit fonksiyon bağımsız çözüm için:
Örnek 4
Özellikleri bulun.
Ve daha zor bir problem:
Örnek 5
Özellikleri bulun.
Prosedürü bir kez daha tekrarlayalım:
1) Önce birkaç türev buluruz. Kalıpları yakalamak için genellikle üç veya dört yeterlidir.
2) O zaman derlemenizi şiddetle tavsiye ederim (en azından taslakta)"nth" türevi - hatalara karşı koruma garantilidir. Ama onsuz yapabilirsiniz, yani. zihinsel olarak tahmin edin ve örneğin yirminci veya sekizinci türevi hemen yazın. Ayrıca, bazı insanlar genellikle söz konusu sorunları sözlü olarak çözebilirler. Ancak, "hızlı" yöntemlerin sıkıntılı olduğu ve bunu güvenli bir şekilde oynamanın daha iyi olduğu unutulmamalıdır.
3) Açık son aşama"n'inci" türevi kontrol ediyoruz - bir çift "en" değeri alıyoruz (komşu olanlardan daha iyi) ve bir ikame gerçekleştiriyoruz. Ve daha da güvenilir olanı, daha önce bulunan tüm türevleri kontrol etmektir. Ardından, örneğin veya gibi istenen değeri değiştiririz ve sonucu dikkatlice tararız.
Hızlı Çözüm Dersin sonunda 4 ve 5 örnek.
Bazı görevlerde, sorunlardan kaçınmak için işlev üzerinde biraz sihir yapmanız gerekir:
Örnek 6
Çözüm: Önerilen fonksiyonun türevini hiç almak istemiyorum, çünkü "kötü" bir kesir olduğu ortaya çıkacak ve bu da sonraki türevleri bulmayı çok zorlaştıracak.
Bu bağlamda, ön dönüşümlerin yapılması tavsiye edilir: kullanıyoruz kareler farkı formülü Ve logaritma özelliği :
Oldukça farklı bir konu:
Ve eski arkadaşlar:
Bence her şeye bakılıyor. 2. kesrin işaretli olduğuna, ancak 1. kesrin imzalanmadığına dikkat edin. Sıra türevini oluşturuyoruz:
Kontrol:
Güzellik için parantez içindeki faktöriyelleri alıyoruz:
Cevap:
Bağımsız bir çözüm için ilginç bir görev:
Örnek 7
Fonksiyon için mertebeden türev formülünü yazın
Ve şimdi İtalyan mafyasının bile kıskanacağı sarsılmaz karşılıklı sorumluluk hakkında:
Örnek 8
Verilen bir işlev. Bulmak
Noktadaki on sekizinci türev. Sadece.
Çözüm: İlk olarak, tabii ki, bulmanız gerekiyor. Gitmek:
Sinüsten başladılar ve sinüse geldiler. Daha fazla farklılaşma ile bu döngünün sonsuza kadar devam edeceği açıktır ve şu soru ortaya çıkar: on sekizinci türevi en iyi nasıl "alabiliriz"?
"Amatör" yöntem: sonraki türevlerin sayısını sağdaki sütuna hızlıca yazıyoruz:
Böylece:
Ancak türevin mertebesi çok büyük değilse işe yarar. Örneğin, yüzüncü türevi bulmanız gerekiyorsa, 4'e bölünebilirliği kullanmalısınız. Yüz, 4 ile kalansız bölünebilir ve bu tür sayıların alt satırda yer aldığını görmek kolaydır, bu nedenle: .
Bu arada, 18. türev de benzer hususlardan belirlenebilir:
İkinci satır, 4 ile bölünebilen ve kalan 2 olan sayıları içerir.
Daha akademik bir başka yöntem ise sinüs periyodikliği Ve indirgeme formülleri. Sinüs'ün hazır formül "nth" türevini kullanıyoruz , istenen sayının basitçe değiştirildiği. Örneğin:
(azaltma formülü )
;
(azaltma formülü )
Bizim durumumuzda:
(1) Sinüs olduğu için periyodik fonksiyon bir nokta ile, o zaman argüman ağrısız bir şekilde 4 noktayı "sökülebilir" (yani).
İki fonksiyonun çarpımının dereceli türevi aşağıdaki formülle bulunabilir:
Özellikle:
Özel olarak hiçbir şey hatırlamanıza gerek yok çünkü ne kadar çok formül bilirseniz o kadar az anlarsınız. bilmek çok daha iyi Newton'un iki terimlisi, çünkü Leibniz'in formülü ona çok ama çok benziyor. Pekala, 7. veya daha yüksek derecelerin türevini alan şanslılar (ki bu gerçekten olası değil) yapmaya zorlanacaktır. Ancak zamanı geldiğinde kombinatorik- hala yapmak zorundasın =)
Fonksiyonun üçüncü türevini bulalım. Leibniz formülünü kullanıyoruz:
Bu durumda: . Türevleri sözlü olarak tıklamak kolaydır:
Şimdi yerine koymayı dikkatli ve DİKKATLİ bir şekilde gerçekleştirip sonucu basitleştireceğiz:
Cevap:
Bağımsız bir çözüm için benzer bir görev:
Örnek 11
Özellikleri bul
Önceki örnekte "alında" çözümü hala Leibniz formülüyle rekabet ediyorsa, o zaman burada zaten gerçekten tatsız olacaktır. Ve daha da tatsız - türevin daha yüksek mertebesi söz konusu olduğunda:
Örnek 12
Belirtilen mertebenin türevini bulun
Çözüm: ilk ve önemli açıklama - böyle karar vermek için muhtemelen gerekli değildir =) =)
Fonksiyonları yazalım ve 5. dereceye kadar türevlerini bulalım. Sağ sütunun türevleri sizin için sözlü hale geldi sanırım:
Sol sütunda, "canlı" türevler hızla "sona erdi" ve bu çok iyi - Leibniz formülünde üç terim sıfırlanacak:
Makalede ortaya çıkan ikilem üzerinde tekrar duracağım. karmaşık türevler: sonucu basitleştirmek için? Prensip olarak, böyle bırakabilirsiniz - öğretmenin kontrol etmesi daha da kolay olacaktır. Ancak kararı aklına getirmesini isteyebilir. Öte yandan, kendi inisiyatifiyle basitleştirme cebirsel hatalarla doludur. Ancak, "ilkel" bir şekilde elde edilen bir cevabımız var =) (baştaki bağlantıya bakın) ve umarım doğrudur:
Harika, her şey yolunda gitti.
Cevap:
Kendi kendine çözme için mutlu görev:
Örnek 13
işlev için:
a) doğrudan farklılaşma yoluyla bulun;
b) Leibniz formülü ile bulun;
c) hesaplayın.
Hayır, hiç sadist değilim - buradaki "a" noktası oldukça basit =)
Ancak cidden, ardışık farklılaştırma yoluyla "doğrudan" çözüm aynı zamanda "yaşama hakkına" sahiptir - bazı durumlarda karmaşıklığı Leibniz formülünü uygulamanın karmaşıklığıyla karşılaştırılabilir. Uygun gördüğünüz şekilde kullanın - bu, ödevi saymamak için bir gerekçe olamaz.
Kısa çözüm ve cevap dersin sonunda.
Son paragrafı yükseltmek için şunları yapabilmeniz gerekir: örtülü işlevleri ayırt etmek:
Örtük fonksiyonların daha yüksek mertebeden türevleri
Birçoğumuz hayatımızın uzun saatlerini, günlerini ve haftalarını çalışarak geçirdik. daireler, parabol, abartı- ve hatta bazen gerçek bir ceza gibi görünüyordu. Öyleyse intikam alalım ve onları doğru şekilde ayırt edelim!
"Okul" parabolü ile başlayalım. kanonik konum:
Örnek 14
Bir denklem verilir. Bulmak .
Çözüm: ilk adım tanıdıktır:
Fonksiyonun ve türevinin örtük olarak ifade edilmiş olması konunun özünü değiştirmez, ikinci türev 1. türevin türevidir:
Bununla birlikte, oyunun kuralları vardır: 2. ve daha yüksek mertebeden türevler genellikle ifade edilir. yalnızca "x" ve "y" aracılığıyla. Bu nedenle, ortaya çıkan 2. türevi yerine koyarız:
Üçüncü türev, 2. türevin türevidir:
Benzer şekilde yerine koyalım:
Cevap:
"Okul" abartısı kanonik konum- İçin bağımsız iş:
Örnek 15
Bir denklem verilir. Bulmak .
2. türevin ve sonucun sadece "x" / "y" ile ifade edilmesi gerektiğini tekrar ediyorum!
Kısa çözüm ve cevap dersin sonunda.
Çocuk şakalarından sonra, fia'da Alman pornografisine bakalım, başka bir önemli çözüm öğrendiğimiz daha yetişkin örneklere bakalım:
Örnek 16
Elips kendisi.
Çözüm: 1. türevi bulun:
Ve şimdi durup bir sonraki anı inceleyelim: şimdi kesri ayırt etmeliyiz ki bu hiç de cesaret verici değil. Bu durumda elbette basit ama gerçek hayattaki problemlerde sadece birkaç tane var. Hantal türevi bulmaktan kaçınmanın bir yolu var mı? var! Denklemi alıyoruz ve 1. türevi bulurken kullandığımız tekniğin aynısını kullanıyoruz - her iki parçaya da "asıyoruz":
İkinci türev yalnızca ve aracılığıyla ifade edilmelidir, yani şimdi (Şu anda) 1. türevden kurtulmak uygundur. Bunu yapmak için, ortaya çıkan denklemde yerine koyarız:
Gereksiz teknik zorluklardan kaçınmak için her iki bölümü de şu şekilde çarpıyoruz:
Ve sadece son aşamada bir kesir hazırlıyoruz:
Şimdi orijinal denkleme bakıyoruz ve elde edilen sonucun basitleştirilebileceğini görüyoruz:
Cevap:
Bir noktada 2. türevin değeri nasıl bulunur? (elbette elipse aittir), örneğin, noktada ? Çok kolay! Bu motifle ilgili derste zaten karşılaşılmıştır. normal denklem: 2. türevin ifadesinde yerine koymanız gerekir :
Tabii ki, her üç durumda da, açıkça verilen işlevleri alabilir ve bunları ayırt edebilirsiniz, ancak daha sonra kökleri içeren iki işlevle çalışmaya zihinsel olarak hazırlanabilirsiniz. Kanımca, çözümü "örtük olarak" gerçekleştirmek daha uygundur.
Kendi kendine çözüm için son örnek:
Örnek 17
Örtük işlevi bul
için Leibniz formülü n'inci hesaplama iki fonksiyonun çarpımının türevi. Kanıtı iki şekilde verilir. n'inci mertebenin türevinin hesaplanmasına ilişkin bir örnek ele alınmaktadır.
İçerikAyrıca bakınız: İki fonksiyonun çarpımının türevi
Leibniz formülü
Leibniz formülünü kullanarak, iki fonksiyonun çarpımının n'inci türevini hesaplayabilirsiniz. Şuna benziyor:
(1)
,
Nerede
binom katsayılarıdır.
Binom katsayıları, iki terimlinin ve 'nin kuvvetleri cinsinden genişleme katsayılarıdır:
.
Ayrıca sayı, n'den k'ye kadar olan kombinasyonların sayısıdır.
Leibniz formülünün kanıtı
İki fonksiyonun çarpımının türevi için formülü uyguluyoruz:
(2)
.
Formül (2)'yi aşağıdaki biçimde yeniden yazalım:
.
Yani, bir fonksiyonun x değişkenine, diğerinin y değişkenine bağlı olduğunu düşünüyoruz. Hesaplamanın sonunda, varsayıyoruz. O zaman önceki formül şu şekilde yazılabilir:
(3)
.
Türev, terimlerin toplamına eşit olduğundan ve her terim iki fonksiyonun ürünü olduğundan, daha yüksek mertebeden türevleri hesaplamak için (3) kuralını tutarlı bir şekilde uygulayabilirsiniz.
O zaman n'inci mertebeden türev için şuna sahibiz:
.
Ve verildiğinde, Leibniz formülünü elde ederiz:
(1)
.
tümevarım yoluyla kanıt
Leibniz formülünün kanıtını matematiksel tümevarım yöntemiyle sunuyoruz.
Leibniz formülünü yeniden yazalım:
(4)
.
n = 1 için elimizde:
.
Bu, iki fonksiyonun çarpımının türevinin formülüdür. O adil.
n'inci dereceden türev için formül (4)'ün geçerli olduğunu varsayalım. Bunun n + türevi için geçerli olduğunu kanıtlayalım. 1 -inci sıra.
Farklılaştır (4):
;
.
Böylece şunları bulduk:
(5)
.
(5)'te değiştirin ve şunları dikkate alın:
.
Bu, formül (4)'ün n + türevi için aynı forma sahip olduğunu gösterir. 1
-inci sıra.
Yani formül (4) n = için geçerlidir. 1
. Bazı n = m sayıları için doğru olduğu varsayımından, bunun n = m + için doğru olduğu sonucu çıkar. 1
.
Leibniz formülü kanıtlanmıştır.
Örnek
Bir fonksiyonun n'inci türevini hesaplayın
.
Leibniz formülünü uyguluyoruz
(2)
.
bizim durumumuzda
;
.
Türev tablosuna göre elimizde:
.
Trigonometrik fonksiyonların özelliklerini uyguluyoruz:
.
Daha sonra
.
Bu, sinüs fonksiyonunun farklılaşmasının kaymasına yol açtığını gösterir. Daha sonra
.
Fonksiyonun türevlerini buluyoruz.
;
;
;
,
.
için olduğundan, Leibniz formülündeki yalnızca ilk üç terim sıfır değildir. Binom katsayılarını bulma.
;
.
Leibniz formülüne göre, elimizde:
.
- Konuyla ilgili konuşmanın gelişimi üzerine sunum: "Okul öncesi çocuklar için konuşma oyunları ve alıştırmalar" (yaşa göre) Okul öncesi çocukların konuşma gelişimi sunumunu indirin
- "Kar ve kar" A. Blok. Alexander Blok - Kar ve kar: Evden karlı genişliğe şiir
- Okul öncesi çocuklar için ekolojik masallar Çocuklar için havada kim yaşıyor hikayesi
- Bir çocukta doğru ve yetkin konuşma nasıl geliştirilir?