Trigonometrik denklemler ege. Trigonometrik Denklemler - Formüller, Çözümler, Örnekler
Sorununuza detaylı çözüm siparişi verebilirsiniz !!!
Bir trigonometrik fonksiyonun ("sin x, cos x, tg x" veya "ctg x") işareti altında bilinmeyeni içeren bir eşitliğe trigonometrik denklem denir ve formüllerini daha ayrıntılı olarak ele alacağız.
En basit denklemler 'sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a' şeklindedir, burada 'x' bulunacak açıdır, 'a' herhangi bir sayıdır. Her biri için kök formülleri yazalım.
1. Denklem 'sin x=a'.
`|a|>1` için çözümü yok.
`|a| ile \leq 1` var sonsuz sayıçözümler.
Kök formülü: `x=(-1)^n arksin a + \pi n, n \in Z`
2. Denklem 'cos x=a'
`|a|>1` olduğunda - sinüs durumunda olduğu gibi, aralarındaki çözümler gerçek sayılar bulunmamaktadır.
`|a| ile \leq 1` sonsuz sayıda çözüme sahiptir.
Kök formülü: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Grafiklerde sinüs ve kosinüs için özel durumlar.
3. Denklem `tg x=a`
Herhangi bir "a" değeri için sonsuz sayıda çözüme sahiptir.
Kök formülü: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Denklem `ctg x=a`
Ayrıca herhangi bir "a" değeri için sonsuz sayıda çözüme sahiptir.
Kök formülü: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Tablodaki trigonometrik denklemlerin kökleri için formüller
sinüs için:
kosinüs için:
Tanjant ve kotanjant için:
Ters trigonometrik fonksiyonlar içeren denklemleri çözmek için formüller:
Trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri
Herhangi bir trigonometrik denklemin çözümü iki aşamadan oluşur:
- en basitine dönüştürmek için kullanarak;
- Kökler ve tablolar için yukarıdaki formülleri kullanarak elde edilen basit denklemi çözün.
Örnekler kullanarak ana çözüm yöntemlerini ele alalım.
cebirsel yöntem.
Bu yöntemde bir değişkenin yerine konması ve eşitlik haline getirilmesi yapılır.
Örnek. Şu denklemi çözün: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
bir değiştirme yapın: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, ardından `2y^2-3y+1=0`,
iki durumun takip ettiği `y_1=1, y_2=1/2` köklerini buluruz:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Cevap: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
çarpanlara ayırma.
Örnek. Denklemi çözün: `sin x+cos x=1`.
Çözüm. Tüm eşitlik terimlerini sola taşıyın: `sin x+cos x-1=0`. kullanarak, sol tarafı dönüştürüp çarpanlarına ayırıyoruz:
`sin x - 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 çünkü x/2-2sin^2 x/2=0',
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0',
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=yay 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Cevap: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Homojen bir denkleme indirgeme
İlk olarak, bu trigonometrik denklemi iki biçimden birine getirmeniz gerekir:
'a sin x+b cos x=0' (birinci derecenin homojen denklemi) veya 'a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0' (ikinci derecenin homojen denklemi).
Ardından, ilk durum için her iki parçayı da "cos x \ne 0" ile ve ikinci durum için "cos^2 x \ne 0" ile bölün. 'tg x' için denklemler elde ederiz: 'a tg x+b=0' ve 'a tg^2 x + b tg x +c =0', bunların bilinen yöntemlerle çözülmesi gerekir.
Örnek. Şu denklemi çözün: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Çözüm. Sağ tarafı `1=sin^2 x+cos^2 x` şeklinde yazalım:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x',
`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0'.
Bu, sol ve sağ kısımlarını 'cos^2 x \ne 0' ile bölen ikinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemdir, şunu elde ederiz:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x - 2=0`. Sonuç olarak 't^2 + t - 2=0' olan 'tg x=t' yerine geçelim. Bu denklemin kökleri `t_1=-2` ve `t_2=1`dir. O zamanlar:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.
Cevap. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Yarım Köşeye Git
Örnek. Denklemi çözün: '11 sin x - 2 cos x = 10'.
Çözüm. formülleri uygulayalım çift açı'22 sin (x/2) cos (x/2) -' '2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=' '10 sin^2 x/2+10 cos^ 2x/2`
`4 tg^2 x/2 - 11 tgx/2 +6=0'
Yukarıdakileri uygulamak cebirsel yöntem, şunu elde ederiz:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 yay 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Cevap. `x_1=2 yay 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=yay 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Yardımcı açının tanıtılması
a,b,c'nin katsayılar ve x'in bir değişken olduğu trigonometrik denklemde 'a sin x + b cos x =c', her iki parçayı da 'sqrt (a^2+b^2)' ile böleriz:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.
Sol taraftaki katsayılar sinüs ve kosinüs özelliklerine sahiptir, yani karelerinin toplamı 1'e eşittir ve modülleri 1'den büyük değildir. Bunları şu şekilde belirtin: `\frac a(sqrt (a^2+) b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C', sonra:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Aşağıdaki örneğe daha yakından bakalım:
Örnek. Denklemi çözün: '3 sin x+4 cos x=2'.
Çözüm. Denklemin her iki tarafını da 'sqrt (3^2+4^2)' ile bölerek şunu elde ederiz:
`\frac (3 günah x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 günah x+4/5 çünkü x=2/5`.
`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` ifade edin. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` olduğundan, yardımcı açı olarak `\varphi=arcsin 4/5` alıyoruz. Sonra eşitliğimizi şu şekilde yazarız:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Sinüs için açıların toplamı formülünü uygulayarak eşitliğimizi aşağıdaki biçimde yazarız:
`sin(x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arksin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Cevap. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Kesirli-rasyonel trigonometrik denklemler
Bunlar, trigonometrik fonksiyonların bulunduğu pay ve paydalarda kesirli eşitliklerdir.
Örnek. Denklemi çözün. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Çözüm. Denklemin sağ tarafını `(1+cos x)` ile çarpın ve bölün. Sonuç olarak şunları elde ederiz:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Paydanın sıfır olamayacağı göz önüne alındığında, `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` elde ederiz.
Kesrin payını sıfıra eşitleyin: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Ardından "sin x=0" veya "1-sin x=0".
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` olduğu göz önüne alındığında, çözümler `x=2\pi n, n \in Z` ve `x=\pi /2+2\pi n` şeklindedir. , `n \in Z`.
Cevap. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Trigonometri ve özellikle trigonometrik denklemler, geometri, fizik ve mühendisliğin hemen hemen tüm alanlarında kullanılmaktadır. Çalışma 10. sınıfta başlar, sınav için her zaman görevler vardır, bu nedenle tüm trigonometrik denklem formüllerini hatırlamaya çalışın - kesinlikle sizin için kullanışlı olacaklar!
Ancak, onları ezberlemenize bile gerek yok, asıl şey özü anlamak ve çıkarım yapabilmek. Göründüğü kadar zor değil. Videoyu izleyerek kendiniz görün.
Görev 1
Mantık basit: Trigonometrik fonksiyonların artık daha karmaşık bir argümanı olmasına rağmen, daha önce yaptığımız gibi yapacağız!
Formun bir denklemini çözecek olsaydık:
O zaman aşağıdaki cevabı yazardık:
Veya (çünkü)
Ama şimdi aşağıdaki ifadeyi oynuyoruz:
Sonra yazabilirsiniz:
Sizinle amacımız, herhangi bir "kirlilik" olmadan basitçe solda durmanızı sağlamak!
Hadi onlardan kurtulalım!
İlk olarak, paydayı kaldırın: bunu yapmak için eşitliğimizi şu şekilde çarpın:
Şimdi her iki parçayı da ona bölerek kurtuluyoruz:
Şimdi sekizden kurtulalım:
Ortaya çıkan ifade 2 dizi çözüm olarak yazılabilir (disriminantı topladığımız veya çıkardığımız ikinci dereceden bir denklemle analojiyle)
En büyük negatif kökü bulmamız gerekiyor! Ayıklamanın gerekli olduğu açıktır.
Önce ilk seriye bakalım:
Alırsak, sonuç olarak alacağımız açıktır. pozitif sayılar, ama bizi ilgilendirmiyorlar.
Bu yüzden olumsuz alınmalıdır. İzin vermek.
Kök zaten ne zaman olacak:
Ve en büyük negatifi bulmamız gerekiyor!! Yani burada olumsuz yöne gitmek artık mantıklı değil. Ve bu seri için en büyük negatif kök eşit olacaktır.
Şimdi ikinci diziyi düşünün:
Ve yine yerine koyarız: , sonra:
İlgilenmiyorum!
O zaman artık arttırmanın anlamı yok! azaltalım! O zaman izin ver:
Uygun!
İzin vermek. O zamanlar
Sonra - en büyük negatif kök!
Cevap:
2. Görev
Yine, karmaşık kosinüs argümanından bağımsız olarak çözüyoruz:
Şimdi sol tarafta tekrar ifade ediyoruz:
Her iki tarafı da çarpın
iki tarafı da böl
Geriye kalan tek şey, işaretini eksiden artıya çevirerek sağa hareket ettirmek.
Yine biri ile diğeri ile olmak üzere 2 dizi kök elde ederiz.
En büyük negatif kökü bulmamız gerekiyor. İlk seriyi düşünün:
İlk negatif kökü alacağımız açıktır, eşit olacaktır ve seri 1'deki en büyük negatif kök olacaktır.
ikinci seri için
İlk negatif kök de elde edilecek ve buna eşit olacaktır. O zamandan beri, denklemin en büyük negatif köküdür.
Cevap: .
Görev #3
Teğetin karmaşık argümanından bağımsız olarak karar veririz.
Bu karmaşık bir şey değil gibi görünüyor, değil mi?
Daha önce olduğu gibi, sol tarafta ifade ediyoruz:
Bu harika, genellikle sadece bir dizi kök vardır! Yine, en büyük negatifi bulun.
koyarsak ortaya çıkacağı açıktır. Ve bu kök eşittir.
Cevap:
Şimdi aşağıdaki sorunları kendi başınıza çözmeye çalışın.
Bağımsız çözüm için ev ödevi veya 3 görev.
- Yeniden shi-te denklemi.
- Yeniden shi-te denklemi.
from-ve-te on-pi-shi-te'de en küçük in-lo-zhi-tel-ny kökü. - Yeniden shi-te denklemi.
from-ve-te on-pi-shi-te'de en küçük in-lo-zhi-tel-ny kökü.
Hazır? Kontrol ediyoruz. Çözüm algoritmasının tamamını ayrıntılı olarak açıklamayacağım, bana öyle geliyor ki yukarıda buna yeterince dikkat edildi.
Her şey yolunda mı? Ah, o pis sinüsler, onlarla her zaman bazı sıkıntılar vardır!
Pekala, şimdi en basit trigonometrik denklemleri çözebilirsiniz!
Çözümlere ve yanıtlara göz atın:
Görev 1
İfade etmek
En küçük pozitif kök, o zamandan beri koyarsak elde edilir.
Cevap:
2. Görev
En küçük pozitif kök de elde edilecektir.
O eşit olacak.
Cevap: .
Görev #3
Aldığımızda, aldığımızda.
Cevap: .
Bu bilgi, sınavda karşılaşacağınız birçok sorunu çözmenize yardımcı olacaktır.
"5" notu için başvuruyorsanız, makaleyi okumaya devam etmeniz yeterlidir. orta seviye, daha karmaşık trigonometrik denklemleri çözmeye ayrılacaktır (görev C1).
ORTALAMA SEVİYE
Bu yazıda anlatacağım daha karmaşık tipteki trigonometrik denklemlerin çözümü ve köklerinin nasıl seçileceği. Burada aşağıdaki konulara odaklanacağım:
- trigonometrik denklemler giriş seviyesi için (yukarıya bakın).
Daha karmaşık trigonometrik denklemler problemlerin temelidir artan karmaşıklık. Denklemin kendisini nasıl çözeceklerini gerektirirler. Genel görünüm, ve verilen bir aralığa ait olan bu denklemin köklerini bulun.
Trigonometrik denklemlerin çözümü iki alt göreve indirgenir:
- denklem çözümü
- Kök seçimi
İkincinin her zaman gerekli olmadığına dikkat edilmelidir, ancak yine de çoğu örnekte bir seçim yapılması gerekmektedir. Ve gerekli değilse, sempati duyabilirsiniz - bu, denklemin kendi içinde oldukça karmaşık olduğu anlamına gelir.
C1 görevlerinin analiziyle ilgili deneyimim, bunların genellikle aşağıdaki kategorilere ayrıldığını gösteriyor.
Artan karmaşıklığa sahip dört görev kategorisi (eski adıyla C1)
- Çarpanlara indirgenen denklemler.
- Forma indirgeyen denklemler.
- Değişken Değiştirerek Çözülen Denklemler.
- Mantıksızlık veya payda nedeniyle ek kök seçimi gerektiren denklemler.
Basitçe söylemek gerekirse: ilk üç denklem türünden biri o zaman kendini şanslı say. Onlar için, kural olarak, belirli bir aralığa ait kökleri seçmek de gereklidir.
4. tip bir denklemle karşılaşırsanız, o zaman daha az şanslısınız: onunla daha uzun ve daha dikkatli bir şekilde kurcalamanız gerekir, ancak çoğu zaman ek kök seçimi gerektirmez. Her şeye rağmen verilen tip Bir sonraki makalede denklemleri analiz edeceğim ve bunu ilk üç tür denklemin çözümüne ayıracağım.
Faktoringi Azaltan Denklemler
Bu tür denklemleri çözmek için hatırlamanız gereken en önemli şey,
Uygulamanın gösterdiği gibi, kural olarak, bu bilgi yeterlidir. Bazı örneklere bakalım:
Örnek 1. İndirgeme formüllerini ve bir çift açının sinüsünü kullanarak çarpanlara ayırmaya indirgenen bir denklem
- Re-shi-te denklemi
- Bu denklemin tüm köklerini bul
Burada, söz verdiğim gibi, döküm formülleri işe yarıyor:
O zaman denklemim şöyle görünecek:
O zaman denklemim aşağıdaki formu alacak:
Dar görüşlü bir öğrenci şöyle diyebilir: ve şimdi her iki kısmı da azaltacağım, en basit denklemi elde edeceğim ve hayatın tadını çıkaracağım! Ve acı bir şekilde yanılacak!
UNUTMAYIN: BİLİNMEYENİ İÇEREN BİR FONKSİYON İÇİN BİR TRİGONOMETRİK DENKLEMİNİN İKİ KISMI ASLA AZALTMAYIN! BU YOL, KÖK KAYBEDİYORSUNUZ! |
Peki ne yapmalı? Evet, her şey basit, her şeyi bir yöne aktarın ve ortak faktörü çıkarın:
Eh, biz onu çarpanlarına ayırdık, yaşasın! Şimdi karar veriyoruz:
İlk denklemin kökleri vardır:
Ve ikinci:
Bu, sorunun ilk bölümünü tamamlar. Şimdi kökleri seçmemiz gerekiyor:
Boşluk şöyle:
Veya şu şekilde de yazılabilir:
Peki, kökleri alalım:
İlk olarak, ilk seriyle çalışalım (ve en hafif tabiriyle daha kolay!)
Aralığımız tamamen negatif olduğu için negatif olmayanları almaya gerek yok, yine de negatif olmayan kökler verecekler.
Alalım o zaman - biraz fazla, sığmıyor.
Hadi, o zaman - tekrar vurmadı.
Bir deneme daha - o zaman - işte, vur! İlk kök bulundu!
Tekrar ateş ediyorum: sonra - tekrar vur!
Peki, bir kez daha: - Bu zaten bir uçuş.
Yani ilk seriden 2 kök aralığa aittir: .
İkinci seri ile çalışıyoruz (inşa ediyoruz kurala göre bir güce):
Yetersiz!
Yine kayıp!
Yine eksiklik!
Anladım!
Uçuş!
Böylece, aşağıdaki kökler benim yayılma alanıma aittir:
Diğer tüm örnekleri çözmek için bu algoritmayı kullanacağız. Birlikte bir örnek daha uygulayalım.
Örnek 2. İndirgeme formüllerini kullanarak çarpanlara ayırmaya indirgenen bir denklem
- Denklemi çözün
Çözüm:
Yine kötü şöhretli döküm formülleri:
Yine, kesmeye çalışmayın!
İlk denklemin kökleri vardır:
Ve ikinci:
Şimdi tekrar kök arayışı.
İkinci seriyle başlayacağım, zaten önceki örnekten onun hakkında her şeyi biliyorum! Bakın ve boşluğa ait köklerin aşağıdaki gibi olduğundan emin olun:
Şimdi ilk seri ve daha basit:
Eğer - uygunsa
Eğer - ayrıca iyi
Eğer - zaten uçuş.
O zaman kökler şöyle olacaktır:
Bağımsız iş. 3 denklem.
Peki, tekniği anlıyor musun? Trigonometrik denklemleri çözmek artık çok zor görünmüyor mu? Ardından, aşağıdaki sorunları hızlıca kendiniz çözün, ardından siz ve ben diğer örnekleri çözeceğiz:
- Denklemi çözün
Bu denklemin boşluğa bağlı tüm köklerini bulun. - Re-shi-te denklemi
Kesime bağlı olan denklemin köklerini belirtin - Re-shi-te denklemi
Bu denklemin tüm köklerini bulun-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku'da.
denklem 1
Ve yine döküm formülü:
İlk kök dizisi:
İkinci kök dizisi:
Aralık seçimine başlıyoruz
Cevap: , .
denklem 2 Bağımsız çalışmayı kontrol etme.
Faktörlere göre oldukça zor gruplama (çift açının sinüsü için formülü kullanacağım):
o zaman veya
BT ortak karar. Şimdi kökleri almamız gerekiyor. Sorun şu ki, kosinüsü çeyreğe eşit olan bir açının tam değerini söyleyemeyiz. Bu nedenle, arkkozinden öylece kurtulamam - böyle bir baş belası!
O zamandan beri yapabileceğim şey bunu çözmek.
Bir tablo yapalım: interval:
Eh, sancılı araştırmalar sonucunda, denklemimizin belirtilen aralıkta bir kökü olduğu konusunda hayal kırıklığı yaratan bir sonuca vardık: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi
Denklem 3. Bağımsız çalışmanın doğrulanması.
Korkunç bir denklem. Bununla birlikte, çift açının sinüsü için formül uygulanarak oldukça basit bir şekilde çözülür:
2'ye bölelim:
Birinci terimi ikinciyle, üçüncü terimi dördüncüyle gruplandırıyoruz ve ortak çarpanları çıkarıyoruz:
İlk denklemin kökleri olmadığı açıktır ve şimdi ikincisini düşünün:
Genel olarak, biraz sonra bu tür denklemleri çözme üzerinde duracaktım, ama ortaya çıktığı için yapacak bir şey yoktu, karar vermemiz gerekiyordu ...
Formun denklemleri:
Bu denklem her iki tarafı şuna bölerek çözülür:
Böylece denklemimiz tek bir kök dizisine sahiptir:
Bunlardan aralığa ait olanları bulmanız gerekir: .
Daha önce yaptığım gibi tabloyu tekrar oluşturalım:
Cevap: .
Forma indirgeyen denklemler:
Pekala, şimdi denklemlerin ikinci kısmına geçmenin zamanı geldi, özellikle de yeni tip trigonometrik denklemlerin çözümünün nelerden oluştuğunu zaten ağzımdan kaçırdığım için. Ancak formun denkleminin tekrarlanması gereksiz olmayacaktır.
Her iki parçayı da kosinüs ile bölerek çözülür:
- Re-shi-te denklemi
Kesime eklenen denklemin köklerini belirtin. - Re-shi-te denklemi
Denklemin köklerini belirtin, at-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.
örnek 1
Birincisi oldukça basit. Sağa gidin ve çift açılı kosinüs formülünü uygulayın:
Aha! Tip denklemi: . iki parçayı da ikiye bölüyorum
Kök eleme yapıyoruz:
Açıklık:
Cevap:
Örnek 2
Ayrıca her şey oldukça önemsiz: sağdaki parantezleri açalım:
Temel trigonometrik kimlik:
Çift açının sinüsü:
Sonunda şunu elde ederiz:
Köklerin taranması: boşluk.
Cevap: .
Peki, tekniği nasıl buldunuz, çok karmaşık değil mi? Umarım değildir. Hemen bir rezervasyon yapabiliriz: saf haliyle, teğet için hemen bir denkleme indirgenen denklemler oldukça nadirdir. Tipik olarak, bu geçiş (kosinüs ile bölme) daha büyük bir problemin yalnızca bir parçasıdır. İşte pratik yapmanız için bir örnek:
- Re-shi-te denklemi
- Bu denklemin tüm köklerini, kesimden-le-zha-schie'de-bulun.
Hadi kontrol edelim:
Denklem hemen çözülür, her iki parçayı da şuna bölmek yeterlidir:
Kök eleme:
Cevap: .
Öyle ya da böyle, az önce tartıştığımız türden denklemlerle henüz karşılaşmadık. Ancak, tamamlamamız için henüz çok erken: analiz etmediğimiz bir denklem "katmanı" daha var. Yani:
Değişken değişikliği ile trigonometrik denklemlerin çözümü
Burada her şey şeffaf: denkleme yakından bakıyoruz, mümkün olduğunca basitleştiriyoruz, değiştirme yapıyoruz, çözüyoruz, ters değiştirme yapıyoruz! Sözün özü her şey çok kolay. Eylemde görelim:
Örnek.
- Denklemi çözün: .
- Bu denklemin tüm köklerini, kesimden-le-zha-schie'de-bulun.
Pekala, burada değiştirmenin kendisi bizim elimize geçiyor!
O zaman denklemimiz şu olur:
İlk denklemin kökleri vardır:
Ve ikincisi şöyle:
Şimdi aralığa ait kökleri bulalım
Cevap: .
Biraz daha karmaşık bir örneğe birlikte bakalım:
- Re-shi-te denklemi
- Verilen denklemin köklerini belirtin, at-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.
Burada değiştirme hemen görünmez, ayrıca çok açık değildir. Önce bir düşünelim: Ne yapabiliriz?
Örneğin, hayal edebiliriz
Ve aynı zamanda
O zaman denklemim şöyle olur:
Ve şimdi dikkat, odaklanın:
Denklemin her iki tarafını da bölelim:
Aniden sen ve ben ikinci dereceden denklem Nispeten! Bir değişiklik yapalım, sonra şunu elde ederiz:
Denklemin aşağıdaki kökleri vardır:
Hoş olmayan bir ikinci kök dizisi, ancak yapılacak bir şey yok! Aralıkta kök seçimi yapıyoruz.
şunu da hesaba katmamız lazım
O zamandan beri
Cevap:
Birleştirmek için, sorunları kendiniz çözmeden önce, işte size başka bir alıştırma:
- Re-shi-te denklemi
- Bu denklemin tüm köklerini bulun-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku'da.
Burada gözlerinizi açık tutmanız gerekiyor: sıfır olabilen paydalarımız var! Bu nedenle, köklere özellikle dikkat etmelisiniz!
Her şeyden önce, uygun bir ikame yapabilmek için denklemi dönüştürmem gerekiyor. Şu anda tanjantı sinüs ve kosinüs cinsinden yeniden yazmaktan daha iyi bir şey düşünemiyorum:
Şimdi temel trigonometrik özdeşliğe göre kosinüsten sinüse gideceğim:
Ve son olarak, her şeyi ortak bir paydada birleştireceğim:
Şimdi denkleme geçebilirim:
Ama at (yani at).
Artık her şey değiştirilmeye hazır:
O zaman ya
Ancak, eğer öyleyse, aynı zamanda unutmayın!
Kim bundan muzdarip? Sorun tanjanttadır, kosinüs sıfır olduğunda tanımlanmaz (sıfıra bölme gerçekleşir).
Yani denklemin kökleri:
Şimdi aralıktaki kökleri eliyoruz:
- uyuyor | |
- arama |
Böylece, denklemimizin aralıkta tek bir kökü vardır ve eşittir.
Görüyorsunuz: paydanın görünümü (teğetin yanı sıra, köklerle ilgili bazı zorluklara yol açar! Burada daha dikkatli olmanız gerekir!).
Eh, sen ve ben trigonometrik denklemlerin analizini neredeyse bitirdik, çok az şey kaldı - iki sorunu kendi başımıza çözmek için. İşte buradalar.
- Denklemi çözün
Bu denklemin tüm köklerini, kesimden-le-zha-schie'de-bulun. - Re-shi-te denklemi
Kesime bağlı olan bu denklemin köklerini belirtin.
Karar verdim? Çok zor değil mi? Hadi kontrol edelim:
- İndirgeme formüllerine göre çalışıyoruz:
Denklemde yerine koyarız:
Değiştirmeyi daha uygun hale getirmek için her şeyi kosinüs cinsinden yeniden yazalım:
Şimdi ikame yapmak çok kolay:
Denklemin çözümü olmadığı için bunun yabancı bir kök olduğu açıktır. O zamanlar:
Aralıkta ihtiyacımız olan kökleri arıyoruz
Cevap: .
Burada değiştirme hemen görülebilir:O zaman ya
- uyuyor! - uyuyor! - uyuyor! - uyuyor! - birçok! - ayrıca çok! Cevap:
Peki, şimdi her şey! Ancak trigonometrik denklemlerin çözümü burada bitmiyor, en çok geride bıraktık. zor vakalar: denklemlerde mantıksızlık olduğunda veya farklı tür"karmaşık paydalar". Bu tür görevlerin nasıl çözüleceğini, ileri düzey bir makalede ele alacağız.
İLERİ DÜZEY
Önceki iki makalede ele alınan trigonometrik denklemlere ek olarak, daha da dikkatli analiz gerektiren başka bir denklem sınıfını ele alıyoruz. Veri trigonometrik örnekler mantıksızlık veya payda içerir, bu da analizlerini zorlaştırır. Bununla birlikte, C bölümünde bu denklemlerle karşılaşabilirsiniz. sınav çalışması. Bununla birlikte, gümüş bir astar var: Bu tür denklemler için, kural olarak, hangi köklerinin belirli bir aralığa ait olduğu sorusu artık gündeme gelmiyor. Lafı dolandırmayalım, sadece trigonometrik örnekler.
örnek 1
Denklemi çözün ve segmente ait kökleri bulun.
Çözüm:
Sıfıra eşit olmaması gereken bir paydamız var! Ozaman karar ver verilen denklem sistemi çözmekle aynı şey
Denklemlerin her birini çözelim:
Ve şimdi ikincisi:
Şimdi diziye bakalım:
Seçeneğin bize uymadığı açıktır, çünkü bu durumda payda sıfıra ayarlanır (ikinci denklemin kökleri için formüle bakın)
Eğer - o zaman her şey yolunda ve payda sıfıra eşit değil! O halde denklemin kökleri: , .
Şimdi aralığa ait kökleri seçiyoruz.
- uygun değil | - uyuyor | |
- uyuyor | - uyuyor | |
numaralandırma | numaralandırma |
O zaman kökler:
Görüyorsunuz, payda biçimindeki küçük bir girişimin ortaya çıkması bile denklemin çözümünü önemli ölçüde etkiledi: paydayı geçersiz kılan bir dizi kökü attık. Mantıksızlığı olan trigonometrik örneklerle karşılaşırsanız işler daha da karmaşık hale gelebilir.
Örnek 2
Denklemi çözün:
Çözüm:
En azından kökleri seçmene gerek yok ve bu iyi! Mantıksızlıktan bağımsız olarak önce denklemi çözelim:
Ve ne, hepsi bu mu? Hayır, ne yazık ki, bu çok kolay olurdu! Kökün altında yalnızca negatif olmayan sayıların durabileceği unutulmamalıdır. O zamanlar:
Bu eşitsizliğin çözümü:
Şimdi, ilk denklemin köklerinin bir kısmının yanlışlıkla eşitsizliğin olmadığı bir yere düşüp düşmediğini bulmak için kalır.
Bunu yapmak için tabloyu tekrar kullanabilirsiniz:
: , ancak | Değil! | |
Evet! | ||
Evet! |
Böylece köklerden biri benim için “düştü”! koyarsanız ortaya çıkar. O halde cevap şu şekilde yazılabilir:
Cevap:
Görüyorsunuz, kök daha da yakından dikkat gerektiriyor! Karmaşıklaştırıyoruz: şimdi kökümün altında durmasına izin ver trigonometrik fonksiyon.
Örnek 3
Daha önce olduğu gibi: önce her birini ayrı ayrı çözeceğiz ve sonra ne yaptığımızı düşüneceğiz.
Şimdi ikinci denklem:
Şimdi en zor şey, oradaki ilk denklemden kökleri değiştirirsek, aritmetik kök altında negatif değerlerin elde edilip edilmediğini bulmaktır:
Sayı radyan olarak anlaşılmalıdır. Bir radyan derecelerle ilgili olduğundan, radyanlar yaklaşık derecelerle ilgilidir. Burası ikinci çeyreğin köşesi. İkinci çeyreğin kosinüsünün işareti nedir? Eksi. Peki ya sinüs? Bir artı. Peki ya şu ifade:
Sıfırdan daha az!
Yani - denklemin kökü değil.
Şimdi dön.
Bu sayıyı sıfırla karşılaştıralım.
Kotanjant, 1 çeyrekte azalan bir fonksiyondur (argüman ne kadar küçükse, kotanjant o kadar büyüktür). radyan derecelerle ilgilidir. Aynı zamanda
o zamandan beri ve bu nedenle
,
Cevap: .
Daha da zor olabilir mi? Lütfen! Kök hala bir trigonometrik fonksiyon ise ve denklemin ikinci kısmı yine trigonometrik bir fonksiyon ise daha zor olacaktır.
Daha fazla trigonometrik örnek daha iyi, daha fazla bakın:
Örnek 4
Sınırlı kosinüs nedeniyle kök uygun değildir
Şimdi ikincisi:
Aynı zamanda, kökün tanımı gereği:
Birim çemberi hatırlamalıyız: yani sinüsün sıfırdan küçük olduğu çeyrekler. Bu mahalleler nelerdir? Üçüncü ve dördüncü. O zaman üçüncü veya dördüncü çeyrekte yer alan birinci denklemin çözümleriyle ilgileneceğiz.
İlk seri, üçüncü ve dördüncü çeyreğin kesiştiği yerde yatan kökleri verir. İkinci seri, taban tabana zıttır ve birinci ve ikinci çeyreğin sınırında yatan köklere yol açar. O yüzden bu dizi bize uymuyor.
Cevap: ,
Ve yeniden "zor mantıksızlık" ile trigonometrik örnekler. Sadece kökün altında trigonometrik bir fonksiyonumuz var, aynı zamanda paydada da var!
Örnek 5
Pekala, yapılacak bir şey yok - eskisi gibi davranıyoruz.
Şimdi payda ile çalışıyoruz:
Trigonometrik eşitsizliği çözmek istemiyorum ve bu yüzden zor yapacağım: Kök dizimi alıp eşitsizliğin yerine koyacağım:
Eşit ise, o zaman elimizde:
çünkü o zaman görüşün tüm açıları dördüncü çeyrekte yer alır. Ve yine kutsal soru: dördüncü çeyrekteki sinüsün işareti nedir? Olumsuz. Daha sonra eşitsizlik
Garip ise, o zaman:
açı hangi çeyrekte? Burası ikinci çeyreğin köşesi. Sonra tüm köşeler yine ikinci çeyreğin köşeleri. Sinüs pozitif. Sadece ihtiyacın olan şey! Yani dizi:
Uygun!
İkinci kök dizisini de aynı şekilde ele alıyoruz:
Eşitsizliğimizi yerine koy:
Eğer eşitse, o zaman
İlk çeyreğin köşeleri. Orada sinüs pozitiftir, dolayısıyla seri uygundur. Şimdi eğer tuhafsa, o zaman:
da uyuyor!
Peki, şimdi cevabı yazıyoruz!
Cevap:
Eh, bu belki de en zahmetli vakaydı. Şimdi size bağımsız çözüm için görevler sunuyorum.
Antrenman yapmak
- Segmente ait olan denklemin tüm köklerini çözün ve bulun.
Çözümler:
İlk denklem:
veya
Kök ODZ:İkinci denklem:
Aralığa ait köklerin seçimi
Cevap:
Veya
veya
Fakat
Düşünmek: . Eğer eşitse, o zaman
- uygun değil!
Eğer - garip, : - uyuyor!
Yani denklemimiz aşağıdaki kök serisine sahiptir:
veya
Aralıktaki köklerin seçimi:
- uygun değil | - uyuyor | |
- uyuyor | - birçok | |
- uyuyor | birçok |
Cevap: , .
Veya
O zamandan beri, tanjant tanımlanmadığında. Derhal bu kök dizisini atın!
İkinci kısım:
Aynı zamanda, ODZ bunu gerektirir
İlk denklemde bulunan kökleri kontrol ediyoruz:
işareti ise:
Teğetin pozitif olduğu ilk çeyreğin açıları. Uygun değil!
işareti ise:
Dördüncü çeyrek köşesi. Orada teğet negatiftir. Uygun. Cevabı yazın:
Cevap: , .
Bu makalede karmaşık trigonometrik örnekleri bir araya getirdik, ancak denklemleri kendiniz çözebilmelisiniz.
ÖZET VE TEMEL FORMÜL
Trigonometrik denklem, bilinmeyenin kesinlikle trigonometrik fonksiyonun işareti altında olduğu bir denklemdir.
Trigonometrik denklemleri çözmenin iki yolu vardır:
İlk yol formülleri kullanmaktır.
İkinci yol, trigonometrik bir çemberden geçer.
Açıları ölçmenize, sinüslerini, kosinüslerini ve daha fazlasını bulmanızı sağlar.
Hazırlık için profil seviyesi birleşik Devlet sınavı matematik. Trigonometri üzerine faydalı materyaller, büyük teorik video dersleri, problemlerin video analizi ve önceki yıllardan bir dizi görev.
Yararlı malzemeler
Video koleksiyonları ve çevrimiçi kurslar
trigonometrik formüller
Trigonometrik formüllerin geometrik çizimi
Ark fonksiyonları. En basit trigonometrik denklemler
trigonometrik denklemler
- Problem çözmek için gerekli teori.
- a) $7\cos^2 x - \cos x - 8 = 0$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[ -\dfrac(7\pi)(2) aralığına ait tüm köklerini bulun; -\dfrac(3\pi)(2)\sağ]$. - a) $\dfrac(6)(\cos^2 x) - \dfrac(7)(\cos x) + 1 = 0$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[ -3\pi aralığına ait tüm köklerini bulun; -\pi\sağ]$. - $\sin\sqrt(16 - x^2) = \dfrac12$ denklemini çözün.
- a) $2\cos 2x - 12\cos x + 7 = 0$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[ -\pi; aralığına ait tüm köklerini bulun; \dfrac(5\pi)(2) \sağ]$. - a) $\dfrac(5)(\mathrm(tg)^2 x) - \dfrac(19)(\sin x) + 17 = 0$ denklemini çözün.
- $\dfrac(2\cos^3 x + 3 \cos^2 x + \cos x)(\sqrt(\mathrm(ctg)x)) = 0$ denklemini çözün.
- $\dfrac(\mathrm(tg)^3x - \mathrm(tg)x)(\sqrt(-\sin x)) = 0$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[ -\dfrac(5\pi)(2) aralığına ait tüm köklerini bulun; -\pi\sağ)$.- a) $\cos 2x = \sin\left(\dfrac(3\pi)(2) - x\sağ)$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[ \dfrac(3\pi)(2) aralığına ait tüm köklerini bulun; \dfrac(5\pi)(2) \sağ]$. - a) $2\sin^2\left(\dfrac(3\pi)(2) + x\right) = \sqrt3\cos x$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[ -\dfrac(7\pi)(2) aralığına ait tüm köklerini bulun; -2\pi \sağ]$.
Görevlerin video analizi
b) $\left[ \sqrt(3) segmentine ait bu denklemin tüm köklerini bulun; \sqrt(20)\sağ]$.
b) $\left[ -\dfrac(9\pi)(2) segmentine ait bu denklemin tüm köklerini bulun; -3\pi\sağ]$.
b) $\left[ -\sqrt(3) segmentine ait bu denklemin tüm köklerini bulun; \sqrt(30)\sağ]$.
a) $\cos 2x = 1 - \cos\left(\dfrac(\pi)(2) - x\sağ)$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[ -\dfrac(5\pi)(2) aralığına ait tüm köklerini bulun; -\pi\sağ)$.
a) $\cos^2 (\pi - x) - \sin \left(x + \dfrac(3\pi)(2) \right) = 0$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[\dfrac(5\pi)(2) aralığına ait tüm köklerini bulun; 4\pi\sağ]$.
b) Bu denklemin $\left[\log_5 2 aralığına ait tüm köklerini bulun; \log_5 20 \sağ]$.
a) $8 \sin^2 x + 2\sqrt(3) \cos \left(\dfrac(3\pi)(2) - x\right) = 9$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[- \dfrac(5\pi)(2) aralığına ait tüm köklerini bulun; -\pi\sağ]$.
a) $2\log_3^2 (2 \cos x) - 5\log_3 (2 \cos x) + 2 = 0$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[\pi aralığına ait tüm köklerini bulun; \dfrac(5\pi)(2) \sağ]$.
a) $\left(\dfrac(1)(49) \right)^(\sin x) = 7^(2 \sin 2x)$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[\dfrac(3\pi)(2) aralığına ait tüm köklerini bulun; 3\pi\sağ]$.
a) $\sin x + \left(\cos \dfrac(x)(2) - \sin \dfrac(x)(2)\right)\left(\cos \dfrac(x)(2) denklemini çözün + \sin \dfrac(x)(2)\sağ) = 0$.
b) Bu denklemin $\left[\pi aralığına ait tüm köklerini bulun; \dfrac(5\pi)(2)\sağ]$.
a) $\log_4 (\sin x + \sin 2x + 16) = 2$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[ -4\pi; aralığına ait tüm köklerini bulun; -\dfrac(5\pi)(2)\sağ]$.
Geçmiş yıllardan seçmeler
- a) $\dfrac(\sin x)(\sin^2\dfrac(x)(2)) = 4\cos^2\dfrac(x)(2)$ denklemini çözün.
b) $\left[ -\dfrac(9\pi)(2) segmentine ait bu denklemin tüm köklerini bulun; -3\pi\sağ]$. (KULLANIM-2018. Erken dalga) - a) $\sqrt(x^3 - 4x^2 - 10x + 29) = 3 - x$ denklemini çözün.
b) $\left[ -\sqrt(3) segmentine ait bu denklemin tüm köklerini bulun; \sqrt(30)\sağ]$. (USE-2018. Erken dalga, yedek gün) - a) $2 \sin^2 x + \sqrt2 \sin \left(x + \dfrac(\pi)(4)\right) = \cos x $ denklemini çözün.
b) $\left[ -2\pi; segmentine ait bu denklemin tüm köklerini bulun; -\dfrac(\pi)(2) \sağ]$. (KULLANIM-2018. Ana dalga) - a) $\sqrt6 \sin^2 x + \cos x = 2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(6) \right)$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[ 3\pi; segmentine ait tüm köklerini bulun; \dfrac(9\pi)(2) \sağ]$. (KULLANIM-2018. Ana dalga) - a) $\sin x + 2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(6) \right) = \sqrt3 \sin 2x + 1$ denklemini çözün.
b) $\left[ -\dfrac(7\pi)(2) segmentine ait bu denklemin tüm köklerini bulun; -2\pi \sağ]$. (KULLANIM-2018. Ana dalga) - a) $\cos^2 x + \sin x = \sqrt2 \sin\left(x + \dfrac(\pi)(4) \right)$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[ -4\pi; segmentine ait tüm köklerini bulun; -\dfrac(5\pi)(2)\sağ]$. (KULLANIM-2018. Ana dalga) - a) $2 \sin\left(2x + \dfrac(\pi)(3) \right) - \sqrt(3) \sin x = \sin 2x + \sqrt3$ denklemini çözün.
- a) $2\sqrt3 \sin\left(x + \dfrac(\pi)(3) \right) - \cos 2x = 3\cos x - 1$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[ 2\pi; segmentine ait tüm köklerini bulun; \dfrac(7\pi)(2) \sağ]$. (KULLANIM-2018. Ana dalga) - a) $2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(6) \sağ) - \cos x = \sqrt3\sin 2x - 1$ denklemini çözün.
b) $\left[ \dfrac(5\pi)(2) segmentine ait bu denklemin tüm köklerini bulun; 4\pi\sağ]$. (KULLANIM-2018. Ana dalga) - a) $\sqrt2\sin\left(\dfrac(\pi)(4) + x \sağ) + \cos 2x = \sin x - 1$ denklemini çözün.
b) $\left[ \dfrac(7\pi)(2) segmentine ait bu denklemin tüm köklerini bulun; 5\pi\sağ]$. (KULLANIM-2018. Ana dalga) - a) $\sqrt2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(4) \right) + \sqrt2\cos x = \sin 2x - 1$ denklemini çözün.
b) $\left[ -\dfrac(5\pi)(2) segmentine ait bu denklemin tüm köklerini bulun; -\pi\sağ]$. (KULLANIM-2018. Ana dalga) - a) $2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(3) \right) + \cos 2x = \sqrt3\cos x + 1$ denklemini çözün.
b) $\left[ -3\pi; segmentine ait bu denklemin tüm köklerini bulun; -\dfrac(3\pi)(2)\sağ]$. (KULLANIM-2018. Ana dalga)
b) Bu denklemin $\left[ \pi; segmentine ait tüm köklerini bulun; \dfrac(5\pi)(2) \sağ]$. (KULLANIM-2018. Ana dalga)- a) $2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(4) \right) + \cos 2x = \sqrt2\cos x + 1$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[ \pi; segmentine ait tüm köklerini bulun; \dfrac(5\pi)(2) \sağ]$. (USE-2018. Ana dalga, yedek gün) - a) $2\cos x - \sqrt3 \sin^2 x = 2\cos^3 x$ denklemini çözün.
b) $\left[ -\dfrac(7\pi)(2) segmentine ait bu denklemin tüm köklerini bulun; -2\pi \sağ]$. (USE-2018. Ana dalga, yedek gün) - a) $2\cos x + \sin^2 x = 2\cos^3 x$ denklemini çözün.
b) $\left[ -\dfrac(9\pi)(2) segmentine ait bu denklemin tüm köklerini bulun; -3\pi\sağ]$. (USE-2018. Ana dalga, yedek gün) - a) $2\sqrt2\sin \left(x + \dfrac(\pi)(3)\right) + 2\cos^2 x = 2 + \sqrt6 \cos x$ denklemini çözün.
b) $\left[ -3\pi; segmentine ait bu denklemin tüm köklerini bulun; -\dfrac(3\pi)(2)\sağ]$. (USE-2018. Ana dalga, yedek gün) - a) $x - 3\sqrt(x - 1) + 1 = 0$ denklemini çözün.
b) $\left[ \sqrt(3) segmentine ait bu denklemin tüm köklerini bulun; \sqrt(20)\sağ]$. (USE-2018. Ana dalga, yedek gün) - a) $2x \cos x - 8\cos x + x - 4 = 0$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[ -\dfrac(\pi)(2);\ \pi \right]$ aralığına ait köklerini bulun. (USE-2017, ana dalga, yedek gün) - a) $\log_3 (x^2 - 2x) = 1$ denklemini çözün.
b) $\left[ \log_2 0(,)2;\ \log_2 5 \right]$ segmentine ait bu denklemin köklerini bulun. (USE-2017, ana dalga, yedek gün) - a) $\log_3 (x^2 - 24x) = 4$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[ \log_2 0(,)1;\ 12\sqrt(5) \right]$ aralığına ait köklerini bulun. (USE-2017, ana dalga, yedek gün) - a) $0(,)4^(\sin x) + 2(,)5^(\sin x) = 2$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[ 2\pi;\ \dfrac(7\pi)(2) \right]$ aralığına ait köklerini bulun. (USE-2017, ana dalga) - a) $\log_8 \left(7\sqrt(3) \sin x - \cos 2x - 10\right) = 0$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[ \dfrac(3\pi)(2);\ 3\pi \right]$ aralığına ait köklerini bulun. (USE-2017, ana dalga) - a) $\log_4 \left(2^(2x) - \sqrt(3) \cos x - 6\sin^2 x\right) = x$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[ \dfrac(5\pi)(2);\ 4\pi \right]$ aralığına ait köklerini bulun. (USE-2017, ana dalga) - a) $2\log_2^2 \left(\sin x\right) - 5 \log_2 \left(\sin x\right) - 3 = 0$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[ - 3\pi;\ - \dfrac(3\pi)(2) \right]$ aralığına ait köklerini bulun. (USE-2017, ana dalga) - a) $81^(\cos x) - 12\cdot 9^(\cos x) + 27 = 0$ denklemini çözün.
b) $\left[ - 4\pi;\ - \dfrac(5\pi)(2) \right]$ segmentine ait bu denklemin köklerini bulun. (USE-2017, ana dalga) - a) $8^x - 9 \cdot 2^(x + 1) + 2^(5 - x) = 0$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[ \log_5 2;\ \log_5 20 \right]$ aralığına ait köklerini bulun. (KULLANIM-2017, erken dalga) - a) $2\log^2_9 x - 3 \log_9 x + 1 = 0$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[ \sqrt(10);\ \sqrt(99) \right]$ aralığına ait köklerini bulun. (USE-2016, ana dalga, yedek gün) - a) $6\log^2_8 x - 5 \log_8 x + 1 = 0$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[ 2;\ 2(,)5 \right]$ aralığına ait köklerini bulun. (USE-2016, ana dalga, yedek gün) - a) $\sin 2x = 2\sin x + \sin \left(x + \dfrac(3\pi)(2) \sağ) + 1$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[ -4\pi;\ -\dfrac(5\pi)(2) \right]$ aralığına ait köklerini bulun. (USE-2016, ana dalga, yedek gün) - a) $2\cos^2 x + 1 = 2\sqrt(2) \cos \left(\dfrac(3\pi)(2) - x \right)$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[ \dfrac(3\pi)(2);\ 3\pi \right]$ aralığına ait köklerini bulun. (USE-2016, ana dalga) - a) $2\log^2_2 (2\cos x) - 9 \log_2 (2\cos x) + 4 = 0$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[ -2\pi;\ -\dfrac(\pi)(2) \right]$ aralığına ait köklerini bulun. (USE-2016, ana dalga) - a) $8^x - 7 \cdot 4^x - 2^(x + 4) + 112 = 0$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[ \log_2 5;\ \log_2 11 \right]$ aralığına ait köklerini bulun. (USE-2016, erken dalga) - a) $\cos 2x + \cos^2 \left(\dfrac(3\pi)(2) - x \sağ) = 0.25$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[ -4\pi;\ -\dfrac(5\pi)(2) \right]$ aralığına ait köklerini bulun. (USE-2016, erken dalga) - a) $\dfrac(13\sin^2 x - 5\sin x)(13\cos x + 12) = 0$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[ -3\pi;\ -\dfrac(3\pi)(2) \right]$ aralığına ait köklerini bulun. (USE-2016, erken dalga) - a) $\dfrac(\sin2x)(\sin\left(\dfrac(7\pi)(2) - x \sağ)) = \sqrt(2)$ denklemini çözün.
b) $\left$ doğru parçasına ait olan bu denklemin köklerini bulun. (USE-2015, ana dalga) - a) $4 \sin^2 x = \mathrm(tg) x$ denklemini çözün.
b) $\sol[ - \pi;\ 0\sağ]$ doğru parçasına ait bu denklemin köklerini bulun. (USE-2015, ana dalga) - a) $3\cos 2x - 5\sin x + 1 = 0$ denklemini çözün.
b) $\sol[ \pi;\ \dfrac(5\pi)(2)\sağ]$ segmentine ait bu denklemin köklerini bulun. (USE-2015, ana dalga) - a) $\cos 2x - 5\sqrt(2)\cos x - 5 = 0$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[ -3\pi;\ -\dfrac(3\pi)(2)\right]$ aralığına ait köklerini bulun. (USE-2015, ana dalga) - a) $\sin 2x + \sqrt(2) \sin x = 2\cos x + \sqrt(2)$ denklemini çözün.
b) $\sol[ \pi;\ \dfrac(5\pi)(2)\sağ]$ segmentine ait bu denklemin köklerini bulun. (USE-2015, erken dalga) - a) $2\cos^3 x - \cos^2 x + 2\cos x - 1 = 0$ denklemini çözün.
b) Bu denklemin $\left[ 2\pi;\ \dfrac(7\pi)(2)\right]$ aralığına ait köklerini bulun. (USE-2015, erken dalga) - a) $\mathrm(tg)^2 x + (1 + \sqrt(3)) \mathrm(tg) x + \sqrt(3) = 0$ denklemini çözün.
b) $\left[ \dfrac(5\pi)(2) segmentine ait bu denklemin köklerini belirtin; \4\pi\sağ]$. (USE-2014, ana dalga) - a) $2\sqrt(3) \cos^2\left(\dfrac(3\pi)(2) + x\right) - \sin 2x = 0$ denklemini çözün.
b) $\left[ \dfrac(3\pi)(2) segmentine ait bu denklemin köklerini belirtin; \3\pi\sağ]$. (USE-2014, ana dalga) - a) $\cos 2x + \sqrt(2) \sin\left(\dfrac(\pi)(2) + x\sağ) + 1 = 0$ denklemini çözün.
b) $\left[ -3\pi parçasına ait olan bu denklemin köklerini belirtin; \ -\dfrac(3\pi)(2)\sağ]$. (USE-2014, ana dalga) - a) $-\sqrt(2) \sin\left(-\dfrac(5\pi)(2) + x\right) \cdot \sin x = \cos x$ denklemini çözün.
b) $\left[ \dfrac(9\pi)(2) segmentine ait bu denklemin köklerini belirtin; \6\pi\sağ]$. (USE-2014, erken dalga) - a) $\sin 2x = \sin\left(\dfrac(\pi)(2) + x\sağ)$ denklemini çözün.
b) $\left[ -\dfrac(7\pi)(2) segmentine ait bu denklemin köklerini belirtin; \ -\dfrac(5\pi)(2)\sağ]$. (USE-2013, ana dalga) - a) $6 \sin^2 x + 5\sin\left(\dfrac(\pi)(2) - x\right) - 2 = 0$ denklemini çözün.
b) $\left[ -5\pi; segmentine ait olan bu denklemin köklerini belirtin; \ - \dfrac(7\pi)(2)\sağ]$. (USE-2012, ikinci dalga)