Kaip rasti trikampio plotą naudojant sinusą. Trikampio plotas - formulės ir problemų sprendimo pavyzdžiai
Paprasčiau tariant, tai daržovės, virtos vandenyje pagal specialų receptą. Apsvarstysiu du pradinius komponentus (daržovių salotas ir vandenį) ir galutinį rezultatą - barščius. Geometriškai tai galima pavaizduoti kaip stačiakampį, kurio viena pusė žymi salotas, kita pusė – vandenį. Šių dviejų pusių suma žymės barščius. Tokio „barščių“ stačiakampio įstrižainė ir plotas yra grynai matematinės sąvokos ir niekada nenaudojamos barščių receptuose.
Kaip matematine prasme salotos ir vanduo virsta barščiais? Kaip dviejų atkarpų suma gali virsti trigonometrija? Norėdami tai suprasti, mums reikia linijinių kampų funkcijų.
Matematikos vadovėliuose nieko nerasite apie tiesinio kampo funkcijas. Bet be jų negali būti matematikos. Matematikos dėsniai, kaip ir gamtos dėsniai, veikia nepriklausomai nuo to, ar žinome, kad jie egzistuoja, ar ne.
Tiesinės kampinės funkcijos yra sudėjimo dėsniai. Pažiūrėkite, kaip algebra virsta geometrija, o geometrija – trigonometrija.
Ar galima apsieiti be linijinių kampinių funkcijų? Galite, nes matematikai vis tiek apsieina be jų. Matematikos gudrybė slypi tame, kad jie mums visada pasakoja tik apie tas problemas, kurias gali išspręsti patys, ir niekada nepasakoja apie tas problemas, kurių negali išspręsti. Pamatyti. Jei žinome pridėjimo ir vieno nario rezultatą, kitam dėmeniui rasti naudojame atimtį. Viskas. Kitų problemų nežinome ir nesugebame jų išspręsti. Ką daryti, jei žinome tik pridėjimo rezultatą ir nežinome abiejų terminų? Šiuo atveju sudėjimo rezultatas turi būti išskaidytas į du terminus, naudojant tiesines kampines funkcijas. Be to, mes patys pasirenkame, koks gali būti vienas narys, o tiesinės kampinės funkcijos parodo, koks turėtų būti antrasis narys, kad pridėjimo rezultatas būtų būtent toks, kokio mums reikia. Tokių terminų porų gali būti be galo daug. AT Kasdienybė mes labai gerai darome neskaidydami sumos, mums pakanka atimti. Bet pas moksliniai tyrimai gamtos dėsniai, sumos išskaidymas į terminus gali būti labai naudingas.
Kitas papildymo dėsnis, apie kurį matematikai nemėgsta kalbėti (dar vienas jų triukas), reikalauja, kad terminai turėtų tą patį matavimo vienetą. Salotoms, vandeniui ir barščiams tai gali būti svorio, tūrio, kainos ar matavimo vienetai.
Paveiksle pavaizduoti du matematikos skirtumo lygiai. Pirmasis lygis yra skaičių lauko skirtumai, kurie yra nurodyti a, b, c. Taip daro matematikai. Antrasis lygis yra matavimo vienetų ploto skirtumai, kurie rodomi laužtiniuose skliaustuose ir yra pažymėti raide U. Taip daro fizikai. Galime suprasti trečiąjį lygmenį – aprašomų objektų apimties skirtumus. Skirtingi objektai gali turėti tą patį skaičių tų pačių matavimo vienetų. Kaip tai svarbu, galime pamatyti barščių trigonometrijos pavyzdyje. Jei prie to paties žymėjimo pridėsime skirtingų objektų matavimo vienetų apatinius indeksus, galime tiksliai pasakyti, koks matematinis dydis apibūdina konkretų objektą ir kaip jis kinta laikui bėgant arba dėl mūsų veiksmų. laišką W Vandenį pažymėsiu raide S Salotas pažymėsiu raide B- barščiai. Štai kaip atrodytų barščių linijinio kampo funkcijos.
Jei paimsime dalį vandens ir dalį salotų, kartu jos pavirs į vieną barščių porciją. Čia siūlau šiek tiek pailsėti nuo barščių ir prisiminti tolimą vaikystę. Prisimeni, kaip mus mokė surišti zuikius ir antis? Reikėjo išsiaiškinti, kiek gyvulių pasirodys. Ko tada buvome išmokyti daryti? Mus mokė atskirti vienetus nuo skaičių ir sudėti skaičius. Taip, bet kurį skaičių galima pridėti prie bet kurio kito skaičiaus. Tai tiesus kelias į šiuolaikinės matematikos autizmą – mes nesuprantame ką, neaišku kodėl ir labai prastai suprantame, kaip tai susiję su realybe, nes dėl trijų skirtumo lygių matematikai operuoja tik vienu. Teisingiau bus išmokti pereiti nuo vieno matavimo vieneto prie kito.
Ir zuikius, ir antis, ir gyvūnėlius galima suskaičiuoti į gabalus. Vienas bendras skirtingų objektų matavimo vienetas leidžia juos sujungti. Tai vaikiška problemos versija. Pažvelkime į panašią suaugusiųjų problemą. Ką gausite pridėję zuikius ir pinigų? Čia yra du galimi sprendimai.
Pirmas variantas. Nustatome zuikių rinkos vertę ir pridedame prie turimų grynųjų pinigų. Mes gavome bendrą mūsų turto vertę pinigais.
Antras variantas. Prie mūsų turimų banknotų skaičiaus galite pridėti zuikių skaičių. Kilnojamojo turto kiekį gausime vienetais.
Kaip matote, tas pats papildymo įstatymas leidžia gauti skirtingus rezultatus. Viskas priklauso nuo to, ką tiksliai norime žinoti.
Bet grįžkime prie mūsų barščių. Dabar galime pamatyti, kas atsitiks kada skirtingos reikšmės tiesinių kampinių funkcijų kampas.
Kampas lygus nuliui. Turime salotų, bet ne vandens. Mes nemokame virti barščių. Barščių kiekis taip pat lygus nuliui. Tai visai nereiškia, kad nulis barščių yra lygus nuliui vandens. Nulinis barštis gali būti ir prie nulio salotų (stačiu kampu).
Man asmeniškai tai yra pagrindinis matematinis įrodymas, kad . Nulis nekeičia skaičiaus, kai pridedamas. Taip yra todėl, kad pats papildymas neįmanomas, jei yra tik vienas narys, o antrojo nėra. Galite su tuo susieti kaip norite, bet atminkite – visas matematines operacijas su nuliu sugalvojo patys matematikai, todėl meskite savo logiką ir kvailai kimškite matematikų sugalvotus apibrėžimus: „dalyti iš nulio neįmanoma“, „bet koks skaičius padaugintas iš nulio lygus nuliui“, „už nulio taško“ ir kitos nesąmonės. Pakanka vieną kartą prisiminti, kad nulis nėra skaičius, ir jums niekada nekils klausimų, ar nulis yra natūralusis skaičius, ar ne, nes toks klausimas paprastai praranda prasmę: kaip galima laikyti skaičių tuo, kuris nėra skaičius . Tai tarsi klausti, kokiai spalvai priskirti nematomą spalvą. Nulio pridėjimas prie skaičiaus yra tarsi tapymas dažais, kurių nėra. Jie mostelėjo sausu teptuku ir visiems sako, kad „nudažėme“. Bet aš šiek tiek nukrypstu.
Kampas yra didesnis nei nulis, bet mažesnis nei keturiasdešimt penki laipsniai. Turime daug salotų, bet mažai vandens. Dėl to gauname tirštus barščius.
Kampas yra keturiasdešimt penki laipsniai. Vandens ir salotų turime vienodus kiekius. Tai tobuli barščiai (tegu atleidžia virėjai, tai tik matematika).
Kampas yra didesnis nei keturiasdešimt penki laipsniai, bet mažesnis nei devyniasdešimt laipsnių. Turime daug vandens ir mažai salotų. Gaukite skystų barščių.
Tiesus kampas. Turime vandens. Iš salotų liko tik prisiminimai, nes toliau matuojame kampą nuo linijos, kuri kadaise žymėjo salotas. Mes nemokame virti barščių. Barščių kiekis lygus nuliui. Tokiu atveju palaikykite ir gerkite vandens, kol jo yra)))
Čia. Kažkas panašaus į tai. Čia galiu papasakoti kitų istorijų, kurios čia bus daugiau nei tinkamos.
Du draugai turėjo savo akcijų bendrame versle. Po vieno iš jų nužudymo viskas atiteko kitam.
Matematikos atsiradimas mūsų planetoje.
Visos šios istorijos pasakojamos matematikos kalba naudojant tiesines kampines funkcijas. Kada nors kitą kartą parodysiu tikrąją šių funkcijų vietą matematikos struktūroje. Tuo tarpu grįžkime prie barščių trigonometrijos ir apsvarstykime projekcijas.
Šeštadienis, 2019 m. spalio 26 d
Pažiūrėjau įdomų vaizdo įrašą apie Grandi eilė Vienas minus vienas plius vienas minus vienas - Numberphile. Matematikai meluoja. Jie savo samprotavimuose neatliko lygybės testo.
Tai atitinka mano samprotavimus apie .
Pažvelkime atidžiau į požymius, kad matematikai mus apgaudinėja. Pačioje samprotavimo pradžioje matematikai teigia, kad sekos suma PRIKLAUSO nuo to, ar elementų skaičius joje yra lyginis, ar ne. Tai OBJEKTYVIAI NUSTATYTAS FAKTAS. Kas bus toliau?
Tada matematikai seką atima iš vienybės. Prie ko tai veda? Dėl to keičiasi sekos elementų skaičius – lyginis skaičius pakeičiamas nelyginiu, nelyginis – į lyginį. Juk į seką įtraukėme vieną elementą, lygų vienam. Nepaisant viso išorinio panašumo, seka prieš transformaciją nėra lygi sekai po transformacijos. Net jei kalbame apie begalinę seką, turime atsiminti, kad begalinė seka su nelyginiu elementų skaičiumi nėra lygi begalinei sekai su lyginiu elementų skaičiumi.
Dėdami lygybės ženklą tarp dviejų sekų, skirtingų elementų skaičiumi, matematikai teigia, kad sekos suma NEPRIKLAUSO nuo elementų skaičiaus sekoje, o tai prieštarauja OBJEKTYVIAI NUSTATYTAM FAKTUI. Tolesni samprotavimai apie begalinės sekos sumą yra klaidingi, nes jie grindžiami klaidinga lygybe.
Jeigu matote, kad matematikai įrodinėdami deda skliaustus, pertvarko matematinės išraiškos elementus, ką nors prideda ar pašalina, būkite labai atsargūs, greičiausiai jus bando apgauti. Kaip ir kortų burtininkai, matematikai nukreipia jūsų dėmesį įvairiomis išraiškos manipuliacijomis, kad galų gale pateiktų klaidingą rezultatą. Jei nežinant sukčiavimo paslapties nepavyksta pakartoti kortų triuko, tai matematikoje viskas kur kas paprasčiau: apie sukčiavimą net neįtariate nieko, tačiau visas manipuliacijas kartodamas matematine išraiška galite įtikinti kitus rezultato teisingumas, kaip ir tada, kai jus įtikino.
Klausimas iš auditorijos: O begalybė (kaip elementų skaičius sekoje S), ar ji lyginė ar nelyginė? Kaip galite pakeisti to, kas neturi pariteto?
Begalybė matematikams yra kaip Dangaus karalystė kunigams - niekas ten nėra buvęs, bet visi tiksliai žino, kaip ten viskas veikia))) Sutinku, po mirties būsite visiškai abejingi, ar gyvenote porinį ar nelyginį dienų skaičių. , bet ... Pridėjus vos vieną dieną prie jūsų gyvenimo pradžios, gausime visiškai kitą žmogų: jo pavardė, vardas ir patronimas yra visiškai vienodi, tik gimimo data visiškai kita - jis gimė vienas. dieną prieš tave.
Ir dabar prie reikalo))) Tarkime, kad baigtinė seka, turinti paritetą, praranda šią paritetą eidama į begalybę. Tada bet kuris baigtinis begalinės sekos segmentas taip pat turi prarasti paritetą. Mes to nepastebime. Tai, kad negalime tiksliai pasakyti, ar begalinės sekos elementų skaičius yra lyginis ar nelyginis, visai nereiškia, kad paritetas išnyko. Lygumas, jei jis egzistuoja, negali dingti į begalybę be pėdsakų, kaip aštresnio kortos rankovėje. Šiuo atveju yra labai gera analogija.
Ar kada nors klausėte gegutės, sėdinčios laikrodyje, kuria kryptimi sukasi laikrodžio rodyklė? Jai rodyklė sukasi priešinga kryptimi, nei mes vadiname „pagal laikrodžio rodyklę“. Galbūt tai skamba paradoksaliai, bet sukimosi kryptis priklauso tik nuo to, iš kurios pusės stebime sukimąsi. Taigi, mes turime vieną ratą, kuris sukasi. Negalime pasakyti, kuria kryptimi vyksta sukimasis, nes galime jį stebėti ir iš vienos sukimosi plokštumos pusės, ir iš kitos. Galime tik paliudyti, kad yra rotacija. Visiška analogija su begalinės sekos paritetu S.
Dabar pridėkime antrą besisukantį ratą, kurio sukimosi plokštuma lygiagreti pirmojo besisukančio rato sukimosi plokštumai. Vis dar negalime tiksliai pasakyti, kuria kryptimi šie ratai sukasi, tačiau galime visiškai užtikrintai pasakyti, ar abu ratai sukasi ta pačia kryptimi, ar priešingomis kryptimis. Palyginus dvi begalines sekas S ir 1-S, matematikos pagalba parodžiau, kad šios sekos turi skirtingą paritetą ir lygybės ženklą dėti tarp jų yra klaida. Asmeniškai aš tikiu matematika, nepasitikiu matematikais))) Beje, norint iki galo suprasti begalinių sekų transformacijų geometriją, būtina įvesti sąvoką "vienalaikiškumas". Tai reikės nupiešti.
2019 m. rugpjūčio 7 d., trečiadienis
Baigdami pokalbį apie , turime apsvarstyti begalinį rinkinį. Atsižvelgta į tai, kad „begalybės“ sąvoka veikia matematikus, kaip boa susiaurėjimas triušį. Virpantis begalybės siaubas atima iš matematikų sveiką protą. Štai pavyzdys:
Pradinis šaltinis yra. Alfa reiškia tikras numeris. Lygybės ženklas aukščiau pateiktose išraiškose rodo, kad jei prie begalybės pridėsite skaičių arba begalybę, niekas nepasikeis, rezultatas bus ta pati begalybė. Jei kaip pavyzdį paimtume begalinę aibę natūraliuosius skaičius, nagrinėjami pavyzdžiai gali būti pateikti tokia forma:
Norėdami vizualiai įrodyti savo atvejį, matematikai sugalvojo daugybę skirtingų metodų. Asmeniškai aš į visus šiuos metodus žiūriu kaip į šamanų šokius su tamburinais. Iš esmės jie visi susiveda į tai, kad arba kai kurie kambariai yra neapgyvendinti ir juose įsikuria nauji svečiai, arba dalis lankytojų išmeta į koridorių, kad būtų vietos svečiams (labai žmogiškai). Savo požiūrį į tokius sprendimus pateikiau fantastiškos istorijos apie blondinę forma. Kuo remiasi mano samprotavimai? Perkelti begalinį lankytojų skaičių užtrunka be galo daug laiko. Kai atlaisvinsime pirmąjį svečių kambarį, vienas iš lankytojų visada eis koridoriumi iš savo kambario į kitą iki laiko pabaigos. Žinoma, laiko faktorių galima kvailai ignoruoti, bet tai jau bus iš kategorijos „įstatymas ne kvailiams parašytas“. Viskas priklauso nuo to, ką mes darome: prideriname tikrovę prie matematinių teorijų ar atvirkščiai.
Kas yra „begalinis viešbutis“? Infinity Inn yra užeiga, kurioje visada yra bet koks laisvų vietų skaičius, nesvarbu, kiek kambarių yra užimta. Jei begaliniame „lankytojams“ koridoriuje visi kambariai užimti, yra dar vienas begalinis prieškambaris su patalpomis „svečiams“. Tokių koridorių bus be galo daug. Tuo pačiu metu „begalinis viešbutis“ turi begalinį aukštų skaičių begaliniame pastatų skaičiuje begaliniame skaičiuje planetų begaliniame skaičiuje visatų, sukurtų begalinio skaičiaus dievų. Matematikai, atvirkščiai, nesugeba atitolti nuo banalių kasdienių problemų: Dievas-Allah-Buda visada tik vienas, viešbutis – vienas, koridorius – tik vienas. Tad matematikai bando žongliruoti viešbučių kambarių eilės numeriais, įtikinėdami, kad galima „nustumdyti nepastumdytus“.
Savo samprotavimų logiką jums parodysiu naudodamas begalinės natūraliųjų skaičių aibės pavyzdį. Pirmiausia reikia atsakyti į labai paprastą klausimą: kiek natūraliųjų skaičių aibių egzistuoja – vienas ar daug? Nėra teisingo atsakymo į šį klausimą, nes mes patys sugalvojome skaičius, gamtoje skaičių nėra. Taip, Gamta puikiai moka skaičiuoti, tačiau tam ji naudoja kitus mums nepažįstamus matematinius įrankius. Kaip gamta galvoja, pasakysiu kitą kartą. Kadangi mes išradome skaičius, mes patys nuspręsime, kiek natūraliųjų skaičių aibių yra. Apsvarstykite abu variantus, kaip ir dera tikram mokslininkui.
Variantas vienas. „Duokite mums“ vieną natūraliųjų skaičių rinkinį, kuris ramiai guli lentynoje. Šį rinkinį paimame iš lentynos. Tai tiek, kitų natūraliųjų skaičių lentynoje neliko ir nėra kur imti. Negalime jo pridėti prie šio rinkinio, nes jį jau turime. O jeigu tu tikrai to nori? Jokiu problemu. Galime paimti vienetą iš jau paimto rinkinio ir grąžinti į lentyną. Po to galime paimti vienetą iš lentynos ir pridėti prie to, kas liko. Dėl to vėl gauname begalinę natūraliųjų skaičių aibę. Visas mūsų manipuliacijas galite parašyti taip:
Užfiksavau veiksmus algebrinė sistemažymėjimas ir aibių teorijoje priimtoje žymėjimo sistemoje, detaliai išvardijant aibės elementus. Indeksas rodo, kad turime vieną ir vienintelį natūraliųjų skaičių rinkinį. Pasirodo, natūraliųjų skaičių aibė išliks nepakitusi tik iš jos atėmus vieną ir pridėjus tą patį.
Antras variantas. Lentynoje turime daugybę skirtingų begalinių natūraliųjų skaičių rinkinių. Pabrėžiu – SKIRTINGI, nepaisant to, kad jie praktiškai nesiskiria. Mes paimame vieną iš šių rinkinių. Tada paimame vieną iš kitos natūraliųjų skaičių aibės ir pridedame prie jau paimtos aibės. Galime pridėti net dvi natūraliųjų skaičių aibes. Štai ką mes gauname:
Indeksai „vienas“ ir „du“ rodo, kad šie elementai priklausė skirtingiems rinkiniams. Taip, jei pridėsite vieną prie begalinės aibės, rezultatas taip pat bus begalinis aibė, tačiau jis nebus toks pat kaip pradinis rinkinys. Jei prie vienos begalinės aibės pridedama kita begalinė aibė, gaunama nauja begalinė aibė, susidedanti iš pirmųjų dviejų aibių elementų.
Natūraliųjų skaičių aibė naudojama skaičiuojant taip pat, kaip ir matavimų liniuotė. Dabar įsivaizduokite, kad prie liniuotės pridėjote vieną centimetrą. Tai jau bus kita eilutė, neprilygsta originalui.
Galite priimti arba nepriimti mano samprotavimų – tai jūsų pačių reikalas. Bet jei kada nors susidursite matematines problemas, pagalvokite, ar einate klaidingų samprotavimų keliu, kurį žengia matematikų kartos. Mat matematikos pamokos pirmiausia mumyse formuoja stabilų mąstymo stereotipą, o tik tada prideda mums protinių gebėjimų (arba atvirkščiai – atima laisvą mąstymą).
pozg.ru
2019 m. rugpjūčio 4 d., sekmadienis
Rašiau poraštį straipsniui apie ir pamačiau šį nuostabų tekstą Vikipedijoje:
Skaitome: „... turtingas teorinis kontekstas Babilono matematika neturėjo holistinio pobūdžio ir buvo sumažinta iki skirtingų metodų, neturinčių bendra sistema ir įrodymų bazė.
Oho! Kokie mes protingi ir kaip gerai matome kitų trūkumus. Ar mums silpna žiūrėti į šiuolaikinę matematiką tame pačiame kontekste? Šiek tiek perfrazuodamas aukščiau pateiktą tekstą, aš asmeniškai gavau štai ką:
Turtingas šiuolaikinės matematikos teorinis pagrindas neturi holistinio pobūdžio ir yra sumažintas iki skirtingų skyrių rinkinio, neturinčio bendros sistemos ir įrodymų bazės.
Toli nepatvirtinsiu savo žodžių – jis turi kalbą ir sutartines, kurios skiriasi nuo daugelio kitų matematikos šakų kalbos ir susitarimų. Tie patys pavadinimai skirtingose matematikos šakose gali turėti skirtingas reikšmes. Visą publikacijų ciklą noriu skirti ryškiausioms šiuolaikinės matematikos klaidoms. Greitai pasimatysime.
Šeštadienis, 2019 m. rugpjūčio 3 d
Kaip aibę padalyti į poaibius? Norėdami tai padaryti, turite įvesti naują matavimo vienetą, kuris yra kai kuriuose pasirinkto rinkinio elementuose. Apsvarstykite pavyzdį.
Tegul turime daug BET susidedantis iš keturių žmonių. Šis rinkinys sudarytas remiantis „žmonėmis“ Pažymėkime šio rinkinio elementus raide a, indeksas su skaičiumi nurodys kiekvieno šio rinkinio asmens eilės numerį. Įveskime naują matavimo vienetą „lytinė savybė“ ir pažymėkime jį raide b. Kadangi seksualinės savybės būdingos visiems žmonėms, mes padauginame kiekvieną rinkinio elementą BET dėl lyties b. Atkreipkite dėmesį, kad mūsų rinkinys „žmonės“ dabar tapo rinkiniu „žmonės su lytimi“. Po to seksualines savybes galime suskirstyti į vyriškas bm ir moterų bw lyties ypatumai. Dabar galime pritaikyti matematinį filtrą: pasirenkame vieną iš šių seksualinių savybių, nesvarbu, kuri iš jų yra vyras ar moteris. Jei žmoguje yra, tai dauginame iš vieneto, jei tokio ženklo nėra, dauginame iš nulio. Ir tada taikome įprastą mokyklinę matematiką. Pažiūrėkite, kas atsitiko.
Po padauginimo, sumažinimų ir pertvarkymų gavome du poaibius: vyriškąjį bm ir moterų pogrupis bw. Maždaug taip pat samprotauja matematikai, taikydami aibių teoriją praktikoje. Tačiau jie neįleidžia mūsų į smulkmenas, o pateikia galutinį rezultatą – „daug žmonių susideda iš vyrų ir moterų pogrupio“. Natūralu, kad jums gali kilti klausimas, kaip teisingai pritaikė matematiką aukščiau pateiktose transformacijose? Drįstu patikinti, kad iš tikrųjų transformacijos atliekamos teisingai, užtenka žinoti aritmetikos, Būlio algebros ir kitų matematikos skyrių matematinį pagrindimą. Kas tai yra? Kažkada apie tai papasakosiu.
Kalbant apie superrinkinius, galima sujungti du rinkinius į vieną superrinkinį, pasirenkant matavimo vienetą, kuris yra šių dviejų rinkinių elementuose.
Kaip matote, matavimo vienetai ir įprasta matematika aibių teoriją paverčia praeitimi. Požymis, kad su aibių teorija ne viskas gerai, yra tai, kad matematikai sugalvojo savo kalbą ir žymėjimą aibių teorijai. Matematikai darė tai, ką kadaise darė šamanai. Tik šamanai moka „teisingai“ pritaikyti savo „žinias“. Šių „žinių“ jie mus moko.
Baigdamas noriu parodyti, kaip matematikai manipuliuoja
Tarkime, Achilas bėga dešimt kartų greičiau už vėžlį ir nuo jo atsilieka tūkstančiu žingsnių. Per tą laiką, per kurį Achilas nubėga šį atstumą, vėžlys nušliaužia šimtą žingsnių ta pačia kryptimi. Kai Achilas nubėgs šimtą žingsnių, vėžlys nuropos dar dešimt žingsnių ir t.t. Procesas tęsis neribotą laiką, Achilas niekada nepasivys vėžlio.
Šis samprotavimas tapo logišku šoku visoms vėlesnėms kartoms. Aristotelis, Diogenas, Kantas, Hegelis, Gilbertas... Visi jie vienaip ar kitaip laikė Zenono aporijomis. Šokas buvo toks stiprus, kad " ... diskusijos tebesitęsia ir šiuo metu, mokslo bendruomenei dar nepavyko susidaryti bendros nuomonės apie paradoksų esmę ... nagrinėjant klausimą buvo įtraukta matematinė analizė, aibių teorija, nauji fizikiniai ir filosofiniai požiūriai. ; nė vienas iš jų netapo visuotinai priimtu problemos sprendimu..."[Wikipedia," Zenono Aporijos "]. Visi supranta, kad yra kvailinami, bet niekas nesupranta, kas yra apgaulė.
Matematikos požiūriu Zenonas savo aporijoje aiškiai pademonstravo perėjimą nuo vertės prie. Šis perėjimas reiškia, kad reikia taikyti vietoj konstantų. Kiek suprantu, matematinis aparatas kintamiems matavimo vienetams taikyti arba dar nėra sukurtas, arba nepritaikytas Zenono aporijai. Įprastos logikos taikymas įveda mus į spąstus. Mes pagal mąstymo inerciją abipusiam koeficientui taikome pastovius laiko vienetus. Žvelgiant iš fizinės pusės, atrodo, kad laikas sulėtėja ir visiškai sustoja tuo metu, kai Achilas pasiveja vėžlį. Jei laikas sustoja, Achilas nebegali aplenkti vėžlio.
Jei pasukame įprastą logiką, viskas stoja į savo vietas. Achilas bėga pastoviu greičiu. Kiekvienas paskesnis jo kelio segmentas yra dešimt kartų trumpesnis nei ankstesnis. Atitinkamai, laikas, skirtas jai įveikti, yra dešimt kartų mažesnis nei ankstesnis. Jei šioje situacijoje pritaikytume „begalybės“ sąvoką, tai būtų teisinga sakyti „Achilas be galo greitai aplenks vėžlį“.
Kaip išvengti šių loginių spąstų? Laikykitės pastovių laiko vienetų ir neperjunkite prie abipusių verčių. Zenono kalba tai atrodo taip:
Per tą laiką, kurio Achilui reikia nubėgti tūkstantį žingsnių, vėžlys nušliaužia šimtą žingsnių ta pačia kryptimi. Per kitą laiko intervalą, lygų pirmajam, Achilas nubėgs dar tūkstantį žingsnių, o vėžlys nuropos šimtą žingsnių. Dabar Achilas aštuoniais šimtais žingsnių lenkia vėžlį.
Šis požiūris adekvačiai apibūdina tikrovę be jokių loginių paradoksų. Bet taip nėra pilnas sprendimas Problemos. Einšteino teiginys apie šviesos greičio neįveikiamumą labai panašus į Zenono aporiją „Achilas ir vėžlys“. Dar turime išstudijuoti, permąstyti ir išspręsti šią problemą. Ir sprendimo reikia ieškoti ne be galo dideliais skaičiais, o matavimo vienetais.
Kita įdomi Zenono aporija pasakoja apie skrendančią strėlę:
Skraidanti strėlė yra nejudanti, nes kiekvienu laiko momentu ji yra ramybės būsenoje, o kadangi ji ilsisi kiekvienu laiko momentu, ji visada yra ramybės būsenoje.
Šioje aporijoje loginis paradoksas įveikiamas labai paprastai – užtenka patikslinti, kad kiekvienu laiko momentu skraidanti strėlė stovi skirtinguose erdvės taškuose, o tai iš tikrųjų yra judėjimas. Čia reikia pažymėti dar vieną dalyką. Iš vienos automobilio nuotraukos kelyje neįmanoma nustatyti nei jo judėjimo fakto, nei atstumo iki jo. Norint nustatyti automobilio judėjimo faktą, reikalingos dvi nuotraukos, darytos iš to paties taško skirtingu laiku, tačiau jomis negalima nustatyti atstumo. Norėdami nustatyti atstumą iki automobilio, jums reikia dviejų nuotraukų, padarytų iš skirtingų erdvės taškų vienu metu, tačiau iš jų negalite nustatyti judėjimo fakto (natūralu, kad jums vis tiek reikia papildomų duomenų skaičiavimams, trigonometrija jums padės). Visų pirma noriu pabrėžti, kad du laiko taškai ir du erdvės taškai yra du skirtingi dalykai, kurių nereikėtų painioti, nes jie suteikia skirtingas tyrinėjimo galimybes.
Procesą parodysiu pavyzdžiu. Renkamės „raudona kieta spuogelyje“ – tai mūsų „visa“. Tuo pačiu matome, kad šie dalykai yra su lanku, o yra be lanko. Po to išrenkame dalį „visumos“ ir suformuojame rinkinį „su lanku“. Taip šamanai maitinasi, susiedami savo aibių teoriją su realybe.
Dabar padarykime nedidelį triuką. Paimkime „kietą spuogelyje su lanku“ ir sujungsime šiuos „visumus“ pagal spalvą, parinkdami raudonus elementus. Gavome daug „raudonos“. Dabar sudėtingas klausimas: ar gauti rinkiniai „su lanku“ ir „raudona“ yra tas pats rinkinys, ar du skirtingi rinkiniai? Tik šamanai žino atsakymą. Tiksliau, jie patys nieko nežino, bet kaip sako, taip ir yra.
Šis paprastas pavyzdys rodo, kad aibių teorija yra visiškai nenaudinga, kai kalbama apie tikrovę. Kokia paslaptis? Suformavome rinkinį „raudoną kietą spuogelį su lankeliu“. Formavimas vyko pagal keturis skirtingus matavimo vienetus: spalvą (raudona), stiprumą (vientisą), šiurkštumą (guzelyje), dekoracijas (su lanku). Tik matavimo vienetų rinkinys leidžia matematikos kalba adekvačiai apibūdinti tikrus objektus. Štai kaip tai atrodo.
Raidė „a“ su skirtingais indeksais žymi skirtingus matavimo vienetus. Skliausteliuose paryškinami matavimo vienetai, pagal kuriuos preliminariame etape paskirstoma „visa“. Matavimo vienetas, pagal kurį formuojamas rinkinys, išimamas iš skliaustų. Paskutinėje eilutėje rodomas galutinis rezultatas – rinkinio elementas. Kaip matote, jei aibei sudaryti naudojame vienetus, tai rezultatas nepriklauso nuo mūsų veiksmų eilės. Ir tai yra matematika, o ne šamanų šokiai su tamburinais. Šamanai gali „intuityviai“ pasiekti tą patį rezultatą, argumentuodami jį „akivaizdumu“, nes matavimo vienetai nėra įtraukti į jų „mokslinį“ arsenalą.
Matavimo vienetų pagalba labai lengva sulaužyti vieną arba sujungti kelis rinkinius į vieną superkomplektą. Pažvelkime atidžiau į šio proceso algebrą.
Trikampio plotas - formulės ir problemų sprendimo pavyzdžiai
Žemiau yra savavališko trikampio ploto nustatymo formulės kurie tinka bet kokio trikampio plotui rasti, nepaisant jo savybių, kampų ar matmenų. Formulės pateiktos paveikslėlio pavidalu, čia pateikiami jų taikymo paaiškinimai arba jų teisingumo pagrindimas. Taip pat atskirame paveikslėlyje parodytas raidžių simbolių atitikimas formulėse ir grafinių simbolių brėžinyje.
Pastaba . Jei trikampis turi specialių savybių (lygiašonis, stačiakampis, lygiakraštis), galite naudoti toliau pateiktas formules, taip pat papildomai specialias formules, kurios galioja tik trikampiams, turintiems šias savybes:
- „Ploto formulės lygiakraštis trikampis"
Trikampio ploto formulės
Formulių paaiškinimai:
a, b, c- trikampio, kurio plotą norime rasti, kraštinių ilgiai
r- į trikampį įbrėžto apskritimo spindulys
R- apibrėžto apskritimo aplink trikampį spindulys
h- trikampio aukštis, nuleistas į šoną
p- trikampio pusperimetras, 1/2 jo kraštinių sumos (perimetras)
α
- kampas, priešingas trikampio kraštinei a
β
- kampas, priešingas trikampio kraštinei b
γ
- kampas, priešingas trikampio kraštinei c
h a, h b , h c- trikampio aukštis, nuleistas į šoną a, b, c
Atkreipkite dėmesį, kad pateiktas žymėjimas atitinka aukščiau esantį paveikslą, kad sprendžiant realią geometrijos problemą būtų vizualiai lengviau pakeisti teisingas reikšmes tinkamose formulės vietose.
- Trikampio plotas yra pusės trikampio aukščio ir kraštinės, ant kurios šis aukštis nuleistas, ilgio sandaugos(Formulė 1). Šios formulės teisingumą galima suprasti logiškai. Nuleistas iki pagrindo aukštis savavališką trikampį padalins į du stačiakampius. Jei kiekvieną iš jų užbaigsime iki stačiakampio, kurio matmenys b ir h, tada akivaizdu, kad šių trikampių plotas bus lygus lygiai pusei stačiakampio ploto (Spr = bh)
- Trikampio plotas yra pusė jo abiejų kraštinių ir kampo tarp jų sinuso sandaugos(2 formulė) (žr. problemos sprendimo pavyzdį naudojant šią formulę žemiau). Nepaisant to, kad atrodo, kad jis skiriasi nuo ankstesnio, jį galima lengvai paversti juo. Jei aukštį nuo kampo B sumažinsime į kraštinę b, paaiškėja, kad kraštinės a ir kampo γ sinuso sandauga pagal sinuso savybes stačiakampiame trikampyje yra lygi trikampio aukščiui, nubrėžtam mums, o tai suteiks mums ankstesnę formulę
- Galima rasti savavališko trikampio plotą per dirbti pusė apskritimo spindulio, įbrėžto į jį visų jo kraštinių ilgių suma(3 formulė), kitaip tariant, reikia padauginti trikampio pusę perimetro iš įbrėžto apskritimo spindulio (taip lengviau atsiminti)
- Savavališko trikampio plotą galima rasti padalijus visų jo kraštinių sandaugą iš 4 aplink jį apibrėžto apskritimo spindulių (4 formulė)
- 5 formulė randa trikampio plotą pagal jo kraštinių ilgį ir pusperimetrą (pusę visų jo kraštinių sumos)
- Garnio formulė(6) yra tos pačios formulės atvaizdas nenaudojant pusperimetro sąvokos, tik per kraštinių ilgius
- Savavališko trikampio plotas yra lygus trikampio kraštinės kvadrato ir kampų, esančių šalia šios kraštinės, sinusų sandaugai, padalytai iš kampo, priešingo šiai kraštinei, dvigubo sinuso (7 formulė)
- Savavališko trikampio plotą galima rasti kaip dviejų aplink jį apibrėžto apskritimo kvadratų ir kiekvieno jo kampo sinusų sandaugą. (Formulė 8)
- Jei žinomas vienos kraštinės ilgis ir dviejų gretimų kampų dydis, tada trikampio plotą galima rasti kaip šios kraštinės kvadratą, padalijus iš dvigubos šių kotangentų sumos. kampai (Formulė 9)
- Jei žinomas tik kiekvieno trikampio aukščių ilgis (10 formulė), tada tokio trikampio plotas yra atvirkščiai proporcingas šių aukščių ilgiams, kaip tai rodo Herono formulė.
- 11 formulė leidžia apskaičiuoti trikampio plotas pagal jo viršūnių koordinates, kurios pateikiamos kaip (x;y) reikšmės kiekvienai viršūnei. Atkreipkite dėmesį, kad gauta reikšmė turi būti paimta modulo, nes atskirų (ar net visų) viršūnių koordinatės gali būti neigiamų verčių srityje
Pastaba. Toliau pateikiami geometrijos problemų sprendimo pavyzdžiai, norint rasti trikampio plotą. Jei reikia išspręsti geometrijos uždavinį, kurio panašaus čia nėra – parašykite apie tai forume. Sprendimuose vietoj simbolio " Kvadratinė šaknis" galima naudoti funkciją sqrt(), kurioje sqrt yra kvadratinės šaknies simbolis, o radikali išraiška nurodoma skliausteliuose.Kartais simbolis gali būti naudojamas paprastoms radikalioms išraiškoms √
Užduotis. Raskite plotą, nurodytą dviejose pusėse, ir kampą tarp jų
Trikampio kraštinės yra 5 ir 6 cm Kampas tarp jų 60 laipsnių. Raskite trikampio plotą.
Sprendimas.
Norėdami išspręsti šią problemą, naudojame formulę numeris du iš teorinės pamokos dalies.
Trikampio plotą galima rasti per dviejų kraštinių ilgius ir kampo tarp jų sinusą ir bus lygus
S=1/2 ab sin γ
Kadangi turime visus sprendimui reikalingus duomenis (pagal formulę), formulėje galime pakeisti tik problemos teiginio reikšmes:
S=1/2*5*6*sin60
Vertybių lentelėje trigonometrinės funkcijos Raskite ir pakeiskite reiškinyje sinuso reikšmę 60 laipsnių. Jis bus lygus šaknims nuo trijų iki dviejų.
S = 15 √3 / 2
Atsakymas: 7,5 √3 (priklausomai nuo mokytojo reikalavimų tikriausiai galima palikti 15 √3/2)
Užduotis. Raskite lygiakraščio trikampio plotą
Raskite lygiakraščio trikampio, kurio kraštinė yra 3 cm, plotą.
Sprendimas.
Trikampio plotą galima rasti naudojant Herono formulę:
S = 1/4 kvadratinių metrų ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
Kadangi a \u003d b \u003d c, lygiakraščio trikampio ploto formulė bus tokia:
S = √3 / 4 * a2
S = √3 / 4 * 3 2
Atsakymas: 9 √3 / 4.
Užduotis. Keičiant šonų ilgį, keičiamas plotas
Kiek kartų padidės trikampio plotas, jei kraštinės padidės keturis kartus?
Sprendimas.
Kadangi trikampio kraštinių matmenys mums nežinomi, norėdami išspręsti problemą, manysime, kad kraštinių ilgiai yra atitinkamai lygūs savavališkiems skaičiams a, b, c. Tada, norėdami atsakyti į problemos klausimą, randame sritį duotas trikampis, tada raskite trikampio, kurio kraštinės yra keturis kartus didesnės, plotą. Šių trikampių plotų santykis suteiks mums atsakymą į problemą.
Toliau pateikiame tekstinį problemos sprendimo paaiškinimą etapais. Tačiau pačioje pabaigoje tas pats sprendimas pateikiamas grafine, patogesne suvokimui forma. Norintys gali iš karto nuleisti sprendimą.
Norėdami išspręsti, naudojame Herono formulę (žr. aukščiau teorinėje pamokos dalyje). Tai atrodo taip:
S = 1/4 kvadratinių metrų ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(žr. pirmąją paveikslėlio eilutę žemiau)
Savavališko trikampio kraštinių ilgiai pateikiami kintamaisiais a, b, c.
Jei kraštinės padidinamos 4 kartus, tada naujojo trikampio c plotas bus:
S 2 = 1/4 kvadratinių metrų ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b -4c))
(žr. antrą eilutę paveikslėlyje žemiau)
Kaip matote, 4 yra bendras veiksnys, kurį galima išskirti iš visų keturių išraiškų pagal bendrąsias matematikos taisykles.
Tada
S 2 = 1/4 kvadratinių metrų (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - trečioje paveikslo eilutėje
S 2 = 1/4 kvadratinių metrų (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - ketvirta eilutė
Iš skaičiaus 256 puikiai ištraukta kvadratinė šaknis, todėl ją išimsime iš po šaknies
S 2 = 16 * 1/4 kvadratinių metrų ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 kvadratiniai plotai ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(žr. penktą paveikslo eilutę žemiau)
Norėdami atsakyti į užduotyje pateiktą klausimą, pakanka padalinti gauto trikampio plotą iš pradinio ploto.
Plotų santykius nustatome padalindami išraiškas vieną į kitą ir sumažindami gautą trupmeną.
Galima rasti žinant pagrindą ir aukštį. Visas schemos paprastumas slypi tame, kad aukštis padalija pagrindą a į dvi dalis a 1 ir a 2, o patį trikampį - į du stačiuosius trikampius, kurių plotas gaunamas ir. Tada viso trikampio plotas bus dviejų nurodytų plotų suma, o jei iš laikiklio išimsime pusę aukščio, tada iš viso gausime pagrindą:
Sunkesnis skaičiavimo metodas yra Heron formulė, kuriai reikia žinoti visas tris puses. Norėdami naudoti šią formulę, pirmiausia turite apskaičiuoti trikampio pusperimetrą: Pati Herono formulė reiškia pusiau perimetro kvadratinę šaknį, padaugintą iš jos skirtumo kiekvienoje pusėje.
Šis metodas, taip pat svarbus bet kuriam trikampiui, leidžia rasti trikampio plotą per dvi puses ir kampą tarp jų. To įrodymas išplaukia iš formulės su aukščiu – aukštį nubrėžiame į bet kurią iš žinomų kraštinių ir per kampo α sinusą gauname, kad h=a⋅sinα . Norėdami apskaičiuoti plotą, pusę aukščio padauginkite iš antrosios pusės.
Kitas būdas yra rasti trikampio plotą, kuriame yra 2 kampai, ir kraštinę tarp jų. Šios formulės įrodymas yra gana paprastas ir aiškiai matomas diagramoje.
Mes sumažiname aukštį nuo trečiojo kampo viršaus žinoma partija ir atitinkamai iškvieskite gautus segmentus x. Nuo stačiųjų trikampių matyti, kad pirmasis segmentas x yra lygus sandaugai
Trikampio ploto teorema
1 teorema
Trikampio plotas yra pusė dviejų kraštinių sandaugos, padaugintos iš kampo tarp tų kraštinių sinuso.
Įrodymas.
Pateikiame savavališką trikampį $ABC$. Šio trikampio kraštinių ilgius pažymėkime kaip $BC=a$, $AC=b$. Įveskime Dekarto koordinačių sistemą, kad taškas $C=(0,0)$, taškas $B$ būtų dešinėje pusašyje $Ox$, o taškas $A$ – pirmajame koordinačių kvadrante. Nubrėžkite aukštį $h$ nuo taško $A$ (1 pav.).
1 pav. 1 teoremos iliustracija
Aukštis $h$ yra lygus taško $A$ ordinatei, todėl
Sinuso teorema
2 teorema
Trikampio kraštinės yra proporcingos priešingų kampų sinusams.
Įrodymas.
Pateikiame savavališką trikampį $ABC$. Šio trikampio kraštinių ilgius pažymėkime $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ (2 pav.).
2 pav.
Įrodykime tai
Pagal 1 teoremą turime
Sulyginę juos poromis, tai ir gauname
Kosinuso teorema
3 teorema
Trikampio kraštinės kvadratas yra lygus kitų dviejų trikampio kraštinių kvadratų sumai, nepadvigubinant tų kraštinių sandaugos iš kampo tarp tų kraštinių kosinuso.
Įrodymas.
Pateikiame savavališką trikampį $ABC$. Jo kraštinių ilgius pažymėkite kaip $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$. Įveskime Dekarto koordinačių sistemą taip, kad taškas $A=(0,0)$, taškas $B$ būtų teigiamoje pusašėje $Ox$, o taškas $C$ – pirmajame koordinačių kvadrante (1 pav.). 3).
3 pav
Įrodykime tai
Šioje koordinačių sistemoje tai gauname
Raskite kraštinės $BC$ ilgį naudodami atstumo tarp taškų formulę
Problemos, naudojant šias teoremas, pavyzdys
1 pavyzdys
Įrodykite, kad skersmuo aprašyta apskritimai savavališko trikampio dydis yra lygus bet kurios trikampio kraštinės santykiui su kampo, esančio priešais šią kraštinę, sinuso santykiu.
Sprendimas.
Pateikiame savavališką trikampį $ABC$. $R$ – apibrėžto apskritimo spindulys. Nubraižykite skersmenį $BD$ (4 pav.).