Mutlak sıkıştırma formülü. deformasyonlar
Öklid geometrisinde bir doğrunun özellikleri.
Herhangi bir noktadan çizilebilecek sonsuz sayıda doğru vardır.
Birbiriyle çakışmayan iki noktadan geçen tek bir doğru vardır.
Düzlemde çakışmayan iki doğru ya tek bir noktada kesişir ya da
paralel (bir öncekinden sonra gelir).
3B uzayda üç seçenek vardır. göreceli konum iki düz çizgi:
- çizgiler kesişir;
- düz çizgiler paraleldir;
- düz çizgiler kesişir.
Düz astar- birinci dereceden cebirsel eğri: Kartezyen koordinat sisteminde düz bir çizgi
düzlemde birinci dereceden bir denklemle (doğrusal denklem) verilir.
Bir doğrunun genel denklemi.
Tanım. Düzlemdeki herhangi bir doğru, birinci dereceden bir denklemle verilebilir.
Ah + Wu + C = 0,
ve sabit A, B aynı anda sıfıra eşit değildir. Bu birinci dereceden denklem denir genel
düz çizgi denklemi. Sabitlerin değerlerine bağlı olarak A, B ve İTİBAREN Aşağıdaki özel durumlar mümkündür:
. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- çizgi orijinden geçer
. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( + C = 0)- eksene paralel düz çizgi ey
. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- eksene paralel düz çizgi kuruluş birimi
. B = C = 0, A ≠ 0- çizgi eksenle çakışıyor kuruluş birimi
. A = C = 0, B ≠ 0- çizgi eksenle çakışıyor ey
Düz bir çizginin denklemi şu şekilde temsil edilebilir: çeşitli formlar herhangi bir verilene bağlı olarak
başlangıç koşulları.
Düz bir çizginin bir nokta ve bir normal vektör ile denklemi.
Tanım. Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde, (A, B) bileşenlerine sahip bir vektör
denklem tarafından verilen doğruya dik
Ah + Wu + C = 0.
Örnek. Bir noktadan geçen doğrunun denklemini bulunuz bir(1, 2) vektöre dik (3, -1).
Çözüm. A \u003d 3 ve B \u003d -1'de düz çizginin denklemini oluşturalım: 3x - y + C \u003d 0. C katsayısını bulmak için
verilen A noktasının koordinatlarını ortaya çıkan ifadede değiştiririz: 3 - 2 + C = 0, bu nedenle
C = -1. Toplam: istenen denklem: 3x - y - 1 \u003d 0.
İki noktadan geçen bir doğrunun denklemi.
Uzayda iki nokta verilsin M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ve M2 (x 2, y 2 , z 2), sonra düz çizgi denklemi,
bu noktalardan geçerek:
Paydalardan herhangi biri sıfıra eşitse, karşılık gelen pay sıfıra eşit olmalıdır. Üzerinde
düzlemde, yukarıda yazılan düz bir çizginin denklemi basitleştirilmiştir:
eğer x 1 ≠ x 2 ve x = x 1, eğer x 1 = x 2 .
kesir = k aranan eğim faktörü dümdüz.
Örnek. A(1, 2) ve B(3, 4) noktalarından geçen bir doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm. Yukarıdaki formülü uygulayarak şunu elde ederiz:
Bir doğrunun bir nokta ve bir eğimle denklemi.
Eğer bir genel denklem dümdüz Ah + Wu + C = 0 forma getirin:
ve tayin etmek , sonra ortaya çıkan denklem denir
eğimi k olan bir doğrunun denklemi.
Bir nokta ve yönlendirici vektör üzerindeki düz bir doğrunun denklemi.
Normal vektör üzerinden düz bir çizginin denklemini dikkate alan noktaya benzeterek, göreve girebilirsiniz.
bir noktadan geçen düz bir çizgi ve bir düz çizginin yön vektörü.
Tanım. Her sıfır olmayan vektör (α 1 , α 2), bileşenleri koşulu karşılayan
Aα 1 + Ba 2 = 0 aranan düz çizginin yön vektörü.
Ah + Wu + C = 0.
Örnek. Yön vektörü (1, -1) olan ve A(1, 2) noktasından geçen bir doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm. İstenen düz çizginin denklemini şu şekilde arayacağız: Balta + By + C = 0. Tanıma göre,
katsayılar aşağıdaki koşulları sağlamalıdır:
1 * A + (-1) * B = 0, yani. A = B.
O zaman düz bir çizginin denklemi şu şekildedir: Balta + Ay + C = 0, veya x + y + C / A = 0.
de x=1, y=2 alırız C/A = -3, yani istenen denklem:
x + y - 3 = 0
Doğrunun segmentler halinde denklemi.
Ah + Wu + C = 0 C≠0 düz çizgisinin genel denkleminde, -C'ye bölerek şunu elde ederiz:
veya nerede
geometrik anlamda a katsayısının kesişim noktasının koordinatı olduğu katsayılar
akslı düz Ey, a b- doğrunun eksenle kesiştiği noktanın koordinatı kuruluş birimi
Örnek. Düz bir çizginin genel denklemi verilir x - y + 1 = 0. Bu doğrunun denklemini parçalar halinde bulun.
C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.
Düz bir çizginin normal denklemi.
Denklemin her iki tarafı ise Ah + Wu + C = 0 sayıya göre bölmek , denir
normalleştirme faktörü, sonra alırız
xcosφ + ysinφ - p = 0 -düz bir çizginin normal denklemi.
Normalleştirme faktörünün ± işareti, şu şekilde seçilmelidir: μ * C< 0.
R- orijinden çizgiye bırakılan dikmenin uzunluğu,
a φ eksenin pozitif yönü ile bu dikin oluşturduğu açıdır Ey.
Örnek. Düz bir çizginin genel denklemi verildiğinde 12x - 5y - 65 = 0. Çeşitli denklem türleri yazmak için gerekli
bu düz çizgi.
Bu düz çizginin segmentlerdeki denklemi:
Bu doğrunun eğimli denklemi: (5'e böl)
Düz bir çizginin denklemi:
çünkü φ = 12/13; günah φ= -5/13; p=5.
Her düz çizginin, örneğin düz çizgiler gibi segmentlerde bir denklemle temsil edilemeyeceğine dikkat edilmelidir.
eksenlere paralel veya orijinden geçiyor.
Bir düzlemde doğrular arasındaki açı.
Tanım. iki satır verilirse y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, sonra keskin köşe bu satırlar arasında
olarak tanımlanacak
İki doğru paralel ise k1 = k2. İki çizgi dik
eğer k 1 \u003d -1 / k2 .
teorem.
doğrudan Ah + Wu + C = 0 ve A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 katsayılar orantılı olduğunda paraleldir
A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Eğer ayrıca C 1 \u003d λ C, sonra çizgiler çakışıyor. İki doğrunun kesişme noktasının koordinatları
bu doğruların denklem sistemine bir çözüm olarak bulunur.
Belirli bir noktadan geçen bir doğrunun denklemi, verilen bir doğruya diktir.
Tanım. Bir noktadan geçen bir çizgi M1 (x 1, y 1) ve çizgiye dik y = kx + b
denklem ile temsil edilir:
Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.
teorem. bir puan verilirse M(x 0, y 0), sonra çizgiye olan mesafe Ah + Wu + C = 0şu şekilde tanımlanır:
Kanıt. nokta olsun M1 (x 1, y 1)- noktadan düşen dikeyin tabanı M verilen için
dümdüz. Daha sonra noktalar arasındaki mesafe M ve 1:
(1)
koordinatlar x 1 ve 1 denklem sisteminin bir çözümü olarak bulunabilir:
Sistemin ikinci denklemi, içinden geçen düz bir çizginin denklemidir. verilen nokta M 0 dik
verilen hat. Sistemin ilk denklemini forma dönüştürürsek:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 ile + C = 0,
sonra çözerek şunları elde ederiz:
Bu ifadeleri denklem (1) ile değiştirerek şunu buluruz:
Teorem kanıtlanmıştır.
Örnekler kullanarak iki noktadan geçen bir doğrunun denklemini nasıl yazacağınızı düşünün.
örnek 1
A(-3; 9) ve B(2;-1) noktalarından geçen bir doğrunun denklemini yazın.
1 yol - eğimli düz bir çizginin denklemini oluşturacağız.
Eğimli düz bir çizginin denklemi forma sahiptir. A ve B noktalarının koordinatlarını düz bir çizginin denklemine koyarak (x= -3 ve y=9 - ilk durumda, x=2 ve y= -1 - ikinci durumda), bir denklem sistemi elde ederiz , k ve b değerlerini bulduğumuz:
1. ve 2. denklemleri terim terim ekleyerek şunu elde ederiz: -10=5k, buradan k= -2 olur. İkinci denklemde k= -2 yerine koyarsak b: -1=2 (-2)+b, b=3 buluruz.
Böylece, y= -2x+3 istenen denklemdir.
2 yol - düz bir çizginin genel denklemini oluşturacağız.
Düz bir çizginin genel denklemi şu şekildedir. A ve B noktalarının koordinatlarını denklemde değiştirerek sistemi elde ederiz:
Bilinmeyen sayısı denklem sayısından fazla olduğu için sistem çözülemez. Ancak tüm değişkenleri tek bir şekilde ifade etmek mümkündür. Örneğin, aracılığıyla b.
Sistemin ilk denklemini -1 ile çarpmak ve ikinciye terim terim eklemek:
şunu elde ederiz: 5a-10b=0. Dolayısıyla a=2b.
Alınan ifadeyi ikinci denklemde yerine koyalım: 2·2b -b+c=0; 3b+c=0; c=-3b.
a=2b, c= -3b'yi ax+by+c=0 denkleminde değiştirin:
2bx+by-3b=0. Her iki parçayı da b'ye bölmek kalır:
Düz bir çizginin genel denklemi, kolayca eğimli bir düz çizginin denklemine indirgenebilir:
3 yol - 2 noktadan geçen düz bir çizginin denklemini oluşturacağız.
İki noktadan geçen bir doğrunun denklemi:
Bu denklemde A(-3; 9) ve B(2;-1) noktalarının koordinatlarını yerine koyun.
(yani x 1 = -3, y 1 =9, x 2 =2, y 2 = -1):
ve basitleştirin:
nereden 2x+y-3=0.
AT okul kursu Eğim katsayısına sahip düz bir çizginin denklemi en sık kullanılır. Ancak en kolay yol, iki noktadan geçen düz bir çizginin denklemi için formülü türetmek ve kullanmaktır.
Yorum.
Verilen noktaların koordinatlarını değiştirirken, denklemin paydalarından biri
sıfıra eşit olduğu ortaya çıkar, ardından karşılık gelen payın sıfıra eşitlenmesiyle istenen denklem elde edilir.
Örnek 2
C(5; -2) ve D(7; -2) noktalarından geçen bir doğrunun denklemini yazın.
2 noktadan geçen düz bir doğrunun denkleminde C ve D noktalarının koordinatlarını değiştirin.
Bu makale, bir düzlem üzerinde bulunan dikdörtgen bir koordinat sisteminde verilen iki noktadan geçen düz bir doğrunun denkleminin türetilmesini ortaya koymaktadır. Dikdörtgen bir koordinat sisteminde verilen iki noktadan geçen düz bir çizginin denklemini elde ederiz. İşlenen materyalle ilgili birkaç örneği görsel olarak gösterip çözeceğiz.
Verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemini elde etmeden önce bazı gerçeklere dikkat etmek gerekir. Bir düzlemde çakışmayan iki nokta aracılığıyla düz bir çizgi çizmenin mümkün olduğunu söyleyen bir aksiyom var ve sadece bir tane. Başka bir deyişle, düzlemin verilen iki noktası, bu noktalardan geçen bir doğru tarafından belirlenir.
Düzlem, dikdörtgen koordinat sistemi Oxy tarafından verilirse, içinde gösterilen herhangi bir düz çizgi, düzlemdeki düz çizginin denklemine karşılık gelecektir. Doğrunun yönlendirici vektörü ile de bir bağlantısı vardır.Bu veriler verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemini oluşturmak için yeterlidir.
Benzer bir problemi çözmenin bir örneğini düşünün. Kartezyen koordinat sisteminde bulunan M 1 (x 1, y 1) ve M 2 (x 2, y 2) uyumsuz iki noktasından geçen düz bir a çizgisinin denklemini oluşturmak gerekir.
Bir düzlemdeki düz bir çizginin kanonik denkleminde, x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , M koordinatlarına sahip bir noktada onunla kesişen düz bir çizgi ile dikdörtgen bir koordinat sistemi O x y belirtilir. 1 (x 1, y 1) kılavuz vektörü ile a → = (a x , a y) .
M 1 (x 1, y 1) ve M 2 (x 2, y 2) koordinatlarına sahip iki noktadan geçecek olan a düz çizgisinin kanonik denklemini oluşturmak gerekir.
Düz a çizgisi, M 1 ve M 2 noktalarını kestiği için (x 2 - x 1, y 2 - y 1) koordinatlarıyla M 1 M 2 → bir yönlendirme vektörüne sahiptir. Kanonik denklemi M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) yön vektörünün koordinatları ve üzerinde bulunan M 1 noktalarının koordinatları ile dönüştürmek için gerekli verileri elde ettik. (x 1, y 1) ve M2 (x 2 , y 2) . x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 veya x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 biçiminde bir denklem elde ederiz.
Aşağıdaki şekli düşünün.
Hesaplamaların ardından, M 1 (x 1, y 1) ve M 2 (x 2, y 2) koordinatlarına sahip iki noktadan geçen bir düzlemde bir doğrunun parametrik denklemlerini yazıyoruz. x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ veya x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ biçiminde bir denklem elde ederiz. y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.
Birkaç örneğe daha yakından bakalım.
örnek 1
M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 koordinatlarıyla verilen 2 noktadan geçen bir doğrunun denklemini yazın .
Çözüm
x 1 , y 1 ve x 2 , y 2 koordinatlarına sahip iki noktada kesişen bir düz çizginin kanonik denklemi x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 şeklini alır . Sorunun durumuna göre, x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6'ya sahibiz. değiştirme ihtiyacı Sayısal değerler x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 denklemine. Buradan, kanonik denklemin x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 şeklini alacağını anlıyoruz.
Cevap: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .
Farklı türde bir denklemle bir sorunu çözmek gerekirse, bir başlangıç için kanonik olana gidebilirsiniz, çünkü ondan diğerine gelmek daha kolaydır.
Örnek 2
O x y koordinat sisteminde M 1 (1, 1) ve M 2 (4, 2) koordinatlarına sahip noktalardan geçen bir doğrunun genel denklemini oluşturunuz.
Çözüm
Önce, verilen iki noktadan geçen belirli bir doğrunun kurallı denklemini yazmanız gerekir. x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 biçiminde bir denklem elde ederiz.
Kanonik denklemi istenen forma getiriyoruz, sonra şunu elde ediyoruz:
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
Cevap: x - 3 y + 2 = 0 .
Bu tür görevlerin örnekleri şurada tartışılmıştır: okul ders kitapları cebir dersinde. Okul görevleri, y \u003d k x + b biçiminde, eğim katsayısına sahip düz bir çizginin denkleminin bilinmesi bakımından farklılık gösteriyordu. Eğer k eğiminin değerini ve y \u003d k x + b denkleminin O x y sisteminde M 1 (x 1, y 1) ve M noktalarından geçen bir çizgiyi tanımladığı b sayısını bulmanız gerekiyorsa 2 (x 2, y 2) , burada x 1 ≠ x 2 . x 1 = x 2 olduğunda , sonra eğim sonsuz değerini alır ve düz çizgi M 1 M 2, x - x 1 = 0 biçimindeki genel eksik bir denklem ile tanımlanır. .
çünkü noktalar 1 ve M2 düz bir çizgi üzerindeyse, koordinatları y 1 = k x 1 + b ve y 2 = k x 2 + b denklemini sağlar. k ve b'ye göre y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b denklem sistemini çözmek gerekir.
Bunu yapmak için k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 veya k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x'i buluruz 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .
Bu tür k ve b değerleriyle, verilen iki noktadan geçen düz bir çizginin denklemi aşağıdaki formu alır y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 veya y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
Bunu şimdi hatırla büyük miktar formüller çalışmayacaktır. Bunun için problem çözmede tekrar sayısını artırmak gerekir.
Örnek 3
M 2 (2, 1) ve y = k x + b koordinatlarına sahip noktalardan geçen eğimli bir doğrunun denklemini yazın.
Çözüm
Sorunu çözmek için, y \u003d k x + b şeklinde eğimli bir formül kullanıyoruz. k ve b katsayıları öyle bir değer almalıdır ki verilen denklem M 1 (- 7 , - 5) ve M 2 (2 , 1) koordinatlarına sahip iki noktadan geçen düz bir çizgiye karşılık gelir.
puan 1 ve M2 düz bir çizgi üzerinde bulunursa, koordinatları y = k x + b denklemini tersine çevirmelidir gerçek eşitlik. Buradan - 5 = k · (- 7) + b ve 1 = k · 2 + b elde ederiz. Denklemi - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b sisteminde birleştirelim ve çözelim.
Değiştirme üzerine, bunu elde ederiz
5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3
Şimdi k = 2 3 ve b = - 1 3 değerleri y = k x + b denkleminde ikame edilir. Verilen noktalardan geçen istenen denklemin y = 2 3 x - 1 3 şeklinde bir denklem olacağını elde ederiz.
Bu çözüm yolu, büyük miktarda zaman harcanmasını önceden belirler. Görevin tam anlamıyla iki adımda çözüldüğü bir yol var.
X - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 biçimindeki M 2 (2, 1) ve M 1 (- 7, - 5) 'den geçen düz bir çizginin kanonik denklemini yazıyoruz. ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .
Şimdi eğim denklemine geçelim. Şunu elde ederiz: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .
Cevap: y = 2 3 x - 1 3 .
Üç boyutlu uzayda, M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2) koordinatlarına sahip çakışık olmayan iki noktaya sahip O x y z dikdörtgen koordinat sistemi varsa, düz çizgi M içlerinden geçen 1 M 2 , bu doğrunun denklemini elde etmek gerekir.
Elimizde x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z biçiminde kanonik denklemler ve x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + biçiminde parametrik denklemler var. a z λ, O x y z koordinat sisteminde (x 1, y 1, z 1) koordinatlarına sahip noktalardan geçen bir yönlendirme vektörü a → = (a x, a y, a z) ile bir çizgi ayarlayabilir.
Düz M 1 M 2 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) biçiminde bir yön vektörüne sahiptir, burada çizgi M 1 (x 1 , y 1 , z noktasından geçer) 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2), dolayısıyla kanonik denklem x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z biçiminde olabilir 2 - z 1 veya x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, sırayla, parametrik x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ veya x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.
Uzayda verilen 2 noktayı ve bir doğrunun denklemini gösteren bir şekil düşünün.
Örnek 4
Verilen iki noktadan geçen, M 1 (2, - 3, 0) ve M 2 (1, - 3, - 5) koordinatlarına sahip üç boyutlu uzayın O x y z dikdörtgen koordinat sisteminde tanımlanan düz bir çizginin denklemini yazın. ) .
Çözüm
Kanonik denklemi bulmamız gerekiyor. Çünkü Konuşuyoruz yaklaşık üç boyutlu uzay, yani verilen noktalardan düz bir çizgi geçtiğinde, istenen kanonik denklem x - x 1 x 2 - x 1 \u003d y - y 1 y 2 - y 1 \u003d z - z 1 z 2 - z 1.
Koşul olarak, x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5'e sahibiz. Gerekli denklemler aşağıdaki gibi yazılabilir:
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Cevap: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Doğrunun M 1 (x 1; y 1) ve M 2 (x 2; y 2) noktalarından geçmesine izin verin. M 1 noktasından geçen düz bir çizginin denklemi y- y 1 \u003d şeklindedir. k (x - x 1), (10.6)
nerede k - hala bilinmeyen katsayı.
Düz çizgi M 2 (x 2 y 2) noktasından geçtiğinden, bu noktanın koordinatları denklem (10.6)'yı sağlamalıdır: y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).
Buradan bulunan değeri yerine koymayı buluruz. k
(10.6) denkleminde, M 1 ve M 2 noktalarından geçen düz bir çizginin denklemini elde ederiz:
Bu denklemde x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 olduğu varsayılır.
x 1 \u003d x 2 ise, M 1 (x 1, y I) ve M 2 (x 2, y 2) noktalarından geçen düz çizgi y eksenine paraleldir. onun denklemi x = x 1 .
Eğer y 2 \u003d y I ise, düz çizginin denklemi y \u003d y 1 olarak yazılabilir, düz çizgi M 1 M2 x eksenine paraleldir.
Segmentlerde düz bir çizginin denklemi
Düz çizginin Ox eksenini M 1 (a; 0) noktasında ve Oy eksenini - M 2 (0; b) noktasında kesmesine izin verin. Denklem şu şekli alacaktır:
şunlar.
. Bu denklem denir segmentlerde düz bir çizginin denklemi, çünkü a ve b sayıları, düz çizginin koordinat eksenlerinde hangi segmentleri kestiğini gösterir..
Verilen bir vektöre dik belirli bir noktadan geçen düz bir çizginin denklemi
Verilen bir Mo (x O; y o) noktasından, verilen sıfır olmayan bir n = (A; B) vektörüne dik geçen düz bir doğrunun denklemini bulalım.
Düz çizgi üzerinde keyfi bir M(x; y) noktası alın ve M 0 M (x - x 0; y - y o) vektörünü göz önünde bulundurun (bkz. Şekil 1). n ve M o M vektörleri dik olduğundan, bunların skaler çarpımı sıfıra eşittir: yani,
A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)
Denklem (10.8) denir belirli bir noktadan belirli bir vektöre dik geçen düz bir çizginin denklemi .
Doğruya dik olan n = (A; B) vektörüne normal denir bu çizginin normal vektörü .
Denklem (10.8) şu şekilde yeniden yazılabilir: Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
A ve B normal vektörün koordinatlarıdır, C \u003d -Ax o - Vu o - serbest terim. Denklem (10.9) düz bir çizginin genel denklemidir(bkz. Şekil 2).
Şekil.1 Şekil.2
Doğrunun kanonik denklemleri
,
Neresi
çizginin geçtiği noktanın koordinatlarıdır ve
- yön vektörü.
İkinci dereceden Çemberin Eğrileri
Bir daire, merkez olarak adlandırılan belirli bir noktadan eşit uzaklıktaki bir düzlemin tüm noktalarının kümesidir.
Yarıçaplı bir dairenin kanonik denklemi
R bir noktaya odaklanmış
:
Özellikle, bahsin merkezi orijine denk geliyorsa, denklem şöyle görünecektir:
Elips
Bir elips, bir düzlemdeki noktaların her birinden verilen iki noktaya olan uzaklıklarının toplamıdır.
ve odak olarak adlandırılan , sabit bir değerdir
, odaklar arasındaki mesafeden daha büyük
.
Odakları Öküz ekseni üzerinde bulunan ve orijini odakları arasında ortada olan bir elipsin kanonik denklemi şu şekildedir:
G de a ana yarım eksenin uzunluğu; b minör yarım eksenin uzunluğudur (Şekil 2).
elips parametreleri arasındaki ilişki
ve oran ile ifade edilir:
(4)
Elips eksantrikliğiinterfokal mesafe oranı denir2sana eksene2a:
Müdireler
elips, bu eksenden uzakta olan y eksenine paralel düz çizgiler olarak adlandırılır. Directrix denklemleri:
.
elips denkleminde ise
, o zaman elipsin odakları y ekseni üzerindedir.
Yani,
Bu makale bir düzlemde düz bir çizginin denklemi konusuna devam ediyor: böyle bir denklem türünü düz bir çizginin genel denklemi olarak düşünün. Bir teorem tanımlayalım ve kanıtını verelim; Düz bir çizginin tamamlanmamış bir genel denkleminin ne olduğunu ve genel bir denklemden diğer düz bir çizgi denklemine nasıl geçiş yapılacağını anlayalım. Tüm teoriyi çizimlerle pekiştireceğiz ve pratik problemleri çözeceğiz.
Düzlemde bir dikdörtgen koordinat sistemi O x y verilsin.
Teorem 1
A x + B y + C \u003d 0 biçiminde, A, B, C'nin bazı olduğu birinci dereceden herhangi bir denklem gerçek sayılar(A ve B aynı anda sıfıra eşit değildir) bir düzlemde dikdörtgen koordinat sisteminde düz bir çizgi tanımlar. Sırayla, düzlemdeki dikdörtgen koordinat sistemindeki herhangi bir çizgi, belirli bir A, B, C değer kümesi için A x + B y + C = 0 biçimindeki bir denklem ile belirlenir.
Kanıt
Bu teorem iki noktadan oluşuyor, her birini ispatlayacağız.
- A x + B y + C = 0 denkleminin düzlemde bir doğru tanımladığını ispatlayalım.
Koordinatları A x + B y + C = 0 denklemine karşılık gelen bir M 0 (x 0 , y 0) noktası olsun. Böylece: A x 0 + B y 0 + C = 0 . A x + B y + C \u003d 0 denklemlerinin sol ve sağ taraflarından A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 denkleminin sol ve sağ taraflarını çıkarın, A'ya benzeyen yeni bir denklem elde ederiz (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . A x + B y + C = 0'a eşdeğerdir.
Ortaya çıkan A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 denklemi gereklidir ve yeterli koşul n → = (A , B) ve M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) vektörlerinin dikliği. Böylece, M (x, y) noktaları kümesi, bir dikdörtgen koordinat sisteminde n → = (A, B) vektörünün yönüne dik bir düz çizgi tanımlar. Bunun böyle olmadığını varsayabiliriz, ancak o zaman n → = (A, B) ve M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vektörleri dik olmaz ve eşitlik A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 doğru olmaz.
Bu nedenle, A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 denklemi, düzlemdeki dikdörtgen bir koordinat sisteminde belirli bir çizgiyi tanımlar ve bu nedenle eşdeğer denklem A x + B y + C \u003d 0 aynı satırı tanımlar. Böylece teoremin ilk kısmını ispatlamış olduk.
- Düzlemdeki bir dikdörtgen koordinat sistemindeki herhangi bir düz çizginin birinci dereceden A x + B y + C = 0 denklemiyle verilebileceğini ispatlayalım.
Düzlem üzerinde dikdörtgen bir koordinat sisteminde a düz bir çizgi belirleyelim; Bu çizginin içinden geçtiği M 0 (x 0 , y 0) noktası ve bu çizginin normal vektörü n → = (A , B) .
Ayrıca bir M (x , y) noktası da olsun - doğrunun kayan noktası. Bu durumda, n → = (A , B) ve M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) vektörleri birbirine diktir ve skaler çarpımı sıfırdır:
n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0
A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 denklemini yeniden yazalım, C: C = - A x 0 - B y 0'ı tanımlayalım ve son olarak A x + B y + C = 0 denklemini elde edelim.
Böylece teoremin ikinci kısmını ispatladık ve teoremi bir bütün olarak ispatladık.
tanım 1
gibi görünen bir denklem A x + B y + C = 0 - bu bir doğrunun genel denklemi dikdörtgen koordinat sistemindeki bir düzlemdeo x y.
Kanıtlanmış teoreme dayanarak, sabit bir dikdörtgen koordinat sisteminde bir düzlemde verilen düz bir çizgi ile genel denkleminin ayrılmaz bir şekilde bağlantılı olduğu sonucuna varabiliriz. Başka bir deyişle, orijinal çizgi onun genel denklemine karşılık gelir; düz bir çizginin genel denklemi, verilen bir düz çizgiye karşılık gelir.
Ayrıca teoremin kanıtından, x ve y değişkenleri için A ve B katsayılarının, A x + B y + düz çizgisinin genel denklemi tarafından verilen düz çizginin normal vektörünün koordinatları olduğu sonucuna varılır. C = 0.
Düşünmek özel örnek bir doğrunun genel denklemi.
Verilen bir dikdörtgen koordinat sisteminde düz bir çizgiye karşılık gelen 2 x + 3 y - 2 = 0 denklemi verilsin. Bu çizginin normal vektörü, vektördür. n → = (2 , 3) . Çizimde belirli bir düz çizgi çizin.
Aşağıdakiler de tartışılabilir: çizimde gördüğümüz çizgi, verilen bir çizginin tüm noktalarının koordinatları bu denkleme karşılık geldiğinden, 2 x + 3 y - 2 = 0 genel denklemi tarafından belirlenir.
λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 denklemini, genel düz çizgi denkleminin her iki tarafını da sıfır olmayan bir sayı λ ile çarparak elde edebiliriz. Ortaya çıkan denklem orijinal genel denkleme eşdeğerdir, bu nedenle düzlemde aynı çizgiyi tanımlayacaktır.
tanım 2Düz bir çizginin genel denklemini tamamlayın- A, B, C sayılarının sıfır olmadığı A x + B y + C \u003d 0 düz çizgisinin böyle bir genel denklemi. Aksi takdirde, denklem eksik.
Doğrunun tamamlanmamış genel denkleminin tüm çeşitlerini analiz edelim.
- A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 olduğunda, genel denklem B y + C \u003d 0 olur. Böyle tamamlanmamış bir genel denklem, O x y dikdörtgen koordinat sisteminde O x eksenine paralel olan bir düz çizgi tanımlar, çünkü x'in herhangi bir gerçek değeri için, y değişkeni bu değeri alacaktır. -CB. Başka bir deyişle, A x + B y + C \u003d 0 satırının genel denklemi, A \u003d 0, B ≠ 0 olduğunda, koordinatları aynı sayıya eşit olan noktaların (x, y) yerini tanımlar. -CB.
- A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0 ise, genel denklem y \u003d 0 olur. Çok eksik denklem x eksenini tanımlar O x .
- A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0 olduğunda, y eksenine paralel düz bir çizgi tanımlayan eksik bir genel A x + C \u003d 0 denklemi elde ederiz.
- A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0 olsun, o zaman eksik genel denklem x \u003d 0 şeklini alacaktır ve bu, O y koordinat çizgisinin denklemidir.
- Son olarak, A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0 olduğunda, eksik genel denklem A x + B y \u003d 0 şeklini alır. Ve bu denklem orijinden geçen düz bir çizgiyi tanımlar. Gerçekten de (0 , 0) sayı çifti A x + B y = 0 eşitliğine karşılık gelir, çünkü A · 0 + B · 0 = 0 .
Düz bir çizginin tamamlanmamış genel denkleminin yukarıdaki tüm türlerini grafiksel olarak gösterelim.
örnek 1
Verilen doğrunun y eksenine paralel olduğu ve 2 7 , - 11 noktasından geçtiği bilinmektedir. Verilen bir doğrunun genel denklemini yazmak gerekir.
Çözüm
Y eksenine paralel düz bir çizgi, A ≠ 0 olan A x + C \u003d 0 biçimindeki bir denklem ile verilir. Koşul ayrıca, çizginin geçtiği noktanın koordinatlarını da belirtir ve bu noktanın koordinatları, tamamlanmamış genel A x + C = 0 denkleminin koşullarına karşılık gelir, yani. eşitlik doğrudur:
A 2 7 + C = 0
A'ya sıfır olmayan bir değer vererek ondan C'yi belirlemek mümkündür, örneğin, A = 7 . Bu durumda şunu elde ederiz: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Hem A hem de C katsayılarını biliyoruz, bunları A x + C = 0 denkleminde yerine koyuyoruz ve doğrunun gerekli denklemini alıyoruz: 7 x - 2 = 0
Cevap: 7x - 2 = 0
Örnek 2
Çizim düz bir çizgi gösteriyor, denklemini yazmak gerekiyor.
Çözüm
Verilen çizim, sorunu çözmek için ilk verileri kolayca almamızı sağlar. Verilen doğrunun O x eksenine paralel olduğunu ve (0 , 3) noktasından geçtiğini çizimde görüyoruz.
Apsise paralel olan düz çizgi, tamamlanmamış genel denklem B y + С = 0 ile belirlenir. B ve C değerlerini bulun. (0, 3) noktasının koordinatları, belirli bir çizgi içinden geçtiği için, B y + C = 0 çizgisinin denklemini karşılayacaktır, o zaman eşitlik geçerlidir: B · 3 + C = 0. B'yi sıfırdan farklı bir değere ayarlayalım. Diyelim ki B \u003d 1, bu durumda, B · 3 + C \u003d 0 eşitliğinden C: C \u003d - 3'ü bulabiliriz. Kullanırız bilinen değerler B ve C, doğrunun gerekli denklemini elde ederiz: y - 3 = 0.
Cevap: y - 3 = 0 .
Düzlemin belirli bir noktasından geçen bir doğrunun genel denklemi
Verilen çizginin M 0 (x 0, y 0) noktasından geçmesine izin verin, ardından koordinatları çizginin genel denklemine karşılık gelir, yani. eşitlik doğrudur: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Bu denklemin sol ve sağ taraflarını genel denklemin sol ve sağ taraflarından çıkarın. tam denklem dümdüz. Alırız: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, bu denklem orijinal genel olana eşdeğerdir, M 0 (x 0, y 0) noktasından geçer ve bir normal vektör n → \u003d (A, B) .
Elde ettiğimiz sonuç, düz bir çizginin genel denklemini aşağıdakiler için yazmayı mümkün kılıyor: bilinen koordinatlar doğrunun normal vektörü ve bu doğru üzerindeki bir noktanın koordinatları.
Örnek 3
Doğrunun içinden geçtiği bir M 0 (- 3, 4) noktası ve bu doğrunun normal vektörü n → = (1 , - 2) . Verilen bir doğrunun denklemini yazmak gerekir.
Çözüm
İlk koşullar, denklemi derlemek için gerekli verileri elde etmemizi sağlar: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. O zamanlar:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0
Sorun farklı şekilde çözülebilirdi. Düz bir çizginin genel denklemi A x + B y + C = 0 şeklindedir. Verilen normal vektör, A ve B katsayılarının değerlerini almanızı sağlar, ardından:
A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0
Şimdi doğrunun içinden geçtiği problemin koşulu tarafından verilen M 0 (- 3, 4) noktasını kullanarak C'nin değerini bulalım. Bu noktanın koordinatları x - 2 · y + C = 0 denklemine karşılık gelir, yani. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Dolayısıyla C = 11. Gerekli düz çizgi denklemi şu şekildedir: x - 2 · y + 11 = 0 .
Cevap: x - 2 y + 11 = 0 .
Örnek 4
2 3 x - y - 1 2 = 0 doğrusu ve bu doğru üzerinde uzanan bir M 0 noktası verilmiş. Bu noktanın sadece apsisi bilinir ve - 3'e eşittir. Verilen noktanın koordinatını belirlemek gerekir.
Çözüm
M 0 noktasının koordinatlarının atamasını x 0 ve y 0 olarak ayarlayalım. İlk veriler, x 0 \u003d - 3 olduğunu gösterir. Nokta belirli bir doğruya ait olduğundan, koordinatları bu doğrunun genel denklemine karşılık gelir. O zaman aşağıdaki eşitlik doğru olacaktır:
2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0
y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2 tanımlayın
Cevap: - 5 2
Düz bir çizginin genel denkleminden düz bir çizginin diğer denklem türlerine geçiş ve bunun tersi
Bildiğimiz gibi, düzlemde aynı doğrunun birkaç denklemi türü vardır. Denklem türünün seçimi problemin koşullarına bağlıdır; çözümü için daha uygun olanı seçmek mümkündür. Bir tür denklemi başka bir tür denkleme dönüştürme becerisinin çok kullanışlı olduğu yer burasıdır.
İlk olarak, A x + B y + C = 0 şeklindeki genel denklemden x - x 1 a x = y - y 1 a y kanonik denklemine geçişi düşünün.
A ≠ 0 ise, B y terimini genel denklemin sağ tarafına aktarırız. Sol tarafta, A'yı parantezlerden çıkarıyoruz. Sonuç olarak şunu elde ederiz: A x + C A = - B y .
Bu eşitlik orantı olarak yazılabilir: x + C A - B = y A .
B ≠ 0 ise, genel denklemin sol tarafında sadece A x terimini bırakırız, diğerlerini sağ tarafa aktarırız, şunu elde ederiz: A x \u003d - B y - C. - B'yi parantezlerden çıkarırız, sonra: A x \u003d - B y + C B.
Eşitliği orantı olarak yeniden yazalım: x - B = y + C B A .
Tabii ki, ortaya çıkan formülleri ezberlemeye gerek yok. Genel denklemden kanonik olana geçiş sırasında eylemlerin algoritmasını bilmek yeterlidir.
Örnek 5
3 y - 4 = 0 doğrusunun genel denklemi verilmiştir. Kanonik bir denkleme dönüştürülmesi gerekir.
Çözüm
Orijinal denklemi 3 y - 4 = 0 olarak yazıyoruz. Ardından, algoritmaya göre hareket ediyoruz: 0 x terimi sol tarafta kalıyor; ve sağ tarafta - 3'ü parantezden çıkarıyoruz; elde ederiz: 0 x = - 3 y - 4 3 .
Ortaya çıkan eşitliği orantı olarak yazalım: x - 3 = y - 4 3 0 . Böylece, kanonik formun bir denklemini elde ettik.
Cevap: x - 3 = y - 4 3 0.
Düz bir çizginin genel denklemini parametrik olanlara dönüştürmek için önce kanonik forma geçiş yapılır, ardından kanonik denklem doğrudan parametrik denklemlere.
Örnek 6
Düz çizgi, 2 x - 5 y - 1 = 0 denklemi ile verilir. Bu doğrunun parametrik denklemlerini yazınız.
Çözüm
Genel denklemden kanonik denkleme geçiş yapalım:
2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2
Şimdi elde edilen kanonik denklemin λ'ya eşit her iki parçasını da alalım, o zaman:
x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R
Cevap:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R
Genel denklem, eğimi y = k x + b olan bir düz çizgi denklemine dönüştürülebilir, ancak yalnızca B ≠ 0 olduğunda. Sol taraftaki geçiş için B y terimini bırakıyoruz, geri kalanı sağa aktarılıyor. Şunu elde ederiz: B y = - A x - C . Ortaya çıkan eşitliğin her iki parçasını da sıfırdan farklı olan B'ye bölelim: y = - A B x - C B .
Örnek 7
Düz bir çizginin genel denklemi verilmiştir: 2 x + 7 y = 0 . Bu denklemi bir eğim denklemine dönüştürmeniz gerekir.
Çözüm
Algoritmaya göre gerekli işlemleri yapalım:
2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x
Cevap: y = - 2 7 x .
Düz bir çizginin genel denkleminden, x a + y b \u003d 1 biçimindeki segmentlerde bir denklem elde etmek yeterlidir. Böyle bir geçiş yapmak için, C sayısını eşitliğin sağ tarafına aktarırız, ortaya çıkan eşitliğin her iki bölümünü - С'ye böleriz ve son olarak, x ve y değişkenlerinin katsayılarını paydalara aktarırız:
A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1
Örnek 8
x - 7 y + 1 2 = 0 düz çizgisinin genel denklemini, segmentlerdeki düz bir çizginin denklemine dönüştürmek gerekir.
Çözüm
1 2'yi sağa kaydıralım: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .
Denklemin her iki tarafını -1/2'ye bölün: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .
Cevap: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .
Genel olarak, ters geçiş de kolaydır: diğer denklem türlerinden genel denkleme.
Segmentlerdeki düz bir çizginin denklemi ve eğimli denklem, denklemin sol tarafındaki tüm terimleri toplayarak kolayca genel bir denkleme dönüştürülebilir:
x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
Kanonik denklem, aşağıdaki şemaya göre genel denkleme dönüştürülür:
x - x 1 a x = y - y 1 bir y ⇔ bir y (x - x 1) = bir x (y - y 1) ⇔ ⇔ bir y x - bir x y - bir y x 1 + bir x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
Parametrikten geçmek için önce kanonik olana, ardından genel olana geçiş yapılır:
x = x 1 + bir x λ y = y 1 + bir y λ ⇔ x - x 1 bir x = y - y 1 bir y ⇔ A x + B y + C = 0
Örnek 9
x = - 1 + 2 · λ y = 4 doğrusunun parametrik denklemleri verilmiştir. Bu doğrunun genel denklemini yazmak gerekir.
Çözüm
Parametrik denklemlerden kanonik denklemlere geçiş yapalım:
x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0
Kanonikten genele geçelim:
x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0
Cevap: y - 4 = 0
Örnek 10
Bir doğrunun x 3 + y 1 2 = 1 bölümlerindeki denklemi verilmiştir. geçiş yapmak için gereklidir Genel görünüm denklemler.
Çözüm:
Denklemi gerekli biçimde yeniden yazalım:
x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0
Cevap: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .
Düz bir çizginin genel denklemini oluşturma
Yukarıda, normal vektörün bilinen koordinatları ve doğrunun geçtiği noktanın koordinatları ile genel denklemin yazılabileceğini söylemiştik. Böyle bir düz çizgi, A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 denklemi ile tanımlanır. Aynı yerde ilgili örneği analiz ettik.
Şimdi daha fazlasına bakalım karmaşık örnekler, normal vektörün koordinatlarını belirlemenin ilk gerekli olduğu yer.
Örnek 11
2 x - 3 y + 3 3 = 0 doğrusuna paralel bir doğru verildi. Verilen doğrunun içinden geçtiği M0 (4, 1) noktası da bilinmektedir. Verilen bir doğrunun denklemini yazmak gerekir.
Çözüm
İlk koşullar bize çizgilerin paralel olduğunu söyler, o zaman denklemi yazılması gereken çizginin normal vektörü olarak n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 çizgisinin yönlendirici vektörünü alırız. y + 3 3 \u003d 0. Artık düz bir çizginin genel denklemini oluşturmak için gerekli tüm verileri biliyoruz:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0
Cevap: 2 x - 3 y - 5 = 0 .
Örnek 12
Verilen doğru orijinden x - 2 3 = y + 4 5 doğrusuna dik olarak geçer. Verilen bir doğrunun genel denklemini yazmak gerekir.
Çözüm
Verilen doğrunun normal vektörü, x - 2 3 = y + 4 5 doğrusunun yönlendirici vektörü olacaktır.
Sonra n → = (3 , 5) . Düz çizgi orijinden geçer, yani. O (0, 0) noktasından geçer. Verilen bir doğrunun genel denklemini oluşturalım:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0
Cevap: 3 x + 5 y = 0 .
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
- Yer değiştirmeye yörüngenin başlangıç ve bitiş noktalarını birleştiren vektör denir Yolun başlangıcını ve sonunu birleştiren vektöre denir
- Yörünge, yol uzunluğu, yer değiştirme vektörü Başlangıç konumunu bağlayan vektör
- Bir çokgenin alanını köşelerinin koordinatlarından hesaplama Köşe formülünün koordinatlarından bir üçgenin alanı
- Kabul Edilebilir Değer Aralığı (ODZ), teori, örnekler, çözümler