1.2. Olasılık Teorisinin Uygulamaları

Olasılık teorisi yöntemleri, doğa bilimleri ve teknolojinin çeşitli dallarında yaygın olarak kullanılmaktadır:

 Güvenilirlik teorisinde,

 Kuyruk teorisi,

 teorik fizik,

 jeodezi,

 astronomi,

 atış teorisi,

 gözlemsel hatalar teorisi,

 Otomatik kontrol teorileri,

 genel iletişim teorisi ve diğer birçok teorik ve uygulamalı bilimde.

Olasılık teorisi aynı zamanda üretimin planlanması ve organizasyonunda, teknolojik süreçlerin analizinde, ürün kalitesinin önleyici ve kabul kontrolünde ve diğer birçok amaç için kullanılan matematiksel ve uygulamalı istatistiklerin doğrulanmasına da hizmet eder.

Son yıllarda, olasılık teorisi yöntemleri, bilim ve teknolojinin çeşitli alanlarına giderek daha fazla nüfuz etmiş ve ilerlemelerine katkıda bulunmuştur.

1.3. Kısa tarihsel arka plan

Olasılık teorisinin temel kavramlarının doğduğu ilk eserler, bir kumar teorisi yaratma girişimleriydi (16.-17. yüzyıllarda Cardano, Huygens, Pascal, Fermat ve diğerleri).

Olasılık teorisinin gelişimindeki bir sonraki aşama, Jacob Bernoulli (1654 - 1705) adıyla ilişkilidir. Daha sonra "Büyük Sayılar Yasası" olarak adlandırılan kanıtladığı teorem, daha önce biriken gerçeklerin ilk teorik doğrulamasıydı.

Olasılık teorisi, Moivre, Laplace, Gauss, Poisson ve diğerlerine daha fazla başarı borçludur. Lyapunov (1857 - 1918). Bu dönemde, olasılık teorisi tutarlı bir matematik bilimi haline gelir. Daha sonraki gelişimi öncelikle Rus ve Sovyet matematikçilerinden kaynaklanmaktadır (S.N. Bernshtein, V.I. Romanovsky, A.N. Kolmogorov, A.Ya. Khinchin, B.V. Gnedenko, N.V. Smirnov, vb.).

1.4. Testler ve olaylar. Etkinlik türleri

Olasılık teorisinin temel kavramları, temel bir olay kavramı ve temel olayların uzayı kavramıdır. Yukarıda, belirli bir dizi koşulun uygulanması altında bir olay rastgele olarak adlandırılır. S olabilir veya olmayabilir. Gelecekte, "bir dizi koşul" demek yerine S gerçekleştirildi”, kısaca “test edildi” diyeceğiz. Böylece olay testin sonucu olarak kabul edilecektir.

Tanım. rastgele olay deneyim sonucunda meydana gelebilecek veya gelmeyebilecek herhangi bir olguya denir.

Bu durumda, deneyin şu veya bu sonucu değişen derecelerde olasılıklarla elde edilebilir. Yani, bazı durumlarda bir olayın neredeyse kesinlikle gerçekleşeceği, diğerinin ise neredeyse hiç olmayacağı söylenebilir.

Tanım. Temel sonuçların alanıΩ, belirli bir rastgele deneyin tüm olası sonuçlarını içeren bir kümedir ve bunlardan tam olarak biri deneyde gerçekleşir. Bu kümenin elemanlarına denir temel sonuçlar ve ω ("omega") harfi ile gösterilir.

Daha sonra Ω kümesinin alt kümelerine olay denir. Deney sonucunda, A kümesinde yer alan temel sonuçlardan birinin deneyde gerçekleşmesi durumunda A Ω olayının meydana geldiği söylenir.

Basitlik için, temel olayların sayısının sonlu olduğunu varsayıyoruz. Temel olaylar uzayının bir alt kümesine rastgele olay denir. Bu olay, testin bir sonucu olarak meydana gelebilir veya gelmeyebilir (bir kalıp rulosunda üç nokta, şu anda bir telefon görüşmesi vb.).

örnek 1 Atıcı, dört alana bölünmüş bir hedefe ateş eder. Bir atış bir testtir. Hedefin belirli bir alanını vurmak bir olaydır.

Örnek 2 Vazoda renkli toplar var. Kutudan rastgele bir top çekiliyor. Bir vazodan bir top çıkarmak bir testtir. Belirli bir renkteki bir topun ortaya çıkması bir olaydır.

Matematiksel bir modelde, tanımlanmayan ve yalnızca kendi özellikleriyle karakterize edilen bir olay kavramı ilk olay olarak kabul edilebilir. Olay kavramının gerçek anlamından yola çıkarak farklı olay türleri tanımlanabilir.

Tanım. Rastgele bir olay denir otantik, meydana geldiği biliniyorsa (bir kalıbın yuvarlanmasında bir ila altı nokta yuvarlanması) ve imkansız, eğer deneyim sonucu kesinlikle oluşamıyorsa (bir zar atılırken yedi puan atılır). Bu durumda, belirli bir olay, temel olaylar uzayının tüm noktalarını içerir ve imkansız bir olay, bu uzayın herhangi bir noktasını içermez.

Tanım.İki rastgele olay denir uyumsuz aynı test sonucu için aynı anda meydana gelmezlerse. Ve genel olarak, herhangi bir sayıda olay denir uyumsuz bunlardan birinin meydana gelmesi diğerlerinin meydana gelmesini dışlarsa.

Ayrık olayların klasik bir örneği, bir yazı tura sonucudur - madalyonun ön yüzünün düşmesi, arka yüzünün düşmesini hariç tutar (aynı deneyde).

Başka bir örnek, bir kutu parçadan rastgele alınan bir parçadır. Standart bir parçanın görünümü, standart olmayan bir parçanın görünümünü hariç tutar. “Standart bir parça belirdi” ve “standart olmayan bir parça belirdi” olayları uyumsuzdur.

Tanım. Birkaç olay formu tam grup, test sonucunda bunlardan en az biri ortaya çıkarsa.

Başka bir deyişle, tam grubun olaylarından en az birinin meydana gelmesi kesin bir olaydır. Özellikle, tam bir grubu oluşturan olaylar ikili olarak uyumsuzsa, test sonucunda bu olaylardan sadece biri ortaya çıkacaktır. Bu özel durum aşağıda kullanıldığı için büyük ilgi görmektedir.

Örnek. Para ve kıyafet piyangosunun iki biletini satın aldı. Aşağıdaki olaylardan biri ve sadece biri mutlaka gerçekleşecektir: “kazançlar ilk bilete düştü ve ikincisine düşmedi”, “kazançlar birinci bilete düşmedi ve ikinciye düştü”, “kazançlar düştü” her iki bilette de”, “kazançlar iki bilette de kazanmadı”. düştü." Bu olaylar, tam bir ikili uyumsuz olaylar grubu oluşturur.

Örnek. Atıcı hedefe ateş etti. Aşağıdaki iki olaydan birinin gerçekleşeceği kesindir: vur, ıskala. Bu iki ayrık olay tam bir grup oluşturur.

Örnek.İçinde sadece kırmızı ve yeşil bilyeler bulunan bir kutudan rastgele bir top çekildiğinde, çekilen toplar arasında beyaz bir topun ortaya çıkması imkansız bir olaydır. Kırmızının görünümü ve yeşil topların görünümü tam bir olaylar grubunu oluşturur.

Tanım. Hiçbirinin diğerinden daha olası olmadığına inanmak için bir neden varsa, olayların eşit derecede olası olduğu söylenir.

Örnek. Bir "armanın" ortaya çıkması ve bir yazı tura atıldığında bir yazının ortaya çıkması eşit derecede olası olaylardır. Gerçekten de, madalyonun homojen bir malzemeden yapıldığı, düzenli bir silindirik şekle sahip olduğu ve bir madeni paranın varlığının madalyonun bir veya diğer tarafının kaybını etkilemediği varsayılmaktadır.

Örnek. Atılan bir zarın üzerinde bir veya daha fazla sayıda noktanın ortaya çıkması eşit derecede olası olaylardır. Aslında, kalıbın homojen bir malzemeden yapıldığı, düzenli bir çokyüzlü şeklinde olduğu ve noktaların varlığının herhangi bir yüz kaybını etkilemediği varsayılmaktadır.

Yukarıdaki top örneğinde, kutuda aynı sayıda kırmızı ve yeşil top varsa, kırmızı ve yeşil topların ortaya çıkması eşit olası olaylardır. Kutuda yeşil olanlardan daha fazla kırmızı top varsa, yeşil topun ortaya çıkması kırmızı olandan daha az olasıdır.

Birçok kişi olasılık teorisini düzenli olarak kullanır. Özellikle girişimciler tarafından işlerinde sıklıkla kullanılır. Ancak neredeyse hiç kimse kişisel hesaplamaları ve düşünceli eylemleri onunla ilişkilendirmez. Hayattaki olasılık teorisi, kayıplar da dahil olmak üzere birçok sıkıntıdan kaçınmaya yardımcı olur. Çoğu iş adamı pratik düzeyde buna sahiptir. Öte yandan, olasılık teorisini çok iyi anlamış gibi görünenler, aslında bu konuda tamamen cahildirler. Bu arada, İsrailli bir bilim adamı, Nobel ödüllü Daniel Kahneman ve arkadaşı Amos Tversky deneysel olarak kanıtladılar: matematik eğitimi olasılık teorisini gerçekten anlamıyorum. Kayıplardan kaçınmanın veya fayda sağlamanın mümkün olacağı durumlarda bile bunu dikkate almazlar. Ve bu teoriye tamamen yabancı olan insanlarla tamamen aynı şekilde hareket ederler.

İşletmeniz için (işiniz anlamında) olasılık teorisi gereklidir. Anlayışı ve sürekli uygulaması, işte başarı ve verimliliğin temellerinden biridir.

Olasılık teorisi basittir, eğer karmaşıklaştırmazsanız

Bir çok için olasılık teorisini düşünün basit örnekler. 1'den 10'a kadar sayıların olduğu bir kutuda 10 numaralı topumuz varsa, 10 numaralı bir topun gelme olasılığı yüzde 10'dur. Ancak, böyle bir olasılık yüzde 90 olduğundan, en büyük (10 değil) değil, 1'den 9'a kadar herhangi bir sayı çekmemiz daha olasıdır. 10.000 numaralı toplar arasında en yüksek sayıya sahip olan topu çekmek zaten çok olası değildir. Büyük olasılıkla, başka bir sayı çizeceğiz (10000 değil). 10 milyon top ile en büyük sayıyı (10.000.000) çıkarmak neredeyse imkansızdır. Mantıksal sonuç, en büyüğü değil, başka herhangi bir sayının çekilmesi olacaktır. Yukarıdaki top örnekleri bizi büyük sayılar yasasına götürdü. Diyor ki:

Az sayıda olması muhtemel olgular, çok sayıda düzenli, çok sayıda ise kaçınılmaz hale gelir.

Örneklerimizde 10 toptan onluk çekmek mümkün ama başka bir sayı çekmemiz daha olası. Ancak top sayısı arttıkça, çekme olasılığı en fazla değil Büyük bir sayı giderek artar ve çok sayıda topa ulaşıldığında ve çok sayıda olduğunda - kaçınılmazlığa dönüşür.

Büyük sayılar yasası birkaç hüküm içerir (birkaç teorem). Bildiğiniz formülasyona bir tane daha eklemelisiniz:

Muhtemel fenomen sayısındaki bir artışla, ortalama değerleri sabit olma eğilimindedir ve çok sayıda olması durumunda pratik olarak öyle olurlar.

Bu durumu bir madeni para örneğinde düşünün. Bir madeni para 10 kez havaya atıldığında, yazı veya tura gelme oranı 5'e 5, 6'ya 4 ve 3'e 7 oranında olacaktır... Ancak atış sayısı arttıkça bu oran kaçınılmaz olarak eşitliğe yaklaşacaktır. (sabit ortalama değerlere), yani %50 ila %50 oranına. Bir milyon rulo ile %60 ila %40 oranına ulaşmak bile neredeyse imkansızdır - %50 ila %50 oranına çok yakın olacaktır. Bazı insanlar, madalyonun bir yüzünü arka arkaya 100 kez alma olasılığının yüzde 1 olduğuna inanıyor. Ve çok yanılıyorlar, çünkü böyle bir olay çok olası değil: birkaç milyarda bir şans gibi.

Sanırım olasılık teorisinin gerçekten basit olduğunu anlıyorsunuz. Yayınlanmasından bu yana (birkaç yüzyıl önce), hükümleri hemen hemen tüm eyaletlerde kontrol edilmiştir. büyük miktar bir Zamanlar. Özellikle öğrenciler bu konuda başarılı oldular. Kural olarak, doğrulama için madeni paralar kullanıldı. Ve herkes teori ile pratiğin tamamen örtüştüğüne ikna oldu.

İşletmenizde olasılık teorisinin uygulanması

Piyasadaki (nişinizdeki) durumu değerlendirirken, istatistiksel verilerle çalışırken, kaçınılmaz olarak olasılık teorisini kullanmanız gerekir - kural olarak, pratik düzeyde. Ama bu teoriyi anlayarak uygularsanız daha iyi olur. teorik temel. Sonuçta, gerçekten basit. Sadece olasılık teorisini anlamak ve bilinçli olarak uygulamak önemlidir. Ve kullanımının gerekli olduğu durumlar, özellikle iş dünyasında her zaman ortaya çıkar. Bu nedenle, verilen iki olasılık teorisi formülasyonunu hatırlayın. Yukarıda kırmızı ile vurgulanmıştır. Anlamlarını anlamaya çalışın! Bu senin için gerçekten önemli!

Keşfedildikten hemen sonra matematiğin ayrı bir dalı haline gelen olasılık teorisi, insanlara ondan çok önce yardımcı oldu. bilimsel gerekçe.

İstenen senaryoya göre öngörülemeyen bir olayın gelişimini açıklamadıkları anda - bazıları tanrıların ve ruhların müdahalesiyle, bazıları duanın gücüyle ve bazıları sadece tesadüfen. Ve ancak on yedinci yüzyılda, büyük fizikçi ve matematikçi Blaise Pascal'ın çalışmalarıyla, herhangi bir "kazanın", olasılık teorisi olarak adlandırılan belirli bir kalıba uyduğu açıkça kanıtlandı. Yeterince fazla sayıda yazı tura atıldığında, yazı ve tura sayısının eşit olacağını iddia eden kişidir; eğer bir oyuncu uzun süre kazanamazsa, bir sonraki oyunda mutlaka kazanması gerekir ve benzeri kaçınılmaz tesadüfler.

Bu nedenle olasılık teorisi uygulama alanlarından birini kumarda bulmuştur. Kumarda sezgisel hesaplamalar eski zamanlarda kullanılıyordu ve sadece zamanımızda insanlar bu hesaplamaların matematiksel yasalara uyduğunu belirleyebildi! Ancak, ne yazık ki, kumarda herhangi bir kazanç, kural olarak, rastgeledir - ve herhangi bir etkili kazanma kombinasyonu yaratmanın yanı sıra, bir kazancın meydana gelme zamanını hesaplamak neredeyse imkansızdır, bu nedenle oyuncuların sadece olasılık teorisine güvenmeleri gerekir. Doğru, bir kişiyi çok fazla hayal kırıklığına uğratabilir - örneğin, içine bozuk para atmak kumar makinesi ve bir kuruş kazanmadan, oyuncu tüm umudunu kaybedebilir ve makineden uzaklaşabilir - ve sonra oyuna yeni başlayan ilk oyuncu, aslında önceki oyuncunun "kazandığı" çarpıcı parayı kazanır! Örneğin, herhangi bir özel oyun portalında kazanma olasılığının matematiksel hesaplamalarını yapabilirsiniz.

Günümüzde bazı siteler böyle bir fırsat sağladığından, kumar mekanizmalarını ciddi finansal yatırımlar olmadan ve hatta ücretsiz olarak analiz etmeye başlamak önemlidir. Bununla birlikte, olasılık teorisinden başlayarak kazanma olasılığını istediğiniz kadar hesaplayabileceğinizi anlamak önemlidir, ancak tek bir teori değil, tek bir en titiz hesaplama, bir kazanma olasılığını hesaplamanıza izin vermez. yüzde yüz. Ama daha sorumlu bir işte, yani işte, olasılık teorisi gerçekten işe yarıyor! Sadece bu teoriyi uygulayarak, bir işadamı olası kayıp ve kazançlardan kaçınır - sonuçta, çok sayıdaki yasaya göre, az sayıda beklenen olayla, istenen sonuçların sayısı olasıdır ve çok fazla sayıda olayla bunlar olasıdır. kaçınılmaz hale gelir. Ve dünya tarihindeki bazı iş hamleleri sayısız kez kullanıldı, bu yüzden neredeyse hatasız kullanılabilirler.

Olasılık teorisini bilinçli bir şekilde kullanarak piyasadaki durumu değerlendirmede hata yapamayacak, ustalıkla çalışabilecek ve istatistiksel verilerden faydalanabileceksiniz. Ancak, olasılık teorisi bilginizi pratikte uygularken bile, teorisini, özellikle olası fenomenlerin sayısındaki bir artışın ortalama değerlerinin sabitliğini gerektirdiği varsayımını da anlamalısınız. Ve ne kadar çok olay olursa, sonuçları o kadar kalıcı olur.

Olasılık Teorisi sorusu ile ilgili bölümde ... Olasılık teorisi hayatta nerede ortaya çıkıyor? şimdiden teşekkürler :) yazar tarafından ayarlandı Adam Aksmatov en iyi cevap Tüm teori hayattan alınmıştır. Daha fazla veya daha az kitlesel veya sıklıkla tekrarlayan fenomenler.
- Kumarhanede piyango / rulet kazanma olasılığı
- Ekipman arızası olasılığı
- Üretim - kusur sayısının tahmini.
- Farklı sistemlerin güvenilirliğinin değerlendirilmesi. Bir örnek - işte "kesintisiz" (% 99,9995 çalışma kapasitesi) bir İnternet'e ihtiyacınız var. Theorver yardımcı olur.
- Yapılmayan ödevler için velilerin 3,14 zd verme olasılığı
KÜTLE VE TEKRARLANAN hakkında hatırla
"Şimdi rulette 8'e bahse girersem, düşer mi düşmez mi", "Şimdi dışarı çıkacağım, üzerime bir buz sarkıtılır mı?" -HZ.
Ancak 8 / üzerine 100 kez bahis yaparsanız, muhtemelen para kaybedersiniz, çünkü kazanma olasılığı kaybetmekten biraz daha azdır, ancak olasılıkları çarparak şansınız giderek daha fazla düşer /
ya da bir ayda caddeden 30 buz sarkıtı düşer ve 50.000 kişi geçer - o zaman teori harika çalışır.

yanıt kürek ile adam[guru]
Her yerde.
Lütfen.

yanıt OchloPhob[guru]
Sadece Rus siyasetinde değil)

yanıt Düşman geçmeyecek![guru]
Bir fizik profesörüne sorulmuş: Şu anda buraya bir dinozor gelme olasılığı nedir? Profesör iki gün boyunca saydı ve şöyle dedi: Olasılık eksi 300 0000 000000000000000'de 0.0'dır.
Satıcıya da sorulur. diyor ki: %50
Bu nasıl? - Ve genellikle - Ya gelecek (%50) ya da gelmeyecek (%50) ...

yanıt Mürzik99rus[guru]
Bir troleybüste. Biletsiz yemek yediğinizde kontrolör girecek veya girmeyecektir.

yanıt Grumm[guru]
Düşen hindistancevizi yılda ~ 150 kişiyi öldürür. Bu, köpekbalığı ısırığından on kat daha fazladır. Ama "Coconut Killer" filmi henüz çekilmedi :))

yanıt Gümüş Gölge[guru]
Kafasına tuğla düşecek ya da düşmeyecek. . araba çarpar ya da çarpmaz..

hakkında web semineri olasılık teorisi nasıl anlaşılır ve iş dünyasında istatistik kullanmaya nasıl başlanır. Bu tür bilgilerle nasıl çalışılacağını bilerek, kendi işinizi yapabilirsiniz.

İşte düşünmeden çözeceğiniz bir problem örneği. Mayıs 2015'te Rusya başlattı uzay gemisi"İlerleme" ve üzerindeki kontrolünü kaybetti. Bu metal yığını, Dünya'nın yerçekiminin etkisi altında gezegenimize çarpmalıydı.

Dikkat, soru şudur: İlerleme'nin okyanusa değil de karaya düşme olasılığı neydi ve endişelenmeli miydik?

Cevap çok basit - karaya düşme şansı 3 ila 7 idi.

Benim adım Alexander Skakunov, bilim adamı ya da profesör değilim. Sadece olasılık ve istatistik teorisine neden ihtiyacımız olduğunu merak ettim, neden onları üniversitede aldık? Bu nedenle, bir yılda bu konuda yirmiden fazla kitap okudum - The Black Swan'dan The Pleasure of X'e. Hatta kendime 2 öğretmen tuttum.

Bu web seminerinde bulgularımı sizinle paylaşacağım. Örneğin, istatistiklerin Japonya'da bir ekonomik mucize yaratmaya nasıl yardımcı olduğunu ve bunun Geleceğe Dönüş filminin senaryosuna nasıl yansıdığını öğreneceksiniz.

Şimdi size biraz sokak büyüsü göstereceğim. Kaçınız bu web seminerine kaydolacak bilmiyorum ama sadece %45'i gelecek.

İlginç olacak. Üye olmak!

Olasılık teorisini anlamanın 3 aşaması

Olasılık teorisi ile tanışan herkesin geçtiği 3 aşama vardır.

Aşama 1. “Kumarhanede kazanacağım!”. İnsan, rastgele olayların sonucunu tahmin edebileceğine inanır.

Aşama 2. “Ben kumarhanede asla kazanamam!..” Kişi hayal kırıklığına uğrar ve hiçbir şeyin tahmin edilemeyeceğine inanır.

Ve 3. aşama “Hadi kumarhanenin dışında deneyelim!”. Bir kişi, şanslar dünyasının görünen kaosunda, etrafındaki dünyada iyi gezinmesine izin veren kalıplar bulabileceğini anlar.

Görevimiz sadece 3. aşamaya ulaşmak, böylece olasılık ve istatistik teorisinin temel hükümlerini kendinize ve işinize fayda sağlayacak şekilde nasıl uygulayacağınızı öğreneceksiniz.

Böylece, bu webinarda "olasılık teorisine neden ihtiyaç duyulur" sorusunun cevabını öğreneceksiniz.