Ayakta elastik. dalga girişimi
Elastik bir ortama yerleştirilmiş salınımlı bir cisim, ondan her yöne yayılan bir titreşim kaynağıdır. Salınımların bir ortamda yayılma sürecine ne ad verilir? dalga.
Bir dalga yayıldığında, ortamın parçacıkları dalga ile birlikte hareket etmez, denge konumları etrafında salınır. Parçacıktan parçacığa dalga ile birlikte, yalnızca salınım hareketinin durumu ve enerjisi iletilir. Bu nedenle, doğası ne olursa olsun tüm dalgaların ana özelliği, madde aktarımı olmadan enerji aktarımıdır.
Dalgalar enine (salınımlar, yayılma yönüne dik bir düzlemde meydana gelir) ve uzunlamasınadır (ortamın parçacıklarının konsantrasyonu ve seyrekleşmesi, yayılma yönünde meydana gelir).
Eşit genliklere ve periyotlara sahip iki özdeş dalga birbirine doğru yayıldığında, üst üste bindiklerinde duran dalgalar ortaya çıkar. Duran dalgalar engellerden yansıma ile elde edilebilir. Diyelim ki emitör bir engele dalga gönderiyor (olay dalgası). Ondan yansıyan dalga, gelen dalganın üzerine bindirilecektir. Duran dalga denklemi, gelen dalga denklemi eklenerek elde edilebilir.
(Aynı genliğe sahip iki zıt düzlem dalga üst üste bindirildiğinde çok önemli bir girişim durumu gözlemlenir. Ortaya çıkan salınım sürecine duran dalga denir. Pratikte duran dalgalar engellerden yansıdığında ortaya çıkar.)
Bu denkleme dalga denklemi denir. Bu denklemi sağlayan herhangi bir fonksiyon bir dalgayı tanımlar.
dalga denklemi
veren bir ifade denir ön yargı
dalgalanan nokta koordinatlarının bir fonksiyonu olarak ( x, y, z) ve zaman t.
Bu fonksiyon hem zamana hem de koordinatlara göre periyodik olmalıdır (dalga yayılan bir salınımdır, dolayısıyla periyodik olarak tekrarlanan bir harekettir). Ayrıca bir mesafe ile ayrılan noktalar da aynı şekilde salınım yapar.
- bu düzlem dalga denklemi.
Salınımlar eksen boyunca yayılırsa, denklem (5.2.3) aynı forma sahip olacaktır. y veya z
AT Genel görünüm düzlem dalga denklemişöyle yazılır:
(5.2.3) ve (5.2.4) ifadeleri yürüyen dalga denklemleri .
Denklem (5.2.3), artış yönünde yayılan bir dalgayı tanımlar. x. Ters yönde yayılan bir dalga şu şekildedir:
tanıtalım dalga sayısı , veya vektör biçiminde:
dalga vektörü nerede ve dalga yüzeyinin normalidir.
O zamandan beri . Buradan. O zamanlar düzlem dalga denklemi şöyle yazılacak:
küresel dalga denklemi:
nerede ANCAK kaynaktan birliğe eşit uzaklıkta genliğe eşittir.
DALGA VEKTÖR- vektör k düz bir monokromatiğin yayılma yönünü ve uzaysal periyodunu belirleyen . dalgalar
nerede - dalganın sabit genliği ve fazı, - dairesel frekans, r yarıçap vektörüdür. V. modülü aranan dalga sayısı k= , nerede - uzaysal periyot veya dalga boyu. V. c yönünde. dalganın fazındaki en hızlı değişiklik meydana gelir, bu nedenle yayılma yönü olarak alınır. Fazın bu yöndeki hızı veya faz hızı, dalga sayısı .. in ile belirlenir.
Aynı genliğe sahip düzlem dalgalar üst üste bindirildiğinde çok önemli bir girişim durumu gözlemlenir. Ortaya çıkan salınım süreci denir durağan dalga.
Pratik olarak duran dalgalar, dalgalar engellerden yansıdığında ortaya çıkar. Bariyer üzerine gelen dalga ve ona doğru gelen yansıyan dalga birbiri üzerine bindirilerek duran bir dalga verir.
Zıt yönlerde yayılan aynı genliğe sahip iki sinüzoidal düzlem dalganın girişiminin sonucunu düşünün.
Akıl yürütmenin basitliği için, her iki dalganın da orijinde aynı fazda salınımlara neden olduğunu varsayıyoruz.
Bu salınımlar için denklemler şu şekildedir:
Her iki denklemi de ekleyerek ve sonucu sinüs toplamı formülüne göre dönüştürerek şunu elde ederiz:
- duran dalga denklemi.
Bu denklemi harmonik salınımların denklemi ile karşılaştırdığımızda, ortaya çıkan salınımların genliğinin şuna eşit olduğunu görüyoruz:
, ve , o zamandan beri .
Ortamın herhangi bir salınım olmadığı noktalarda, yani. . Bu noktalara denir duran dalga düğümleri.
Salınım genliğinin olduğu noktalarda en yüksek değer, eşittir . Bu noktalara denir duran dalganın antinodları. Antinode koordinatları koşuldan bulunur, çünkü , sonra .
Buradan:
Benzer şekilde, düğümlerin koordinatları şu koşuldan bulunur:
Neresi:
Düğümlerin ve antinodların koordinatları için formüllerden, komşu antinodlar arasındaki mesafenin yanı sıra komşu düğümler arasındaki mesafenin . Antinodlar ve düğümler birbirlerine göre dalga boyunun dörtte biri kadar kaydırılır.
Duran ve ilerleyen bir dalgadaki salınımların doğasını karşılaştıralım. Yürüyen bir dalgada, her nokta, genliği diğer noktaların genliğinden farklı olmayan salınım yapar. Ancak çeşitli noktalarda dalgalanmalar meydana gelir. farklı aşamalar.
Duran bir dalgada, iki komşu düğüm arasında bulunan ortamın tüm parçacıkları aynı fazda ancak farklı genliklerde salınır. Düğümden geçerken, salınımların fazı aniden değişir, çünkü işaret değişir.
Grafiksel olarak, duran bir dalga aşağıdaki gibi gösterilebilir:
Ortamın tüm noktalarının, yönü işaret tarafından belirlenen maksimum yer değiştirmeye sahip olduğu anda. Bu yer değiştirmeler şekilde düz oklarla gösterilmiştir.
Çeyrek periyottan sonra, tüm noktaların yer değiştirmeleri sıfıra eşittir. Parçacıklar hattan farklı hızlarda geçer.
Periyodun başka bir çeyreğinden sonra, parçacıklar tekrar maksimum yer değiştirmeye sahip olacak, ancak zıt yönde (kesikli oklar).
Elastik sistemlerde salınımlı süreçleri tanımlarken, yalnızca yer değiştirme değil, aynı zamanda parçacıkların hızı ve ortamın göreli deformasyonunun büyüklüğü de salınım değeri olarak alınabilir.
Duran bir dalganın hızındaki değişim yasasını bulmak için duran bir dalganın yer değiştirme denklemiyle türevini alırız ve deformasyondaki değişim yasasını bulmak için duran bir dalga denklemiyle türevini alırız.
Bu denklemleri analiz ederek, hızın düğümleri ve antinodlarının yer değiştirmenin düğümleri ve antinodları ile çakıştığını görüyoruz; deformasyonun düğümleri ve antinodları, sırasıyla hız ve yer değiştirmenin antinodları ve düğümleri ile çakışır.
sicim titreşimleri
Her iki ucundan gerilmiş bir ipte, enine titreşimler uyarıldığında, duran dalgalar oluşur ve ipin sabitlendiği yerlere düğümler yerleştirilmelidir. Bu nedenle, dizede yalnızca bu tür salınımlar uyarılır, uzunluğunun yarısı dizenin uzunluğuna tamsayı olarak uyan sayıdadır.
Bundan koşulu takip eder:
dize uzunluğu nerede.
Ya da. Bu dalga boyları, dalganın faz hızı olan frekanslara karşılık gelir. Değeri, ipin gerilim kuvveti ve kütlesi tarafından belirlenir.
At, temel frekanstır.
At - dizinin doğal titreşim frekansları veya imalar.
Doppler etkisi
Dalga kaynağının ve gözlemcinin ortama göre bir düz çizgi boyunca hareket ettiği en basit durumları ele alalım:
1. Ses kaynağı ortama göre bir hızla hareket eder, ses alıcısı hareketsizdir.
Bu durumda salınım periyodu sırasında ses dalgası kaynaktan uzaklaşacak ve kaynağın kendisi .
Kaynak alıcıdan çıkarılırsa, yani. dalga yayılma yönünün tersi yönde hareket ettirin, ardından dalga boyu.
Ses kaynağı alıcıya yaklaştırılırsa, yani. dalga yayılımı yönünde hareket ettirin, sonra .
Alıcı tarafından algılanan sesin frekansı:
Her iki durumda da değerleri yerine değiştirin:
Kaynağın salınım frekansının nerede olduğu dikkate alındığında eşitlik şu şekilde olur.:
Bu kesrin hem payını hem de paydasını şuna bölün:
2. Ses kaynağı sabittir ve alıcı ortama göre bir hızda hareket etmektedir.
Bu durumda ortamdaki dalga boyu değişmez ve yine eşittir. Aynı zamanda, hareketli alıcıya ulaşan bir salınım periyodu ile zaman içinde farklı olan iki ardışık genlik, dalganın alıcı ile bir zaman aralığı için buluşma anlarında zaman içinde farklılık gösterecektir. alıcının uzaklaşıp uzaklaşmadığına veya kaynak sese yaklaşıp yaklaşmadığına bağlı olarak daha fazla veya daha az. Süre boyunca ses bir mesafe boyunca yayılır ve alıcı bir mesafe boyunca hareket eder. Bu miktarların toplamı bize dalga boyunu verir:
Alıcı tarafından algılanan salınımların periyodu, bu salınımların frekansı ile şu oranda ilişkilidir:
(1) eşitliğindeki ifadesi yerine değiştirerek şunu elde ederiz:
Çünkü , kaynağın salınım frekansı nerede ve , sonra:
3. Ses kaynağı ve alıcı ortama göre hareket ediyor. Önceki iki durumda elde edilen sonuçları birleştirerek şunları elde ederiz:
ses dalgaları
Havada yayılan elastik dalgaların frekansı 20 ile 20.000 Hz arasında ise insan kulağına ulaştıklarında ses algısına neden olurlar. Bu nedenle bu frekans aralığında bulunan dalgalara ses dalgaları denir. Frekansı 20 Hz'den küçük olan elastik dalgalara denir. kızılötesi . Frekansı 20.000 Hz'den fazla olan dalgalara denir. ultrason. Ultrason ve infrasoundlar insan kulağı tarafından duyulamaz.
Ses duyumları perde, tını ve ses yüksekliği ile karakterize edilir. Sesin perdesi, titreşimlerin frekansı tarafından belirlenir. Bununla birlikte, ses kaynağı bir değil, bütün bir frekans spektrumu yayar. Belirli bir seste bulunan titreşim frekansları kümesine sesin adı verilir. akustik spektrum. Titreşim enerjisi, akustik spektrumun tüm frekansları arasında dağıtılır. Bir sesin perdesi bir tarafından belirlenir - eğer bu frekans diğer frekansların payından önemli ölçüde daha fazla miktarda enerji oluşturuyorsa, temel frekans.
Spektrum, ile arasındaki frekans aralığında olan bir dizi frekanstan oluşuyorsa, böyle bir spektruma denir. sürekli(örnek - gürültü).
Spektrum, ayrık frekansların bir dizi salınımından oluşuyorsa, böyle bir spektruma denir. yönetilen(örnek - müzikal sesler).
Sesin akustik spektrumu, doğasına ve enerjinin frekanslar arasındaki dağılımına bağlı olarak, sesin tınısı olarak adlandırılan ses duyusunun orijinalliğini belirler. Farklı müzik aletlerinin farklı akustik spektrumları vardır, yani. tonda farklılık gösterir.
Sesin yoğunluğu çeşitli niceliklerle karakterize edilir: ortamın parçacıklarının salınımları, hızları, basınç kuvvetleri, içlerindeki stresler vb.
Bu miktarların her birinin salınımlarının genliğini karakterize eder. Ancak, bu miktarlar birbiriyle ilişkili olduğundan, tek bir enerji karakteristiğinin tanıtılması tavsiye edilir. Her tür dalga için böyle bir özellik 1877'de önerildi. ÜZERİNDE. Umov.
Hareket eden dalganın önünden bir platformu zihinsel olarak keselim. Zamanla, bu alan dalganın hızının olduğu bir mesafeyi hareket ettirecektir.
Salınım yapan ortamın birim hacminin enerjisi ile belirtin. O zaman tüm hacmin enerjisi eşit olacaktır.
Bu enerji, alan boyunca yayılan bir dalga tarafından zaman içinde aktarıldı.
Bu ifadeyi ve ile bölerek, dalganın birim alandan birim zamanda aktardığı enerjiyi elde ederiz. Bu değer bir harf ile gösterilir ve vektör
Ses alanı için vektör sesin gücü denir.
Ses gücü, ses yoğunluğunun fiziksel bir özelliğidir. Subjektif olarak değerlendiriyoruz, Ses ses. İnsan kulağı, gücü, farklı frekanslar için farklı olan belirli bir minimum değeri aşan sesleri algılar. Bu değer denir işitme eşiği ses. Hz mertebesindeki orta frekanslar için, işitme eşiği mertebesindedir.
Düzenin çok büyük bir ses şiddeti ile ses, kulak dışındaki dokunma organları tarafından algılanır ve kulakta ağrıya neden olur.
Bunun gerçekleştiği yoğunluk değerine denir. Ağrı eşiği. Ağrı eşiği ve işitme eşiği, frekansa bağlıdır.
Bir kişinin seslerin algılanması için oldukça karmaşık bir aparatı vardır. Ses titreşimleri kulak kepçesi tarafından toplanır ve işitsel kanal aracılığıyla kulak zarına etki eder. Titreşimleri koklea adı verilen küçük bir boşluğa iletilir. Kokleanın içinde farklı uzunluklara ve gerilimlere ve dolayısıyla farklı doğal titreşim frekanslarına sahip çok sayıda lif bulunur. Ses uygulandığında, fiberlerin her biri, frekansı fiberin doğal frekansıyla çakışan bir tonda rezonansa girer. İşitme cihazındaki rezonans frekansları, tarafımızdan algılanan ses titreşimlerinin alanını belirler.
Kulağımız tarafından öznel olarak değerlendirilen ses seviyesi, ses dalgalarının yoğunluğundan çok daha yavaş artar. Yoğunluk katlanarak artarken, hacim katlanarak artar. aritmetik ilerleme. Bu temelde, ses yüksekliği seviyesi, belirli bir sesin yoğunluğunun orijinal olarak alınan yoğunluğa oranının logaritması olarak tanımlanır.
Ses seviyesi birimi denir beyaz. Daha küçük birimler de kullanılır - desibel(beyazdan 10 kat daha az).
ses yutma katsayısı nerede.
Ses yutma katsayısının değeri, sesin frekansının karesiyle orantılı olarak artar, bu nedenle alçak sesler yüksek olanlardan daha uzağa yayılır.
Büyük odalar için mimari akustikte Önemli rol oynar yankılanma veya tesislerin ses yüksekliği. Çevreleyen yüzeylerden çoklu yansımalar yaşayan sesler, dinleyici tarafından oldukça uzun bir süre algılanır. Bu, bize ulaşan sesin gücünü arttırır ancak yankılanma çok uzun olursa, tek tek sesler üst üste gelir ve konuşma artık net bir şekilde algılanmaz. Bu nedenle salonların duvarları yankılanmayı azaltmak için özel ses emici malzemelerle kaplanmıştır.
Titreşen herhangi bir cisim bir ses titreşimi kaynağı olarak hizmet edebilir: bir çan kamış, bir akort çatalı, bir keman teli, üflemeli çalgılarda bir hava sütunu, vb. bu aynı cisimler, çevrenin titreşimleriyle harekete geçtiklerinde ses alıcıları olarak da hizmet edebilirler.
ultrason
Yön almak için, yani düze yakın, emitörün dalga boyutları dalga boyundan birçok kez daha büyük olmalıdır. Havadaki ses dalgalarının uzunluğu 15 m'ye kadar, sıvı ve katı cisimlerde ise dalga boyu daha da uzundur. Bu nedenle, bu uzunlukta yönlendirilmiş bir dalga yaratacak bir emitör inşa etmek pratik olarak imkansızdır.
Ultrasonik titreşimlerin frekansı 20.000 Hz'in üzerindedir, bu nedenle dalga boyları çok küçüktür. Dalga boyu azaldıkça, dalga yayılımı sürecinde kırınımın rolü de azalır. Bu nedenle ultrasonik dalgalar, ışık ışınlarına benzer şekilde yönlendirilmiş ışınlar şeklinde elde edilebilir.
Ultrasonik dalgaları uyarmak için iki fenomen kullanılır: ters piezoelektrik etki ve manyetostriksiyon.
Ters piezoelektrik etki, bazı kristallerin (Rochelle tuzu, kuvars, baryum titanat, vb.) plakasının bir elektrik alanının etkisi altında hafifçe deforme olmasıdır. Alternatif voltaj uygulanan metal plakaların arasına yerleştirerek zorlanmış titreşimler kayıtlar. Bu titreşimler iletilir. çevre ve içinde bir ultrasonik dalga oluşturur.
Manyetostriksiyon, ferromanyetik maddelerin (demir, nikel, alaşımları vb.) etki altında kalması gerçeğinde yatmaktadır. manyetik alan deforme olurlar. Bu nedenle, alternatif bir manyetik alana bir ferromanyetik çubuk yerleştirerek mekanik titreşimleri uyarmak mümkündür.
Yüksek akustik hız ve ivme değerleri ile ultrasonik titreşimleri incelemek ve almak için iyi geliştirilmiş yöntemler, birçok teknik sorunu çözmek için bunları kullanmayı mümkün kılmıştır. Bunlardan bazılarını listeleyelim.
1928'de Sovyet bilim adamı S.Ya. Sokolov, kusur tespiti amacıyla ultrason kullanılmasını önerdi, yani. metal ürünlerde kabuklar, çatlaklar, dalgalanmalar, cüruf kalıntıları vb. gibi gizli iç kusurların tespiti için. Kusurun boyutu ultrason dalga boyunu aşarsa, ultrasonik darbe kusurdan yansıtılır ve geri döndürülür. Ürüne ultrasonik darbeler göndererek ve yansıyan yankı sinyallerini kaydederek, yalnızca ürünlerdeki kusurların varlığını tespit etmek değil, aynı zamanda bu kusurların boyutunu ve yerini de değerlendirmek mümkündür. Bu yöntem şu anda endüstride yaygın olarak kullanılmaktadır.
Yönlendirilmiş ultrasonik ışınlar, konum amaçları için geniş uygulama alanı bulmuştur, yani. sudaki nesneleri algılamak ve onlara olan mesafeyi belirlemek için. İlk kez, ultrasonik konum fikri seçkin bir Fransız fizikçi tarafından dile getirildi. P. Langevin ve onun tarafından Birinci Dünya Savaşı sırasında denizaltıları tespit etmek için geliştirildi. Şu anda, sonar prensipleri buzdağlarını, balık sürülerini vb. tespit etmek için kullanılmaktadır. bu yöntemler aynı zamanda geminin dibinin altındaki denizin derinliğini de belirleyebilir (eko siren).
ultrasonik dalgalar büyük genlikşu anda mühendislikte katı malzemelerin mekanik olarak işlenmesi, bir sıvıya yerleştirilen küçük nesnelerin (saat mekanizmasının parçaları, boru hatları vb.) temizlenmesi, gazdan arındırma vb. için yaygın olarak kullanılmaktadır.
Ortamda geçişleri sırasında güçlü basınç titreşimleri yaratan ultrasonik dalgalar, bir dizi spesifik fenomene neden olur: bir sıvı içinde asılı kalan parçacıkların öğütülmesi (dağılması), emülsiyonların oluşumu, difüzyon işlemlerinin hızlanması, aktivasyon kimyasal reaksiyonlar, biyolojik nesneler üzerindeki etki, vb.
6.1 Elastik bir ortamda duran dalgalar
Süperpozisyon ilkesine göre, elastik bir ortamda birkaç dalga aynı anda yayıldığında, süperpozisyon oluşur ve dalgalar birbirini bozmaz: ortamın parçacıklarının titreşimleri, parçacıkların yapacakları titreşimlerin vektör toplamıdır. dalgaların her birinin yayılması sırasında ayrı ayrı.
Uzayda her noktada faz farkı sabit olan ortamın salınımlarını oluşturan dalgalara denir. tutarlı.
Tutarlı dalgalar eklerken, fenomen ortaya çıkar parazit yapmak Bu, uzayın bazı noktalarında dalgaların birbirini güçlendirmesi ve diğer noktalarda zayıflaması gerçeğinden oluşur. Aynı frekans ve genliğe sahip iki zıt düzlem dalga üst üste bindirildiğinde önemli bir girişim durumu gözlemlenir. Ortaya çıkan salınımlara denir durağan dalga. Çoğu zaman duran dalgalar, ilerleyen bir dalga bir engelden yansıdığında ortaya çıkar. Bu durumda gelen dalga ve ona yansıyan dalga toplandığında duran dalga verir.
Duran dalga denklemini elde ederiz. Eksen boyunca birbirine doğru yayılan iki düzlem harmonik dalgayı alalım. X ve aynı frekans ve genliğe sahip:
nerede - ilk dalganın geçişi sırasında ortamın noktalarının salınım aşaması;
- ikinci dalganın geçişi sırasında ortamın noktalarının salınım aşaması.
Eksen üzerindeki her noktada faz farkı X ağ zamana bağlı olmayacaktır, yani. sabit olacaktır:
Bu nedenle, her iki dalga da tutarlı olacaktır.
Ele alınan dalgaların eklenmesinden kaynaklanan ortamın parçacıklarının salınımı aşağıdaki gibi olacaktır:
(4.4) kuralına göre açıların kosinüslerinin toplamını dönüştürürüz ve şunu elde ederiz:
Faktörleri yeniden düzenlersek şunları elde ederiz:
İfadeyi basitleştirmek için, orijini seçiyoruz, böylece faz farkı ve zamanın kökeni, böylece aşamaların toplamı sıfıra eşit olur: .
O zaman dalgaların toplamı için denklem şu şekilde olacaktır:
Denklem (6.6) denir duran dalga denklemi. Duran dalganın frekansının, ilerleyen dalganın frekansına eşit olduğu ve genliğin, ilerleyen dalganın aksine, orijinden olan mesafeye bağlı olduğu görülebilir:
. (6.7)
(6.7) dikkate alındığında, duran dalga denklemi şu şekli alır:
. (6.8)
Böylece ortamın noktaları, ilerleyen dalganın frekansıyla çakışan bir frekansla ve bir genlikle salınım yapar. a, noktanın eksen üzerindeki konumuna bağlı olarak X. Buna göre, genlik kosinüs yasasına göre değişir ve kendi maksimum ve minimumlarına sahiptir (Şekil 6.1).
|
Genliğin minimum ve maksimumlarının yerini görselleştirmek için, dalga numarasını (5.29) değerine göre değiştiririz:
Daha sonra genlik için ifade (6.7) şu şekli alır:
(6.10)
Bundan, yer değiştirme genliğinin maksimum olduğu açıkça ortaya çıkıyor. , yani koordinatı koşulu sağlayan noktalarda:
, (6.11)
nerede
Buradan, yer değiştirme genliğinin maksimum olduğu noktaların koordinatlarını elde ederiz:
; (6.12)
Ortamın salınımlarının genliğinin maksimum olduğu noktalara denir. dalga antinodları.
olduğu noktalarda dalga genliği sıfırdır. . adı verilen bu noktaların koordinatları dalga düğümleri, koşulu karşılar:
, (6.13)
nerede
(6.13)'ten, düğümlerin koordinatlarının şu değerlere sahip olduğu görülebilir:
, (6.14)
Şek. 6.2, duran bir dalganın yaklaşık bir görünümünü gösterir, düğümlerin ve antinodların konumu işaretlenir. Yer değiştirmenin komşu düğümleri ve antinodlarının birbirinden aynı uzaklıkta olduğu görülebilir.
|
Bitişik antinodlar ve düğümler arasındaki mesafeyi bulun. (6.12)'den antinodlar arasındaki mesafeyi elde ederiz:
(6.15)
Düğümler arasındaki mesafe (6.14)'den elde edilir:
(6.16)
Elde edilen (6.15) ve (6.16) bağıntılarından, komşu düğümler arasındaki ve komşu antinodlar arasındaki mesafenin sabit ve eşit olduğu görülebilir; düğümler ve antinodlar birbirine göre kaydırılır (Şekil 6.3).
Dalga boyunun tanımından, duran dalganın uzunluğu için bir ifade yazabiliriz: bu, ilerleyen dalganın uzunluğunun yarısına eşittir:
Düğümlerin ve antinodların koordinatları için ifadeleri (6.17) dikkate alarak yazalım:
, (6.18)
, (6.19)
Duran dalganın genliğini belirleyen çarpan sıfır değerinden geçerken işaretini değiştirir, bunun sonucunda düğümün karşı taraflarındaki salınımların fazı farklılık gösterir. Sonuç olarak, düğümün farklı taraflarında bulunan tüm noktalar anti-fazda salınır. Komşu düğümler arasındaki tüm noktalar fazda salınır.
|
Düğümler, ortamı, harmonik salınımların bağımsız olarak meydana geldiği özerk bölgelere şartlı olarak böler. Bölgeler arasında hareket aktarımı yoktur ve bu nedenle bölgeler arasında enerji akışı yoktur. Yani eksen boyunca herhangi bir pertürbasyon iletimi yoktur. Bu nedenle, dalga ayakta denir.
Böylece, eşit frekans ve genliğe sahip zıt yönlü iki hareketli dalgadan bir duran dalga oluşur. Bu dalgaların her birinin Umov vektörleri modül olarak eşittir ve yön olarak zıttır ve eklendiğinde sıfır verirler. Bu nedenle, duran bir dalga enerji aktarmaz.
6.2 Duran dalga örnekleri
6.2.1 Bir dizide duran dalga
Bir uzunluk dizisi düşünün L, her iki uçta da sabitlenmiştir (Şekil 6.4).
Ekseni dize boyunca yerleştirelim X böylece dizenin sol ucu koordinata sahip olur x=0, ve sağ x=L. Aşağıdaki denklemle tanımlanan dizide titreşimler meydana gelir:
Düşünülen dize için sınır koşullarını yazalım. Uçları sabit olduğundan, koordinatlı noktalarda x=0 ve x=L tereddütsüz:
(6.22)
Yazılı sınır koşullarına dayalı olarak sicim titreşimlerinin denklemini bulalım. (6.21)'yi dikkate alarak, dizenin sol ucu için denklem (6.20) yazıyoruz:
İlişki (6.23) herhangi bir zaman için geçerlidir t iki durumda:
1. . Bu, dizede () titreşim yoksa mümkündür. Bu dava bizi ilgilendirmiyor ve dikkate almayacağız.
2. . İşte aşama. Bu durum sicim titreşimleri için denklemi elde etmemizi sağlayacaktır.
Elde edilen faz değerini, dizinin sağ ucu için sınır koşuluna (6.22) değiştirelim:
. (6.25)
Verilen
, (6.26)
(6.25)'ten şunu elde ederiz:
Yine, (6.27) bağıntısının sağlandığı iki durum ortaya çıkar. Dizede () titreşim olmadığı durumda, dikkate almayacağız.
İkinci durumda, eşitlik şu şekilde olmalıdır:
ve bu yalnızca sinüs argümanı bir tamsayının katı olduğunda mümkündür:
Değeri atıyoruz, çünkü bu durumda, bu ya sıfır dize uzunluğu anlamına gelir ( L=0) veya dalga-yeni sayı k=0. Dalga sayısı ile dalga boyu arasındaki ilişki (6.9) göz önüne alındığında, dalga numarasının sıfıra eşit olması için dalga boyunun sonsuz olması gerektiği ve bu da salınımların olmadığı anlamına geleceği açıktır.
(6.28)'den görülebilir ki, her iki ucunda sabitlenmiş bir ipin titreşimleri sırasındaki dalga sayısı sadece belirli ayrık değerler alabilir:
(6.9)'u dikkate alarak (6.30) şu şekilde yazarız:
dizideki olası dalga boyları için ifadeyi buradan türetiyoruz:
Başka bir deyişle, dizenin uzunluğu boyunca L tam sayı olmak zorunda n yarım dalga:
Karşılık gelen salınım frekansları (5.7)'den belirlenebilir:
(5.102)'ye göre, ipin lineer yoğunluğuna ve ip gerilim kuvvetine bağlı olan dalganın faz hızı:
(6.34)'ü (6.33) yerine koyarak, dizinin olası titreşim frekanslarını tanımlayan bir ifade elde ederiz:
, (6.36)
Frekanslar denir doğal frekanslar Teller. frekans (ne zaman n = 1):
(6.37)
aranan temel frekans(veya ana ton) Teller. Belirlenen frekanslar n>1 aranan imalar veya harmonikler. harmonik sayı n-1. Örneğin, frekans:
birinci harmoniğe ve frekansa karşılık gelir:
ikinci harmoniğe karşılık gelir, vb. Bir dizi sonsuz sayıda serbestlik derecesine sahip ayrı bir sistem olarak temsil edilebildiğinden, her harmonik moda dize titreşimleri. Genel durumda, sicim titreşimleri modların bir süperpozisyonudur.
Her harmonik kendi dalga boyuna sahiptir. Ana ton için (ile n= 1) dalga boyu:
sırasıyla birinci ve ikinci harmonikler için (en n= 2 ve n= 3) dalga boyları şöyle olacaktır:
Şekil 6.5, bir dizi tarafından gerçekleştirilen birkaç titreşim modunun bir görünümünü göstermektedir.
Böylece, sabit uçlu bir dizi, çerçeve içinde gerçekleşir. klasik fizik istisnai bir durum, salınım frekansının (veya dalga boylarının) ayrık spektrumudur. Bir veya iki ucu kenetlenmiş elastik çubuk, sonraki bölümlerde tartışılacak olan borulardaki hava sütunundaki dalgalanmalarla aynı şekilde davranır.
6.2.2 Başlangıç koşullarının hareket üzerindeki etkisi
sürekli dize Fourier analizi
Sıkıştırılmış uçlu bir ipin titreşimleri, ayrık titreşim frekansları spektrumuna ek olarak, bir tane daha vardır. önemli özellik: ipin özel titreşim biçimi, titreşimlerin uyarılma yöntemine bağlıdır, yani. başlangıç koşullarından. Daha ayrıntılı olarak düşünelim.
Bir dizideki duran dalganın bir modunu tanımlayan Denklem (6.20), diferansiyel dalga denkleminin (5.61) özel bir çözümüdür. Bir sicimin titreşimi tüm olası modlardan oluştuğu için (bir sicim için sonsuz sayıda), o zaman ortak karar dalga denklemi (5.61) aşağıdakilerden oluşur sonsuz bir sayıözel çözümler:
, (6.43)
nerede i salınım modu numarasıdır. (6.43) ifadesi, dizenin uçlarının sabit olduğu dikkate alınarak yazılmıştır:
ve ayrıca frekans bağlantısını dikkate alarak i th modu ve dalga numarası:
(6.46)
Burada - dalga sayısı i moda;
1. modun dalga numarasıdır;
Her salınım modu için başlangıç fazının değerini bulalım. Bunun için o sırada t=0 dizgeye fonksiyon tarafından tanımlanan bir şekil verelim f 0 (x), (6.43)'ten elde ettiğimiz ifade:
. (6.47)
Şek. 6.6, işlevim tarafından açıklanan bir dize şeklinin bir örneğini gösterir f 0 (x).
|
zaman noktasında t=0 dize hala dinlenmede, yani tüm noktalarının hızı sıfıra eşittir. (6.43)'ten dize noktalarının hızı için bir ifade buluyoruz:
ve yerine koyarak t=0, zamanın ilk anında dizenin noktalarının hızı için bir ifade elde ederiz:
. (6.49)
Zamanın ilk anında hız sıfıra eşit olduğundan, if , dizenin tüm noktaları için (6.49) ifadesi sıfıra eşit olacaktır. Bundan, tüm modlar için başlangıç aşamasının da sıfır () olduğu sonucu çıkar. Bunu akılda tutarak, sicimin hareketini tanımlayan (6.43) ifadesi şu şekli alır:
, (6.50)
ve açıklayan ifade (6.47) ilk biçim dizeler, şöyle görünür:
. (6.51)
Bir dizideki duran dalga, iki dizi uzunluğuna eşit olan aralıkta periyodik olan bir fonksiyonla tanımlanır (Şekil 6.7):
Bu, aralıktaki periyodikliğin şu anlama geldiği gerçeğinden görülebilir:
Sonuç olarak,
bu da bizi (6.52) ifadesine getiriyor.
İtibaren matematiksel analiz Herhangi bir periyodik fonksiyonun yüksek doğrulukla bir Fourier serisine genişletilebileceği bilinmektedir:
, (6.57)
nerede , , Fourier katsayılarıdır.
Bölüm 7
Dalgalar. dalga denklemi
Daha önce ele aldığımız hareketlere ek olarak, fiziğin neredeyse tüm alanlarında başka bir hareket türü daha vardır - dalgalar. Ayırt edici özellik Onu benzersiz kılan bu hareket, dalgada yayılan maddenin parçacıkları değil, durumlarındaki değişiklikler (tedirgeler) olmasıdır.
Uzayda zamanla yayılan bozulmalara denir. dalgalar . Dalgalar mekanik ve elektromanyetiktir.
elastik dalgalarelastik ortamın yayılan pertürbasyonlarıdır.
Elastik bir ortamın bozulması, bu ortamın parçacıklarının denge konumundan herhangi bir sapmasıdır. Ortamın herhangi bir yerindeki deformasyonun bir sonucu olarak bozulmalar ortaya çıkar.
Dalganın belirli bir zamanda ulaştığı tüm noktaların toplamı, dalga adı verilen bir yüzey oluşturur. dalga cephesi .
Önün şekline göre dalgalar küresel ve düzlemsel olarak ayrılır. Yön dalga cephesinin yayılımı belirlenir denilen dalga cephesine dik ışın . Küresel bir dalga için, ışınlar radyal olarak uzaklaşan bir ışındır. Düzlem dalga için ışın, paralel çizgilerden oluşan bir ışındır.
Herhangi bir mekanik dalgada aynı anda iki tür hareket vardır: ortamın parçacıklarının salınımları ve bir bozulmanın yayılması.
Ortamın parçacıklarının salınımlarının ve pertürbasyonun yayılmasının aynı yönde meydana geldiği dalgaya denir. boyuna (şek.7.2 a).
Ortamın parçacıklarının pertürbasyonların yayılma yönüne dik salınım yaptığı dalgaya denir. enine (Şekil 7.2 b).
Boyuna dalgada, bozulmalar ortamın sıkışmasını (veya seyrekleşmesini) temsil eder ve enine dalgada, ortamın bazı katmanlarının diğerlerine göre yer değiştirmeleridir (kesmeler). Boyuna dalgalar tüm ortamlarda (sıvı, katı ve gaz halinde) yayılabilirken, enine dalgalar yalnızca katı ortamlarda yayılabilir.
Her dalga belirli bir hızda yayılır . Altında dalga hızı υ Bozulmanın yayılma hızını anlayın. Bir dalganın hızı, bu dalganın yayıldığı ortamın özelliklerine göre belirlenir. AT katılar boyuna dalgaların hızı, enine dalgaların hızından daha büyüktür.
dalga boyuλ, bir dalganın kaynağındaki salınım periyoduna eşit bir sürede yayıldığı mesafedir.. Dalganın hızı sabit bir değer olduğundan (belirli bir ortam için), dalganın kat ettiği mesafe, hızın ve yayılma süresinin çarpımına eşittir. yani dalga boyu
Denklem (7.1)'den, bir λ aralığı ile birbirinden ayrılan parçacıkların aynı fazda salındığı sonucu çıkar. O halde dalga boyunun şu tanımını verebiliriz: dalga boyu, aynı fazda salınan en yakın iki nokta arasındaki mesafedir.
Herhangi bir zamanda dalganın herhangi bir noktasının yer değiştirmesini belirlememize izin veren bir düzlem dalga denklemini türetelim. Dalganın kaynaktan gelen ışın boyunca bir miktar v hızıyla yayılmasına izin verin.
Kaynak, basit harmonik salınımları uyarır ve herhangi bir zamanda dalganın herhangi bir noktasının yer değiştirmesi denklem tarafından belirlenir.
S = Asinωt (7.2)
O zaman dalganın kaynağından x kadar uzaklıkta olan ortamın noktası da harmonik salınımlar gerçekleştirecektir, ancak zaman içinde bir değer kadar gecikme olacaktır, yani. Titreşimlerin kaynaktan o noktaya yayılması için geçen süre. Herhangi bir zamanda denge konumuna göre salınım noktasının yer değiştirmesi, bağıntı ile tanımlanacaktır.
Bu düzlem dalga denklemidir. Bu dalga aşağıdaki parametrelerle karakterize edilir:
· S - salınımın ulaştığı elastik ortamın denge noktasının konumundan yer değiştirme;
· ω - kaynak tarafından üretilen ve ortamın noktalarının da salındığı döngüsel salınım frekansı;
· υ - dalga yayılma hızı (faz hızı);
x - salınımın ulaştığı ve yer değiştirmesi S'ye eşit olan ortamın o noktasına olan mesafe;
· t – salınımların başlangıcından itibaren sayılan süre;
λ dalga boyunu (7.3) ifadesine dahil ederek, düzlem dalga denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir:
(7. 4)
|
Dalga girişimi. duran dalgalar Duran dalga denklemi
Duran dalgalar, aynı frekans ω ve genliği A olan iki zıt düzlem dalganın girişiminin bir sonucu olarak oluşur.
S noktasında, SO ışını boyunca bir düzlem dalganın yayıldığı bir vibratör olduğunu hayal edin. O noktasındaki engele ulaşan dalga yansıyacak ve ters yöne gidecektir, yani. iki hareketli düzlem dalgası ışın boyunca yayılır: ileri ve geri. Bu iki dalga uyumludur, çünkü aynı kaynak tarafından üretilirler ve üst üste bindirildiklerinde birbirleriyle girişim yapacaklardır.
Girişim sonucunda ortamın salınım durumuna durağan dalga denir.
Doğrudan ve geriye doğru hareket eden dalganın denklemini yazalım:
dümdüz - ; tersi -
burada S1 ve S2, SO ışını üzerindeki rastgele bir noktanın yer değiştirmesidir. Toplamın sinüs formülü dikkate alındığında, ortaya çıkan yer değiştirme şuna eşittir:
Böylece, duran dalga denklemi şu şekildedir:
cosωt faktörü, SO ışını üzerindeki ortamın tüm noktalarının bir frekansla basit harmonik salınımlar gerçekleştirdiğini gösterir. İfadeye duran dalganın genliği denir. Gördüğünüz gibi, genlik noktanın SO(x) ışını üzerindeki konumuna göre belirlenir.
Maksimum değer genliklerin hangi noktalara sahip olacağı
Veya (n = 0, 1, 2,….)
nereden veya (4.70)
duran dalganın antinodları .
Minimum değer, sıfıra eşit olduğu noktalara sahip olacaktır.
Veya (n=0, 1, 2,….)
nereden veya (4.71)
Bu koordinatlara sahip noktalara denir. duran dalga düğümleri . (4.70) ve (4.71) ifadelerini karşılaştırdığımızda, komşu antinodlar ile komşu düğümler arasındaki mesafenin λ/2'ye eşit olduğunu görüyoruz.
Şekilde, düz çizgi ortamın salınım noktalarının zaman içinde bir noktada yer değiştirmesini gösterir, noktalı eğri aynı noktaların konumunu T / 2 üzerinden gösterir. Her nokta, vibratöre (x) olan mesafesine göre belirlenen bir genlikle salınır.
Yürüyen bir dalganın aksine, duran bir dalgada enerji aktarımı yoktur. Enerji, hareketsiz kalan düğümler arasındaki sınırlar içinde basitçe potansiyelden (ortamın noktalarının denge konumundan maksimum yer değiştirmesi ile) kinetik (noktalar denge konumundan geçtiğinde) geçer.
Düğümler arasındaki sınırlar içinde duran bir dalganın tüm noktaları, aynı fazda ve düğümün zıt taraflarında - antifazda salınır.
Örneğin, her iki ucundan gerilmiş bir ipte enine titreşimler uyarıldığında duran dalgalar ortaya çıkar. Ayrıca, sabitleme yerlerinde duran bir dalganın düğümleri vardır.
Bir ucu açık olan bir hava sütununda (ses dalgası) duran bir dalga oluşursa, açık uçta bir antinod ve karşı uçta bir düğüm oluşur.
Ses. Doppler etkisi
Gaz, sıvı ve katılarda yayılan boyuna elastik dalgalar görünmezdir. Ancak, belirli koşullar altında duyulabilirler. Bu nedenle, bir mengeneye kenetlenmiş uzun bir çelik cetvelin titreşimlerini uyarırsak, onun ürettiği dalgaları duymayız. Ancak cetvelin çıkıntılı kısmını kısaltırsak ve böylece salınımlarının sıklığını arttırırsak, cetvelin ses çıkarmaya başlayacağını göreceğiz.
İnsanlarda işitsel duyumlara neden olan elastik dalgalara denir. ses dalgaları ya da sadece ses.
İnsan kulağı elastikliği algılayabilir mekanik dalgalar 16Hz'den 20000Hz'e kadar ν frekansı ile. ν frekanslı elastik dalgalar<16Гц называют инфразвуком, а волны с частотой ν>20000 Hz - ultrasonik.
16 Hz ile 20000 Hz aralığındaki frekanslara ses denir. Ses frekansı ile salınan herhangi bir cisim (katı, sıvı veya gaz) ortamda bir ses dalgası oluşturur.
Gazlarda ve sıvılarda, ses dalgaları boyuna sıkıştırma ve seyrekleşme dalgaları şeklinde yayılır. Ses kaynağının (teller, akort çatalı ayakları, ses telleri vb.) titreşimleri sonucu oluşan ortamın bir süre sonra insan kulağına ulaşması ve kulak zarının zorlu titreşimler yapmasına neden olması sonucu oluşan ortamın sıkışması ve seyrekleşmesi, bir kişide belirli işitsel duyumlara neden olur.
Ses dalgaları boşlukta yayılamaz çünkü orada titreşecek hiçbir şey yoktur. Bu basit bir deneyle doğrulanabilir. Bir hava pompasının cam kubbesinin altına bir elektrikli zil yerleştirirsek, hava dışarı pompalanırken sesin tamamen durana kadar giderek zayıfladığını görürüz.
gazlarda ses. Bir fırtına sırasında önce bir şimşek çakması gördüğümüz ve ancak daha sonra gök gürültüsü duyduğumuz bilinmektedir. Bu gecikme, sesin havadaki hızının ışık hızından çok daha düşük olması nedeniyle oluşur. Sesin havadaki hızı ilk olarak 1646'da Fransız bilim adamı Marin Mersen tarafından ölçülmüştür. +20ºС sıcaklıkta 343 m/s'ye eşittir, yani. 1235km/s
Sesin hızı ortamın sıcaklığına bağlıdır. Artan sıcaklıkla artar ve azalan sıcaklıkla azalır.
Sesin hızı, bu sesin yayıldığı gazın yoğunluğuna bağlı değildir. Bununla birlikte, moleküllerinin kütlesine bağlıdır. Gaz moleküllerinin kütlesi ne kadar büyük olursa, içindeki ses hızı o kadar düşük olur. Yani bir sıcaklıkta
0 ºС sesin hidrojendeki hızı 1284m/s'dir ve karbon dioksit- 259 m / s.
Sıvılarda ses. Sesin sıvılardaki hızı, genellikle gazlardaki ses hızından daha fazladır. Sesin sudaki hızı ilk olarak 1826'da ölçülmüştür. Deneyler İsviçre'deki Cenevre Gölü'nde yapıldı. Bir teknede barutu ateşe verdiler ve aynı zamanda zili vurdular, suya indirdiler. Yine suya indirilen özel bir korna yardımıyla bu çanın sesi, ilkinden 14 km uzaklıkta bulunan başka bir teknede yakalandı. Sesin sudaki hızı, ışığın parlaması ile ses sinyalinin gelmesi arasındaki zaman farkından belirlendi. 8 ºС sıcaklıkta, 1435m/s'ye eşit olduğu ortaya çıktı.
Sıvılarda, sesin hızı genellikle artan sıcaklıkla azalır. Su bu kuralın bir istisnasıdır. İçinde sesin hızı artan sıcaklıkla artar ve 74 ºС sıcaklıkta maksimuma ulaşır ve sıcaklıkta daha fazla artışla azalır.
İnsan kulağının su altında “iyi çalışmadığı” söylenmelidir. Çoğu ses kulak zarından yansır ve bu nedenle işitsel duyumlar aramaz. Bir zamanlar atalarımıza sualtı dünyasını “sessizlik dünyası” olarak görmeleri için sebep veren buydu. Bu nedenle "bir balık gibi sessiz" ifadesi. Ancak Leonardo da Vinci bile kulağınızı suya indirilmiş bir küreğe koyarak su altı seslerini dinlemeyi önerdi. Bu yöntemi kullanarak balığın aslında oldukça konuşkan olduğundan emin olabilirsiniz.
Katılarda ses. Sesin katılardaki hızı sıvılardakinden bile daha fazladır. Sadece burada hem boyuna hem de enine dalgaların katılarda yayılabileceği dikkate alınmalıdır. Bildiğimiz gibi bu dalgaların hızı farklıdır. Örneğin çelikte enine dalgalar 3300 m/s hızla, boyuna dalgalar ise 6100 m/s hızla yayılır. Yani sesin hızı sağlam vücut havada olduğundan daha fazla, aşağıdaki gibi görülebilir. Arkadaşınız korkuluğun bir ucuna vurur ve diğer ucuna kulağınızı koyarsanız iki vuruş duyulur. Ses önce raydan sonra havadan kulağınıza ulaşacaktır.
Toprak iyi bir iletkenliğe sahiptir. Bu nedenle, eski günlerde, bir kuşatma sırasında, kale duvarlarına, toprak tarafından iletilen sesle, düşmanın duvarları kazıp kazmadığını belirleyebilecek “dinleyiciler” yerleştirildi. Kulağını yere dayamak, düşman süvarilerinin yaklaştığını tespit etmeyi de mümkün kıldı.
Duyulabilir seslere ek olarak, yerkabuğuİnsan kulağının artık algılamadığı kızılötesi dalgalar da yayılır. Bu tür dalgalar depremler sırasında ortaya çıkabilir.
Volkanik patlamalar ve patlamalar sırasında hem yerde hem de havada yayılan güçlü infrasonik dalgalar ortaya çıkar. atom bombaları. Infrasound kaynakları ayrıca atmosferdeki hava girdapları, kargo deşarjları, silah atışları, rüzgar, akan sırtlar olabilir. deniz dalgaları, jet uçaklarının çalışan motorları vb.
Ultrason da insan kulağı tarafından algılanmaz. Bununla birlikte, bazı hayvanlar onu yayabilir ve yakalayabilir, örneğin yarasalar ve yunuslar. Teknolojide, ultrason üretmek için özel cihazlar kullanılır.