Bir kesirli kuvvete sinüsün integralleri. trigonometrik fonksiyonların entegrasyonu
Temel trigonometrik formüller ve temel ikameler sunulmaktadır. Entegrasyon yöntemleri trigonometrik fonksiyonlar- rasyonel fonksiyonların entegrasyonu, sin x ve cos x'in güç fonksiyonlarının çarpımı, polinom, üs ve sinüs veya kosinüsün çarpımı, ters trigonometrik fonksiyonların entegrasyonu. Standart olmayan yöntemler etkilenir.
İçerikTrigonometrik fonksiyonları entegre etmek için standart yöntemler
Genel yaklaşım
İlk olarak, eğer gerekirse, integrant dönüştürülmelidir, böylece trigonometrik fonksiyonlar, integrasyon değişkeni ile çakışacak olan bir argümana bağlıdır.
Örneğin, integral aşağıdakilere bağlıysa günah(x+a) ve çünkü(x+b), o zaman dönüşümü gerçekleştirmelisiniz:
cos (x+b) = cos (x+a - (a-b)) = cos (x+a) cos (b-a) + günah(x+a) günah(b-a).
Ardından z = x+a değişikliğini yapın. Sonuç olarak, trigonometrik fonksiyonlar yalnızca z integrasyon değişkenine bağlı olacaktır.
Trigonometrik fonksiyonlar integrasyon değişkeniyle çakışan bir argümana bağlı olduğunda (diyelim ki bu z ), yani integral sadece tipteki fonksiyonlardan oluşur. günah z,
çünkü z,
tgz,
ctgz, o zaman bir değişiklik yapmanız gerekir
.
Böyle bir ikame, rasyonel veya irrasyonel fonksiyonların (kökler varsa) entegrasyonuna yol açar ve temel fonksiyonlara entegre edilmişse integralin hesaplanmasına izin verir.
Bununla birlikte, integralin özelliklerine dayanarak, integrali daha kısa bir şekilde hesaplamanıza izin veren başka yöntemler de bulabilirsiniz. Aşağıda, bu tür ana yöntemlerin bir özeti bulunmaktadır.
sin x ve cos x'in rasyonel fonksiyonlarını entegre etme yöntemleri
Rasyonel fonksiyonlar günah x ve çünkü x türetilmiş fonksiyonlardır günah x,
çünkü x ve toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve tamsayıya yükseltme işlemlerini kullanan herhangi bir sabit. Bunlar aşağıdaki gibi gösterilir: R (sinx, cosx). Bu aynı zamanda tanjantları ve kotanjantları da içerebilir, çünkü bunlar bir sinüsün bir kosinüs ile bölünmesiyle ve bunun tersi de geçerlidir.
Rasyonel fonksiyonların integralleri şu şekildedir:
.
Rasyonel trigonometrik fonksiyonların integralini alma yöntemleri aşağıdaki gibidir.
1) İkame her zaman bir integraline yol açar rasyonel kesir. Bununla birlikte, bazı durumlarda, daha kısa hesaplamalarla sonuçlanan ikameler (aşağıya bakınız) vardır.
2) Eğer R (sinx, cosx) çünkü x → - çünkü x günah x.
3) Eğer R (sinx, cosx) değiştirirken -1 ile çarpılır günah x → - günah x, sonra ikame t = çünkü x.
4) Eğer R (sinx, cosx) eşzamanlı değiştirme ile olduğu gibi değişmez çünkü x → - çünkü x, ve günah x → - günah x, sonra ikame t = tg x veya t= ctg x.
Örnekler:
,
,
.
cos x ve sin x'in güç fonksiyonlarının çarpımı
Formun integralleri
rasyonel trigonometrik fonksiyonların integralleridir. Bu nedenle, önceki bölümde özetlenen yöntemler bunlara uygulanabilir. Aşağıda, bu tür integrallerin özelliklerine dayanan yöntemleri ele alıyoruz.
eğer m ve n rasyonel sayılar, sonra ikamelerden biri t = günah x veya t= çünkü x integral, diferansiyel binomun integraline indirgenir.
m ve n tamsayı ise, integrasyon, indirgeme formülleri kullanılarak gerçekleştirilir:
;
;
;
.
Örnek:
.
Bir polinom ile bir sinüs veya kosinüsün çarpımından elde edilen integraller
Formun integralleri:
,
,
burada P(x), x'te bir polinomdur, parçalarla entegre edilir. Bu, aşağıdaki formüllerle sonuçlanır:
;
.
Örnekler:
,
.
Bir polinom, üs ve sinüs veya kosinüs çarpımından elde edilen integraller
Formun integralleri:
,
,
burada P(x), x'te bir polinomdur, Euler formülü kullanılarak entegre edilir
e iax = çünkü balta + isin baltası(burada ben 2 = - 1
).
Bunun için önceki paragrafta açıklanan yöntem integrali hesaplar.
.
Sonuçtan gerçel ve sanal kısımlar ayrılarak orijinal integraller elde edilir.
Örnek:
.
Trigonometrik fonksiyonları entegre etmek için standart olmayan yöntemler
Aşağıda, trigonometrik işlevlerin entegrasyonunu gerçekleştirmenize veya basitleştirmenize izin veren bir dizi standart olmayan yöntem bulunmaktadır.
Bağımlılık (a sin x + b cos x)
İntegrant yalnızca bir günah x + b çünkü x, formülü uygulamak yararlıdır:
,
nerede .
Örneğin
Kesirlerin sinüs ve kosinüslerden daha basit kesirlere ayrıştırılması
İntegrali düşünün
.
Entegrasyonun en kolay yolu, dönüşümü uygulayarak kesri daha basit olanlara ayrıştırmaktır:
günah(a - b) = günah(x + a - (x + b)) = sin(x+a) cos(x+b) - cos(x+a) günah(x+b)
Birinci dereceden kesirlerin entegrasyonu
saat integral hesaplama
,
kesrin tamsayı kısmını ve paydanın türevini seçmek uygundur
a 1 günah x + b 1 çünkü x = A (bir günah x + b çünkü x) + B (a günah x + b cos x)′ .
A ve B sabitleri, sol ve sağ taraflar karşılaştırılarak bulunur.
Referanslar:
N.M. Günter, R.O. Kuzmin, Görevlerin toplanması yüksek Matematik, "Lan", 2003.
Ayrıca, cevaplarını görebileceğiniz bağımsız bir çözüm için görevler olacaktır.
İntegrant, trigonometrik fonksiyonların bir çarpımından bir toplama dönüştürülebilir.
İntegranın, x'in birinci derecesinin sinüs ve kosinüslerinin farklı faktörlerle çarpımının, yani formun integrallerinin çarpımı olduğu integralleri düşünün.
İyi bilinen trigonometrik formülleri kullanma
(2)
(3)
(4)
(31) formunun integrallerindeki ürünlerin her birini cebirsel bir toplama dönüştürebilir ve formüllerle entegre edebilir
(5)
(6)
örnek 1 Bulmak
Çözüm. Formül (2)'ye göre
Örnek 2 Bulmak trigonometrik fonksiyonun integrali
Çözüm. Formül (3)'e göre
Örnek 3 Bulmak trigonometrik fonksiyonun integrali
Çözüm. Formül (4)'e göre integralin aşağıdaki dönüşümünü elde ederiz:
Formül (6) uygulayarak, elde ederiz
Aynı argümanın sinüs ve kosinüs kuvvetlerinin çarpımının integrali
Şimdi aynı argümanın sinüs ve kosinüs kuvvetlerinin çarpımı olan fonksiyonların integrallerini ele alalım.
(7)
Özel durumlarda, göstergelerden biri ( m veya n) sıfır olabilir.
Bu tür fonksiyonları entegre ederken, kosinüsün çift gücünün sinüs cinsinden ifade edilebildiği ve sinüsün diferansiyelinin cos'a eşit olduğu kullanılır. x dx(veya sinüsün çift gücü kosinüs cinsinden ifade edilebilir ve kosinüs diferansiyeli - sin x dx ) .
İki durum ayırt edilmelidir: 1) göstergelerden en az biri m ve n garip; 2) her iki gösterge de eşittir.
İlk durum, yani üs olsun n = 2k+ 1 - tuhaf. O zaman, bunu göz önünde bulundurarak
İntegrant, bir kısmı sadece sinüsün bir fonksiyonu, diğeri ise sinüsün diferansiyeli olacak şekilde sunulur. Şimdi değişken değişikliği ile t= günah xçözüm, polinomu aşağıdakilere göre entegre etmeye indirgenir. t. Eğer sadece derece m garip, sonra günah faktörünü ayırarak aynısını yapın x, integralin geri kalanını cos cinsinden ifade etmek x ve varsayarak t= çünkü x. Bu yaklaşım şu durumlarda da kullanılabilir: sinüs ve kosinüsün kısmi güçlerinin entegrasyonu , ne zaman göstergelerden en az biri garip . Bütün mesele şu ki sinüs ve kosinüs kuvvetlerinin bölümü özel durum onların işleri : trigonometrik fonksiyon integralin paydasında olduğunda, derecesi negatiftir. Ancak, dereceleri yalnızca çift olduğunda kısmi trigonometrik fonksiyonlar da vardır. Onlar hakkında - bir sonraki paragraf.
Eğer her iki gösterge m ve n eşittir, daha sonra trigonometrik formüller kullanarak
sinüs ve kosinüsün üslerini düşürün, bundan sonra yukarıdakiyle aynı türde bir integral elde edilecektir. Bu nedenle entegrasyona aynı şekilde devam edilmelidir. Çift göstergelerden biri negatifse, yani sinüs ve kosinüsün çift güçlerinin bölümü dikkate alınırsa, bu şema uygun değildir. . Ardından, integralin nasıl dönüştürülebileceğine bağlı olarak bir değişken değişikliği kullanılır. Böyle bir durum bir sonraki bölümde ele alınacaktır.
Örnek 4 Bulmak trigonometrik fonksiyonun integrali
Çözüm. Kosinüsün üssü tektir. Bu nedenle, hayal edin
t= günah x(sonra dt= çünkü x dx ). sonra alırız
Eski değişkene dönersek, sonunda
Örnek 5 Bulmak trigonometrik fonksiyonun integrali
.
Çözüm. Kosinüsün üssü, önceki örnekte olduğu gibi tuhaftır, ancak daha fazladır. Hayal etmek
ve değişken değişikliğini yapın t= günah x(sonra dt= çünkü x dx ). sonra alırız
parantezleri açalım
ve Al
Eski değişkene dönersek çözümü elde ederiz.
Örnek 6 Bulmak trigonometrik fonksiyonun integrali
Çözüm. Sinüs ve kosinüsün üsleri çifttir. Bu nedenle, integrali aşağıdaki gibi dönüştürüyoruz:
sonra alırız
İkinci integralde, bir değişken değişikliği yapıyoruz, ayar t= günah2 x. O zamanlar (1/2)dt= cos2 x dx . Sonuç olarak,
Sonunda anladık
Değişken Değiştirme Yöntemini Kullanma
Değişken değiştirme yöntemi trigonometrik fonksiyonları entegre ederken, integralde sadece bir sinüs veya sadece bir kosinüsün bulunduğu durumlarda, sinüs ve kosinüsün çarpımı, sinüs veya kosinüsün birinci derecede olduğu, tanjant veya kotanjant olduğu durumlarda da kullanılabilir. tek ve aynı argümanın sinüs ve kosinüs kuvvetlerinin bile bölümü olarak. Bu durumda, sadece günah değil, permütasyon yapmak da mümkündür. x = t ve günah x = t, ama aynı zamanda tg x = t ve ctg x = t .
Örnek 8 Bulmak trigonometrik fonksiyonun integrali
.
Çözüm. Değişkeni değiştirelim: , sonra . Ortaya çıkan integral, integral tablosuna kolayca entegre edilir:
.
Örnek 9 Bulmak trigonometrik fonksiyonun integrali
Çözüm. Tanjantı sinüs ve kosinüs oranına çevirelim:
Değişkeni değiştirelim: , sonra . Ortaya çıkan integral, tablo integrali eksi işareti ile:
.
Orijinal değişkene dönersek, sonunda şunu elde ederiz:
.
Örnek 10 Bulmak trigonometrik fonksiyonun integrali
Çözüm. Değişkeni değiştirelim: , sonra .
Trigonometrik kimliği uygulamak için integrali dönüştürüyoruz :
İntegralin önüne bir eksi işareti koymayı unutmadan bir değişken değişikliği yaparız (yukarıya bakın, neye eşittir? dt). Ardından, integrali faktörlere ayırıyoruz ve tabloya göre entegre ediyoruz:
Orijinal değişkene dönersek, sonunda şunu elde ederiz:
.
Trigonometrik fonksiyonun integralini kendiniz bulun ve çözümü görün
Evrensel trigonometrik ikame
Evrensel trigonometrik ikame integrand'ın önceki paragraflarda tartışılan durumların kapsamına girmediği durumlarda kullanılabilir. Temel olarak sinüs veya kosinüs (veya her ikisi) bir kesrin paydasında olduğunda. Sinüs ve kosinüsün, orijinal açının yarısının tanjantını içeren başka bir ifadeyle değiştirilebileceği kanıtlanmıştır:
Ancak, evrensel trigonometrik ikamenin genellikle oldukça karmaşık cebirsel dönüşümler gerektirdiğine dikkat edin, bu nedenle başka hiçbir yöntem işe yaramadığında en iyi şekilde kullanılır. Evrensel trigonometrik ikame ile birlikte, diferansiyel işareti altında ikame ve belirsiz katsayılar yönteminin kullanıldığı örneklere bakalım.
Örnek 12. Bulmak trigonometrik fonksiyonun integrali
.
Çözüm. Çözüm. hadi kullanalım evrensel trigonometrik ikame. O zamanlar
.
Pay ve paydadaki kesirleri ile çarparız ve ikiliyi çıkarır ve integral işaretinin önüne koyarız. O zamanlar
karmaşık integraller
Bu makale belirsiz integraller konusunu tamamlıyor ve oldukça zor olduğunu düşündüğüm integralleri içeriyor. Ders, sitede daha zor örneklerin analiz edilmesini dileyen ziyaretçilerin tekrarlanan talebi üzerine oluşturuldu.
Bu metnin okuyucusunun iyi hazırlanmış olduğu ve temel entegrasyon tekniklerini nasıl uygulayacağını bildiği varsayılmaktadır. Aptallar ve integrallere pek güvenmeyen insanlar ilk derse başvurmalıdır - Belirsiz integral. Çözüm örnekleri konuyu neredeyse sıfırdan öğrenebilirsiniz. Daha deneyimli öğrenciler, makalelerimde henüz karşılaşılmamış olan entegrasyon teknikleri ve yöntemleri ile tanışabilirler.
Hangi integraller dikkate alınacaktır?
İlk olarak, çözümü için art arda kullandığımız köklü integralleri ele alıyoruz. değişken ikame ve Parçalara göre entegrasyon. Yani, bir örnekte iki yöntem aynı anda birleştirilir. Ve daha da fazlası.
O zaman ilginç ve orijinal bir şeyle tanışacağız. integrali kendisine indirgeme yöntemi. Bu şekilde çözülen çok az integral yoktur.
Programın üçüncü sayısı, önceki makalelerde yazarkasadan geçen karmaşık kesirlerin integralleri olacaktır.
Dördüncü olarak, trigonometrik fonksiyonlardan ek integraller analiz edilecektir. Özellikle, zaman alıcı evrensel trigonometrik ikameden kaçınan yöntemler vardır.
(2) İntegranda, payı paydaya göre terime böleriz.
(3) Belirsiz integralin doğrusallık özelliğini kullanıyoruz. Son integralde, hemen fonksiyonu diferansiyelin işaretinin altına getir.
(4) Kalan integralleri alıyoruz. Modülde değil, logaritmada parantez kullanabileceğinizi unutmayın, çünkü .
(5) Doğrudan ikame "te" den ifade ederek ters ikameyi gerçekleştiririz:
Mazoşist öğrenciler cevabı farklılaştırabilir ve az önce yaptığım gibi orijinal integrali alabilir. Hayır, hayır, kontrolü doğru anlamda yaptım =)
Gördüğünüz gibi, çözüm sürecinde ikiden fazla çözüm yönteminin kullanılması gerekiyordu, bu nedenle bu tür integrallerle başa çıkmak için en az deneyime değil, kendinden emin entegrasyon becerilerine ihtiyacınız var.
Pratikte, elbette, karekök daha yaygındır, işte bağımsız bir çözüm için üç örnek:
Örnek 2
belirsiz integrali bulun
Örnek 3
belirsiz integrali bulun
Örnek 4
belirsiz integrali bulun
Bu örnekler aynı türdendir, bu nedenle makalenin sonundaki tam çözüm sadece Örnek 2 için, Örnek 3-4'te - bir cevap olacaktır. Kararların başında hangi yedeği kullanacağımız bence çok açık. Neden aynı tür örnekleri seçtim? Genellikle rollerinde bulunur. Daha sık, belki de sadece şöyle bir şey .
Ancak her zaman değil, bir lineer fonksiyonun kökü ark tanjantı, sinüs, kosinüs, üs ve diğer fonksiyonların altında olduğunda, aynı anda birkaç yöntemin uygulanması gerekir. Bazı durumlarda, "kolayca inmek" mümkündür, yani değiştirmeden hemen sonra, temel olarak alınan basit bir integral elde edilir. Yukarıda önerilen görevlerin en kolayı, değiştirmeden sonra nispeten basit bir integralin elde edildiği Örnek 4'tür.
İntegrali kendisine indirgeme yöntemi
Akıllıca ve güzel bir yöntem. Türün klasiklerine bir göz atalım:
Örnek 5
belirsiz integrali bulun
Kökün altında bir kare binom var ve bu örneği entegre etmeye çalışırken çaydanlık saatlerce acı çekebiliyor. Böyle bir integral parçalar tarafından alınır ve kendisine indirgenir. Prensip olarak, zor değil. Nasıl olduğunu biliyorsan.
Kabul edilen integrali bir Latin harfiyle gösterelim ve çözüme başlayalım:
Parçalara göre entegrasyon:
(1) İntegrantı dönem dönem bölme için hazırlıyoruz.
(2) İntegrant terimini terime böleriz. Belki herkes anlamaz, daha ayrıntılı yazacağım:
(3) Belirsiz integralin doğrusallık özelliğini kullanıyoruz.
(4) Son integrali ("uzun" logaritma) alıyoruz.
Şimdi çözümün en başına bakalım:
Ve bitiş için:
Ne oldu? Yaptığımız işlemler sonucunda integral kendi kendine küçüldü!
Başlangıç ve bitişi eşitleyin:
İşaret değişikliği ile sol tarafa geçiyoruz:
Ve sağ taraftaki ikiliyi yıkıyoruz. Sonuç olarak:
Sabit, kesinlikle konuşursak, daha önce eklenmeliydi, ama sonunda ekledim. Buradaki ciddiyetin ne olduğunu okumanızı şiddetle tavsiye ederim:
Not:
Daha sıkı son aşamaçözüm şöyle görünür:
Böylece:
Sabit, ile yeniden adlandırılabilir. Neden yeniden adlandırabilirsiniz? Çünkü hala alıyor hiç değerlerdir ve bu anlamda sabitler ile arasında hiçbir fark yoktur.
Sonuç olarak:
Sürekli yeniden adlandırma ile benzer bir numara yaygın olarak kullanılmaktadır. diferansiyel denklemler. Ve orada katı olacağım. Ve burada bu tür özgürlüklere sadece sizi gereksiz şeylerle karıştırmamak ve entegrasyon yöntemine odaklanmamak için izin veriyorum.
Örnek 6
belirsiz integrali bulun
Bağımsız çözüm için başka bir tipik integral. Tam çözüm ve dersin sonunda cevap. Önceki örneğin cevabı ile fark olacak!
altında ise kare kök kare bir trinom bulunur, daha sonra çözüm her durumda analiz edilen iki örneğe indirgenir.
Örneğin, integrali düşünün . Tek yapmanız gereken önceden tam bir kare seçin:
.
Ardından, "sonuç olmadan" yöneten doğrusal bir değiştirme gerçekleştirilir:
, bir integral ile sonuçlanır . Tanıdık bir şey, değil mi?
Veya bu örnek, bir kare binom ile:
Tam bir kare seçme:
Ve lineer bir değiştirmeden sonra, zaten düşünülen algoritma tarafından da çözülen integrali alırız.
Bir integralin kendisine nasıl indirgeneceğine dair iki tipik örnek daha düşünün:
üs ile sinüs çarpımının integralidir;
üs ile kosinüs çarpımının integralidir.
Parçalara göre listelenen integrallerde, zaten iki kez entegre etmeniz gerekecek:
Örnek 7
belirsiz integrali bulun
İntegrant, sinüs ile çarpılan üsdür.
Parçalara göre iki kez entegre ediyoruz ve integrali kendisine indirgiyoruz:
Parçaların çift entegrasyonu sonucunda integral kendine indirgenir. Çözümün başlangıcını ve sonunu eşitleyin:
İşaret değişikliği ile sol tarafa geçiyoruz ve integralimizi ifade ediyoruz:
Hazır. Yol boyunca sağ tarafı taramak istenir, yani. üslü parantezleri alın ve parantez içindeki sinüs ve kosinüsü “güzel” bir sıraya göre yerleştirin.
Şimdi örneğin başına veya daha doğrusu parçalara göre entegrasyona geri dönelim:
Çünkü katılımcıyı belirledik. Soru ortaya çıkıyor, her zaman ile gösterilmesi gereken üs ? Gerekli değil. Aslında, düşünülen integralde temelde önemli değil, neyi belirtmek için, biri diğer yöne gidebilir:
Bu neden mümkün? Üs kendine dönüştüğü için (farklılaşma ve integral alma sırasında), sinüs ve kosinüs karşılıklı olarak birbirine dönüşür (yine, hem türevlenirken hem de integral alırken).
Yani trigonometrik fonksiyon da gösterilebilir. Ancak, ele alınan örnekte, kesirler görüneceğinden bu daha az rasyoneldir. Dilerseniz bu örneği ikinci şekilde çözmeyi deneyebilirsiniz, cevaplar aynı olmalıdır.
Örnek 8
belirsiz integrali bulun
Bu bir kendin yap örneğidir. Karar vermeden önce, bu durumda üstel veya trigonometrik fonksiyon için neyin daha karlı olduğunu düşünün? Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.
Ve tabii ki, bu dersteki cevapların çoğunun farklılaşma yoluyla kontrol edilmesinin oldukça kolay olduğunu unutmayın!
Örnekler en zor olarak kabul edilmedi. Pratikte, sabitin hem üs hem de trigonometrik fonksiyonun argümanında olduğu integraller daha yaygındır, örneğin: . Birçok insanın böyle bir integralde kafası karışması gerekecek ve ben de sık sık kafam karışıyor. Gerçek şu ki, çözümde kesirlerin ortaya çıkma olasılığı yüksektir ve dikkatsizlik nedeniyle bir şeyi kaybetmek çok kolaydır. Ek olarak, işaretlerde yüksek bir hata olasılığı vardır, üsde bir eksi işareti olduğunu ve bunun ek zorluk getirdiğini unutmayın.
Son aşamada, genellikle şöyle bir şey ortaya çıkıyor:
Çözümün sonunda bile son derece dikkatli olmalı ve kesirleri doğru bir şekilde ele almalısınız:
Karmaşık kesirlerin entegrasyonu
Yavaş yavaş dersin ekvatoruna yaklaşıyoruz ve kesirlerin integrallerini düşünmeye başlıyoruz. Yine, hepsi çok karmaşık değil, sadece bir nedenden ötürü, örnekler diğer makalelerde biraz “konu dışı” idi.
Kök temasına devam
Örnek 9
belirsiz integrali bulun
Kökün altındaki paydada, kök "ek" dışında "X" şeklinde bir kare üç terimli artı vardır. Bu formun bir integrali standart bir ikame kullanılarak çözülür.
Karar veriyoruz:
Buradaki değiştirme basittir:
Değiştirdikten sonra hayata bakmak:
(1) İkame işleminden sonra, ortak payda kök altındaki terimler.
(2) Kökün altından çıkarırız.
(3) Pay ve paydayı azaltıyoruz. Aynı zamanda, kökün altında terimleri uygun bir sırayla yeniden düzenledim. Biraz deneyimle, (1), (2) adımları, yorumlanan eylemler sözlü olarak gerçekleştirilerek atlanabilir.
(4) Dersten hatırladığınız gibi elde edilen integral Bazı kesirlerin integrali, Çözüldü tam kare seçim yöntemi. Tam bir kare seçin.
(5) Entegrasyon ile sıradan bir "uzun" logaritma elde ederiz.
(6) Ters değiştirme işlemini gerçekleştiririz. Başlangıçta , sonra geri: .
(7) Son eylem, sonucun kuaförlüğüne yöneliktir: Kökün altında, terimleri yine ortak bir paydaya getiriyoruz ve onları kökün altından çıkarıyoruz.
Örnek 10
belirsiz integrali bulun
Bu bir kendin yap örneğidir. Burada, yalnız x'e bir sabit eklenir ve değiştirme hemen hemen aynıdır:
Ek olarak yapılması gereken tek şey, değiştirmeden "x" i ifade etmektir:
Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.
Bazen böyle bir integralde kökün altında bir kare binom olabilir, bu çözümün çözülme şeklini değiştirmez, hatta daha da basit olacaktır. Farkı Hisset:
Örnek 11
belirsiz integrali bulun
Örnek 12
belirsiz integrali bulun
Dersin sonunda kısa çözümler ve cevaplar. Örnek 11'in tam olarak binom integrali Derste çözüm yöntemi düşünülen İrrasyonel fonksiyonların integralleri.
2. dereceden ayrıştırılamaz bir polinomun dereceye kadar integrali
(payda polinom)
Daha nadir, ancak yine de pratik örneklerde ortaya çıkan bir integral formu.
Örnek 13
belirsiz integrali bulun
Ama şanslı sayı 13 ile örneğe geri dönelim (dürüst olmak gerekirse, tahmin etmedim). Bu integral aynı zamanda, nasıl çözüleceğini bilmiyorsanız, hemen hemen acı çekebileceğinizler kategorisindendir.
Çözüm yapay bir dönüşümle başlar:
Sanırım herkes payın payda terim terim terime nasıl bölüneceğini zaten anlamıştır.
Ortaya çıkan integral kısımlar halinde alınır:
Formun bir integrali için ( – doğal sayı) türetilmiş tekrarlayan düşürme formülü:
, nerede daha düşük bir derecenin bir integralidir.
Çözülen integral için bu formülün geçerliliğini doğrulayalım.
Bu durumda: , , şu formülü kullanırız:
Gördüğünüz gibi cevaplar aynı.
Örnek 14
belirsiz integrali bulun
Bu bir kendin yap örneğidir. Örnek çözüm, yukarıdaki formülü arka arkaya iki kez kullanır.
Derecenin altında ise ayrılmaz kare trinomial, daha sonra tam kare çıkarılarak çözüm bir binomial'e indirgenir, örneğin:
Payda ek bir polinom varsa ne olur? Bu durumda, belirsiz katsayılar yöntemi kullanılır ve integral, kesirlerin toplamına genişletilir. Ama benim pratiğimde böyle bir örnek hiç tanışmadık, bu yüzden makalede bu durumu atladım Kesirli-rasyonel bir fonksiyonun integralleri, şimdi atlayacağım. Böyle bir integral hala ortaya çıkıyorsa, ders kitabına bakın - orada her şey basit. Karşılaşma olasılığı sıfıra yakın olan malzemeyi (basit bile olsa) dahil etmenin uygun olduğunu düşünmüyorum.
Karmaşık trigonometrik fonksiyonların entegrasyonu
Çoğu örnek için "zor" sıfatı yine büyük ölçüde koşulludur. Yüksek güçlerdeki teğetler ve kotanjantlarla başlayalım. Tanjant ve kotanjantı çözmek için kullanılan yöntemler açısından bakıldığında, hemen hemen aynıdır, bu yüzden tanjant hakkında daha fazla konuşacağım, yani gösterilen integrali çözme yöntemi aynı zamanda kotanjant için de geçerlidir.
Yukarıdaki derste, evrensel trigonometrik ikame trigonometrik fonksiyonların belirli türdeki integrallerini çözmek için. Evrensel trigonometrik ikamenin dezavantajı, uygulamasının genellikle zor hesaplamalarla hantal integrallere yol açmasıdır. Ve bazı durumlarda evrensel trigonometrik ikameden kaçınılabilir!
Başka bir kurallı örneği ele alalım, sinüs bölü birliğin integrali:
Örnek 17
belirsiz integrali bulun
Burada evrensel trigonometrik ikameyi kullanabilir ve cevabı alabilirsiniz, ancak daha rasyonel bir yol var. Her adım için yorumlarla eksiksiz bir çözüm sunacağım:
(1) Trigonometrik sinüs formülünü kullanın çift açı.
(2) Yapay bir dönüşüm gerçekleştiririz: Paydada böler ve ile çarparız.
(3) tarafından iyi bilinen formül paydada kesri teğete çeviririz.
(4) Fonksiyonu diferansiyelin işaretinin altına getiriyoruz.
(5) İntegrali alıyoruz.
Kendi başınıza çözmeniz için birkaç basit örnek:
Örnek 18
belirsiz integrali bulun
İpucu: İlk adım, azaltma formülünü kullanmaktır. ve önceki örneğe benzer eylemleri dikkatlice gerçekleştirin.
Örnek 19
belirsiz integrali bulun
Pekala, bu çok basit bir örnek.
Dersin sonunda tam çözümler ve cevaplar.
Artık kimsenin integrallerle ilgili bir sorunu olmayacağını düşünüyorum:
vb.
Yöntemin arkasındaki fikir nedir? Buradaki fikir, dönüşümleri, trigonometrik formülleri, yalnızca teğetleri ve integraldeki tanjantın türevini düzenlemek için kullanmaktır. Yani, Konuşuyoruz değiştirme hakkında: . Örnek 17-19'da, aslında bu değiştirmeyi kullandık, ancak integraller o kadar basitti ki, eşdeğer bir eylemle yapıldı - işlevi diferansiyel işaretinin altına getirdi.
Daha önce de bahsettiğim gibi benzer bir akıl yürütme kotanjant için yapılabilir.
Yukarıdaki ikameyi uygulamak için resmi bir ön koşul da vardır:
Kosinüs ve sinüsün kuvvetlerinin toplamı negatif bir tam sayı ÇİFT sayıdır., örneğin:
bir integral için, bir tamsayı negatif ÇİFT sayı.
! Not : integral SADECE sinüs veya SADECE kosinüs içeriyorsa, integral negatif tek derece ile bile alınır (en basit durumlar Örnekler No. 17, 18'dedir).
Bu kural için birkaç anlamlı görev daha düşünün:
Örnek 20
belirsiz integrali bulun
Sinüs ve kosinüs derecelerinin toplamı: 2 - 6 \u003d -4 - negatif bir tam sayı ÇİFT sayı, bu, integralin teğetlere ve türevine indirgenebileceği anlamına gelir:
(1) Paydayı dönüştürelim.
(2) İyi bilinen formüle göre, elde ederiz.
(3) Paydayı dönüştürelim.
(4) Formülü kullanıyoruz .
(5) Fonksiyonu diferansiyel işaretinin altına getiriyoruz.
(6) Değiştirmeyi gerçekleştiriyoruz. Daha deneyimli öğrenciler değiştirme işlemini gerçekleştiremeyebilir, ancak yine de teğeti bir harfle değiştirmek daha iyidir - daha az karışıklık riski vardır.
Örnek 21
belirsiz integrali bulun
Bu bir kendin yap örneğidir.
Bekleyin, şampiyonluk turları başlıyor =)
Genellikle bütünleşmede bir "karmaşık" vardır:
Örnek 22
belirsiz integrali bulun
Bu integral başlangıçta bir teğet içerir ve bu da zaten tanıdık bir düşünceyi hemen akla getirir:
Yukarıda her şey söylendiği için yapay dönüşümü en başta ve geri kalan adımları yorumsuz bırakacağım.
Bağımsız bir çözüm için birkaç yaratıcı örnek:
Örnek 23
belirsiz integrali bulun
Örnek 24
belirsiz integrali bulun
Evet, elbette, sinüs, kosinüs derecelerini düşürebilirsiniz, evrensel trigonometrik ikameyi kullanabilirsiniz, ancak teğetlerle çizilirse çözüm çok daha verimli ve daha kısa olacaktır. Dersin sonunda tam çözüm ve cevaplar
Parçalara göre integral çözümlerinin örnekleri, integralinin bir polinom ve bir üs (e üzeri x) veya sinüs (sin x) veya kosinüs (cos x) ürünü olduğu ayrıntılı olarak ele alınır.
İçerikAyrıca bakınız: Parçalara göre entegrasyon yöntemi
belirsiz integraller tablosu
Belirsiz integralleri hesaplama yöntemleri
Temel temel fonksiyonlar ve özellikleri
Parça formülü ile entegrasyon
Bu bölümdeki örnekleri çözerken, parçalara göre entegrasyon formülü kullanılır:
;
.
Bir polinom ile sin x, cos x veya e x'in çarpımını içeren integral örnekleri
İşte bu tür integrallere örnekler:
, , .
Bu tür integralleri entegre etmek için, polinom u ve geri kalanı v dx ile gösterilir. Ardından, parçalara göre entegrasyon formülü uygulanır.
Aşağıda bu örneklerin ayrıntılı bir çözümü bulunmaktadır.
İntegral çözme örnekleri
Üslü örnek, e üzeri x kuvveti
İntegrali tanımlayın:
.
Üssü diferansiyel işareti altında tanıtıyoruz:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).
Parçalara göre entegre ediyoruz.
burada
.
Kalan integral de parçalara bölünebilir.
.
.
.
Sonunda elimizde:
.
Sinüs ile integral tanımlamaya bir örnek
İntegrali hesapla:
.
Sinüs'ü diferansiyelin işareti altında tanıtıyoruz:
Parçalara göre entegre ediyoruz.
burada u = x 2 , v = çünkü(2x+3), du = (
x2 )′
dx
Kalan integral de parçalara bölünebilir. Bunu yapmak için, diferansiyelin işaretinin altındaki kosinüsü tanıtıyoruz.
burada u = x, v = günah(2x+3), du = dx
Sonunda elimizde:
Bir polinom ve kosinüs ürününün bir örneği
İntegrali hesapla:
.
Kosinüsü diferansiyelin işareti altında tanıtıyoruz:
Parçalara göre entegre ediyoruz.
burada u = x 2+3x+5, v = günah2x, du = (
x 2 + 3 x + 5 )′
dx
Trigonometrik fonksiyonların integralleri.
Çözüm örnekleri
Üzerinde bu ders trigonometrik fonksiyonların integrallerini ele alacağız, yani integrallerin doldurulması çeşitli kombinasyonlarda sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant olacaktır. Tüm örnekler, bir çaydanlık için bile ayrıntılı, erişilebilir ve anlaşılır bir şekilde analiz edilecektir.
Trigonometrik fonksiyonların integrallerini başarılı bir şekilde incelemek için, en basit integraller konusunda bilgili olmanız ve bazı entegrasyon tekniklerinde ustalaşmanız gerekir. Bu materyallerle derslerde tanışabilirsiniz. Belirsiz integral. Çözüm örnekleri ve .
Ve şimdi ihtiyacımız var: integral tablosu, türev tablosu ve Trigonometrik formüllerin referans kitabı. Herşey öğretim yardımcıları sayfada bulabilirsiniz Matematiksel formüller ve tablolar. Her şeyi yazdırmanızı tavsiye ederim. özellikle dikkat ederim trigonometrik formüller, gözlerinin önünde olmalılar- onsuz, işin verimliliği gözle görülür şekilde azalacaktır.
Ama önce, bu makaledeki hangi integraller hakkında Numara. Burada formun integralleri yoktur, - kosinüs, sinüs çarpı bazı polinomlar (daha az sıklıkla, teğet veya kotanjantlı bir şey). Bu tür integraller parçalarla entegre edilir ve yöntemi öğrenmek için Parçalarla Entegrasyon dersini ziyaret edin. Çözüm örnekleri Ayrıca, "kemerler" - ark tanjantı, ark sinüs vb.
Trigonometrik fonksiyonların integrallerini bulurken birkaç yöntem kullanılır:
(4) Tablo formülünü kullanın , tek fark, "x" yerine karmaşık bir ifadeye sahip olmamızdır.
Örnek 2
Örnek 3
Belirsiz integrali bulun.
Sıralamalarda boğulanlar için türün bir klasiği. Muhtemelen fark ettiğiniz gibi, integral tablosunda tanjant ve kotanjant integrali yoktur, ancak yine de bu tür integraller bulunabilir.
(1) Trigonometrik formülü kullanıyoruz
(2) Fonksiyonu diferansiyelin işaretinin altına getiriyoruz.
(3) Tablo integralini kullanın .
Örnek 4
Belirsiz integrali bulun.
Bu kendi kendine çözme örneğidir, tam çözüm ve cevap dersin sonundadır.
Örnek 5
Belirsiz integrali bulun.
Seviyelerimiz yavaş yavaş artacaktır =).
Önce çözüm:
(1) formülü kullanıyoruz
(2) Temel trigonometrik özdeşliği kullanıyoruz , bundan şu sonucu çıkar .
(3) Payı payda terimine göre terime bölün.
(4) Belirsiz integralin doğrusallık özelliğini kullanıyoruz.
(5) Tabloyu kullanarak entegre ediyoruz.
Örnek 6
Belirsiz integrali bulun.
Bu kendi kendine çözme örneğidir, tam çözüm ve cevap dersin sonundadır.
Daha yüksek güçlerde olan teğet ve kotanjantların integralleri de vardır. Küpteki tanjantın integrali derste ele alınır. Bir uçak figürünün alanı nasıl hesaplanır? Dördüncü ve beşinci kuvvetlerdeki tanjantın (kotanjant) integralleri sayfasından elde edilebilir. karmaşık integraller.
İntegrand derecesinin azaltılması
Bu teknik, integraller sinüs ve kosinüslerle doldurulduğunda çalışır. Bile derece. Dereceyi azaltmak için trigonometrik formüller kullanılır. , and , ve son formül daha çok ters yönde kullanılır: .
Örnek 7
Belirsiz integrali bulun.
Çözüm:
Prensip olarak, formülü uygulamamız dışında burada yeni bir şey yok. (integrand derecesinin düşürülmesi). Lütfen çözümü kısalttığımı unutmayın. Deneyim kazanıldığından, integrali sözlü olarak bulunabilir, bu zaman kazandırır ve ödevleri bitirirken oldukça kabul edilebilir. Bu durumda, kuralı yazmamanız önerilir. , önce sözlü olarak 1'in integralini alıyoruz, sonra - of .
Örnek 8
Belirsiz integrali bulun.
Bu kendi kendine çözme örneğidir, tam çözüm ve cevap dersin sonundadır.
Derecede vaat edilen artış:
Örnek 9
Belirsiz integrali bulun.
Önce çözüm, sonra yorumlar:
(1) Formülü uygulamak için integrali hazırlayın .
(2) Aslında formülü uyguluyoruz.
(3) Paydanın karesini alıyoruz ve sabiti integral işaretinden alıyoruz. Biraz daha farklı yapılabilir, ama bence daha uygun.
(4) Formülü kullanıyoruz
(5) Üçüncü dönemde, dereceyi yine düşürürüz, ancak formülü kullanarak .
(6) getir benzer terimler(burada terimi terime böldüm ve ekleme yaptı).
(7) Aslında integrali alıyoruz, doğrusallık kuralı ve işlevi diferansiyelin işareti altına getirme yöntemi sözlü olarak gerçekleştirilir.
(8) Cevabı tarıyoruz.
! AT belirsiz integral genellikle cevap birkaç şekilde yazılabilir
Az önce ele alınan örnekte, son cevap farklı yazılabilir - parantezleri açın ve hatta bunu ifadeyi entegre etmeden önce yapın, yani örneğin aşağıdaki sonu oldukça kabul edilebilir:
Bu seçeneğin daha da uygun olması mümkündür, sadece kendime karar verdiğim şekilde açıkladım). Bağımsız bir çözüm için başka bir tipik örnek:
Örnek 10
Belirsiz integrali bulun.
Bu örnek iki şekilde çözülmüştür ve tamamen farklı iki cevap.(daha doğrusu, tamamen farklı görünecekler, ancak matematiksel açıdan eşdeğer olacaklar). En çok görmeyeceksin rasyonel yol ve diğer trigonometrik formülleri kullanarak parantez açmaktan muzdarip. En etkili çözüm dersin sonunda verilir.
Paragrafı özetleyerek, formun herhangi bir integralinin , Nerede ve - Bile sayı, integralin derecesi düşürülerek çözülür.
Pratikte 8 ve 10 dereceli integrallerle tanıştım, dereceyi birkaç kez düşürerek korkunç hemoroidlerini çözmek zorunda kaldım ve sonuçta uzun, uzun cevaplar aldım.
Değişken değiştirme yöntemi
Makalede belirtildiği gibi Belirsiz integralde değişken değişim yöntemi, değiştirme yöntemini kullanmanın ana ön koşulu, integralin bir fonksiyon ve onun türevini içermesidir:
(fonksiyonlar mutlaka üründe değildir)
Örnek 11
Belirsiz integrali bulun.
Türev tablosuna bakarız ve formülleri fark ederiz, yani integralimizde bir fonksiyon ve türevi var. Bununla birlikte, farklılaşırken, kosinüs ve sinüsün karşılıklı olarak birbirine dönüştüğünü görüyoruz ve soru ortaya çıkıyor: değişken değişikliği nasıl yapılır ve ne için atanır - sinüs veya kosinüs ?! Soru, bilimsel dürtme yöntemiyle çözülebilir: değiştirmeyi yanlış yaparsak, bundan iyi bir şey çıkmaz.
Genel yönerge: benzer durumlarda, paydadaki işlevi belirtmeniz gerekir.
Çözümü kesiyoruz ve bir değiştirme gerçekleştiriyoruz
Paydada, bizim için her şey yolunda, her şey sadece bağlı , şimdi neye dönüşeceğini bulmaya devam ediyor.
Bunu yapmak için diferansiyeli buluruz:
Veya kısaca:
Ortaya çıkan eşitlikten orantı kuralına göre ihtiyacımız olan ifadeyi ifade ediyoruz:
Yani:
Şimdi tüm integral sadece buna bağlı ve çözüme devam edebiliriz
Hazır. Değiştirmenin amacının integrali basitleştirmek olduğunu hatırlatırım, bu durumda her şey güç fonksiyonunu masanın üzerine entegre etmeye gelir.
Bu örneği bu kadar detaylı çizmem tesadüf değil, ders materyallerini tekrarlamak ve pekiştirmek için yapıldı. Belirsiz integralde değişken değişim yöntemi.
Ve şimdi bağımsız bir çözüm için iki örnek:
Örnek 12
Belirsiz integrali bulun.
Örnek 13
Belirsiz integrali bulun.
Dersin sonunda tam çözümler ve cevaplar.
Örnek 14
Belirsiz integrali bulun.
Burada yine integralde, kosinüslü bir sinüs var (türevli bir fonksiyon), ancak zaten üründe ve bir ikilem ortaya çıkıyor - sinüs veya kosinüs ne için belirtilecek?
Bilimsel dürtme yöntemini kullanarak bir değiştirme yapmayı deneyebilirsiniz ve hiçbir şey işe yaramazsa, onu başka bir işlev olarak atayın, ancak var:
Genel yönerge: çünkü mecazi anlamda "rahatsız edici bir konumda" olan işlevi belirlemeniz gerekir..
içinde görüyoruz bu örnek kosinüs öğrencisi dereceden “acı çeker” ve sinüs kendi başına böyle serbestçe oturur.
Öyleyse bir ikame yapalım:
Değişken değiştirme algoritması ve diferansiyeli bulma konusunda hala zorluk yaşayan varsa, derse dönmelisiniz. Belirsiz integralde değişken değişim yöntemi.
Örnek 15
Belirsiz integrali bulun.
İntegrantı analiz ediyoruz, ne ile gösterilmelidir?
Yönergelerimize bir göz atalım:
1) İşlev büyük olasılıkla paydadadır;
2) İşlev "rahatsız edici bir konumda".
Bu arada, bu yönergeler sadece trigonometrik fonksiyonlar için geçerli değildir.
Her iki kriterde de (özellikle ikincisinde), sinüs uyuyor, bu yüzden bir değiştirme kendini öneriyor. Prensip olarak, değiştirme zaten yapılabilir, ancak önce ne yapacağını bulmak güzel olur mu? İlk olarak, bir kosinüsü "belirliyoruz":
"Gelecek" farklılığımız için ayırıyoruz
Ve ana dili kullanarak sinüs yoluyla ifade ederiz. trigonometrik kimlik:
Şimdi işte yedek:
Genel kural: İntegralde trigonometrik fonksiyonlardan biri (sinüs veya kosinüs) ise garip derece, o zaman tek dereceden bir işlevi “ısırmanız” ve arkasında başka bir işlev belirlemeniz gerekir. Sadece kosinüs ve sinüslerin olduğu integrallerden bahsediyoruz.
Ele alınan örnekte, tek derecede bir kosinüsümüz vardı, bu yüzden dereceden bir kosinüs çıkardık ve sinüsü gösterdik.
Örnek 16
Belirsiz integrali bulun.
Seviyeler yükseliyor =).
Bu bir kendin yap örneğidir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.
Evrensel trigonometrik ikame
Evrensel trigonometrik ikame, değişken yönteminin değiştirilmesinin yaygın bir durumudur. "Ne yapacağınızı bilmiyorsanız" uygulamayı deneyebilirsiniz. Ama aslında, uygulaması için bazı yönergeler var. Evrensel trigonometrik ikamenin uygulanması gereken tipik integraller aşağıdaki integrallerdir: , , , vb.
Örnek 17
Belirsiz integrali bulun.
Bu durumda evrensel trigonometrik ikame aşağıdaki şekilde uygulanır. Değiştirelim: . Harfi kullanmıyorum ama harfi, bu bir tür kural değil, sadece tekrar karar vermeye çok alışığım.
Burada eşitlikten diferansiyeli bulmak daha uygundur, şunu ifade ediyorum:
Ark tanjantının her iki kısmına da asılırım:
Arktanjant ve teğet birbirini götürür:
Böylece:
Uygulamada, bu kadar ayrıntılı olarak boyayamazsınız, ancak bitmiş sonucu kullanabilirsiniz:
! İfade, yalnızca sinüs ve kosinüs altında, integral için sadece "x" varsa geçerlidir. (ki bundan sonra bahsedeceğiz) her şey biraz farklı olacak!
Sinüs ve kosinüsleri değiştirirken, aşağıdaki kesirlere dönüşürüz:
, , bu eşitlikler iyi bilinen trigonometrik formüllere dayanmaktadır: ,
Yani temizlik şöyle görünebilir:
Evrensel bir trigonometrik ikame yapalım: