Pamokos santrauka neapibrėžto integralo tema. Atvira algebros pamoka
Klasė: 11
Pamokos pristatymas
Atgal į priekį
Dėmesio! Skaidrės peržiūra skirta tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visos pristatymo apimties. Jei jus domina šis darbas, atsisiųskite pilną versiją.
Technologinis algebros pamokos žemėlapis 11 klasė.
„Žmogus gali atpažinti savo sugebėjimus tik bandydamas juos pritaikyti“.
Seneka jaunesnioji.
Valandų skaičius skyriuje: 10 valandų.
Blokuoti temą: antidariniai ir neapibrėžtas integralas.
Pagrindinė pamokos tema:žinių ir bendrųjų ugdymosi įgūdžių formavimas per tipinių, apytikslių ir kelių lygių užduočių sistemą.
Pamokos tikslai:
- Švietimo: formuoti ir įtvirtinti antidarinės sampratą, rasti įvairaus lygio antideriatyvines funkcijas.
- Kuriama: vystytis protinė veikla studentai, remdamiesi analizės, palyginimo, apibendrinimo, sisteminimo operacijomis.
- Švietimas: formuoti mokinių pasaulėžiūrines pažiūras, ugdyti atsakomybę už rezultatą, sėkmės jausmą.
Pamokos tipas: mokytis naujos medžiagos.
Mokymo metodai: verbalinis, verbalinis-vaizdinis, probleminis, euristinis.
Studijų formos: individualus, porinis, grupinis, bendroji klasė.
Mokymosi priemonės: informacinis, kompiuteris, epigrafas, Dalomoji medžiaga.
Tikėtini mokymosi rezultatai: studentas privalo
- išvestinės apibrėžimas
- antidarinys apibrėžiamas dviprasmiškai.
- rasti antiderivatines funkcijas paprasčiausiais atvejais
- patikrinkite, ar funkcijos antidarinys tam tikru laiko intervalu.
PAMOKOS STRUKTŪRA:
- Pamokos tikslo nustatymas (2 min.)
- Pasiruošimas mokytis naujos medžiagos (3 min.)
- Pažintis su nauja medžiaga (25 min.)
- Pirminis apmąstymas ir to, kas išmokta, pritaikymas (10 min.)
- pastatymas namų darbai(2 minutės)
- Pamokos apibendrinimas (3 min.)
- Rezervuoti užduotis.
Per užsiėmimus
1. Temos žinutė, pamokos tikslas, užduotys ir edukacinės veiklos motyvacija.
Ant rašymo lentos:
*** Darinys – „gamina“ į pasaulį nauja funkcija. Primityvus – pirminis vaizdas.
2. Žinių aktualizavimas, žinių sisteminimas lyginant.
Diferenciacija – išvestinės radimas.
Integracija yra funkcijos atkūrimas tam tikra išvestine.
Įvadas į naujus personažus:
* pratimai žodžiu: vietoj taškų uždėkite kokią nors lygybę tenkinančią funkciją (žr. pristatymą) -savarankiškas darbas.
(šiuo metu 1 mokinys lentoje rašo diferenciacijos formules, 2 mokiniai – diferenciacijos taisykles).
- savikontrolę atlieka studentai.(individualus darbas)
- mokinių žinių atnaujinimas.
3. Naujos medžiagos mokymasis.
A) Matematikos abipusiai veiksmai.
Mokytojas: matematikoje yra 2 tarpusavyje atvirkštiniai veiksmai. Pažvelkime į palyginimą.
B) Abipusės operacijos fizikoje.
Mechanikos skyriuje nagrinėjamos dvi viena kitai atvirkštinės problemos. Greičio nustatymas pagal pateiktą materialaus taško judėjimo lygtį (funkcijos išvestinės radimas) ir judėjimo išilgai trajektorijos lygties radimas gerai žinoma formulė greitis.
1 pavyzdys 140 psl. - darbas su vadovėliu (individualus darbas).
Išvestinės suradimo tam tikros funkcijos atžvilgiu procesas vadinamas diferenciacija, o atvirkštinis veiksmas, t. y. funkcijos radimo tam tikros išvestinės atžvilgiu procesas – integracija.
C) Pateikiamas antidarinio apibrėžimas.
Mokytojas: Kad užduotis taptų konkretesnė, turime pataisyti pradinę situaciją.
Gebėjimo rasti primityvumą formavimo užduotys – darbas grupėse. (žr. pristatymą)
Gebėjimo įrodyti, kad antidarinys yra funkcijai tam tikru intervalu, formavimo užduotys – darbas poromis. (žr. pristatymą)
4. Pirminis to, kas buvo išmokta, supratimas ir taikymas.
Pavyzdžiai su sprendimais „Surask klaidą“ – individualus darbas.(Žr. pristatymą)
*** Atlikite kryžminį patikrinimą.
Išvada: atliekant šias užduotis nesunku pastebėti, kad antidarinys nustatomas dviprasmiškai.
5. Namų darbų ruošimas
Perskaitykite aiškinamąjį tekstą 4 skyriaus 20 pastraipą, įsiminkite apibrėžimą 1. primityvus, spręskite Nr. 20.1 -20.5 (c, d) - visiems privaloma užduotis Nr. 20.6 (b), 20.7 (c, d), 20.8 ( b), 20.9 (b) – 4 pasirinkimo pavyzdžiai.
6. Pamokos apibendrinimas.
Frontalinės apklausos metu kartu su mokiniais apibendrinami pamokos rezultatai, sąmoningas naujos medžiagos sampratos suvokimas gali būti jaustukų pavidalu.
Viską suprato, viską tvarkė.
Iš dalies nesuprato (a), nespėjo visko padaryti.
7. Rezervuoti užduotis.
Visai klasei anksti įvykdžius aukščiau pasiūlytas užduotis, siekiant užtikrinti labiausiai pasirengusių mokinių užimtumą ir tobulėjimą, taip pat numatoma panaudoti užduotis Nr. 20.6 (a), 20.7 (a), 20.9 (a).
Literatūra:
- A.G. Mordkovičius, P.V. Semenovas, analizės algebra, profilio lygis, 1 dalis, 2 dalis probleminė knyga, Manvelov S. G. „Pamokos kūrybinio ugdymo pagrindai“.
Tema: Antidarinis ir neapibrėžtas integralas.
Tikslas: mokiniai tikrins ir įtvirtins žinias bei įgūdžius tema „Antivedinis ir neapibrėžtas integralas“.
Užduotys:
edukacinis : išmokite skaičiuoti antidarinius, o ne apibrėžtieji integralai naudojant savybes ir formules;
Švietimo : vystysis kritinis mąstymas gebės stebėti ir analizuoti matematines situacijas;
Švietimo : mokiniai mokosi gerbti kitų nuomonę, gebėjimą dirbti grupėje.
Tikėtinas rezultatas:
Jie gilins ir sistemins teorines žinias, ugdys pažintinį domėjimąsi, mąstymą, kalbą, kūrybiškumą.
Tipas : konsolidavimo pamoka
Forma: priekinis, individualus, porinis, grupinis.
Mokymo metodai : iš dalies tiriamasis, praktiškas.
Žinių metodai : analizė, loginis, palyginimas.
Įranga: vadovėlis, lentelės.
Studentų vertinimas: savęs vertinimas ir įsivertinimas, vaikų stebėjimas per
pamokos laikas.
Per užsiėmimus.
Skambinti.
Tikslų nustatymas:
Jūs ir aš galime nubraižyti kvadratinės funkcijos grafiką, galime išspręsti kvadratines lygtis ir kvadratinės nelygybės, taip pat išspręsti tiesinių nelygybių sistemas.
Kaip manote, kokia bus šios dienos pamokos tema?
Kūrimas Geros nuotaikos pamokoje. (2–3 min.)
Nupiešk nuotaiką:Žmogaus nuotaika pirmiausia atsispindi jo veiklos produktuose: piešiniuose, pasakojimuose, pasisakymuose ir kt. „Mano nuotaika“:ant bendro piešimo popieriaus lapo pieštukų pagalba kiekvienas vaikas nupiešia savo nuotaiką juostelės, debesėlio, dėmės pavidalu (per minutę).
Tada lapai perkeliami. Kiekvieno užduotis – nustatyti draugo nuotaiką ir ją papildyti, užbaigti. Tai tęsiasi tol, kol lapai grįžta savininkams.
Po to aptariamas gautas piešinys.
ašII. Frontali studentų apklausa: „Faktas ar nuomonė“ 17 min
1. Suformuluokite antidarinio apibrėžimą.
2. Kuri iš funkcijųyra šios funkcijos antidariniai
3. Įrodykite, kad funkcijayra funkcijos antidarinysintervale (0;∞).
4. Suformuluokite pagrindinę antidarinio savybę. Kaip ši savybė interpretuojama geometriškai?
5. Dėl funkcijosraskite antidarinį, kurio grafikas eina per tašką. (Atsakymas:F( x) = tgx + 2.)
6. Suformuluokite antidarinio suradimo taisykles.
7. Suformuluokite teoremą apie kreivinės trapecijos plotą.
8. Užrašykite Niutono-Leibnizo formulę.
9. Kas yra geometrine prasme integralas?
10. Pateikite integralo taikymo pavyzdžių.
11. Atsiliepimas: "Plius-minus-įdomu"
IV. Individualus darbas poromis su kolegų peržiūra: 10 min
Išspręskite #5,6,7
V. Praktinis darbas: spręskite sąsiuvinyje. 10 min
Išspręskite #8-10
VI. Pamokos rezultatai. Įvertinimas (OdO, OO). 2 minutės
VII. Namų darbai: 1 p. Nr 11,12 1 min
VIII. Atspindys: 2 min
Pamoka:
Mane patraukė...
Atrodė įdomiai...
Susijaudinęs…
Privertė susimąstyti...
Privertė susimąstyti...
Kas tau paliko didžiausią įspūdį?
Ar šioje pamokoje įgytos žinios jums pravers vėliau gyvenime?
Ką naujo išmokote pamokoje?
Ką reikia atsiminti?
10. Daugiau darbų
11 klasėje turėjau pamoką šia tema„Antidarinys ir neapibrėžtas integralas“, tai pamoka apie temos taisymą.
Užduotys, kurias reikia išspręsti pamokos metu:
išmokti skaičiuoti primityviuosius ir neapibrėžtuosius integralus naudojant savybes ir formules; lavins kritinį mąstymą, gebės stebėti ir analizuoti matematines situacijas; mokiniai mokosi gerbti kitų nuomonę, gebėjimą dirbti grupėje.
Po pamokos tikėjausi tokio rezultato:
Mokiniai gilins ir sistemins teorines žinias, ugdys pažintinį susidomėjimą, mąstymą, kalbą, kūrybiškumą.
Sudaryti sąlygas plėtoti praktinius ir kūrybiškas mąstymas. Ugdyti atsakingą požiūrį į ugdomąjį darbą, ugdyti pagarbos jausmą tarp mokinių siekiant maksimaliai išnaudoti savo gebėjimus mokantis grupėje
Pamokoje ji naudojo frontalinį, individualų, porinį, grupinį darbą.
Šią pamoką suplanavau siekdamas sustiprinti mokiniams antidarinio ir neapibrėžto integralo sampratą.
Manau, kad pamokos pradžioje sukūriau plakatą „Nupiešk nuotaiką“ puikiai.Žmogaus nuotaika visų pirma atsispindi jo veiklos produktuose: piešiniuose, pasakojimuose, pasisakymuose ir kt. „Mano nuotaika“: kadaant bendro piešimo popieriaus lapo pieštukų pagalba kiekvienas vaikas nupieši savo nuotaiką (per minutę).
Tada popierius sukasi ratu. Kiekvieno užduotis – nustatyti draugo nuotaiką ir ją papildyti, užbaigti. Tai tęsiasi tol, kol paveikslėlis ant popieriaus grįš savininkui.Po to aptariamas gautas piešinys. Kiekvienas vaikas galėjo parodyti savo nuotaiką ir pradėti dirbti pamokoje.
Kitame pamokos etape, taikydami metodą „Faktas ar nuomonė“, mokiniai bandė įrodyti, kad visos sąvokos tam tikra tema yra faktas, bet ne jų asmeninė nuomonė. Sprendžiant pavyzdžius šia tema užtikrinamas suvokimas, supratimas ir įsiminimas. Formuojamos holistinės pirmaujančių žinių šia tema sistemos.
Žinių kontrolės ir savityros metu atskleidžiama žinių kokybė ir įvaldymo lygis bei veiksmų metodai, numatomas jų koregavimas.
Į pamokos struktūrą įtraukiau dalinę paieškos užduotį. Vaikai iškilusias problemas sprendė patys. Mes pasitikrinome save grupėje. Gautas individualus patarimas. Nuolat ieškau naujų darbo su vaikais technikų ir metodų. Idealiu atveju norėčiau, kad kiekvienas vaikas pats suplanuotų savo veiklą pamokoje ir po jos atsakytų į klausimus: noriu pasiekti tam tikras aukštumas ar ne, ar man reikia ugdymo aukštas lygis arba ne. Šios pamokos pavyzdžiu bandžiau parodyti, kad vaikas pats gali nustatyti ir temą, ir pamokos eigą.Kad jis pats galėtų koreguoti savo veiklą ir mokytojo veiklą taip, kad pamoka ir papildomi užsiėmimai atitiktų jo poreikius.
Rinkdamasis vienokio ar kitokio pobūdžio užduotis, atsižvelgiau į pamokos tikslą, turinį ir sunkumus. mokomoji medžiaga, pamokos tipas, mokymo būdai ir metodai, amžius ir psichologinės savybės studentai.
Tradicinėje ugdymo sistemoje, kai mokytojas pateikia jau paruoštas žinias, o mokiniai jas pasyviai įsisavina, refleksijos klausimas dažniausiai nekeliamas.
Manau, kad darbas ypač gerai pasirodė sudarant refleksiją „Ką aš išmokau (a) pamokoje ...“. Ši užduotis sukėlė ypatingą susidomėjimą ir padėjosuprasti, kaip geriausia organizuoti šį darbą kitoje pamokoje.
Manau, kad savęs ir tarpusavio vertinimas nepasiteisino, mokiniai pervertino savo ir bendražygių pažymius.
Analizuodama pamoką supratau, kad mokiniai puikiai suvokė formulių reikšmę ir jų taikymą sprendžiant bei išmoko naudoti skirtingas strategijas skirtinguose pamokos etapuose.
Noriu vesti kitą pamoką apie šešių skrybėlių strategiją ir vesti drugelio apmąstymą, kuris leis visiemsIšsakyk savo nuomonę, užsirašyk.
Pamokos tema: „Antivedinys ir integralas“ 11 klasė (apžvalga)
Pamokos tipas: žinių vertinimo ir koregavimo pamoka; kartojimas, apibendrinimas, žinių, įgūdžių formavimas.
Pamokos šūkis : Ne gėda nežinoti, gėda neišmokti.
Pamokos tikslai:
- Pamokos: kartoti teorinę medžiagą; lavinti kreivinių trapecijų antidarinių radimo, integralų ir plotų skaičiavimo įgūdžius.
- Kuriama: ugdyti savarankiško mąstymo įgūdžius, intelektinius įgūdžius (analizė, sintezė, palyginimas, palyginimas), dėmesį, atmintį.
- Švietimas: mokinių matematinės kultūros ugdymas, susidomėjimo studijuojama medžiaga didinimas, pasiruošimas UNT.
Pamokos planas.
II. Mokinių pagrindinių žinių atnaujinimas.
1. Žodinis darbas su klase siekiant pakartoti apibrėžimus ir savybes:
1. Kas vadinama kreivine trapecija?
2. Kokia yra funkcijos f(x)=x2 antidarinė.
3. Koks yra funkcijos pastovumo ženklas?
4. Kas vadinama funkcijos f(x) ant xI antidariniu F(x)?
5. Kokia yra funkcijos f(x)=sinx antidarinė.
6. Ar teisingas teiginys: „Funkcijų sumos antiderivatinė lygi jų antidarinių sumai“?
7. Kokia yra pagrindinė antidarinio savybė?
8. Kokia yra funkcijos f(x)= antidarinė.
9. Ar teisingas teiginys: „Funkcijų sandaugos antidarinė lygi jų sandaugai
Primityvūs?
10. Kas vadinama neapibrėžtuoju integralu?
11. Kas vadinama apibrėžtuoju integralu?
12. Išvardinkite kelis apibrėžtojo integralo panaudojimo geometrijoje ir fizikoje pavyzdžius.
Atsakymai
1. Figūra, apribota funkcijų y=f(x), y=0, x=a, x=b grafika, vadinama kreivine trapecija.
2. F(x)=x3/3+С.
3. Jei kuriame nors intervale F`(x0)=0, tai funkcija F(x) šiame intervale yra pastovi.
4. Funkcija F(x) vadinama funkcijos f(x) antiderivatine tam tikrame intervale, jei visiems x iš šio intervalo F`(x)=f(x).
5. F(x)= - cosx+C.
6. Taip, tai tiesa. Tai viena iš primityvų savybių.
7. Bet kokia funkcijos f antidarinė tam tikrame intervale gali būti parašyta kaip
F(x)+C, kur F(x) yra vienas iš funkcijos f(x) antidarinių tam tikrame intervale, o C yra
Savavališka konstanta.
9. Ne, netiesa. Tokios primityvų savybės nėra.
10. Jei funkcija y \u003d f (x) tam tikrame intervale turi antidarinį y \u003d F (x), tai visų antidarinių aibė y \u003d F (x) + C vadinama neapibrėžtuoju funkcijos integralu. y \u003d f (x).
11. Skirtumas tarp antidarinės funkcijos reikšmių taškuose b ir a funkcijai y \u003d f (x) intervale [ a ; b ] vadinamas funkcijos f(x) apibrėžtuoju integralu intervale [ a; b].
12.. Kreivinės trapecijos ploto, kūnų tūrių ir kūno greičio per tam tikrą laikotarpį apskaičiavimas.
Integralo taikymas. (Papildomai rašykite į sąsiuvinius)
Kiekiai
Išvestinis skaičiavimas
Integralinis skaičiavimas
s - poslinkis,
A – pagreitis
A(t) =
Darbas,
F - stiprumas,
N - galia
F(x) = A"(x)
N(t) = A"(t)
m yra plono strypo masė,
Linijos tankis
(x) = m"(x)
q - elektros krūvis,
Aš – srovės stiprumas
I(t) = q(t)
Q yra šilumos kiekis
C - šiluminė talpa
c(t) = Q"(t)
Antidarinių skaičiavimo taisyklės
- Jei F yra f antidarinys, o G yra g antidarinys, tai F+G yra f+g antidarinys.
Jei F yra f antidarinys, o k yra konstanta, tai kF yra kf antidarinys.
Jei F(x) yra f(x) antidarinė, ak, b yra konstantos, o k0, tai yra, yra f(kx+b) antidarinė.
^ 4) – Niutono-Leibnizo formulė.
5) Figūros plotas S, apribotas tiesių x-a, x=b ir tolydžių funkcijų grafikais intervale ir toks, kad visiems x apskaičiuojamas pagal formulę
6) Kūnų tūriai, susidarę sukant kreivinę trapeciją, apribotą kreivės y = f (x), ašies Ox ir dviejų tiesių x = a ir x = b aplink ašis Ox ir Oy, apskaičiuojami atitinkamai pagal formules:
Raskite neapibrėžtą integralą:(žodžiu)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Atsakymai:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
III Užduočių sprendimas su klase
1. Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą: (sąsiuviniuose vienas mokinys lentoje)
Užduotys brėžiniams su sprendimais:
№ 1. Raskite kreivinės trapecijos, apribotos tiesėmis y= x3, y=0, x=-3, x=1, plotą.
Sprendimas.
-∫ x3 dx + ∫ x3 dx = - (x4/4) | + (x4 /4) | = (-3) 4/4 + 1/4 = 82/4 = 20,5
№3. Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja tiesės y=x3+1, y=0, x=0
№ 5.Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos y \u003d 4 -x2, y \u003d 0,
Sprendimas. Pirmiausia nubraižykime grafiką, kad nustatytų integracijos ribas. Figūra susideda iš dviejų vienodų dalių. Apskaičiuokite dalies, esančios dešinėje nuo y ašies, plotą ir padvigubinkite.
№ 4.Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą tiesių y=1+2sin x, y=0, x=0, x=n/2
F(x) = x - 2cosx; S = F(p/2) - F(0) = p/2 -2cos p/2 - (0 - 2cos0) = p/2 + 2
Apskaičiuokite kreivinių trapecijų, apribotų jums žinomų linijų grafikais, plotą.
3. Apskaičiuokite nuspalvintų figūrų plotus iš figūrų ( savarankiškas darbas poromis)
Užduotis: Apskaičiuokite užtamsintos figūros plotą
Užduotis: Apskaičiuokite užtamsintos figūros plotą
III Pamokos rezultatai.
a) apmąstymas: -Kokias išvadas iš pamokos padarėte sau?
Ar kiekvienas turi ką dirbti savarankiškai?
Ar pamoka jums buvo naudinga?
b) studentų darbų analizė
c) Namuose: pakartokite visų antidarinių formulių savybes, kreivinės trapecijos ploto nustatymo formules, apsisukimų kūnų tūrius. Nr. 136 (Shynybekov)
ATVIRA PAMOKA TEMA
« BENDRASIS IR NENUMATYTAS INTEGRALAS.
NENUSTATYTO INTEGRALO SAVYBĖS“.
2 valandos.
11a klasė su giliomis matematikos studijomis
Problemos pristatymas.
Problemų paieškos mokymosi technologijos.
PIRMINIS IR NENUMATYTAS INTEGRALAS.
NENUSTATYTO INTEGRALO SAVYBĖS.
PAMOKOS TIKSLAS:
Suaktyvinti protinę veiklą;
Prisidėti prie tyrimo metodų įsisavinimo
- užtikrinti solidesnį žinių įsisavinimą.
PAMOKOS TIKSLAI:
supažindinti su antidarinio sąvoka;
įrodyti teoremą apie duotosios funkcijos antidarinių aibę (naudojant antidarinės apibrėžimą);
pateikti neapibrėžto integralo apibrėžimą;
įrodyti neapibrėžtinio integralo savybes;
ugdyti neapibrėžtinio integralo savybių naudojimo įgūdžius.
PARENGIMAS DARBAS:
pakartokite diferenciacijos taisykles ir formules
diferencialo samprata.
Siūloma spręsti problemas. Uždaviniai užrašomi lentoje.
Mokiniai pateikia atsakymus į 1, 2 uždavinius.
(Atnaujinama diferencialo naudojimo problemų sprendimo patirtis
citata).
1. Kūno judėjimo dėsnis S(t) , raskite jo momentinį
greičiu bet kuriuo metu.
- V(t) = S(t).
2. Žinant, kad tekančios elektros kiekis
per laidininką išreiškiamas formule q (t) = 3t - 2t,
gaukite formulę srovės stiprumui apskaičiuoti bet kurioje
laiko taškas t.
- I (t) = 6t - 2.
3 . Žinodami judančio kūno greitį kiekvienu laiko momentu
kad surasčiau jo judėjimo dėsnį.
Žinant, kad srovės, einančios per laidininką, stiprumas bet kuriame
nustatant praeinančios elektros kiekį
per laidininką.
Mokytojas: Ar įmanoma išspręsti 3 ir 4 uždavinius naudojant?
turimų lėšų?
(Probleminės situacijos kūrimas).
Mokiniai spėja:
- Norint išspręsti šią problemą, būtina atlikti operaciją,
priešinga diferenciacijai.
Atskyrimo operacija lyginama su duotuoju
funkcija F (x) jos išvestinė.
F(x) = f(x).
Mokytojas: Kokia yra diferenciacijos užduotis?
Mokinių išvada:
Remdamiesi duota funkcija f (x), raskite tokią funkciją
F (x) kurio išvestinė yra f (x) , t.y.
f(x) = F(x) .
Ši operacija vadinama integracija, tiksliau
neterminuota integracija.
Matematikos skyrius, nagrinėjantis integruojančių funkcijų veikimo savybes ir jų pritaikymą fizikos ir geometrijos uždaviniams spręsti, vadinamas integraliniu skaičiavimu.
Integralinis skaičiavimas _ yra atkarpa matematinė analizė, kartu su diferencialiniu skaičiavimu jis sudaro matematinės analizės aparato pagrindą.
Integralinis skaičiavimas atsirado apsvarstant didelis skaičius gamtos mokslų ir matematikos problemas. Svarbiausia iš jų yra fizinė problema, kaip nustatyti atstumą, nuvažiuotą per tam tikrą laiką žinomu, bet galbūt kintamu judėjimo greičiu, ir daug senesnė problema – geometrinių figūrų plotų ir tūrių skaičiavimas.
Koks yra šios atvirkštinės operacijos neapibrėžtumas, dar reikia išsiaiškinti.
Pateikiame apibrėžimą. (trumpai simboliškai parašyta
Ant stalo).
Apibrėžimas 1. Funkcija F (x), apibrėžta tam tikru intervalu
ke X, vadinamas pateiktos funkcijos antidariniu
tuo pačiu intervalu, jei visiems x X
lygybė
F(x) = f (x) arba d F(x) = f (x) dx .
Pavyzdžiui. (x) = 2x, ši lygybė reiškia, kad funkcija
x yra visos skaičių eilutės antidarinys
2x funkcijai.
Naudodamiesi antidarinio apibrėžimu, atlikite pratimą
Nr.2 (1,3,6) . Patikrinkite, ar funkcija F yra antidarinė
noah funkcijai f, jei
1) F(x) =
2 cos 2x , f (x) = x - 4 nuodėmė 2x .
2) F(x) = tg x - cos 5x, f (x) =
+ 5 nuodėmė 5x.
3) F(x) = x sin x +
, f(x) = 4x sinx + x cosx +
.
Pavyzdžių sprendimus mokiniai rašo lentoje, komentuoja
vairuodamas savo veiksmus.
Ar funkcija x yra vienintelė antidarinė
funkcijai 2x?
Mokiniai pateikia pavyzdžių
x + 3; x - 92 ir kt. ,
Mokiniai daro savo išvadas:
Kiekviena funkcija turi be galo daug antidarinių.
Bet kuri x + C formos funkcija, kur C yra koks nors skaičius,
yra x antidarinys.
Antiderivatinė teorema užrašoma į sąsiuvinį diktuojant
mokytojai.
Teorema. Jei funkcija f intervale turi antidarinį
F, tada bet kuriam skaičiui C taip pat funkcija F + C
yra f antidarinys. Kiti primityvūs
funkcija f ant X ne.
Įrodinėjimą atlieka mokiniai, vadovaujami mokytojo.
a) Nes Tada F yra f antidarinys intervale X
F(x) = f(x) visiems x X.
Tada x X bet kuriam C turime:
(F(x) + C) = f(x) . Tai reiškia, kad F (x) + C taip pat yra
antidarinys f ant X.
b) Įrodykime, kad kitiems X antidariniams funkcija f
neturi.
Tarkime, kad Ф taip pat yra f ant X antidarinys.
Tada Ф(x) = f (x) ir todėl visiems x X turime:
Ф (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0, todėl
Ф - F yra X pastovus. Tegul Ф (x) - F (x) = C, tada
Ф (x) = F (x) + C, taigi bet koks antidarinys
Funkcija f ant X turi formą F + C.
Mokytojas: kokia užduotis surasti visus prototipus
šiai funkcijai?
Mokiniai daro tokią išvadą:
Išspręsta visų antidarinių suradimo problema
surasti bet kurį: jei toks a
randamas skirtingas, tada iš jo gaunamas bet koks kitas
pridedant konstantą.
Mokytojas suformuluoja neapibrėžto integralo apibrėžimą.
Apibrėžimas 2. Funkcijos f visų antidarinių aibė
vadinamas neapibrėžtuoju to integralu
funkcijas.
Paskyrimas.
; - skaitomas integralas.
= F (x) + C, kur F yra vienas iš antidarinių
f , C eina per aibę
realūs skaičiai.
f - integrandas;
f (x)dx – integrandas;
x - integravimo kintamasis;
C yra integracijos konstanta.
Mokiniai patys iš vadovėlio tiria neapibrėžtinio integralo savybes ir jas išrašo į sąsiuvinį.
.
Mokiniai rašo sprendimus į sąsiuvinius, dirbdami prie lentos
Pamokos tema : Primityvus. Neapibrėžtas integralas ir jo savybės
Pamokos tikslai:
Švietimas:
supažindinti mokinius su antidarinio ir neapibrėžtinio integralo sąvokomis, pagrindine antidarinio savybe bei antidarinio ir neapibrėžtinio integralo radimo taisyklėmis.
Kuriama:
ugdyti savarankiško darbo įgūdžius,
suaktyvinti protinę veiklą, matematinę kalbą.
Švietimas:
ugdyti atsakomybės už atliekamo darbo kokybę ir rezultatą jausmą;
formuoti atsakomybę už galutinį rezultatą.
Tipas pamoka : naujų žinių pranešimai
Elgesio metodas : žodinis, vizualinis, savarankiškas darbas.
Saugumas pamoka :
Daugialypės terpės įranga ir programinė įranga pristatymams ir vaizdo įrašams rodyti;
Dalomoji medžiaga: paprastų integralų lentelė (konsolidavimo etape).
Pamokos struktūra.
1. Organizacinis momentas (2 min.)
Motyvacija mokymosi veikla. (5 min.)
Naujos medžiagos pristatymas. (50 min.)
Studijuotos medžiagos konsolidavimas. (25 min.)
Apibendrinant pamoką. Atspindys. (6 min.)
Namų darbų žinutė. (2 min.)
Kurso eiga.
Laiko organizavimas. (2 minutės.)
mokymo metodai
Mokymo technikos
Mokytojas sveikina mokinius, tikrina esančius auditorijoje.
Mokiniai ruošiasi darbui. Vadovas pildo ataskaitą. Pareigūnai dalija dalomąją medžiagą.
Motyvacija edukacinei veiklai. 5 minutės.)
mokymo metodai
Mokymo technikos
Šios dienos pamokos tema„Senovinis.Neapibrėžtas integralas ir jo savybės“.(1 skaidrė)
Šios temos žiniomis mes naudosimės tolesnėse pamokose, kai ieškosime tam tikrų integralų, plokščių figūrų plotų. Daug dėmesio skiriama integraliniam skaičiavimui atkarpose aukštoji matematika aukštesnėje švietimo įstaigų sprendžiant taikomąsias problemas.
Mūsų šiandienos pamoka yra naujos medžiagos studijavimo pamoka, todėl ji bus teorinio pobūdžio. Pamokos tikslas – formuoti idėjas apie integralų skaičiavimą, suprasti jo esmę, lavinti įgūdžius ieškant antidarinių ir neapibrėžtųjų integralų.(2 skaidrė)
Mokiniai užrašo pamokos datą ir temą.
3. Naujos medžiagos pristatymas (50 min.)
mokymo metodai
Mokymo technikos
1. Neseniai nagrinėjome temą „Kai kurių dariniai elementarios funkcijos“. Pavyzdžiui:
Funkcijos išvestinėf (x)= X 9 , Mes tai žinomef “(x)= 9x 8 . Dabar apsvarstysime pavyzdį, kaip rasti funkciją, kurios išvestinė yra žinoma.
Tarkime, mums duota išvestinėf “(x)= 6x 5 . Naudodamiesi žiniomis apie išvestinę, galime nustatyti, kas yra funkcijos išvestinėf (x)= X 6 . Funkcija, kurią galima nustatyti pagal jos išvestinę, vadinama antiderivatine. (Pateikite antidarinės apibrėžimą. (3 skaidrė))
1 apibrėžimas : Funkcija F ( x ) yra vadinamas funkcijos antidariniu f ( x ) segmente [ a; b], jei lygybė galioja visuose šio atkarpos taškuose = f ( x )
1 pavyzdys (4 skaidrė): Įrodykime, kad bet kuriaixϵ(-∞;+∞) funkcijaF ( x )=x 5 -5x f (x) = 5 X 4 -5.
Įrodymas: naudodamiesi antidarinės apibrėžimu, randame funkcijos išvestinę
=(X 5 -5x)′=(x 5 )′-(5х)′=5 X 4 -5.
2 pavyzdys (5 skaidrė): Įrodykime, kad bet kuriaixϵ(-∞;+∞) funkcijaF ( x )= neyra funkcijos antidarinysf (x)= .
Įrodykite su mokiniais ant lentos.
Žinome, kad išvestinės radimas vadinamasdiferenciacija . Funkcijos radimas pagal jos išvestinę bus vadinamasintegracija. (6 skaidrė). Integracijos tikslas – rasti visus tam tikros funkcijos antidarinius.
Pavyzdžiui: (7 skaidrė)
Pagrindinė antidarinio savybė:
Teorema: JeiF ( x ) - vienas iš funkcijos antidarinių f (X) intervale X, tada visų šios funkcijos antidarinių aibė nustatoma pagal formulę G ( x )= F ( x )+ C kur C yra tikrasis skaičius.
(8 skaidrė) antidarinių lentelė
Trys taisyklės ieškant antidarinių
1 taisyklė: Jeigu Ffunkcijai yra antidarinysf, a G- originalus skirtasg, tada F+ G- yra prototipasf+ g.
(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f + g
2 taisyklė: Jeigu F- originalus skirtasf, a kyra pastovi, tada funkcijakF- originalus skirtaskf.
(kF)’ = kF’ = kf
3 taisyklė: Jeigu F- originalus skirtasf, a k ir b yra konstantos (), tada funkcija
antidarinis skirtasf(kx+ b).
Integralo sąvokos istorija glaudžiai susijusi su kvadratų paieškos problemomis. Vienų ar kitų plokščių matematikos figūrų kvadratūros uždaviniai Senovės Graikija o Romas problemas, kurias dabar vadiname, vadino plotų skaičiavimo problemomis.Daugelis reikšmingų senovės Graikijos matematikų pasiekimų sprendžiant tokias problemas yra susiję su Eudoxo of Knidos pasiūlytu išsekimo metodu. Šiuo metodu Eudoxus įrodė:
1. Dviejų apskritimų plotai yra susiję kaip jų skersmens kvadratai.
2. Kūgio tūris lygus 1/3 vienodo aukščio ir vienodo pagrindo cilindro tūrio.
Eudokso metodą ištobulino Archimedas ir įrodė šiuos dalykus:
1. Apskritimo ploto formulės išvedimas.
2. Rutulio tūris yra 2/3 cilindro tūrio.
Visus pasiekimus įrodė puikūs matematikai naudodami integralus.
Grįžkime prie 1 teoremos ir gaukime naują apibrėžimą.
2 apibrėžimas : Išraiška F ( x ) + C , kur C - savavališka konstanta, vadinama neapibrėžtu integralu ir žymima simboliu
Iš apibrėžimo turime:
(1)
Neapibrėžtas funkcijos integralasf(x), taigi yra visų antidarinių funkcijų rinkinysf(x) .
Lygybėje (1) funkcijaf(x) vadinamas integrandas , ir išraiška f(x) dx– integrandas , kintamasis x – integracijos kintamasis , terminas C - integravimo konstanta .
Integracija yra atvirkštinė diferenciacija. Norint patikrinti, ar integracija teisinga, pakanka diferencijuoti rezultatą ir gauti integrandą.
Neapibrėžtinio integralo savybės.
Remiantis antidarinio apibrėžimu, nesunku įrodyti šiuos dalykusneapibrėžto integralo savybės
Kai kurios funkcijos diferencialo neapibrėžtas integralas yra lygus šiai funkcijai plius savavališkai konstantai
Dviejų ar daugiau funkcijų algebrinės sumos neapibrėžtas integralas yra lygus jų integralų algebrinei sumai
Pastovųjį veiksnį galima išimti iš integralo ženklo, tai yra, jeia= konst, tada
Studentai įrašo paskaitą naudodami dalomąją medžiagą ir dėstytojo paaiškinimus. Įrodinėdami antidarinių ir integralų savybes, jie naudoja žinias diferenciacijos tema.
4. Paprastųjų integralų lentelė
1. ,( n -1) 2.
3. 4.
5. 6.
Šioje lentelėje esantys integralai vadinamilentelės formos . Pastaba ypatinga byla formulė 1:
Štai dar viena akivaizdi formulė:
- Poslinkis vadinamas vektoriumi, jungiančiu trajektorijos pradžios ir pabaigos taškus Vektorius, jungiantis kelio pradžią ir pabaigą vadinamas
- Trajektorija, kelio ilgis, poslinkio vektorius Pradinę padėtį jungiantis vektorius
- Daugiakampio ploto apskaičiavimas iš jo viršūnių koordinačių Trikampio plotas iš viršūnių formulės koordinačių
- Leistinos vertės sritis (ODZ), teorija, pavyzdžiai, sprendimai