Denklem x2 y2. Doğal sayılarda belirsiz denklemler
Denklemleri tam sayılarda çözmek en eski yöntemlerden biridir. Matematik problemleri. Zaten MÖ 2. binyılın başında. e. Babilliler, iki değişkenli bu tür denklem sistemlerini nasıl çözeceklerini biliyorlardı. Bu matematik alanı, en büyük refahına M.Ö. Antik Yunan. Bizim için asıl kaynak Diophantus'un çeşitli denklem türlerini içeren "Aritmetiği"dir. İçinde Diophantus (adından ve denklemlerin adından sonra - Diophantine denklemleri), yalnızca 19. yüzyılda geliştirilen 2. ve 3. derece denklemleri incelemek için bir dizi yöntem öngörür.
En basit Diophant denklemleri ax + y = 1 (iki değişkenli denklem, birinci derece) x2 + y2 = z2 (üç değişkenli denklem, ikinci derece)
Cebirsel denklemler en kapsamlı şekilde incelenmiştir; çözümleri 16. ve 17. yüzyıllarda cebirdeki en önemli problemlerden biriydi.
19. yüzyılın başlarında, P. Fermat, L. Euler, K. Gauss'un çalışmaları şu şekilde bir Diophantine denklemini araştırdı: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, burada a, b, c , d, e, f sayılardır; x, y bilinmeyen değişkenlerdir.
Bu, iki bilinmeyenli 2. dereceden bir denklemdir.
K. Gauss inşa genel teori iki değişkenli bazı denklem türlerini çözmenin temeli olan ikinci dereceden formlar (Diophantine denklemleri). var Büyük sayı Temel yöntemlerle çözülen özel Diophant denklemleri. /p>
teorik malzeme.
Çalışmanın bu bölümünde temel matematiksel kavramlar anlatılacak, terimlerin tanımları verilecek, iki değişkenli denklemlerin çözümünde çalışılan ve dikkate alınan belirsiz katsayılar yöntemi kullanılarak ayrıştırma teoremi formüle edilecektir.
Tanım 1: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 biçiminde bir denklem, burada a, b, c, d, e, f sayılardır; x, y bilinmeyen değişkenlere iki değişkenli ikinci dereceden denklem denir.
AT okul kursu matematik, ikinci dereceden denklem ax2 + inx + c \u003d 0 incelenir, burada a, b, c sayısı x değişkeni, tek değişkenli. Böyle bir denklemi çözmenin birçok yolu vardır:
1. Diskriminant kullanarak kök bulma;
2. Çift katsayı için kök bulma (D1'e göre =);
3. Vieta teoremi ile kök bulma;
4. Binomun tam karesinin seçimini kullanarak kökleri bulma.
Bir denklemi çözmek, tüm köklerini bulmak veya hiç olmadığını kanıtlamak anlamına gelir.
Tanım 2: Bir denklemin kökü, denklemde değiştirildiğinde gerçek bir eşitlik oluşturan bir sayıdır.
Tanım 3: İki değişkenli bir denklemin çözümüne bir çift sayı (x, y) denir, bunları denklemde yerine koyarken gerçek bir eşitliğe dönüşür.
Bir denklemin çözümlerini arama süreci genellikle denklemi eşdeğer bir denklemle değiştirmekten oluşur, ancak çözümü daha basittir. Bu tür denklemlere eşdeğer denir.
Tanım 4: Bir denklemin her çözümü diğer denklemin çözümü ise ve bunun tersi ise iki denklemin eşdeğer olduğu söylenir ve her iki denklem de aynı alanda değerlendirilir.
İki değişkenli denklemleri çözmek için, denklemin tam kareler toplamına genişletilmesine ilişkin teorem kullanılır (belirsiz katsayılar yöntemiyle).
İkinci mertebeden denklem ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) için bir ayrışma vardır a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)
İki değişkenli denklem (1) için genişleme (2)'nin gerçekleştiği koşulları formüle edelim.
Teorem: Eğer a, b, c katsayıları(1) denklemleri a0 ve 4av – c20 koşullarını karşılar, ardından genişleme (2) benzersiz bir şekilde belirlenir.
Başka bir deyişle, iki değişkenli denklem (1), teoremin koşulları sağlanırsa belirsiz katsayılar yöntemi kullanılarak (2) formuna indirgenebilir.
Belirsiz katsayılar yönteminin nasıl uygulandığına dair bir örneğe bakalım.
YÖNTEM 1. Denklemi belirsiz katsayılar yöntemiyle çözün
2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0.
1. a=2, b=1, c=2, yani a=2,4av - c2= 4∙2∙1- 22= 40 teoreminin koşullarının yerine getirildiğini kontrol edelim.
2. Teoremin koşulları sağlanır ve formül (2) ile genişletilebilir.
3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h, teoremin koşullarına göre, özdeşliğin her iki kısmı da eşdeğerdir. Kimliğin sağ tarafını basitleştirin.
4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =
2(x2 + p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =
2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =
X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).
5. Aynı değişkenlerin katsayılarını güçleriyle eşitleyin.
x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h
6. Bir denklem sistemi edinin, çözün ve katsayıların değerlerini bulun.
7. (2)'deki katsayıları yerine koyarsanız denklem şu şekli alır:
2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 \u003d 2 (x + 0,5y + 0,5) 2 + 0,5 (y -1) 2 + 0
Böylece, orijinal denklem denkleme eşdeğerdir
2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), bu denklem iki sistemli bir sisteme eşdeğerdir lineer denklemler.
Cevap: (-1; 1).
Ayrışma türüne (3) dikkat ederseniz, bunun tek değişkenli ikinci dereceden bir denklemden tam kare seçimiyle form olarak aynı olduğunu görebilirsiniz: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.
Bu numarayı iki değişkenli bir denklemi çözmek için uygulayalım. Teoremi kullanarak önceden çözülmüş iki değişkenli ikinci dereceden denklemi tam kare seçimi yardımıyla çözelim.
YÖNTEM #2: 2x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0 denklemini çözün.
Çözüm: 1. 2x2'yi x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0 terimlerinin toplamı olarak temsil ediyoruz.
2. Terimleri tam kare formülüne göre daraltabileceğimiz şekilde gruplandırıyoruz.
(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x + 1) = 0.
3. Parantez içindeki ifadelerden tam kareleri seçin.
(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.
4. Bu denklem bir lineer denklem sistemine eşdeğerdir.
Cevap: (-1;1).
Sonuçları karşılaştırırsak, teorem ve belirsiz katsayılar yöntemi kullanılarak 1 numaralı yöntemle çözülen denklemin ve tam kare seçimi kullanılarak 2 numaralı yöntemle çözülen denklemin aynı köklere sahip olduğunu görebiliriz.
Sonuç: İki değişkenli ikinci dereceden bir denklem iki şekilde bir kareler toplamına genişletilebilir:
➢ Birinci yöntem, (2) teoremine ve ayrıştırılmasına dayanan belirsiz katsayılar yöntemidir.
➢ İkinci yol ise özdeş dönüşümler, birinin art arda tamamlanmış kareleri seçmesine izin verir.
Tabii ki, problemleri çözerken, genişleme (2) ve koşulları ezberlemeyi gerektirmediği için ikinci yöntem tercih edilir.
Bu yöntem aynı zamanda üç değişkenli ikinci dereceden denklemlere de uygulanabilir. Bu tür denklemlerde tam karenin seçimi daha zahmetlidir. Gelecek yıl bu tür bir dönüşüm yapacağım.
f(x, y)= ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f formuna sahip bir fonksiyona, iki değişkenli ikinci dereceden bir fonksiyon olarak adlandırılması ilginçtir. İkinci dereceden fonksiyonlara aittir önemli rol matematiğin çeşitli dallarında:
Matematiksel programlamada (kuadratik programlama)
Lineer cebir ve geometride (kuadratik formlar)
Diferansiyel denklemler teorisinde (ikinci dereceden bir lineer denklemin kanonik bir forma indirgenmesi).
Bu çeşitli problemleri çözerken, aslında, ikinci dereceden bir denklemden (bir, iki veya daha fazla değişken) tam kareyi çıkarma prosedürünü uygulamak gerekir.
Denklemleri açıklanan doğrular ikinci dereceden denklem iki değişkene ikinci dereceden eğriler denir.
Bu daire, elips, hiperbol.
Bu eğriler çizilirken, tam karenin ardışık seçimi yöntemi de kullanılır.
Bir tam karenin ardışık seçim yönteminin belirli örnekler üzerinde nasıl çalıştığını ele alalım.
Pratik kısım.
Tam karenin ardışık seçimi yöntemini kullanarak denklemleri çözün.
1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;
(x + 1)2 + (x + y)2 = 0;
Cevap: (-1; 1).
2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;
(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;
Cevap: (0,5; - 0,5).
3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;
3x2 + 3y2 + y2 - 6xy - 2y +1 = 0;
3x2 + 3y2 - 6xy + y2 -2y +1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;
3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;
Cevap: (-1; 1).
Denklemleri Çöz:
1. 2x2 + 3y2 - 4xy + 6y +9 = 0
(forma getirin: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)
Cevap: (-3; -3)
2. - 3x2 - 2y2 - 6xy -2y + 1=0
(forma getirin: -3 (x + y) 2 + (y -1) 2 \u003d 0)
Cevap: (-1; 1)
3. x2 + 3y2 + 2xy + 28y +98 = 0
(forma getirin: (x + y) 2 + 2 (y + 7) 2 \u003d 0)
Cevap: (7; -7)
Çözüm.
Bunda bilimsel çalışma ikinci dereceden iki değişkenli denklemler incelenmiş, çözüm yolları düşünülmüştür. Görev tamamlanır, tam karenin seçilmesine ve denklemin eşdeğer bir denklem sistemiyle değiştirilmesine dayanan daha kısa bir çözüm yöntemi formüle edilir ve tanımlanır, sonuç olarak iki değişkenli bir denklemin köklerini bulma prosedürü basitleştirilir.
Çalışmanın önemli bir noktası, söz konusu tekniğin ikinci dereceden bir fonksiyonla ilgili çeşitli matematiksel problemlerin çözümünde, ikinci dereceden eğrilerin oluşturulmasında ve ifadelerin en büyük (en küçük) değerinin bulunmasında kullanılmasıdır.
Bu nedenle, iki değişkenli ikinci dereceden bir denklemi bir kareler toplamına genişletme tekniği matematikte en çok uygulamaya sahiptir.
Talimat
Yerine koyma yöntemi Bir değişkeni ifade edin ve onu başka bir denklemle değiştirin. İstediğiniz herhangi bir değişkeni ifade edebilirsiniz. Örneğin, ikinci denklemden "y"yi ifade edin:
x-y=2 => y=x-2 Ardından her şeyi ilk denkleme yerleştirin:
2x+(x-2)=10 x'siz her şeyi sağ tarafa taşıyın ve sayın:
2x+x=10+2
3x=12 Sonra, "x için, denklemin her iki tarafını da 3'e bölün:
x=4. Yani "x'i buldunuz. "da bulun. Bunu yapmak için, "y"yi ifade ettiğiniz denklemde "x"i değiştirin:
y=x-2=4-2=2
y=2.
Bir kontrol yapın. Bunu yapmak için, elde edilen değerleri denklemlerde değiştirin:
2*4+2=10
4-2=2
Bilinmeyen doğru bulundu!
Denklemler nasıl eklenir veya çıkarılır? Herhangi bir değişkenden aynı anda kurtulun. Bizim durumumuzda, bunu "y" ile yapmak daha kolaydır.
“y'nin bir işareti olduğu” + ve ikinci “-” denkleminde olduğundan, bir toplama işlemi gerçekleştirebilirsiniz, yani. Sol tarafı sola, sağ tarafı sağa ekliyoruz:
2x+y+(x-y)=10+2Dönüştür:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Herhangi bir denklemde "x" yerine "y:" ifadesini bulun:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2 1. yöntemle köklerin doğru bulunup bulunmadığını kontrol edebilirsiniz.
Açıkça tanımlanmış değişkenler yoksa, denklemleri hafifçe dönüştürmek gerekir.
İlk denklemde "2x" var ve ikincisinde sadece "x" var. Toplama veya çıkarma yaparken x'in azalması için ikinci denklemi 2 ile çarpın:
x-y=2
2x-2y=4 Ardından ikinci denklemi birinci denklemden çıkarın:
2x+y-(2x-2y)=10-4
2x+y-2x+2y=6
3y=6
herhangi bir denklemden ifade ederek y \u003d 2 "x'i bulun, yani
x=4
İlgili videolar
Diferansiyel denklemleri çözerken, x argümanı (veya fiziksel problemlerde zaman t) her zaman açıkça mevcut değildir. Ancak bu basitleştirilmiş bir özel durum genellikle integralini aramayı basitleştirmeye yardımcı olan bir diferansiyel denklem kurmak.
Talimat
yol açan fiziksel bir problem düşünün. diferansiyel denklem, t argümanı eksik. Bu, dikey bir düzlemde yer alan, r uzunluğunda bir iplik üzerinde asılı duran m kütleli titreşimlerin sorunudur. Sarkacın hareket denklemi, eğer ilki durağansa ve denge durumundan α açısı kadar sapmışsa gereklidir. Kuvvetler ihmal edilmelidir (bkz. Şekil 1a).
Çözüm. Matematiksel bir sarkaç, O noktasında ağırlıksız ve uzamaz bir iplik üzerinde asılı duran bir malzeme noktasıdır. Noktaya iki kuvvet etki eder: yerçekimi G \u003d mg ve iplik gerilimi N. Bu kuvvetlerin her ikisi de dikey bir düzlemde bulunur. Bu nedenle, sorunu çözmek için, O noktasından geçen yatay eksen etrafındaki bir noktanın dönme hareketinin denklemini uygulayabilirsiniz. Bir cismin dönme hareketi denklemi, Şekil l'de gösterilen forma sahiptir. 1b. Bu durumda I, maddi noktanın eylemsizlik momentidir; j, dikey eksenden saat yönünün tersine sayılan nokta ile birlikte ipliğin dönme açısıdır; M, uygulanan kuvvetlerin momentidir maddi nokta.
Bu miktarları hesaplayın. I=bay^2, M=M(G)+M(N). Fakat M(N)=0, çünkü kuvvetin etki çizgisi O noktasından geçer. M(G)=-mgrsinj. "-" işareti, kuvvet momentinin harekete zıt yönde yönlendirildiği anlamına gelir. Eylemsizlik momentini ve kuvvet momentini hareket denkleminde yerine koyun ve Şekil 2'de gösterilen denklemi elde edin. 1s. Kütleyi azaltarak bir ilişki ortaya çıkar (bkz. Şekil 1d). Burada t argümanı yok.
Belirsiz denklemler doğal sayılar.
Devlet Eğitim Kurumu "Rechitsa İlçe Lisesi"
Tarafından hazırlandı: .
Süpervizör: .
giriiş
1. Denklemleri çarpanlara ayırma yöntemiyle çözme…………4
2. İki değişkenli denklemleri çözme (discriminant yöntemi)……………………………………………………………………….11
3. Kalıntı yöntemi ..................................................... .................................................13
4. "Sonsuz iniş" yöntemi .................................................. .... ................on beş
5.Örnekleme yöntemi…………………………………………………………...16
Çözüm................................................. ................................................on sekiz
giriiş
Ben Slava, 10. sınıf öğrencisi olan Rechitsa District Lyceum'da okuyorum.
Her şey bir fikirle başlar! 29x + 30y + 31 bilinmeyenli bir denklemi çözmem istendi z =366. Şimdi bu denklemi bir görev olarak görüyorum - şaka, ama ilk defa kafamı kırdım. Benim için bu denklem bir nevi tanımsız hale geldi, nasıl çözülür, nasıl çözülür.
Altında belirsiz denklemler bunların birden fazla bilinmeyen içeren denklemler olduğunu anlamalıyız. Genellikle, bu denklemleri çözen kişiler, çözümleri tamsayılarda ararlar.
Belirsiz denklemleri çözmek çok heyecan verici ve bilişsel aktivite, öğrencilerin zeka, gözlem, dikkat, hafıza ve yönelim gelişiminin yanı sıra mantıklı düşünme, analiz etme, karşılaştırma ve genelleme becerilerinin oluşumuna katkıda bulunur. Genel metodoloji Henüz bulamadım ama şimdi size bu tür denklemleri doğal sayılarda çözmek için bazı yöntemlerden bahsedeceğim.
Bu konu, mevcut matematik ders kitaplarında tam olarak ele alınmamıştır ve problemler olimpiyatlarda ve merkezi testlerde sunulmaktadır. Bu beni o kadar ilgilendirdi ve büyüledi ki, çeşitli denklemleri ve problemleri çözerken, öğretmenle çözme yöntemlerine ve yöntemlerine göre böldüğümüz kendi çözümlerimin bir koleksiyonunu topladım. Peki benim çalışma amacım ne?
Benim hedef Doğal sayılar kümesi üzerinde çok değişkenli denklemlerin çözümlerini analiz eder.
Başlangıç olarak, pratik problemleri ele alacağız ve sonra denklemleri çözmeye geçeceğiz.
Bir dikdörtgenin çevresi sayısal olarak alanına eşit ise kenarlarının uzunluğu nedir?
P=2(x+y),
S = xy, x€ N ve y€ N
P=S
2x+2y=xy font-size:14.0pt;line-height: %150;font-family:" kere new roman>+font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" kere yeni roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman konumu:relative>font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman> +font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" kere yeni roman> =font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>Yanıt: (4:4); (3:6); (6:3).
Bunun için yalnızca üç ve beş rublelik faturalar kullanılabiliyorsa, 47 ruble ödemenin yollarını bulun.
Çözüm
5x+3y=47
x=1, y=14
x=1 – 3K, y= 14+5K, K€ Z
x ve y'nin doğal değerleri K= 0, -1, -2'ye karşılık gelir;
(1:14) (4:9) (7:4)
şaka meydan okuma
29x+30y+31 denkleminin bir çözümünün olduğunu kanıtlayın. z=336 doğal sayılarda.
Kanıt
AT artık yıl 366 gün ve bir ay - 29 gün, dört ay - 30 gün,
7 ay - 31 gün.
Çözüm üçtür (1:4:7). Bu, doğal sayılardaki denklemin bir çözümü olduğu anlamına gelir.
1. Denklemleri çarpanlara ayırarak çözme
1) Doğal sayılarda x2-y2=91 denklemini çözün
Çözüm
(x-y)(x+y)=91
Çözüm 8 sistemleri
yazı tipi boyutu:14.0pt; line-height:150%;font-family:" çarpı yeni roman>x-y=1
x+y=91
(46:45)
yazı tipi boyutu:14.0pt; line-height:150%;font-family:" çarpı yeni roman>x-y=91
x+y=1
(46: -45)
x-y=13
x+y=7
(10: -3)
x-y = 7
x+y=13
(10:3)
x-y = -1
x+y= -91
(-46: 45)
x-y = -91
x+y= -1
(-46: -45)
x-y = -13
x+y= -7
(-10:3)
xy yazı tipi boyutu:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>= -7
x+y= -13
(-10: -3)
Cevap: ( 46:45):(10:3).
2) Doğal sayılarda x3 + 91 \u003d y3 denklemini çözün
Çözüm
(y-x)(y2+xy+x2)=91
91=1*91=91*1=13*7=7*13= (-1)*(-91)=(-7)*(-13)
Çözüm 8 sistemleri
y-x=1
y2+xy+x2=91
(5:6)(-6: -5)
yazı tipi boyutu:14.0pt; line-height:150%;font-family:" çarpı yeni roman>y-x= 91
y2+xy+x2= 1
y-x=13
y2+xy+x2=7
tamsayılarda çözümü yoktur
y-x=7
y2+xy+x2=91
(-3: 4)(-4: 3)
Kalan 4 sistemin tamsayılarda çözümleri yoktur. Koşul tek bir çözümle sağlanır.
Cevap: (5:6).
3) Doğal sayılarda xy=x+y denklemini çözün
Çözüm
xy-x-y+1=1
x(y-1)-(y-1)=1
(y-1)(x-1)=1
1= 1*1=(-1)*(-1)
Çözüm 2 sistemleri
yazı tipi boyutu:14.0pt; line-height:150%;font-family:" kere yeni roman>y-1= -1
x-1= -1
(0:0)
yazı tipi boyutu:14.0pt; line-height:150%;font-family:" kere yeni roman>y-1=1
x-1=1
(2:2)
Cevap: (2:2).
4) Doğal sayılarda 2x2+5xy-12y2=28 denklemini çözün
Çözüm
2x2-3xy+8xy-12y2=28
(2x-3y)(x+4y)=28
x;y - doğal sayılar; (x+4y)€ N
(x+4y)≥5
yazı tipi boyutu:14.0pt; line-height:150%;font-family:" kere yeni roman>2x-3y=1
x+4y=28
(8:5)
yazı tipi boyutu:14.0pt; line-height:150%;font-family:"time new roman>2x-3y=4
x + 4y = 7
2x-3y=2
x+4y=14
doğal sayılarda çözüm yok
Cevap: (8:5).
5) denklemi çözün 2xy=x2+2y doğal sayılarda
Çözüm
x2-2xy+2y=0
(x2-2xy+y2)-y2+2y-1+1=0
(x-y)2-(y-1)2= -1
(x-y-y+1)(x-y+y-1)= -1
(x-2y+1)(x-1)= -1
x-2y+1=-1
x-1= 1
(2:2)
x-2y+1=1
x-1= -1
doğal sayılarda çözüm yok
Cevap: (2:2).
6) denklemi çözün xdez-3 xy-2 xz+ yz+6 x-3 y-2 z= -4 doğal sayılarda
Çözüm
xy(z -3)-2 x (z -3)+ y (z -3)-2 z +4=0
xy(z -3)-2 x (z -3)+ y (z -3)-2 z +6-2=0
xy(z -3)-2 x (z -3)+ y (z -3)-2(z -3)=2
(z-3)(xy-2x+y-2)=2
(z-3)(x(y-2)+(y-2))=2
(z-3)(x+1)(y-2)=2
Çözüm 6 sistemleri
z-3= 1
x+1=1
y-2=2
(0 : 4 : 4 )
z-3= -1
x+1=-1
y-2= 2
(- 2: 4 : 2 )
TR-US" style="font-size: 14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>z-3= 1
x+1=2
y-2=1
(1 : 3 : 4 )
z-3=2
x+1=1
y-2=1
(0 :3: 5 )
z-3= -1
x +1 = 2
y-2=-1
(1:1:2)
z-3=2
x +1= -1
y-2= -1
(-2:1:5)
Cevap: (1:3:4).
Benim için daha karmaşık bir denklem düşünün.
7) Doğal sayılarda x2-4xy-5y2=1996 denklemini çözün
Çözüm
(x2-4xy+4y2)-9y2=1996
(x-2y)2-9y2=1996
(x-5y)(x+5y)=1996
1996=1*1996= -1*(-1996)=2*998= (-2)*(-998)=4*499= -4*(-499)
x € N , y € N ; (x+y) € N ; (x+y)>1
x-5y=1
x+y=1996
çözüm yok
yazı tipi boyutu:14.0pt; line-height:150%;font-family:" çarpı yeni roman>x-5y=499
x+y=4
çözüm yok
yazı tipi boyutu:14.0pt; line-height:150%;font-family:" çarpı yeni roman>x-5y=4
x+y=499
çözüm yok
x-5y=2
x+y=998
(832:166)
x-5y=988
x+y=2
çözüm yok
Cevap: x=832, y=166.
Şu sonuca varalım:denklemleri çarpanlara ayırarak çözerken kısaltılmış çarpma formülleri, gruplama yöntemi, tam kare seçme yöntemi kullanılır .
2. İki değişkenli denklem çözme (discriminant yöntemi)
1) 5x2 + 5y2 + 8xy + 2y-2x + 2 \u003d 0 denklemini doğal sayılarda çözün
Çözüm
5x2+(8y-2)x+5y2+2y+2=0
D \u003d (8y - 2) 2 - 4 * 5 * (5y2 + 2y + 2) \u003d 4 ((4y - 1) 2 -5 * (5y2 + 2y + 2))
x1.2= font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" kere yeni roman>=yazı tipi boyutu:14.0pt;satır yüksekliği: %150;yazı tipi ailesi:" çarpı yeni roman>
D=0, font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"times new roman>=0
y=-1, x=1
Cevap:çözümler yok.
2) 3(x2+xy+y2)=x+8y denklemini doğal sayılarda çözün
Çözüm
3(x2+xy+y2)=x+8y
3x2+3(y-1)x+3y2-8y=0
D \u003d (3y-1) 2-4 * 3 (3y2-8y) \u003d 9y2-6y + 1-36y2 + 96y \u003d -27y2 + 90y + 1
D≥0, -27y2+90y+1≥0
yazı tipi boyutu:14.0pt;satır yüksekliği: %150;yazı tipi ailesi:" çarpı yeni roman>≤y≤font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>y€ N , y=1, 2, 3. Bu değerlerden geçerek (1:1) elde ederiz.
Cevap: (1:1).
3) x4-y4-20x2+28y2=107 denklemini doğal sayılarda çözün
Çözüm
Bir ikame sunuyoruz: x2=a, y2=a;
a2-a2-20a+28a=107
a2-20a+28a-a2=0
a1.2=-10± +96 font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" kere yeni roman rengi:siyah>a2-20a+28a-a2-96=11
a1,2=10± font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" kere yeni roman>= 10±font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" kere yeni roman>= 10±(a-14)
a1=a-4, a2=24-a
Denklem şöyle görünür:
(a-a+4)(a+a-24)=1
yazı tipi boyutu:14.0pt; line-height:150%;font-family:" çarpı yeni roman>x2-y2+4=1
x2+y2 – 24=11
doğal sayılarda çözüm yoktur;
x2 - y2+4=11
x2+y2 – 24=1
(4:3),(-4:-3),(-4:3), (4: -3)
yazı tipi boyutu:14.0pt; line-height:150%;font-family:" çarpı yeni roman>x2 - y2+4= -1
x2 + y2 - 24 = -11
(2:3),(-2: -3),(-2:3),(2: -3)
x2 - y2+4= -11
х2+y2 – 24= -1 doğal ve tam sayılarda çözüm yokCevap: (4:3),(2:3).
3. artık yöntem
Denklemleri artık yöntemle çözerken, aşağıdaki görevler çok sık kullanılır:
A) 3 ve 4 ile bölündüğünde kalanlar kaçtır?
Çok basit, 3 veya 4'e bölündüğünde tam kareler iki olası kalan verebilir: 0 veya 1.
B) 7 ve 9'a bölündüğünde hangi kalanlar tam küp verebilir?
7'ye bölündüğünde kalanları verebilirler: 0, 1, 6; ve 9'a bölerken: 0, 1, 8
1) x2+y2=4 denklemini çözün z-1 doğal sayılarda
Çözüm
x2+y2+1=4z
Bu denklemin sol ve sağ tarafları olan 4'e bölündüğünde kalanların neler verebileceğini düşünün. 4'e bölündüğünde, tam kareler yalnızca iki farklı 0 ve 1 kalanını verebilir. Sonra x2 + y2 + 1, 4'e bölündüğünde 1, 2, 3 ve 4 kalanlarını verir. z kalansız bölünür.
Sonuç olarak, verilen denklemçözümleri yok.
2) 1!+2!+3!+ …+x!= y2 denklemini doğal sayılarda çözün
Çözüm
a) X=1, 1!=1, sonra y2=1, y=±1 (1:1)
b) x=3, 1!+2!+3!= 1+2+6= 9, yani y2= 9, y=±3 (3:3)
c) x=2, 1!+2!= 1+2= 3, y2=3, yani y=±yazı tipi boyutu:14.0pt;satır yüksekliği:%150; font-family:"time new roman>d)x=4, 1!+2!+3!+4!= 1+2+6+24=33, x=4 (yok), y2=33
e) x≥5, 5!+6!+…+x!, 10 hayal edin n, n € N
1!+2!+3! +5!+…+x!=33+10n
3 ile biten bir sayı, bir tamsayının karesi olamayacağı anlamına gelir. Bu nedenle x≥5'in doğal sayılarda çözümü yoktur.
Cevap:(3:3) ve (1:1).
3) Doğal sayılarda çözüm olmadığını kanıtlayın
x2-y3=7
z 2 – 2у2=1
Kanıt
Sistemin çözülebilir olduğunu varsayın z2 \u003d 2y2 + 1, z2 – tek sayı
z=2m+1
y2+2m2+2m , y2 bir çift sayıdır, y = 2 n, n € N
x2=8n3 +7, yani x2 tek bir sayıdır ve X tek, x = 2 r +1, n € N
Vekil X ve de ilk denklemde,
2(r 2 + r -2n 3 )=3
Mümkün değildir, çünkü denklemin sol tarafı ikiye bölünebilir ve sağ taraf bölünemez, bu da varsayımımızın doğru olmadığı anlamına gelir, yani sistemin doğal sayılarda çözümü yoktur.
4. Sonsuz İniş Yöntemi
Aşağıdaki şemaya göre çözüyoruz:
Diyelim ki denklemin bir çözümü var, belirli bir sonsuz süreç oluşturuyoruz ve sorunun tam anlamıyla bu süreç eşit bir adımda bitmeli.
1)8x4+4y4+2 denkleminin ispatı z4 = t4 doğal sayılarda çözümü yoktur
Kanıt
Denklemin tamsayılarda bir çözümü olduğunu varsayalım, o zaman şunu takip eder:
t4 çift sayı ise t de çifttir
t=2t1, t1 € Z
8x4 + 4y4 + 2 z 4 \u003d 16t14
4x4 + 2y4 + z 4 \u003d 8t14
z 4 \u003d 8t14 - 4x4 - 2y4
z 4 çifttir, o zaman z =2 z 1 , z 1 € Z
Vekil
4x4 + 2y4 + 16 z 4 \u003d 8t14
y4 \u003d 4t14 - 2x4 - 8 z 1 4
x çifttir, yani x=2x, x1€ Z, o zaman
16х14 – 2 t 1 4 – 4 z 1 4 +8 y 1 4 =0
8x14+4y14+2 z 1 4 = t 1 4
Yani x, y, z , t – çift sayılar, sonra x1, y1, z1,t1 - Bile. sonra x, y, z, t ve x1, y1, z 1, t 1 2 ile bölünebilir, yani, font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman konumu:göreli>font-size:14.0pt;satır yüksekliği: %150;font-family:" times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: %150;font-family:"time new roman>,font-size:14.0pt;line-height: %150;font-family:" çarpı yeni roman> vefont-size:14.0pt;line-height: %150;font-family:"time new roman>,font-size:14.0pt;line-height: %150;font-family:"time new roman>,font-size:14.0pt;line-height: %150;font-family:"time new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"time new roman>.
Böylece sayının denklemi sağladığı ortaya çıktı; 2'nin katlarıdır ve onları 2'ye kaç kez bölersek bölelim, her zaman 2'nin katı olan sayılar elde ederiz. Bu koşulu sağlayan tek sayı sıfırdır. Ancak sıfır, doğal sayılar kümesine ait değildir.
5. Örnek yöntem
1) Denklemin çözümlerini bulun font-size:14.0pt;line-height: %150;font-family:" kere new roman>+font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" kere yeni roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>Çözüm
font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" kere yeni roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" kere new roman>p(x+y)=xy
xy=px+py
xy-px-ru=0
xy-px-ru+p2=p2
x(y-r)-p(y-r)=p2
(y-p)(x-p)=p2
p2= ±p= ±1= ±p2
Çözüm 6 sistemleri
yazı tipi boyutu:14.0pt; line-height:150%;font-family:" çarpı yeni roman>y-r=r
xp = p
y=2p, x=2p
y-r = - r
xp = - p
y=0, x=0
y-r=1
x-p=1
y=1+p, x=1+p
y-r= -1
xp = -1
y=p-1, x=p-1
yazı tipi boyutu:14.0pt; line-height:150%;font-family:" kere yeni roman>y-p= p2
xp = p2
y=p2+p, x= p2+p
yazı tipi boyutu:14.0pt; line-height:150%;font-family:" kere yeni roman>y-p= - p2
xp = - p2
y=p-p2, x=p-p2
Cevap:(2p:2p), ( 1+p:1+p), (p-1:p-1), (p2+p:p2+p), (p-p2:p-p2).
Çözüm
Genellikle belirsiz denklemlerin çözümleri tam sayılarda aranır. Yalnızca tamsayılı çözümlerin arandığı denklemlere diofantin denir.
Doğal sayılar kümesi üzerinde birden fazla bilinmeyenli denklemlerin çözümlerini inceledim. Bu tür denklemler o kadar çeşitlidir ki, onları çözmek için neredeyse hiçbir yol, bir algoritma yoktur. Bu tür denklemleri çözmek ustalık gerektirir ve becerilerin kazanılmasını kolaylaştırır. bağımsız iş Matematikte.
Örnekleri en basit yöntemlerle çözdüm. Bu tür denklemleri çözmenin en basit tekniği, bir değişkeni geri kalanı cinsinden ifade etmektir ve bu değişkenleri doğal (tamsayı) bulmak için araştıracağımız bir ifade elde ederiz.
Aynı zamanda kavram ve asal sayılar gibi bölünebilirlik ile bağlantılı gerçekler ve bileşik sayılar, bölünebilirlik işaretleri, karşılıklı olarak asal sayılar ve benzeri.
Özellikle sık kullanılanlar:
1) Bir çarpım p asal sayısına bölünebiliyorsa, çarpanlarından en az biri p ile bölünebilir.
2) Eğer ürün bir sayıya bölünüyorsa İle birlikte ve faktörlerden biri sayı ile asaldır İle birlikte, o zaman ikinci faktör ile bölünebilir İle birlikte.
1. Parametreli lineer denklem sistemleri
Parametreli doğrusal denklem sistemleri, geleneksel denklem sistemleriyle aynı temel yöntemlerle çözülür: ikame yöntemi, denklem ekleme yöntemi ve grafik yöntemi. Grafik yorumlama konusunda bilgili lineer sistemler köklerin sayısı ve varlığı ile ilgili soruya cevap vermeyi kolaylaştırır.
örnek 1
Denklem sisteminin çözümü olmayan a parametresi için tüm değerleri bulun.
(x + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x + y = 2.
Çözüm.
Bu sorunu çözmenin birkaç yoluna bakalım.
1 yol.Özelliği kullanırız: x'in önündeki katsayıların oranı, y'nin önündeki katsayıların oranına eşitse, ancak serbest terimlerin oranına eşit değilse sistemin çözümü yoktur (a/a 1 = b/ b 1 ≠ c/c 1). O zaman elimizde:
1/1 \u003d (a 2 - 3) / 1 ≠ a / 2 veya sistem
(ve 2 - 3 = 1,
(a ≠ 2.
İlk denklemden a 2 \u003d 4, bu nedenle, a ≠ 2 koşulunu dikkate alarak cevabı alırız.
Cevap: a = -2.
2 yol. Yerine koyma yöntemiyle çözüyoruz.
(2 - y + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x = 2 - y,
((a 2 - 3) y - y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.
İlk denklemde parantez içindeki y ortak faktörünü çıkardıktan sonra şunu elde ederiz:
((a 2 - 4) y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.
İlk denklemin çözümü yoksa sistemin çözümü yoktur, yani
(ve 2 - 4 = 0,
(a - 2 ≠ 0.
a = ±2 olduğu açıktır, ancak ikinci koşul dikkate alındığında sadece eksi ile cevap verilir.
Cevap: bir = -2.
Örnek 2
Denklem sisteminin sonsuz sayıda çözüme sahip olduğu a parametresi için tüm değerleri bulun.
(8x + ay = 2,
(balta + 2y = 1.
Çözüm.
Özelliğe göre, x ve y'deki katsayıların oranı aynıysa ve sistemin serbest üyelerinin oranına eşitse, sonsuz bir çözüm kümesine sahiptir (yani, a / a 1 \u003d b / b 1 \u003d c / c 1). Dolayısıyla 8/a = a/2 = 2/1. Elde edilen denklemlerin her birini çözerek, bu örnekte cevabın a \u003d 4 olduğunu buluruz.
Cevap: bir = 4.
2. Sistemler rasyonel denklemler parametreli
Örnek 3
(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.
Çözüm.
Sistemin ilk denklemini 2 ile çarpın:
(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.
İlk denklemden ikinci denklemi çıkarınca 5|х| = 4 – bir. Bu denklemin a = 4 için benzersiz bir çözümü olacaktır. Diğer durumlarda, bu denklemin iki çözümü olacaktır (bir< 4) или ни одного (при а > 4).
Cevap: a = 4.
Örnek 4
Denklem sisteminin benzersiz bir çözümüne sahip olduğu a parametresinin tüm değerlerini bulun.
(x + y = bir,
(y - x 2 \u003d 1.
Çözüm.
Bu sistemi grafik yöntemi kullanarak çözeceğiz. Böylece, sistemin ikinci denkleminin grafiği, Oy ekseni boyunca bir birim segment yukarı kaldırılmış bir paraboldür. İlk denklem, y = -x doğrusuna paralel doğrular kümesini tanımlar. (resim 1). Şekil, y \u003d -x + a düz çizgisinin koordinatları olan noktada (-0.5; 1.25) parabole teğet olması durumunda sistemin bir çözümü olduğunu açıkça göstermektedir. Bu koordinatları x ve y yerine düz bir çizginin denkleminde değiştirerek, a parametresinin değerini buluruz:
1,25 = 0,5 + bir;
Cevap: a = 0.75.
Örnek 5
Yerine koyma yöntemini kullanarak, a parametresinin hangi değerinde sistemin benzersiz bir çözüme sahip olduğunu öğrenin.
(balta - y \u003d a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.
Çözüm.
İlk denklemden y'yi ifade edin ve ikinciye değiştirin:
(y \u003d ah - a - 1,
(ax + (a + 2) (ax - a - 1) = 2.
İkinci denklemi k ≠ 0 için benzersiz bir çözüme sahip olacak kx = b formuna getiriyoruz.
balta + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 \u003d 2;
2 x + 3ax \u003d 2 + 2 + 3a + 2.
Kare üç terimli a 2 + 3a + 2, parantezlerin bir ürünü olarak gösterilebilir.
(a + 2)(a + 1) ve solda x'i parantezlerden alıyoruz:
(a 2 + 3a) x \u003d 2 + (a + 2) (a + 1).
Açıkçası, 2 + 3a sıfıra eşit olmamalıdır, bu nedenle,
a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, yani a ≠ 0 ve ≠ -3.
Cevap: bir ≠ 0; ≠ -3.
Örnek 6
Grafiksel çözüm yöntemini kullanarak, a parametresinin hangi değerinde sistemin benzersiz bir çözüme sahip olduğunu belirleyin.
(x 2 + y 2 = 9,
(y - |x| = a.
Çözüm.
Bu koşula göre, merkezi orijinde ve yarıçapı 3 olan bir daire oluşturuyoruz. tek segment, sistemin ilk denklemi tarafından belirlenen tam olarak budur
x 2 + y 2 = 9. Sistemin ikinci denklemi (y = |x| + a) kesik çizgidir. Kullanarak şekil 2 her şeyi düşünüyoruz olası vakalar daireye göre konumu. a = 3 olduğunu görmek kolaydır.
Cevap: a = 3.
Sormak istediğiniz bir şey var mı? Denklem sistemlerini nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için - kaydolun.
İlk ders ücretsiz!
site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.