Yeni başlayanlar için Fourier serisi. Fourier serisi: matematiksel mekanizmanın bilimin gelişimi üzerindeki tarihi ve etkisi
Transcript
1 RUSYA FEDERASYONU EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI NOVOSIbirsk DEVLET ÜNİVERSİTESİ FİZİK FAKÜLTESİ R. K. Belkheeva ÖRNEKLER VE GÖREVLERDE FOURIER SERİSİ Öğretici Novosibirsk 211
2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkheeva R. K. Örneklerde ve problemlerde Fourier serisi: Ders Kitabı / Novosib. durum un-t. Novosibirsk, s. ISBN B çalışma Rehberi Fourier serileri hakkında temel bilgiler verilmiş, çalışılan her konu için örnekler verilmiştir. Bir dizenin enine titreşimleri problemini çözmek için Fourier yönteminin uygulanmasına bir örnek ayrıntılı olarak analiz edilmiştir. Açıklayıcı malzeme verilir. Bağımsız çözüm için görevler vardır. Öğrenciler ve öğretmenler için tasarlandı Fizik Fakültesi NSU. NSU Fizik Fakültesi Metodoloji Komisyonu kararına göre yayınlanmıştır. Eleştirmen Dr. phys.-math. Bilimler. VA Aleksandrov ISBN c Novosibirsk Devlet Üniversitesi, 211 c Belkheeva R.K., 211
3 1. Ayrışma 2π- periyodik fonksiyon Fourier serisi Tanımında. f(x) fonksiyonunun Fourier serisi, a 2 + (a n cosnx + b n sin nx), (1) fonksiyonel serisidir, burada a n, b n katsayıları şu formüllerle hesaplanır: a n = 1 π b n = 1 π f (x) cosnxdx, n = , 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,... (3) Formüller (2) (3), Euler Fourier formülleri olarak adlandırılır . f(x) fonksiyonunun Fourier serisi (1)'e tekabül etmesi, f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) formülü olarak yazılır ve formülün sağ tarafının ( 4) Fourier fonksiyonları f(x) formel bir seridir. Başka bir deyişle, formül (4) sadece a n, b n katsayılarının formül (2), (3) ile bulunduğu anlamına gelir. 3
4 Tanım. Bir 2π-periyodik f(x) fonksiyonu, [, π] aralığı sonlu sayıda nokta içeriyorsa parçalı düzgün olarak adlandırılır = x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4
5 Şek. 1. f(x) nx + π n n 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = b n = 1 π π = 2 π f(x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2 fonksiyonunun grafiği, için tek n, çift n için, f(x ) sin nxdx = çünkü f(x) işlevi çifttir. f(x) fonksiyonu için resmi Fourier serisini yazıyoruz: f(x) π 2 4 π k= 5 cos (2k + 1)x (2k + 1) 2.
6 f(x) fonksiyonunun parçalı düzgün olup olmadığını bulun. Sürekli olduğu için x = ±π aralığının bitiş noktalarında ve x = : ve f(π h) f(π) π h π lim = lim h + kırılma noktasında sadece limitleri (6) hesaplarız. h h + h = 1, f(+ h) f(+) + h () lim = lim h + h h + h f(+ h) f(+) + h lim = lim = 1, h + h h + h = 1 , f(h) f () h () lim = lim = 1. h + h h + h Limitler mevcuttur ve sonludur, dolayısıyla fonksiyon parçalı düzgündür. Noktasal yakınsama teoremine göre, onun Fourier serisi her noktada f(x) sayısına yakınsar, yani f(x) = π 2 4 π k= cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) Şekil 2 ve 3, S n (x) = a n 2 + (a k coskx + b k sin kx), k=1 olmak üzere Fourier serisi S n (x) kısmi toplamlarının fonksiyona yaklaşıklığının karakterini göstermektedir. [, π] aralığında f(x) . 6
7 Şek. Şekil 2. S (x) = a 2 ve S 1(x) = a 2 + a 1 cos x kısmi toplamlarının üst üste bindirilmiş grafikleri ile f(x) fonksiyonunun grafiği 3. Üzerine kısmi toplam grafiği yerleştirilmiş f (x) fonksiyonunun grafiği S 99 (x) \u003d a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7
8 (7) x = yerine koyarsak: = π 2 4 π k= 1 (2k + 1) 2, buradan sayı serisinin toplamını buluruz: = π2 8. Bu dizinin toplamını bilerek, aşağıdaki toplamı bulmak kolay Elimizde: S = ( ) S = ()= π S, dolayısıyla S = π2 6, yani 1 n = π Bu ünlü dizinin toplamı ilk olarak Leonhard Euler tarafından bulundu. Genellikle matematiksel analizde ve uygulamalarında bulunur. ÖRNEK 2. Bir grafik çizin, x için f(x) = x formülü ile verilen fonksiyonun Fourier serisini bulun.< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8
9 Şek. 4. f(x) fonksiyonunun grafiği f(x) fonksiyonu (, π) aralığında sürekli olarak türevlenebilir. x = ±π noktalarında, sonlu sınırları vardır (5): f() =, f(π) = π. Ek olarak, sonlu limitler (6) vardır: f(+ h) f(+) lim = 1 ve h + h f(π h) f(π +) lim = 1. h + h Dolayısıyla, f(x) parçalı pürüzsüz fonksiyon. f(x) fonksiyonu tek olduğundan, o zaman bir n =. b n katsayıları integrasyon yoluyla bulunur: b n = 1 π f(x) sin πnxdx= 1 [ x kosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1)n π + (1) n π] = 2(1 )n+ bir. n 2(1) n+1 f(x) sin nx fonksiyonunun formel Fourier serisini oluşturalım. n 9 cosnxdx ] =
10 Parçalı düzgün bir 2π-periyodik fonksiyon için noktasal yakınsama teoremine göre, f(x) fonksiyonunun Fourier serisi şu toplama yakınsar: 2(1) n+1 sin nx = n f(x) = x eğer π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1
11 Şek. Şekil 6. Üzerine eklenen S 2 (x) kısmi toplamının grafiği ile f(x) fonksiyonunun grafiği. 7. Üzerine eklenen S 3 (x) 11 kısmi toplamının grafiği ile f(x) fonksiyonunun grafiği
12 Şek. 8. Üzerine eklenen S 99 (x) kısmi toplamının grafiği ile f(x) fonksiyonunun grafiği Elde edilen Fourier serilerini iki sayısal serinin toplamını bulmak için kullanıyoruz. (8) x = π/2 koyuyoruz. Sonra 2 () +... = π 2 veya = n= (1) n 2n + 1 = π 4. İyi bilinen Leibniz serisinin toplamını kolayca bulduk. (8)'e x = π/3 koyarak, () +... = π 2 3 veya (1+ 1) () (k) 3π +...= 3k buluruz.
13 ÖRNEK 3. Bir grafik çizin, periyodu 2π olduğunu varsayarak f(x) = sin x fonksiyonunun Fourier serisini bulun ve 1 4n 2 sayı serisinin toplamını hesaplayın 1. Çözüm. f(x) fonksiyonunun grafiği şek. 9. Açıktır ki, f(x) = sin x, periyodu π olan sürekli bir çift fonksiyondur. Ama 2π aynı zamanda f(x) fonksiyonunun periyodudur. Pirinç. 9. f(x) fonksiyonunun grafiği Fourier katsayılarını hesaplayalım. Tüm b n = fonksiyon çift olduğu için. Trigonometrik formüller kullanarak, n 1 için bir n hesaplarız: a n = 1 π = 1 π sin x kosnxdx = 2 π günah x kosnxdx = (sin(1 + n)x sin(1 n)x) dx = = 1 () π cos( 1 + n)x cos(1 n)x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 ( n = 2k ise 4 1, = π n 2 1 ise n = 2k
14 Bu hesaplama, a 1 katsayısını bulmamıza izin vermez çünkü n = 1'de payda sıfıra gider. Bu nedenle, a 1 katsayısını doğrudan hesaplıyoruz: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. f(x), (,) ve (, π) üzerinde ve kπ, (k bir tamsayıdır) noktalarında sürekli türevlenebilir olduğundan, (5) ve (6) sonlu limitleri olduğundan, fonksiyonun Fourier serisi şuna yakınsar: her noktada: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x 1. Üzerine eklenen S(x) kısmi toplamının grafiği ile f(x) fonksiyonunun grafiği 14
15 Şek. Şekil 11. Üzerine eklenen S 1 (x) kısmi toplamının grafiği ile f(x) fonksiyonunun grafiği. Şekil 12. Üzerine eklenen S 2 (x) kısmi toplamının grafiği ile f(x) fonksiyonunun grafiği. 13. Üzerine eklenen S 99 (x) 15 kısmi toplamının grafiği ile f(x) fonksiyonunun grafiği
16 1 Sayı serisinin toplamını hesaplayın. Bunu yapmak için (9) x = içine 4n 2 1 koyduk. O zaman tüm n = 1, 2,... için kosnx = 1 ve Bu nedenle, 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. ÖRNEK 4. Parçalı düzgün sürekli bir f(x) fonksiyonunun tüm x için f(x π) = f(x) koşulunu sağladığını (yani, π-periyodiktir) ispatlayalım. , o zaman a 2n 1 = b 2n 1 = tüm n 1 için ve tam tersi, eğer a 2n 1 = b 2n 1 = tüm n 1 için ise, f(x) π-periyodiktir. Çözüm. f(x) fonksiyonu π-periyodik olsun. Fourier katsayılarını a 2n 1 ve b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f(x) cos(2n 1)xdx + f(x) cos(2n 1)xdx =) f(x) hesaplayalım ) çünkü (2n 1)xdx. İlk integralde x = t π değişkeninin değişimini yapıyoruz: f(x) cos(2n 1)xdx = f(t π) cos(2n 1)(t + π) dt. 16
17 cos(2n 1)(t + π) = cos(2n 1)t ve f(t π) = f(t) gerçeğini kullanarak, şunu elde ederiz: a 2n 1 = 1 π (f(x) cos( 2n 1)x dx+) f(x) cos(2n 1)x dx =. Benzer şekilde b 2n 1 = olduğu kanıtlanmıştır. Tersine, a 2n 1 = b 2n 1 = olsun. f(x) fonksiyonu sürekli olduğu için, bir fonksiyonun Fourier serisi ile bir noktada temsil edilebilirliği teoremine göre, O zaman f(x π) = f(x) = (a 2n cos 2nx + b 2n günah 2nx). (a2n cos 2n(x π) + b 2n sin 2n(x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f(x), bu, f(x)'in π-periyodik bir fonksiyon olduğu anlamına gelir. ÖRNEK 5. Parçalı düzgün bir f(x) fonksiyonu, tüm x için f(x) = f(x) koşulunu sağlıyorsa, tüm n 1 için a = ve a 2n = b 2n = ve bunun tersini ispatlayalım. , eğer a = a 2n = b 2n = ise, tüm x için f(x π) = f(x). Çözüm. f(x) fonksiyonunun f(x π) = f(x) koşulunu sağlamasına izin verin. Fourier katsayılarını hesaplayalım: 17
18 = 1 π (a n = 1 π f(x) cos nxdx + f(x) cosnxdx =) f(x) cosnxdx. İlk integralde x = t π değişkeninin değişimini yapıyoruz. O halde f(x) cosnxdx = f(t π) cosn(t π) dt. cos n(t π) = (1) n kosnt ve f(t π) = f(t olduğu gerçeğini kullanarak, şunu elde ederiz: a n = 1 π ((1) n) f(t) kosnt dt = eğer n çift, = 2 π f(t) cos nt dt, eğer n tek ise. π Benzer şekilde b 2n = olduğu kanıtlanmıştır. Tersine, tüm n 1 için a = a 2n = b 2n = olsun. f(x) fonksiyonu sürekli olduğundan, bir noktada bir fonksiyonun temsil edilebilirliği teoremine göre, onun Fourier serisi f( eşitliğini sağlar. x) = (a 2n 1 cos ( 2n 1)x + b 2n 1 sin (2n 1)x). on sekiz
19 O halde = f(x π) = = = f(x). ÖRNEK 6. [, π/2] aralığında integrallenebilen f(x) fonksiyonunu [, π] aralığına nasıl genişleteceğimizi inceleyelim, böylece onun Fourier serisi şu forma sahip olacaktır: a 2n 1 cos(2n 1) x. (1) Çözüm. Fonksiyonun grafiği Şekil 1'de gösterilen forma sahip olsun. 14. (1) serisinde tüm n için a = a 2n = b 2n = olduğundan, Örnek 5'ten f(x) fonksiyonunun tüm x için f(x π) = f(x) eşitliğini sağlaması gerekir. Bu gözlem, f(x) fonksiyonunu [, /2] aralığına genişletmenin bir yolunu verir: f(x) = f(x+π), şek. 15. Seri (1) sadece kosinüsler içerdiğinden, sürekli f(x) fonksiyonunun çift olması gerektiği sonucuna varırız (yani, grafiği Oy ekseni etrafında simetrik olmalıdır), Şek.
20 Şek. 14. f(x) fonksiyonunun grafiği 15. f(x) fonksiyonunun [, /2] 2 aralığındaki devamlılığının grafiği
21 Böylece, istenen fonksiyon, Şekil l'de gösterilen forma sahiptir. 16. Şek. 16. f(x) fonksiyonunun [, π] aralığındaki devamlılığının grafiği Özetle, fonksiyonun şu şekilde devam etmesi gerektiği sonucuna varıyoruz: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), yani [π/2, π] aralığıdır, f(x) fonksiyonunun grafiği (π/2,) noktası etrafında merkezi olarak simetriktir ve [, π] aralığında, grafiği şöyledir: Oy eksenine göre simetrik. 21
22 ÖRNEKLERİN GENELLENDİRİLMESİ 3 6 l > olsun. İki koşulu göz önünde bulundurun: a) f(l x) = f(x); b) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. İTİBAREN geometrik nokta Bakış açısından, (a) koşulu, f(x) fonksiyonunun grafiğinin x = l/2 dikey çizgisine göre simetrik olduğu ve (b) koşulu, f(x) grafiğinin merkeze göre simetrik olduğu anlamına gelir. (l/2;) noktası x ekseni üzerindedir. O halde aşağıdaki ifadeler doğrudur: 1) f(x) fonksiyonu çift ise ve (a) koşulu sağlanmışsa, o zaman b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... = ; 2) f(x) fonksiyonu çift ise ve (b) koşulu sağlanmışsa, o zaman b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) f(x) fonksiyonu tek ise ve (a) koşulu sağlanmışsa, o zaman a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) f(x) fonksiyonu tek ise ve (b) koşulu sağlanmışsa, o zaman a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. SORUNLAR 17. problemlerde grafikler çizin ve fonksiyonlar için Fourier serisini bulun (periyotlarının 2π olduğu varsayılarak:< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22
23 ( 1 ise /2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23
24 2. [, π] aralığında verilen bir fonksiyonun sadece sinüs veya sadece kosinüs cinsinden açılımı [, π] aralığında bir f fonksiyonu verilsin. Bu aralığı bir Fourier serisine genişletmek için önce f aralığını rastgele bir şekilde [, π] aralığına genişletiriz ve sonra Euler Fourier formüllerini kullanırız. Bir fonksiyonun devamındaki keyfilik, aynı f: [, π] R fonksiyonu için farklı Fourier serileri elde edebileceğimiz gerçeğine yol açar. Ancak bu keyfiliği, yalnızca sinüslerde veya yalnızca kosinüslerde bir genişleme elde edecek şekilde kullanmak mümkündür: İlk durumda, f'yi tek bir şekilde, ikincisinde ise çift bir şekilde devam etmek yeterlidir. Çözüm algoritması 1. (,) üzerinde fonksiyona tek (çift) şekilde devam edin ve ardından periyodik olarak 2π periyodu ile fonksiyona tüm eksende devam edin. 2. Fourier katsayılarını hesaplayın. 3. f(x) fonksiyonunun Fourier serisini oluşturun. 4. Serilerin yakınsaklık koşullarını kontrol edin. 5. Bu serinin yakınsayacağı işlevi belirtin. ÖRNEK 7. f(x) = cosx fonksiyonunu genişletin,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис
25 Şek. 17. Sürekli fonksiyonun grafiği Açıkçası, f (x) fonksiyonu parçalı düzgündür. Fourier katsayılarını hesaplayalım: a n = tüm n için çünkü f (x) fonksiyonu tektir. n 1 ise, b n = 2 π f(x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = π n + 1 n 1 = 1 (1) n (1)n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1 ise n = 2 k + 1, (1)n+1 (n 1) + (n + 1) = π ( n + 1)(n 1) 2 2n eğer n = 2k ise. π n 2 1 Önceki hesaplamalarda n = 1 için payda yok olur, dolayısıyla b 1 katsayısı doğrudan hesaplanabilir.
26 Esasen: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. f (x) : f (x) 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx fonksiyonunun Fourier serisini oluşturun. f(x) fonksiyonu parça parça düzgün olduğundan, noktasal yakınsama teoremi ile f(x) fonksiyonunun Fourier serisi π ise cosx toplamına yakınsar.< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26
27 Şek. 18. Üzerine eklenen kısmi toplam S 1 (x) grafiği ile f (x) fonksiyonunun grafiği. 19. F(x) fonksiyonunun grafiği ve üzerine eklenen S 2(x) kısmi toplamının grafiği 27
28 Şek. Şekil 2. Üzerine eklenen S3 (x) kısmi toplamının grafiği ile f (x) fonksiyonunun grafiği. 21, f (x) fonksiyonunun ve S 99 (x) kısmi toplamının grafiklerini gösterir. Pirinç. 21. Üzerine eklenen S 99 (x) 28 kısmi toplamının grafiği ile f (x) fonksiyonunun grafiği
29 ÖRNEK 8. f(x) = e ax, a >, x [, π] fonksiyonunu bir Fourier serisinde sadece kosinüslerde açalım. Çözüm. Fonksiyonu (,)'ye eşit bir şekilde devam ettiririz (yani, f(x) = f(x) eşitliği tüm x (, π) için geçerlidir) ve sonra periyodik olarak 2π'lik bir periyotla tüm realiteye devam ederiz. eksen. Grafiği Şekil 2'de gösterilen f (x) fonksiyonunu elde ederiz. 22. Fonksiyon f (x) noktalarında 22. Sürekli f (x) x = kπ, k fonksiyonunun grafiği bir tamsayıdır, bükülmeleri vardır. Fourier katsayılarını hesaplayalım: b n =, çünkü f (x) çifttir. Parçalara göre entegre ederek 29 elde ederiz.
30 a n = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd(e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f(x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πa (eaπ cosnπ 1 ) + 2n πa 2 π e ax kos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2n2 e eksen cos 2 nxdx = a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 a bir n. 2 Bu nedenle, a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 f (x) sürekli olduğundan, noktasal yakınsaklık teoremine göre, onun Fourier serisi f (x)'e yakınsar. Dolayısıyla, tüm x [, π] için f(x) = 1 π a (eaπ 1)+ 2a π k=1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π) elde ederiz. Şekiller, Fourier serisinin kısmi toplamlarının belirli bir süreksiz fonksiyona kademeli olarak yaklaştığını göstermektedir. 3
31 Şek. 23. f (x) ve S (x) fonksiyonlarının grafikleri 24. f (x) ve S 1 (x) fonksiyonlarının grafikleri 25. f (x) ve S 2 (x) fonksiyonlarının grafikleri 26. f (x) ve S 3 (x) 31 fonksiyonlarının grafikleri
32 Şek. 27. f (x) ve S 4 (x) fonksiyonlarının grafikleri 28. f (x) ve S 99 (x) fonksiyonlarının grafikleri SORUN 9. f (x) = cos x, x π fonksiyonunu bir Fourier serisinde sadece kosinüs cinsinden genişletin. 1. Bir Fourier serisinde f (x) \u003d e ax, a >, x π işlevini yalnızca sinüs cinsinden genişletin. 11. Bir Fourier serisinde f (x) \u003d x 2, x π işlevini yalnızca sinüslerde genişletin. 12. Bir Fourier serisinde f (x) \u003d sin ax, x π fonksiyonunu yalnızca kosinüs cinsinden genişletin. 13. Bir Fourier serisinde f (x) \u003d x sin x, x π işlevini yalnızca sinüslerde genişletin. Cevaplar 9. cosx = cosx. 1. e eksen = 2 [ 1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k=1 11. x 2 2 [ π 2 (1) n 1 π n + 2 ] n 3 ((1)n 1) sin nx. 32
33 12. a bir tam sayı değilse, sin ax = 1 cosaπ (1 + +2a cos 2nx ) + π a 2 (2n) 2 +2a 1 + cosaπ cos(2n 1)x π a 2 (2n 1) 2; a = 2m bir çift sayı ise, sin 2mx = 8m cos(2n 1)x π (2m) 2 (2n 1) 2; a = 2m 1 pozitif bir tek sayı ise, sin(2m 1)x = 2 ( cos 2nx ) 1 + 2(2m 1) olur. π (2m 1) 2 (2n) π 16 n günah x günah 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. İsteğe bağlı periyodu olan bir fonksiyonun Fourier serisi f(x) fonksiyonunun [ l, l], l > aralığında tanımlandığını varsayın. x = ly, y π yerine koyarak, π [, π] aralığında tanımlanan g(y) = f(ly/π) fonksiyonunu elde ederiz. Bu g(y) işlevi, katsayıları Euler Fourier formülleriyle bulunan (formel) Fourier serisine () ly f = g(y) a π 2 + (a n cosny + b n sin ny) karşılık gelir: a n = 1 π g(y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2,..., 33
34 b n = 1 π g(y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2,... π l, f(x) fonksiyonu için biraz değiştirilmiş bir trigonometrik seri elde ederiz: burada f(x) a 2 + a n = 1 l b n = 1 l l l l l (a n cos πnx l f(x) cos πnx l f(x) sin πnx l + b n sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2 ,..., (12) dx, n = 1, 2,.... (13) Formüllerin (11) (13) keyfi bir periyoda sahip bir fonksiyonun Fourier serisindeki genişlemeyi tanımladığı söylenir. ÖRNEK 9. (l, l) aralığında verilen fonksiyonun Fourier serisini ( l ise A) bulunuz.< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34
35 a = 1 l l f(x) dx = 1 l A dx + 1 l l B dx = A + B, l l bir n = 1 l l l f(x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 l l A cos πnx l = A + B π n l b n = 1 l dx + 1 l l B cos πnx l sin πn = eğer n, l l A sin πnx l f(x) sin πnx l dx + 1 l l dx = B sin πnx l = B A (1 cosπn). πn f (x) : f(x) A + B π (BA cosπn = (1) n olduğundan, n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx) fonksiyonunun Fourier serisini oluşturun. l n = 2k için b n = b 2k =, n = 2k için 1 b n = b 2k 1 = 35 2(B A) π(2k 1) elde ederiz.
36 Dolayısıyla f(x) A + B (BA) π (sin πx + 1 3πx sin + 1 5πx sin +... l 3 l 5 l Noktasal yakınsaklık teoremine göre, f(x) fonksiyonunun Fourier serisi l ise A toplamına yakınsar< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).
37 Şek. 29. S (x) = a 2 ve S 1 (x) = b 1 sinx harmoniklerinin üst üste bindirilmiş grafikleri ile f (x) fonksiyonunun grafiği. Netlik için, üç yüksek harmoniğin grafikleri S 3 (x) \u003d b 3 sin 3πx, S l 5 (x) \u003d b 5 sin 5πx l ve S 7 (x) \u003d b 7 sin 7πx dikey olarak kaydırılır yukarı l 37
38 Şek. Şekil 3. Üzerine eklenen S 99 (x) kısmi toplamının grafiği ile f(x) fonksiyonunun grafiği. 31. Şek. 3 başka bir ölçekte 38
39 SORUNLAR Problemlerde, Fourier serilerinde belirtilen fonksiyonları verilen aralıklarla genişletin. 14. f(x) = x 1, (1, 1). 15. f(x) = ch2x, (2, 2] f(x) = x (1 x), (1, 1] 17. f(x) = cos π x, [ 1, 1] f(x) ) = günah π x, (1, 1).( 2 1 ise 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39
40 18. f(x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f(x) = al 4 2) 1 (4n 2)πx cos, π 2 (2n 1) 2 l b) f(x) = 4al (1) n 1 (2n 1) πx günah. π 2 (2n 1) 2 l 23. a) f(x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x... b) f( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π)+ 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x Fourier serisinin karmaşık formu Ayrışma f(x) = c n e inx, burada c n = 1 2π f (x)e inx dx, n = ±1, ±2,..., Fourier serisinin karmaşık formu olarak adlandırılır. Fonksiyon, gerçek bir Fourier serisine genişlediği aynı koşullar altında karmaşık bir Fourier serisine genişler. dört
41 ÖRNEK 1. f(x) = e ax formülüyle [, π) aralığında verilen fonksiyonun karmaşık biçimindeki Fourier serisini bulun, burada a bir gerçek sayıdır. Çözüm. Katsayıları hesaplayalım: = c n = 1 2π f(x)e inx dx = 1 2π e (a in)x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1)n sh aπ. 2π(a in) π(a in) f fonksiyonunun karmaşık Fourier serisi, einx'te f(x) sh aπ π n= (1) n a şeklindedir. f(x) fonksiyonunun parçalı düzgün olduğunu doğrulayalım: (, π) aralığında sürekli türevlenebilirdir ve x = ±π noktalarında sonlu limitler vardır (5), (6) lim h + ea( +h) = e aπ, lim h + ea(π h) = e aπ, e a(+h) e a(+) lim h + h = ae aπ e a(π h) e a(π), lim h + h = ae aπ. Bu nedenle, f(x) işlevi, şu toplama yakınsayan bir Fourier serisi sh aπ π n= (1) n a ile temsil edilebilir: ( e S(x) = ax if π< x < π, ch a, если x = ±π. 41
42 ÖRNEK 11. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2 formülüyle verilen fonksiyonun karmaşık ve reel formunda Fourier serisini bulun, burada a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42
43 Paydası q (q) olan sonsuz bir geometrik ilerlemenin toplamının< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43
44 Şimdi Fourier serisini gerçek formda bulalım. Bunu yapmak için, terimleri n için n ve n sayılarıyla gruplandırıyoruz: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx c = 1 olduğundan, 2 = 2a n cos nx. f(x) = 1 a 2 1 2a kosx + a = bir n kosnx. 2 Bu, f(x) fonksiyonunun gerçek formunda bir Fourier serisidir. Böylece tek bir integrali hesaplamadan fonksiyonun Fourier serisini bulduk. Bunu yaparken, cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a parametresine bağlı olarak bir katı integral hesapladık.< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44
45 a(z z 1) f(x) = 2i (1 a(z z 1) + a 2) = ben 2 + i (a + a 1)z 2 2 (z a)(z a 1) = = ben 2 + ben () a 2 z a + a 1. z a 1 Basit kesirlerin her birini geometrik ilerleme formülüne göre genişletiriz: + a z a = a 1 z 1 a = a n z z n, n= z a 1 z a = az = a n z n. n= Bu mümkündür çünkü az = a/z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >veya daha kısaca, c n = 1 2i an n sgnn. Böylece karmaşık formdaki Fourier serisi bulunur. Terimleri n ve n sayılarıyla gruplayarak, fonksiyonun Fourier serisini gerçek biçimde elde ederiz: = f(x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 (1 2i an e inx 1 2i an e inx n= +) = c n e inx = bir n sin nx. Yine, aşağıdaki karmaşık integrali hesaplamayı başardık: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45
46 SORUN 24. (15) kullanarak, reel a, a için cos nxdx 1 2a cosx + a 2 integralini hesaplayın > (16) kullanarak, reel a, a > a cosx + a2 için sin x sin nxdx integralini hesaplayın Problemlerde , fonksiyonlar için Fourier serisini karmaşık formda bulun. 26. f(x) = işaret x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46
47 5. Lyapunov'un eşitliği Teoremi (Lyapunov'un eşitliği). f: [, π] R fonksiyonu f 2 (x) dx olacak şekilde olsun< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47
48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Bu nedenle f(x) fonksiyonu için Lyapunov eşitliği şu şekli alır: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. a π için son eşitlikten sin 2 na n 2 = a(π a) 2 a = π 2 varsayarak, n = 2k 1 için sin2 na = 1 ve n = 2k için sin 2 na = elde ederiz. Bu nedenle, k=1 1 (2k 1) 2 = π2 8. ÖRNEK 14. f(x) = x cosx, x [, π] fonksiyonu için Lyapunov eşitliğini yazalım ve sayının toplamını bulmak için kullanalım. seri (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π Çözüm. Doğrudan hesaplamalar verir = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =
49 f(x) çift bir fonksiyon olduğundan, tüm n için b n =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1 olur) )x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1)(n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2 n = 2k ise 2, n = 2k + 1 ise 2 a 1 katsayısı ayrı olarak hesaplanmalıdır, çünkü n = 1 için genel formülde kesrin paydası yok olur. . = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = günah 2xdx = π 2.
50 Böylece f(x) fonksiyonu için Lyapunov eşitliği şu şekildedir: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π 2 1) = π π SORUN 32. Lyapunov eşitliğini yazın fonksiyonu için ( x f(x) = 2 πx eğer x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что karmaşık biçim Lyapunov denklemi sadece gerçek değerli fonksiyonlar için değil, aynı zamanda karmaşık değerli fonksiyonlar için de geçerlidir. 5
51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Cevaplar + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, burada c n, f(x)'in 2π Fourier katsayısıdır ve d n Fourier katsayı fonksiyonları g(x). 6. Fourier serilerinin türevlenmesi f: R R sürekli türevlenebilir bir 2π-periyodik fonksiyon olsun. Fourier serisi şu şekildedir: f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx). Bu fonksiyonun türevi f (x) sürekli ve 2π-periyodik bir fonksiyon olacaktır, bunun için formel bir Fourier serisi yazılabilir: f (x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx), burada a, a n , b n, n = 1 , 2,... f(x) fonksiyonunun Fourier katsayıları. 51
52 Teorem (Fourier serilerinin terim terim türevi). Yukarıdaki varsayımlar altında, a =, a n = nb n, b n = na n, n 1 eşitlikleri doğrudur ÖRNEK 15. Parçalı düzgün bir f(x) fonksiyonu [, π] aralığında sürekli olsun. f(x)dx = koşulu sağlandığında, Steklov eşitsizliği adı verilen 2 dx 2 dx eşitsizliğinin geçerli olduğunu kanıtlayalım ve bu eşitsizliğin yalnızca f(x) = biçimindeki fonksiyonlar için gerçekleştiğini doğrulayalım. Bir cosx. Başka bir deyişle, Steklov'un eşitsizliği, türevin küçüklüğünün (ortalama karede) fonksiyonun küçüklüğünü (ortalama karede) ima ettiği koşulları verir. Çözüm. f(x) fonksiyonunu eşit olarak [, ] aralığına genişletelim. Genişletilmiş fonksiyonu aynı f(x) sembolü ile gösteriniz. Devam eden fonksiyon [, π] aralığında sürekli ve parçalı düzgün olacaktır. f(x) fonksiyonu sürekli olduğundan, f 2(x) aralıkta süreklidir ve 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52
53 Devam eden fonksiyon çift olduğundan, b n =, a = koşula göre. Sonuç olarak, Lyapunov eşitliği 1 π 2 dx = a 2 π n şeklini alır. (17) f(x)'in Fourier serisinin terim terim türeviyle ilgili teoremin sonucunu, yani a =, a n = nb n, b n = na n, n 1 olduğundan emin olalım. f (x) türevi [, π] aralığında x 1, x 2,..., x N noktalarında kırılmalara maruz kalsın. x =, x N+1 = π ifade edin. İntegral aralığını [, π] N +1 aralıklarına (x, x 1),..., (x N, x N+1) bölelim, bunların her birinde f(x) sürekli türevlenebilir. Ardından, integralin toplamsallık özelliğini kullanarak ve ardından parçalara göre integral alarak şunları elde ederiz: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f(x) ) günah nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) günah nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [( f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)
54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x)dx = 1 N f (x)dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= Benzer şekilde, bir n = nb n elde ederiz. [, π] aralığında türevi birinci tür süreksizliklere maruz kalan sürekli, parçalı-düz 2π-periyodik bir fonksiyon için Fourier serilerinin terim terim farklılaşmasına ilişkin teoremin doğru olduğunu gösterdik. Yani f (x) a 2 + (bir n kosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx, çünkü a =, bir n = nb n =, b n = na n, n = 1, 2,.... Çünkü 2dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)
55 (18)'deki serinin her terimi, (17)'deki serinin karşılık gelen teriminden büyük veya ona eşit olduğundan, 2 dx 2 dx. f(x)'in orijinal fonksiyonun çift devamı olduğunu hatırlayarak, 2 dx 2 dx elde ederiz. Bu da Steklov eşitliğini kanıtlıyor. Şimdi Steklov'un eşitsizliğinde eşitliğin hangi fonksiyonlar için geçerli olduğunu inceleyelim. En az bir n 2 için, a n katsayısı sıfır değilse, o zaman a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55
56 SORUNLAR 37. Parçalı düzgün bir f(x) fonksiyonu [, π] aralığında sürekli olsun. f() = f(π) = Steklov eşitsizliği olarak da adlandırılan 2 dx 2 dx eşitsizliğinin geçerli olduğunu kanıtlayın ve eşitliğin yalnızca f(x) = B sin x biçimindeki fonksiyonlar için geçerli olduğundan emin olun. . 38. Bir f fonksiyonu [, π] aralığında sürekli olsun ve içinde (yalnızca sonlu sayıda nokta olması olası istisna dışında) kare-integre edilebilir bir f (x) türevi olsun. f() = f(π) ve f(x) dx = koşulları sağlanırsa, Wirtinger eşitsizliği adı verilen 2 dx 2 dx eşitsizliğinin geçerli olduğunu ve içindeki eşitliğin yalnızca f(x ) = A cosx + B sinx oluşturur. 56
57 7. Kısmi diferansiyel denklemleri çözmek için Fourier serilerinin uygulanması Gerçek bir nesneyi (doğal fenomen, üretim süreci, kontrol sistemi, vb.) incelerken, iki faktörün önemli olduğu ortaya çıkıyor: incelenen nesne hakkında birikmiş bilgi düzeyi ve matematiksel aparatın gelişme derecesi. Üzerinde şimdiki aşama bilimsel araştırma aşağıdaki zincir geliştirildi: fenomen fiziksel model matematiksel model. Problemin fiziksel formülasyonu (modeli) şu şekildedir: sürecin gelişimi için koşullar ve onu etkileyen ana faktörler belirlenir. Matematiksel formülasyon (model), fiziksel formülasyonda seçilen faktörleri ve koşulları bir denklem sistemi (cebirsel, diferansiyel, integral, vb.) şeklinde tanımlamayı içerir. Belirli bir işlevsel uzayda, problemin çözümü benzersiz ve sürekli olarak başlangıç ve sınır koşullarına bağlıysa, bir problemin iyi kurgulanmış olduğu söylenir. Matematiksel model, söz konusu nesneyle aynı değildir, ancak yaklaşık açıklamasıdır.İpin serbest küçük enine titreşimlerinin denkleminin türetilmesi.Ders kitabını takip edeceğiz. İpin uçları sabit olsun ve ipin kendisi gergin olsun. İp dengeden çıkarılırsa (örneğin çekerek veya vurarak), ip başlar 57
58 tereddüt. İpin tüm noktalarının denge konumuna dik hareket ettiğini (enine titreşimler) ve her an ipin aynı düzlemde olduğunu varsayacağız. Bu düzlemde xu dikdörtgen koordinatlarından oluşan bir sistem alalım. O zaman, eğer ilk t zamanında = dize Ox ekseni boyunca yerleştirildiyse, o zaman u, dizenin denge konumundan sapması anlamına gelir, yani dize noktasının apsis x ile keyfi bir t zamanındaki konumu u(x, t) fonksiyonunun değerine karşılık gelir. t'nin her sabit değeri için, u(x, t) fonksiyonunun grafiği, t zamanında titreşen sicimin şeklini temsil eder (Şekil 32). Sabit bir x değerinde, u(x, t) işlevi, Ou eksenine paralel düz bir çizgi boyunca apsisi x olan bir noktanın hareket yasasını verir, u t türevi bu hareketin hızıdır ve ikincisi 2 u t 2 türevi ivmedir. Pirinç. 32. Bir dizinin sonsuz küçük bir bölümüne uygulanan kuvvetler u(x, t) fonksiyonunun sağlaması gereken bir denklem yazalım. Bunu yapmak için, bazı daha basitleştirici varsayımlar yapıyoruz. Dizenin kesinlikle esnek olduğunu varsayacağız.
59 utangaç, yani ipin bükülmeye direnmediğini varsayacağız; bu, ipte ortaya çıkan gerilimlerin her zaman anlık profiline teğetsel olarak yönlendirildiği anlamına gelir. İpin elastik olduğu ve Hooke yasasına tabi olduğu varsayılır; bu, gerilim kuvvetinin büyüklüğündeki değişimin, ipin uzunluğundaki değişimle orantılı olduğu anlamına gelir. Dizenin homojen olduğunu varsayalım; bu, doğrusal yoğunluğunun ρ sabit olduğu anlamına gelir. Dış güçleri ihmal ediyoruz. Bu, düşündüğümüz anlamına gelir serbest titreşimler. Bir sicimin sadece küçük titreşimlerini inceleyeceğiz. ϕ(x, t) ile apsis ekseni ile apsisin x olduğu noktada ipin teğeti arasındaki açıyı t zamanında gösterirsek, küçük salınımlar için koşul ϕ 2 (x, t) ϕ (x, t), yani ϕ 2 ile karşılaştırıldığında ihmal edilebilir. ϕ açısı küçük olduğundan, o zaman cos ϕ 1, ϕ sin ϕ tg ϕ u, bu nedenle (u x x,) 2 değeri de olabilir ihmal edilmek. Bundan hemen, salınım sürecinde dizenin herhangi bir bölümünün uzunluğundaki değişikliği ihmal edebileceğimiz sonucu çıkar. Gerçekten de, x 2 = x 1 + x'in l = x 2 x () 2 u dx x'e eşit olduğu x ekseni aralığına yansıtılan M 1 M2 dizisinin uzunluğu. x Varsayımlarımıza göre, T gerilim kuvvetinin değerinin tüm ip boyunca sabit olacağını gösterelim. Bunu yapmak için, t zamanında M 1 M 2 (Şekil 32) dizisinin bir kısmını alıyoruz ve atılan parçaların hareketini değiştiriyoruz.
T 1 ve T 2 gerilim kuvvetleri tarafından 60 kov. Koşullara göre, ipin tüm noktaları Ou eksenine paralel hareket ettiğinden ve dış kuvvetler olmadığından, Öküz ekseni üzerindeki gerilim kuvvetlerinin izdüşümlerinin toplamı sıfıra eşit olmalıdır: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. Dolayısıyla, ϕ 1 = ϕ(x 1, t) ve ϕ 2 = ϕ(x 2, t) açılarının küçüklüğü nedeniyle, T 1 = T 2 olduğu sonucuna varırız. Genel anlam T 1 \u003d T 2 ila T. Şimdi aynı kuvvetlerin F u projeksiyonlarının toplamını Ou eksenine hesaplıyoruz: F u \u003d T sin ϕ (x 2, t) T sin ϕ (x 1, t) . (2) Küçük açılar sin ϕ(x, t) tg ϕ(x, t) ve tg ϕ(x, t) u(x, t)/ x için, denklem (2) F u T olarak yeniden yazılabilir (tan ϕ(x 2, t) tan ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x . x 1 noktası keyfi olarak seçildiğinden, F u T 2 u x2(x, t) x olur. M 1 M 2 kesitine etki eden tüm kuvvetler bulunduktan sonra, Newton'un ikinci yasasını uygularız, buna göre kütle ve ivme çarpımı tüm hareket eden kuvvetlerin toplamına eşittir. M 1 M 2 dizisinin bir parçasının kütlesi m = ρ l ρ x'e eşittir ve ivme 2 u(x, t)'ye eşittir. Newton'un t 2 denklemi şu şekildedir: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, burada α 2 = T ρ bir sabittir pozitif sayı. 6
61 x ile azaltarak, 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t) elde ederiz. (21) Sonuç olarak, ikinci mertebeden sabit katsayılı lineer homojen kısmi diferansiyel denklem elde ettik. Buna sicim titreşim denklemi veya tek boyutlu dalga denklemi denir. Denklem (21) esasen Newton yasasının yeniden formüle edilmesidir ve bir sicimin hareketini tanımlar. Fakat problemin fiziksel formülasyonunda, ipin uçlarının sabit olması ve ipin herhangi bir zaman noktasındaki konumunun bilinmesi gerekliliği vardı. Bu koşulları denklemlerde şu şekilde yazacağız: a) dizenin uçlarının x = ve x = l noktalarında sabit olduğunu varsayacağız, yani tüm t bağıntıları için u(, t) = , u(l, t ) = ; (22) b) t = zamanında dizinin konumunun f(x) fonksiyonunun grafiğiyle çakıştığını varsayacağız, yani tüm x [, l] için u(x,) eşitliğinin olduğunu varsayacağız. = f(x); (23) c) t = apsisi x olan sicimin noktasına g(x) hızı verildiğini, yani u(x,) = g(x) olduğunu varsayacağız. (24) t İlişkileri (22) sınır koşulları, (23) ve (24) ilişkileri ise başlangıç koşulları olarak adlandırılır. Serbest küçük enine 61 matematiksel modeli
62 dize titreşimleri, denklem (21) sınır koşulları (22) ve başlangıç koşulları (23) ve (24) ile çözülmesi gerektiğidir.< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. (25)'i (21) ile değiştirirsek: X T = α 2 X T, (26) veya T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) elde ederiz. (27) Değişkenlerin ayrılması olduğu söyleniyor. x ve t birbirine bağlı olmadığından (27)'deki sol taraf x'e bağlı değildir, ancak sağ taraf t'ye bağlı değildir ve bu oranların toplam değeri 62'dir.
63, λ ile ifade ettiğimiz sabit olmalıdır: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. Bundan iki sıradan elde ederiz diferansiyel denklemler: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) Bu durumda, sınır koşulları (22) X()T(t) = ve X(l)T(t) = şeklini alır. Tüm t, t > için yerine getirilmesi gerektiğinden, X() = X(l) =. (3) Sınır koşullarını (3) sağlayan denklem (28) için çözümler bulalım. Üç vakayı ele alalım. Durum 1: λ >. λ = β 2'yi gösterin. Denklem (28) X (x) β 2 X(x) = şeklini alır. Karakteristik denklemi k 2 β 2 = k = ±β köklerine sahiptir. Sonuç olarak, ortak karar(28) denklemi X(x) = C e βx + De βx biçimindedir. Sınır koşullarının (3) karşılanması için C ve D sabitlerini seçmeliyiz, yani X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. β olduğundan, bu denklem sistemi benzersiz bir C = D = çözümüne sahiptir. Dolayısıyla X(x) ve 63
64 u(x, t). Böylece, 1. durumda, daha fazla dikkate almayacağımız önemsiz bir çözüm elde ettik. Durum 2: λ =. O zaman denklem (28) X (x) = biçimini alır ve çözümü açıkça şu formülle verilir: X(x) = C x+d. Bu çözümü sınır koşulları (3) ile değiştirerek, X() = D = ve X(l) = Cl =, dolayısıyla C = D = elde ederiz. Dolayısıyla X(x) ve u(x, t) ve yine önemsiz bir çözümümüz var. Durum 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64
65 Aşağıda, n'ye sadece pozitif değerler atayacağız n = 1, 2,..., çünkü negatif n için aynı formda (nπ) çözümler elde edilecektir. özdeğerler olarak adlandırılan ve X n (x) = C n sin πnx fonksiyonlarının sınır koşulları (3) ile diferansiyel denklemin (28) özfonksiyonları. Şimdi denklemi (29) çözelim. Onun için karakteristik denklem k 2 α 2 λ = şeklindedir. (32) l 2 (28) Denkleminin X(x) önemsiz çözümlerinin sadece λ = n2 π 2'ye eşit olan negatif λ için mevcut olduğunu yukarıda öğrendiğimize göre, aşağıda ele alacağımız bu λ'lardır. (32) denkleminin kökleri k = ±iα λ'dır ve (29) denkleminin çözümleri şu şekildedir: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) l l burada A n ve B n keyfi sabitlerdir. (31) ve (33) formüllerini (25) yerine koyarak, (21) denkleminin sınır koşullarını (22) karşılayan özel çözümlerini buluruz: (u n (x, t) = B n cos πnαt + A n sin πnαt) C n günah pnx. l l l Cn faktörünü parantez içinde girerek ve C n A n = b n ve B n C n = a n notasyonunu tanıtarak, u n (X, T)'yi (u n (x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt olarak yazarız. ) günah pnx. (34) l l l 65
66 u n (x, t) çözümlerine karşılık gelen sicimin titreşimlerine sicimin doğal titreşimleri denir. Denklem (21) ve sınır koşulları (22) doğrusal ve homojen olduğundan, çözümlerin (34) (u(x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt) sin πnx (35) l l l'nin doğrusal bir kombinasyonu a olacaktır. serinin düzgün yakınsamasını sağlayan, a n ve b n katsayılarının özel bir seçimi ile sınır koşullarını (22) karşılayan denklem (21) çözümü. Şimdi, sadece sınır koşullarını değil, aynı zamanda f(x), g(x) fonksiyonlarının verildiği başlangıç koşullarını (23) ve (24) de sağlayacak şekilde çözümün (35) a n ve bn katsayılarını seçiyoruz ( ayrıca, f() = f (l) = g() = g(l) =). f(x) ve g(x) fonksiyonlarının Fourier açılım koşullarını sağladığını varsayıyoruz. t = değerini (35) ile değiştirerek, u(x,) = a n sin πnx l = f(x) elde ederiz. Seriyi (35) t'ye göre farklılaştırarak ve t = yerine koyarak, u t (x,) = πnα b n sin πnx l l = g(x) elde ederiz ve bu f(x) ve g(x) fonksiyonlarının açılımıdır. Fourier serisine dönüştürülür. Bu nedenle, a n = 2 l l f(x) sin πnx l dx, b n = 2 l g(x) sin πnx dx. πnα l (36) 66
67 a n ve b n katsayıları için ifadeleri seri (35) ile değiştirerek, denklem (21) için sınır koşullarını (22) ve başlangıç koşullarını (23) ve (24) sağlayan bir çözüm elde ederiz. Böylece, bir ipin serbest küçük enine titreşimleri problemini çözdük. Formül (34) ile tanımlanan bir sicimin serbest titreşimleri probleminin un (x, t) özfonksiyonlarının fiziksel anlamını açıklığa kavuşturalım. u n (x, t) = α n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctg b n şeklinde yeniden yazalım. l a n Formül (37) dizideki tüm noktaların aynı frekans ω n = πnα ve faz πnα δ n ile harmonik salınımlar gerçekleştirdiğini gösterir. Salınım genliği ip noktasının apsisi x'ine bağlıdır ve α n sin πnx'e eşittir. Böyle bir salınımla, ipin tüm noktaları aynı anda bir yönde maksimum sapmalarına ulaşır ve aynı anda denge konumunu geçer. Bu tür salınımlara duran dalgalar denir. Duran bir dalga, [, l] aralığında sin πnx = denkleminin kökleri tarafından verilen n + 1 sabit noktaya sahip olacaktır. Sabit noktalara duran dalganın düğümleri denir. Düğümler arasındaki ortada - l mi, sapmaların maksimuma ulaştığı noktalardır; bu noktalara antinode denir. Her dizi, kesin olarak tanımlanmış frekansların kendi salınımlarına sahip olabilir ω n = πnα, n = 1, 2,.... Bu frekanslara dizinin doğal frekansları denir. Bir telin üretebileceği en düşük l tonu kendisi tarafından belirlenir 67
68 düşük doğal frekans ω 1 = π T ve dizenin temel tonu olarak adlandırılır. l ρ frekanslarına karşılık gelen kalan tonlar ω n, n = 2, 3,..., üst tonlar veya harmonikler olarak adlandırılır. Anlaşılır olması için, temel tonu (Şek. 33), birinci tonu (Şek. 34) ve ikinci tonu (Şek. 35) yayan bir telin tipik profillerini göstereceğiz. Pirinç. 33. Temel tonu yayan telin profili. Şekil 34. Birinci tonu yayan bir telin profili. Şekil 35. İkinci bir ton yayan bir telin profili İp, başlangıç koşulları tarafından belirlenen serbest titreşimleri gerçekleştiriyorsa, formül (35)'den görülebileceği gibi, u(x, t) fonksiyonu, aşağıdakilerin toplamı olarak temsil edilir. bireysel harmonikler. Böylece keyfi salınım 68
69. dize, duran dalgaların bir üst üste binmesidir. Bu durumda, telin sesinin doğası (ton, ses gücü, tını) bireysel harmoniklerin genlikleri arasındaki orana bağlı olacaktır.Sesin gücü, perdesi ve tınısı Titreşen bir tel, insan tarafından algılanan hava titreşimlerini heyecanlandırır. bir tel tarafından yayılan bir ses olarak kulak. Sesin gücü, titreşimlerin enerjisi veya genliği ile karakterize edilir: enerji ne kadar büyükse, sesin gücü de o kadar büyük olur. Bir sesin perdesi, frekansı veya salınım periyodu ile belirlenir: frekans ne kadar yüksekse, ses de o kadar yüksek olur. Sesin tınısı, tonların varlığı, enerjinin harmonikler üzerindeki dağılımı, yani titreşimlerin uyarılma yöntemi ile belirlenir. Üst tonların genlikleri, genel olarak konuşursak, temelin genliğinden daha azdır ve tonların fazları keyfi olabilir. Kulağımız salınımların fazına duyarlı değildir. Örneğin, Şekil 2'deki iki eğriyi karşılaştırın. 36, ödünç alındı. Bu, klarnet (a) ve piyanodan (b) alınan aynı temel tonda ses kaydıdır. Her iki ses de basit sinüzoidal salınımlar değildir. Her iki durumda da sesin temel frekansı aynıdır ve bu aynı tonu yaratır. Ancak, temel tonun üzerine farklı tonlar bindirildiği için eğri desenleri farklıdır. Bu çizimler bir anlamda tınının ne olduğunu gösteriyor. 69
Hiperbolik tip denklemler. Sonsuz ve yarı sonsuz bir dizinin titreşimleri. Fourier yöntemi Fourier yöntemi Duran dalgalar 4 Anlatım 4.1 Hiperbolik tip denklemler. Sonsuz ve yarı sonsuz dalgalanmalar
MOSKOVA DEVLET TEKNİK SİVİL HAVACILIK ÜNİVERSİTESİ V.M. Lyubimov, E.A. Zhukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Shurinov
RUSYA EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI Federal Devlet Bütçe Yüksek Mesleki Eğitim Eğitim Kurumu MATI K. E. Tsiolkovsky adını taşıyan Rusya Devlet Teknoloji Üniversitesi
Belarus Cumhuriyeti Eğitim Bakanlığı Vitebsk Devlet Teknoloji Üniversitesi Konu. "Satırlar" Teorik ve Uygulamalı Matematik Bölümü. Doç. E.B. Dunina. Ana
Federal Eğitim Ajansı Federal Devlet Yüksek Mesleki Eğitim Eğitim Kurumu GÜNEY FEDERAL ÜNİVERSİTESİ R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Metodolojik
Konu Fourier serileri Uygulama Ortogonal fonksiyon sistemlerinde Fourier serileri Parçalı sürekli fonksiyonların uzayı Genelleştirilmiş Fourier serileri 3 Bessel eşitsizliği ve Fourier serilerinin yakınsaklığı Uzay
SERİ TEORİSİ Seri teorisi, matematiksel analizin en önemli bileşenidir ve hem teorik hem de çok sayıda pratik uygulama bulur. Sayısal ve fonksiyonel serileri ayırt eder.
İÇİNDEKİLER Fourier serisi 4 Periyodik fonksiyon kavramı 4 Trigonometrik polinom 6 3 Ortogonal fonksiyon sistemleri 4 Trigonometrik Fourier serisi 3 5 Çift ve tek fonksiyonlar için Fourier serisi 6 6 Ayrışma
Federal Eğitim Ajansı Moskova Devlet Jeodezi ve Haritacılık Üniversitesi (MIIGAiK) YÜKSEK MATEMATİK kursunda BAĞIMSIZ ÇALIŞMA İÇİN METODOLOJİK TALİMATLAR VE GÖREVLER
Anlatım 4. Harmonik analiz. Fourier serileri Periyodik fonksiyonlar. Harmonik analiz Bilim ve teknolojide, genellikle periyodik olaylarla, yani sürekli tekrar eden olaylarla uğraşmak gerekir.
KONU V FOURIER SERİSİ DERSİ 6 Periyodik bir fonksiyonun Fourier serisinde açılımı Doğada ve teknolojide meydana gelen birçok işlem belirli aralıklarla tekrar etme özelliğine sahiptir.
YÜKSEK MATEMATİK DERSİNDE HESAPLAMA GÖREVLERİ İÇİN METODOLOJİK TALİMATLAR "ORDINRY DİFERANSİYEL DENKLEMLER SERİSİ ÇİFT ENTEGRALLER" BÖLÜM III TEMEL SERİSİ İçindekiler Seri Sayısal seriler Yakınsama ve diverjans
6 Fourier serisi 6 Ortogonal fonksiyon sistemleri Ortogonal fonksiyon sistemi cinsinden Fourier serisi [, ] segmentinde tanımlanmış ve integrallenebilen ϕ () ve ψ () fonksiyonları, eğer bu segmentte ortogonal olarak adlandırılır.
KESİN İNTEGRAL. İntegral Toplamlar ve Belirli İntegral [, b ] parçasında tanımlanmış bir y = f () fonksiyonu olsun, burada< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных
5 Kuvvet serileri 5 Kuvvet serileri: tanımı, yakınsaklık alanı (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) sayılara kuvvet serileri denir Sayılar
BELARUSYA DEVLET ÜNİVERSİTESİ UYGULAMALI MATEMATİK VE BİLGİ BİLİMLERİ FAKÜLTESİ Yüksek Matematik Bölümü Uygulamalı Matematik ve Enformatik Fakültesi öğrencileri için öğretim yardımı
Bazı örneklere bakalım. Örnek. Sonsuz bir geometrik ilerlemenin toplamını bulalım. Bu dizinin ortak terimi için formül a+su+...+su n +... (a). bir n = su n. Kısmi toplamlarını hesaplayalım. q = ise, o zaman
Görev 1.1. Belirtilen alanda özdeş olmayan sıfır olan ve verilen sınır koşullarını sağlayan diferansiyel denklemin y = y(x) çözümlerini bulun (Sturm-Liouville problemi) Çözüm:
Matematiksel analiz Konu: Belirli integral Uygun olmayan integraller Öğretim Üyesi Pakhomova E.G. 2017 BÖLÜM II. Belirli integral ve uygulamaları 1. Belirli integral ve özellikleri 1. Görevler,
Ders 8 4 Sturm-Liouville problemi
Metne ilişkin açıklamalar: işaret "eşdeğer" olarak okunur ve işaretin sağındaki ve işaretin solundaki denklemlerin aynı çözüm kümesine sahip olduğu anlamına gelir, IR işareti gerçek sayılar kümesini, işaret İÇİNDE
82 4. Bölüm 4. Fonksiyonel ve güç serileri 4.2. Ders 3 4.2. Ders 3 4.2.. Bir fonksiyonun Taylor açılımı TANIM 4.2.. y = f(x) fonksiyonunun bazı komşuluklarda sonsuz türevlenebilir olmasına izin verin
RUSYA EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI FEDERAL DEVLET BÜTÇESİ EĞİTİM YÜKSEK EĞİTİM ENSTİTÜSÜ "SAMARA DEVLET TEKNİK ÜNİVERSİTESİ" Uygulamalı Matematik Bölümü
Federal Demiryolu Taşımacılığı Ajansı Ural Devlet Demiryolu Taşımacılığı Departmanı Üniversitesi "Yüksek ve Uygulamalı Matematik" N. P. Chuev Harmonik Analizin Unsurları Metodik
Ders 3 Taylor ve Maclaurin serileri Kuvvet serilerinin uygulanması Fonksiyonların kuvvet serilerine genişletilmesi Taylor ve Maclaurin serileri Uygulamalar için, verilen bir fonksiyonu kuvvet serilerine, bu fonksiyonlara genişletebilmek önemlidir.
S A Lavrenchenko wwwwrckoru Ders Fourier dönüşümü İntegral dönüşüm kavramı İntegral dönüşümler yöntemi, matematiksel fiziğin güçlü yöntemlerinden biridir ve güçlü bir çözümdür
Bir fonksiyonun integrallenebilirliği (Riemann'a göre) ve belirli bir integral Problem çözme örnekleri 1. f(x) = C sabit fonksiyonu 'de integrallenebilirdir, çünkü herhangi bir bölme ve herhangi bir nokta seçimi için ξ i integral
Tabii ki, görev. Riemann fonksiyonunun, eğer 0, m m R(), if, m, m 0 ve kesrin indirgenemez, 0 ise irrasyonel olduğunu, her rasyonel noktada süreksiz ve her irrasyonel noktada sürekli olduğunu kanıtlayın. Çözüm.
1 2 İçindekiler 1 Fourier serisi 5 1.1 Trigonometrik Fourier serisi ................. 5 1.2 Sadece sin & cos .................. ............ 7 1.3 Karmaşık formda Fourier serileri ............. 11 1.4 f(x) = c k?......... ......
MATEMATİK FİZİĞİN DENKLEMLERİ 1. Kısmi diferansiyel denklemler
Ders 4. Dalga denklemleri 1. Tel titreşimleri denkleminin türetilmesi 2. Bir çubuğun boyuna titreşimlerinin denklemi 3. Başlangıç koşulları, sınır koşulları 4. Problem cümlesi 1. Tel titreşimleri denkleminin türetilmesi
1. Elektrostatik 1 1. Elektrostatik Ders 6 Kartezyen koordinatlarda değişkenlerin ayrılması 1.1. (Problem 1.49) z = düzlemi, σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy) yoğunluğu ile yüklüdür, burada σ, α, β sabittir.
Modül Konu Fonksiyon dizileri ve serileri Dizilerin ve serilerin düzgün yakınsaklığının özellikleri Kuvvet serileri Anlatım Fonksiyon dizilerinin ve serilerin tanımları Tekdüze
Parabolik tip denklemler. Değişkenlere ayırma yöntemi Homojen sınır değer problemi Kaynak fonksiyonu Homojen olmayan ısı denklemi 7 Anlatım 7.1 Parabolik tipte denklemler. Ayırma yöntemi
Anlatım Sayısal dizi Yakınsama işaretleri Sayı dizileri Yakınsaklık işaretleri Sonsuz bir dizinin üyelerinden oluşan + + + + sayısal dizisinin sonsuz ifadesine sayısal dizi denir
35 7 Trigonometrik Fourier serisi T periyoduna sahip periyodik fonksiyonlar için Fourier serisi. f(x), T periyoduna sahip parçalı sürekli bir periyodik fonksiyon olsun. Temel trigonometrik sistemi düşünün
Metalurji Fakültesi Yüksek Matematik Bölümü
Matematik ve Bilişim Bölümü Yüksek Matematiğin Unsurları Uzaktan teknolojileri kullanarak eğitim gören orta mesleki eğitim öğrencileri için eğitim ve metodolojik kompleks Modül Diferansiyel hesabı Derleyen:
9. Ters türev ve belirsiz integral 9.. f() fonksiyonu I R aralığında verilsin. F () işlevi, herhangi bir I için F () = f() ise, I aralığında ters türev işlevi f() olarak adlandırılır ve ters türev
BİR DEĞİŞKENİN FONKSİYONLARININ FARKLILANMASI Türev kavramı, geometrik ve fiziksel anlamı Türev kavramına yol açan problemler A x noktasında y f (x) doğrusuna S tanjantının tanımı; f(
Hiperbolik tip denklemler. Sonsuz ve yarı sonsuz bir dizinin titreşimleri. d'Alembert'in yöntemi Sonsuz dize. d'Alembert formülü Yarı sonsuz dizi 3 Anlatım 3.1 Hiperbolik tip denklemler.
Başlık Giriş. Temel kavramlar.... 4 1. Volterra integral denklemleri... 5 Ödev seçenekleri.... 8 2. Volterra integral denkleminin çözümü. 10 Ödev seçeneği.... 11
SATIRLAR. Sayı satırları. Temel tanımlar Sonsuz bir sayı dizisi verilsin (sonsuz toplam) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= ifadesine a denir sayı serisi. Sayılar
8. Kuvvet serisi 8.. c n (z) n, (8.) n= biçiminde bir fonksiyonel seri burada c n sayısal bir dizidir, R sabit bir sayıdır ve z R, katsayıları c n olan bir kuvvet serisi olarak adlandırılır. . Değişkenleri değiştirerek
~ ~ Belirsiz ve belirli integraller Ters türev ve belirsiz integral kavramı. Tanım: Eğer bu fonksiyonlar aşağıdaki gibi ilişkiliyse, bir F fonksiyonuna f fonksiyonuna göre ters türev denir.
3724 ÇOKLU VE EĞRİSEL INTEGRALLER SERİSİ 1 "ÇOKLU VE EĞRİSEL INTEGRALLER SERİSİ" BÖLÜMLERİNİN ÇALIŞMA PROGRAMI 11 Sayı serisi Sayı serisi kavramı Sayı serisinin özellikleri Yakınsama için gerekli bir kriter
YEMEK. CEVHER MATEMATİKSEL ANALİZİ. SAYISAL VE FONKSİYONEL SERİSİ NOVOSIBIRSK 200 2 RUSYA EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI SEI HPE "NOVOSİBİRSK DEVLET PEDAGOJİ ÜNİVERSİTESİ" E.M. Rudoy MATEMATİKSEL ANALİZ.
DERS N 7. Güç
ikinci dereceden denklemler
PARAMETRELERLE GÖREVLER BÖLÜMÜ Yorum Parametreli görevler, USE yapısında geleneksel olarak karmaşık görevlerdir ve başvuru sahibinin yalnızca çeşitli sorunları çözmek için tüm yöntem ve tekniklere hakim olmasını gerektirmez.
Diferansiyel hesap Matematiksel analize giriş Dizi ve fonksiyon limiti. İçindeki belirsizliklerin açıklanması. Fonksiyon türevi. Farklılaşma kuralları. Türevin uygulanması
Fourier serisi Ortogonal fonksiyon sistemleri Cebir açısından, verilen bir sınıfın fonksiyonları olan ve R veya C'den katsayılar olan eşitlik, vektörün B vektörlerinin lineer bir kombinasyonu olduğu anlamına gelir.
1. Belirli integral 1.1. f [, b] R segmentinde tanımlanmış sınırlı bir fonksiyon olsun. [, b] segmentinin bir bölümü τ = (x, x 1,..., x n 1, x n ) [, b ] öyle ki = x< x 1 < < x n 1
Ch Güç serisi a a a a a a () biçimindeki A serisine bir kuvvet serisi denir, burada, a, sabitlerdir, serinin katsayıları olarak adlandırılır.Bazen daha genel bir formun kuvvet serisi düşünülür: a a (a) a ( a) a (a) (), nerede
Fourier serisi, belirli bir periyoda sahip keyfi olarak alınan bir fonksiyonun bir seri olarak temsilidir. Genel olarak bu çözüm, bir elemanın ortogonal olarak ayrıştırılması olarak adlandırılır. Bir Fourier serisindeki fonksiyonların genişletilmesi, bir argüman ve evrişimde bir ifadeyi değiştirmenin yanı sıra integralleme, türev alma ve bu dönüşümün özelliklerinden dolayı çeşitli problemleri çözmek için oldukça güçlü bir araçtır.
Fransız bilim adamı Fourier'in çalışmalarının yanı sıra yüksek matematiğe aşina olmayan bir kişi, büyük olasılıkla bu “dizilerin” ne olduğunu ve ne için olduğunu anlamayacak. Bu arada, bu dönüşüm hayatımızda oldukça yoğun hale geldi. Sadece matematikçiler tarafından değil, aynı zamanda fizikçiler, kimyagerler, doktorlar, gökbilimciler, sismologlar, oşinograflar ve diğerleri tarafından da kullanılır. Zamanının ötesinde bir keşif yapan büyük Fransız bilim adamının eserlerine de yakından bakalım.
İnsan ve Fourier Dönüşümü
Fourier serisi yöntemlerden biridir (analiz ve diğerleri ile birlikte) Bu süreç, bir kişi her ses duyduğunda gerçekleşir. Kulağımız, temel parçacıkları elastik bir ortamda otomatik olarak dönüştürür, farklı yüksekliklerdeki tonlar için ses seviyesinin ardışık değerlerinin sıralarına (spektrum boyunca) ayrıştırılır. Daha sonra beyin bu verileri bize tanıdık gelen seslere dönüştürür. Bütün bunlar kendi başına arzumuza veya bilincimize ek olarak gerçekleşir, ancak bu süreçleri anlamak için yüksek matematik çalışmak birkaç yıl alacaktır.
Fourier Dönüşümü hakkında daha fazlası
Fourier dönüşümü analitik, sayısal ve diğer yöntemlerle gerçekleştirilebilir. Fourier serileri, okyanus gelgitlerinden ve ışık dalgalarından güneş döngülerine (ve diğer astronomik nesnelere) kadar herhangi bir salınım sürecini ayrıştırmanın sayısal yolunu ifade eder. Bu matematiksel teknikleri kullanarak, minimumdan maksimuma giden bir dizi sinüzoidal bileşen olarak herhangi bir salınım sürecini temsil eden fonksiyonları analiz etmek mümkündür. Fourier dönüşümü, belirli bir frekansa karşılık gelen sinüzoidlerin fazını ve genliğini tanımlayan bir fonksiyondur. Bu süreç, termal, ışık veya elektrik enerjisinin etkisi altında meydana gelen dinamik süreçleri tanımlayan çok karmaşık denklemleri çözmek için kullanılabilir. Ayrıca Fourier serileri, karmaşık salınım sinyallerinde sabit bileşenleri izole etmeyi mümkün kılar, bu da elde edilen deneysel gözlemlerin tıp, kimya ve astronomide doğru bir şekilde yorumlanmasını mümkün kılar.
Geçmiş referansı
Bu teorinin kurucu babası Fransız matematikçi Jean Baptiste Joseph Fourier'dir. Bu dönüşüm daha sonra onun adını aldı. Başlangıçta, bilim adamı yöntemini, ısı iletimi mekanizmalarını - ısının katılarda yayılması - incelemek ve açıklamak için uyguladı. Fourier, orijinal düzensiz dağılımın, her biri kendi minimum ve maksimum sıcaklıklarının yanı sıra kendi fazına sahip olacak en basit sinüzoidlere ayrıştırılabileceğini öne sürdü. Bu durumda, bu tür bileşenlerin her biri minimumdan maksimuma ve bunun tersi de ölçülecektir. Eğrinin üst ve alt tepe noktalarını ve ayrıca harmoniklerin her birinin fazını tanımlayan matematiksel fonksiyon, sıcaklık dağılım ifadesinin Fourier dönüşümü olarak adlandırılır. Teorinin yazarı, matematiksel olarak tanımlanması zor olan genel dağılım fonksiyonunu, orijinal dağılımı verecek şekilde özetleyen çok uygun bir kosinüs ve sinüs dizisine indirdi.
Dönüşüm ilkesi ve çağdaşların görüşleri
Bilim adamının çağdaşları - on dokuzuncu yüzyılın başlarında önde gelen matematikçiler - bu teoriyi kabul etmediler. Temel itiraz, Fourier'in düz bir çizgiyi veya süreksiz bir eğriyi tanımlayan süreksiz bir fonksiyonun sürekli olan sinüsoidal ifadelerin toplamı olarak gösterilebileceği iddiasıydı. Örnek olarak, Heaviside'ın "adımını" ele alalım: değeri, boşluğun solunda sıfır ve sağında birdir. Bu fonksiyon, devre kapalıyken elektrik akımının zaman değişkenine bağımlılığını tanımlar. O zamanki teorinin çağdaşları, süreksiz bir ifadenin üstel, sinüzoid, doğrusal veya ikinci dereceden gibi sürekli, sıradan fonksiyonların bir kombinasyonu ile tanımlanacağı böyle bir durumla hiç karşılaşmamıştı.
Fourier teorisinde Fransız matematikçilerin kafasını ne karıştırdı?
Sonuçta, matematikçi ifadelerinde haklıysa, sonsuz trigonometrik Fourier serisini toplayarak, birçok benzer adıma sahip olsa bile, adım adım ifadenin tam bir temsili elde edilebilir. On dokuzuncu yüzyılın başında, böyle bir ifade saçma görünüyordu. Ancak tüm şüphelere rağmen, birçok matematikçi bu fenomenin çalışmasının kapsamını genişleterek onu termal iletkenlik çalışmasının ötesine taşıdı. Bununla birlikte, çoğu bilim adamı şu soruyla eziyet etmeye devam etti: "Sinüsoidal serilerin toplamı süreksiz fonksiyonun tam değerine yakınsayabilir mi?"
Fourier Serisi Yakınsaklığı: Bir Örnek
Sonsuz sayı dizilerini toplamak gerektiğinde yakınsama sorunu ortaya çıkar. Bu fenomeni anlamak için klasik bir örnek düşünün. Birbirini izleyen her adım bir öncekinin yarısı büyüklüğündeyse duvara ulaşabilecek misin? Hedeften iki metre uzakta olduğunuzu varsayalım, ilk adım sizi orta noktaya, sonraki adım dörtte üçe yaklaştırıyor ve beşinciden sonra yolun neredeyse yüzde 97'sini aşacaksınız. Ancak ne kadar adım atarsanız atın katı bir matematiksel anlamda istenilen amaca ulaşamayacaksınız. Sayısal hesaplamaları kullanarak, sonunda keyfi olarak küçük bir mesafeye yaklaşmanın mümkün olduğu gösterilebilir. Bu ispat, yarımın, dörtte birin vs. toplam değerinin bire meyilli olacağını göstermeye eşdeğerdir.
Bir Yakınsama Sorusu: İkinci Geliş veya Lord Kelvin'in Aracı
Bu soru, on dokuzuncu yüzyılın sonunda, gelgitlerin yoğunluğunu tahmin etmek için Fourier serileri kullanılmaya çalışıldığında yeniden gündeme geldi. O sırada Lord Kelvin, askeri ve ticari filodaki denizcilerin bu doğal fenomeni izlemesine izin veren bir analog bilgi işlem cihazı olan bir cihaz icat etti. Bu mekanizma, yıl boyunca belirli bir limanda dikkatlice ölçülen bir gelgit yükseklikleri tablosundan faz ve genlik kümelerini ve bunlara karşılık gelen zaman anlarını belirledi. Her parametre gelgit yüksekliği ifadesinin sinüzoidal bir bileşeniydi ve düzenli bileşenlerden biriydi. Ölçümlerin sonuçları, gelecek yıl için zamanın bir fonksiyonu olarak suyun yüksekliğini tahmin eden bir eğriyi sentezleyen Lord Kelvin'in hesap makinesine girildi. Çok yakında dünyanın tüm limanları için benzer eğriler çizildi.
Ve süreç süreksiz bir işlev tarafından bozulursa?
O zamanlar, çok sayıda sayma elemanına sahip bir gelgit dalgası tahmincisinin çok sayıda faz ve genliği hesaplayabildiği ve böylece daha doğru tahminler sağlayabildiği açık görünüyordu. Bununla birlikte, sentezlenmesi gereken gelgit ifadesinin keskin bir sıçrama içerdiği, yani süreksiz olduğu durumlarda bu düzenliliğin gözlemlenmediği ortaya çıktı. Cihaza zaman anları tablosundan veri girilmesi durumunda, birkaç Fourier katsayısı hesaplar. Sinüzoidal bileşenler sayesinde (bulunan katsayılara göre) orijinal fonksiyon geri yüklenir. Orijinal ve geri yüklenen ifade arasındaki tutarsızlık herhangi bir noktada ölçülebilir. Tekrarlanan hesaplamalar ve karşılaştırmalar yapıldığında, en büyük hatanın değerinin azalmadığı görülebilir. Ancak, süreksizlik noktasına karşılık gelen bölgede lokalizedirler ve başka herhangi bir noktada sıfır olma eğilimindedirler. 1899'da bu sonuç, Yale Üniversitesi'nden Joshua Willard Gibbs tarafından teorik olarak doğrulandı.
Fourier serilerinin yakınsaklığı ve genel olarak matematiğin gelişimi
Fourier analizi, belirli bir aralıkta sonsuz sayıda çoğuşma içeren ifadelere uygulanamaz. Genel olarak, Fourier serileri, orijinal fonksiyon gerçek bir fiziksel ölçümün sonucu ile temsil ediliyorsa, her zaman yakınsar. Bu sürecin belirli fonksiyon sınıfları için yakınsaması soruları, örneğin genelleştirilmiş fonksiyonlar teorisi gibi matematikte yeni bölümlerin ortaya çıkmasına neden olmuştur. L. Schwartz, J. Mikusinsky ve J. Temple gibi isimlerle ilişkilidir. Bu teori çerçevesinde, Dirac delta işlevi (bir noktanın sonsuz küçük bir mahallesinde yoğunlaşan tek bir alanın alanını tanımlar) ve Heaviside “ gibi ifadeler için açık ve kesin bir teorik temel oluşturulmuştur. adım". Bu çalışma sayesinde Fourier serileri, sezgisel kavramların ortaya çıktığı denklemlerin ve problemlerin çözümüne uygulanabilir hale geldi: bir nokta yükü, bir nokta kütlesi, manyetik dipoller ve ayrıca bir kiriş üzerinde konsantre bir yük.
Fourier yöntemi
Fourier serileri, girişim ilkelerine uygun olarak, karmaşık formların daha basit olanlara ayrıştırılmasıyla başlar. Örneğin, ısı akışındaki bir değişiklik, düzensiz şekilli ısı yalıtım malzemesinden yapılmış çeşitli engellerden geçişi veya dünya yüzeyindeki bir değişiklik - bir deprem, bir gök cismi yörüngesindeki bir değişiklik - etkisi ile açıklanır. gezegenler. Kural olarak, basit klasik sistemleri tanımlayan benzer denklemler, her bir bireysel dalga için temel olarak çözülür. Fourier, daha karmaşık problemlere çözümler vermek için basit çözümlerin de toplanabileceğini gösterdi. Matematik dilinde ifade edilen Fourier serisi, bir ifadeyi harmoniklerin toplamı - kosinüs ve sinüzoidler olarak temsil eden bir tekniktir. Bu nedenle, bu analiz "harmonik analiz" olarak da bilinir.
Fourier serisi - "bilgisayar çağı" öncesi ideal teknik
Bilgisayar teknolojisinin yaratılmasından önce, Fourier tekniği, dünyamızın dalga doğasıyla çalışırken bilim adamlarının cephanesindeki en iyi silahtı. Fourier serisi karmaşık bir biçimde, yalnızca Newton mekaniğinin yasalarına doğrudan uygulanabilen basit problemlerin değil, aynı zamanda temel denklemlerin de çözülmesine izin verir. Newtoncu bilimin on dokuzuncu yüzyıldaki keşiflerinin çoğu yalnızca Fourier'in tekniğiyle mümkün oldu.
Fourier serisi bugün
Bilgisayarların gelişmesiyle birlikte, Fourier dönüşümleri niteliksel olarak yeni bir düzeye yükseldi. Bu teknik, bilim ve teknolojinin hemen hemen tüm alanlarında sağlam bir şekilde yerleşmiştir. Bir örnek, dijital bir ses ve video sinyalidir. Gerçekleşmesi ancak on dokuzuncu yüzyılın başında bir Fransız matematikçi tarafından geliştirilen teori sayesinde mümkün oldu. Böylece, karmaşık bir biçimdeki Fourier serileri, uzay araştırmalarında bir atılım yapmayı mümkün kıldı. Ayrıca bu, yarı iletken malzemelerin fiziği ve plazma, mikrodalga akustiği, oşinografi, radar ve sismoloji çalışmalarını etkiledi.
Trigonometrik Fourier serisi
Matematikte, bir Fourier serisi, rastgele karmaşık fonksiyonları daha basit olanların toplamı olarak göstermenin bir yoludur. Genel durumlarda, bu tür ifadelerin sayısı sonsuz olabilir. Ayrıca, hesaplamada sayıları ne kadar çok dikkate alınırsa, nihai sonuç o kadar doğru olur. Çoğu zaman en basiti olarak kullanılır trigonometrik fonksiyonlar kosinüs veya sinüs. Bu durumda Fourier serisine trigonometrik ve bu tür ifadelerin çözümüne harmoniğin açılımı denir. Bu yöntem matematikte önemli bir rol oynar. Her şeyden önce, trigonometrik seri, görüntü için bir araç sağlar ve işlevlerin incelenmesinin yanı sıra, teorinin ana aygıtıdır. Ek olarak, bir takım matematiksel fizik problemlerinin çözülmesine izin verir. Son olarak, bu teori gelişmeye katkıda bulundu ve matematik biliminin bir dizi çok önemli bölümünü (entegraller teorisi, periyodik fonksiyonlar teorisi) hayata geçirdi. Ayrıca, gerçek bir değişkenin aşağıdaki fonksiyonlarının geliştirilmesi için bir başlangıç noktası olarak hizmet etti ve ayrıca harmonik analizin başlangıcını işaret etti.
Çift ve tek fonksiyonların Fourier serisi açılımı Bir segmentte verilen bir fonksiyonun sinüs veya kosinüs cinsinden bir seriye genişlemesi Rastgele periyodu olan bir fonksiyon için Fourier serileri Fourier serisinin karmaşık temsili Fourier serisi Genel ortogonal fonksiyon sistemlerinde Fourier serisi ortogonal bir sistemde Fourier katsayılarının minimum özelliği Bessel eşitsizliği Eşitlik Parseval Kapalı sistemler Sistemlerin tamlığı ve kapalılığı
Çift ve tek fonksiyonların Fourier serisi açılımı I > 0 olan \-1 segmentinde tanımlanan f(x) fonksiyonu, çift fonksiyonun Grafiği y ekseni etrafında simetrik olsa bile çağrılır. I > 0 olan J segmentinde tanımlanan f(x) fonksiyonuna, tek fonksiyonun Grafiği orijine göre simetrik ise tek denir. Örnek. a) Fonksiyon |-jt, jt segmentinde çifttir), çünkü tüm x e için b) Fonksiyon tektir, çünkü çift ve tek fonksiyonların Fourier serisi açılımı, bir dizi segmentinde verilen bir fonksiyonun açılımıdır. sinüsler veya kosinüsler Keyfi periyodu olan bir fonksiyon için Fourier serileri Fourier serisinin karmaşık gösterimi Genel olarak ortogonal fonksiyon sistemleri Fourier serileri Ortogonal bir sistemdeki Fourier serileri Fourier katsayılarının minimum özelliği Bessel eşitsizliği Parseval eşitliği Kapalı sistemler Sistemlerin eksiksizliği ve kapalılığı çift veya tek fonksiyonlara, çünkü Teorem 1'in koşullarını sağlayan f(x) fonksiyonu x| doğru parçası üzerinde çift olsun. O zaman herkes için yani /(g) cos nx eşit işlev, ve f(x)sinnx tektir. Bu nedenle, bir çift fonksiyonun /(x)'in Fourier katsayıları eşit olacaktır. Bu nedenle, çift bir fonksiyonun Fourier serisi 00 biçimindedir. Tek işlev [-mr, ir|] segmentinde, o zaman f(x) cosnx çarpımı tek fonksiyon olacak ve f(x) sin nx çarpımı çift fonksiyon olacaktır. Bu nedenle, elimizde olacak Böylece, bir tek fonksiyonun Fourier serisi şu şekildedir: İki kez parçalara göre entegrasyon uygulayarak şunu elde ederiz. Dolayısıyla, bu fonksiyonun Fourier serisi şöyle görünür: veya genişletilmiş biçimde, Bu eşitlik herhangi bir x € için geçerlidir, çünkü x = ±ir noktalarında toplamı seri, f(x) = x2 fonksiyonunun değerleri ile çakışmaktadır, çünkü f(x) = x fonksiyonunun grafikleri ve ortaya çıkan serilerin toplamları, Şek. Yorum. Bu Fourier serisi, yakınsak sayısal serilerden birinin toplamını bulmanızı sağlar, yani x \u003d 0 için şunu elde ederiz. /(x) işlevi, Teorem 1'in koşullarını karşılar, bu nedenle, bu işlevin tuhaflığından dolayı, forma sahip olacak bir Fourier serisine genişletilebilir Parçalarla İntegral, Fourier katsayılarını buluruz. Bu fonksiyonun serisi forma sahiptir Bu eşitlik tüm x В noktaları için geçerlidir x - ±tg Fourier serisinin toplamı / (x) = x fonksiyonunun değerleriyle çakışmaz, çünkü Dışına eşittir segment [- *, n-] dizinin toplamı / (x) \u003d x fonksiyonunun periyodik bir devamıdır; onun grafiği Şek. 6. § 6. Bir aralıkta verilen bir fonksiyonun sinüs veya kosinüs cinsinden bir seriye genişletilmesi Sınırlı parçalı monotonik bir fonksiyon / bir aralıkta verilsin. Bu işlevin değerleri 0| çeşitli şekillerde tanımlanabilir. Örneğin, mc] segmentinde / fonksiyonunu / şeklinde tanımlamak mümkündür. Bu durumda) "0] segmentine eşit bir şekilde uzatılır"; Fourier serisi sadece kosinüsleri içerecektir. Bununla birlikte, /(x) işlevi [-x, mc] segmentinde /( olacak şekilde tanımlanırsa, o zaman tek bir işlev elde edilir ve ardından / "[-*, 0 segmentine genişletilir" deriz. ] garip bir şekilde"; bu durumda, Fourier serisi yalnızca sinüsleri içerecektir. Böylece, segment üzerinde tanımlanan her sınırlı parçalı monoton fonksiyon /(x), hem açısından bir Fourier serisine genişletilebilir. sinüsler ve kosinüsler.Örnek 1. Fonksiyon bir Fourier serisinde genişletilebilir: a) kosinüslerle; b) sinüsler boyunca. M Bu fonksiyon, |-x, 0) segmentine çift ve tek uzantıları ile sınırlı ve parçalı monoton olacaktır. a) / (z) 0) segmentine devam ediyoruz a) j \ x) segmentine (-m, 0 | eşit bir şekilde devam ediyoruz (Şekil 7), o zaman Fourier serisi i P formuna sahip olacak \u003d 1, Fourier katsayılarının sırasıyla eşit olduğu, Bu nedenle, b) [-x,0] segmentinde /(z)'ye tek bir şekilde devam edelim (Şek. sekiz). Sonra Fourier serisi §7. Keyfi Periyodu Olan Bir Fonksiyon İçin Fourier Serisi Fonksiyon sabit olsun) 21.1 ^ 0 periyodu ile periyodik olsun. Onu I > 0 aralığında bir Fourier serisine genişletmek için x = jt ayarlayarak bir değişken değişikliği yaparız. . O zaman F(t) = / ^tj işlevi, t argümanının bir nokta ile periyodik bir işlevi olacaktır ve bir Fourier serisindeki bir segment üzerinde genişletilebilir. x değişkenine dönersek, yani, elde ettiğimiz ayar, geçerli kalır keyfi periyodu olan periyodik fonksiyonlar için 21. Özellikle, yeterli işaret Fourier serisinde bir fonksiyonun genişletilebilirliği. Örnek 1. Bir Fourier serisinde, formülle [-/,/] segmentinde verilen, periyodu 21 olan bir periyodik fonksiyonu genişletin (Şekil 9). Bu fonksiyon çift olduğundan, Fourier serisi forma sahiptir Fourier katsayılarının bulunan değerlerini Fourier serisine koyarak, bir şey not edin önemli özellik periyodik fonksiyonlar. Teorem 5. Eğer bir fonksiyon T periyoduna sahipse ve integrallenebilirse, o zaman herhangi bir a sayısı için m eşitliği geçerlidir. yani uzunluğu T periyoduna eşit olan bir parça üzerindeki integral, bu parçanın gerçek eksen üzerindeki konumundan bağımsız olarak aynı değere sahiptir. Gerçekten de, varsayarak, ikinci integralde bir değişken değişikliği yapıyoruz. Bu verir ve bu nedenle Geometrik olarak bu özellik, Şekil 2'de gölgelenen alan durumunda şu anlama gelir. 10 alan birbirine eşittir. Özellikle, bir periyotlu f(x) fonksiyonu için, çift ve tek fonksiyonların Fourier serisi açılımında, bir segmentte verilen bir fonksiyonun sinüs veya kosinüs cinsinden bir seriye genişlemesini elde ederiz. keyfi bir periyot Fourier serisinin karmaşık temsili Genel ortogonal sistem fonksiyonlarında Fourier serisi Bir ortogonal sistemde Fourier serisi Fourier katsayılarının minimum özelliği Bessel eşitsizliği Parseval eşitliği Kapalı sistemler Periyodik bir fonksiyonun Fourier katsayıları f(x)'in Fourier katsayıları 21 periyodu ile, a'nın keyfi olduğu formüller kullanılarak hesaplanabilir. gerçek Numara(cos - ve sin işlevlerinin 2/ periyoduna sahip olduğuna dikkat edin). Örnek 3. Periyodu 2x olan bir aralıkta verilen bir fonksiyonu Fourier serisinde genişletin (Şekil 11). 4 Bu fonksiyonun Fourier katsayılarını bulun. Formülleri koyduğumuzda, Bu nedenle, Fourier serisi şöyle görünecektir: x = jt noktasında (birinci türden süreksizlik noktası) §8'e sahibiz. Fourier serisinin karmaşık gösterimi Bu bölümde, karmaşık analizin bazı öğeleri kullanılır (burada karmaşık ifadeler , kesinlikle haklı). f(x) fonksiyonunun bir Fourier serisine genişletmek için yeterli koşulları sağlamasına izin verin. Daha sonra x] aralığında, formun bir dizisi ile temsil edilebilir Euler formüllerini kullanarak Bu ifadeleri cos nx ve sin xy yerine (1) serisine koyarak aşağıdaki gösterimi sunacağız Sonra (2) serisi formunu alır Böylece, Fourier serisi (1) karmaşık formda (3) sunulur. Katsayılar için integral cinsinden ifadeler bulalım. Benzer şekilde, Son olarak, с„, с_п ve с formüllerinin aşağıdaki gibi yazılabileceğini bulduk: . . cn katsayılarına fonksiyonun karmaşık Fourier katsayıları denir. Bir periyotlu periyodik bir fonksiyon için), Fourier serisinin karmaşık formu, limitler varsa w form değerlerini alır. Örnek. Periyot fonksiyonunu karmaşık bir Fourier serisine genişletin Bu fonksiyon, bir Fourier serisine genişletmek için yeterli koşulları karşılar. Bu fonksiyonun karmaşık Fourier katsayılarını bulalım. Tek için çift n, veya kısacası var. Değerleri yerine koyarsak), sonunda şunu elde ederiz: Bu serinin aşağıdaki gibi de yazılabileceğine dikkat edin: Fourier serileri, genel ortogonal fonksiyon sistemlerinde 9.1. Ortogonal Fonksiyon Sistemleri [a, 6] aralığında bir kare ile tanımlı ve integrallenebilen tüm (gerçek) fonksiyonların kümesi ile, yani integralin bulunduğu fonksiyonlarla ifade edilir.Özellikle, sürekli olan tüm fonksiyonlar f(x) [a , 6] aralığında, 6]'ya aittir ve Lebesgue integrallerinin değerleri Riemann integrallerinin değerleriyle çakışmaktadır. Tanım. Koşul (1), özellikle hiçbir fonksiyonun aynı şekilde sıfıra eşit olmadığını varsayarsa, [a, b\ segmentinde ortogonal olarak adlandırılan işlevler sistemi. İntegral Lebesgue anlamında anlaşılır. ve niceliğe bir fonksiyonun normu diyoruz.Herhangi bir n için ortogonal bir sistemde varsa, o zaman fonksiyonlar sistemine ortonormal denir. Eğer sistem (y>n(x)) ortogonal ise, o zaman sistem Örnek 1. Bir trigonometrik sistem bir doğru parçası üzerinde ortogonaldir. Fonksiyonlar sistemi ortonormal bir fonksiyon sistemidir, Örnek 2. Kosinüs sistemi ve sinüs sistemi ortonormaldir. (0, f|) segmentinde ortogonal oldukları, ancak ortonormal olmadıkları (I ∗ 2 için) gösterimini sunalım.Normları COS olduğundan, fonksiyonların bir segment üzerinde ortonormal bir fonksiyonlar sistemi oluşturduğunu gösterelim. örneğin, Legendre polinomlarının dikliği. m > n olsun.Bu durumda, n kere kısımlar halinde integral alarak, t/m = (z2 - I)m fonksiyonu için m - I dahil tüm türevlerin segmentin sonunda [-1] yok olduğunu buluruz. ,1). Tanım. (pn(x)) fonksiyonları sistemine (a, b) aralığında p(x) çıkıntısı ile ortogonal denir, eğer: 1) tüm n = 1,2 için integraller varsa,... Burada şu varsayılır: ağırlık fonksiyonu p(x) tanımlıdır ve p(x)'in kaybolabileceği sınırlı sayıda nokta hariç, (a, b) aralığında her yerde pozitiftir. Formül (3)'te türevlendirme yaptıktan sonra buluruz. Örnek 4 aralığında Chebyshev-Hermite polinomlarının ortogonal olduğu gösterilebilir. (a, 6) ve (cj = const) serisinin bu aralıkta f(x) fonksiyonuna yakınsamasına izin verin: Sistemin ortogonalliği sayesinde, bu işlemin, genel olarak, tamamen biçimsel bir karaktere sahip olduğunu elde ederiz. Ancak bazı durumlarda, örneğin (4) serisi düzgün yakınsadığında, tüm fonksiyonlar sürekli ve (a, 6) aralığı sonlu olduğunda, bu işlem yasaldır. Ama şu anda bizim için önemli olan biçimsel yorumdur. Diyelim ki bir fonksiyon verildi. Formül (5)'e göre c * sayılarını oluşturuyoruz ve yazıyoruz Sağ taraftaki diziye f (x) fonksiyonunun (^n (n)) sistemine göre Fourier serisi denir - Cn sayıları bu sistemde f(x) fonksiyonunun Fourier katsayıları denir. Formül (6)'daki ~ işareti yalnızca Cn sayılarının formül (5) ile f(x) işleviyle ilişkili olduğu anlamına gelir (bu durumda, sağdaki serinin hiç yakınsadığı varsayılmaz, çok daha az yakınsar. f(x) fonksiyonuna). Bu nedenle, doğal olarak şu soru ortaya çıkıyor: Bu dizinin özellikleri nelerdir? Hangi anlamda f(x) fonksiyonunu "temsil ediyor"? 9.3. Ortalama Yakınsama Tanımı. Bir dizi, norm uzaydaysa ortalama olarak bir ] öğesine yakınsar. M () dizisinin [a, b] doğru parçası üzerinde f(x) fonksiyonuna düzgün bir şekilde yakınsamasına izin verin. Bu, herhangi biri için, yeterince büyük olan her n için, iddiamızın çıktığı Dolayısıyla, elimizde olduğu anlamına gelir. Bunun tersi doğru değildir: () dizisi ortalama olarak /(x)'e yakınsayabilir, ancak tekdüze yakınsak olamaz. Örnek. nx dizisini ele alalım. Ancak bu yakınsaklık tekdüze değildir: Örneğin, n ne kadar büyük olursa olsun, keyfi periyodu olan bir fonksiyon için Fourier serisi aralığında e vardır. Fourier serisi Genel olarak ortogonal fonksiyon sistemleri Bir ortogonal sistemde Fourier serisi Fourier katsayılarının minimum özelliği Bessel eşitsizliği Parseval eşitliği Kapalı sistemler Ortonormal sistemde sistemlerin tamlığı ve kapalılığı ve let ) b n ^ 1'in olduğu doğrusal bir kombinasyon düşünün sabit bir tamsayı ve integralin minimum değerini aldığı sabitlerin değerlerini bulun. Terim terim integral alarak sistemin ortonormalliğinden dolayı eşitliğin sağ tarafındaki ilk iki terim (7) bağımsızdır ve üçüncü terim negatif değildir. Bu nedenle, (*) integrali ak = sk'de minimum bir değer alır.Entegral, Tn(x)'in lineer bir kombinasyonu olarak f(x) fonksiyonunun ortalama karekök yaklaşımı olarak adlandırılır. Böylece, /\ fonksiyonunun ortalama karekök yaklaşımı, ne zaman minimum bir değer alır. Tn(x), sistemdeki /(x) fonksiyonunun Fourier serisinin 71. kısmi toplamı olduğunda (. ak = sk ayarı, (7)'den Eşitlik (9) elde edilir, Bessel özdeşliği denir. i burada keyfi olduğundan, Bessel eşitsizliği güçlendirilmiş bir biçimde temsil edilebilir, yani herhangi bir fonksiyon için /, bir ortonormal sistemde bu fonksiyonun kare Fourier katsayıları serisi ) yakınsar . Sistem [-x, r] aralığında ortonormal olduğundan, trigonometrik Fourier serisinin olağan gösterimine çevrilen eşitsizlik (10), integrallenebilir kareli herhangi bir f(x) fonksiyonu için do geçerli ilişkisini verir. f2(x) integrallenebilir ise, o zaman gerekli kondisyon eşitsizliğin sol tarafında serinin yakınsaması (11) olduğunu elde ederiz. Parseval'in eşitliği Bazı sistemlerde (^n(x)) formül (10)'daki eşitsizlik işareti (tüm fonksiyonlar için f(x) 6 x) eşittir işaretiyle değiştirilebilir. Ortaya çıkan eşitliğe Parseval-Steklov eşitliği (tamlık koşulu) denir. Bessel kimliği (9) koşulu (12) eşdeğer bir biçimde yazmamızı sağlar uzay normuna göre 6]. Tanım. Bir ortonormal sistem ( b2[ay b]'de tam olarak adlandırılır, eğer herhangi bir fonksiyon, formun yeterince fazla sayıda terim içeren lineer bir kombinasyonu ile ortalamada herhangi bir doğrulukla yaklaşık olarak tahmin edilebiliyorsa, yani herhangi bir fonksiyon için ise f(x) € b2[a, b\ ve herhangi bir e > 0 için doğal sayı nq ve sayıları a\, a2y..., öyle ki Hayır Yukarıdaki akıl yürütme Teorem 7'yi ima eder. Eğer sistem ) uzayda ortonormalizasyonla tamamlandıysa, herhangi bir fonksiyonun Fourier serisi / bu ortalamada f(x)'e yakınsar. sistem, yani norm ile trigonometrik sistemin uzayda tamamlandığı gösterilebilir.Bu, iddiayı ima eder. Teorem 8. Bir fonksiyon /0 ise, trigonometrik Fourier serisi ortalama olarak ona yakınsar. 9.5. kapalı sistemler. Sistemlerin tamlığı ve kapalılığı Tanım. Bir ortonormal fonksiyon sistemi \, eğer Li\a, b) uzayında tüm fonksiyonlara ortogonal sıfırdan farklı bir fonksiyon yoksa kapalı olarak adlandırılır.L2\a, b\ uzayında ortonormal sistemlerin tamlık ve kapalılık kavramları çakışıyor. Alıştırmalar 1. Fourier serisindeki fonksiyonu (-i-, x) aralığında genişletin 2. Fourier serisindeki fonksiyonu (-r, r) aralığında genişletin 3. Fonksiyonu aralıkta Fourier serisinde genişletin (-r, r) 4. (-jt, r) işlevi aralığında bir Fourier serisinde genişletin 5. (-r, r) aralığında bir Fourier serisinde genişletin f (x) \u003d x + x . 6. Bir Fourier serisinde (-jt, r) işlevi n aralığında genişletin 7. Bir Fourier serisinde (-r, x) işlevi / (x) \u003d sin2 x aralığında genişletin. 8. Bir Fourier serisinde (-m, jt) fonksiyonunu f(x) = y aralığında genişletin 9. Bir Fourier serisinde (-mm, -k) fonksiyonunu genişletin f(x) = | günah|. 10. f(x) = g fonksiyonunu (-x-, r) aralığında bir Fourier serisinde genişletin. 11. (-r, r) aralığında bir Fourier serisinde f (x) \u003d sin § işlevini genişletin. 12. (0, x) aralığında verilen f (x) = n -2x fonksiyonunu bir Fourier serisinde genişletin, (-x, 0) aralığında devam ettirin: a) eşit bir şekilde; b) garip bir şekilde. 13. Bir Fourier serisinde (0, x) aralığında verilen / (x) \u003d x2 fonksiyonunu sinüs cinsinden genişletin. 14. Bir Fourier serisinde (-2,2) aralığında verilen / (x) \u003d 3-x fonksiyonunu genişletin. 15. Bir Fourier serisinde (-1,1) aralığında verilen f (x) \u003d |x | işlevini genişletin. 16. Bir Fourier serisinde sinüs cinsinden (0,1) aralığında belirtilen f (x) \u003d 2x fonksiyonunu genişletin.
Fonksiyonel seri türlerinden biri trigonometrik seridir.
Görev, serinin katsayılarını, [-π, π] aralığında verilen bir fonksiyona yakınsayacak şekilde seçmektir; başka bir deyişle, verilen fonksiyonu trigonometrik bir seriye genişletmek gerekir. Bu problemin çözülebilirliği için yeterli bir koşul, fonksiyonun [-π, π] aralığında parçalı sürekli ve parçalı türevlenebilir olması, yani [-π, π] aralığının sonlu sayıda kısmi aralığa bölünebilmesidir. , verilen fonksiyonun her birinde sürekli ve bir türevi vardır (kısmi aralıkların sonunda, fonksiyonun sonlu tek taraflı sınırları ve tek taraflı türevleri olmalıdır, hesaplamada tek taraflı limiti alınır kısmi aralığın sonunda fonksiyonun değeri olarak). Parçalı türevlenebilirlik koşulu, fonksiyonun parçalı monotonluk koşulu, yani fonksiyonun kısmi aralıkların her birinde monoton olması şartı ile değiştirilebilir. [-π, π] aralığındaki bir fonksiyonun trigonometrik bir seriye genişletilmesi için yeterli bir koşul, fonksiyonun bu aralıkta sınırlı bir değişime sahip olması şartıdır. f(x) fonksiyonunun tanımına göre, bu aralığın sonlu sayıda aralığa bölünmesi için, bir aralıkta sınırlı bir değişikliğe sahiptir.
büyüklük
yukarıda aynı sayı ile sınırlandırılmıştır.
Pratik problemlerin çözümünde uğraşılması gereken bu tür işlevlerdir.
Üçünden herhangi birini gerçekleştirirken yeterli koşullar f(x) fonksiyonu [-π, π] aralığında, katsayıları formüllerle belirlenen bir trigonometrik seri ile temsil edilir.
Bu katsayılarla trigonometrik seriye denir. yakın Fourier. Bu seri, sürekliliğinin her noktasında f(x)'e yakınsar; kesme noktalarında, sol ve sağ sınır değerlerinin aritmetik ortalamasına yakınsar, yani x bir kesme noktası ise k (Şekil 1); segmentin sınırlarında seri yakınsar.
Resim 1.
Fourier serisi tarafından ifade edilen fonksiyon periyodik bir fonksiyondur ve bu nedenle [-π, π] segmentinde verilen fonksiyon için derlenen seri, bu segmentin dışında bu fonksiyonun periyodik bir devamına yakınsar (Şekil 2).
Şekil 2.
Fourier serisi, 2π uzunluğunda rastgele bir aralıkta [α, α+2π] verilen f(x) fonksiyonunu temsil ediyorsa, o zaman a 0 , a k , b k (Fourier katsayıları) serisinin katsayıları belirtilen şekilde belirlenebilir. integrasyon sınırlarının α ve α+2π ile değiştirildiği formüller. Genel olarak, a 0 , a k , b k formülleri 2π periyoduna sahip fonksiyonlar içerdiğinden, integrasyon 2π uzunluğunda herhangi bir aralıkta gerçekleştirilebilir.
Fourier serisi, işlevin yaklaşık bir temsili için kullanılabilir, yani: f(x) işlevi, Fourier serisinin ilk birkaç teriminin toplamı s n (x) ile değiştirilir, bu yaklaşık olarak ona eşittir:
a 0 , a k , b k'nin f(x) fonksiyonunun Fourier katsayıları olduğu s n (x) ifadesi, aynı formdaki aynı n değerine sahip ancak farklı katsayılara sahip diğer ifadelerle karşılaştırıldığında, f(x)'in minimum standart sapması s n (x ), şu şekilde tanımlanır
Fonksiyonun simetri türüne bağlı olarak bazı basitleştirmeler mümkündür. Eğer fonksiyon çift ise, yani f(-x)=f(x), o zaman
ve fonksiyon kosinüs cinsinden bir diziye genişler. Fonksiyon tek ise, yani f(-x)=-f(x), o zaman
ve fonksiyon sinüs cinsinden bir diziye genişler. Eğer fonksiyon f(x+π)=-f(x) koşulunu sağlıyorsa, yani 2π uzunluğundaki parçanın yarısına atıfta bulunan eğri, eğrinin diğer yarısının ayna görüntüsüdür, o zaman
Fonksiyon sadece 2π uzunluğundaki bir segmentte değil, aynı zamanda herhangi bir 2l uzunluğundaki segmentte de tanımlanabilir. Bu segmentte yukarıdaki koşulları sağlıyorsa, aşağıdaki formda bir Fourier serisine genişletilebilir:
serinin katsayılarının formüllerle hesaplandığı yer
Masada. Bazı fonksiyonların 1 açılımı verilmiştir.
Tablo 1.
Trigonometrik seri aşağıdaki biçimde de yazılabilir:
f(x) fonksiyonunun Fourier serisi ne kadar hızlı yakınsarsa fonksiyon o kadar düzgündür. f (x) fonksiyonu ve türevleri f "(x), f" (x), ..., f k -1 (x) her yerde sürekli ise ve f (k) (x) sadece süreksizlik noktalarına izin verirse 1. tür sonlu bir sayıda, o zaman f (x) fonksiyonunun Fourier katsayıları a n , b n olacaktır
sembolü öyle bir değeri ifade eder ki
Bir trigonometrik seriye genişlemeye harmonik analiz denir ve bu seride yer alan trigonometrik fonksiyonlara harmonik denir. Bileşen harmoniklerinin hesaplanmasına harmonik sentez denir.
Yapıları hesaplarken, grafiklerle verilen ve hepsinden önemlisi yükü temsil eden çeşitli fonksiyonları bir Fourier serisinde genişletmek genellikle gereklidir. Masada. 2 ve 3'te, yoğun kuvvetlere karşılık gelen seriler de dahil olmak üzere, yüklerin bazı karakteristik fonksiyonları için açılımlar verilmiştir.
Tablo 2.
Fonksiyon Grafiği |
Fourier serisi |
n |