Farklı üslü sayıların eklenmesi. Tek terimli eylemler
Güçler nasıl çoğaltılır? Hangi yetkiler çoğaltılabilir, hangileri çoğaltılamaz? Bir sayıyı bir kuvvetle nasıl çarparsınız?
Cebirde, kuvvetlerin çarpımını iki durumda bulabilirsiniz:
1) Dereceler aynı temele sahipse;
2) dereceler aynı göstergelere sahipse.
Aynı tabanla kuvvetler çarpılırken taban aynı kalmalı ve üsler eklenmelidir:
Dereceleri aynı göstergelerle çarparken, toplam gösterge parantezlerden alınabilir:
Belirli örneklerle güçleri nasıl çoğaltacağınızı düşünün.
Üsteki birim yazılmaz, ancak dereceleri çarparken şunları dikkate alırlar:
Çarparken, derece sayısı herhangi biri olabilir. Harften önce çarpma işaretini yazamayacağınız unutulmamalıdır:
İfadelerde önce üs alma işlemi yapılır.
Bir sayıyı bir kuvvetle çarpmanız gerekiyorsa, önce üs alma ve ancak o zaman - çarpma işlemi yapmalısınız:
www.algebraclass.ru
Toplama, çıkarma, çarpma ve güçlerin bölünmesi
Yetkilerin toplanması ve çıkarılması
Açıkçası, güçleri olan sayılar diğer nicelikler gibi eklenebilir. , işaretleri ile tek tek ekleyerek.
Yani a 3 ve b 2'nin toplamı a 3 + b 2'dir.
a 3 - b n ve h 5 -d 4'ün toplamı a 3 - b n + h 5 - d 4'tür.
oranlar aynı değişkenlerin aynı güçleri eklenebilir veya çıkarılabilir.
Yani 2a 2 ve 3a 2'nin toplamı 5a 2'dir.
Ayrıca iki a karesi veya üç a karesi veya beş a karesi alırsak açıktır.
Ama derece çeşitli değişkenler ve çeşitli dereceler özdeş değişkenler, işaretlerine eklenerek eklenmelidir.
Yani a 2 ve 3'ün toplamı, 2 + a 3'ün toplamıdır.
a'nın karesi ve a'nın küpü, a'nın karesinin iki katı değil, a'nın küpünün iki katı olduğu açıktır.
a 3 b n ve 3a 5 b 6'nın toplamı a 3 b n + 3a 5 b 6'dır.
Çıkarma Yetkiler, çıkarma işaretlerinin buna göre değiştirilmesi gerektiği dışında, ekleme ile aynı şekilde gerçekleştirilir.
Veya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Güç çarpımı
Kuvvetli sayılar, diğer nicelikler gibi, aralarında çarpma işareti olsun veya olmasın arka arkaya yazılarak çarpılabilir.
Yani a 3'ü b 2 ile çarpmanın sonucu a 3 b 2 veya aaabb'dir.
Veya:
x -3 ⋅ bir m = bir m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ bir 3 b 2 y = bir 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Son örnekteki sonuç, aynı değişkenler eklenerek sıralanabilir.
İfade şu şekilde olacaktır: a 5 b 5 y 3 .
Birkaç sayıyı (değişkenleri) kuvvetlerle karşılaştırarak, bunlardan herhangi ikisi çarpılırsa sonucun, gücü şuna eşit olan bir sayı (değişken) olduğunu görebiliriz. toplam terimlerin dereceleri.
Yani, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Burada 5, terimlerin kuvvetlerinin toplamı olan 2 + 3'e eşit olan çarpma sonucunun kuvvetidir.
Yani, bir n .a m = bir m+n .
Bir n için, a, n'nin kuvveti kadar çarpan olarak alınır;
Ve a m , m derecesinin eşit olduğu kadar bir faktör olarak alınır;
Bu yüzden, Üsler toplanarak aynı tabanlara sahip kuvvetler çarpılabilir.
Yani, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Ve x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Veya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) ile çarpın.
Cevap: x 4 - y4.
Çarpın (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Bu kural, üsleri − olan sayılar için de geçerlidir. olumsuz.
1. Yani, a -2 .a -3 = a -5 . Bu (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaa olarak yazılabilir.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = bir m-n .
a + b a - b ile çarpılırsa sonuç a 2 - b 2 olur: yani
İki sayının toplamı veya farkının çarpılmasının sonucu, karelerinin toplamı veya farkına eşittir.
İki sayının toplamı ve farkı şuna yükseltilirse Meydan, sonuç bu sayıların toplamına veya farkına eşit olacaktır. dördüncü derece.
Yani, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
yetkiler ayrılığı
Kuvvetli sayılar da diğer sayılar gibi bölenden çıkarılarak veya kesir şeklinde yerleştirilerek bölünebilir.
Yani a 3 b 2 bölü b 2 a 3 .
5 bölü 3 yazmak $\frac gibi görünüyor $. Ama bu 2'ye eşittir. Bir dizi numarada
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
herhangi bir sayı diğerine bölünebilir ve üs eşittir fark bölünebilir sayıların göstergeleri
Aynı tabana sahip kuvvetleri bölerken üsleri çıkarılır..
Yani, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Yani, $\frac = y$.
Ve bir n+1:a = bir n+1-1 = bir n . Yani, $\frac = a^n$.
Veya:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Kural aynı zamanda şu numaralar için de geçerlidir: olumsuz derece değerleri.
-5'i -3'e bölmenin sonucu -2'dir.
Ayrıca, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 veya $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Cebirde bu tür işlemler çok yaygın olarak kullanıldığından, kuvvetlerin çarpımı ve bölünmesinde çok iyi ustalaşmak gerekir.
Kuvvetli sayılar içeren kesirlerle örnek çözme örnekleri
1. $\frac $ cinsinden üsleri azaltın Cevap: $\frac $.
2. $\frac$ cinsinden üsleri azaltın. Cevap: $\frac $ veya 2x.
3. Üsleri a 2 / a 3 ve a -3 / a -4'ü azaltın ve ortak payda.
a 2 .a -4 bir -2 birinci paydır.
a 3 .a -3, ikinci pay olan 0 = 1'dir.
a 3 .a -4, ortak pay olan -1'dir.
Sadeleştirmeden sonra: a -2 /a -1 ve 1/a -1 .
4. 2a 4 /5a 3 ve 2 /a 4 üslerini küçültün ve ortak bir paydaya getirin.
Cevap: 2a 3 / 5a 7 ve 5a 5 / 5a 7 veya 2a 3 / 5a 2 ve 5/5a 2.
5. (a 3 + b)/b 4'ü (a - b)/3 ile çarpın.
6. (a 5 + 1)/x 2'yi (b 2 - 1)/(x + a) ile çarpın.
7. b 4 /a -2'yi h -3 /x ve a n /y -3 ile çarpın.
8. 4 /y 3'ü 3 /y 2'ye bölün. Cevap: a/y.
derece özellikleri
içinde olduğunu hatırlatıyoruz. bu ders anlamak derece özellikleri doğal göstergeler ve sıfır ile. ile derece rasyonel göstergeler ve özellikleri 8. sınıf derslerinde tartışılacaktır.
derece c doğal gösterge birkaç tane var önemli özellikler, güçlerle örneklerde hesaplamaları basitleştirmenize izin verir.
Emlak #1
Güçlerin ürünü
Aynı tabanla kuvvetler çarpılırken taban değişmeden kalır ve üsler toplanır.
a m a n \u003d a m + n, burada "a" herhangi bir sayıdır ve "m", "n" herhangi bir doğal sayıdır.
Güçlerin bu özelliği, üç veya daha fazla gücün çarpımını da etkiler.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Lütfen belirtilen özellikte sadece aynı üslere sahip kuvvetlerin çarpılmasıyla ilgili olduğunu unutmayın.. Onların eklenmesi için geçerli değildir.
Toplamı (3 3 + 3 2) 3 5 ile değiştiremezsiniz. Bu anlaşılabilir eğer
hesapla (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 ve 3 5 = 243
Emlak #2
Özel dereceler
Aynı tabana sahip kuvvetleri bölerken, taban değişmeden kalır ve bölenin üssü temettü üssünden çıkarılır.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Örnek. Denklemi çözün. Kısmi derecelerin özelliğini kullanıyoruz.
3 8: t = 3 4
Cevap: t = 3 4 = 81
1 ve 2 numaralı özellikleri kullanarak ifadeleri kolayca basitleştirebilir ve hesaplamalar yapabilirsiniz.
- Örnek. Ifadeyi basitleştir.
4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Örnek. Derece özelliklerini kullanarak bir ifadenin değerini bulun.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Lütfen 2. özelliğin sadece aynı esaslara sahip güçler ayrılığı ile ilgili olduğunu unutmayın.
Farkı (4 3 −4 2) 4 1 ile değiştiremezsiniz. (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 ve 4 1 = 4'ü hesaplarsanız bu anlaşılabilir bir durumdur.
Mülk #3
üs alma
Bir gücü bir güce yükseltirken, gücün tabanı değişmeden kalır ve üsler çarpılır.
(a n) m \u003d a n m, burada "a" herhangi bir sayıdır ve "m", "n" herhangi bir doğal sayıdır.
Derecelerin diğer özellikleri gibi 4 numaralı özelliğin de Ters sipariş.
(bir n b n)= (bir b) n
Yani, dereceleri aynı üslerle çarpmak için tabanları çarpabilir ve üsleri değiştirmeden bırakabilirsiniz.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
Daha fazlası zor örnekler farklı tabanlara ve farklı üslere sahip kuvvetler üzerinde çarpma ve bölme yapılması gereken durumlar olabilir. Bu durumda, aşağıdakileri yapmanızı öneririz.
Örneğin, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Ondalık kesrin üs alma örneği.
4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = dört
Özellikler 5
Bölümün gücü (kesirler)
Bir bölümü bir kuvvete yükseltmek için, temettü ve böleni bu kuvvete ayrı ayrı yükseltebilir ve ilk sonucu ikinciye bölebilirsiniz.
(a: b) n \u003d bir n: b n, burada "a", "b" herhangi bir rasyonel sayıdır, b ≠ 0, n herhangi bir doğal sayıdır.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Bir bölümün bir kesir olarak temsil edilebileceğini hatırlatırız. Bu nedenle, bir sonraki sayfada bir kesri bir güce yükseltme konusunu daha ayrıntılı olarak ele alacağız.
Dereceler ve Kökler
Güçleri ve kökleri olan işlemler. Negatif ile derece ,
sıfır ve kesirli gösterge. Anlamsız ifadeler hakkında.
Dereceli işlemler.
1. Güçleri aynı tabanla çarparken göstergeleri toplanır:
bir m · bir n = bir m + n .
2. Dereceleri aynı tabana bölerken göstergeleri çıkarılmış .
3. İki veya daha fazla faktörün çarpım derecesi, bu faktörlerin derecelerinin çarpımına eşittir.
4. Oranın (kesir) derecesi, temettü (pay) ve bölenin (payda) derecelerinin oranına eşittir:
(a/b) n = bir n / bn .
5. Dereceyi bir güce yükseltirken, göstergeleri çarpılır:
Yukarıdaki formüllerin tümü, soldan sağa ve tersi yönde her iki yönde de okunur ve yürütülür.
ÖRNEK (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .
Köklerle işlemler. Aşağıdaki tüm formüllerde sembol şu anlama gelir: aritmetik kök(radikal ifade pozitiftir).
1. Birkaç faktörün ürününün kökü, bu faktörlerin köklerinin ürününe eşittir:
2. Oranın kökü, temettü ve bölenin köklerinin oranına eşittir:
3. Bir kökü bir güce yükseltirken, bu güce yükseltmek yeterlidir. kök numarası:
4. Kökün derecesini m kat artırırsanız ve aynı anda kök sayısını m -inci dereceye yükseltirseniz, kökün değeri değişmez:
5. Kökün derecesini m kat azaltır ve aynı zamanda m-inci derecenin kökünü kök sayısından çıkarırsanız, kökün değeri değişmeyecektir:
Derece kavramının uzantısı. Şimdiye kadar dereceleri sadece doğal bir gösterge ile ele aldık; ancak yetkileri ve kökleri olan işlemler de olumsuz, sıfır ve kesirli göstergeler. Tüm bu üsler ek bir tanım gerektirir.
Negatif üslü derece. Negatif (tamsayı) üslü bir sayının kuvveti, aynı sayının üssünün negatif üssün mutlak değerine eşit olan kuvvetine bölünmesiyle tanımlanır:
şimdi formül bir m : bir = bir m-n sadece için kullanılamaz m, bundan fazla n, ama aynı zamanda m, daha az n .
ÖRNEK a 4: a 7 = bir 4 — 7 = bir — 3 .
formülü istiyorsak bir m : bir = bir m — n adildi m = n, sıfır derecenin bir tanımına ihtiyacımız var.
Sıfır üslü derece. Sıfır üslü sıfır olmayan herhangi bir sayının derecesi 1'dir.
ÖRNEKLER. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Kesirli üslü derece. yükseltmek için gerçek Numara ve m / n gücüne, n'inci derecenin kökünü bu sayının m'inci gücünden çıkarmanız gerekir a:
Anlamsız ifadeler hakkında. Bu tür birkaç ifade var.
nerede a ≠ 0 , bulunmuyor.
Nitekim öyle olduğunu varsayarsak x belirli bir sayı ise, bölme işleminin tanımına göre elimizde: a = 0· x, yani a= 0, koşulla çelişiyor: a ≠ 0
— herhangi bir numara.
Gerçekten de, bu ifadenin bir sayıya eşit olduğunu varsayarsak, x, sonra bölme işleminin tanımına göre elimizde: 0 = 0 x. Ama bu eşitlik herhangi bir sayı x, kanıtlanacaktı.
0 0 — herhangi bir numara.
Çözüm Üç ana durumu düşünün:
1) x = 0 – bu değer bu denklemi sağlamaz
2) ne zaman x> 0 alırız: x / x= 1, yani 1 = 1, buradan gelir,
ne x- herhangi bir numara; ama bunu hesaba katarak
bizim durumumuz x> 0, cevap x > 0 ;
Güçleri farklı temellerle çarpma kuralları
RASYONEL GÖSTERGE İLE DERECE,
GÜÇ FONKSİYONU IV
§ 69. Aynı esaslara sahip güçlerin çoğaltılması ve bölünmesi
Teorem 1.Üsleri aynı tabanlarla çarpmak için üsleri toplayıp tabanı aynı bırakmak yeterlidir yani
Kanıt. Derece tanımına göre
2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.
İki gücün ürünü olarak düşündük. Aslında, ispatlanmış özellik, aynı esaslara sahip herhangi bir sayıda güç için geçerlidir.
Teorem 2. Aynı tabanlara sahip kuvvetleri bölmek için, bölenin göstergesi bölenin göstergesinden büyük olduğunda, bölenin göstergesini bölenin göstergesinden çıkarmak ve tabanı aynı bırakmak yeterlidir, yani de t > n
(a =/= 0)
Kanıt. Bir sayıyı diğerine bölmenin bölümünün, bir bölenle çarpıldığında temettü veren sayı olduğunu hatırlayın. Bu nedenle, formülü kanıtlayın, nerede a =/= 0, formülü kanıtlamak gibi
Eğer bir t > n , ardından sayı t - p doğal olacak; bu nedenle, Teorem 1'e göre
Teorem 2 ispatlandı.
Formüle dikkat edin
tarafımızdan sadece varsayım altında kanıtlandı t > n . Bu nedenle, kanıtlanmış olanlardan, örneğin aşağıdaki sonuçları çıkarmak henüz mümkün değildir:
Ek olarak, henüz negatif üslü dereceleri dikkate almadık ve 3 ifadesine ne anlam verilebileceğini henüz bilmiyoruz. - 2 .
Teorem 3. Bir kuvveti bir kuvvete yükseltmek için, üssün tabanını aynı bırakarak üsleri çarpmak yeterlidir., yani
Kanıt. Bu bölümün derece tanımını ve Teorem 1'i kullanarak şunu elde ederiz:
Q.E.D.
Örneğin (2 3) 2 = 2 6 = 64;
518 (Sözlü.) Belirle X denklemlerden:
1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;
2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .
519. (Ayarlandı) Basitleştirin:
520. (Ayarlandı) Basitleştirin:
521. Bu ifadeleri aynı temellere sahip dereceler olarak sunun:
1) 32 ve 64; 3) 85 ve 163; 5) 4 100 ve 32 50;
2) -1000 ve 100; 4) -27 ve -243; 6) 81 75 8 200 ve 3 600 4 150.
Matematikte bir derece kavramı, bir cebir dersinde 7. sınıf kadar erken bir tarihte tanıtılır. Ve gelecekte, matematik eğitimi boyunca bu kavram çeşitli biçimlerde aktif olarak kullanılmaktadır. Dereceler, değerlerin ezberlenmesini ve doğru ve hızlı bir şekilde sayma yeteneğini gerektiren oldukça zor bir konudur. Matematik dereceleriyle daha hızlı ve daha iyi çalışmak için bir derecenin özelliklerini buldular. Büyük bir örneği bir dereceye kadar tek bir sayıya dönüştürmek için büyük hesaplamaları azaltmaya yardımcı olurlar. Çok fazla özellik yoktur ve hepsinin hatırlanması ve pratikte uygulanması kolaydır. Bu nedenle, makale, derecenin temel özelliklerini ve bunların nerede uygulanacağını tartışmaktadır.
derece özellikleri
Aynı tabana sahip güçlerin özellikleri de dahil olmak üzere bir derecenin 12 özelliğini ele alacağız ve her özellik için bir örnek vereceğiz. Bu özelliklerin her biri, dereceli problemleri daha hızlı çözmenize yardımcı olacak ve sizi sayısız hesaplama hatasından kurtaracaktır.
1. mülk.
Birçok insan bu özelliği çok sık unutur, bir sayıyı sıfır dereceye kadar sıfır olarak temsil ederek hatalar yapar.
2. mülk.
3. mülk.
Unutulmamalıdır ki bu özellik sadece sayılar çarpılırken kullanılabilir, toplamla çalışmaz! Ve unutmamalıyız ki bu ve aşağıdaki özellikler sadece aynı temele sahip güçler için geçerlidir.
4. mülk.
Paydadaki sayı negatif bir güce yükseltilirse, çıkarma sırasında, sonraki hesaplamalarda işareti doğru bir şekilde değiştirmek için paydanın derecesi parantez içinde alınır.
Özellik sadece bölerken çalışır, çıkarırken değil!
5. mülk.
6. mülk.
Bu özellik aynı zamanda ters taraf. Bir sayıya bir dereceye kadar bölünen birim, o sayının negatif bir kuvvetidir.
7. mülk.
Bu özellik, toplama ve farka uygulanamaz! Bir kuvvete bir toplamı veya farkı yükseltirken, kuvvetin özellikleri değil, kısaltılmış çarpma formülleri kullanılır.
8. mülk.
9. mülk.
Bu özellik herhangi biri için çalışır kesirli derece pay bire eşit olduğunda formül aynı olacak, derecenin paydasına bağlı olarak sadece kökün derecesi değişecektir.
Ayrıca, bu özellik genellikle ters sırada kullanılır. Bir sayının herhangi bir kuvvetinin kökü, o sayının bir kuvvetinin kökün kuvvetine bölümü olarak temsil edilebilir. Bu özellik, sayının kökünün çıkarılmadığı durumlarda çok kullanışlıdır.
10. mülk.
Bu özellik yalnızca kare kök ve ikinci derece. Kökün derecesi ve bu kökün yükselme derecesi aynıysa, cevap radikal bir ifade olacaktır.
11. mülk.
Kendinizi büyük hesaplardan kurtarmak için çözerken bu özelliği zamanında görebilmeniz gerekir.
12. mülk.
Bu özelliklerin her biri görevlerde sizi bir kereden fazla karşılayacaktır, saf haliyle verilebilir veya bazı dönüşümler ve başka formüllerin kullanımını gerektirebilir. Bu nedenle, doğru çözüm için sadece özellikleri bilmek yeterli değildir, pratik yapmak ve matematiksel bilgilerin geri kalanını birbirine bağlamak gerekir.
Derecelerin uygulanması ve özellikleri
Cebir ve geometride aktif olarak kullanılırlar. Matematikte derecelerin ayrı, önemli bir yeri vardır. Onların yardımıyla, üstel denklemler ve eşitsizlikler çözülür, ayrıca güçler genellikle denklemleri ve matematiğin diğer bölümleriyle ilgili örnekleri karmaşıklaştırır. Üsler, büyük ve uzun hesaplamalardan kaçınmaya yardımcı olur, üsleri azaltmak ve hesaplamak daha kolaydır. Ancak büyük güçlerle veya çok sayıdaki güçlerle çalışmak için, yalnızca derecenin özelliklerini bilmeniz değil, aynı zamanda temellerle yetkin bir şekilde çalışmanız, görevinizi kolaylaştırmak için bunları ayrıştırabilmeniz gerekir. Kolaylık sağlamak için, bir kuvvete yükseltilmiş sayıların anlamını da bilmelisiniz. Bu, uzun hesaplamalara olan ihtiyacı ortadan kaldırarak çözme zamanınızı azaltacaktır.
Derece kavramı logaritmalarda özel bir rol oynar. Logaritma, özünde bir sayının gücü olduğundan.
Kısaltılmış çarpma formülleri, güçlerin kullanımına başka bir örnektir. Derecelerin özelliklerini kullanamazlar, özel kurallara göre ayrıştırılırlar, ancak her kısaltılmış çarpma formülünde değişmez dereceler vardır.
Dereceler ayrıca fizik ve bilgisayar bilimlerinde aktif olarak kullanılmaktadır. SI sistemine yapılan tüm çeviriler dereceler kullanılarak yapılır ve gelecekte problemler çözülürken derecenin özellikleri uygulanır. Bilgisayar biliminde, sayıların algılanmasını sayma ve basitleştirme kolaylığı için ikinin kuvvetleri aktif olarak kullanılır. Tıpkı fizikte olduğu gibi, ölçü birimlerinin dönüştürülmesi veya problemlerin hesaplanması için daha ileri hesaplamalar, derecenin özellikleri kullanılarak yapılır.
Dereceler, bir derecenin özelliklerinin kullanımını nadiren bulabileceğiniz astronomide de çok faydalıdır, ancak derecelerin kendileri, çeşitli miktar ve mesafelerin kaydını kısaltmak için aktif olarak kullanılır.
Dereceler de kullanılır sıradan hayat, alanları, hacimleri, mesafeleri hesaplarken.
Derecelerin yardımıyla, herhangi bir bilim alanında çok büyük ve çok küçük değerler yazılır.
üstel denklemler ve eşitsizlikler
Özel mekan derece özellikleri tam olarak üstel denklemler ve eşitsizlikler. Bu görevler, aşağıdaki gibi çok yaygındır: okul kursu hem de sınavlarda. Hepsi derecenin özellikleri uygulanarak çözülür. Bilinmeyen her zaman derecenin kendisindedir, bu nedenle tüm özellikleri bilerek, böyle bir denklemi veya eşitsizliği çözmek zor olmayacaktır.
Cebirdeki ve aslında tüm matematikteki ana özelliklerden biri bir derecedir. Elbette 21. yüzyılda tüm hesaplamalar çevrimiçi bir hesap makinesinde yapılabilir, ancak beyin gelişimi için bunu kendiniz yapmayı öğrenmek daha iyidir.
Bu yazıda en çok önemli sorular bu tanımla ilgili. Yani, genel olarak ne olduğunu ve ana işlevlerinin neler olduğunu, matematikte hangi özelliklerin bulunduğunu anlayacağız.
Hesaplamanın nasıl göründüğüne, temel formüllerin neler olduğuna dair örneklere bakalım. Ana miktar türlerini ve bunların diğer işlevlerden nasıl farklı olduklarını analiz edeceğiz.
Bu değeri kullanarak çeşitli sorunları nasıl çözeceğimizi anlayacağız. Sıfır dereceye nasıl yükseltileceğini, irrasyonel, negatif vb. örneklerle göstereceğiz.
Çevrimiçi üs hesaplama
bir sayının derecesi nedir
"Bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek" ifadesiyle ne kastedilmektedir?
Bir a sayısının n derecesi, art arda n kez büyüklük faktörlerinin çarpımıdır.
Matematiksel olarak şöyle görünür:
bir n = a * a * a * … bir n .
Örneğin:
- Üçüncü adımda 2 3 = 2. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 adımda. iki = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 adımda. dört = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 5 adımda 10 5 \u003d 10. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
- 4 adımda 10 4 \u003d 10. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.
Aşağıda 1'den 10'a kadar kareler ve küpler tablosu verilmiştir.
1'den 10'a kadar derece tablosu
İnşaatın sonuçları aşağıdadır doğal sayılar pozitif güçlere - "1'den 100'e".
Ch-lo | 2. sınıf | 3. sınıf |
1 | 1 | 1 |
2 | 4 | 8 |
3 | 9 | 27 |
4 | 16 | 64 |
5 | 25 | 125 |
6 | 36 | 216 |
7 | 49 | 343 |
8 | 64 | 512 |
9 | 81 | 279 |
10 | 100 | 1000 |
Derece özellikleri
Böyle bir matematiksel fonksiyonun özelliği nedir? Temel özelliklere bakalım.
Bilim adamları aşağıdakileri kurdular tüm derecelerin karakteristik işaretleri:
- bir n * bir m = (a) (n+m) ;
- bir n: bir m = (a) (n-m) ;
- (a b) m =(a) (b*m) .
Örneklerle kontrol edelim:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Öte yandan 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.
Benzer şekilde: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Aksi takdirde 2 3-2 = 2 1 =2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. Ya farklıysa? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
Gördüğünüz gibi kurallar işliyor.
Ama nasıl olunur toplama ve çıkarma ile? Her şey basit. İlk üs alma gerçekleştirilir ve ancak bundan sonra toplama ve çıkarma yapılır.
Örneklere bakalım:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16
Ancak bu durumda, parantez içinde eylemler olduğu için önce toplamayı hesaplamanız gerekir: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
nasıl üretilir daha fazla bilgi işlem zor vakalar ? Sıra aynı:
- parantez varsa, onlarla başlamanız gerekir;
- sonra üstelleştirme;
- sonra çarpma, bölme işlemlerini gerçekleştirir;
- toplama, çıkarma işleminden sonra.
Tüm derecelerin özelliği olmayan belirli özellikler vardır:
- a sayısından m derecesine kadar olan n'inci derecenin kökü şu şekilde yazılacaktır: a m / n .
- Bir kesri bir kuvvete yükseltirken: hem pay hem de paydası bu işleme tabidir.
- Bir eser inşa ederken farklı sayılar bir güce, ifade verilen bir güce bu sayıların çarpımına karşılık gelecektir. Yani: (a * b) n = bir n * b n .
- Bir sayıyı negatif bir kuvvete yükseltirken, aynı adımda ancak “+” işaretiyle bir sayıya 1'i bölmeniz gerekir.
- Bir kesrin paydası negatif bir kuvvette ise, bu ifade pay ve paydanın pozitif bir kuvvette ürününe eşit olacaktır.
- 0 = 1'in kuvvetine ve adıma herhangi bir sayı. 1 = kendine.
Bu kurallar bireysel durumlarda önemlidir, bunları aşağıda daha ayrıntılı olarak ele alacağız.
Negatif üslü derece
Negatif derecede, yani gösterge negatif olduğunda ne yapmalı?
Özellik 4 ve 5'e göre(yukarıdaki noktaya bakın) ortaya çıkıyor:
A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.
Ve tam tersi:
1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.
Peki ya bir kesir ise?
(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.
Doğal göstergeli derece
Üsleri tam sayılara eşit olan bir derece olarak anlaşılır.
Hatırlanacak şeyler:
A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1…vb.
A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…vb.
Ayrıca (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2… ise sonuç “+” işaretiyle olacaktır. Eğer bir negatif bir sayı garip bir güce yükseltildi, tam tersi.
Genel özellikler ve yukarıda açıklanan tüm özel özellikler de onların karakteristiğidir.
kesirli derece
Bu görünüm bir şema olarak yazılabilir: A m / n. Şu şekilde okunur: A sayısının n'inci derecesinin köküne m kuvveti.
Kesirli bir gösterge ile her şeyi yapabilirsiniz: azaltın, parçalara ayırın, başka bir dereceye yükseltin, vb.
İrrasyonel üslü derece
α olsun irrasyonel sayı ve А ˃ 0.
Derecenin özünü böyle bir gösterge ile anlamak, Farklı olası durumlara bakalım:
- A \u003d 1. Sonuç 1'e eşit olacaktır. Bir aksiyom olduğundan - 1, tüm güçlerde bire eşittir;
А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 rasyonel sayılardır;
- 0˂А˂1.
Bu durumda, tam tersi: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1, ikinci paragraftakiyle aynı koşullar altında.
Örneğin, üs π sayısıdır. Mantıklı.
r 1 - bu durumda 3'e eşittir;
r 2 - 4'e eşit olacaktır.
O halde A = 1 için 1 π = 1.
A = 2, sonra 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.
A = 1/2, sonra (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.
Bu dereceler, yukarıda açıklanan tüm matematiksel işlemler ve belirli özellikler ile karakterize edilir.
Çözüm
Özetleyelim - bu değerler ne için, bu tür işlevlerin avantajları nelerdir? Tabii ki, her şeyden önce, hesaplamaları en aza indirmeye, algoritmaları azaltmaya, verileri sistematize etmeye ve çok daha fazlasına izin verdikleri için, örnekleri çözerken matematikçilerin ve programcıların hayatlarını basitleştirirler.
Bu bilgi başka nerede yararlı olabilir? Herhangi bir uzmanlık alanında: tıp, farmakoloji, diş hekimliği, inşaat, teknoloji, mühendislik, tasarım vb.
Açıkçası, güçleri olan sayılar diğer nicelikler gibi eklenebilir. , işaretleri ile tek tek ekleyerek.
Yani a 3 ve b 2'nin toplamı a 3 + b 2'dir.
a 3 - b n ve h 5 -d 4'ün toplamı a 3 - b n + h 5 - d 4'tür .
oranlar aynı değişkenlerin aynı güçleri eklenebilir veya çıkarılabilir.
Yani 2a 2 ve 3a 2'nin toplamı 5a 2'dir.
Ayrıca iki a karesi veya üç a karesi veya beş a karesi alırsak açıktır.
Ama derece çeşitli değişkenler ve çeşitli dereceler özdeş değişkenler, işaretlerine eklenerek eklenmelidir.
Yani a 2 ve 3'ün toplamı, 2 + a 3'ün toplamıdır.
a'nın karesi ve a'nın küpü, a'nın karesinin iki katı değil, a'nın küpünün iki katı olduğu açıktır.
a 3 b n ve 3a 5 b 6'nın toplamı a 3 b n + 3a 5 b 6'dır.
Çıkarma Yetkiler, çıkarma işaretlerinin buna göre değiştirilmesi gerektiği dışında, ekleme ile aynı şekilde gerçekleştirilir.
Veya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Güç çarpımı
Kuvvetli sayılar, diğer nicelikler gibi, aralarında çarpma işareti olsun veya olmasın arka arkaya yazılarak çarpılabilir.
Yani a 3'ü b 2 ile çarpmanın sonucu a 3 b 2 veya aaabb'dir.
Veya:
x -3 ⋅ bir m = bir m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ bir 3 b 2 y = bir 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Son örnekteki sonuç, aynı değişkenler eklenerek sıralanabilir.
İfade şu şekilde olacaktır: a 5 b 5 y 3 .
Birkaç sayıyı (değişkenleri) kuvvetlerle karşılaştırarak, bunlardan herhangi ikisi çarpılırsa sonucun, gücü şuna eşit olan bir sayı (değişken) olduğunu görebiliriz. toplam terimlerin dereceleri.
Yani, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Burada 5, terimlerin kuvvetlerinin toplamı olan 2 + 3'e eşit olan çarpma sonucunun kuvvetidir.
Yani, bir n .a m = bir m+n .
Bir n için, a, n'nin kuvveti kadar çarpan olarak alınır;
Ve a m , m derecesinin eşit olduğu kadar bir faktör olarak alınır;
Bu yüzden, Üsler toplanarak aynı tabanlara sahip kuvvetler çarpılabilir.
Yani, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Ve x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Veya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) ile çarpın.
Cevap: x 4 - y4.
Çarpın (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Bu kural, üsleri şu olan sayılar için de geçerlidir: olumsuz.
1. Yani, a -2 .a -3 = a -5 . Bu (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaa olarak yazılabilir.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = bir m-n .
a + b a - b ile çarpılırsa sonuç a 2 - b 2 olur: yani
İki sayının toplamı veya farkının çarpılmasının sonucu, karelerinin toplamı veya farkına eşittir.
İki sayının toplamı ve farkı şuna yükseltilirse Meydan, sonuç bu sayıların toplamına veya farkına eşit olacaktır. dördüncü derece.
Yani, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
yetkiler ayrılığı
Kuvvetli sayılar da diğer sayılar gibi bölenden çıkarılarak veya kesir şeklinde yerleştirilerek bölünebilir.
Yani a 3 b 2 bölü b 2 a 3 .
Veya:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
5 bölü 3 yazmak $\frac(a^5)(a^3)$ gibi görünür. Ama bu 2'ye eşittir. Bir dizi numarada
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
herhangi bir sayı diğerine bölünebilir ve üs eşittir fark bölünebilir sayıların göstergeleri
Aynı tabana sahip kuvvetleri bölerken üsleri çıkarılır..
Yani, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Yani, $\frac(yyy)(yy) = y$.
Ve bir n+1:a = bir n+1-1 = bir n . Yani, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
Veya:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Kural aynı zamanda şu numaralar için de geçerlidir: olumsuz derece değerleri.
-5'i -3'e bölmenin sonucu -2'dir.
Ayrıca, $\frac(1)(aaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 veya $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
Cebirde bu tür işlemler çok yaygın olarak kullanıldığından, kuvvetlerin çarpımı ve bölünmesinde çok iyi ustalaşmak gerekir.
Kuvvetli sayılar içeren kesirlerle örnek çözme örnekleri
1. $\frac(5a^4)(3a^2)$ içindeki üsleri azaltın Cevap: $\frac(5a^2)(3)$.
2. $\frac(6x^6)(3x^5)$ içindeki üsleri azaltın. Cevap: $\frac(2x)(1)$ veya 2x.
3. Üsleri a 2 / a 3 ve a -3 / a -4'ü azaltın ve ortak bir paydaya getirin.
a 2 .a -4 bir -2 birinci paydır.
a 3 .a -3, ikinci pay olan 0 = 1'dir.
a 3 .a -4, ortak pay olan -1'dir.
Sadeleştirmeden sonra: a -2 /a -1 ve 1/a -1 .
4. 2a 4 /5a 3 ve 2 /a 4 üslerini küçültün ve ortak bir paydaya getirin.
Cevap: 2a 3 / 5a 7 ve 5a 5 / 5a 7 veya 2a 3 / 5a 2 ve 5/5a 2.
5. (a 3 + b)/b 4'ü (a - b)/3 ile çarpın.
6. (a 5 + 1)/x 2'yi (b 2 - 1)/(x + a) ile çarpın.
7. b 4 /a -2'yi h -3 /x ve a n /y -3 ile çarpın.
8. 4 /y 3'ü 3 /y 2'ye bölün. Cevap: a/y.
9. (h 3 - 1)/d 4'ü (d n + 1)/h'ye bölün.
Belirli bir sayıyı bir güce yükseltmeniz gerekiyorsa, kullanabilirsiniz. Şimdi daha yakından bakacağız güçlerin özellikleri.
üstel sayılar büyük olasılıklar açarlar, çarpmayı toplamaya dönüştürmemize izin verirler ve toplama, çarpmadan çok daha kolaydır.
Örneğin 16 ile 64'ü çarpmamız gerekiyor. Bu iki sayının çarpımı 1024'tür. Ama 16 4x4, 64 ise 4x4x4'tür. Yani 16 çarpı 64=4x4x4x4x4 ki bu da 1024'tür.
16 sayısı 2x2x2x2 ve 64 sayısı 2x2x2x2x2x2 olarak da gösterilebilir ve çarparsak yine 1024 elde ederiz.
Şimdi kuralı kullanalım. 16=4 2 , veya 2 4 , 64=4 3 veya 2 6 , 1024=6 4 =4 5 veya 2 10 .
Bu nedenle problemimiz başka bir şekilde yazılabilir: 4 2 x4 3 =4 5 veya 2 4 x2 6 =2 10 ve her seferinde 1024 elde ederiz.
Bir dizi benzer örneği çözebilir ve sayıların kuvvetlerle çarpımının azaldığını görebiliriz. üslerin eklenmesi, veya bir üs, elbette, faktörlerin tabanlarının eşit olması şartıyla.
Böylece, çarpmadan hemen 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20 olduğunu söyleyebiliriz.
Bu kural, sayıları kuvvetlerle bölerken de geçerlidir, ancak bu durumda, e bölenin üssü, temettü üssünden çıkarılır. Böylece, adi sayılarda 32:8=4'e eşit olan 2 5:2 3 =2 2 , yani 2 2 . Özetleyelim:
a m x bir n \u003d bir m + n, bir m: bir n \u003d bir m-n, burada m ve n tam sayılardır.
İlk bakışta, öyle görünebilir sayıların kuvvetleriyle çarpma ve bölme işlemleriçok uygun değil, çünkü önce sayıyı üstel biçimde göstermeniz gerekiyor. 8 ve 16 sayılarını bu formda yani 2 3 ve 2 4 temsil etmek zor değil ama 7 ve 17 sayıları ile bu nasıl yapılır? Veya sayının üstel biçimde gösterilebildiği, ancak sayıların üstel ifadelerinin tabanlarının çok farklı olduğu durumlarda ne yapılmalı. Örneğin, 8×9 2 3 x 3 2'dir, bu durumda üsleri toplayamayız. Ne 2 5 ne de 3 5 cevap değil, ikisi arasında cevap da değil.
O zaman bu yöntemle hiç uğraşmaya değer mi? Kesinlikle buna değer. Özellikle karmaşık ve zaman alıcı hesaplamalar için büyük avantajlar sağlar.