Derecelerin özellikleri: formülasyonlar, ispatlar, örnekler. Derecelerin özellikleri: formülasyonlar, kanıtlar, örnekler Doğal göstergeli dereceler ve özellikleri
cebir 7. sınıf
matematik öğretmeni
şube MBOUTSOSH №1
Poletaevo Zueva köyünde I.P.
Poletaeva 2016
Ders: « Doğal üslü derecenin özellikleri»
HEDEF
- Çalışılan materyalin "Doğal göstergeli bir derecenin özellikleri" konusunda tekrarı, genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi.
- Öğrencilerin konuyla ilgili bilgilerinin kontrol edilmesi.
- Edinilen bilginin çeşitli görevlerin yerine getirilmesinde uygulanması.
GÖREVLER
ders :
konuyla ilgili bilgileri tekrarlamak, genelleştirmek ve sistematik hale getirmek; bilgi ve becerilerin özümsenmesinin kontrolü (karşılıklı kontrol) için koşullar yaratmak;öğrencilerin konuyu inceleme motivasyonunun oluşumuna devam etmek;
üst konu:
operasyonel bir düşünme tarzı geliştirmek; birlikte çalışırken öğrenciler tarafından iletişim becerilerinin edinilmesini teşvik etmek; onları etkinleştir Yaratıcı düşünce; Pöğrencilerin etkili sosyalleşmelerine katkıda bulunacak belirli yeterliliklerinin oluşumuna devam etmek;kendi kendine eğitim ve kendi kendine eğitim becerileri.
kişisel:
kültürü eğitmek, oluşumu teşvik etmek kişisel nitelikleri birbirimize, insanlara, hayata karşı iyiliksever, hoşgörülü bir tavrı hedefleyen; faaliyetlerde inisiyatif ve bağımsızlığı geliştirmek; devlet nihai sertifikasyonuna başarılı bir şekilde hazırlanmak için çalışılan konuya duyulan ihtiyacın anlaşılmasına yol açar.
DERS TÜRÜ
genelleme ve sistematikleştirme dersi ZUN.
Teçhizat: bilgisayar, projektör,projeksiyon ekranı,pano, Bildiri.
Yazılım: Windows 7 İşletim Sistemi: MS Office 2007 (gerekli başvuru - priz).
Hazırlık aşaması:
sunum "Doğal göstergeli bir derecenin özellikleri";
Bildiri;
skor sayfası.
Yapı
Organizasyon zamanı. Dersin amaç ve hedeflerini belirleme - 3 dakika.
Gerçekleştirme, temel bilgilerin sistemleştirilmesi - 8 dakika.
Pratik kısım - 28 dakika.
Genelleme, sonuç -3 dakika.
Ev ödevi- 1 dakika.
Yansıma - 2 dakika.
ders fikri
Bu konuyla ilgili öğrencilerin ZUN'unu ilginç ve etkili bir şekilde kontrol etmek.
dersin organizasyonu Ders 7. sınıfta yapılır. Çocuklar bağımsız olarak çiftler halinde çalışır, öğretmen danışman-gözlemci olarak hareket eder.
dersler sırasında
Organizasyon zamanı:
Merhaba beyler! Bugün alışılmadık bir ders oyunumuz var. Her birinize kendinizi kanıtlamanız, bilginizi göstermeniz için harika bir fırsat verildi. Belki de ders sırasında, gelecekte sizin için yararlı olacak gizli yetenekleri keşfedeceksiniz.
Her birinizin içinde görevleri tamamlamak için bir test sayfası ve kartları var. Elinize bir test sayfası alın, ders sırasında bilginizi kendiniz değerlendirmek için buna ihtiyacınız var. İmzala.
Bu yüzden sizi derse davet ediyorum!
Beyler ekrana bakın şiiri dinleyin.
1. Slayt
Çarp ve böl
Bir gücü bir güce yükseltmek...
Bu özelliklere aşinayız.
Ve artık yeni değiller.
Bu beş basit kural
Sınıftaki herkes zaten cevapladı
Ama özellikleri unutursanız,
Çözemediğiniz örneği düşünün!
Ve okulda sorunsuz yaşamak için
Sana iyi bir tavsiye vereceğim:
Kuralı unutmak mı istiyorsun?
Sadece öğrenmeye çalış!
Soruyu cevapla:
1) İçinde hangi eylemlerden bahsediliyor?
2) Bugün derste ne hakkında konuşacağımızı düşünüyorsun?
Yani dersimizin konusu:
"Doğal üslü bir derecenin özellikleri" (Slayt 3).
Dersin amaç ve hedeflerini belirleme
Derste, “Doğal göstergeli bir derecenin özellikleri” konusunda çalışılan materyali tekrar edecek, özetleyecek ve sisteme getireceğiz.
Aynı tabana sahip kuvvetleri çarpmayı ve bölmeyi ve ayrıca bir kuvveti bir kuvvete yükseltmeyi nasıl öğrendiğinizi görelim.
Temel bilgilerin güncellenmesi. Teorik materyalin sistemleştirilmesi.
1) Sözlü çalışma
Sözlü çalışalım
1) Derecenin özelliklerini doğal bir gösterge ile formüle edin.
2) Boşlukları doldurun: (4. Slayt)
1)5 12 : 5 5 =5 7 2) 5 7 ∙ 5 17 = 5 24 3) 5 24 : 125= 5 21 4)(5 0 ) 2 ∙5 24 =5 24
5)5 12 ∙ 5 12 = (5 8 ) 3 6)(3 12 ) 2 = 3 24 7) 13 0 ∙ 13 64 = 13 64
3) İfadenin değeri nedir:(Slayt 5-9)
bir m ∙ bir n; (bir m+n ) bir m : bir n (bir m-n ) ; (a m ) n ; bir 1; ve 0 .
2) Teorik kısmın kontrol edilmesi (Kart #1)
Şimdi 1 numaralı kartı alın veboşlukları doldurmak
1) Gösterge çift sayıysa, derecenin değeri her zaman _______________ olur.
2) Eğer gösterge tek sayı, o zaman derecenin değeri ____ işaretiyle çakışır.
3) Güçlerin ürünü bir n bir k = bir n + k
Aynı tabana sahip kuvvetleri çarparken, ____________ tabanına ve ________ üslerine ihtiyacınız vardır.
4) Özel dereceler bir n : bir k = bir n - k
Güçleri aynı tabana bölerken, tabana _____ ve temettü göstergesinden ____________________________ ihtiyacınız var.
5) Dereceyi bir kuvvete yükseltmek ( bir n ) k = bir nk
Bir kuvveti bir kuvvete yükseltirken, taban _______ ve üsler ______ olur.
Cevaplar kontrol ediliyor. (Slaytlar 10-13)
Ana bölüm
3) Ve şimdi defterleri açıyoruz, 28.01 14g sayısını yazıyoruz, Sınıf çalışması
Oyun "Klaket" » (Slayt 14)
Defterlerinizdeki ödevleri kendi başınıza tamamlayın
Aşağıdakileri yapın: a)X11 ∙х∙х2 B)X14 : X5 CA4 ) 3 d) (-için)2 .
İfadenin değerini sıfır ile karşılaştırın: a) (- 5)7 , b)(-6)18 ,
4'te)11 . ( -4) 8 G)(- 5) 18 ∙ (- 5) 6 , e 4)8 .
Bir ifadenin değerini hesaplayın:
a) -1 ∙ 3 2 , b) (-1 ∙ 3) 2 c) 1 ∙ (-3) 2 , d) - (2 ∙ 3) 2 , e) 1 2 ∙ (-3) 2
Kontrol ediyoruz, cevap doğru değilse elimizi çırpıyoruz.
Puan sayısını hesaplayın ve bunları müsabaka cetveline koyun.
4) Ve şimdi gözler için jimnastik yapacağız, gerginliği atacağız ve çalışmaya devam edeceğiz. Nesnelerin hareketini dikkatle izliyoruz
Başlamak! (Slayt 15,16,17,18).
5) Ve şimdi sıradaki işimize geçelim. (Kart2)
Cevabınızı tabanı olan bir kuvvet olarak yazın İLE ve bir sayının derecesi kavramını ilk ortaya atan büyük Fransız matematikçinin adını ve soyadını öğreneceksiniz.
Bilim adamı matematikçinin adını tahmin et.
1. | İLE 5 ∙С 3 | 6. | İLE 7 : İLE 5 |
2. | İLE 8 : İLE 6 | 7. | (İLE 4 ) 3 ∙С |
3, | (İLE 4 ) 3 | 8. | İLE 4 ∙ İLE 5 ∙ Ç 0 |
4. | İLE 5 ∙С 3 : İLE 6 | 9. | İLE 16 : İLE 8 |
5. | İLE 14 ∙ Ç 8 | 10. | (İLE 3 ) 5 |
HAKKINDA Cevap: RENE DECARTES
R | W | M | YÜ | İLE | H | A | T | E | D |
|||||
İLE 8 | İLE 5 | İLE 1 | İLE 40 | İLE 13 | İLE 12 | İLE 9 | İLE 15 | İLE 2 | İLE 22 |
Şimdi öğrencinin "Rene Descartes" hakkındaki mesajını dinleyelim.
René Descartes 21 Mart 1596'da doğdu. küçük kasaba Touraine'deki La Gaye. Descartes ailesi, mütevazı bürokratik soylulara aitti. Rene, çocukluğunu Touraine'de geçirdi. Descartes 1612'de okulu bitirdi. Orada sekiz buçuk yıl geçirdi. Descartes hayattaki yerini hemen bulmadı. Doğuştan bir asilzade, La Fleche'deki kolejden mezun olduktan sonra, kendini Paris'in sosyal hayatına dalar, sonra bilim uğruna her şeyi terk eder. Descartes matematik verdi özel mekan kendi sisteminde, onun hakikati tesis etme ilkelerini diğer ilimler için bir model olarak görmüştür. Descartes'ın hatırı sayılır bir değeri, bugüne kadar varlığını sürdüren uygun adlandırmaların tanıtılmasıydı: bilinmeyenler için Latin harfleri x, y, z; a, c, c - katsayılar için, dereceler için. Descartes'ın ilgi alanları matematikle sınırlı olmayıp mekanik, optik ve biyolojiyi de içerir. 1649'da Descartes, uzun bir tereddütten sonra İsveç'e taşındı. Bu kararın sağlığı için ölümcül olduğu ortaya çıktı. Altı ay sonra Descartes zatürreden öldü.
6) Kurulda çalışın:
1. Denklemi çözün
A) x 4 ∙ (x 5) 2 / x 20: x 8 \u003d 49
B) (t 7 ∙ t 17 ) : (t 0 ∙ t 21 )= -125
2.İfadenin değerini hesaplayın:
(5-x) 2 -2x 3 +3x 2 -4x+x-x 0
a) x=-1'de
b) x=2'de Bağımsız
7) 3 numaralı kartı elinize alın, testi yapın
Seçenek 1 | Seçenek 2. |
1. Kuvvetler ayrılığını yapın 2 17 : 2 5 2 12 2 45 2. Derece (x + y) (x + y) \u003d şeklinde yazın x 2 + y 2 (x+y) 2 2(x+y) 3. Değiştir * derecesi, böylece eşitlik a 5 · * = bir 15 10 3 (bir 7 ) 5 ? a) 12 b) 5 c) 35 3 = 8 15 8 12 6. Kesrin değerini bulun | 1. 9'un kuvvetleriyle bölme işlemi yapın 9 : 9 7 9 16 9 63 2. Derece (x-y) (x-y) \u003d ... şeklinde yazın. x 2 -y 2 (x-y) 2 2(x-y) 3. Değiştir * Derece böylece eşitlik b 9 · * = 18 b 17 b 1 1 4. İfadenin değeri nedir?(6 ile) 4 ? a) 10'dan b) 6'dan c) 24'ten beri 5. Önerilen seçeneklerden, eşitlikte (*) * yerine geçebilecek olanı seçin. 3 = 5 24 5 21 6. Kesrin değerini bulun |
Birbirinizin çalışmalarını kontrol edin ve yoldaşlarınızı not tablosunda derecelendirin.
1 seçenek | A | B | B | İle | B | 3 |
seçenek 2 | A | B | İle | İle | A | 4 |
Güçlü öğrenciler için ek görevler
Her görev ayrı ayrı değerlendirilir.
Bir ifadenin değerini bulun:
8) Ve şimdi dersimizin etkinliğini görelim ( Slayt 19)
Bunu yapmak için görevi tamamlayın, cevaplara karşılık gelen harflerin üzerini çizin.
AOWSTLCRCHGNMO
Ifadeyi basitleştir:
1. | С 4 ∙ С 3 | 5. | (İLE 2 ) 3 ∙ İLE 5 |
2. | (C5 ) 3 | 6. | İLE 6 ∙ İLE 5 : İLE 10 |
3. | 11'den : 6'dan | 7. | (İLE 4 ) 3 ∙С 2 |
4. | C 5 ∙C 5 : C |
şifre: A - 7'den İÇİNDE- 15'ten G -İLE VE - 30'dan itibaren İLE - 9'dan M - 14'ten H - 13'ten HAKKINDA - 12'den R - 11'den İLE - 5'ten T - 8'den H - 3'ten
Hangi kelimeyi aldın? CEVAP: MÜKEMMEL! (Slayt 20)
Özetleme, değerlendirme, işaretleme (Slayt 21)
Dersimizi, "Doğal göstergeli bir derecenin özellikleri" konusundaki bilgileri ne kadar başarılı bir şekilde tekrarladığımızı, genelleştirdiğimizi ve sistematikleştirdiğimizi özetleyelim.
Test kağıtlarını alıp toplam puan sayısını hesaplıyoruz ve bunları final notu satırına yazıyoruz.
29-32 sayı atan ayağa kalkın: mükemmel skor
25-28 puan: skor - iyi
20-24 puan: puan - tatmin edici
Kartlardaki ödevlerin doğruluğunu bir kez daha kontrol edeceğim, test sayfasında belirtilen noktalarla sonuçlarınızı kontrol edeceğim. Notları günlüğe yazacağım
Ve değerlendirme dersinde aktif çalışma için:
Çocuklar, çalışmalarınızı derste değerlendirmenizi rica ediyorum. Ruh hali sayfasında işaretleyin.
Test sayfası |
||
Soyad ad | Seviye |
|
1. Teorik kısım | ||
2. Oyun "Klaket" | ||
3. Testi | ||
4. "Şifre" | ||
Ek parça | ||
Final notu: | ||
duygusal değerlendirme | Benim hakkımda | ders hakkında |
Memnun | ||
hoşnutsuz |
Ev ödevi (Slayt 22)
DEGREE anahtar kelimesiyle bir çapraz bulmaca yapın. Bir sonraki derste en ilginç çalışmalara bakacağız.
№ 567
Kullanılan kaynakların listesi
- Ders kitabı "Cebir 7. Sınıf".
- Şiir. http://yandex.ru/yandsearch
- OLUMSUZ. Shchurkov. kültür modern ders. Moskova: Rus Pedagoji Ajansı, 1997.
- A.V. Petrov. metodolojik ve metodolojik temeller kişilik geliştirme bilgisayar eğitimi. Volgograd. "Değişim", 2001.
- GİBİ. Belkin. başarı durumu. Nasıl oluşturulur? M.: "Aydınlanma", 1991.
- Bilgisayar bilimi ve eğitim №3. Operasyonel Düşünme Tarzı, 2003
Daha önce bir sayının kuvvetinin ne olduğundan bahsetmiştik. Sorunları çözmede yararlı olan belirli özelliklere sahiptir: bu makalede analiz edeceğimiz onlar ve tüm olası üsler. Ayrıca pratikte nasıl kanıtlanabileceklerini ve doğru bir şekilde uygulanabileceklerini örneklerle göstereceğiz.
Daha önce formüle ettiğimiz doğal üslü derece kavramını hatırlayalım: bu, her biri a'ya eşit olan n'inci sayıda faktörün ürünüdür. Gerçek sayıları nasıl doğru şekilde çarpacağımızı da hatırlamamız gerekiyor. Bütün bunlar, doğal göstergeli bir derece için aşağıdaki özellikleri formüle etmemize yardımcı olacaktır:
tanım 1
1. Derecenin ana özelliği: a m a n = a m + n
Genelleştirilebilir: bir n 1 · bir n 2 · … · bir n k = bir n 1 + n 2 + … + n k .
2. Tabanı aynı olan kuvvetler için bölüm özelliği: a m: an n = a m − n
3. Ürün derecesi özelliği: (a b) n = a n b n
Eşitlik şu şekilde genişletilebilir: (a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n
4. Doğal bir derecenin özelliği: (a: b) n = a n: b n
5. Gücü güce yükseltiyoruz: (a m) n = a m n ,
Genelleştirilebilir: (((bir n 1) n 2) …) n k = bir n 1 n 2 … n k
6. Dereceyi sıfır ile karşılaştırın:
- a > 0 ise, herhangi bir doğal n için, n sıfırdan büyük olacaktır;
- 0'a eşit olduğunda, n de sıfıra eşit olacaktır;
- için< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
- için< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.
7. Eşitlik bir n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.
8. a m > a n eşitsizliği, m ve n'nin olması koşuluyla doğru olacaktır. tamsayılar, m, n'den büyüktür ve a sıfırdan büyüktür ve birden küçük değildir.
Sonuç olarak, birkaç eşitlik elde ettik; yukarıda belirtilen tüm koşulları karşılıyorsanız, bunlar aynı olacaktır. Eşitliklerin her biri için, örneğin ana özellik için, sağ ve sol kısımları değiştirebilirsiniz: a m · an n = a m + n - a m + n = a m · an n ile aynıdır. Bu formda, genellikle ifadeleri basitleştirirken kullanılır.
1. Derecenin ana özelliği ile başlayalım: a m · an = a m + n eşitliği, herhangi bir doğal m ve n ve gerçek a için doğru olacaktır. Bu ifade nasıl kanıtlanır?
Doğal üslü kuvvetlerin temel tanımı, eşitliği faktörlerin bir ürününe dönüştürmemize izin verecektir. Bunun gibi bir giriş alacağız:
Bu kısaltılabilir (çarpmanın temel özelliklerini hatırlayın). Sonuç olarak, doğal üssü m + n olan a sayısının derecesini elde ettik. Böylece a m + n yani derecenin temel özelliği kanıtlanmış olur.
analiz edelim özel örnek bunu teyit ediyor.
örnek 1
Yani tabanı 2 olan iki kuvvetimiz var. Doğal göstergeleri sırasıyla 2 ve 3'tür. Eşitliği elde ettik: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Bu eşitliğin doğruluğunu kontrol etmek için değerleri hesaplayalım.
gerekli işlemleri yapacağız matematiksel işlemler: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 ve 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32
Sonuç olarak şunu elde ettik: 2 2 2 3 = 2 5 . Özellik kanıtlanmıştır.
Çarpmanın özelliklerinden dolayı, özelliği üç olarak formüle ederek genelleştirebiliriz ve DahaÜsleri doğal sayılar ve tabanları aynı olan kuvvetler. Doğal sayıların sayısını n 1, n 2 vb. k harfi ile gösterirsek, doğru eşitliği elde ederiz:
bir n 1 bir n 2 … bir n k = bir n 1 + n 2 + … + n k .
Örnek 2
2. Daha sonra, bölüm özelliği olarak adlandırılan ve aynı temellere sahip üslerde bulunan şu özelliği kanıtlamamız gerekiyor: bu, herhangi bir doğal m ve n (ve m) için geçerli olan a m: a n = a m - n eşitliğidir. büyüktür n)) ve sıfır olmayan herhangi bir gerçek a .
Başlangıç olarak, formülasyonda belirtilen koşulların anlamının tam olarak ne olduğunu açıklayalım. Sıfıra eşit alırsak, sonunda sıfıra bölme elde ederiz ki bu yapılamaz (sonuçta, 0 n = 0). Doğal üsler içinde kalabilmemiz için m sayısının n'den büyük olması koşulu gereklidir: n'yi m'den çıkararak bir doğal sayı elde ederiz. Koşul sağlanmazsa, alacağız negatif bir sayı veya sıfır ve yine doğal göstergelerle derece çalışmasının ötesine geçeceğiz.
Artık ispata geçebiliriz. Daha önce incelenenlerden, kesirlerin temel özelliklerini hatırlıyoruz ve eşitliği aşağıdaki gibi formüle ediyoruz:
bir m - n bir n = bir (m - n) + n = bir m
Buradan şunu çıkarabiliriz: a m − n a n = a m
Bölme ve çarpma arasındaki bağlantıyı hatırlayın. Bundan, a m - n'nin, a m ve an n güçlerinin bir bölümü olduğu sonucu çıkar. Bu, ikinci derece özelliğin ispatıdır.
Örnek 3
Göstergelerdeki netlik için belirli sayıları değiştirin ve derecenin tabanını belirtin π: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3
3. Daha sonra, çarpım derecesinin özelliğini analiz edeceğiz: (a · b) n = a n · b n herhangi bir gerçek a ve b ve doğal n için.
Doğal üslü bir derecenin temel tanımına göre, eşitliği şu şekilde yeniden formüle edebiliriz:
Çarpmanın özelliklerini hatırlayarak şunu yazıyoruz: . a n · b n ile aynı anlama gelir.
Örnek 4
2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4
Üç veya daha fazla çarpanımız varsa, bu özellik bu durum için de geçerlidir. Faktör sayısı için k gösterimini tanıtıyoruz ve şunu yazıyoruz:
(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n
Örnek 5
Belirli sayılarla aşağıdaki doğru eşitliği elde ederiz: (2 (- 2 , 3) a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) 7 a
4. Bundan sonra, bölüm özelliğini kanıtlamaya çalışacağız: (a:b) n = a n:b n herhangi bir gerçek a ve b için, eğer b 0'a eşit değilse ve n bir doğal sayıdır.
Kanıt için bir önceki derece özelliğini kullanabiliriz. (a: b) n b n = ((a: b) b) n = an n ve (a: b) n b n = an n ise, bundan (a: b) n'nin, a n'yi b n'ye bölümünün bir bölümü olduğu sonucu çıkar.
Örnek 6
Örneği sayalım: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3
Örnek 7
Hemen bir örnekle başlayalım: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6
Ve şimdi bize eşitliğin doğruluğunu kanıtlayacak bir eşitlik zinciri formüle ediyoruz:
Örnekte derece derecelerimiz varsa, bu özellik onlar için de geçerlidir. Herhangi bir p, q, r, s doğal sayımız varsa, bu doğru olacaktır:
a p q y s = a p q y s
Örnek 8
Özellikleri ekleyelim: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30
6. Doğal üslü derecelerin kanıtlamamız gereken bir başka özelliği de karşılaştırma özelliğidir.
İlk olarak, üssü sıfır ile karşılaştıralım. a'nın 0'dan büyük olması koşuluyla neden bir n > 0?
Bir pozitif sayıyı diğeriyle çarparsak, yine pozitif bir sayı elde ederiz. Bu gerçeği bilerek, bunun faktör sayısına bağlı olmadığını söyleyebiliriz - herhangi bir sayıyı çarpmanın sonucu pozitif sayılar pozitif bir sayıdır. Sayıları çarpmanın sonucu değilse, derece nedir? O zaman pozitif tabanlı ve doğal üslü herhangi bir n kuvveti için bu doğru olacaktır.
Örnek 9
3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 ve 34 9 13 51 > 0
Tabanı sıfıra eşit olan bir kuvvetin kendisinin sıfır olduğu da açıktır. Sıfırı hangi kuvvete yükseltirsek yükseltelim, öyle kalacaktır.
Örnek 10
0 3 = 0 ve 0 762 = 0
Derecenin tabanı negatif bir sayıysa, çift / tek üs kavramı önem kazandığından ispat biraz daha karmaşıktır. Üs çift olduğu durumla başlayalım ve 2 · m ile gösterelim, burada m bir doğal sayıdır.
Negatif sayıların doğru şekilde nasıl çarpılacağını hatırlayalım: a · a çarpımı modüllerin çarpımına eşittir ve bu nedenle pozitif bir sayı olacaktır. Daha sonra ve a 2 · m derecesi de pozitiftir.
Örnek 11
Örneğin, (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 ve - 2 9 6 > 0
Negatif tabanlı üs tek bir sayıysa ne olur? 2 · m - 1 olarak gösterelim.
Daha sonra
Çarpmanın özelliklerine göre tüm a · a çarpımları pozitiftir ve çarpımları da öyle. Ancak bunu kalan tek sayı ile çarparsak a , o zaman nihai sonuç negatif olacaktır.
Sonra şunu elde ederiz: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0
Nasıl kanıtlanır?
BİR< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .
Örnek 12
Örneğin, eşitsizlikler doğrudur: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124
8. Geriye son özelliği kanıtlamak kalıyor: Tabanları aynı ve pozitif olan ve üsleri doğal sayılar olan iki derecemiz varsa, bunlardan biri daha büyük, üssü daha az; ve doğal göstergeleri olan ve aynı tabanları birden büyük olan iki dereceden, göstergesi büyük olan derece daha büyüktür.
Bu iddiaları kanıtlayalım.
İlk önce bir m olduğundan emin olmamız gerekiyor< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n
Parantezlerden bir n alırız, bundan sonra farkımız bir n · (am - n - 1) şeklini alır. Sonucu negatif olacaktır (çünkü pozitif bir sayıyı negatif bir sayı ile çarpmanın sonucu negatiftir). Aslında, başlangıç koşullarına göre, m − n > 0, o zaman a m − n − 1 negatiftir ve pozitif tabanlı herhangi bir doğal güç gibi ilk faktör pozitiftir.
Bir m - bir n olduğu ortaya çıktı< 0 и a m < a n . Свойство доказано.
Geriye yukarıda formüle edilen ifadenin ikinci bölümünü kanıtlamak kalıyor: m > n ve a > 1 için a m > a doğrudur. Farkı belirtiyoruz ve parantez içinden bir n alıyoruz: (a m - n - 1) Birden büyük olan bir n'nin kuvveti pozitif sonuç verecektir; ve farkın kendisi de başlangıç koşulları nedeniyle pozitif olacaktır ve a > 1 için a m - n'nin derecesi birden büyüktür. Kanıtlamamız gereken a m − a n > 0 ve a m > an n olduğu ortaya çıktı.
Örnek 13
Belirli sayılarla örnek: 3 7 > 3 2
Tam sayı üslü derecelerin temel özellikleri
Pozitif tamsayı üslü dereceler için özellikler benzer olacaktır, çünkü pozitif tamsayılar doğal sayılardır, yani yukarıda ispatlanan tüm eşitlikler onlar için de geçerlidir. Üslerin negatif veya sıfıra eşit olduğu durumlar için de uygundurlar (derece tabanının sıfır olmaması şartıyla).
Böylece, kuvvetlerin özellikleri, herhangi bir a ve b tabanı (bu sayıların gerçek olması ve 0'a eşit olmaması şartıyla) ve herhangi bir m ve n üssü (tamsayı olmaları şartıyla) için aynıdır. Bunları kısaca formüller halinde yazıyoruz:
Tanım 2
1. bir m bir n = bir m + n
2. bir m: bir n = bir m - n
3. (a b) n = bir n b n
4. (a:b) n = bir n: b n
5. (am) n = bir m n
6. bir n< b n и a − n >b - n, pozitif tam sayı n , pozitif a ve b , a ile< b
7. bir dakika< a n , при условии целых m и n , m >n ve 0< a < 1 , при a >1:00 > bir n .
Derecenin tabanı sıfıra eşitse, a m ve a n girdileri yalnızca doğal ve pozitif m ve n durumunda anlamlıdır. Sonuç olarak, diğer tüm koşullar karşılanırsa, yukarıdaki formülasyonların sıfır tabanlı derece durumları için de uygun olduğunu bulduk.
Bu özelliklerin bu durumda ispatları basittir. Doğal ve tam sayı üslü bir derecenin yanı sıra gerçek sayılarla eylemlerin özelliklerini hatırlamamız gerekecek.
Derecenin derecedeki özelliğini inceleyelim ve bunun hem pozitif tam sayılar hem de pozitif olmayan tam sayılar için doğru olduğunu kanıtlayalım. (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) ve (a − p) − q = a (− p) (−q)
Koşullar: p = 0 veya doğal sayı; q - benzer şekilde.
p ve q değerleri 0'dan büyükse, (a p) q = a p · q elde ederiz. Benzer bir eşitliği daha önce ispatlamıştık. Eğer p = 0 ise:
(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1
Bu nedenle, (a 0) q = a 0 q
q = 0 için her şey tamamen aynıdır:
(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1
Sonuç: (a p) 0 = a p 0 .
Her iki gösterge de sıfırsa, o zaman (a 0) 0 = 1 0 = 1 ve a 0 0 = a 0 = 1, o zaman (a 0) 0 = a 0 0 .
Yukarıda ispatlanan kuvvetteki bölümün özelliğini hatırlayın ve şunu yazın:
1 bir p q = 1 q bir p q
1 p = 1 1 … 1 = 1 ve a p q = a p q ise, 1 q a p q = 1 a p q
Bu gösterimi temel çarpma kuralları sayesinde a (− p) · q'ya dönüştürebiliriz.
Ayrıca: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .
VE (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)
Derecenin geri kalan özellikleri, mevcut eşitsizlikler dönüştürülerek benzer şekilde kanıtlanabilir. Bunun üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağız, sadece zor noktaları belirteceğiz.
Sondan bir önceki özelliğin kanıtı: a - n > b - n'nin, a'nın b'den küçük olması koşuluyla, n'nin herhangi bir negatif tamsayı değeri ve herhangi bir pozitif a ve b için doğru olduğunu hatırlayın.
Daha sonra eşitsizlik şu şekilde dönüştürülebilir:
1 bir n > 1 milyar
Sağ ve sol kısımları fark olarak yazıp gerekli dönüşümleri yapıyoruz:
1 bir n - 1 b n = b n - bir n bir n b n
a'nın b'den küçük olduğu durumda, doğal üslü bir derecenin tanımına göre: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .
a n · b n, çarpanları pozitif olduğu için pozitif bir sayı olur. Sonuç olarak, sonunda pozitif bir sonuç veren b n - a n an · b n kesirimiz var. Dolayısıyla 1 an n > 1 b n buradan a - n > b - n , bunu kanıtlamamız gerekiyordu.
Tam sayı üslü derecelerin son özelliği, doğal üslü derecelerin özelliğine benzer şekilde kanıtlanmıştır.
Rasyonel üslü derecelerin temel özellikleri
Önceki makalelerde, rasyonel (kesirli) üslü bir derecenin ne olduğunu tartışmıştık. Özellikleri, tamsayı üslü derecelerle aynıdır. Hadi yaz:
Tanım 3
1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 a > 0 için ve eğer m 1 n 1 > 0 ve m 2 n 2 > 0 ise a ≥ 0 için (çarpım özelliği güçleri aynı taban ile).
2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 eğer a > 0 (bölüm özelliği).
3. a > 0 ve b > 0 için a b m n = a m n b mn ve m 1 n 1 > 0 ve m 2 n 2 > 0 ise, a ≥ 0 ve (veya) b ≥ 0 için (kesirli derecede ürün özelliği).
4. a: b m n \u003d a m n: a > 0 ve b > 0 için b m n ve m n > 0 ise, a ≥ 0 ve b > 0 için (kesirli dereceye bölümün özelliği).
5. a > 0 için a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 ve m 1 n 1 > 0 ve m 2 n 2 > 0 ise, o zaman a ≥ 0 için (derece özelliği derece).
6.ap< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; mümkünse< 0 - a p >b p (eşit güçlerle karşılaştırma özelliği rasyonel göstergeler).
7.ap< a q при условии рациональных чисел p и q , p >0'da q< a < 1 ; если a >0 – bir p > bir q
Bu hükümleri kanıtlamak için, kesirli üslü bir derecenin ne olduğunu, n'inci derecenin aritmetik kökünün özelliklerini ve tamsayı üslü bir derecenin özelliklerini hatırlamamız gerekir. Her bir mülke bir göz atalım.
Kesirli üslü bir derecenin ne olduğuna göre şunu elde ederiz:
a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 ve am 2 n 2 \u003d am 2 n 2, bu nedenle a m 1 n 1 am 2 n 2 \u003d am 1 n 1 am 2 n 2
Kökün özellikleri eşitlikleri türetmemize izin verecektir:
bir m 1 m 2 n 1 n 2 bir m 2 m 1 n 2 n 1 = bir m 1 n 2 bir m 2 n 1 n 1 n 2
Buradan şunu elde ederiz: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2
Dönüştürelim:
bir m 1 n 2 bir m 2 n 1 n 1 n 2 = bir m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2
Üs şu şekilde yazılabilir:
m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2
Bu kanıt. İkinci özellik de aynı şekilde ispatlanır. Eşitlik zincirini yazalım:
bir m 1 n 1: bir m 2 n 2 = bir m 1 n 1: bir m 2 n 2 = bir m 1 n 2: bir m 2 n 1 n 1 n 2 = = bir m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = bir m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = bir m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = bir m 1 n 1 - m 2 n 2
Kalan eşitliklerin ispatları:
a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = bir m: b m n = = bir m n: b m n = bir m n: b m n ; bir m 1 n 1 m 2 n 2 = bir m 1 n 1 m 2 n 2 = bir m 1 n 1 m 2 n 2 = = bir m 1 m 2 n 1 n 2 = bir m 1 m 2 n 1 n 2 = = bir m 1 m 2 n 2 n 1 = bir m 1 m 2 n 2 n 1 = bir m 1 n 1 m 2 n 2
Sonraki özellik: a ve b'nin 0'dan büyük herhangi bir değeri için, a'nın b'den küçük olması durumunda a p'nin yürütüleceğini kanıtlayalım.< b p , а для p больше 0 - a p >bp
Bir p rasyonel sayısını m n olarak gösterelim. Bu durumda m bir tamsayıdır, n bir doğal sayıdır. O zaman koşullar p< 0 и p >0 m'ye uzatılacak< 0 и m >0 . m > 0 ve a için< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .
Köklerin özelliğini kullanırız ve şunu elde ederiz: a m n< b m n
a ve b değerlerinin pozitifliğini dikkate alarak eşitsizliği m n olarak yeniden yazarız< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .
Aynı şekilde m için< 0 имеем a a m >b m , a m n > b m n elde ederiz yani a m n > b m n ve a p > b p .
Son özelliği kanıtlamak bize kalır. P ve q rasyonel sayıları için 0'da p > q olduğunu kanıtlayalım.< a < 1 a p < a q , а при a >0 doğru olurdu a p > a q .
Rasyonel sayılar p ve q indirgenebilir ortak payda ve m 1 n ve m 2 n kesirlerini elde edin
Burada m 1 ve m 2 tam sayılardır ve n bir doğal sayıdır. p > q ise, o zaman m 1 > m 2 (kesirleri karşılaştırma kuralı dikkate alınarak). sonra 0'da< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – eşitsizlik a 1 m > a 2 m .
Aşağıdaki biçimde yeniden yazılabilirler:
bir m 1 n< a m 2 n a m 1 n >bir m 2 n
Ardından dönüşümler yapabilir ve sonuç olarak şunları elde edebilirsiniz:
bir m 1 n< a m 2 n a m 1 n >bir m 2 n
Özetlemek gerekirse: p > q ve 0 için< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – bir p > bir q .
İrrasyonel üslü derecelerin temel özellikleri
Rasyonel üslü bir derecenin sahip olduğu yukarıda açıklanan tüm özellikler, bu dereceye kadar genişletilebilir. Bu, önceki makalelerden birinde verdiğimiz tanımından kaynaklanmaktadır. Bu özellikleri kısaca formüle edelim (koşullar: a > 0 , b > 0 , göstergeler p ve q irrasyonel sayılardır):
Tanım 4
1. bir p bir q = bir p + q
2. bir p: bir q = bir p - q
3. (a b) p = a p b p
4. (a:b)p = ap:bp
5. (a p) q = a p q
6.ap< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp
7.ap< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , ardından a p > a q .
Böylece, p ve q üsleri gerçek sayı olan tüm üsler, a > 0 olmak koşuluyla, aynı özelliklere sahiptir.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Sayının derecesi belirlendikten sonra şundan bahsetmek mantıklıdır: derece özellikleri. Bu yazımızda olası tüm üslere değinirken bir sayının derecesinin temel özelliklerini vereceğiz. Burada derecenin tüm özelliklerinin kanıtlarını vereceğiz ve ayrıca örnekleri çözerken bu özelliklerin nasıl uygulandığını göstereceğiz.
Sayfa gezintisi.
Doğal göstergeli derecelerin özellikleri
Doğal üslü bir kuvvetin tanımı gereği, bir n'nin kuvveti, her biri a'ya eşit olan n faktörün çarpımıdır. Bu tanıma dayanarak ve kullanarak gerçek sayı çarpma özellikleri, aşağıdakileri elde edebilir ve gerekçelendirebiliriz doğal üslü derecenin özellikleri:
- a m ·a n =a m+n derecesinin ana özelliği, genellemesi;
- aynı tabanlı kısmi kuvvetlerin özelliği a m:a n =a m−n ;
- ürün derecesi özelliği (a b) n =a nbn , uzantısı ;
- ayni bölüm özelliği (a:b) n =a n:b n ;
- üs (a m) n =a m n , genelleştirmesi (((bir n 1) n 2) ...) n k = bir n 1 n 2 ... n k;
- dereceyi sıfır ile karşılaştırmak:
- a>0 ise, herhangi bir doğal n için bir n >0 olur;
- a=0 ise, o zaman bir n =0 ;
- Eğer bir<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 eğer bir<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- a ve b pozitif sayılar ise ve a
- m ve n, m>n olacak şekilde doğal sayılarsa, o zaman 0'da 0 a m >a n eşitsizliği doğrudur.
Hemen tüm yazılı eşitliklerin olduğunu not ediyoruz. birebir aynı belirtilen şartlar altında sağ ve sol kısımları değiştirilebilir. Örneğin, a m a n = a m + n fraksiyonunun ana özelliği ile ifadelerin basitleştirilmesi genellikle a m+n = a m an n biçiminde kullanılır.
Şimdi her birine ayrıntılı olarak bakalım.
Aynı tabana sahip iki kuvvetin çarpımının özelliği ile başlayalım. derecenin ana özelliği: herhangi bir a gerçek sayısı ve herhangi bir doğal sayı m ve n için a m ·a n =a m+n eşitliği doğrudur.
Derecenin ana özelliğini kanıtlayalım. Doğal üslü bir derecenin tanımıyla, a man biçimiyle aynı temellere sahip kuvvetlerin çarpımı çarpım olarak yazılabilir. Çarpmanın özelliklerinden dolayı elde edilen ifade şu şekilde yazılabilir: ve bu çarpım a'nın doğal üssü m+n olan, yani a m+n'nin kuvvetidir. Bu ispatı tamamlar.
Derecenin temel özelliğini doğrulayan bir örnek verelim. Tabanları aynı 2 ve doğal güçleri 2 ve 3 olan dereceleri alalım, derecenin ana özelliğine göre 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 eşitliğini yazabiliriz. 2 2 ·2 3 ve 2 5 ifadelerinin değerlerini hesapladığımız geçerliliğini kontrol edelim. Üs alma işlemini gerçekleştirirken, 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 ve 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, eşit değerler elde edildiğinden, 2 2 2 3 \u003d 2 5 eşitliği doğrudur ve derecenin ana özelliğini onaylar.
Çarpma özelliklerine dayalı bir derecenin ana özelliği, aynı tabanlar ve doğal üsler ile üç veya daha fazla derecenin ürününe genelleştirilebilir. Yani n 1 , n 2 , …, n k doğal sayılarından herhangi bir k sayısı için eşitlik bir n 1 bir n 2 bir n k = bir n 1 +n 2 +…+n k.
Örneğin, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Doğal bir gösterge ile derecelerin bir sonraki özelliğine geçebilirsiniz - aynı esaslara sahip kısmi yetkilerin mülkiyeti: sıfır olmayan herhangi bir a gerçek sayısı ve m>n koşulunu sağlayan rastgele m ve n doğal sayıları için, a m:a n =a m−n eşitliği doğrudur.
Bu özelliğin kanıtını vermeden önce, formülasyondaki ek koşulların anlamını tartışalım. a≠0 koşulu, sıfıra bölmeyi önlemek için gereklidir, çünkü 0 n = 0'dır ve bölme ile tanıştığımızda, sıfıra bölmenin imkansız olduğu konusunda anlaşmıştık. Doğal üslerin ötesine geçmemek için m>n koşulu getirildi. Aslında, m>n için a m−n üssü doğal bir sayıdır, aksi halde sıfır (m−n için olan) veya negatif bir sayı (m için olan) olacaktır. Kanıt. Bir kesrin ana özelliği, eşitliği yazmamızı sağlar. a m−n a n =a (m−n)+n =a m. Elde edilen eşitlikten a m−n ·a n =a m ve bundan a m−n'nin a m ve an n'nin kuvvetlerinin bir bölümü olduğu sonucu çıkar. Bu, aynı temellere sahip kısmi güçlerin özelliğini kanıtlar. Bir örnek alalım. Aynı π tabanları ve 5 ve 2 doğal üsleri ile iki derece alalım, derecenin dikkate alınan özelliği π 5 eşitliğine karşılık gelir: π 2 = π 5−3 = π 3. Şimdi düşünün ürün derecesi özelliği: herhangi iki gerçek sayı a ve b'nin çarpımının doğal derecesi n, a n ve b n derecelerinin çarpımına eşittir, yani (a b) n =a nbn . Gerçekten de, doğal bir üste sahip bir derecenin tanımı gereği, elimizde . Çarpmanın özelliklerine dayanan son ürün şu şekilde yeniden yazılabilir: , bu da bir nbn'ye eşittir. İşte bir örnek: . Bu özellik, üç veya daha fazla faktörün çarpımının derecesine kadar uzanır. Yani, k faktörlerin çarpımının doğal güç özelliği n şu şekilde yazılır: (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n. Netlik için, bu özelliği bir örnekle gösteriyoruz. Üç faktörün 7'nin kuvvetiyle çarpımı için elimizde . Bir sonraki özellik doğal özellik: a ve b , b≠0 gerçek sayılarının n doğal gücüne bölümü, a n ve b n güçlerinin bölümüne eşittir, yani (a:b) n =a n:bn . Kanıt, önceki özellik kullanılarak gerçekleştirilebilir. Bu yüzden (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n ve (a:b) n b n =a n eşitliği, (a:b) n'nin an'ın bn'ye bölümü olduğunu ima eder. Belirli sayılar örneğini kullanarak bu özelliği yazalım: . şimdi ses verelim üs özelliği: herhangi bir a gerçek sayısı ve herhangi bir doğal sayı m ve n için, a m'nin kuvveti üzeri n'nin üssü m·n olan a'nın gücüne eşittir, yani (a m) n =a m·n . Örneğin, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 . Derecedeki kuvvet özelliğinin ispatı aşağıdaki eşitlikler zinciridir: . Ele alınan özellik, derece içinde derece içinde dereceye kadar genişletilebilir ve bu böyle devam eder. Örneğin, p, q, r ve s doğal sayıları için eşitlik . Daha fazla netlik için, burada belirli sayılarla bir örnek verilmiştir: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
. Dereceleri doğal bir üs ile karşılaştırmanın özellikleri üzerinde durmaya devam ediyor. Sıfır ve gücün karşılaştırma özelliğini doğal bir üs ile kanıtlayarak başlıyoruz. İlk olarak, herhangi bir a>0 için a n >0 olduğunu doğrulayalım. Çarpmanın tanımından da anlaşılacağı gibi, iki pozitif sayının ürünü pozitif bir sayıdır. Bu gerçek ve çarpmanın özellikleri, herhangi bir sayıda pozitif sayıyı çarpmanın sonucunun da pozitif bir sayı olacağını iddia etmemizi sağlar. Ve doğal üssü n olan a'nın gücü, tanım gereği, her biri a'ya eşit olan n faktörün çarpımıdır. Bu argümanlar, herhangi bir pozitif taban için, bir n'nin derecesinin pozitif bir sayı olduğunu iddia etmemizi sağlar. Kanıtlanmış özellik sayesinde 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 ve . a=0 olan herhangi bir doğal n için, n'nin derecesinin sıfır olduğu oldukça açıktır. Gerçekten de, 0 n =0·0·…·0=0 . Örneğin, 0 3 =0 ve 0 762 =0 . Negatif bazlara geçelim. Üs çift sayı olduğu durumla başlayalım, bunu 2 m olarak gösterelim, burada m bir doğal sayıdır. Daha sonra . a·a formunun her bir çarpımı için, a ve a sayılarının modüllerinin çarpımına eşittir, dolayısıyla pozitif bir sayıdır. Bu nedenle, ürün de olumlu olacaktır. ve derece a 2 m . İşte örnekler: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 ve . Son olarak, a'nın tabanı negatif bir sayı ve üs 2 m−1 tek sayı olduğunda, o zaman . Tüm a·a çarpımları pozitif sayılardır, bu pozitif sayıların çarpımı da pozitiftir ve kalan negatif sayı a ile çarpıldığında negatif bir sayı elde edilir. Bu özellik nedeniyle (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и . Aşağıdaki formülasyona sahip olan aynı doğal üslere sahip dereceleri karşılaştırma özelliğine dönüyoruz: aynı doğal üslere sahip iki dereceden n, tabanı küçük olandan daha az ve tabanı daha büyük olandan daha fazladır. Hadi kanıtlayalım. eşitsizlik bir n eşitsizliklerin özellikleri a n şeklinde ispatlanan eşitsizlik (2,2) 7 ve . Geriye doğal üslü güçlerin listelenen özelliklerinin sonuncusunu kanıtlamak kalıyor. Formüle edelim. Doğal göstergelere ve aynı pozitif temellere sahip iki dereceden birden az, derecesi daha büyüktür, göstergesi daha azdır; ve doğal göstergeleri olan ve aynı tabanları birden büyük olan iki dereceden, göstergesi büyük olan derece daha büyüktür. Bu özelliğin ispatına dönüyoruz. Bunu m>n ve 0 için kanıtlayalım 0 başlangıç koşulu nedeniyle m>n , dolayısıyla 0'da bunu takip eder
Mülkün ikinci bölümünü kanıtlamak için kalır. m>n ve a>1 için a m >a n'nin doğru olduğunu kanıtlayalım. a m −a n farkı a n ·(a m−n −1) şeklini alır. Bu çarpım pozitiftir, çünkü a>1 için a n'nin derecesi pozitif bir sayıdır ve a m−n −1 farkı pozitif bir sayıdır, çünkü başlangıç koşulu nedeniyle m−n>0 ve a>1 için, a m−n'nin derecesi birden büyüktür. Bu nedenle, kanıtlanması gereken a m − a n >0 ve a m >a n . Bu özellik, 3 7 >3 2 eşitsizliği ile gösterilmektedir.
Tam sayı üslü derecelerin özellikleri
Pozitif tamsayılar doğal sayılar olduğundan, pozitif tamsayı üslü kuvvetlerin tüm özellikleri, bir önceki paragrafta listelenen ve kanıtlanmış doğal üslü kuvvetlerin özellikleriyle tam olarak örtüşür.
Dereceyi negatif tamsayı üslü ve dereceyi sıfır üslü olarak tanımladık, böylece eşitliklerle ifade edilen doğal üslere sahip derecelerin tüm özellikleri geçerli kalır. Bu nedenle, tüm bu özellikler hem sıfır üsler hem de negatif üsler için geçerlidir, tabii ki derecelerin tabanları sıfır değildir.
Dolayısıyla, herhangi bir gerçek ve sıfır olmayan a ve b sayıları ile herhangi bir m ve n tam sayısı için aşağıdakiler doğrudur tamsayı üslü derecelerin özellikleri:
- bir m bir n \u003d bir m + n;
- bir m: bir n = bir m−n ;
- (a b) n = bir n b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (bir m) n = bir m n ;
- n pozitif bir tam sayı ise, a ve b pozitif sayılardır ve a b-n;
- m ve n tam sayılarsa ve m>n , o zaman 0'da 1 a m >a n eşitsizliği karşılanır.
a=0 için, a m ve a n'nin kuvvetleri yalnızca hem m hem de n pozitif tam sayılar, yani doğal sayılar olduğunda anlamlıdır. Böylece az önce yazılan özellikler a=0 ve m ve n sayılarının pozitif tam sayı olduğu durumlar için de geçerlidir.
Bu özelliklerin her birini ispatlamak zor değil, bunun için doğal ve tam sayı üslü derece tanımlarını ve gerçek sayılarla eylemlerin özelliklerini kullanmak yeterlidir. Örnek olarak, güç özelliğinin hem pozitif tam sayılar hem de pozitif olmayan tam sayılar için geçerli olduğunu kanıtlayalım. Bunu yapmak için, p sıfır veya bir doğal sayı ve q sıfır veya bir doğal sayı ise, o zaman eşitliklerin (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) ve (a−p)−q =a (−p) (−q). Hadi yapalım.
Pozitif p ve q için, önceki alt bölümde (a p) q =a p·q eşitliği kanıtlanmıştır. p=0 ise, o zaman elimizde (a 0) q =1 q =1 ve a 0 q =a 0 =1 olur, dolayısıyla (a 0) q =a 0 q . Benzer şekilde, eğer q=0 ise, o zaman (a p) 0 =1 ve a p 0 =a 0 =1 , dolayısıyla (a p) 0 =a p 0 . Hem p=0 hem de q=0 ise, o zaman (a 0) 0 =1 0 =1 ve a 0 0 =a 0 =1 , dolayısıyla (a 0) 0 =a 0 0 .
Şimdi (a −p) q =a (−p) q olduğunu kanıtlayalım. Negatif tamsayı üssü olan bir derecenin tanımına göre, o zaman . Derecedeki bölümün özelliğine göre, elimizdeki . 1 p =1·1·…·1=1 ve , o zaman . Son ifade, tanım gereği, a −(p q) biçiminde bir kuvvettir ve çarpma kuralları sayesinde a (−p) q olarak yazılabilir.
benzer şekilde .
VE .
Aynı ilkeye göre, bir derecenin diğer tüm özellikleri, eşitlik biçiminde yazılmış bir tamsayı üssü ile kanıtlanabilir.
Kaydedilen özelliklerin sondan bir önceki bölümünde, herhangi bir negatif tamsayı −n ve herhangi bir pozitif a ve b için doğru olan a −n >b −n eşitsizliğinin kanıtı üzerinde durmaya değer. . Şart gereği bir 0 . a n ·b n çarpımı, a n ve b n pozitif sayılarının çarpımı olarak da pozitiftir. O zaman ortaya çıkan kesir, b n - a n ve an n b n pozitif sayılarının bir bölümü olarak pozitiftir. Dolayısıyla, kanıtlanacak olan a −n >b −n nereden geliyor?
Tamsayı üslü derecelerin son özelliği, doğal üslü derecelerin benzer özelliği ile aynı şekilde ispatlanır.
Rasyonel üslü kuvvetlerin özellikleri
Bir tamsayı üssü olan bir derecenin özelliklerini genişleterek dereceyi kesirli bir üs ile tanımladık. Başka bir deyişle, kesirli üslü dereceler, tamsayı üslü derecelerle aynı özelliklere sahiptir. Yani:
Kesirli üslü derecelerin özelliklerinin ispatı, kesirli üslü bir derecenin tanımına ve tamsayı üslü bir derecenin özelliklerine dayanır. Kanıt verelim.
Kesirli bir üs ile derecenin tanımına göre ve , sonra . Aritmetik kökün özellikleri aşağıdaki eşitlikleri yazmamızı sağlar. Ayrıca, bir tamsayı üssü olan derecenin özelliğini kullanarak, kesirli bir üste sahip bir derecenin tanımına göre şunu elde ederiz: ve elde edilen derecenin üssü aşağıdaki gibi dönüştürülebilir: . Bu ispatı tamamlar.
Kesirli üslü kuvvetlerin ikinci özelliği tamamen aynı şekilde ispatlanır:
Eşitliklerin geri kalanı benzer ilkelerle kanıtlanır:
Bir sonraki özelliğin ispatına dönüyoruz. Herhangi bir pozitif a ve b için a olduğunu kanıtlayalım. s . P rasyonel sayısını m/n olarak yazıyoruz, burada m bir tam sayı ve n bir doğal sayıdır. Koşullar p<0 и p>0 bu durumda m koşullarına eşdeğer olacaktır<0 и m>sırasıyla 0. m>0 ve a için
Benzer şekilde, m için<0 имеем a m >b m , nereden , yani ve a p >b p .
Listelenen özelliklerin sonuncusunu kanıtlamaya devam ediyor. P ve q rasyonel sayıları için 0 için p>q olduğunu kanıtlayalım. 0 – eşitsizlik a p >a q . P ve q rasyonel sayılarını her zaman ortak bir paydaya indirgeyebiliriz, m 1 ve m 2'nin tam sayılar ve n'nin bir doğal sayı olduğu sıradan kesirler elde edelim. Bu durumda, p>q koşulu, 'den sonra gelen m 1 >m 2 koşuluna karşılık gelecektir. Daha sonra, 0'da aynı taban ve doğal üslere sahip kuvvetleri karşılaştırma özelliği ile 1 – eşitsizlik a m 1 >a m 2 . Köklerin özellikleri açısından bu eşitsizlikler sırasıyla şu şekilde yeniden yazılabilir: Ve . Ve rasyonel bir üs ile bir derecenin tanımı, eşitsizliklere geçmemizi sağlar ve sırasıyla. Buradan nihai sonucu çıkarıyoruz: p>q ve 0 için 0 – eşitsizlik a p >a q .
İrrasyonel üslü derecelerin özellikleri
İrrasyonel üslü bir derecenin nasıl tanımlandığından, rasyonel üslü derecelerin tüm özelliklerine sahip olduğu sonucuna varılabilir. Yani herhangi bir a>0 , b>0 için ve irrasyonel sayılar p ve q irrasyonel üslü derecelerin özellikleri:
- bir p bir q = bir p + q ;
- a p:a q = a p−q ;
- (a b) p = a p b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q = a p q ;
- herhangi bir pozitif sayı için a ve b , a 0 eşitsizlik a p bp;
- irrasyonel sayılar p ve q için , 0'da p>q 0 – eşitsizlik a p >a q .
Buradan a>0 için p ve q gerçek üsleri olan kuvvetlerin aynı özelliklere sahip olduğu sonucuna varabiliriz.
Kaynakça.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 5 hücre için Matematik Zh ders kitabı. Eğitim Kurumları.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 7 hücre için bir ders kitabı. Eğitim Kurumları.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 8 hücre için ders kitabı. Eğitim Kurumları.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 9 hücre için bir ders kitabı. Eğitim Kurumları.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Cebir ve Analizin Başlangıcı: Genel Eğitim Kurumları 10-11. Sınıflar İçin Bir Ders Kitabı.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara başvuranlar için bir kılavuz).
Ön izleme:
BELEDİYE BÜTÇELİ GENEL EĞİTİM KURUMU
ORTA EĞİTİM № 11
BELEDİYE ŞEHİR - RESORT ANAPA
Adaylık "Fiziksel ve matematiksel bilimler (matematik)"
Plan - konuyla ilgili ders özeti:
7. sınıf
Geliştiren: Bykova E.A., en yüksek yeterlilik kategorisindeki matematik öğretmeni
Anapa, 2013
Genel ders konuyla ilgili 7. sınıfta cebirde:
"Doğal üslü bir derecenin özellikleri"
Dersin Hedefleri:
eğitici:- doğal bir gösterge ile derece hakkındaki bilgileri sistematik hale getirme, genelleştirme, doğal bir gösterge ile derece içeren ifadelerin en basit dönüşümlerini pekiştirme ve geliştirme becerilerini geliştirmek.
eğitici: - yetiştirme bilişsel aktivite, sorumluluk duygusu, iletişim kültürü, diyalog kültürü.
Geliştirme: - görsel hafızanın gelişimi, matematiksel olarak yetkin konuşma, mantıksal düşünme, eğitim materyalinin bilinçli algısı.
Görevler:
1. Konu: konuyla ilgili bilgileri tekrar edin, genelleştirin ve sistematikleştirin, bilgi ve becerilerin özümsenmesinin kontrolü (karşılıklı kontrol) için koşullar yaratın; öğrencilerin konuyu inceleme motivasyonunun oluşumunu sürdürmek.
2. Üst konu: operasyonel bir düşünme tarzı geliştirmek, öğrencilerin birlikte çalışırken iletişim becerileri kazanmalarına yardımcı olmak, yaratıcı düşünmelerini etkinleştirmek; öğrencilerin etkili sosyalleşmelerine, kendi kendine eğitim ve kendi kendine eğitim becerilerine katkıda bulunacak belirli yeterliliklerinin oluşumuna devam etmek
3. Kişisel: kültürü eğitin, insanlara, hayata karşı hayırsever, hoşgörülü bir tavrı amaçlayan kişisel niteliklerin oluşumunu teşvik edin; faaliyetlerde inisiyatif ve bağımsızlığı geliştirmek; devlet nihai sertifikasyonuna başarılı bir şekilde hazırlanmak için çalışılan konuya duyulan ihtiyacın anlaşılmasına yol açar.
ders türü: konuyla ilgili genel ders.
Ders türü: kombine
Ders yapısı:
1. Organizasyon anı.
2. Konunun iletişimi, dersin amaçları ve hedefleri.
3. Öğrenilenlerin yeniden üretilmesi ve standart durumlarda uygulanması.
4. Edinilen bilginin aktarımı, becerileri oluşturmak için yeni veya değiştirilmiş koşullarda birincil uygulamaları.
5. Sağlığı koruyan teknolojilerin unsurları.
6. Bir öğretmenin gözetimi altında öğrenciler tarafından görevlerin bağımsız performansı.
7. Dersi özetleme ve ödev verme.
Teçhizat: multimedya projektörü, bilgisayar.
Programda sunum Microsoft Office güç noktası 2007(Ek 1)
Ders planı:
ders aşaması | Zaman |
||
Organizasyon zamanı. | Öğrencileri derse atama | 1 dakika. |
|
Ödev kontrolü | Hata düzeltme | 3 dakika. |
|
Mesaj konuları, amaçları ve dersin hedefleri. | Ders hedefleri belirleme | 1 dakika. |
|
sözlü çalışma Bir derecenin özelliklerinin doğal bir üs ile tekrarı. | Temel bilgileri güncelleme | 7 dk. |
|
Eğitim egzersizleri. | Doğal bir gösterge ile dereceleri dönüştürme becerisini oluşturmak. | 10 dk. |
|
Fiziksel mola. | Sağlık tasarrufu sağlayan teknolojilerin uygulanması | 2 dakika. |
|
Bireysel Doğrulama çalışması kartlarla. | Hata düzeltme | 12 dakika |
|
Ders sonuçları. | Derste edinilen teorik bilgileri özetler | 2 dakika |
|
Ev ödevi ayarlama. | Ev ödevinin içeriğini açıklayın | 2 dakika |
Edebiyat:
1. Cebir: ders kitabı. 7 hücre için. Genel Eğitim kurumlar / Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk ve diğerleri; S.A. tarafından düzenlendi. Telyakovski. – M.: Aydınlanma, 2008.
2. Zvavich L.I., Kuznetsova L.V., Suvorova S.B. Didaktik malzemeler 7. sınıf için cebir. – M.: Aydınlanma, 2009.
3. Koleksiyon test öğeleri tematik ve son kontrol için. Cebir 7. Sınıf Puşkin, I.L. Gusev. - M: "Akıl", 2013.
4. T.Yu.Dyumina, A.A. Makhonina, “Cebir. Ders planları." - Volgograd: "Öğretmen", 2013
dersler sırasında
1. Organizasyon anı.
2. Ödevi kontrol etmek
3. Dersin konusu. Dersin amaç ve hedefleri.
Matematik, arkadaşlar,
Kesinlikle herkesin ihtiyacı var.
sınıfta çok çalış
Ve başarı sizi bekliyor!
4. Sözlü çalışma.
a) Bir derecenin özelliklerinin doğal bir gösterge ile tekrarı. Bir tablo verildi. Sol sütunda eksik yerleri doldurun, sağda - görevleri tamamlayın.
derecesi doğal bir gösterge ile P isminde ____________ P ____________, her biri A. | 1. Çarpımı derece olarak ifade edin: A). (-8) * (-8) * (-8) * (-8) * (-8) * ; B). (x-y) * (x-y) * (x-y) * (x-y) * ; 2. Bir güce yükseltin: 3 4 ; (-0,2) 3 ; (2/3) 2 Tabanı ve üssü yazılı olarak adlandırın. |
Aynı tabanlı üsler çarpılırken ___________ aynı kalır ve ___________ eklenir. | Bu adımları takip et: bir 4 * bir 12; bir 6 * bir 9 * bir; 3 2 * 3 3 |
Aynı tabana sahip kuvvetleri bölerken, ___________ aynı kalır ve __________ paydan _________ __________ payda. | Bu adımları takip et: bir 12: bir 4; n9:n3:n; 3 5 : 3 2 |
Bir üssü bir kuvvete yükseltirken, _______________ aynı kalır ve __________ çarpılır. | Bu adımları takip et: ; (m3)7; (k4)5; (4 2 ) 3 |
Bir kuvvete yükseltirken, çarpımlar bu kuvvete ____________ ____________ yükseltilir ve sonuçlar çarpılır. | Üs alma işlemini gerçekleştir: (-2 a 3 b 2 ) 5 ; (1/3p 2 q 3 ) 3 |
gücü , sıfıra eşit değil, sıfır üs eşittir | Hesaplamak: x= 2.6'da 3x 0 |
b) Derece içeren ifadelerin dönüşümü ile ilgili görevleri yerine getirirken, öğrenci aşağıdaki hataları yaptı:(tahtaya yazmak)
1 A) ; B) ;
v) ; G) ;
2) bir) ; B) ;
v) ; G) ;
3 A) ; B) ;
v) .
Öğrenci hangi tanımları, özellikleri, kuralları bilmiyor?
5. Eğitim egzersizleri.
447 - tahtada ve not defterlerinde, derece özelliklerini kullanarak ayrıntılı yorumlar;
450 (a, c) - tahtada ve defterlerde;
445 - sözlü olarak.
6. Fiziksel Dakika
Çabuk kalktı, gülümsedi,
Daha yükseğe çekildi.
Pekala, omuzlarını düzelt
Yükselt, alçalt.
Sağa dön sola dön
Ellerinize dizlerinizle dokunun.
Otur, kalk, otur, kalk
Ve olay yerinde koştular.
Gençlik seninle öğreniyor
Hem iradeyi hem de yaratıcılığı geliştirin.
7. Bireysel test çalışması.
Her öğrenci görevleri tamamlar, bunlara, cevapları harflerle tahmin etmeyi dışlamak için tüm alfabenin kullanıldığı bir anahtar eşlik eder. Doğru karar durumunda - doğru kelime.
Her satır için görevler bireyseldir.
Hayır. p / p | görev 1 satır | Hayır. p / p | Görev 2 satırı | Hayır. p / p | Görev 3 satırı |
m 3 * m 2 * m 8 | bir 4 * bir 3 * bir 2 | bir 4 * bir * bir 3 * bir |
|||
p20 : p17 | (2 4 ) 5 : (2 7 ) 2 | (7x)2 |
|||
c 5 : c 0 | 3 * 3 2 * 3 0 | p*p2*p0 |
|||
(3a) 3 | (2y)5 | c * c 3 * c |
|||
m * m 5 * m 3 * m 0 | (m 2 ) 4 * m | m * m 4 * (m 2 ) 2 * m 0 |
|||
2 14 : 2 8 | (2 3 ) 2 | (2 3 ) 7 : (2 5 ) 3 |
|||
(-x) 3*x4 | (-x 3 ) *(- x) 4 | x 3 * (-x) 4 |
|||
(p * p 3 ) : p 5 | (p 2 * p 5 ) : p 4 * p 0 | (s 2 ) 4 : p 5 |
|||
3 7 * (3 2 ) 3 : 3 10 | (3 5 ) 2 * 3 7 : 3 14 | (3 4 ) 2 * (3 2 ) 3 : 3 11 |
Anahtar
32y5 | 49x2 | 27a 3 |
|||||||
m 13 | |||||||||
81a 3 | 16a4 | 10y5 | 9y7 | 32x5 | 49y3 |
||||
Çalışmanın sonuçları kendi kendine inceleme için bir slaytta görüntülenir:
Matematik
8. Ders özeti:
Dersi özetlemek, not vermek.
- Doğal bir üs ile derecenin özelliklerini listeleyin.
Ders notları, ders sırasında cevap veren öğrencilerin cevapları dikkate alınarak testlerle yapılan çalışmalar kontrol edildikten sonra belirlenir.
bulmacayı tahmin et
dikey olarak:
- O böler
- Uçakta temel şekil
- Gerçek eşitlik
- Dokuz sıfırlı bir
- Benzer bir istiflenmiş
- İki üzeri üç
yatay olarak:
2. Bir üçgende kenar sayısı
4. Tek terimlilerin toplamı
5. Özetle
7. Bir dairenin bir noktasını merkezine bağlayan doğru parçası
8. Pay ve paydası vardır
9. Ödev:
Doğal üssü n olan bir a sayısının derecesi ____________ n ____________ olarak adlandırılır ve her biri a'ya eşittir. 1. Çarpımı derece olarak ifade ediniz: a). (-8) * (-8) * (-8) * (-8) * (-8) * ; B). (x-y)* (x-y) * (x-y) * (x-y) * ; 2. Güce yükseltin: 3 4 ; (-0.2)3 ; (2 /3) 2 Yazılı kuvvetlerin tabanını ve üssünü adlandırır. Aynı tabanlı üsler çarpılırken ___________ aynı kalır ve ___________ eklenir. Aşağıdakileri yapın: a 4 * a 12; bir 6 * bir 9 * bir; 3 2 * 3 3 Dereceleri aynı tabanlara bölerken, ___________ aynı kalır ve __________ paydan _________ __________ payda. Şu adımları izleyin: a 12: a 4; sayfa 9: sayfa 3: sayfa; 3 5: 3 2 Bir üssü bir kuvvete yükseltirken, _______________ aynı kalır ve __________ çarpılır. Bu adımları takip et: ; (m3)7 ; (k4)5 ; (4 2) 3 Bir kuvvete yükseltirken, çarpımlar bu kuvvete _____________ ____________ yükseltilir ve sonuçlar çarpılır. Üs alma işlemini gerçekleştirin: (-2 a 3 b 2) 5 ; (1 /3p 2 q 3) 3 Üslü sıfır olmayan a'nın kuvveti eşittir Hesapla: 3 x 0, x = 2.6 Tekrarla!
beyin fırtınası
Hızla ayağa kalktılar, gülümsediler, kendilerini daha yükseğe çektiler. Pekala, omuzlarınızı düzeltin, Kaldırın, indirin. Sağa dön, sola dön, Dizlerinle ellerine dokun. Oturdular, kalktılar, oturdular, kalktılar ve yerinde koştular. Gençlik sizinle birlikte öğreniyor Hem iradeyi hem de yaratıcılığı geliştirmeyi.
Bireysel test çalışması No. * a 3 * a 2 p 20: p 17 2 (2 4) 5: (2 7) 2 2 (7x) 2 3 c 5: c 0 3 3 * 3 2 * 3 0 3 p * p 2 * p 0 4 (3a ) 3 4 (2y) 5 4 c * c 3 * c 5 m * m 5 * m 3 * m 0 5 (m 2) 4 * m 5 m * m 4 * (m 2) 2 * m 0 6 2 14 : 2 8 6 (2 3) 2 6 (2 3) 7: (2 5) 3 7 (-x) 3 * x 4 7 (-x 3) *(- x) 4 7 -x 3 * (-x ) 4 8 (p * p 3) : p 5 8 (p 2 * p 5) : p 4 * p 0 8 (p 2) 4: p 5 9 3 7 * (3 2) 3: 3 10 9 (3 5) 2*3 7:3 14 9 (3 4) 2*(3 2) 3:3 11
Kendini kontrol et! Anahtar! A B C D E F G I J m 9 32y 5 81 a 9 x 3 49x 2 m 5 p 4 c 5 27a 3 L M N O P R S T U V 64 3 4 p 3 27 2 5 x 7 p 6 m 3 m 13 a 8 X C W W Y b s E Yu 81a 3 c 7 16a 4 25 10y 5 9y 7 -x 7 a 2 32x 5 49y 3 I x 5
matematik
BULMAYI BELİR Dikey olarak: 1. Bölünen parçayı böler 2. Düzlemde basit bir rakam 3. Gerçek eşitlik 4. Dokuz sıfırlı bir 5. Benzerine eklenir 6. İki üzeri üç Yatay olarak: 2. üçgendeki kenar sayısı 4. Tek terimlilerin toplamı 5. Özetleme 7. Dairenin bir noktasını merkezine bağlayan doğru parçası 8. Bir pay ve bir paydaya sahiptir
Ders özeti Not Verme Ödev ödevi Sayfa 101, Sayı 450 (b, d), Sayı 534, Sayı 453 sorularını cevaplayınız.
- Konuyla ilgili konuşmanın gelişimi üzerine sunum: "Okul öncesi çocuklar için konuşma oyunları ve alıştırmalar" (yaşa göre) Okul öncesi çocukların konuşma gelişimi sunumunu indirin
- "Kar ve kar" A. Blok. Alexander Blok - Kar ve kar: Evden karlı genişliğe şiir
- Okul öncesi çocuklar için ekolojik masallar Çocuklar için havada kim yaşıyor hikayesi
- Bir çocukta doğru ve yetkin konuşma nasıl geliştirilir?