Який вираз алгебри називається цілим. Алгебраїчні вирази
Числові та алгебраїчні вирази. Перетворення виразів.
Що таке вираз у математиці? Навіщо потрібні перетворення виразів?
Питання, як кажуть, цікаве... Справа в тому, що ці поняття – основа всієї математики. Вся математика складається з виразів та їх перетворень. Не дуже зрозуміло? Поясню.
Припустимо, перед вами злий приклад. Дуже великий та дуже складний. Допустимо, ви сильні в математиці і нічого не боїтеся! Чи зможете відразу дати відповідь?
Вам доведеться вирішуватицей приклад. Послідовно, крок за кроком, цей приклад спрощувати. За певними правилами, звісно. Тобто. робити перетворення виразів. Наскільки успішно ви проведете ці перетворення, настільки ви сильні в математиці. Якщо ви не вмієте робити правильні перетворення, у математиці ви не зможете зробити ні-чого...
Щоб уникнути такого незатишного майбутнього (або сьогодення...), не заважає розібратися у цій темі.)
Для початку з'ясуємо, що таке вираз у математиці. Що таке числове виразі що таке алгебраїчний вираз.
Що таке вираз у математиці?
Вираз у математиці– це дуже широке поняття. Практично все те, з чим ми маємо справу з математики - це набір математичних виразів. Будь-які приклади, формули, дроби, рівняння тощо - це все складається з математичних виразів.
3+2 – це математичний вираз. з 2 - d 2- Це теж математичний вираз. І здорова дріб, і навіть одне число - це все математичні вирази. Рівняння, наприклад, ось таке:
5х + 2 = 12
складається з двох математичних виразів, поєднаних знаком рівності. Один вираз – ліворуч, інший – праворуч.
У загальному вигляді термін " математичний виразЗастосовуються, найчастіше, щоб не мукати. Запитають вас, що таке звичайний дріб, наприклад? І як відповісти?!
Перший варіант відповіді: "Це... м-м-м-м... така штука... у якій... А можна я краще напишу дріб? Вам яку?
Другий варіант відповіді: "Звичайний дріб - це (бадьоро і радісно!) математичний вираз , Що складається з чисельника та знаменника!"
Другий варіант якось солідніше буде, правда?)
Ось у цих цілях фраза " математичний вираз дуже хороша. І правильно, і солідно. Але для практичного застосування треба добре розбиратися в конкретних видах виразів у математиці .
Конкретний вид-це інша справа. Це зовсім інша справа!У кожного виду математичних виразів є свійнабір правил та прийомів, який необхідно використовувати під час вирішення. Для роботи з дробами – один набір. Для роботи з тригонометричними виразами – другий. Для роботи з логарифмами – третій. І так далі. Десь ці правила збігаються, десь різко відрізняються. Але не лякайтеся цих страшних слів. Логарифми, тригонометрію та інші загадкові речі ми освоюватимемо у відповідних розділах.
Тут ми освоїмо (або - повторимо, кому як...) два основні види математичних виразів. Числові вирази та алгебраїчні вирази.
Числові вирази.
Що таке числове вираз? Це дуже просте поняття. Сама назва натякає, що це вираз із числами. Саме так воно і є. Математичний вираз, складений із чисел, дужок та знаків арифметичних дійназивається числовим виразом.
7-3 - числове вираз.
(8 +3,2) · 5,4 - теж числове вираження.
І ось цей монстр:
теж числове вираження, так...
Звичайне число, дріб, будь-який приклад на обчислення без іксів та інших букв - все це числові вирази.
Головна ознака числовоговисловлювання - у ньому немає букв. Жодних. Тільки числа та математичні значки (якщо треба). Все просто, правда?
І що можна робити з числовими виразами? Числові висловлювання, зазвичай, вважатимуться. І тому доводиться, буває, розкривати дужки, міняти знаки, скорочувати, міняти місцями доданки - тобто. робити перетворення виразів. Але про це трохи нижче.
Тут же ми розберемося з таким кумедним випадком, коли з числовим виразом нічого робити не треба.Ну, ось зовсім нічого! Ця приємна операція - нічого не робити)- виконується, коли вираз не має сенсу.
Коли числове вираження немає сенсу?
Зрозуміло, якщо ми бачимо перед собою якусь абракадабру, типу
щось робити нічого і не будемо. Бо незрозуміло, що із цим робити. Безглуздя якесь. Хіба що, порахувати кількість плюсиків.
Але бувають зовні цілком пристойні вирази. Наприклад таке:
(2+3) : (16 - 2·8)
Однак, цей вираз теж не має сенсу! З тієї простої причини, що у других дужках – якщо порахувати – виходить нуль. А на нуль ділити не можна! Це заборонена операція з математики. Отже, із цим виразом теж нічого робити не треба. За будь-якого завдання з таким виразом, відповідь буде завжди одна: "Вираз не має сенсу!"
Щоб дати таку відповідь, довелося, звичайно, порахувати, що у дужках буде. А іноді в скобочках такого наворочено... Ну, тут уже нічого не поробиш.
Заборонених операцій у математиці не так уже й багато. У цій темі – лише одна. Ділення на нуль. Додаткові заборони, що виникають у коренях та логарифмах, обговорюються у відповідних темах.
Отже, уявлення про те, що таке числове вираз– отримали. Концепція числове вираження немає сенсу– усвідомили. Їдемо далі.
Алгебраїчні вирази.
Якщо у числовому виразі з'являються літери - це вираз стає... Вираз стає... Так! Воно стає алгебраїчним виразом. Наприклад:
5а 2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 м/н; x 2+4x-4; (а+b) 2; ...
Ще такі вирази називають літерними виразами.Або виразами із змінними.Це, практично, одне й те саме. Вираз 5а +с, Наприклад - і буквене, і алгебраїчне, і вираз зі змінними.
Концепція алгебраїчний вираз -ширше, ніж числове. Воно включає в себеі всі числові вирази. Тобто. числове вираз - це теж вираз алгебри, тільки без букв. Будь-яка оселедець - риба, але не всяка риба - оселедець...)
Чому буквене- Зрозуміло. Ну, якщо літери є... Фраза вираз зі зміннимитеж не сильно спантеличує. Якщо розуміти, що під буквами ховаються цифри. Будь-які числа можуть ховатися під буквами ... І 5, і -18, і все, що завгодно. Тобто букву можна замінюватина різні числа. Тому літери і називаються змінними.
У виразі у+5, наприклад, у - змінна величина. Або говорять просто змінна"без слова "величина". На відміну від п'ятірки, яка – величина стала. Або просто - постійна.
Термін алгебраїчний виразозначає, що для роботи з цим виразом потрібно використовувати закони та правила алгебри. Якщо арифметикапрацює з конкретними числами, то алгебра- З усіма числами разом. Простий приклад пояснення.
В арифметиці можна записати, що
А от якщо ми подібну рівність запишемо через вирази алгебри:
а + b = b + a
ми відразу вирішимо Усепитання. Для всіх чиселмахом. Для всієї нескінченної кількості. Тому що під літерами аі bмаються на увазі Усечисла. І не тільки числа, а й інші математичні висловлювання. Ось так працює алгебра.
Коли вираз алгебри не має сенсу?
Про числове вираз все відомо. Там на нуль ділити не можна. А з літерами, хіба можна дізнатися, на що ділимо?
Візьмемо для прикладу такий вираз зі змінними:
2: (а - 5)
Чи має воно сенс? Та хто ж його знає? а- будь-яке число...
Будь-яке будь-яке... Але є одне значення а, при якому цей вираз точноне має сенсу! І що за число? Так! Це 5! Якщо змінну азамінити (кажуть - "підставити") на число 5, у дужках нуль вийде. На яку ділити не можна. Ось і виходить, що наш вираз не має сенсу, якщо а = 5. Але при інших значеннях асенс є? Інші числа підставити можна?
Звичайно. Просто в таких випадках кажуть, що вираз
2: (а - 5)
має сенс для будь-яких значень а, крім а = 5 .
Весь набір чисел, які можна, можливопідставляти в заданий вираз, називається областю допустимих значеньцього виразу.
Як бачите, нічого хитрого нема. Дивимося на вираз зі змінними, та розуміємо: за якого значення змінної виходить заборонена операція (розподіл на нуль)?
А потім обов'язково дивимось на запитання завдання. Чого питають?
не має сенсу, наше заборонене значення буде відповіддю.
Якщо запитують, за якого значення змінної вираз має сенс(відчуйте різницю!), відповіддю будуть всі інші числакрім забороненого.
Навіщо нам сенс висловлювання? Є він, немає його... Яка різниця? Справа в тому, що це поняття стає дуже важливим у старших класах. Вкрай важливим! Це основа таких солідних понять, як область допустимих значень чи область визначення функції. Без цього ви взагалі не зможете вирішувати серйозні рівняння чи нерівності. Ось так.
Перетворення виразів. Тотожні перетворення.
Ми познайомилися з числовими та алгебраїчними виразами. Зрозуміли, що означає фраза "вираз немає сенсу". Тепер треба розібратися, що таке перетворення виразів.Відповідь проста, до неподобства.) Це будь-яка дія з виразом. І все. Ви ці перетворення робили з першого класу.
Візьмемо крутий числовий вираз 3+5. Як його можна перетворити? Так, дуже просто! Порахувати:
Ось цей розрахунок і буде перетворення виразу. Можна записати те саме вираз по-іншому:
Тут ми взагалі нічого не рахували. Просто записали вираз у іншому вигляді.Це також буде перетворенням висловлювання. Можна записати ось так:
І це теж – перетворення вираження. Таких перетворень можна зробити скільки хочеш.
Будь-якедія над виразом, будь-яказапис його в іншому вигляді називається перетворенням виразу. І всі справи. Все дуже просто. Але є тут одне дуже важливе правило.Таке важливе, що його сміливо можна назвати головним правиломвсієї математики. Порушення цього правила неминучепризводить до помилок. Вникаємо?)
Припустимо, ми перетворили наш вираз абияк, ось так:
Перетворення? Звичайно. Ми ж записали вираз у іншому вигляді, що тут не так?
Все не так.) Справа в тому, що перетворення "абияк"математику не цікавлять взагалі.) Вся математика побудована на перетвореннях, у яких змінюється зовнішній вигляд, але суть висловлювання не змінюється.Три плюс п'ять можна записати в будь-якому вигляді, але це має бути вісім.
Перетворення, не мінливі суті вираженняназиваються тотожними.
Саме тотожні перетворенняі дозволяють нам, крок за кроком, перетворювати складний прикладу простий вираз, зберігаючи суть прикладу.Якщо в ланцюжку перетворень ми помилимося, зробимо не тотожне перетворення, далі ми вирішуватимемо вже іншийприклад. З іншими відповідями, які не мають відношення до правильних.)
Ось і головне правило вирішення будь-яких завдань: дотримання тотожності перетворень.
Приклад із числовими виразами 3+5 я навів для наочності. У виразах алгебри тотожні перетворення даються формулами і правилами. Скажімо, в алгебрі є формула:
a(b+c) = ab + ac
Отже, ми у будь-якому прикладі можемо замість висловлювання a(b+c)сміливо написати вираз ab + ac. І навпаки. Це тотожне перетворення.Математика надає нам вибір із цих двох висловів. А вже яке з них писати - від конкретного прикладузалежить.
Ще приклад. Одне з найголовніших і необхідних перетворень - це основна властивість дробу. Докладніше можна за посиланням подивитися, а тут просто нагадаю правило: якщо чисельник і знаменник дробу помножити (розділити) на те саме число, або нерівне нулю вираз, дріб не зміниться.Ось вам приклад тотожних перетворень за цією властивістю:
Як ви, напевно, здогадалися, цей ланцюжок можна продовжувати нескінченно...) Дуже важлива властивість. Саме воно дозволяє перетворювати всякі монстри-приклади на білі та пухнасті.)
Формул, що задають тотожні перетворення - багато. Але найголовніших – цілком розумна кількість. Одне з базових перетворень – розкладання на множники. Воно використовується у всій математиці – від елементарної до вищої. З нього і почнемо. У наступному уроці.)
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.
Алгебраїчний вираз вираз, складений з літер і цифр, з'єднаних знаками дій складання, віднімання, множення, поділу, зведення в цілий ступінь та вилучення кореня (показники ступеня та кореня мають бути постійними числами). А. в. називається раціональним щодо деяких літер, що до нього входять, якщо воно не містить їх під знаком вилучення кореня, наприклад раціонально щодо a, b та с. А. в. називається цілим щодо деяких букв, якщо воно не містить поділу на вирази, що містять ці букви, наприклад 3а/с + bc 2 - 3ас/4
є цілим щодо а та b. Якщо деякі з літер (чи всі) вважати змінними, то А. в. є алгебраїчна функція.
Велика радянська енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. 1969-1978 .
Дивитися що таке "Алгебраїчне вираз" в інших словниках:
Вираз, складений з літер і чисел, з'єднаних знаками алгебраїчних дій: додавання, віднімання, множення, поділу, зведення в ступінь, отримання кореня... Великий Енциклопедичний словник
алгебраїчний вираз- — Тематика нафтогазова промисловість EN algebraic expression … Довідник технічного перекладача
Алгебраїчним виразом називається одна або кілька алгебраїчних величин (чисел і літер), з'єднаних між собою знаками алгебраїчних дій: додавання, віднімання, множення та поділу, а також вилучення кореня та зведення в цілу… Вікіпедія
Вираз, складений з літер і чисел, з'єднаних знаками алгебраїчних дій: додавання, віднімання, множення, поділу, зведення в ступінь, добування кореня. * * * АЛГЕБРАЇЧНЕ ВИРАЗ АЛГЕБРАЇЧНЕ ВИРАЗ, вираз,… … Енциклопедичний словник
алгебраїчний вираз- algebrinė iraiška statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. algebraic expresion vok. algebraischer Ausdruck, m rus. вираз алгебри, n pranc. expression algébrique, f … Fizikos terminų žodynas
Вираз, складений із літер і чисел, з'єднаних знаками алгебр. дій: додавання, віднімання, множення, поділу, зведення в ступінь, отримання кореня … Природознавство. Енциклопедичний словник
Алгебраїчним виразом щодо даного змінного, на відміну від трансцендентного, називають такий вираз, який не містить інших функцій від даної кількості, крім сум, творів або ступенів цієї кількості, причому доданками … Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона
ВИРАЗ, вирази, порівн. 1. Дія за гол. висловити. Не знаходжу слів для висловлення вдячності. 2. частіше од. Втілення ідеї у формах якогось мистецтва (філос.). Тільки великий художник здатний створити такий вислів, … Тлумачний словникУшакова
Рівняння, що виходить при прирівнюванні двох виразів алгебри (Див. Алгебраїчне вираз). А. в. з одним невідомим називається дробовим, якщо невідоме входить у знаменник, та ірраціональним, якщо невідоме входить під… Велика Радянська Енциклопедія
ВИРАЗ- первинне математичне поняття, під яким мають на увазі запис із букв і чисел, з'єднаних знаками арифметичних дій, при цьому можуть бути використані дужки, позначення функцій тощо; Традиційно в формула млн. її частина. Розрізняють (1)… … Велика політехнічна енциклопедія
Статті з природничих наук та математики
Що таке числове та алгебраїчне вираз?
Числовий вираз- це будь-який запис, складений із чисел і знаків арифметичних дій і записаний за відомими правилами, внаслідок чого має певний зміст. Наприклад, числовими виразами є такі записи: 4 + 5; -1,05 × 22,5 — 34. З іншого боку, запис × 16 — × 0,5 не є числовим, оскільки, хоч і складається з чисел та знаків арифметичних операцій, записано не за правилами складання числових виразів.
Якщо в числовому виразі зустрічаються букви замість чисел (всіх або лише деяких), то цей вираз є вже алгебраїчним.
Сенс використання букв полягає приблизно в наступному. Замість букв можуть бути підставлені різні числа, отже вираз може мати різні значення. Алгебра як наука вивчає принципи спрощення виразів, пошуку та використання різних правил, законів, формул. Алгебра вивчає найбільш раціональні способивиконання обчислень, а саме для цього потрібні узагальнення, тобто використання змінних (літер) замість конкретних чисел.
До алгебраїчним фактам можна віднести закони складання та множення, поняття негативного числа, звичайного та десяткового дробів та правила арифметичних операцій з ними, властивості звичайних дробів. Алгебра покликана розібратися в цьому різноманітті фактів, навчити їх використовувати, бачити застосовність законів у конкретних числових і алгебраїчних висловлюваннях.
Коли числове вираз обчислюється, то результаті виходить його значення. Значення алгебраїчного вираз може бути обчислено тільки, якщо замість букв будуть підставлені певні числові значення. Наприклад, вираз a b при а = 3 і b = 5 має значення 3 5 або 0,6. Однак вираз алгебри може бути таким, що при деяких значеннях змінних (літер) може зовсім не мати змила. Для того ж прикладу (a ÷ b) вираз не має сенсу при b = 0, тому що на нуль не можна ділити.
Тому говорять про допустимі і не допустимих значенняхзмінних для того чи іншого виразу алгебри.
scienceland.info
Алгебраїчні вирази
- Визначення поняття
- Значення виразу
- Тотожні вирази
- Вирішення задач
- Що ми дізналися?
Визначення поняття
Які вирази називають алгебраїчними? Це математичний запис, складений із цифр, літер та знаків арифметичних дій. Наявність букв – це основна відмінність числових та алгебраїчних виразів. Приклади:
Літера в алгебраїчних виразів позначає якесь число. Тому вона називається змінною – у першому прикладі це буква а, у другому – b, а третьому – с. Сам алгебраїчний вираз ще називають виразом зі змінною.
Значення виразу
Значення виразу алгебри– це число, одержуване внаслідок виконання всіх арифметичних дій, зазначених у цьому виразі. Але щоб його отримати, літери необхідно замінити числами. Тому в прикладах завжди вказують, скільки відповідає букві. Розглянемо, як визначити значення виразу 8а-14*(5-а), якщо а=3.
Підставимо замість букви цифру 3. Отримуємо наступний запис: 8*3-14*(5-3).
Як і в числових виразах, рішення виразу алгебри проводиться за правилами виконання арифметичних дій. Вирішимо все по порядку.
Таким чином, значення виразу 8а-14 * (5-а) при а = 3 дорівнює -4.
Значення змінної називають допустимим, якщо при ньому вираз має сенс, тобто можна знайти його рішення.
Приклад допустимої змінної виразу 5:2а – це цифра 1. Підставивши їх у вираз, отримуємо 5:2*1=2,5. Неприпустима змінна для виразу – це 0. Якщо підставити нуль у вираз, отримуємо 5:2*0, тобто 5:0. На нуль ділити не можна, отже, вираз немає сенсу.
Тотожні вирази
Якщо два вирази при будь-яких значеннях змінних, що входять до їх складу, виявляються рівні, їх називають тотожними.
приклад тотожних виразів
:
4(а+с) та 4а+4с.
Які б значення не набували букви а і с, вирази завжди будуть рівні. Будь-який вираз можна замінити іншим, тотожним йому. Цей процес називають тотожним перетворенням.
Приклад тотожного перетворення
.
4*(5а+14с) – цей вираз можна замінити тотожним, застосувавши математичний закон множення. Щоб помножити число на суму двох чисел, потрібно це число помножити на кожен доданок і скласти отримані результати.
Таким чином, вираз 4*(5а+14с) є тотожним 20а+64с.
Число, що стоїть в алгебраїчному вираженні перед літерною змінною, називається коефіцієнтом. Коефіцієнт та змінна – це множники.
Вирішення задач
Алгебраїчні вирази використовують для вирішення задач та рівнянь.
Розглянемо завдання. Петро придумав число. Для того, щоб його відгадав однокласник Сашко, Петя сказав йому: спочатку я додав до 7, потім вирахував з нього 5 і помножив на 2. У результаті я отримав число 28. Яке число я загадав?
Для розв'язання задачі потрібно задумане число позначити літерою а, а потім зробити всі ці дії з ним.
Тепер вирішимо отримане рівняння.
Петро загадав число 12.
Що ми дізналися?
Алгебраїчне вираз - запис, складений з літер, цифр і знаків арифметичних дій. Кожен вираз має значення, яке знаходять шляхом виконання всіх арифметичних дій у виразі. Літера в алгебраїчному вираженні називається змінною, а число перед нею – коефіцієнтом. Алгебраїчні вирази використовують для вирішення задач.
6.4.1. Алгебраїчний вираз
I. Вирази, в яких поряд з літерами можуть бути використані числа, знаки арифметичних дій та дужки, називаються виразами алгебри.
Приклади виразів алгебри:
2m-n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;
Так як букву в алгебраїчному вираженні можна замінити якимись різними числами, то букву називають змінною, а саме вираз алгебри - виразом зі змінною.
ІІ. Якщо в алгебраїчному виразі літери (змінні) замінити їх значеннями та виконати зазначені дії, то отримане в результаті число називається значенням виразу алгебри.
приклади. Знайти значення виразу:
1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5.
2) | + | y | -|z| при x = -8; y = -5; z = 6.
1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5. Замість змінних підставимо їх значення. Отримаємо:
2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.
2) | + | y | -|z| при x = -8; y = -5; z = 6. Підставляємо вказані значення. Пам'ятаємо, що модуль від'ємного числа дорівнює протилежному йому числу, а модуль позитивного числадорівнює самому цьому числу. Отримуємо:
|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.
ІІІ.Значення літери (змінної), у яких алгебраїчне вираз має сенс, називають допустимими значеннями літери (змінної).
приклади. При яких значеннях змінної вираз немає сенсу?
Рішення.Ми знаємо, що на нуль ділити не можна, тому кожен з цих виразів не матиме сенсу при тому значенні літери (змінної), яка звертає знаменник дробу в нуль!
У прикладі 1) це значення а = 0. Справді, якщо замість а підставити 0, потрібно буде число 6 ділити на 0, а цього робити не можна. Відповідь: вираз 1) немає сенсу при а = 0.
У прикладі 2) знаменник х - 4 = 0 при х = 4, отже це значення х = 4 і не можна брати. Відповідь: вираз 2) немає сенсу при х = 4.
У прикладі 3) знаменник х + 2 = 0 за х = -2. Відповідь: вираз 3) немає сенсу при х = -2.
У прикладі 4) знаменник 5-|x| = 0 за |x| = 5. Оскільки |5| = 5 та |-5| = 5, то не можна брати х = 5 та х = -5. Відповідь: вираз 4) немає сенсу при х = -5 і за х = 5.
IV. Два вирази називаються тотожно рівними, якщо за будь-яких допустимих значеннях змінних відповідні значення цих виразів рівні.
Приклад: 5 (a – b) і 5a – 5b теж однакові, оскільки рівність 5 (a – b) = 5a – 5b буде вірним за будь-яких значеннях a і b. Рівність 5 (a – b) = 5a – 5b є тотожністю.
Тотожність – це рівність, справедливе за всіх допустимих значеннях змінних, що входять до нього. Прикладами вже відомих вам тотожностей є, наприклад, властивості додавання та множення, розподільна властивість.
Заміну одного виразу іншим, тотожно рівним йому виразом, називають тотожним перетворенням або просто перетворенням виразу. Тотожні перетвореннявиразів із змінними виконуються на основі властивостей дій над числами.
a)перетворіть вираз у тотожно рівне, використовуючи розподільну властивість множення:
1) 10 · (1,2 х + 2,3 у); 2) 1,5 · (a -2b + 4c); 3) a · (6m -2n + k).
Рішення. Згадаймо розподільну властивість (закон) множення:
(a+b)·c=a·c+b·c(розподільний закон множення щодо додавання: щоб суму двох чисел помножити на третє число, можна кожне доданок помножити на це число та отримані результати скласти).
(а-b)·c=a·с-b·c(розподільний закон множення щодо віднімання: щоб різницю двох чисел помножити на третє число, можна помножити на це число, що зменшується і віднімається окремо і з першого результату відняти другий).
1) 10 · (1,2 х + 2,3у) = 10 · 1,2 х + 10 · 2,3у = 12х + 23у.
2) 1,5 · (a -2b + 4c) = 1,5а -3b + 6c.
3) a · (6m -2n + k) = 6am -2an + ak.
б)перетворіть вираз у тотожно рівне, використовуючи переміщувальне та комбінаційні властивості(закони) складання:
4) х+4,5+2х+6,5; 5) (3а + 2,1) + 7,8; 6) 5,4 с -3 -2,5 -2,3 с.
Рішення.Застосуємо закони (властивості) складання:
a+b=b+a(переміщувальний: від перестановки доданків сума не змінюється).
(a+b)+c=a+(b+c)(Сполучний: щоб до суми двох доданків додати третє число, можна до першого числа додати суму другого та третього).
4) х + 4,5 +2х + 6,5 = (х + 2х) + (4,5 + 6,5) = 3х + 11.
5) (3а + 2,1) + 7,8 = 3а + (2,1 + 7,8) = 3а + 9,9.
6) 6) 5,4 с -3 -2,5 -2,3 с = (5,4 с -2,3 с) + (-3 -2,5) = 3,1 с -5,5.
в)перетворіть вираз у тотожно рівне, використовуючи переміщувальну та поєднувальну властивості (закони) множення:
7) 4 · х · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3а · (-3) · 2с.
Рішення.Застосуємо закони (властивості) множення:
a b = b a(переміщувальний: від перестановки множників твір не змінюється).
(a·b)·c=a·(b·c)(Сполучний: щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на твір другого та третього).
7) 4 · х · (-2,5) = -4 · 2,5 · х = -10х.
8) -3,5 · 2у · (-1) = 7у.
9) 3а · (-3) · 2с = -18ас.
Якщо алгебраїчне вираз дано як скоротливої дробу, то користуючись правилом скорочення дробу його можна спростити, тобто. замінити тотожно рівним йому простішим виразом.
приклади. Спростіть за допомогою скорочення дробів.
Рішення.Скоротити дріб - це означає розділити її чисельник і знаменник на те саме число (вираз), відмінне від нуля. Дроб 10) скоротимо на 3b; дріб 11) скоротимо на аі дріб 12) скоротимо на 7n. Отримуємо:
Алгебраїчні вирази застосовують для складання формул.
Формула – це вираз алгебри, записаний у вигляді рівності і що виражає залежність між двома або декількома змінними.Приклад: відома вам формула шляху s=v·t(s – пройдений шлях, v – швидкість, t – час). Згадайте, які формули ви знаєте.
www.mathematics-repetition.com
Правило значення виразу алгебри
Числові та алгебраїчні вирази
У молодших класах ви вчилися проводити обчислення з цілими та дробовими числами, вирішували рівняння, знайомилися з геометричними фігурами, з координатною площиною. Все це становило зміст одного шкільного предмета «Математика». Насправді така важлива галузь науки, як математика, поділяється на величезну кількість самостійних дисциплін: алгебру, геометрію, теорію ймовірностей, математичний аналіз, математичну логіку, математичну статистику, теорію ігор і т.д. Кожна дисципліна має свої об'єкти вивчення, свої методи пізнання реальної дійсності.
Алгебра, до вивчення якої ми приступаємо, дає людині можливість не лише виконувати різні обчислення, Але й вчить його робити це якнайшвидше, раціональніше. Людина, що володіє алгебраїчними методамимає перевагу перед тими, хто не володіє цими методами: він швидше вважає, успішніше орієнтується в життєвих ситуаціях, Чітче приймає рішення, краще мислить. Наше завдання - допомогти вам опанувати алгебраїчними методами, ваше завдання - не противитися навчанню, охоче слідувати за нами, долаючи труднощі.
Насправді в молодших класах вам вже прочинили вікно чарівний світалгебри, адже алгебра насамперед вивчає числові та алгебраїчні вирази.
Нагадаємо, що числовим виразом називають будь-який запис, складений із чисел і знаків арифметичних дій (складений, зрозуміло, із змістом: наприклад, 3 + 57 - числове вираз, тоді як 3 + : - не числове вираження, а безглуздий набір символів). З деяких причин (про них ми говоритимемо надалі) часто замість конкретних чисел вживаються букви (переважно з латинського алфавіту); тоді виходить вираз алгебри. Ці вирази можуть бути дуже громіздкими. Алгебра вчить спрощувати їх за допомогою різні правила, закони, властивості, алгоритми, формули, теореми
Приклад 1. Спростити числове вираз:
Рішення. Зараз ми разом з вами дещо згадаємо, і ви побачите, як багато фактів алгебри ви вже знаєте. Насамперед потрібно виробити план здійснення обчислень. Для цього доведеться використовувати ухвалені в математиці угоди про порядок дій. Порядок дій у даному прикладібуде таким:
1) знайдемо значення А висловлювання у перших дужках:
А = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81;
2) знайдемо значення У виразі у других дужках:
3) розділимо А на Б - тоді знатимемо, яке число З міститься в чисельнику (тобто над горизонтальною рисою);
4) знайдемо значення D знаменника (тобто вирази, що міститься під горизонтальною межею):
D = 25 - 37 - 0,4;
5) розділимо З D - це і буде шуканий результат. Отже, план обчислень є (а наявність плану – половина
успіху!), приступимо до його реалізації.
1) Знайдемо А = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81. Звичайно, можна вважати підряд або, як кажуть, «в лоб»: 2,73 + 4,81, потім до цього числа додати
3,27, потім відняти 2,81. Але культурна людина так не вираховуватиме. Він згадає переміщувальний і сполучний закони складання (втім, йому їх і не треба згадувати, вони у нього завжди в голові) і обчислюватиме так:
(2,73 + 3,27) + 4,81 — 2,81) = 6 + 2 = 8.
А тепер ще раз разом проаналізуємо, які математичні факти нам довелося згадати у процесі рішення прикладу (причому не просто згадати, а й використати).
1. Порядок арифметичних процесів.
2. Переміщувальний закон додавання: а + b = b + а.
4. Сполучний закон складання:
a+b + c = (a + b) + c = a + (b + c).
5. Сполучний закон множення: abc = (ab) c = а (bс).
6. Поняття звичайного дробу, десяткового дробу , Негативного числа.
7. Арифметичні операції з десятковими дробами.
8. Арифметичні операції із звичайними дробами.
10. Правила дій з позитивними та негативними числами. Все це ви знаєте, але все це - алгебраїчні факти. Таким чином, деяке знайомство з алгеброю у вас вже відбулося у молодших класах. Основна складність, як видно вже з прикладу 1, полягає в тому, що таких фактів досить багато, причому їх треба не тільки знати, а й уміти використовувати, як кажуть, "в потрібний час і в потрібному місці". Ось цьому і вчитимемося.
Оскільки літер, що входять до складу алгебраїчного виразу, можна надавати різні числові значення (тобто можна змінювати значення літер), ці літери називають змінними.
б) Аналогічно, дотримуючись порядку дій, послідовно знаходимо:
А на нуль ділити не можна! Що це означає у цьому випадку (і в інших аналогічних випадках)? Це означає, що з : заданий алгебраїчне вираз немає сенсу.
Використовується така термінологія: якщо при конкретних значенняхлітер (змінних) алгебраїчне вираз має числове значення, то вказані значення змінних називають допустимими; якщо при конкретних значеннях букв (змінних) алгебраїчне вираз немає сенсу, то зазначені значення змінних називають недопустимими.
Так, у прикладі 2 значення a = 1 і b = 2, а = 3,7 та b = -1,7 - допустимі, тоді як значення
неприпустимі (точніше: перші дві пари значень - допустимі, а третя пара значень - недопустима).
Взагалі, у прикладі 2 недопустимими будуть такі значення змінних а, b, при яких або а + b = 0, або а - b = 0. Наприклад, a = 7, b = - 7 або a = 28,3, b = 28 ,3 - Неприпустимі пари значень; в першому випадку a + b = 0, а в другому випадку a - b = 0. В обох випадках знаменник заданого в цьому прикладі виразу звертається в нуль, а на нуль, повторимо ще раз, ділити не можна. Тепер, напевно, ви самі зможете придумати як допустимі пари значень для змінних а, b, і неприпустимі пари значень цих змінних у прикладі 2. Спробуйте!
Матеріали з математики онлайн, завдання та відповіді за класами, плани конспектів уроків з математики
А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ
Якщо у вас є виправлення чи пропозиції до даному уроку, Напишіть нам.
Якщо ви хочете побачити інші коригування та побажання до уроків, дивіться тут - Освітній форум.
Уроки алгебри знайомлять нас з різними видамивиразів. У міру надходження нового матеріалу вирази ускладнюються. При знайомстві зі ступенями вони поступово додаються у вираз, ускладнюючи його. Також відбувається з дробами та іншими виразами.
Щоб вивчення матеріалу було максимально зручним, це проводиться за певними назвами для того, щоб їх можна було виділити. Ця стаття дасть повний огляд всіх основних шкільних виразів алгебри.
Одночлени та багаточлени
Вирази одночлени та багаточлени вивчаються в шкільній програміпочинаючи з 7 класу. У підручники було дано визначення такого виду.
Визначення 1
Одночлени- Це числа, змінні, їх ступеня з натуральним показником, будь-які твори, зроблені з допомогою.
Визначення 2
Багаточленаминазивають суму одночленів.
Якщо взяти, наприклад число 5 , змінну x , ступінь z 7 , тоді добутку виду 5 · xі 7 · x · 2 · 7 · z 7вважаються одночленами. Коли береться сума одночленів виду 5+xабо z 7 + 7 + 7 · x · 2 · 7 · z 7, Тоді отримуємо багаточлен.
Щоб відрізняти одночлен від многочлена, звертають увагу до ступеня та його визначення. Важливим є поняття коефіцієнта. При приведенні подібних доданків їх поділяють на вільний член багаточлена чи старший коефіцієнт.
Над одночленами та багаточленами найчастіше виконуються якісь дії, після яких вираз наводиться до бачу одночлена. Виконується додавання, віднімання, множення та розподіл, спираючись на алгоритм для виконання дій з багаточленами.
Коли є одна змінна, не виключено поділ багаточлена на багаточлен, які подаються у вигляді твору. Така дія отримала назву розкладання багаточлена на множники.
Раціональні (алгебраїчні) дроби
Поняття раціональні дроби вивчаються у 8 класі середньої школи. Деякі автори називають їх алгебраїчними дробами.
Визначення 3
Раціональним алгебраїчним дробомназивають дріб, у якій дома чисельника і знаменника виступають многочлены чи одночлени, числа.
Розглянемо на прикладі запису раціональних дробівтипу 3 x + 2 , 2 · a + 3 · b 4 , x 2 + 1 x 2 - 2 і 2 2 · x + - 5 1 5 · y 3 · x x 2 + 4 . Спираючись на визначення, можна сказати, що кожен дріб вважається раціональним дробом.
Алгебраїчні дроби можна складати, віднімати, множити, ділити, зводити до ступеня. Докладніше це у розділі дій з алгебраїчними дробами. Якщо необхідно перетворити дріб, нерідко користуються властивістю скорочення та приведення до спільному знаменнику.
Раціональні вирази
У шкільному курсівивчається поняття ірраціональних дробів, оскільки потрібна робота з раціональними виразами.
Визначення 4
Раціональні виразивважаються числовими та літерними виразами, де використовуються раціональні числаі літери зі складанням, відніманням, множенням, розподілом, зведенням у цілий ступінь.
Раціональні вирази можуть мати знаків, що належать функції, які призводять до ірраціональності. Раціональні вирази не містять коріння, ступенів з дробовими ірраціональними показниками, ступенів зі змінними в показнику, логарифмічних виразів, тригонометричних функційі так далі.
Ґрунтуючись на правилі, наведеному вище, наведемо приклади раціональних виразів. З вище сказаного визначення маємо, що як числове вираз виду 1 2 + 3 4 , так і 5 , 2 + (- 0 , 1) 2 · 2 - 3 5 - 4 3 4 + 2: 12 · 7 - 1 + 7 - 2 2 3 3 - 2 1 + 0 3 вважаються раціональними. Вирази, що містять літерні позначення, також відносять до раціональних a 2 + b 2 3 · a - 0 , 5 · b , зі змінними виду a · x 2 + b · x + c та x 2 + x y - y 2 1 2 x - 1 .
Усі раціональні вирази поділяють на цілі та дробові.
Цілі раціональні вирази
Визначення 5Цілі раціональні вирази- Це такі вирази, що не містять поділу на вирази зі змінними негативного ступеня.
З визначення маємо, що цілий раціональний вираз - це і вираз, що містить літери, наприклад, а + 1, вираз, що містить кілька змінних, наприклад, x 2 · y 3 - z + 3 2 і a + b 3 .
Вирази виду x: (y − 1)і 2 x + 1 x 2 - 2 x + 7 - 4 неможливо знайти цілими раціональними, оскільки мають розподіл вираз зі змінними.
Дробові раціональні вирази
Визначення 6Дробний раціональний вираз– це вираз, що містить розподіл вираз зі змінними негативного ступеня.
З визначення слідує, що дробові раціональні вирази можу бути 1: x , 5 x 3 - y 3 + x + x 2 і 3 5 7 - a - 1 + a 2 - (a + 1) (a - 2) 2 .
Якщо розглядати вирази такого типу (2 · x − x 2) : 4 і a 2 2 - b 3 3 + c 4 + 1 4 , 2 , то дробовими раціональними вони не вважаються, оскільки не мають знаменника виразів зі змінними.
Вирази зі ступенями
Визначення 7Вирази, які містять ступеня у будь-якій частині запису, називають виразами зі ступенямиабо статечними виразами.
Для поняття наведемо приклад такого виразу. Вони можуть бути відсутні змінні, наприклад, 2 3 , 32 - 1 5 + 1 , 5 3 , 5 · 5 - 2 5 - 1 , 5 . Також характерні статечні виразивиду 3 · x 3 · x - 1 + 3 x, x · y 2 1 3 . Щоб вирішити їх, необхідно виконувати деякі перетворення.
Ірраціональні вирази, вирази з корінням
Корінь, що має місце бути у виразі, дає йому іншу назву. Їх називають ірраціональними.
Визначення 8
Ірраціональними висловлюванняминазивають вирази, які мають у записі знаки коренів.
З визначення видно, що це вирази виду 64 , x - 1 4 3 + 3 3 , 2 + 1 2 - 1 - 2 + 3 2 , a + 1 a 1 2 + 2 , x · y , 3 x + 1 + 6 x 2 + 5 x та x + 6 + x - 2 3 + 1 4 x 2 3 + 3 - 1 1 3 . У кожному їх є хоча б один значок кореня. Коріння та ступеня пов'язані, тому можна бачити такі записи виразів, як x 7 3 - 2 5 , n 4 8 · m 3 5: 4 · m 2 n + 3 .
Тригонометричні вирази
Визначення 9Тригонометричний вираз- Це вирази з вмістом sin, cos, tg і ctg та їх зворотні - arcsin, arccos, arctg і arcctg.
Приклади тригонометричних функцій очевидні: sin ?
Для роботи з такими функціями необхідно користуватися властивостями, основними формулами прямих і зворотних функцій. Стаття перетворення тригонометричних функцій розкриє це докладніше.
Логарифмічні вирази
Після знайомства з логарифмами можна говорити про складні логарифмічні вирази.
Визначення 10
Вирази, які мають логарифми, називають логарифмічними.
Прикладом таких функцій можуть бути log 3 9 + lne, log 2 (4 · a · b), log 7 2 (x · 7 3) log 3 2 x - 3 5 + log x 2 + 1 (x 4 + 2) .
Можна зустріти такі вирази, де є ступеня та логарифми. Це зрозуміло, оскільки з визначення логарифму слід, що це показник ступеня. Тоді отримуємо вирази виду x l g x - 10, log 3 3 x 2 + 2 x - 3, log x + 1 (x 2 + 2 x + 1) 5 x - 2.
Для поглиблення вивчення матеріалу слід звернутися до матеріалу про перетворення логарифмічних виразів.
Дроби
Існують вирази особливого виду, які дістали назву дробу. Оскільки вони мають чисельник і знаменник, вони можуть містити непросто числові значення, і навіть висловлювання будь-якого типу. Розглянемо визначення дробу.
Визначення 11
Дробиноюназивають таке вираз, має чисельник і знаменник, у яких є як числові, і буквені позначення чи висловлювання.
Приклади дробів, які мають числа в чисельнику та знаменнику, виглядають так 1 4 , 2 , 2 - 6 2 7 , π 2 , - e π , (− 15) (− 2) . Чисельник і знаменник може містити як чисельні, так і буквені вирази виду (a + 1) 3 , (a + b + c) (a 2 + b 2) , 1 3 + 1 - 1 3 - 1 1 1 + 1 1 + 1 5 cos 2 α - sin 2 α 1 + 3 t g α , 2 + ln 5 ln x .
Хоча такі вирази, як 2 5 − 3 7 , x x 2 + 1: 5 не є дробами, однак мають дріб у своєму записі.
Вираз загального вигляду
Старші класи розглядають завдання підвищеної складності, де зібрані всі комбіновані завдання групи З ЄДІ. Ці вирази відрізняються особливою складністю та різними комбінаціями коренів, логарифмів, ступенів, тригонометричних функцій. Це завдання типу x 2 - 1 · sin x + π 3 або sin a r c t g x - a · x 1 + x 2 .
Їхній вигляд говорить про те, що можна віднести до будь-якого з перерахованих вище видів. Найчастіше їх не відносять до жодного, оскільки вони мають специфічне комбіноване рішення. Їх розглядають як вирази загального вигляду, причому для опису не використовуються додаткові уточнення чи вирази.
При вирішенні такого виразу алгебри завжди необхідно звертати увагу на його запис, наявність дробу, ступенів або додаткових виразів. Це потрібно для того, щоб точно визначитися із способом його вирішення. Якщо немає впевненості у його назві, то рекомендується називати його виразом загального типуі вирішувати, згідно з вище написаним алгоритмом.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Арифметична дія, яка виконується останнім при підрахунку значення виразу, є «головною».
Тобто, якщо ти підставиш замість літер якісь (будь-які) числа, і спробуєш обчислити значення виразу, то якщо останньою дієюбуде множення - отже, у нас твір (вираз розкладено на множники).
Якщо останньою дією буде додавання або віднімання, це означає, що вираз не розкладено на множники (а отже, скорочувати не можна).
Для закріплення виріши самостійно кілька прикладів:
Приклади:
Рішення:
1. Сподіваюся, ти не кинувся зразу ж скорочувати і? Ще не вистачало «зменшити» одиниці типу такого:
Першим дією має бути розкладання на множники:
4. Додавання та віднімання дробів. Приведення дробів до спільного знаменника.
Додавання і віднімання звичайних дробів - операція добре знайома: шукаємо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на недостатній множник і складаємо/віднімаємо чисельники.
Давай згадаємо:
Відповіді:
1. Знаменники і – взаємно прості, тобто у них немає спільних множників. Отже, НОК цих чисел дорівнює їхньому твору. Це і буде спільний знаменник:
2. Тут спільний знаменник дорівнює:
3. Тут насамперед змішані дробиперетворюємо на неправильні, а далі - за звичною схемою:
Зовсім інша річ, якщо дроби містять літери, наприклад:
Почнемо з простого:
a) Знаменники не містять літер
Тут все те ж, що і зі звичайними числовими дробами: знаходимо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на множник, що бракує, і складаємо/віднімаємо чисельники:
тепер у чисельнику можна наводити подібні, якщо є, і розкладати на множники:
Спробуй сам:
Відповіді:
b) Знаменники містять літери
Давай згадаємо принцип знаходження спільного знаменника без літер:
· Насамперед ми визначаємо загальні множники;
· Потім виписуємо всі загальні множники по одному разу;
· І домножуємо їх на всі інші множники, не загальні.
Щоб визначити спільні множники знаменників, спершу розкладемо їх на прості множники:
Підкреслимо спільні множники:
Тепер випишемо спільні множники по одному разу і допишемо до них усі загальні (не підкреслені) множники:
Це і є спільний знаменник.
Повернемося до букв. Знаменники наводяться за такою ж схемою:
· Розкладаємо знаменники на множники;
· Визначаємо загальні (однакові) множники;
· Виписуємо всі загальні множники по одному разу;
· Домножуємо їх на всі інші множники, не загальні.
Отже, по порядку:
1) розкладаємо знаменники на множники:
2) визначаємо загальні (однакові) множники:
3) виписуємо всі загальні множники по одному разу і домножуємо їх на всі інші (непідкреслені) множники:
Отже, спільний знаменник тут. Перший дріб потрібно домножити на, другий - на:
До речі, є одна хитрість:
Наприклад: .
Бачимо в знаменниках одні й ті самі множники, тільки всі різними показниками. До спільного знаменника підуть:
у ступені
у ступені
у ступені
у ступені.
Ускладнимо завдання:
Як зробити у дробів однаковий знаменник?
Давай пригадаємо основну властивість дробу:
Ніде не сказано, що з чисельника і знаменника дробу можна віднімати (або додавати) те саме число. Тому що це не так!
Переконайся сам: візьми будь-який дріб, наприклад, і додай до чисельника і знаменника якесь число, наприклад, . Що повчилося?
Отже, чергове непорушне правило:
Коли наводиш дроби до спільного знаменника, користуйся тільки операцією множення!
Але на що ж треба примножити, щоб одержати?
Ось на і домнож. А примножуй на:
Вирази, які неможливо розкласти на множники називатимемо «елементарними множниками».
Наприклад, це елементарний множник. - Теж. А ось – ні: він розкладається на множники.
Що скажеш про висловлювання? Воно елементарне?
Ні, оскільки його можна розкласти на множники:
(Про розкладання на множники ти вже читав у темі «Реферат»).
Так ось, елементарні множники, на які ти розкладаєш вираз із літерами – це аналог простих множниківна які ти розкладаєш числа. І робитимемо з ними так само.
Бачимо, що в обох знаменниках є множник. Він піде у спільний знаменник у міру (пам'ятаєш, чому?).
Множник - елементарний, і він у них не загальний, значить перший дріб на нього доведеться просто домножити:
Ще приклад:
Рішення:
Перш ніж у паніці перемножувати ці знаменники, треба подумати, як їх розкласти на множники? Обидва вони представляють:
Чудово! Тоді:
Ще приклад:
Рішення:
Як завжди, розкладемо знаменники на множники. У першому знаменнику просто виносимо за дужки; у другому - різниця квадратів:
Здавалося б, спільних множників немає. Але якщо придивитися, то й так схожі.
Так і напишемо:
Тобто вийшло так: усередині дужки ми поміняли місцями доданки, і при цьому знак перед дробом помінявся на протилежний. Візьми на замітку, так робити доведеться часто.
Тепер наводимо до спільного знаменника:
Засвоїв? Зараз перевіримо.
Завдання для самостійного вирішення:
Відповіді:
Тут треба згадати ще одну - різницю кубів:
Зверніть увагу, що у знаменнику другого дробу не формула «квадрат суми»! Квадрат суми виглядав так: .
А - це так званий неповний квадрат суми: другий доданок у ньому - це твір першого та останнього, а не подвоєний їхній твір. Неповний квадрат суми - це один із множників у розкладанні різниці кубів:
Що робити, якщо дробів три штуки?
Та те саме! Насамперед зробимо так, щоб максимальна кількістьмножників у знаменниках було однаковим:
Зверніть увагу: якщо поміняти знаки всередині однієї дужки, знак перед дробом змінюється на протилежний. Коли міняємо знаки у другій дужці, знак перед дробом знову змінюється протилежним. В результаті він (знак перед дробом) не змінився.
У загальний знаменник виписуємо повністю перший знаменник, а потім дописуємо до нього всі множники, які ще не написані, з другого, а потім із третього (і так далі, якщо дробів більше). Тобто виходить ось так:
Хм... З дробами зрозуміло що робити. Але як бути з двійкою?
Все просто: адже ти вмієш складати дроби? Отже, треба зробити так, щоб двійка стала дробом! Згадуємо: дріб – це операція поділу (числитель ділиться на знаменник, якщо ти раптом забув). І немає нічого простішого, ніж розділити число на. При цьому саме число не зміниться, але перетвориться на дріб:
Те що потрібно!
5. Множення та розподіл дробів.
Ну що ж, найскладніше тепер позаду. А попереду у нас найпростіше, але при цьому найважливіше:
Порядок дій
Який порядок дій при підрахунку числового виразу? Згадай, порахувавши значення такого виразу:
Порахував?
Повинно вийти.
Отже, нагадую.
Насамперед обчислюється ступінь.
Другим - множення та розподіл. Якщо множень і поділок одночасно кілька, робити їх можна у будь-якому порядку.
І наостанок виконуємо складання та віднімання. Знову ж таки, в будь-якому порядку.
Але: вираз у дужках обчислюється позачергово!
Якщо кілька дужок множаться або діляться один на одного, обчислюємо спочатку вираз у кожній із дужок, а потім множимо або поділи їх.
А якщо всередині дужок є ще одні дужки? Ну, давай подумаємо: усередині дужок написано якийсь вираз. А при обчисленні виразу насамперед треба робити що? Правильно, обчислювати дужки. Ну ось і розібралися: спочатку обчислюємо внутрішні дужки, потім решту.
Отже, порядок дій для вираження вище такий (червоним виділено поточне дію, тобто дію, яке виконую зараз):
Добре, це просто.
Але ж це не те саме, що вираз з літерами?
Ні, це те саме! Тільки замість арифметичних дій треба робити алгебраїчну, тобто дії, описані в попередньому розділі: приведення подібних, додавання дробів, скорочення дробів і так далі. Єдиною відмінністю буде дія розкладання багаточленів на множники (його часто застосовуємо при роботі з дробами). Найчастіше для розкладання на множники потрібно застосовувати або просто виносити загальний множник за дужки.
Зазвичай наша мета - уявити вираз у вигляді твору або приватного.
Наприклад:
Спростимо вираз.
1) Першим спрощуємо вираз у дужках. Там у нас різниця дробів, а наша мета – представити її як твір чи приватний. Отже, наводимо дроби до спільного знаменника і складаємо:
Більше цього виразу спростити неможливо, всі множники тут - елементарні (ти ще пам'ятаєш, що це означає?).
2) Отримуємо:
Розмноження дробів: що може бути простіше.
3) Тепер можна і скоротити:
Ну от і все. Нічого складного, правда?
Ще приклад:
Спрости вираз.
Спочатку спробуй вирішити сам, і тільки потім подивися рішення.
Рішення:
Насамперед визначимо порядок дій.
Спочатку виконаємо складання дробів у дужках, вийде замість двох дробів один.
Потім виконаємо поділ дробів. Ну і результат складемо з останнім дробом.
Схематично пронумерую дії:
Тепер покажу звістку процес, підфарбовуючи поточну дію червоним:
1. Якщо є такі, їх треба негайно навести. У який би момент у нас не утворилися подібні, їх бажано наводити одразу.
2. Те саме стосується скорочення дробів: як тільки з'являється можливість скоротити, їй треба скористатися. Виняток становлять дроби, які ти складаєш чи віднімаєш: якщо в них зараз однакові знаменники, то скорочення потрібно залишити на потім.
Ось тобі завдання для самостійного вирішення:
І обіцяна на самому початку:
Відповіді:
Рішення (короткі):
Якщо ти впорався хоча б із першими трьома прикладами, то тему ти, вважай, освоїв.
Тепер уперед до навчання!
ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИРАЗІВ. КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ
Базові операції спрощення:
- Приведення подібних: щоб скласти (навести) подібні доданкитреба скласти їх коефіцієнти і приписати буквену частину.
- Розкладання на множники:винесення загального множника за дужки, застосування тощо.
- Скорочення дробу: чисельник і знаменник дробу можна множити або ділити на те саме ненульове число, від чого величина дробу не змінюється.
1) чисельник та знаменник розкласти на множники
2) якщо в чисельнику та знаменнику є спільні множники, їх можна викреслити.ВАЖЛИВО: скорочувати можна лише множники!
- Додавання та віднімання дробів:
; - Розмноження та розподіл дробів:
;