Д.Іваненко. Геометрія Лобачевського та нові проблеми фізики
Шмирова Ірина
"Ідеї нашого геніального співвітчизника, які здавалися неприпустимим парадоксом, тепер широко розвинені та узагальнені, є одним із наріжних каменів сучасної науки" - писав видний радянський геометр, професор П.К. Рашевський Мета роботи: встановити, що послужило створенню неевклідової геометрії
Завантажити:
Попередній перегляд:
МКОУ ВАШУТИНСЬКА ОСНОВНА ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ ШКОЛА
Історія виникнення та значення неевклідової геометрії у сучасній науці
Роботу з геометрії виконала:
Учениця 9 класу
Шмирова Ірина
Координатор роботи:
Учитель математики
Сєдих Олена Валеріївна
2013 рік
1.Введение……………………………………………………………… 3
2.Історія створення нової геометрії………………………………. 4
3. Неевклідова геометрія…………………………………………… 8
4. Відгуки та докази …………………………………………. 11
4. Значення Неевклідової геометрії……………………………… 15
5. Висновок…………………………………………………………. 16
6.Використовувана литература…………………………………………. 18
7.Словник термінів…………………………………………………... 19
Вступ
Той шлях, яким вперше став Лобачевський, значною мірою визначив обличчя сучасної науки, справив справжню революцію в математиці.
"Ідеї нашого геніального співвітчизника, які здавалися неприпустимим парадоксом, тепер широко розвинені та узагальнені, є одним із наріжних каменів сучасної науки" - писав видний радянський геометр, професор П.К. Рашевський [1].
Відкриття неевклідової геометрії зробило переворот у геометрії і навіть у математиці, але можна сказати, у розвитку людського мислення взагалі. І то, Що евклідова геометрія не є єдино можливою, зроблене на початку минулого століття Гаусом, Лобачевським і Больяї, вплинуло на світогляд людства. Однак мало кому відомо, що починаючи з кінця минулого століття неєвклідова геометрія, поряд з евклідовою, є одним із робочих інструментів математики, незважаючи на те, що "простір, в якому ми живемо", у доступних нашому розумінню межах є скоріше евклідовим, ніж неевклідовим.[ 2].
Характер математичних теорій такий, що по-різному представляючиОсновні поняття цих теорій, у геометрії, наприклад, це точки, прямі, рухи і т.д., ми можемо застосовувати їх до різних об'єктів. Тому і геометрія може застосовуватися не тільки до простору, в якому ми живемо, але й до інших просторів, що виникають у математичних і фізичних теоріях. Геометрії цих просторів виявляються різними; зокрема, вони можуть бути евклідовими.
Мета роботи : встановити, що послужило створенню неевклідової геометріїГіпотеза : розвиток науки було на такому етапі, що неможливо було не прийти до створення неевклідової геометрії
I. Історія створення нової геометрії
Першим неевклідовим геометром, мабуть, вважатимуться самого Евкліда (рис.1). Його небажання використати «не самоочевидний» п'ятий постулат випливає хоча б з того, що свої перші двадцять вісім пропозицій Евклід доводить, не вдаючись до цього постулату. З першого століття до н. до 1820 року математики намагалися вивести п'ятий постулат з інших, але досягли успіху лише в заміні його різними еквівалентними припущеннями, такими, як «дві паралельні лінії всюди однаково віддалені один від одного» або «будь-які три точки, не розташовані на одній прямій, належать колу» .
Малюнок 1. Евклід
Лобачевський у роботі «Про засади геометрії» (1829 рік), першої його друкованої роботи з неевклідової геометрії, ясно заявив, що V постулат не може бути доведений на основі інших посилок евклідової геометрії, і що припущення постулату, протилежного постулату Евкліда, дозволяє побудувати геометрію так само змістовну, як і евклідова, і вільну від протиріч [1].
Одночасно та незалежно до аналогічних висновків дійшов Янош Бойяї (рис.2), а Карл Фрідріх Гаус (рис.3) дійшов таких висновків ще раніше.
Малюнок 2. Янош Бойяї
Однак праці Бойяї не привернули уваги, і він незабаром залишив цю тему, а Гаусс взагалі утримувався від публікацій, і про його погляди можна судити лише з кількох листів та щоденникових записів.
Малюнок 3 . Карл Фрідріх Гаус
Збереглися студентські записи лекцій Лобачевського (від 1817), де їм робилася спроба довести п'ятий постулат Евкліда, але в рукописі підручника «Геометрія» (1823) він вже відмовився від цієї спроби. У «Оглядах викладання чистої математики» за 1822 і 1824 роки Лобачевський вказав на «досі непереможну» труднощі проблеми паралелізму і необхідність приймати в геометрії як вихідні поняття, безпосередньо придбані з природи.
23 лютого 1826 року геніальний математик читає свою доповідь про неевклідову геометрію нічого не розуміючої, нудної, байдужої аудиторії. Комісія, яка нічого не зрозуміла, не дає жодного відгуку. Роботу не було надруковано. І лише в 1829 році були опубліковані мемуари «Про засади геометрії» - перша робота з неевклідової геометрії. Роботу не зрозуміли.
З Академії наук прийшов знищуючий відгук, з'являються статті, де Лобачевського називають провінційним шарлатаном, неосвіченим самовдоволеним нікчемністю. Автори цих відгуків спиралися на те, що все, що викладено паном Лобачевським (рис.4) у своїх працях не має місця в природі і тому для розуму зовсім незрозуміло й абсурдно. Лобачевського ніхто не підтримав, але йому вистачило мужності відстоювати свої ідеї до кінця.
Малюнок 4. Лобачевський Микола Іванович
Не знайшовши розуміння на Батьківщині, Лобачевський спробував знайти однодумців там. У 1837 році стаття Лобачевського «Уявна геометрія» на французькою мовою(Géométrieimaginaire) з'явилася в авторитетному берлінському журналі Крелле, а в 1840 Лобачевський опублікував на німецькою мовоюневелику книгу «Геометричні дослідження з теорії паралельних», де міститься чіткий та систематичний виклад його основних ідей. Два екземпляри отримав Карл Фрідріх Гаусс, «король математиків» того часу. Як багато пізніше з'ясувалося, Гаусс і сам потай розвивав неевклідову геометрію, проте так і не наважився опублікувати що-небудь на цю тему [1].
П'ятий постулат Евкліда став свого роду поштовхом до створення іншої геометрії, чи продовженням геометрії Евкліда. Одночасно вчені багатьох країн дійшли одних і тих самих висновків. Однак одних вчених не зрозуміли, як Лобачевського, інші боялися опублікувати свою працю.
Творцями неевклідової геометрії стали такі яскраві вчені, як сам Евклід, Гаус, Бойяї, Лобачевський. У деяких учених відкриття у неевклідовій геометрії відбувалися одночасно незалежно один від одного.
II.Неевклідова геометрія
Лобачевський вважав аксіому паралельності Евкліда довільним обмеженням. З його точки зору, ця вимога надто жорстка, що обмежує можливості теорії, що описує властивості простору, і тому у створенні неевклідової геометрії він використовував площинні постулати Евкліда як окремий, граничний випадок і відмовився від V постулату, прийнявши незалежність аксіоми про паралельні прямі Евкліди. .
Замість V постулату він приймає протилежну пропозицію: на площині через точку, що не лежить на даній прямій, проходить більш ніж одна пряма, що не перетинає цю. Разом з цією пропозицією Лобачевський приймає решту аксіом Євклідової геометрії і на цій підставі будує нову геометрію. Геометрія, що вийшла, логічно струнка, ніде протиріч не зустрічається. Лобачевський називає її «уявною».
Через точку С, що лежить поза прямою АВ, можна, припустив Лобачевський, провести хоча б дві прямі а та b, які не перетнуться з прямою АВ (рис.5). Так само не перетинають пряму АВ і прямі m, n, p, що проходять через точку С. .
Малюнок 5. Пропозиція, протилежна V постулату Евкліда.
Сума кутів трикутника в «уявній геометрії» завжди менша180про (рис.6).
Малюнок 6. Трикутник у геометрії Лобачевського.
У площині Лобачевського немає ніякої подоби. Адже всі теореми про подібність виводяться лише за допомогою аксіоми Евкліда про паралельність. Н.І. Лобачевський встановив, що на граничній поверхні, яка називається орисферою, внутрішня геометрія є евклідовою.
Розроблена Лобачевським нова геометрія не включає евклідову геометрію, проте евклідова геометрія може бути з неї отримана граничним переходом (при прагненні кривизни простору до нуля). У самій геометрії Лобачевського кривизна негативна. Вже в першій публікації Лобачевський детально розробив тригонометрію неевклідового простору, диференціальну геометрію (включаючи обчислення довжин, площ та обсягів) та суміжні аналітичні питання.
У геометрії Н.І. Лобачевського використовуються основні поняття Евкліда: перпендикуляри, осьові симетріїта повороти. У ній зберігаються властивості рівнобедреного трикутника, відомі ознаки рівності трикутників та інші елементи «абсолютної геометрії» [2].
У просторі Лобачевського було виділено криволінійні геометричні образи, підпорядковані геометрії Евкліда. Цей чудовий результат Лобачевський використав для виведення тригонометричних співвідношень між елементами прямолінійних трикутників у його просторі. Але підсумкові співвідношення набагато складніші за евклідові. Ці співвідношення мають не лише тригонометричні функції кутів, не просто довжини сторін, а деякі функції від них [4].
Зробивши своє знамените відкриття, М. І. Лобачевський не спростував евклідову геометрію, а лише розсунув межі науки, що існувала в Стародавньому світі. Будь-які факти планиметрії Лобачевського не суперечать геометрії Евкліда. Проте створена геометрія суттєво відрізняється від колишньої. Лобачевський, очевидно, хотів підкреслити протиріччя V постулату: на площині через точку, що лежить поза цією прямою, проходить більше однієї прямої, що не перетинає цю. І тим самим замінив евклідів постулат більш загальної аксіомою паралельності та зберіг усі міркування геометрії Евкліда.
ІІІ. Відгуки та докази
В останні роки життя Лобачевський безуспішно намагався довести несуперечність своєї геометрії.
Щоб отримати такий доказ, треба було збудувати модель геометрії. У 1868 року (через 12 років по смерті Лобачевського) італійський учений Еге. Бельтрамі досліджував увігнуту поверхню звану псевдосферою і довів, що у цій поверхні діє геометрія Лобачевського (рис.7). [5].
У 1868р. Італійський математик Еге. Бельтрамі досліджував увігнуту поверхню, звану псевдосферою, і довів, що у цій поверхні діє геометрія Лобачевського.
Малюнок 7. Псевдосфера
А за 2 роки німецький математик Клейн пропонує іншу модель площини Лобачевського (рис.8).
Клейн бере деяке коло. «Плоскістю» Клейн називає начинку кола. Далі, кожну хорду кола (без кінця, оскільки беруться лише внутрішні точки кола) Клейн вважає «прямий». Тепер у цій «площині» можна розглядати відрізки, трикутники і т. д. Дві фігури називаються «рівними», якщо одна з них може бути переведена в іншу деяким рухом. Тим самим було введено всі поняття, що згадуються в аксіомах геометрії, і можна проводити перевірку виконання аксіом у цій моделі. Наприклад, очевидно, що через будь-які дві точки А, проходить єдина «пряма». Можна простежити також, що через точку А, яка не належить «прямий» а, проходить нескінченно багато «прямих», що не перетинають а. Подальша перевірка показує, що у моделі Клейна виконуються й інші аксіоми геометрії Лобачевского[ 4]
Малюнок 8. Клейна модель.
Ще одну модель геометрії Лобачевського було запропоновано французьким математиком А. Пуанкаре (1854-1912). Він також розглядає начинку деякого кола. "Прямими" він вважає дуги кіл, які в точках перетину з кордоном кола стосуються радіусів (рис.9) [1].
Малюнок 9 . Модель Пуанкаре.
Наприкінці минулого століття у роботах Пуанкаре та Клейна було встановлено прямий зв'язок геометрії Лобачевського з теорією функцій комплексної змінної та з теорією чисел (точніше, арифметикою невизначених квадратичних форм). З того часу апарат геометрії Лобачевського став невід'ємним компонентом цих розділів математики. В останні 15 років значення геометрії Лобачевського ще більше зросло завдяки роботам американського математика Терстона (лауреата Філдсовської медалі 1983), що встановив її зв'язок з топологією тривимірних різноманіття (рис.10). Десятки робіт щорічно публікуються у цій галузі. У зв'язку з цим можна говорити про кінець романтичного періоду в історії геометрії Лобачевського, коли основна увага дослідників була звернена на її осмислення з погляду основ геометрії взагалі. Сучасні дослідженнядедалі більше вимагають ділового володіння геометрією Лобачевського[ 2].
Малюнок 10. Вільям Паул Терстон
Важливе зауваження щодо креслень, що зображають поведінку прямих на площині Лобачевського. Як показують досліди, наш фізичний простір за властивостями або евклідово, або мало від нього відрізняється. Оперуючи з кресленням, змушені обмежитися його малим розміром, а відхилення від евклідовості, якщо воно існує, спостерігатиметься лише за дуже великих протягів. Тому для наочності зазвичай прийнято зображати прямі, злегка їх викривляючи, щоб виразніше висловити характер їхнього зближення чи розбіжності на площині Лобачевського. Однак Лобачевський такі вільності собі не дозволяв [4].
Скільки часу потрібно було вченим перевірити на різних моделях: псевдосфері Клейна, модель Пуанкаре, тривимірні різноманіття математика Терстона, що геометрія Лобачевського діє? Які сумніви виникали у самого Лобачевського у правильності його ідей? Але саме елементи геометрії Лобачевського стали основою таких розділів математики, як теорія чисел та теорія функцій комплексної змінної та багатьох інших.
IV. Значення Неевклідової геометрії
Нова геометрія стала чистим породженням розуму, що відокремилася від навколишньої дійсності. Тому Лобачевський назвав її «уявною». Поява неевклідової геометрії була важливим крокому перетворенні математики на науку про логічно мислимих формахта відносинах. Цей процес йшов у всьому фронті у геометрії, а й у алгебрі. З'явилися теорія множин, математична логіка. У геометрії незабаром за геометрією Лобачевського з'явилася багатовимірна геометрія евклідова [2].
V. Висновок
Творцями неевклідової геометрії стали такі яскраві вчені, як сам Евклід, Гаус, Бойяї, Лобачевський. Евклід робив спроби довести п'ятий постулат, але йому не виходило. У деяких учених відкриття у неевклідовій геометрії відбувалися одночасно незалежно один від одного.
М. І. Лобачевський розсунув межі науки, що існувала на той момент. Будь-які факти планиметрії Лобачевського не суперечать геометрії Евкліда. Проте створена геометрія суттєво відрізняється від колишньої. Лобачевський, очевидно, хотів підкреслити протиріччя V постулату: на площині через точку, що лежить поза цією прямою, проходить більше однієї прямої, що не перетинає цю. І тим самим замінив евклідів постулат більш загальної аксіомою паралельності та зберіг усі міркування геометрії Евкліда.
Чи багато часу знадобилося вченим, щоб перевірити на різних моделях: псевдосфері Клейна, модель Пуанкаре, тривимірні різноманіття математика Терстона, що геометрія Лобачевського діє? Які сумніви виникали у самого Лобачевського у правильності його ідей? Але саме елементи геометрії Лобачевського стали основою таких розділів математики, як теорія чисел та теорія функцій комплексної змінної та багатьох інших.
Лобачевський був названий «Коперником геометрії», але його можна назвати і Колумбом науки, який відкрив нову її область, за якою слідував материк нової геометрії та взагалі нової математики. Той шлях, яким вперше став Лобачевський, значною мірою визначив обличчя сучасної науки.
Відкриття нової геометрії стало початком численних досліджень визначних математиків 19 століття. Геометрія послужила поштовхом до розвитку науки, а значить і розуміння світу, що оточує.
А на початку 20-го століття було виявлено, що геометрія Лобачевського абсолютно необхідна у сучасній фізиці. Наприклад, теоретично відносності Ейнштейна, у розрахунках сучасних синхрофазотронів, у космонавтиці.
Використовувана література
1.Лаптєв Б.Л. Н.І.Лобачевський та його геометрія. Допомога для учнів. М., «Освіта», 1976.
2.Шербаков Р.М., Пічурін Л.Ф. від проективної геометрії – до неевклідової (навколо абсолюту): Кн. Для позакласного читання. IX, X кл. - М.: Просвітництво, 1979. - 158с., іл.- (Світ знань)
3.Погорелов А.В. Геометрія: Навч. Для 7-9 кл. загальноосвіт. установ/А.В. Погорелов.-5-е вид. - М: Просвітництво, 2010.-224 с.
4. Олексіївський Д.В., Вінберг Е.Б., Солодовніков А.С. Геометрія просторів постійної кривизни. У кн.: Підсумки науки та техніки. Сучасні проблеми математики. Фундаментальні напрямки. М.: ВІНІТІ, 1988. Т. 29. С. 1 - 146.ространсто - фундаментальне (поряд з часом) поняття людського мислення, що відображає множинний характер існування світу, його неоднорідність. Безліч предметів, об'єктів, даних у людському сприйнятті одночасно, формує складний…Філософська енциклопедія
- обачесвського геометрія- Геометрія, заснована на тих же основних посилках, що і евклідова геометрія, за винятком аксіоми про паралельні (див. П'ятий постулат). В евклідовій геометрії згідно з цією аксіомою на площині через точку Р, що лежить поза прямою А А, проходить.
Математична енциклопедія
- Лобачевського геометрія— геометрична теорія, заснована на тих самих основних посилках, що й звичайна Евклідова геометрія, за винятком аксіоми про паралельні, яка замінюється на аксіому про паралельні Лобачевського. Евклідова аксіома про паралельні каже:… …
Велика Радянська Енциклопедія
- Геометрія - Розділ математики, що займається вивченням властивостей різних фігур (точок, ліній, кутів, двовимірних і тривимірних об'єктів), їх розмірів і взаємного розташування. Для зручності викладання геометрію поділяють на планіметрію та стереометрію.Енциклопедія
~ ~
Микола Іванович Лобачевський (1793-1856)
Великий російський геометр, творець неевклідової геометрії Микола Іванович Лобачевський народився 2 листопада 1793 року у Нижегородської губернії, у бідній сім'ї дрібного чиновника. Після дитинства, виконаного злиднів і поневірянь, після закінчення гімназії, вступити до якої йому вдалося лише завдяки винятковій енергії його матері Параски Олександрівни, ми бачимо його чотирнадцятирічним хлопчиком вже студентом щойно відкритого Казанського університету, у стінах якого і проходять все подальше його життя та робота . М. І. Лобачевському пощастило вчитися в гімназії математики у непересічної людини і, мабуть, блискучого педагога - Григорія Івановича Карташевського. Під його впливом розвивалися математичні здібності майбутнього великого геометра. Студентом він навчався у відомого Бартельса, професора спочатку Казанського, потім Юр'євського університету, серйозно оволодівши математикою свого часу за першоджерелами, головним чином з робіт Гауса і Лапласа. Однак, незважаючи на математичні обдарування, що рано проявилися, рішення присвятити себе математиці виникло у Н. І. Лобачевського не відразу; є відомості, що він спочатку готував себе до занять медициною. Принаймні до 18 років він уже вибрав математику.
Студентські роки М. І. Лобачевського наповнені не лише гарячим захопленням наукою та завзятими науковими заняттями; вони сповнені і юнацькими проказами і витівками, у яких його життєрадісний характер виявився дуже рано. Відомо, що він сидів у карцері за пускання ракети в Казані об 11 годині вечора, що йому ставилися у провину багато інших проказ. Але, крім цього, відзначаються і серйозніші провини: " вільнодумство і мрійливе себе зарозумілість, завзятість " і навіть " обурливі вчинки..., надаючи які у значною мірою виявив ознаки безбожжя " .
За все це М. І. Лобачевський мало не поплатився винятком з університету, і лише посилені клопотання казанських професорів-математиків дали можливість закінчити його. Подальша його кар'єра розвивається стрімко: 21 рік М. І. Лобачевський - ад'юнкт, а 23 років - екстраординарний професор; у ці роки, у зв'язку з лекціями з геометрії, читаними їм у 1816-1817 рр., він уперше підійшов до питання, вирішення якого склало славу всього його життя - до питання про аксіому паралельних.
Юність М. І. Лобачевського кінчалася. Почався період повного розкриття його багатої та різноманітної особистості. Почалася наукова творчість, виняткова з його математичної сили. Почалася і швидко розвивалася його дивовижно багатогранна, сповнена непохитної енергії та пристрасного захоплення робота професора, незабаром у всіх відносинах першого професора Казанського університету. Почалася його гаряча участь у всіх сферах діяльності, організації та будівництва Казанського університету, що перейшло потім у майже двадцятирічне повне та одноосібне керівництво всім університетським життям. Одне лише перерахування різних університетських посад, послідовно, а то й паралельно, котрі займалися ним, дає уявлення про розмах його університетської роботи. Наприкінці 1819 р. його обирають деканом; одночасно на нього лягають обов'язки щодо упорядкування університетської бібліотеки, яка перебувала в неймовірно хаотичному стані. Професорська діяльність його в ці ж роки отримує новий зміст: за від'їздом професора Симонова в кругосвітню подорож, цілих два навчальні роки йому доводиться читати фізику, метеорологію та астрономію. Між іншим, М. І. Лобачевський і надалі ніколи не втрачав інтересу до фізики і не відмовлявся не тільки від викладання її в університеті, а й від читання популярних лекцій з фізики, що супроводжувалися ретельно та цікаво підготовленими дослідами. У 1822 р. М. І. Лобачевський - ординарний професор; одночасно він стає членом будівельного комітету з упорядкування старих і спорудження нових університетських будівель. 1825 р. він уже голова цього комітету. Фактично він є основним будівельником усієї сукупності нових будівель Казанського університету і, захоплений цими своїми новими обов'язками, ретельно вивчає архітектуру як з інженерно-технічної, так і з художнього боку. Багато найбільш вдалі в архітектурному плані будівлі Казанського університету є здійсненням будівельних задумів М. І. Лобачевського; такі: анатомічний театр, бібліотека, обсерваторія.
Нарешті, в 1827 р. М. І. Лобачевський стає ректором університету і обіймає цю посаду 19 років. Свої обов'язки ректора він розуміє дуже широко: від ідейного керівництва викладанням та всім життям університету до особистого входження до всіх повсякденних університетських потреб. Зробившись ректором, він протягом кількох років продовжував нести обов'язки університетського бібліотекаря і склав їх лише після того, як поставив бібліотеку на належну висоту. Як приклад енергії та активності, виявлених М. І. Лобачевським на благо університету, слід сказати про його роль під час двох трагічних подій, що обрушилися на казанське життя під час його ректорства. Першою з цих подій була холерна епідемія 1830 р., що лютувала в Поволжі і забрала багато тисяч життів. Коли холера досягла Казані, М. І. Лобачевський відразу ж прийняв щодо університету героїчні заходи: університет був фактично ізольований від решти міста і перетворений як би на фортецю. Було організовано проживання та харчування студентів на самій університетській території – все це за найдіяльнішої участі ректора. Успіх був блискучий - епідемія пройшла повз університет. Енергійна самовіддана робота М. І. Лобачевського по боротьбі з холерою справила на все тодішнє суспільство настільки велике враження, що навіть офіційні інстанції вважали за потрібне її відзначити, М. І. Лобачевському було виражено "високе благовоління" за старанність щодо захисту університетів та інших навчальних від холери.
Іншим лихом, що вибухнула над Казанню, була страшна за своїми спустошливими наслідками пожежа в 1842 р. Під час цієї жахливої пожежі, що знищила величезну частину міста, М. І. Лобачевський знову виявив чудеса енергії та розпорядження при порятунку від вогню університетського майна. Зокрема, йому вдалося зберегти бібліотеку та астрономічні інструменти.
Проте центральною точкою докладання енергії та талантів М. І. Лобачевського як ректора університету були його прямі турботи про виховання юнацтва у найширшому значенні цього слова. Всі інші сторони його діяльності на ректорській посаді становили лише рамку для цього основного завдання. Проблеми виховання залучали його у всьому їх обсязі і, як все, що його цікавило, вони цікавили його найгарячіше. Ще з 1818 р. М. І. Лобачевський був членом училищного комітету, який відав середніми і нижчими навчальними закладами, і з тих пір він не втрачав уваги, поряд з питаннями університетського викладання, і запитів шкільного життя. Постійно керуючи прийомними іспитами до університету, М. І. Лобачевський чудово знав, з якими знаннями школяр того часу приходив до вищого навчального закладу. Цікавлячись всією лінією розвитку людини - від дитячого до пізнього юнацького віку, - він вимагав від виховання дуже багато, і ідеал людської особистості, що малювався перед ним, був дуже високий. Мова М. І. Лобачевського " Про найважливіші предмети виховання " є чудовим пам'ятником як педагогічної думки, але, якщо можна так висловитися, тієї " виховної емоції " , того педагогічного пафосу, без яких сама педагогічна діяльністьперетворюється на мертве ремесло. Сам М. І. Лобачевський володів повною мірою різноманітністю і широтою життєвих інтересів, що входили до його ідеалу гармонійно розвиненої людської особистості. Звичайно, він багато чого вимагав від молодої людини, яка прийшла до університету вчитися. Він насамперед вимагає від нього, щоб він був громадянином, "який високими знаннями становить честь і славу своєї батьківщини", тобто ставить перед ним високий і відповідальний патріотичний ідеал, заснований, зокрема, на високій кваліфікації в межах обраної професії. Але далі підкреслює, що "одна освіта розумова не довершує ще виховання", і висуває великі вимоги до інтелігентній людиніяк до повноцінного представника інтелектуальної, етичної та естетичної культури. М. І. Лобачевський був як теоретиком виховання, а й насправді вихователем, вчителем молоді. Він був не тільки професором, що блискуче і ретельно читав свої лекції, але й людиною, яка знала пряму дорогу до юнацького серця і вміла у всіх випадках, коли це потрібно було, знаходити ті найпотрібніші слова, які здатні були діяти на студента, що збився з шляху, повернути його працювати, дисциплінувати його. Авторитет М. І. Лобачевського у студентському середовищі був надзвичайно високий. Студенти любили Миколу Івановича, незважаючи на строгість його як професора та, зокрема, як екзамінатора, незважаючи на гарячість, а іноді й різкість.
М. І. Лобачевський, ймовірно, найбільша людина, висунута майже двохсотрічною славною історією російських університетів. Якби він не написав жодного рядка самостійних наукових досліджень, ми, проте, мали б з вдячністю згадати про нього як про чудового нашого університетського діяча, як про людину, яка високим званням професора і ректора університету дала таку повноту змісту, якою їм не надавав ніхто інший із осіб, які носили ці звання до нього, у його час або після його смерті. Але М. І. Лобачевський, крім того, був ще й геніальним ученим, і не будь він таким, не май він, поряд з усіма своїми іншими обдаруваннями, ще й першокласного творчого дару і творчого досвіду, він і в галузі університетського викладання, і університетського керівництва, і самої своєї виховної діяльності було б бути тим, ким він насправді був.
Основна наукова заслуга М. І. Лобачевського у тому, що він уперше остаточно вбачав логічну недоказність евклідової аксіоми паралельних і зробив із цієї недоказності всі основні математичні висновки. Аксіома паралельних, як відомо, говорить: у цій площині до цієї прямої можна через дану, не лежачу на цій прямій, точку провести тільки одну паралельну пряму. На відміну від інших аксіом елементарної геометрії, аксіома паралельних не має властивість безпосередньої очевидності, хоча б уже по одному тому, що є висловлюванням про всю нескінченну пряму в цілому, тоді як у нашому досвіді ми стикаємося лише з більшими або меншими "шматками" (відрізками ) Прямих. Тому протягом усього історії геометрії - від давнини до першої чверті минулого століття - мали місце спроби довести аксіому паралельних, тобто вивести її з інших аксіом геометрії. З таких спроб почав і М. І. Лобачевський, який прийняв протилежне цій аксіомі припущення, що до цієї прямої через цю точку можна провести принаймні дві паралельні. М. І. Лобачевський прагнув привести це припущення до протиріччя. Однак у міру того, як він розгортав із зробленого ним припущення та сукупності інших аксіом Евкліда все більш і більш довгий ланцюг наслідків, йому ставало дедалі ясніше, що ніякої суперечності не тільки не виходить, а й не може вийти. Замість протиріччя М. І. Лобачевський отримав хоч і своєрідну, але логічно цілком струнку і бездоганну систему речень, систему, що має таку ж логічну досконалість, що й звичайна геометрія евклідова. Ця система пропозицій і становить так звану неевклідову геометрію чи геометрію Лобачевського.
Отримавши переконання в несуперечності побудованої ним геометричної системи, М. І. Лобачевський суворого підтвердження цієї несуперечності не дав, та й міг дати, оскільки таке підтвердження виходило межі методів математики початку в XIX ст. Доказ несуперечності геометрії Лобачевського дали лише наприкінці минулого століття Келі, Пуанкаре та Клейн.
Не дав формального докази логічної рівноправності своєї геометричної системи зі звичайною системою Евкліда, М. І. Лобачевський по суті цілком розумів безперечність самого факту цієї рівноправності, з повною визначеністю висловивши, що при логічній бездоганності обох геометричних систем питання про те, яка з них здійснюється в фізичному світі, може бути вирішений лише досвідом. Н. І. Лобачевський був першим, хто глянув на математику як на досвідчену науку, а не як на абстрактну логічну схему. Він був першим, хто ставив досліди для виміру суми кутів трикутника; першим, хто зумів відмовитися від тисячолітнього забобону апріорності геометричних істин. Відомо, що він любив часто повторювати слова: "Залиште працювати даремно, намагаючись витягти з одного розуму всю мудрість, питайте природу, вона зберігає всі таємниці і на Ваші запитання буде Вам відповідати неодмінно і задовільно". На думку М. І. Лобачевського сучасна наука вносить лише одну поправку. Питання про те, яка геометрія здійснюється у фізичному світі, не має того безпосереднього наївного сенсу, який йому надавався за часів Лобачевського. Адже найголовніші поняття геометрії - поняття точки і прямої, народившись, як і все наше пізнання, з досвіду, не є, тим не менш, безпосередньо даними нам у досвіді, а виникли лише шляхом абстракції від досвіду, як наші ідеалізації дослідних даних, ідеалізації, що тільки й дають можливість додатку математичного методудля вивчення дійсності. Щоб пояснити це, вкажемо лише, що геометрична пряма, вже через одну свою нескінченність, не є - у тому вигляді, як вона вивчається в геометрії, - предметом нашого досвіду, а лише ідеалізацією безпосередньо сприйманих нами дуже довгих і тонких стрижнів або світлових променів . Тому неможлива остаточна дослідна перевірка аксіоми паралельних Евкліда чи Лобачевського, як неможливе й абсолютно точне встановлення суми кутів трикутника: всі виміри будь-яких фізичних даних нам кутів завжди лише приблизні. Ми можемо лише стверджувати, що геометрія Евкліда є ідеалізацією дійсних просторових співвідношень, що цілком задовольняє нас, поки ми маємо справу з "шматками простору не дуже великими і не дуже малими", тобто поки ми не виходимо ні в ту, ні в іншу бік занадто далеко за межі наших звичайних, практичних масштабів, поки ми, з одного боку, скажімо, залишаємося в межах сонячної системи, а з іншого, - не поринаємо надто в глиб атомного ядра.
Становище змінюється, коли ми переходимо до космічних масштабів. Сучасна загальна теорія відносності розглядає геометричну структуру простору як щось залежить від чинних у цьому просторі мас і приходить до необхідності залучати геометричні системи, що є "неевклідовими" в набагато складнішому значенні цього слова, ніж той, що пов'язується з геометрією Лобачевського.
Значення самого факту створення неевклідової геометрії для всієї сучасної математики та природознавства колосальне, і англійський математик Кліффорд, який назвав М. І. Лобачевського "Коперником геометрії", не впав у перебільшення. М. І. Лобачевський зруйнував догму " нерухомої, єдино істинної евклідової геометрії " як і, як Коперник зруйнував догму про нерухомої, що становить непорушний центр Всесвіту - Землі. Н. І. Лобачевський переконливо показав, що наша геометрія є однією з кількох логічно рівноправних геометрій, однаково бездоганних, однаково повноцінних логічно, однаково істинних як математичні теорії. Питання, яка з цих теорій істинна у фізичному значенні слова, т. е. найбільш пристосована до вивчення тієї чи іншої кола фізичних явищ, є саме питання фізики, а не математики, і до того ж питання, вирішення якого не дано раз і назавжди евклідовою геометрією, а залежить від того, яке обране нами коло фізичних явищ. Єдиним, правда значним, привілеєм евклідової геометрії залишається при цьому те, що вона продовжує бути математичною ідеалізацією нашого повсякденного просторового досвіду і тому, звичайно, зберігає своє основне становище як у значній частині механіки та фізики, так, тим більше, у всій техніці. Але філософської та математичної значущості відкриття М. І. Лобачевського ця обставина, звичайно, не в силах применшити.
Такими є коротко основні лінії різнобічної культурної діяльності Миколи Івановича Лобачевського. Залишається сказати ще кілька слів про останніх рокахйого життя. Якщо 20-ті та 30-ті роки ХІХ ст. були періодом вищого розквіту як творчої, так і науково-педагогічної та організаційної діяльності М. І. Лобачевського, то з середини сорокових років і до того ж зовсім раптово для М. І. Лобачевського настає період бездіяльності та старечого догоряння. Основною подією, яка принесла з собою цей трагічний перелом у житті М. І. Лобачевського, було звільнення його 14 серпня 1846 р. з посади ректора. Це звільнення відбулося без бажання М. І. Лобачевського та всупереч клопотанням ради університету. Майже одночасно відбулося і звільнення його з посади професора математики, отже з весни 1847 р. М. І. Лобачевський виявився відстороненим фактично від своїх обов'язків з університету. Це усунення мало всі риси грубої службової дискваліфікації, що межувала з прямим образою.
Цілком зрозуміло, що Н. І. Лобачевський, для якого його робота на університетській ниві була великою і незамінною частиною його життя, сприйняв свою відставку як важкий, непоправний удар. Особливо важким був цей удар, звичайно, тому, що він вибухнув на той час життя М. І. Лобачевського, коли його творча наукова роботабула переважно вже завершена і, отже, університетська діяльність ставала основним змістом його життя. Якщо до цього додати виключно активний характер М. І. Лобачевського і створену десятиліттями звичку його бути в організаційних справах керівником, а не рядовим учасником, звичку, на яку він воістину мав право, то розміри катастрофи, що спіткало його, стануть цілком ясними. Особисті прикрості доповнили чашу: помер улюблений син М. І. Лобачевського, дорослий юнак, за свідченням сучасників, дуже схожий на батька та зовнішністю та характером. З цим ударом М. І. Лобачевський ніколи не зміг впоратися. Почалася старість - передчасна, але тим більше гнітюча, з ознаками, що посилювалися, парадоксально раннього постаріння. Його здоров'я швидко йшло на спад. Він почав втрачати зір і до кінця свого життя зовсім осліп. Останній твір "Пангеометрія" був їм уже продиктований. Розбитий життям, хворий, сліпий старий, він помер 24 лютого 1856 року.
Як вчений М. І. Лобачевський є у сенсі слова революціонером у науці. Вперше пробивши пролом у уявленні про евклідову геометрію як єдино-мислиму систему геометричного пізнання, єдино-мислиму сукупність пропозицій про просторові форми, М. І. Лобачевський не знайшов не тільки визнання, але навіть простого розуміння своїх ідей. Потрібно було півстоліття для того, щоб ці ідеї увійшли в математичну науку, стали невід'ємною її складовою і стали тим поворотним пунктом, який визначив значною мірою весь стиль математичного мислення наступної епохи і з якого, власне, починається російська математика. Тому за свого життя М. І. Лобачевський потрапив у важке становище "невизнаного вченого". Але це невизнання не зламало його духа. Він знайшов вихід у тій різноманітній, кипучій діяльності, яка швидко окреслена вище. Сила особи Лобачевського перемогла не тільки над усіма труднощами похмурого часу, в який він жив, перемогла вона і над тим, що для вченого, можливо, найважче пережити: над ідейною ізоляцією, над повним нерозумінням того, що йому було дорожче і найпотрібніше - його наукових відкриттівта ідей. Втім, не слід звинувачувати його сучасників, серед яких були й великі вчені, що вони не зрозуміли Лобачевського. Його ідеї далеко випередили його час. З іноземних математиків лише знаменитий Гаус зрозумів ці ідеї. Але, володіючи ними, Гаус ніколи не мав мужності публічно заявити про це. Однак він зрозумів та оцінив Лобачевського. Йому належить ініціатива в єдиній науковій почесті, що випала на частку Лобачевського: за поданням Гауса Лобачевський був обраний в 1842 р. членом-кореспондентом Геттінгенського королівського товариства наук.
Якщо право на безсмертя в історії науки М. І. Лобачевський, безсумнівно, завоював своїми геометричними роботами, то не слід все ж забувати, що і в інших галузях математики він опублікував ряд блискучих робіт з математичного аналізу, алгебри та теорії ймовірностей, а також механіки, фізики та астрономії.
Ім'я М. І. Лобачевського увійшло скарбницю світової науки. Але геніальний вчений завжди почував себе борцем за російську національну культуру, Щоденним будівельником її, що живе її інтересами, хворіє її потребами.
Найголовніші праці М. І. Лобачевського:Повне зібрання творів з геометрії, Казань, 1833, т. I (містить: Про початки геометрії, 1829; Уявна геометрія, 1835; Застосування уявної геометрії до деяких інтегралів, 1836; Нові початки геометрії з повною теорією88; 1886, т. II (містить твори іноземними мовами, зокрема: Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien, 1840, у яких М. І. Лобачевський виклав свої ідеї про неевклідову геометрію); Геометричні дослідження про теорію паралельних ліній (російський переклад А. В. Лєтнікова знаменитого мемуару Н. І. Лобачевського Geometrische Untersuchungen...), "Математична збірка", М., 1868, III; Пангеометрія, "Вчені записки Казанського університету", 1855; Повне зібрання творів, М. - Л., Гостехіздат, 1946.
Про М. І. Лобачевського:Янішевський Є.,Історична записка про життя та діяльність Н. І. Лобачевського, Казань, 1868; Васильєв А. В.,Микола Іванович Лобачевський, Спб., 1914; Синцов Д. М.,Микола Іванович Лобачевський, Харків, 1941; Микола Іванович Лобачевський (до 150-річчя від дня народження; статті П. С. Александрова та А. Н. Колмогорова), М. - Л., 1943; Микола Іванович Лобачевський (статті Б. Л. Лаптєва, П. А. Широкова, Н. Г. Чеботарьова), вид. АН СРСР, М. – Л., 1943; Каган Ст Ф.,Великий вчений Н. І. Лобачевський та його місце у світовій науці, М. - Л., 1943; його ж, Н. І. Лобачевський, вид. АН СРСР, М.-Л., 1944.
Микола Іванович Лобачевський – видатний російський математик, протягом чотирьох десятків років – ректор активіст народної освіти, засновник неевклідової геометрії.
Це людина, яка на кілька десятків років випередила свій час і залишилася незрозумілою сучасниками.
Біографія Лобачевського Миколи Івановича
Микола народився 11 грудня 1792 року у незаможній сім'їдрібного чиновника Івана Максимовича та Параски Олександрівни. Місце народження математика Миколи Івановича Лобачевського – Нижній Новгород. У 9-річному віці, після смерті батька, він був перевезений матір'ю до Казані і в 1802 прийнятий до місцевої гімназії. Після її закінчення в 1807 Микола став студентом щойно заснованого Казанського Імператорського університету.
Під опікою М. Ф. Бартельса
Особливу любов до фізико-математичних наук майбутньому генію зумів прищепити Григорій Іванович Карташевський - талановитий викладач, який глибоко знав і цінував свою справу. На жаль, наприкінці 1806 року через розбіжності з керівництвом університету «за вияв духу непокори та незгоди» його було звільнено з університетської служби. Курси з математики став вести Бартельс - учитель та друг знаменитого Карла Фрідріха Гауса. Прибув у 1808 році до Казані, він узяв участь над здібним, але бідним студентом.
Новий викладач схвалив успіхи Лобачевського, який під його наглядом вивчив такі класичні праці, як «Теорія чисел» Карла Гауса та «Небесна механіка» французького вченого П'єра-Симона Лапласа. За непокору, завзятість та ознаки безбожжя на старшому курсі над Миколою нависла ймовірність відрахування. Саме заступництво Бартельса посприяло відведенню небезпеки, що нависла над обдарованим студентом.
у житті Лобачевського
У 1811 році, після закінчення Микола Іванович, коротка біографія якого викликає щирий інтерес у молодого покоління, був затверджений магістром з математики та фізики та залишений при навчальному закладі. Два наукові дослідження - з алгебри та механіки, представлені в 1814 (раніше терміну), зумовили його зведення в ад'юнкт-професори (доценти). Далі Лобачевський Микола Іванович, досягнення якого згодом будуть правильно оцінені нащадками, сам почав займатися викладанням, поступово збільшуючи коло курсів (математика, астрономія, фізика) і серйозно замислюючись про перебудову математичних почав.
Студенти любили й високо оцінювали лекції Лобачевського, який уже через рік удостоївся звання екстраординарного професора.
Нові порядки Магницького
З метою придушення вільнодумства та революційного настрою у суспільстві уряд Олександра І став спиратися на ідеологію релігії з її містико-християнськими навчаннями. Першими кардинальними перевірками зазнали університети. У березні 1819 року в Казані з ревізією прибув М. Л. Магніцький - представник головного правління училищ, який дбає виключно про свою кар'єру. За результатами його перевірки стан справ в університеті виявився вкрай жалюгідним: недостатня вченість вихованців цього закладу спричиняла заподіяння шкоди суспільству. Тому університет потрібно знищити (публічно зруйнувати) - з метою повчального прикладу для інших.
Однак Олександром І було прийнято рішення виправити ситуацію руками цього ж перевіряючого, і Магницький з особливою запопадливістю почав «наводити порядки» у стінах закладу: усунув від роботи 9 професорів, ввів найсуворішу цензуру лекцій та суворий казармовий режим.
Широка діяльність Лобачевського
Біографія Миколи Івановича Лобачевського описує складний період встановленої в університеті церковно-поліцейської системи, який тривав протягом 7 років. Витримати нелегкі випробування допомогла сила непокірного духу та абсолютна зайнятість вченого, яка не залишала жодної хвилини вільного часу.
Микола Іванович Лобачевський заміняв Бартельса, який залишив стіни університету, і викладав на всіх курсах математику, також завідував фізичним кабінетом та читав даний предмет, навчав студентів астрономії та геодезії, поки І. М. Симонов перебував у навколосвітній подорожі. Величезну працю було вкладено їм у порядок упорядкування бібліотеки, а особливо наповнення її фізико-математичної частини. Принагідно математик Микола Іванович Лобачевський, будучи головою будівельного комітету, керував зведенням головного корпусу університету і деякий час обіймав посаду декана фізико-математичного факультету.
Неєвклідова геометрія Лобачевського
Колосальна кількість поточних справ, широка педагогічна, адміністративна та дослідницька робота не стали перешкодою для творчої діяльностіматематика: з-під його пера вийшли 2 підручники для гімназій - «Алгебра» (засуджена за застосування та «Геометрія» (зовсім не опублікована). З боку Магницького за Миколою Івановичем було встановлено суворий нагляд, через прояв ним зухвалість та порушення встановлених інструкцій Однак і в цих умовах, що діють принизливо на людську гідність, Лобачевський Микола Іванович наполегливо працював над суворою побудовою геометричних основ, результатом яких стало відкриття вченим нової геометрії, здійснене на шляхах кардинального перегляду понять епохи Евкліда (ІІІ століття до н.е.).
Взимку 1826 року російським математиком було здійснено доповідь про геометричні засади, передано на відкликання декільком іменитим професорам. Однак очікуваної рецензії (ні позитивної, ні навіть негативної) не надійшло, а рукопис цінної доповіді до наших часів не дійшов. Цей матеріал вчений включив у свою першу працю «Про засади геометрії», надруковану в 1829-1830 роках. у «Казанському віснику». Крім викладу важливих геометричних відкриттів, Микола Іванович Лобачевський описав уточнене визначення функції (чітко розмежовуючи її безперервність та диференційність), незаслужено приписане німецькому математику Діріхлі. Також вченим були зроблені ретельні дослідження тригонометричних рядів, оцінені через кілька десятиліть. Талановитий математик є автором методу чисельного розв'язання рівнянь, який згодом несправедливо отримав назву «метод Греффе».
Лобачевський Микола Іванович: цікаві факти
Ревізора Магницького, який кілька років наводив страх своїми діями, чекала незавидна доля: за безліч зловживань, виявлених спеціальною ревізійною комісією, він був зміщений з поста і висланий на заслання. Черговим піклувальником навчального закладу було призначено Михайла Миколайовича Мусін-Пушкін, який зумів гідно оцінити активну діяльністьМиколи Лобачевського та рекомендував його на посаду ректора Казанського університету.
Протягом 19 років, починаючи з 1827 року, Лобачевський Микола Іванович (фото пам'ятника в Казані див. вище) старанно працював на цій посаді, домагаючись світанку свого улюбленого дітища. На рахунку Лобачевського – явне покращення рівня науково-навчальної діяльності загалом, будівництво величезної кількості службових будівель (фізичний кабінет, бібліотека, хімічна лабораторія, астрономічна та магнітна обсерваторія, механічні майстерні). Також ректор є засновником суворого наукового журналу «Вчені записки Казанського університету», який замінив «Казанський вісник» та вперше опублікований у 1834 році. Паралельно з ректорством упродовж 8 років Микола Іванович керував бібліотекою, займався викладацькою діяльністю, писав повчання вчителям математики.
До заслуг Лобачевського не можна не віднести його щиру серцеву турботу про університет та його учнів. Так, у 1830 році він зумів ізолювати навчальну територію та провести досконалу дезінфекцію, щоб урятувати від епідемії холери колектив навчального закладу. Під час страшної пожежі в Казані (1842) зумів врятувати практично всі навчальні будівлі, астрономічні інструменти і бібліотечний матеріал. Також Микола Іванович відкрив широким масам вільне відвідування університетської бібліотеки та музеїв та організував заняття науково-популярної тематики для населення.
Завдяки неймовірним зусиллям Лобачевського авторитетний, першокласний, чудово оснащений Казанський університет став одним із найкращих навчальних закладів у Росії.
Нерозуміння та неприйняття ідей російського математика
Весь цей час математик не зупинявся в дослідженнях, спрямованих на розвиток нової геометрії. На жаль, його ідеї - глибокі та свіжі, настільки йшли врозріз із загальноприйнятими аксіомами, що сучасники не зуміли, а можливо, і не захотіли гідно оцінити праці Лобачевського. Нерозуміння і, можна сказати, певною мірою знущання не зупинили Миколу Івановича: у 1835 році він опублікував «Уявну геометрію», а через рік - «Застосування уявної геометрії до деяких інтегралів». Через три роки світло побачило найбільш велику працю «Нові засади геометрії з повною теорією паралельних», в якій містилося лаконічне, гранично ясне пояснення його ключових ідей.
Тяжкий період у житті математика
Не отримавши розуміння на рідній землі, Лобачевський вирішив обзавестися однодумцями за її межами
У 1840 році Лобачевський Микола Іванович (фото див. в огляді) надрукував свою працю з чітко викладеними основними ідеями німецькою мовою. Один екземпляр цього видання був вручений Гаусс, який і сам негласно займався неевклідовою геометрією, але так і не ризикнув виступити публічно зі своїми думками. Ознайомившись із працями російського колеги, німець порекомендував обрати російського колегу в Геттінгенське королівське суспільство як член-кореспондент. Хвалебно про Лобачевського Гаусс відгукувався лише у щоденниках і серед найдовіреніших людей. Обрання Лобачевського таки відбулося; сталося це в 1842 році, проте положення російського вченого воно ніяк не покращило: йому залишалося працювати в університеті ще 4 роки.
Уряд Миколи І не захотів оцінити багаторічні праці Лобачевського Миколи Івановича та у 1846 році усунув його від роботи в університеті, офіційно назвавши причину: різке погіршення здоров'я. Формально колишньому ректору було запропоновано посаду помічника піклувальника, однак без призначення платні. Незадовго до зняття з посади та позбавлення професорської кафедри Лобачевський Микола Іванович, коротка біографія якого і сьогодні вивчається у навчальних закладах, рекомендував замість себе викладача Казанської гімназії А. Ф. Попова, який добре захистив докторську дисертацію. Микола Іванович вважав за необхідне дати правильну дорогу в житті молодому здібному вченому і знаходив недоречним займати кафедру за таких обставин. Але, втративши все одразу і опинившись у зовсім непотрібній для себе посаді, Лобачевський втратив можливість не лише керувати університетом, а й хоч якось брати участь у діяльності навчального закладу.
У сімейному житті Лобачевський Микола Іванович з 1832 року був одружений з Варварою Олексіївною Моїсеєвою. У цьому шлюбі народилися 18 дітей, але вижили всього лише семеро.
Останні роки життя
Примусове відсторонення від справи всього його життя, неприйняття нової геометрії, груба невдячність сучасників, різке погіршення матеріального становища (через розорення маєток дружини було продано за борги) та сімейне горе (втрата у 1852 році старшого сина) руйнівним чином позначились на фізичному та духовному Російського математика: він помітно змарнів і став втрачати зір. Але й осліплий Микола Іванович Лобачевський не припиняв відвідувати іспити, приходив на урочисті події, брав участь у вчених диспутах і продовжував працювати на благо науці. Головний працю російського математика «Пангеометрія» було записано учнями під диктування осліплого Лобачевського протягом року до смерті.
Лобачевський Микола Іванович, відкриття в геометрії якого були оцінені лише через десятки років, був не єдиним дослідником нової галузі математики. Угорський вчений Янош Бойяї, незалежно від російського колеги, виніс на суд колег у 1832 році своє бачення неевклідової геометрії. Проте та його праці були оцінені сучасниками.
Життя видатного вченого, цілком присвячене російській науці та Казанському університету, закінчилося 24 лютого 1856 року. Поховали Лобачевського, так і не визнаного за життя, у Казані, на Арському цвинтарі. Лише після кількох десятиліть обстановка у науковому світі змінилася кардинально. Величезну роль у визнанні та прийнятті праць Миколи Лобачевського відіграли дослідження Анрі Пуанкаре, Еудженіо Бельтрамі, Фелікса Клейна. Розуміння того, що у евклідової геометрії з'явилася повноцінна альтернатива, суттєво вплинуло на науковий світ та надало стимул іншим сміливим ідеям у точних науках.
Місце і дата народження Миколи Івановича Лобачевського відомі багатьом сучасникам, які стосуються точних наук. На честь Миколи Івановича Лобачевського отримав назву кратер на Місяці. Ім'я великого російського вченого носить наукова бібліотекауніверситету в Казані, якому він присвятив величезний шматок свого життя. Також вулиці Лобачевського є у багатьох містах Росії, зокрема у Москві, Казані, Липецьку.
Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче
Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.
Розміщено на http://www.allbest.ru/
Ухтинський державний технічний університет, м. Ухта
Життя Н.І. Лобачевського та його наукова діяльність
"Іноді людині віддають належне, навіть якщо вона не брала в борг."
Микола Іванович Лобачевський народився 1792 року в Нижньому Новгороді. Микола Іванович мав старших і молодших братів. Батько Миколи – Іван Максимович Лобачевський працював чиновником у Нижньому Новгороді. Дружина його - Параска Олександрівна була дочкою міщан, що бідують, більше про неї нічого невідомо. Батьки Миколи одружилися у молодому віці, обом ще не було вісімнадцяти на момент весілля. Незабаром після переїзду батько майбутнього великого вченого помирає у віці 40 років і залишає свою сім'ю у скрутному фінансовому становищі. Проте виховувалися брати Лобачевські в будинку землеміра Сергія Степановича Шебаршина, і не бідували. У 1802 році Параска Олександрівна віддає синів у Казанську гімназію, на казенне утримання. Спочатку програма Університету мало чим відрізнялася від гімназійської, але ситуація змінилася на краще в 1808 з приїздом відомих іноземних вчених Каспара Реннера, професора математики, Мартіна Бартельса, теж професора математики, який був вчителем і другом Карла Гауса. Останній і прищепив Лобачевського інтерес до геометрії. Вже в 19 років Микола Іванович отримав ступінь магістра і був залишений при університеті для підготовки до отримання професорського звання. Цього ж року вони разом із М. Бартельсом вивчають поглиблено класичні праці Гауса та Лапласа: ”Теорію Чисел” та перші томи ”Небесної механіки”. Вивчення цих робіт підштовхнуло Лобачевського на початок власних досліджень. 1811 року він публікує ”Теорію про еліптичний рух тіл” і 1813 - ”Про дозвіл алгебраїчного рівняння x m? 1 = 0”. У 1814 році розпочинає викладацьку діяльність.
Неевклідова Геометрія - головна праця життя Лобачевського, науковий подвиг, вплинув на подальший розвиток математики та математичного мислення. Першу працю, що стосується цієї теми, Лобачевський опублікував вже будучи ректором Казанського Університету, в 1826 році ”Стислий виклад основ геометрії зі суворим доказом теорем про паралельні”. Лобачевський був першим вченим, який представив громадськості праці на цю тему. Інші вчені теж займалися цією проблемою, але Лобачевський зробив найбільший внесок у її рішення, тому створена ним геометрія носить його ім'я. Також, серед опублікованих праць вченого: "Про початки геометрії" (1829-1830), "Уявна геометрія" (1835), "Застосування уявної геометрії до деяких інтегралів" (1836), "Нові початку геометрії з повною теорією паралельних" 1838), "Геометричні дослідження з теорії паралельних ліній" (1840). В основі математичної дисципліни лежить система постулатів та аксіом. Геометрія Лобачевського не є винятком. Лобачевський приймає всі аксіоми і постулати, запропоновані геометрією Евкліда і які не залежать від V постулату, а V постулат замінює своїм: ”На площині через точку, що не лежить на прямій, можна провести більше однієї прямої, яка не перетинає дану”.
Дві граничні прямі xx" та yy" (рис. 1) не перетинають прямий R і називаються паралельними їй у точці P.
· Всі прямі, що знаходяться всередині кута xPy, перетинають пряму R. PB - перпендикуляр до прямої R.
· Кут називається кутом паралельності.
· Прямі, що знаходяться всередині кутів xPy" і yPx" не перетинають пряму R-називаються розходяться з прямою R.
У цьому полягає головна відмінність геометрії Лобачевського від евклідової геометрії. Важливо також зазначити, що у геометрії Лобачевського:
1) Сума кутів трикутника завжди менше 2d (двох прямих)
2) Немає подібних фігур.
3) Одиниця довжини задається деякою геометричною побудовою, тобто сам простір своїми геометричними властивостямивизначає ту чи іншу одиницю довжини.
4) Задається напрямок паралельності.
Простір, у якому передбачається виконання аксіоми Лобачевського, називається простором Лобачевського. Взаємне розташуванняПрямих і площин у просторі характеризується за допомогою конуса паралельності, що є аналогом поняття кута паралельності. Нехай дана площина Альфа і точка P (рис.2), PP" - перпендикуляр до Альфа. Pb - пряма, паралельна площині Альфа і P"B" - її проекція на цю площину. Тоді кут bPP" є кут паралельності у точці P щодо P"B". Повертатимемо пряму Pb навколо перпендикуляра PP", і тоді Pb опише конічну поверхню з вершиною в точці P. Ця поверхня називається конусом паралельності. Таким чином, усі утворюючі цього конуса - паралельні площині альфа. Будь-яка пряма, що проходить через точку P всередині конуса перетинає площину альфа, що проходить поза конусом - розходиться з альфа.
· Будь-яка площина, що перетинає конус по двох утворюючих перетинає Альфа.
· Будь-яка площина, що проходить по одній утворює конуса паралельна Альфа.
· Будь-яка площина, що перетинає лише вершину конуса - називається розходиться з площиною Альфа.
Вперше реалізацію геометрії Лобачевського на поверхнях встановив італійський математик Бельтрамі 1868 р. (рис. 3). Він зауважив, що геометрія на шматку площини Лобачевського збігається з геометрією на поверхнях постійної негативної кривизни. найпростіший прикладяких є псевдосфера. Однак тут дається лише локальна інтерпретація геометрії, тобто на обмеженій ділянці, а не по всій площині Лобачевського.
Через три роки, в 1871, німецький математик Клейн прийшов до іншої, повноцінної моделі (рис. 4). Площиною в ній служить начинка кола, прямий - хорда, виключаючи кінці, точкою - точка всередині кола. Приналежність між ними розуміється у звичайному евклідовому сенсі, проте, V постулат Евкліда тут не виконується, а виконується саме аксіома Лобачевського: через точку P проходить нескінченно багато прямих, не перетинають пряму a. Також виконуються всі наслідки аксіоми.
У 1882 р. була представлена ще одна модель геометрії Лобачевського, французьким математиком Пуанкаре (рис. 5). Роль площини Лобачевського грає відкрита напівплощина P, роль прямих виконують півкола, що містяться в ній, з центрами на обмежуючій прямій p, і промені, перпендикулярні цій прямій. Точка "прямий" служить початком двох променів, двох дуг півкола (з виключеними кінцями). Пряма, що обмежує, також виключена. Кутом назвемо фігуру з двох променів із загальним початком, які не містяться в одній прямій. Напівпрямі, перпендикулярні граничній прямій є межами розглянутих півкола (див. рис. б). Коли центр півкола видаляється по прямій, що обмежує, а півколо проходить через точку, то в межі вона "розпрямляється" і стає також напівпрямою. Тому як прямі в цій моделі розглядаються півкола нескінченного радіусу. Всі аксіоми геометрії Евкліда тут виконуються, крім аксіоми паралельних. Тим самим у цій моделі виконується геометрія Лобачевського. Можна будувати аналітичну модель геометрії, представляючи точки координатами і висловлюючи відстань формулою координатах. Таку модель геометрії Лобачевського дав німецький математик Ріман як окремий випадок загальної визначеної ним геометрії, званої тепер ріманової.
Наукові ідеї Лобачевського не були зрозумілі більшістю сучасників, і після публікації першої роботи з ”уявної геометрії” Микола Іванович зазнав найжорстокішого цькування на батьківщині. Єдиним прижиттєвим визнанням його наукових заслуг стало обрання в Геттінгенське королівське наукове товариство завдяки рекомендаціям Гауса. Проте Лобачевський не здавався, і до кінця життя вірив, що торжество його ідей неминуче. У 1855 році він, втративши зір через важкі переживання і постійну розумову напругу, диктує своє останній твір”Пангеометрія”. Наступного року він помер. Однак, після смерті Лобачевського, його ідеї привернули увагу наукових кіл, і стали потужним стимулом до перегляду поглядів на підстави геометрії. Його геометрія знайшла застосування у загальній та спеціальній теорії відносності, у теорії чисел (у її геометричних методах). Геометрія Лобачевського має також і філософське значення, оскільки розширює наші уявлення про будову миру та простору. На даний момент є чимало наукових творів, присвячених геометрії Лобачевського як у вітчизняній літературі, так і в зарубіжній. Вивчення геометрії Лобачевського входить до обов'язкової частини програми математичних відділень більшості наших ВНЗ та всіх педагогічних інститутів – ознайомлення з основами цієї геометричної системи вважається необхідною частиною підготовки майбутнього вчителя середньої школи. У шкільних математичних гуртках також широко культивуються заняття геометрією Лобачевського.
геометрія еліптичний лобачівський
Список використаної літератури
1) Геометрія Лобачевського [Електронний ресурс]:
http://en.wikipedia.org/wiki/Lobachevskian_geometry
2) Геометрія Лобачевського [Електронний ресурс]:
http://geom.kgsu.ru/index.php
3) Лобачевський, Микола Іванович [Електронний ресурс]:
http://en.wikipedia.org/wiki/Nikolai_Lobachevsky
4) Модель Пуанкаре [Електронний ресурс]:
http://geometrie.ru/site/lobachevskiy/m1.htm
5) Широков П. А. Короткий нарис основ геометрії Лобачевського [текст]: /П. А. Широков – 2-е видання – М.: Наука, 1983 – 80 с.
Розміщено на Allbest.ru
...Подібні документи
Походження Неевклідової геометрії. Виникнення "геометрії Лобачевського". Аксіоматика планиметрії Лобачевського. Три моделі геометрії Лобачевського. Модель Пуанкаре та Клейна. Показ геометрії Лобачевського на псевдосфері (інтерпретація Бельтрамі).
реферат, доданий 06.03.2009
Біографія Н.І. Лобачевського. Діяльність Лобачевського щодо організації друкованого університетського органу та його спроби заснувати при університеті Наукове товариство. Історія визнання геометрії Н.І. Лобачевського у Росії. Поява неевклідової геометрії.
дипломна робота , доданий 14.09.2011
Історія виникнення неевклідової геометрії. Порівняння постулатів паралельності Евкліда та Лобачевського. Основні поняття та моделі геометрії Лобачевського. Дефект трикутника та багатокутника, абсолютна одиниця довжини. Визначення паралельної прямої.
курсова робота , доданий 15.03.2011
коротка біографіяН.І. Лобачевського. Історія відкриття неевклідової геометрії. Основні факти та несуперечність геометрії Лобачевського, її значення та застосування в математиці та фізиці. Шлях визнання ідей Н.І. Лобачевського в Росії та за кордоном.
дипломна робота , доданий 21.08.2011
Студентські роки Н.І. Лобачевського. Перші роки викладацької діяльності. Організація друкованого університетського органу. Історія відкриття неевклідової геометрії. Визнання геометрії Н.І. Лобачевського та її застосування в математиці та фізиці.
дипломна робота , доданий 05.03.2011
Геометричні фігури на поверхні сфери. Основні факти сферичної геометрії. Концепція геометрії Лобачевського. Поверхня постійної негативної кривизни. Геометрія Лобачевського в реальному світі. Основні поняття неевклідової геометрії Рімана.
презентація , доданий 12.04.2015
Модель Пуанкаре геометрії Лобачевського: питання її несуперечності. Інверсія, її аналітичне завдання. Перетворення кола та прямої, збереження кутів при інверсії. Інваріантні прямі та кола. Система аксіом геометрії Лобачевського.
дипломна робота , доданий 10.09.2009
Огляд п'яти груп аксіом, на яких ґрунтується планиметрія Лобачевського. Сутність моделі Келі-Клейна у вищій геометрії. Особливості доказу теореми косінусів, теорем про суму кутів трикутника, про четверту ознаку конгруентності трикутників.
курсова робота , доданий 29.06.2013
Біографія російського вченого Н.І. Лобачевського. Система аксіом Гільберта. Паралельні прямі, трикутники та чотирикутники на площині та просторі по Лобачевському. Концепція сферичної геометрії. Доказ теорем на різних моделях.
реферат, доданий 12.11.2010
Вивчення етапів розвитку геометрії – науки, що вивчає просторові відносинита форми, а також інші відносини та форми, подібні до просторових за своєю структурою. Геометрія Стародавнього Єгипту, Греція, середньовіччя. Постулати Н.І. Лобачевського.
М. І. Лобачевський. Його життя та наукова діяльність Литвинова Єлизавета Федорівна
Глава VII
Наукова діяльність Лобачевського. - З історії неевклідової або уявної геометрії. – Участь Лобачевського у створенні цієї науки. – Різні, сучасні погляди на майбутнє неевклідової геометрії та ставлення її до евклідової. – Паралель між Коперником та Лобачевським. – Наслідки із праць Лобачевського для теорії пізнання. – Роботи Лобачевського з чистої математики, фізики та астрономії .
Походження уявної, чи неевклідової, геометрії веде свій початок від постулату Евкліда, з яким ми зустрічаємося у курсі елементарної геометрії. При заняттях геометрією в дитинстві нас дивує звичайно сам постулат, прийнятий без доказу, а заява вчителя, що це спроби довести його досі залишалися безуспішними.
По-перше, нам видається очевидним, що перпендикуляр і похила при достатньому продовженні перетнуться, а по-друге, це здається так легко довести. І важко знайти людину, яка б навчалася геометрії і ніколи не намагалася довести постулат Евкліда. Цьому, можна сказати, спокусі однаково схильні люди талановиті і бездарні, з тією лише різницею, що перші скоро переконуються в неспроможності своїх доказів, а останні завзято упираються у своїй думці. Звідси безліч спроб довести згаданий постулат.
На цьому постулаті, як відомо, побудовано теорію паралельних ліній, на підставі якої доводиться теорема Фалеса про рівність суми кутів трикутника двом прямим кутам. Якби можна було, не вдаючись до теорії паралельних, довести, що сума кутів трикутника дорівнює двом прямим, то з цієї теореми можна було б вивести докази постулату Евкліда, і в такому разі вся елементарна геометрія була б строго дедуктивною наукою.
З історії геометрії відомо, що один перський математик, який жив у середині XIII століття, перший звернув увагу на теорему Фалеса і намагався довести її, не користуючись теорією паралельних. У основіцього доказу, як і у всіх наступних, легко було побачити безмовне припущення того ж постулату Евкліда. З незліченної безлічі наступних спроб такого роду заслуговують на увагу тільки праці Лежандра, який майже півстоліття займався цим питанням.
Лежандр прагнув довести, що сума кутів трикутника може бути ні більше, ні менше двох прямих; з цього, звичайно, слід було б, що вона повинна дорівнювати двом прямим. Нині доказ Лежандра визнано неспроможним. Як би там не було, не досягнувши головної своєї мети, Лежандр багато зробив для викладу геометрії Евкліда в сенсі пристосування її до вимог нового часу, і елементарна геометрія в тому вигляді, в якому проходять її тепер, з усіма її перевагами та недоліками, належить Лежандру .
Італієць-єзуїт Саккері в 1733 році у своїх дослідженнях наближався до ідей Лобачевського, тобто готовий був відкинути постулат Евкліда, але не наважився цього висловити, а прагнув будь-що-будь довестийого, і звичайно, так само безуспішно.
Наприкінці минулого століття в Німеччині геніальний Гаус у 1792 році вперше поставив собі сміливе питання: що станеться з геометрією, якщо відкинути постулат Евкліда? Це питання народилося, можна сказати, разом із Лобачевським, який відповів на нього створенням своєї уявноїгеометрії. Тут видається нам вирішити, чи виникло це питання самостійно в розумі нашого Лобачевського, чи його порушив Бартельс, повідомивши обдарованого учня думку друга свого Гауса, з яким до самого від'їзду в Росію він підтримував діяльні особисті стосунки. Деякі сучасні російські математики, спонукані, мабуть, найкращими почуттями, прагнуть довести, що думка Гаусса виникла у розумі Лобачевського цілком самостійно. Довестице неможливо; всім відомий лист Гаусса, що відноситься до 1799, в якому він говорить: «Можна побудувати геометрію, для якої не має місця аксіома про паралельні лінії».
Пошлемося на слова казанського професора Васильєва, який доказав свою глибоку повагу до заслуг та пам'яті Лобачевського; говорячи про близькі відносини Бартельса з Гауссом, він зауважує:
«Не можна вважати тому надто ризикованим припущення, що Гаусс ділився своїми думками щодо теорії паралельних зі своїм учителем та другом Бартельсом. Чи міг, з іншого боку, Бартельс не повідомити про сміливі погляди Гауса з одного з основних питань геометрії свого допитливого та талановитого казанського учня?» Зрозуміло, не міг.
Але чи все це применшує заслуги Лобачевського? Звичайно, ні.
Праці Лежандра, про які ми згадували, вийшли 1794 року. Вони не задовольнили, але пожвавили інтерес до теорії паралельних, і нам відомо, що в перше двадцятип'ятиріччя нашого століття невпинно з'являлися твори, які стосуються теорії паралельних. За словами професора Васильєва, багато хто з них і досі зберігся в бібліотеці Казанського університету і, як відомо, були придбані самим Лобачевським.
У 1816 році Гаус оцінив таким чином всі ці спроби: «Трохи в галузі математики питань, про які так багато писалося б, як про прогалину в початках геометрії, і все-таки ми повинні зізнатися чесно і відверто, що по суті ми не пішли за дві тисячі років далі від Евкліда. Така відверта і пряма свідомість більш відповідає гідності науки, ніж марні бажання приховати прогалину…»
З усього цього ми бачимо, що в той час, коли Лобачевський вступав на математичну терен, все було підготовлено до вирішення питання про теорію паралельних у тому сенсі, в якому це було зроблено Лобачевським. У 1825 році вийшла теорія паралельних німецького математика Таурінуса, в якій згадується про можливість такої геометрії, в якій постулат Евкліда не має місця. Перший твір Лобачевського, що відноситься до цього предмета, був представлений фізико-математичному факультету в Казані в 1826 році; воно вийшло у світ у 1829 році, а в 1832 році з'явилося зібрання праць угорських учених, батька та сина Боліай, з неевклідової геометрії. Нам відомо, що Боліай-батько був другом Гауса; з цього можна зробити висновок, що йому більш ніж Лобачевському були відомі думки Гауса; Тим часом право громадянства отримала в Західній Європі геометрія Лобачевського. Перша праця Лобачевського, що з'явилася німецькою мовою, заслужила, як ми сказали, схвалення Гауса. З приводу його Гаус писав до Шумахера: «Ви знаєте, що вже п'ятдесят чотири роки, як я поділяю ті самі погляди. Я, власне, не знайшов у творі Лобачевського жодного нового для мене факту; але виклад дуже по-різномувід того, яке япередбачав дати цьому предмету. Автор говорить про предмет як знавець, у істинно-геометричному дусі. Я вважав себе зобов'язаним звернути вашу увагу на цю книгу Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien, читання якої неодмінно принесе вам велике задоволення». Лист цей написано в Геттінгені і відноситься до 1846 року. З нього, однак, не можна зробити висновок, щоб Гаус не знав і раніше від Бартельса про праці Лобачевського. Ми скажемо більше: неможливо допустити, щоб Бартельс промовчав про успіхи свого талановитого учня.
Зі сказаного нами очевидно, що наріжний камінь геометрії Лобачевського – це заперечення постулату Евкліда, без якого геометрія близько двох тисяч років здавалася немислимою. Нам відомо, як міцно завжди трималися люди за спадщину століть і скільки відваги потрібно від людини, яка руйнує вікові помилки. З нарису життя Лобачевського ми бачили, як мало цінували та розуміли його сучасники як вченого. І тепер, через сто років після його народження, у звичайних освічених людях тримається глибоке упередження проти геометрії Лобачевського, якщо їм відомо про її існування. Викласти цю геометрію в популярній формі неможливо, як неможливо пояснити людині, позбавленій слуху, принади солов'їних трелів. Для того щоб зрозуміти значення цієї абстрактної науки, необхідно вміти абстрактно мислити, що дається лише довгими заняттями філософією та математикою. Маючи це на увазі, ми про створену Лобачевським геометрію скажемо тільки те, в чому вона полягає, яке їй приписують значення сучасні вчені, як і ким вона розроблялася після Лобачевського і які ці пізніші праці мали відношення до робіт самого Лобачевського. У всьому цьому читачеві, не посвяченому в таємниці вищої математикидоведеться вірити на слово авторитетам.
У ювілейних промовах і брошурах, присвячених пам'яті Лобачевського, російські математики вжили всі зусилля, щоб роз'яснити громадськості характері й значення наукових заслуг Лобачевського, і, оскільки вони стосувалися переважно уявної геометрії, ми маємо скористатися цими зусиллями. Але, простеживши уважно усні та друковані відгуки освіченої публіки, ми помітили загальну незадоволеність і досить виразно висловлені такі вимоги: для людини, яка знає лише геометрію Евкліда, найважливішим є питання, яке відношення має геометрія Лобачевського до цієюгеометрії. І про цей предмет також йдеться у згаданих промовах, але все ж таки тут, як видно, публіка вимагає прямі відповіді на такі запитання: чи спростовує геометрія Лобачевського геометрію Евкліда, чи замінює її, роблячи зайвою, чи представляє лише узагальнення останньої? Яке вона має відношення до четвертого виміру, який послужив таку службу спіритам? Чи слід Лобачевського вважати, незважаючи на всі його переваги, мрійником у науці, і чому Лобачевського називають Коперником геометрії?
Ми вже казали, що Лобачевський спочатку мав на увазі лише покращити виклад евклідової геометрії, повідомити її початки велику строгість і анітрохи не думав підривати цих початків. Спроби такого сильного розуму, яким мав Лежандр, переконали нарешті справжніх математиків у неможливості довести постулат Евкліда логічно, тобто вивести його з властивостей площини та прямої лінії. Тоді Лобачевському, який взагалі мав схильність до філософії, прийшла думка перевірити, чи підтверджується постулат Евкліда досвідом у межах найбільших доступних нам відстаней.
Зауважимо, що у досвіді він шукав перевірки, ане доказипостулату.
Найбільші доступні людині відстані – це, які дають йому астрономічні спостереження. Лобачевський переконався, що з цих відстаней результати спостережень сумісні з постулатом Евкліда. З цього випливає, що і відсутність логічного доказу цього постулату нітрохи не підриває істинності геометрії для доступнихнам відстаней, а водночас зберігають свою істинність закони механіки та фізики, на ній засновані.
Але людині властиво задаватися думкою: Що там, за межами доступних нам відстаней? Для тих, які ми називаємо нескінченними, чи мають абсолютне значення якості нашого простору?» Ось питання, яке запропонував собі Лобачевський.
Лобачевський побудував свою геометрію логічно, прийнявши відомі нам аксіоми, які стосуються прямої і площині, і припустивши як гіпотезу, що сума кутів трикутника менше двох прямих. Але й при такому припущенні, яке може мати місце лише для просторів, які своїми розмірами значно перевершують нашу сонячну систему, геометрія Лобачевського для доступних нам вимірювань дає ті ж результати, що і геометрія Евкліда. Цілком правильно або, вірніше, ґрунтовно один геометр назвав геометрію Лобачевського зірковийгеометрії. Про нескінченні відстані можна скласти собі поняття, якщо згадати, що існують зірки, від яких світло доходить до Землі тисячі років. Отже, геометрія Лобачевського включає геометрію Евкліда не як приватний,а як особливийвипадок. У цьому вся сенсі першу можна назвати узагальненням геометрії нам відомої. Тепер постає питання, чи належить Лобачевському винахід четвертого виміру? Анітрохи. Геометрія чотирьох і багатьох вимірів була створена німецьким математиком, учнем Гаусса, Ріманном. Вивчення властивостей просторів у загальному виглядістановить тепер неевклідову геометрію, чи геометрію Лобачевського. Простір Лобачевського є простір трьох вимірів,відрізняється від нашого тим, що в ньому немає місця постулат Евкліда. Властивості цього простору нині усвідомлюються при допущенні четвертого виміру. Але цей крок уже належить послідовникам Лобачевського. Тому до неевклідової геометрії примикає і як би продовження її геометрія багатьох вимірів, яка, надаючи велику спільність і абстрактність багатьом питанням геометрії, до того ж час є незамінним посібником у вирішенні багатьох питань аналізу.
Ріманн у трактаті «Про гіпотези, що лежать в основі геометрії» висловив думку, що геометрія Евкліда не становить необхідного наслідку наших понять про простір взагалі, але є результатом досвіду, гіпотез, які знаходять собі підтвердження в межах наших спостережень. Ріманн дав загальні формули, скориставшись якими і застосовуючи які до дослідження так званої псевдосферичної поверхні (бокального вигляду), італійський математик Бельтрамі виявив, що всі властивості ліній та фігур геометрії Лобачевськогоналежать лініям та фігурам на цій поверхні. Ось яке відношення мала геометрія багатьох вимірів до геометрії Лобачевського.
Праці Бельтрамі призвели до таких важливих висновків: 1) геометрія двох вимірівЛобачевського немає уявна геометрія, а має об'єктивне існування і цілком реальний характер; 2) те, що в геометрії Лобачевського відповідає нашій площині, є псевдосферична (бокальна) поверхня, а те, що він називає прямою лінією, – геодезична лінія (найкоротша відстань між двома точками) цієї поверхні.
Існування геометрії двох вимірів, відмінної від нашої планіметрії, легко уявити. Уявимо собі кульову поверхню, еліптичну або якусь увігнуту, і уявімо собі на ній лінії та фігури. Випуклі та увігнуті поверхні називаються кривимиповерхнями.
Наша площина, пряма поверхня, немає кривизни, й у математиці прийнято говорити: кривизна площини дорівнює нулю. Аналогічно цьому наш простір немає кривизни. Криві поверхні мають або позитивну, або негативну кривизну. Бокальна поверхня має негативну кривизну, а еліптична – позитивну. Аналогічно до цього простору Лобачевського приписують негативну кривизну.
Простір Лобачевського, як відрізняється від нашого, не можна собі уявити,воно тільки можливе. Те саме стосується і просторів чотирьох і багатьох вимірів.
До досліджень Рімана тісно примикають праці Гельмгольца, який справедливо каже: «У той час, як Ріман вступив у цю нову галузь знання, вирушаючи від найзагальніших і основних питань, я сам дійшов подібних висновків».
Ріманн виходив у своїх дослідженнях від загального алгебраїчного вираження відстані між двома нескінченно близькими точками і звідси вивів різні властивості просторів; Гельмгольц ж, виходячи з факту можливості руху фігур і тіл у нашому просторі, вивів, зрештою, формулу Ріманна. Володіючи розумом дуже ясним, Гельмгольц ніби висвітлив нам всю глибину думок Ріманна.
В даному випадку для нас особливо важливо, що, з'ясовуючи нам походження геометричних аксіом, він побічно визначив, в якому відношенні знаходиться геометрія Лобачевського до нашої.
На думку Гельмгольця, головною скрутою в чисто геометричних дослідженнях служить легкість, з якою ми тут змішуємо щоденний досвідз логічнимипроцесами думки. Гельмгольц доводить, що у геометрії Евкліда багато що спирається досвід і може бути виведено логічним шляхом. Чудово, що завдання побудов відіграють у геометрії таку важливу роль. З першого погляду вони здаються не більш як практичними діями, насправді вони мають силу положень. Щоб зробити очевидним рівність геометричних фігур, Зазвичай їх накладають подумки одну на іншу. У можливості такого становища ми з раннього вікупереконуємось фактично. Гельмгольц доводить також, що особливі характеристичні риси нашого простору є досвідченим походженням.
На підставі фізіологічних даних, що стосуються устрою наших органів почуттів, Гельмгольц приходить до дуже важливого для нас переконання, що всі наші здібності до чуттєвих сприйняттів поширюються на Евклідове простір трьох вимірів, будь-який простір, хоч і трьохвимірювань, але має кривизну, чи простір із кількістю вимірів понад три, ми з самої своєї організації неспроможна собі уявити.
Отже, вчення Гельмгольця, якого справедливо вважають генієм нашого століття, підтверджує, зі свого боку, результати, здобуті математиками Ріманном та Лобачевським. Але якщо ми не в змозі ніякими природними та штучними засобами отримати це уявлення,то все ж таки геометрія двохвимірів, відмінна від нашої, доступна нашому уявленню. Гельмгольц дає нам засоби вникнути в суть геометрії псевдосферичної та сферичної, вдаючись до надзвичайно дотепних прийомів, зупинятися на яких ми, звичайно, не будемо. У цьому випадку для нас найголовніше – це наочна паралель між походженням досвідчених та логічних істин.
Користуючись висновками Гельмгольца, легко усвідомити, як треба розуміти простір більше трьох вимірів. Гельмгольц ставив питання, яка була б геометрія у істот, які знали б з досвіду тільки два виміри, тобто жили б у площині,цілком з нею поєднуючись. Будучи плоскими, такі істоти знали б усю планиметрію у тому саме вигляді, у якому ми – істоти трьох вимірів – знаємо її тепер; але ті самі гіпотетичні істоти не мали б ні найменшого уявлення про третій вимір, і вся наша стереометрія не могла б мати для них нічого конкретного. Тим не менш, ці плоскі істоти, позбавлені можливості дійсно побудувати стереометрію, могли б, користуючись аналізом, вивчити її аналітично. У такому ж положенні ми, істоти трьох вимірів, стосовно простору чотирьох вимірів і взагалі відмінному від нашого: ми можемо створити синтетичну геометрію цього простору, але ніщо не перешкоджає нам вивчити його властивості аналітично. Лобачевський перший дав досвід вивчення такого простору, що лежить поза нашим досвідом.Для людей, які не володіють математичним аналізом, не існує ні простір Лобачевського, ні геометрія багатьох вимірів, як не існують видимі лише в телескоп небесні світиладля людей, які дивляться на небо неозброєним оком.
Після того, що ми тут сказали, неважко вирішити питання, чи був Лобачевський мрійником у науці? Подальші наукові дослідження довели реальність його геометрії двох вимірів та показали взагалі можливість аналітичного вивчення просторів, що відрізняються від нашого евклідівського. І, можна сказати, найсильніші уми нашого часу працюють у дусі Лобачевського, і те, що вважали мрією сучасники Лобачевського, нині визнається глибоким, істинно науковим дослідженням.
Ця робота, як каже професор Васильєв, ведеться тепер і у вітчизні Лобачевського, і в усіх культурних країнах Європи: в Англії, Франції, Німеччині, Італії, в Іспанії, що ледве прокидається від розумового сну, серед незайманих лісів Техасу.
У завдання наше не входить виклад вчення спіритів про простір чотирьох вимірів; ми помітимо лише те, що він прагне переконати у реальному існуванні простору чотирьох вимірів, і тому діаметрально протилежне поглядам істинних математиків і філософів, які доводять, навпаки, повну неможливість цього нам, смертних.
Втішно бачити, що розробка ідей Лобачевського все розростається, і не лише в галузі однієї математики; у вирішенні питань, що в них полягають, повинні взяти участь і фізіологія органів чуття, і та область філософії, яку тепер прийнято називати теорією пізнання. На доказ того, як далеко поширюється вплив ідей Лобачевського, наведемо слова Михайлова, який говорить у своїй вітальній телеграмі Казанському університету: «Я щасливий, що ще в 1888-1889 роках міг поєднати філософські принципи великого російського геометра Лобачевського і вчення про симетрію великого француза Луї Пастера у моїх лекціях з фізіології, читаних у Санкт-Петербурзькому університеті».
Від головних наукових заслуг Лобачевського перейдемо до другорядних. Він був виключно геометром, як, наприклад, німецький математик Штейнер. Сучасні російські математики знаходять великий інтерес і в його роботах з алгебри та аналізу. Одна з таких робіт є доповненням однієї думки Гауса.
Лобачевський, як і Ріманн, був не лише математиком, а й філософом, і значення його робіт для теорії пізнання майже таке ж велике, як і для математики. Чудово, що у математиці, а й у філософії на той час було порушено питання сутності і походження геометричних аксіом.
Загалом епоха, в якій жив Лобачевський, була знаменною у розумовій діяльності. Про неї із захопленням говорить Гельмгольц: «Ця епоха була багата на духовні блага, наснагу, енергію, ідеальні надії, творчі думки». До цієї ери відноситься поява «Критики чистого розуму» Канта, в якій полягало також і нове вчення про простір. Кант, як відомо, стверджував, що уявлення про простір передує будь-якому досвіду і тому цілком суб'єктивна форма нашого погляду, яка залежить від досвіду. Таке вчення було протилежне вченню Локка та французьких сенсуалістів, які заперечували вроджені ідеї та суб'єктивні апріорні форми погляду. Математики, власне кажучи, не заперечували існування останніх; однак нам відомо таку думку Гауса: «Наше знання істин геометрії позбавлене того повного переконання в їх необхідності (і, отже, абсолютної істини), яке належить до вчення про величини; ми повинні скромно зізнатися, що якщо число є лише продуктом нашого духу, то простір і окрім нашого духу має реальність, якій ми не можемо a priori приписувати закони».
З наведеної тут думки Гауса видно, що він визнавав суттєву різницю між поняттями про величиниі уявленням простору.Перші суть результатів законів нашого розуму, другі суть наслідків нашого досвіду або результати фізіологічних властивостейнаших органів чуття, що визначають характер всіх нашого сприйняття зовнішнього світу. Такі самі погляди ми зустрічаємо у Лобачевського. Їх вважають діаметрально протилежними поглядам Канта. По суті, на нашу думку, всі погляди Канта зводяться до того ж думці, якщо глибоко вникнути в те, що він розуміє під синтетичнимипоглядами a priori,та перекласти на сучасна мова. Вся різниця у мові, у способах вираження. Ми однаково не можемо розпоряджатися законами як дійсності, так і нашого чуттєвого сприйняття цієї дійсності. Цим пояснюємо той факт, що багато прихильників Канта є послідовниками Лобачевського. Своїм логічною побудовоюгеометрії без постулату Евкліда Лобачевський безперечно побічно довів, що його не можна вивести логічно, і, отже, евклідова геометрія не є дедуктивною наукою і ніколи, ні за яких зусиль розуму не може стати дедуктивною, тому всі ці зусилля слід вважати безплідними. І Кліффорд справедливо каже, що після Лобачевського сучасний геометр, для якого однаково логічно можливими видаються і форма простору, вивчена Евклідом, і форма простору, вивчена Лобачевським, і та, з якою пов'язане ім'я Ріманна, не стане стверджувати, що він знає взагалі властивості. простору на недоступних нам відстанях; і не думатиме, що він може судити про те, які властивості мало яке б там не булопростір і який він матиме.
Отже, праці Лобачевського та інших учених, які займалися неевклідовою геометрією, як би сказали людині: «Та геометрія, яка для тебе справді існує, логічномувідношенні є лише окремий випадок абсолютної геометрії; твоя геометрія є земна та людська». Після такого роду відкриття обрій людини повинен був розширитися так само, як збільшився він після того, як та ж людина перестала думати, що земля є центром світу, оточена концентричними кришталевими сферами, і раптом усвідомив себе живим на нікчемній піщинці в неосяжному океані світів. Такі були результати перевороту у науці, зробленого Коперником. Звідси і паралель між Коперником і Лобачевським, наведена вперше Кліффордом у його «Philosophy of the pure sciences» і освітлена тепер багатьма найвидатнішими вченими. «Дослідження Лобачевського, – каже професор Васильєв, – поставили філософії природи питання не меншої важливості, – питання про властивості простору: чи однакові ці властивості тут і в тих далеких світах, звідки світло доходить до нас у сотні тисяч, у мільйони років? Чи такі властивості тепер, якими були, коли сонячна системаформувалася з туманної плями, і які вони будуть, коли світ наближатиметься до того стану всюди рівномірно розсіяної енергії, в якому фізики бачать майбутнє світу?»
Ось який широкий обрій відкривають нам ті наукові дослідження, перша основа яких покладена твердою рукою нашого знаменитого співвітчизника. Лобачевський ж, як ми бачили, був справжнім сином молодого народу, завдяки добрій волі освіченого монарха, що побачив світло науки у віддаленій напівдикій східній околиці Росії.
Ми вже казали, що геометрія Лобачевського аж ніяк не підриває геометрію Евкліда; отже, вона не загрожує і всім нашим знанням, основою яких є наша геометрія, названа Лобачевським вживаною.
На підтвердження цього наведемо доказ тієї високої поваги до досвіду, який мав сам творець уявної геометрії. Він говорить у своїх «Нових засадах геометрії»: «Першими даними, безперечно, будуть завжди ті поняття, які ми набуваємо в природі за допомогою наших почуттів. Розум може і повинен призводити їх до найменшого числа, щоб вони служили потім твердою основою науки». У своїй промові про «Найважливіші предмети виховання» Лобачевський зупиняє увагу словами Бекона:
«Залишіть даремно трудитися, намагаючись витягти з розуму всю мудрість; запитуйте природу, вона зберігає всі істини і на ваші запитання відповідатиме задовільно».
За формою висловлювання своїх філософських поглядів Лобачевський належав, очевидно, до послідовників Локка, – не вірив у існування вроджених ідей і був великим ворогом будь-якої схоластики.
Незважаючи на все це, ми, як уже казали, не можемо погодитися, що відкриття Лобачевського завдали непрямого, але смертельного удару поглядам на простір Канта. І з точки зору людини, яка стверджує разом з Кантом, що уявлення про простір – результат нашої організації, що він не виходить із досвіду, але зумовлює досвід – геометрія Лобачевського зберігає всю свою силу. Неевклідова геометрія служить лише спростуванням помилкового погляду, що нашу геометрію, тобто геометрію вживану, можна створити однією логікою. Противники Локка та сенсуалістів визнають користь неевклідової геометрії не лише для одного аналізу. До них належить професор Цингер; він каже: «Дослідження (Лобачевського) можуть бути дуже корисними і для геометрії, тому що, уявляючи собою узагальнення геометричних відносин, можуть вказувати на такі залежності та зв'язки між пропозиціями геометрії, помітити які без їхньої допомоги було б неможливо, і, таким чином, можуть відкривати нові шляхи для досліджень про дійсний простір».
Роботи Лобачевського з чистої математики не перекладені іноземні мовиале дуже ймовірно, якби це було зроблено раніше, і вони були б відомі за кордоном. Вони Лобачевський виявив самі якості розуму, які виявив у геометрії, вникаючи у саму суть предмета і визначаючи з великою тонкістю відмінність понять. Казанський професор Васильєв, учень відомого сучасного математика Вейєрштрасса, вважає, що Лобачевський ще тридцятих роках висловлював необхідність відрізняти безперервність функції від її диференційованості; у сімдесятих роках це завдання було блискуче виконано Вейєрштрассом і зробило переворот у сучасній математиці. Лобачевський працював також у галузі теорії ймовірності та механіки; він ставився з великим інтересом і до астрономії. В 1842 він спостерігав у Пензі повне сонячне затемнення, і його дуже зацікавило явище сонячної корони.
У своєму звіті про цю астрономічну експедицію він викладає і критикує різні погляди на пояснення сонячної корони. З приводу цього він викладає свій погляд на теорію світла, в якому говорить між іншим: «Істинна теорія повинна полягати в одному простому, єдиному початку, звідки явище береться як необхідне слідство з усім своїм розмаїттям». Теорія хвилювання його не задовольняла, і він намагався поєднати її з теорією закінчення. Отже, хоча Лобачевський не в усіх математичних наукз однаковим успіхом розвивав свої власні погляди, але загальний характер його діяльності був скрізь той самий: скрізь він прагнув встановити загальні засади і роз'єднати поняття, недостатньо тотожні між собою. З такою силою розуму і таким прагненням він міг би зробити переворот і в інших математичних науках, якби мав можливість віддати їм стільки ж часу, скільки віддавав геометрії.
В одному зі своїх творів з геометрії Лобачевський висловлює думку, що, можливо, не відомі нам закони молекулярних сил висловлять за допомогою неевклідової геометрії. Якщо ця думка великого геометра здійсниться, то праця його набуде ще більшого значення. Але принаймні все це поки що належить ще до області мрій. Сучасні нам послідовники Лобачевського також поділяються на тверезих математиків та математиків-мрійників, які захоплюються фантазією. Найвидатніші з перших – Бельтрамі, Софус Лі та Пуанкаре; серед останніх чільне місце посідає померлий кілька років тому астроном Вальнер, який стверджував, що наш простір має кривизну. Один із полум'яних його послідовників в Америці пішов ще далі, прагнучи пояснити багато явищ природи кривизною простору.
«Думається, – каже професор Васильєв, – що Лобачевський не схвалив би (таких) уявлень про властивість нашого простору».
І ми укламо наш нарис наукових заслуг Лобачевського визнанням справедливості цих слів, які повинні захистити нас від змішування мрій на ґрунті неевклідової геометрії з науковими дослідженнямицього предмета, початок яким належить нашому співвітчизнику Лобачевському.
З книги Бірон автора Курукін Ігор ВолодимировичРозділ четвертий «БІРОНІВЩИНА»: РОЗДІЛ БЕЗ ГЕРОЯ Хоч тремтів увесь двір, хоча не було жодного вельможі, який би від злості Бірона не чекав на себе нещастя, але народ був порядно керований. Не був обтяжений податками, закони видавалися зрозумілими, а виконувались точно. М. М.
З книги Справжня книжка Френка Заппи автора Заппа ФренкРОЗДІЛ 9. Розділ для мого батька На військово-повітряній базі Едвардс (1956–1959) батько мав допуск до найсуворіших військових секретів. Мене в той період раз у раз виганяли зі школи, і батько боявся, що йому через це знизять ступінь таємності? а то й зовсім викинуть із роботи. Він говорив,
З книги Данило Андрєєв - Лицар Троянди автора Бежин Леонід ЄвгеновичРозділ сорок перший ТУМАННІСТЬ АНДРОМЕДИ: ВІДНОВЛЕНА РОЗДІЛ Адріан, старший із братів Горбових, з'являється на початку роману, у першому розділі, і про нього розповідається в заключних розділах. Перший розділ ми наведемо цілком, оскільки це єдина
З книги Мої спогади. Книга перша автора Бенуа Олександр МиколайовичРОЗДІЛ 15 Наша негласна заручини. Моя глава в книзі Мутера Приблизно через місяць після нашого возз'єднання Атя рішуче оголосила сестрам, які все ще мріяли побачити її заміжня за таким завидним нареченим, яким уявлявся їм пан Сергєєв, що вона безумовно і
З книги Петербурзька повість автора Басина Маріанна Яківна«ГЛАВА ЛІТЕРАТУРИ, РОЗДІЛ ПОЕТІВ» Про особистість Бєлінського серед петербурзьких літераторів ходили різні чутки. Недоучившийся студент, вигнаний з університету через нездатність, гіркий п'яниця, який пише свої статті не виходячи із запою… Правдою було лише те, що
З книги Записки гидкого каченя автора Померанц Григорій СоломоновичРозділ Десятий Ненавмисний розділ Усі мої головні думки приходили раптом, ненароком. Так і це. Я читав оповідання Інгеборг Бахман. І раптом відчув, що смертельно хочу зробити цю жінку щасливою. Вона вже вмерла. Я ніколи не бачив її портрета. Єдина чуттєва
Із книги Барон Унгерн. Даурський хрестоносець чи буддист із мечем автора Жуков Андрій ВалентиновичРозділ 14 Остання глава, або Більшовицький театр Обставини останнього місяця життя барона Унгерна відомі нам виключно за радянськими джерелами: протоколи допитів (« опитувальні листи») «військовополоненого Унгерна», звіти та рапорти, складені за матеріалами цих
З книги Сторінки мого життя автора Кроль Мойсей АароновичРозділ 24. Новий розділ у моїй біографії. Настав квітень 1899 року, і я знову почував себе дуже погано. Це все ще давались взнаки результати моєї надмірної роботи, коли я писав свою книгу. Лікар знайшов, що я потребую тривалого відпочинку, і порадив мені
З книги Петро Ілліч Чайковський автора Кунін Йосип ПилиповичРозділ VI. РОЗДІЛ РОСІЙСЬКОЇ МУЗИКИ Тепер мені здається, що історія всього світу поділяється на два періоди, - кепкував над собою Петро Ілліч у листі до племінника Володи Давидову: - перший період все те, що сталося від створення світу до створення «Пікової дами». Другий
З книги Бути Йосипом Бродським. Апофеоз самотності автора Соловйов Володимир Ісаакович З книги Я, Майя Плісецька автора Плисецька Майя МихайлівнаРозділ 29. РОЗДІЛ ЕПІГРАФІВ Так от вона – справжня таємничим світомзв'язок! Яка туга щемлива, Яка біда скоїлася! Мандельштам Усі злі випадки на мене озброїлися!.. Сумарок Іноді треба мати проти себе озлоблених. Гоголь Іншого вигідніше мати серед ворогів,
З книги автораРозділ 30. ВТІШ У СЛІЗАХ Розділ останній, прощальний, прощаючий і жалісливий Я уявляю, що я скоро помру: мені іноді здається, що все навколо мене зі мною прощається. Тургенєв Вникнемо у все це гарненько, і замість обурення серце наше виповниться щирим
З книги автораГлава 10. ВІДЩЕПЕНСТВО – 1969 (Перша глава про Бродському) Питання, чому ми друкують віршів ІБ – це питання не про ІБ, але про російську культуру, про її рівні. Те, що його не друкують, - трагедія не його, не тільки його, а й читача - не в тому сенсі, що той не прочитає ще
З книги автораРозділ 47 Розділ без назви Яку назву дати цьому розділу? Або: "Як загинув Великий балет"? А може, таке, довге: «Пан правителі, не