D. Ivanenko. Lobachevsky'nin geometrisi ve fizikte yeni problemler
Shmirova Irina
Tanınmış bir Sovyet geometricisi olan Profesör P.K., “Kabul edilemez bir paradoks gibi görünen parlak yurttaşımızın fikirleri şimdi geniş çapta geliştirilmiş ve genelleştirilmiştir ve modern bilimin temel taşlarından biridir” diye yazdı. Rashevski Amaç: Öklid dışı geometrinin yaratılmasına neyin yol açtığını belirleyin.
İndirmek:
Ön izleme:
MKOU VASHUTINSKAYA TEMEL EĞİTİM OKULU
Modern bilimde Öklidyen olmayan geometrinin ortaya çıkış tarihi ve önemi
Geometri tarafından yapılan:
9. sınıf öğrencisi
Shmirova Irina
İş koordinatörü:
matematik öğretmeni
Sedykh Elena Valerievna
2013 yılı
1. Giriş……………………………………………………………… 3
2. Yeni bir geometrinin yaratılış tarihi………………………………. dört
3. Öklidyen olmayan geometri…………………………………………… 8
4. İncelemeler ve kanıtlar ……………………………………………. on bir
4. Öklidyen olmayan geometrinin önemi……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… 15
5. Sonuç…………………………………………………………. 16
6. Kullanılan literatür…………………………………………. on sekiz
7. Terimler sözlüğü……………………………………………………... 19
giriiş
Lobachevsky'nin ilk kez izlediği yol, büyük ölçüde modern bilimin yüzünü belirledi, matematikte gerçek bir devrim yaptı.
Tanınmış bir Sovyet geometricisi olan Profesör P.K., “Kabul edilemez bir paradoks gibi görünen parlak yurttaşımızın fikirleri şimdi geniş çapta geliştirilmiş ve genelleştirilmiştir ve modern bilimin temel taşlarından biridir” diye yazdı. Rashevsky [1].
Öklid dışı geometrinin keşfi, yalnızca geometride ve hatta yalnızca matematikte değil, aynı zamanda genel olarak insan düşüncesinin gelişiminde de devrim yarattı. Ve daha sonraGeçen yüzyılın başında Gauss, Lobachevsky ve Bolyai tarafından yapılan Öklid geometrisinin tek olası olmadığı, insanlığın dünya görüşü üzerinde bir etkisi oldu. Ancak, geçen yüzyılın sonundan bu yana, "içinde yaşadığımız uzayın" erişilebilir sınırlar içinde olmasına rağmen, Öklid dışı geometrinin Öklid ile birlikte matematiğin çalışma araçlarından biri olduğunu çok az kişi biliyor. bizim anlayışımıza göre, Öklid olmayandan çok Öklidyendir[ 2].
Matematik teorilerinin doğası öyledir ki, çeşitli şekillerde temsilbu teorilerin temel kavramları, örneğin geometride, noktalar, çizgiler, hareketler vb.dir, bunları çeşitli nesnelere uygulayabiliriz. Dolayısıyla geometri sadece içinde yaşadığımız uzaya değil, matematiksel ve matematiksel olarak ortaya çıkan diğer uzaylara da uygulanabilir. fiziksel teoriler. Bu uzayların geometrileri farklı çıkıyor; özellikle, Öklid olmayabilirler.
Amaç : Öklid dışı geometrinin yaratılmasına neyin yol açtığını belirleyin. Hipotez : bilimin gelişimi öyle bir aşamadaydı ki, Öklid dışı geometrinin yaratılmasına gelmemek imkansızdı.
I. Yeni geometri yaratma tarihi
Öklid'in kendisi muhtemelen ilk Öklid olmayan geometri olarak kabul edilebilir (Şekil 1). Onun "apaçık olmayan" beşinci önermesini kullanmaktaki isteksizliği, en azından Öklid'in ilk yirmi sekiz cümlesini bu önermeye başvurmadan kanıtlaması gerçeğinden kaynaklanmaktadır. MÖ birinci yüzyıldan 1820'den önce, matematikçiler diğerlerinden beşinci postülayı çıkarmaya çalıştılar, ancak onu yalnızca "iki paralel doğru her yerde birbirinden eşit uzaklıkta" veya "aynı doğru üzerinde bulunmayan üç nokta" gibi çeşitli eşdeğer varsayımlarla değiştirmeyi başardılar. bir çevreye aittir" .
Şekil 1. Öklid
Lobachevsky, Öklidyen olmayan geometri üzerine ilk basılı çalışması olan On the Principles of Geometry'de (1829), V postülatının Öklid geometrisinin diğer öncülleri temelinde kanıtlanamayacağını ve Öklid'in varsayımına zıt bir postulat varsayımının olduğunu açıkça belirtti. postulat, kişinin Öklid kadar anlamlı ve çelişkilerden arınmış bir geometri oluşturmasına izin verir [1].
Eşzamanlı ve bağımsız olarak, Janos Bolyai benzer sonuçlara varmıştır (Şekil 2) ve Carl Friedrich Gauss (Şekil 3) bu tür sonuçlara daha önce varmıştır.
Şekil 2. Janos Bolyai
Ancak Bolyai'nin yazıları dikkat çekmedi ve kısa sürede konuyu terk etti, Gauss ise yayımlamaktan hiç çekindi ve görüşleri ancak birkaç mektup ve günlük kaydından değerlendirilebilir.
Figür 3. Carl Friedrich Gauss
Lobachevsky'nin (1817'den) derslerinin öğrenci notları, Öklid'in beşinci postülatını kanıtlamaya çalıştığı yerde korunmuştur, ancak "Geometri" (1823) ders kitabının el yazmasında bu girişimi zaten terk etmiştir. 1822 ve 1824 için Saf Matematik Öğretimi İncelemelerinde Lobachevsky, paralellik sorununun "hala yenilmez" zorluğuna ve geometriyi doğrudan doğadan edinilen ilk kavramlar olarak alma ihtiyacına dikkat çekti.
23 Şubat 1826'da parlak bir matematikçi, Öklidyen olmayan geometri hakkındaki raporunu anlamayan, sıkılmış, kayıtsız bir izleyici kitlesine okur. Hiçbir şey anlamayan komisyon herhangi bir geri dönüş yapmıyor. Çalışma yayınlanmadı. Ve sadece 1829'da "Geometrinin İlkeleri Üzerine" anıları yayınlandı - Öklid dışı geometri üzerine ilk çalışma. İş anlaşılamadı.
Bilimler Akademisi'nden yıkıcı bir eleştiri geldi, Lobachevsky'nin taşralı bir şarlatan, cahil, kendinden memnun bir hiçlik olarak adlandırıldığı makaleler yayınlandı. Bu incelemelerin yazarları, Bay Lobachevsky'nin eserlerinde belirttiği her şeyin (Şekil 4) doğada yeri olmadığı ve bu nedenle akıl için tamamen anlaşılmaz ve saçma olduğu gerçeğine güvendi. Lobachevsky'yi kimse desteklemedi, ancak fikirlerini sonuna kadar savunma cesaretine sahipti.
Şekil 4. Lobachevsky Nikolay İvanoviç
Evde anlayış bulamayan Lobachevsky, yurtdışında benzer düşünen insanlar bulmaya çalıştı. 1837'de Lobachevsky'nin "Hayali Geometri" makalesi Fransızca(Géométrieimaginaire) yetkili Berlin dergisi Crelle'de çıktı ve 1840'ta Lobachevsky Almanca ana fikirlerinin açık ve sistematik bir sunumunu içeren küçük bir kitap "Paralellikler Teorisinde Geometrik Araştırmalar". O zamanın "matematikçilerin kralı" Carl Friedrich Gauss'a iki kopya verildi. Çok daha sonra ortaya çıktığı gibi, Gauss'un kendisi gizlice Öklid dışı geometri geliştirdi, ancak bu konuda hiçbir şey yayınlamaya cesaret edemedi [1].
Öklid'in beşinci varsayımı, başka bir geometrinin yaratılması için bir tür itici güç ya da Öklid'in geometrisinin bir devamı oldu. Eşzamanlı olarak, birçok ülkeden bilim adamları aynı sonuçlara vardı. Ancak, Lobachevsky gibi bazı bilim adamları anlamadı, diğerleri çalışmalarını yayınlamaktan korktular.
Öklid dışı geometrinin yaratıcıları, Öklid'in kendisi, Gauss, Boyai, Lobachevsky gibi parlak bilim adamlarıydı. Bazı bilim adamları için, Öklid dışı geometrideki keşifler, birbirinden bağımsız olarak eşzamanlı olarak gerçekleşti.
II.Öklid dışı geometri
Lobachevsky, Öklid'in paralellik aksiyomunu keyfi bir kısıtlama olarak değerlendirdi. Onun bakış açısına göre, bu gereklilik çok katıdır, uzayın özelliklerini tanımlayan teorinin olanaklarını sınırlar ve bu nedenle Öklid dışı geometri yaratırken Öklid'in düzlemsel postülalarını özel, sınırlayıcı bir durum olarak kullandı ve V postülatını terk etti. , Öklid'in paralel doğrular aksiyomunun diğer aksiyomlardan bağımsızlığını kabul ederek .
V postülası yerine, karşıt önermeyi kabul eder: Verilen bir doğru üzerinde olmayan bir noktadan geçen düzlemde, verileni kesmeyen birden fazla doğru geçer. Bu öneriyle birlikte Lobachevsky, Öklid geometrisinin kalan aksiyomlarını kabul eder ve bu temelde yeni bir geometri kurar. Ortaya çıkan geometri mantıksal olarak tutarlıdır, hiçbir yerde çelişki yoktur. Lobachevsky buna "hayali" diyor.
Lobachevsky, AB çizgisinin dışında kalan bir C noktasından, AB çizgisiyle kesişmeyen en az iki a ve b çizgisi çizmenin mümkün olduğunu öne sürdü (Şekil 5). Aynı şekilde AB doğrusu ile C noktasından geçen m,n,p doğruları kesişmez.
Şekil 5. Öklid'in 5. önermesinin tersi olan cümle.
"Hayali geometride" bir üçgenin açılarının toplamı her zaman 180'den küçüktür. o (Şek. 6).
Şekil 6. Lobachevsky geometrisinde üçgen.
Lobachevsky düzleminde benzerlik yoktur. Sonuçta, tüm benzerlik teoremleri yalnızca Öklid'in paralellik aksiyomunun yardımıyla türetilir. N.I. Lobachevsky, orisfer adı verilen sınırlayıcı yüzeyde iç geometrinin Öklidyen olduğunu belirledi.
Lobachevsky tarafından geliştirilen yeni geometri Öklid geometrisini içermez, ancak Öklid geometrisi ondan sınıra geçilerek (uzay eğriliği sıfıra eğilim gösterdiğinde) elde edilebilir. Lobachevsky geometrisinin kendisinde eğrilik negatiftir. Zaten ilk yayında, Lobachevsky Öklid dışı uzayın trigonometrisini, diferansiyel geometriyi (uzunlukların, alanların ve hacimlerin hesaplanması dahil) ve ilgili analitik konuları ayrıntılı olarak geliştirdi.
N.I.'nin geometrisinde. Lobachevsky, Öklid'in temel kavramları kullanılır: dikler, eksenel simetriler ve döner. Özellikleri depolar ikizkenar üçgen, üçgenlerin eşitliğinin iyi bilinen işaretleri ve "mutlak geometri"nin diğer öğeleri [2].
Lobachevsky uzayında, Öklid geometrisine bağlı eğrisel geometrik görüntüler tanımlandı. Lobachevsky, uzayındaki doğrusal üçgenlerin öğeleri arasındaki trigonometrik ilişkileri türetmek için bu olağanüstü sonucu kullandı. Ancak ortaya çıkan ilişkiler Öklidyen olanlardan çok daha karmaşıktır. Bu bağıntılar sadece açıların trigonometrik fonksiyonlarına, sadece kenar uzunluklarına değil, bazı fonksiyonlarına da sahiptir [4] .
Ünlü keşfini yapan N. I. Lobachevsky, Öklid geometrisini reddetmedi, sadece bilimin sınırlarını zorladı. Antik Dünya. Lobachevsky'nin planimetrisinin herhangi bir gerçeği, Öklid'in geometrisiyle çelişmez. Ancak, oluşturulan geometri öncekinden önemli ölçüde farklıdır. Lobachevsky, açıkça, V önermesinin çelişkisini vurgulamak istedi: düzlemde, belirli bir doğrunun dışında kalan bir noktadan, verileni kesmeyen birden fazla doğru geçer. Ve böylece Öklid postülatını daha genel bir paralellik aksiyomu ile değiştirdi ve Öklid'in geometrisinin tüm akıl yürütmesini korudu.
III. Görüşler ve kanıtlar
Hayatının son yıllarında Lobachevsky, geometrisinin tutarlılığını başarısız bir şekilde kanıtlamaya çalıştı.
Böyle bir ispat elde etmek için geometrinin bir modelini oluşturmak gerekliydi. 1868'de (Lobachevsky'nin ölümünden 12 yıl sonra), İtalyan bilim adamı E. Beltrami, yalancı küre adı verilen içbükey bir yüzeyi araştırdı ve Lobachevsky'nin geometrisinin bu yüzey üzerinde etkili olduğunu kanıtladı (Şekil 7). [ 5].
1868'de İtalyan matematikçi E. Beltrami, yalancı küre adı verilen içbükey bir yüzeyi araştırdı ve Lobachevsky'nin geometrisinin bu yüzey üzerinde etkili olduğunu kanıtladı.
Şekil 7. Sözde küre
Ve 2 yıl sonra, Alman matematikçi Klein, Lobachevsky düzleminin başka bir modelini sunuyor (Şekil 8).
Klein biraz daire alır. "Düzlem" Klein dairenin içini çağırır. Ayrıca, dairenin her kirişi (sadece dairenin iç noktaları alındığından uçsuzdur) Klein tarafından bir "düz çizgi" olarak kabul edilir. Şimdi bu "düzlemde" parçalar, üçgenler vb. düşünülebilir. Eğer biri bir hareketle diğerine aktarılabiliyorsa iki şekil "eşit" olarak adlandırılır. Böylece geometri aksiyomlarında bahsedilen tüm kavramlar tanıtılmakta ve aksiyomların bu modelde yerine getirilip getirilmediği kontrol edilebilmektedir. Örneğin, herhangi iki A, B noktasından geçen sadece bir "düz çizgi" olduğu açıktır. Ayrıca, a "doğrusuna" ait olmayan A noktasından, a ile kesişmeyen sonsuz sayıda "doğru" olduğu görülebilir. Daha fazla doğrulama, Klein modelinde Lobachevsky geometrisinin diğer tüm aksiyomlarının da karşılandığını gösteriyor[4]
Şekil 8. Klein modeli.
Lobachevsky'nin geometrisinin başka bir modeli Fransız matematikçi A. Poincaré (1854-1912) tarafından önerildi. Ayrıca bir dairenin içini de dikkate alır. Dairenin sınırıyla kesişme noktalarında yarıçaplara dokunan dairelerin yaylarını “düz çizgiler” olarak kabul eder (Şekil 9) [1].
Şekil 9. Poincare modeli.
Geçen yüzyılın sonunda, Poincaré ve Klein'ın çalışmalarında, Lobachevsky'nin geometrisi ile karmaşık bir değişkenin fonksiyonları teorisi ve sayılar teorisi (daha doğrusu belirsiz ikinci dereceden aritmetiği) arasında doğrudan bir bağlantı kuruldu. formlar). O zamandan beri, Lobachevsky'nin geometrisinin aygıtı, matematiğin bu dallarının ayrılmaz bir parçası haline geldi. Son 15 yılda, Lobachevsky geometrisinin önemi, üç boyutlu manifoldların topolojisi ile bağlantısını kuran Amerikalı matematikçi Thurston'un (1983'te Fields Madalyası kazananı) çalışmaları sayesinde daha da arttı (Şekil 1). 10). Bu alanda her yıl onlarca makale yayınlanmaktadır. Bu bağlamda, araştırmacıların ana dikkatinin genel olarak geometrinin temelleri açısından anlaşılmasına çekildiği Lobachevsky'nin geometri tarihindeki romantik dönemin sonundan bahsedebiliriz. Modern araştırma giderek daha fazla Lobachevsky geometrisi hakkında iş bilgisi gerektiriyor[ 2].
Şekil 10. William Paul Thurston
Lobachevsky düzleminde düz çizgilerin davranışını gösteren çizimlerle ilgili önemli bir not. Deneylerin gösterdiği gibi, fiziksel uzayımız ya özelliklerde Öklidyendir ya da ondan çok az farklıdır. Bir çizim ile çalışırken, kendimizi küçük boyutuyla sınırlamak zorunda kalırız ve eğer varsa Öklidizmden sapma sadece çok büyük uzantılarda gözlemlenecektir. Bu nedenle, netlik için, Lobachevsky düzleminde yakınsaklıklarının veya sapmalarının doğasını daha açık bir şekilde ifade etmek için düz çizgileri hafifçe bükerek tasvir etmek genellikle gelenekseldir. Ancak Lobachevsky, kendisine bu tür özgürlüklere izin vermedi [4].
Bilim adamlarının çeşitli modelleri kontrol etmeleri ne kadar sürdü: Lobachevsky'nin geometrisinin çalıştığı Klein'ın sahte küresi, Poincare'in modeli, matematikçi Thurston'ın üç boyutlu manifoldları? Lobachevsky'nin fikirlerinin doğruluğu hakkında ne şüpheleri vardı?! Ancak, sayı teorisi ve karmaşık bir değişkenin fonksiyonları teorisi ve diğerleri gibi matematiğin bu tür dallarının temeli haline gelen tam olarak Lobachevsky'nin geometrisinin unsurlarıydı.
IV. Öklid Dışı Geometrinin Önemi
Yeni geometri, çevreleyen gerçeklikten ayrılmış, zihnin saf bir ürünüydü. Bu nedenle Lobachevsky buna "hayali" dedi. Öklid dışı geometrinin ortaya çıkışı, önemli adım matematiğin mantıksal bilime dönüşümünde akla yatkın formlar ve ilişkiler. Bu süreç sadece geometride değil, cebirde de tüm cephelerde devam etti. Küme teorisi ve matematiksel mantık ortaya çıktı. Geometride, Lobachevsky'nin geometrisinden hemen sonra çok boyutlu Öklid geometrisi ortaya çıktı [2].
V. Sonuç
Öklid dışı geometrinin yaratıcıları, Öklid'in kendisi, Gauss, Boyai, Lobachevsky gibi parlak bilim adamlarıydı. Öklid beşinci önermeyi kanıtlamak için girişimlerde bulundu, ancak başarısız oldu. Bazı bilim adamları için, Öklid dışı geometrideki keşifler, birbirinden bağımsız olarak eşzamanlı olarak gerçekleşti.
N. I. Lobachevsky, o dönemde var olan bilimin sınırlarını zorladı. Lobachevsky'nin planimetrisinin herhangi bir gerçeği, Öklid'in geometrisiyle çelişmez. Ancak, oluşturulan geometri öncekinden önemli ölçüde farklıdır. Lobachevsky, açıkça, V önermesinin çelişkisini vurgulamak istedi: düzlemde, belirli bir doğrunun dışında kalan bir noktadan, verileni kesmeyen birden fazla doğru geçer. Ve böylece Öklid postülatını daha genel bir paralellik aksiyomu ile değiştirdi ve Öklid'in geometrisinin tüm akıl yürütmesini korudu.
Bilim adamlarının çeşitli modelleri kontrol etmeleri çok zaman aldı: Klein sahte küresi, Poincaré modeli, matematikçi Thurston'ın üç boyutlu manifoldları, Lobachevsky'nin geometrisinin işe yaradığı? Lobachevsky'nin fikirlerinin doğruluğu hakkında ne şüpheleri vardı?! Ancak, sayı teorisi ve karmaşık bir değişkenin fonksiyonları teorisi ve diğerleri gibi matematiğin bu tür dallarının temeli haline gelen tam olarak Lobachevsky'nin geometrisinin unsurlarıydı.
Lobachevsky, "Geometrinin Kopernik'i" olarak adlandırıldı, ancak yeni bir bilim alanı keşfeden, ardından yeni bir geometri kıtası ve genel olarak yeni matematik olan bilimin Columbus'u olarak da adlandırılabilir. Lobachevsky'nin ilk kez izlediği yol, büyük ölçüde modern bilimin yüzünü belirledi.
Yeni geometrinin keşfi, 19. yüzyılın seçkin matematikçilerinin sayısız çalışmasının başlangıcıydı. Geometri, bilimin gelişimi için bir itici güç olarak hizmet etti ve dolayısıyla bizi çevreleyen dünyanın anlaşılmasını sağladı.
Ve 20. yüzyılın başında Lobachevsky'nin geometrisinin modern fizikte kesinlikle gerekli olduğu keşfedildi. Örneğin, Einstein'ın görelilik kuramında, modern senkrofazotronların hesaplamalarında, uzay biliminde.
Kullanılmış Kitaplar
1. Laptev B.L. N.I. Lobachevsky ve geometrisi. Öğrenci yardımı. M., "Aydınlanma", 1976.
2. Sherbakov R.N., Pichurin L.F. projektif geometriden - Öklid olmayana (mutlak civarında): Kitap. İçin ders dışı okuma. IX, X sınıfı. - M.: Aydınlanma, 1979. - 158'ler., İl. - (Bilgi dünyası)
3. Pogorelov A.V. Geometri: Proc. 7-9 hücre için. Genel Eğitim kurumlar / A.V. Pogorelov.-5. baskı. - M.: Aydınlanma, 2010.-224 s.
4. Alekseevsky D.V., Vinberg E.B., Solodovnikov A.S. Sabit eğrilikli uzayların geometrisi. İçinde: Itogi nauki i tekhniki. Modern matematik problemleri. Temel Yönergeler. M.: VINITI, 1988. T. 29. S. 1 - 146. rostransto - dünyanın varlığının çoklu doğasını, heterojenliğini yansıtan temel (zamanla birlikte) bir insan düşüncesi kavramı. İnsan algısında aynı anda verilen birçok nesne, nesne karmaşık bir ... ...Felsefi Ansiklopedi
- geometri- paralel aksiyom dışında Öklid geometrisi ile aynı temel varsayımlara dayanan bir geometri (bkz. Beşinci varsayım). Öklid geometrisinde bu aksiyoma göre düzlemde A çizgisinin dışında kalan P noktasından A geçer.
Matematiksel Ansiklopedi
- Lobachevsky geometrisi- Lobachevsky'nin paraleller aksiyomu ile değiştirilen paralellikler aksiyomu dışında, sıradan Öklid geometrisi ile aynı temel varsayımlara dayanan bir geometrik teori. Öklidyen paralellik aksiyomu şöyle der: ... ...
Büyük Sovyet Ansiklopedisi
- Geometri - çeşitli şekillerin (noktalar, çizgiler, açılar, iki boyutlu ve üç boyutlu nesneler), boyutlarını ve göreceli konumlarını inceleyen bir matematik dalı. Öğretme kolaylığı için geometri, planimetri ve katı geometriye ayrılmıştır. Ansiklopedi
~ ~
Nikolai İvanoviç Lobaçevski (1793-1856)
Öklid dışı geometrinin yaratıcısı olan büyük Rus geometrisi Nikolai İvanoviç Lobachevsky, 2 Kasım 1793'te Nizhny Novgorod eyaletinde küçük bir memurun fakir bir ailesinde doğdu. İhtiyaç ve yoksunluklarla dolu bir çocukluktan sonra, ancak annesi Praskovya Alexandrovna'nın olağanüstü enerjisi sayesinde girmeyi başardığı spor salonundan mezun olduktan sonra, onu on dört yaşında bir çocuk olarak görüyoruz. Tüm yaşamının ve çalışmalarının geçtiği duvarlar içinde Kazan Üniversitesi. . N. I. Lobachevsky, spor salonunda seçkin bir kişi ve görünüşe göre parlak bir öğretmen olan Grigory Ivanovich Kartashevsky ile matematik okuduğu için şanslıydı. Onun etkisi altında, geleceğin büyük geometrisinin matematiksel yetenekleri gelişti. Bir öğrenci olarak, önce Kazan'da, ardından Yuryev Üniversitesi'nde profesör olan ünlü Bartels ile çalıştı ve zamanının matematiğini birincil kaynaklardan, özellikle Gauss ve Laplace'ın eserlerinden ciddi şekilde ustalaştırdı. Ancak, matematiksel yeteneklerin erken tezahürüne rağmen, kendini matematiğe adama kararı N. I. Lobachevsky'ye hemen gelmedi; Kendisini ilk olarak tıbbi çalışmalara hazırladığına dair kanıtlar var. Her durumda, 18 yaşına geldiğinde zaten matematiği seçmişti.
N. I. Lobachevsky'nin öğrenci yılları, yalnızca bilim için ateşli bir tutku ve sürekli bilimsel arayışlarla dolu değildi; ayrıca neşeli karakterinin kendini çok erken gösterdiği genç şakalar ve şakalarla doludur. Kazan'da saat 23.00'te roket fırlattığı için ceza hücresinde olduğu, daha pek çok eşek şakasının üzerine atıldığı biliniyor. Ancak, bunun yanı sıra, daha ciddi suçlar da not edilir: "özgür düşünme ve rüya gibi kendini beğenmişlik, azim" ve hatta "büyük ölçüde tanrısızlık belirtileri gösteren çirkin işler".
Bütün bunlar için, N. I. Lobachevsky neredeyse üniversiteden dışlanma ile ödedi ve sadece Kazan matematik profesörlerinin güçlendirilmiş dilekçeleri ona ondan mezun olma fırsatı verdi. Daha sonraki kariyeri hızla gelişiyor: 21 yaşında N. I. Lobachevsky bir yardımcı ve 23 yaşında olağanüstü bir profesör; Aynı yıllarda, 1816-1817'de okuduğu geometri dersleriyle bağlantılı olarak, ilk önce çözümü hayatının ihtişamı olan soruya - paralellikler aksiyomu sorununa yaklaştı.
N. I. Lobachevsky'nin gençliği sona eriyordu. Zengin ve çeşitli kişiliğinin tam olarak ifşa edildiği bir dönem başladı. Bilimsel yaratıcılık, matematiksel gücünde istisnai olarak başladı. Karşı konulmaz enerji ve tutkulu coşkuyla dolu, şaşırtıcı derecede çok yönlü çalışması, bir profesör olarak başladı ve hızla gelişti, yakında her bakımdan Kazan Üniversitesi'ndeki ilk profesör oldu. Onun ateşli katılımı, daha sonra tüm üniversite hayatının neredeyse yirmi yıllık tam ve tek liderliğine dönüşen Kazan Üniversitesi'nin tüm faaliyet, organizasyon ve inşaat alanlarında başladı. Çeşitli üniversite görevlerinin sırasıyla ve sıklıkla paralel olarak, onun tarafından üstlenilmesi, üniversite çalışmalarının kapsamı hakkında bir fikir verir. 1819'un sonunda dekan seçildi; Aynı zamanda, inanılmaz derecede kaotik bir durumda olan üniversite kütüphanesini düzene sokmaktan sorumludur. Aynı yıllarda, profesörlük faaliyeti yeni bir içerik aldı: Profesör Simonov'un dünya turuna çıkmasından sonra, iki tam akademik yıl boyunca fizik, meteoroloji ve astronomi okumak zorunda kaldı. Bu arada, N. I. Lobachevsky gelecekte fiziğe olan ilgisini asla kaybetmedi ve sadece üniversitede öğretmeyi değil, aynı zamanda dikkatle ve ilginç bir şekilde hazırlanmış deneylerle birlikte fizik üzerine popüler dersleri okumayı da reddetmedi. 1822'de N. I. Lobachevsky sıradan bir profesör oldu; aynı zamanda eski ve yeni üniversite binalarını düzene sokmak için imar komitesi üyesi olur. 1825'te zaten bu komitenin başkanıydı. Aslında, Kazan Üniversitesi'nin tüm yeni binalarının ana inşaatçısıdır ve bu yeni görevlerle taşınarak, mimariyi hem mühendislik hem de teknik açıdan ve sanatsal açıdan dikkatle inceler. Kazan Üniversitesi'nin mimari açıdan en başarılı binalarının çoğu, N. I. Lobachevsky'nin inşaat planlarının uygulanmasıdır; bunlar: anatomik tiyatro, kütüphane, gözlemevi.
Sonunda, 1827'de N. I. Lobachevsky üniversitenin rektörü oldu ve bu görevi 19 yıl sürdürdü. Bir rektör olarak görevlerini çok geniş bir şekilde anlıyor: öğretimin ideolojik liderliğinden ve üniversitenin tüm yaşamından, tüm günlük üniversite ihtiyaçlarına kişisel katılıma kadar. Rektör olduktan sonra, üniversite kütüphaneciliği görevlerini birkaç yıl daha yürütmeye devam etti ve bunları ancak kütüphaneyi uygun yüksekliğe koyduktan sonra bıraktı. N. I. Lobachevsky'nin üniversite yararına gösterdiği enerji ve faaliyete bir örnek olarak, rektörlüğü sırasında Kazan'ın hayatını vuran iki trajik olay sırasındaki rolü hakkında söylenmelidir. Bu olaylardan ilki, Volga bölgesini kasıp kavuran ve binlerce cana mal olan 1830 kolera salgınıydı. Kolera Kazan'a ulaştığında, N. I. Lobachevsky hemen üniversiteye karşı kahramanca önlemler aldı: Üniversite aslında şehrin geri kalanından izole edildi ve bir tür kaleye dönüştü. Üniversite topraklarında öğrenciler için konaklama ve yemekler düzenlendi - tüm bunlar rektörün en aktif katılımıyla. Başarı harikaydı - salgın üniversite tarafından geçti. N. I. Lobachevsky'nin kolera ile mücadelede enerjik özverili çalışması, o zamanın tüm toplumu üzerinde o kadar büyük bir izlenim bıraktı ki, resmi makamlar bile bunu not etmenin gerekli olduğunu düşündüler, N. I. Lobachevsky, koruma konusundaki titizliği için "en yüksek iyilik" olarak ifade edildi. Koleradan üniversite ve diğer eğitim kurumları.
Kazan üzerinde patlak veren bir başka felaket de 1842'de çıkan ve yıkıcı sonuçlarıyla korkunç bir yangındı.Şehrin büyük bir bölümünü yok eden bu korkunç yangın sırasında, N. I. Lobachevsky, üniversite mülkünü yangından kurtarmak için bir kez daha enerji ve gayret mucizeleri gösterdi. Özellikle kütüphaneyi ve astronomi aletlerini kurtarmayı başardı.
Ancak, üniversitenin rektörü olarak N. I. Lobachevsky'nin enerjisinin ve yeteneklerinin merkezi uygulama noktası, kelimenin en geniş anlamıyla gençlerin eğitimi ile doğrudan ilgisiydi. Bir rektör olarak faaliyetlerinin diğer tüm yönleri, bu ana görevin uygulanması için yalnızca bir çerçeve oluşturdu. Yetiştirme sorunları onu her yönüyle cezbetti ve onu ilgilendiren her şey gibi, onu da en çok ilgilendirdi. 1818'den beri, N. I. Lobachevsky, orta ve alt eğitim kurumlarından sorumlu okul komitesinin bir üyesiydi ve o zamandan beri üniversite öğretimi ve soruşturma soruları ile birlikte görüşünü kaybetmedi. okul hayatı. Üniversiteye giriş sınavlarını sürekli denetleyen N. I. Lobachevsky, o zamanın bir okul çocuğunun daha yüksek bir eğitim kurumuna hangi bilgiyle geldiğini çok iyi biliyordu. İnsan gelişiminin tüm çizgisiyle - çocukluktan geç ergenliğe kadar - ilgilendiği için eğitimden çok şey talep etti ve önüne çizilen insan kişiliği ideali çok yüksekti. N. I. Lobachevsky'nin "Eğitimin en önemli konuları üzerine" konuşması, yalnızca pedagojik düşüncenin değil, aynı zamanda, deyim yerindeyse, o "eğitimsel duygunun", onsuz kendisinin olmadığı o pedagojik pathos'un da harika bir anıtıdır. pedagojik aktiviteölümcül bir zanaata dönüşür. N. I. Lobachevsky'nin kendisi, uyumlu bir şekilde gelişmiş bir insan kişiliği idealinin bir parçası olan hayati çıkarların çeşitliliğine ve genişliğine tam olarak sahipti. Doğal olarak, üniversiteye okumak için gelen genç bir adamdan çok şey istedi. Her şeyden önce, ondan "yüksek bilgisi ile anavatanının onuru ve şanı olan" bir vatandaş olmasını talep eder, yani önüne özellikle yüksek değerlere dayanan yüksek ve sorumlu bir vatanseverlik ideali koyar. Seçilen meslekteki nitelikler. Ancak "zihinsel eğitimin tek başına eğitimi tamamlamadığını" da vurgular ve bu konuda büyük taleplerde bulunur. akıllı kişi entelektüel, etik ve estetik kültürün tam bir temsilcisi olarak. N. I. Lobachevsky sadece bir eğitim teorisyeni değil, aynı zamanda bir eğitimci, bir gençlik öğretmeniydi. O sadece derslerini zekice ve dikkatli bir şekilde okuyan bir profesör değildi, aynı zamanda genç bir kalbe giden doğrudan yolu bilen ve her durumda, gerektiğinde harekete geçebilecek bu çok gerekli kelimeleri nasıl bulacağını bilen bir adamdı. yoldan çıkmış öğrenci, onu işe döndürmek, onu disipline etmek için. N. I. Lobachevsky'nin öğrenciler arasındaki otoritesi son derece yüksekti. Öğrenciler Nikolai İvanoviç'i, bir profesör olarak katılığına ve özellikle de bir sınav görevlisi olarak, sertliğine ve bazen sertliğine rağmen sevdiler.
N. I. Lobachevsky, muhtemelen Rus üniversitelerinin neredeyse iki yüz yıllık şanlı tarihi tarafından aday gösterilen en büyük kişidir. Tek bir satırlık bağımsız bilimsel araştırma yazmamış olsaydı, yine de onu en dikkate değer üniversite figürümüz olarak, üniversitenin profesör ve rektörünün yüksek unvanlarını bu kadar eksiksiz bir şekilde veren bir kişi olarak minnetle anmak zorunda kalacaktık. kendisinden önce, zamanında veya vefatından sonra bu unvanları taşıyan kişilerden başkası tarafından verilmeyen içerik. Ancak N. I. Lobachevsky ayrıca parlak bir bilim adamıydı ve eğer böyle olmasaydı, diğer tüm yetenekleriyle birlikte birinci sınıf bir yaratıcı hediye ve yaratıcı deneyime sahip olsaydı, üniversite alanında olurdu. öğretim, üniversite liderliği ve eğitim faaliyetleri onun gerçekte olduğu gibi olamazdı.
N. I. Lobachevsky'nin ana bilimsel değeri, Öklid paralellik aksiyomunun mantıksal kanıtlanamazlığını ilk tam olarak gören ve bu kanıtlanamazlıktan tüm ana matematiksel sonuçları çıkaran ilk kişi olması gerçeğinde yatmaktadır. Paralellikler aksiyomu, bildiğiniz gibi, belirli bir düzlemde belirli bir doğruya göre, bu doğru üzerinde olmayan belirli bir noktadan sadece bir paralel çizgi çizmek mümkündür. Temel geometrinin geri kalan aksiyomlarından farklı olarak, paraleller aksiyomu, en azından bir şey için dolaysız kanıt özelliğine sahip değildir, bu bir bütün olarak sonsuz çizginin tamamı hakkında bir ifadedir, oysa deneyimimizde yalnızca yüz yüze geliriz. daha büyük veya daha küçük "parçalar" (segmentler) düz çizgilerle. Bu nedenle, geometri tarihi boyunca - antik çağlardan geçen yüzyılın ilk çeyreğine kadar - paralellik aksiyomunu kanıtlama, yani onu geometrinin geri kalan aksiyomlarından türetme girişimleri olmuştur. N. I. Lobachevsky, bu aksiyomun tersi varsayımını kabul ederek, belirli bir noktadan belirli bir doğruya en az iki paralel çizgi çizilebileceği varsayımını kabul ederek bu tür girişimlerle başladı. N. I. Lobachevsky bu varsayımı bir çelişkiye getirmeye çalıştı. Bununla birlikte, yaptığı varsayımdan ve Öklid'in geri kalan aksiyomlarının bütününden daha uzun ve daha uzun bir sonuçlar zinciri ortaya çıktıkça, hiçbir çelişkinin elde edilemeyeceği, aynı zamanda elde edilemeyeceği de giderek daha açık hale geldi. . Bir çelişki yerine, N. I. Lobachevsky, tuhaf olsa da, mantıksal olarak tamamen uyumlu ve kusursuz bir cümle sistemi, sıradan Öklid geometrisi ile aynı mantıksal mükemmelliğe sahip bir sistem aldı. Bu cümle sistemi, Öklidyen olmayan geometri veya Lobachevsky geometrisi olarak adlandırılır.
İnşa ettiği geometrik sistemin tutarlılığı inancını alan N. I. Lobachevsky, bu tutarlılığın kesin bir kanıtını vermedi ve veremedi, çünkü böyle bir kanıt 19. yüzyılın başında matematik yöntemlerinin ötesine geçti. Lobachevsky'nin geometrisinin tutarlılığının kanıtı ancak geçen yüzyılın sonunda Cayley, Poincare ve Klein tarafından verildi.
N. I. Lobachevsky, geometrik sisteminin olağan Öklid sistemiyle mantıksal eşitliğinin resmi bir kanıtını vermeden, özünde, bu eşitlik gerçeğinin şüphesizliğini tam olarak anladı ve her ikisinin de mantıksal kusursuzluğu göz önüne alındığında, tam bir kesinlikle ifade etti. Hangisinin fiziksel dünyada gerçekleştiği sorusuna yalnızca deneyimle karar verilebilir. N. I. Lobachevsky, matematiğe soyut bir mantıksal şema olarak değil, deneysel bir bilim olarak bakan ilk kişiydi. Bir üçgenin açılarının toplamını ölçmek için deneyler kuran ilk kişiydi; a priori geometrik gerçeklerin bin yıllık önyargısını terk etmeyi başaran ilk kişi. Sık sık şu sözleri tekrarlamayı sevdiği bilinir: "Bırak boşuna çalış, tüm bilgeliği tek bir akıldan çıkarmaya çalış, doğaya sor, o tüm sırları saklıyor ve sorularına hatasız ve tatmin edici bir şekilde cevap verilecektir." N. I. Lobachevsky'nin bakış açısına göre, modern bilim sadece bir değişiklik getiriyor. Fiziksel dünyada ne tür bir geometrinin gerçekleştirildiği sorusu, Lobachevsky zamanında kendisine atfedilen o dolaysız naif anlama sahip değildir. Sonuçta, geometrinin en temel kavramları - tüm bilgimiz gibi, deneyimden doğan bir nokta ve bir çizgi kavramları, yine de, bize doğrudan deneyimde verilmez, ancak yalnızca deneyimden soyutlanarak ortaya çıkar. , deneysel verilerin idealleştirmeleri olarak, yalnızca uygulamaları etkinleştiren idealleştirmeler matematiksel yöntem gerçeğin araştırılmasına. Bunu açıklığa kavuşturmak için, yalnızca sonsuzluğundan dolayı geometrik çizginin - geometride incelendiği biçimde - deneyimimizin konusu olmadığını, yalnızca çok uzun ve ince bir idealleştirme olduğuna işaret edeceğiz. bizim tarafımızdan doğrudan algılanan çubuklar veya ışık ışınları. . Bu nedenle, paralel Öklid veya Lobachevsky aksiyomunun nihai deneysel doğrulaması imkansızdır, tıpkı bir üçgenin açılarının toplamını kesinlikle tam olarak belirlemek imkansız olduğu gibi: bize verilen herhangi bir fiziksel açının tüm ölçümleri her zaman yalnızca yaklaşık değerlerdir. Sadece Öklid'in geometrisinin, "çok büyük ve çok küçük olmayan uzay parçaları" ile uğraştığımız sürece, yani ikisinden birine girene kadar bizi tam olarak tatmin eden gerçek uzaysal ilişkilerin idealleştirilmesi olduğunu iddia edebiliriz. Bir yandan güneş sistemi içinde kaldığımız ve diğer yandan atom çekirdeğinin çok derinlerine dalmadığımız sürece olağan, pratik ölçeklerimizin çok ötesinde.
Kozmik ölçeklere geçtiğimizde durum değişir. Modern genel görelilik kuramı, uzayın geometrik yapısını, bu uzayda hareket eden kütlelere bağlı bir şey olarak ele alır ve kelimenin tam anlamıyla "Öklidyen olmayan" geometrik sistemleri içerme ihtiyacına gelir. Lobachevsky'nin geometrisi ile.
Tüm modern matematik ve doğa bilimleri için Öklidyen olmayan geometrinin yaratılması gerçeğinin önemi muazzamdır ve N. I. Lobachevsky'yi "Geometrinin Kopernik'i" olarak adlandıran İngiliz matematikçi Clifford abartıya düşmedi. N. I. Lobachevsky, "hareketsiz, tek gerçek Öklid geometrisi" dogmasını yıktı, tıpkı Kopernik'in hareketsiz olan ve Evrenin sarsılmaz merkezini oluşturan Dünya hakkındaki dogmayı yok ettiği gibi. N. I. Lobachevsky, geometrimizin mantıksal olarak eşit birkaç geometriden biri olduğunu, eşit derecede kusursuz, mantıksal olarak eşit derecede eksiksiz, matematiksel teoriler kadar eşit derecede doğru olduğunu ikna edici bir şekilde gösterdi. Bu teorilerden hangisinin kelimenin fiziksel anlamında doğru olduğu, yani bir veya başka bir dairenin çalışmasına en çok uyarlanan soru fiziksel olaylar, tam olarak bir fizik sorunudur, matematik değil ve dahası, çözümü Öklid geometrisi tarafından kesin olarak verilmeyen, ancak ne tür bir fiziksel fenomen çemberi seçtiğimize bağlı olan bir sorudur. Öklid geometrisinin tek, gerçekten önemli ayrıcalığı, gündelik mekansal deneyimimizin matematiksel bir idealizasyonu olmaya devam etmesi ve bu nedenle, elbette, temel konumunu hem mekanik hem de fiziğin önemli bir bölümünde ve hatta hepsinden daha fazlası olarak muhafaza etmesidir. teknoloji. Ancak N. I. Lobachevsky'nin keşfinin felsefi ve matematiksel önemi, bu durum elbette küçümsenemez.
Bunlar kısaca Nikolai İvanoviç Lobaçevski'nin çok yönlü kültürel faaliyetinin ana hatlarıdır. hakkında birkaç söz daha söylemek kalıyor. son yıllar Onun hayatı. XIX yüzyılın 20'leri ve 30'ları ise. N. I. Lobachevsky'nin hem yaratıcı hem de bilimsel-pedagojik ve örgütsel faaliyetlerinin en yüksek gelişme dönemiydi, daha sonra kırklı yılların ortasından itibaren ve dahası, N. I. Lobachevsky için aniden, hareketsizlik ve yaşlılık tükenmesi dönemi başlıyor. N. I. Lobachevsky'nin hayatındaki bu trajik dönüm noktasını beraberinde getiren ana olay, 14 Ağustos 1846'da rektörlük görevinden alınmasıydı. Bu görevden alma, N. I. Lobachevsky'nin arzusu olmadan ve üniversite konseyinin dilekçesine aykırı olarak gerçekleşti. Neredeyse aynı anda, matematik profesörü görevinden alındı, böylece 1847 baharında N. I. Lobachevsky, üniversitedeki neredeyse tüm görevlerinden uzaklaştırıldı. Bu uzaklaştırma, doğrudan bir hakaretle sınırlanan, kaba bir resmi diskalifiyenin tüm özelliklerine sahipti.
Üniversite alanındaki çalışmalarının hayatının büyük ve yeri doldurulamaz bir parçası olduğu N. I. Lobachevsky'nin istifasını ağır, onarılamaz bir darbe olarak alması oldukça anlaşılabilir. Bu darbe, elbette, özellikle zordu, çünkü o zaman, yaratıcısı N. I. Lobachevsky'nin hayatında patlak verdi. bilimsel çalışma temelde zaten tamamlanmıştı ve sonuç olarak üniversite faaliyetleri hayatının ana içeriği haline geldi. Buna, N. I. Lobachevsky'nin son derece aktif karakterini ve on yıllar boyunca yaratılan, sıradan bir katılımcı değil, örgütsel işlerde lider olma alışkanlığını, gerçekten hakkı olan bir alışkanlığı eklersek, o zaman felaketin boyutları başına gelen oldukça açık hale geldi. Kupaya kişisel üzüntüler eklendi: N. I.'nin sevgili oğlu Lobachevsky, çağdaşlarına göre, görünüş ve karakter bakımından babasına çok benzeyen yetişkin bir genç adam öldü. N. I. Lobachevsky bu darbeyle asla başa çıkamadı. Yaşlılık başladı - erken, ama paradoksal olarak erken yıpranmışlığın artan belirtileriyle daha da baskıcı. Sağlığı hızla azalıyordu. Görüşünü kaybetmeye başladı ve hayatının sonunda tamamen kör oldu. Son çalışma "Pangeometri" zaten ona dikte edildi. Hayat tarafından kırılmış, hasta, kör bir yaşlı adam, 24 Şubat 1856'da öldü.
Bir bilim adamı olarak N. I. Lobachevsky, kelimenin tam anlamıyla bilimde bir devrimcidir. Öklid geometrisi fikrinde ilk kez, akla gelebilecek tek geometrik bilgi sistemi, uzamsal formlar üzerine akla gelebilecek tek teklif kümesi olarak bir ihlal yapan N. I. Lobachevsky, yalnızca tanıma değil, hatta basit bir anlayış bile bulamadı. onun fikirleri. Bu fikirlerin matematik bilimine girmesi, ayrılmaz bir parçası haline gelmesi ve sonraki dönemin tüm matematiksel düşünce tarzını büyük ölçüde belirleyen ve aslında Rus matematiğinin başladığı dönüm noktası haline gelmesi yarım yüzyıl aldı. Bu nedenle, yaşamı boyunca N. I. Lobachevsky, "tanınmayan bir bilim adamının" zor konumuna düştü. Ancak bu tanınmama, ruhunu kırmadı. Yukarıda kısaca özetlenen bu çeşitli, coşkulu faaliyette bir çıkış yolu buldu. Lobachevsky'nin kişiliğinin gücü, yalnızca yaşadığı kasvetli zamanın tüm zorluklarını yenmekle kalmadı, aynı zamanda bir bilim insanı için katlanılması belki de en zor olan şeye karşı da galip geldi: ideolojik izolasyona, tam bir anlayış eksikliğine karşı. onun için en değerli ve en gerekli olanı. bilimsel keşifler ve fikirler. Ancak, aralarında önde gelen bilim adamları olan çağdaşlarını Lobachevsky'yi anlamadıkları için suçlamamak gerekir. Fikirleri zamanının çok ötesindeydi. Yabancı matematikçiler arasında sadece ünlü Gauss bu fikirleri anladı. Ama onlara sahip olan Gauss, bunu alenen söyleme cesaretini hiçbir zaman bulamadı. Ancak Lobachevsky'yi anladı ve takdir etti. Lobachevsky'nin payına düşen tek bilimsel onurda inisiyatif aldı: Gauss'un önerisi üzerine Lobachevsky, 1842'de Göttingen Kraliyet Bilimler Derneği'nin ilgili bir üyesi seçildi.
Eğer N. I. Lobachevsky geometrik çalışmalarıyla bilim tarihinde ölümsüzlük hakkını şüphesiz kazandıysa, o zaman matematiğin diğer alanlarında matematiksel analiz, cebir ve olasılık teorisi üzerine bir dizi parlak eser yayınladığını unutmamalıyız. mekanik, fizik ve astronomi.
N. I. Lobachevsky'nin adı dünya biliminin hazinesine girdi. Ama parlak bilim adamı her zaman Rus için bir savaşçı gibi hissetti Ulusal kültür, onun günlük kurucusu, çıkarlarını yaşayan, ihtiyaçlarından acı çeken.
N. I. Lobachevsky'nin ana eserleri: Geometri Üzerine Komple Çalışmalar, Kazan, 1833, cilt I (içerir: Geometrinin İlkeleri Üzerine, 1829; Hayali Geometri, 1835; Hayali Geometrinin Bazı İntegrallere Uygulanması, 1836; Tam Paraleller Teorisi ile Geometrinin Yeni İlkeleri, 1835 -1838); 1886, cilt II (yabancı dillerdeki çalışmaları içerir: Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien, 1840, burada N. I. Lobachevsky Öklid dışı geometri hakkındaki fikirlerini ana hatlarıyla belirtir); Paralel çizgiler teorisi üzerine geometrik araştırma (N. I. Lobachevsky Geometrische Untersuchungen'in ünlü anısının A. V. Letnikov tarafından Rusça çevirisi ...), "Matematiksel Koleksiyon", M., 1868, III; Pangeometri, "Kazan Üniversitesinin Bilimsel Notları", 1855; Komple eserler, M. - L., Göstekhizdat, 1946.
N. I. Lobachevsky hakkında:Yanishevsky E., N. I. Lobachevsky'nin hayatı ve eseri üzerine tarihi not, Kazan, 1868; Vasilyev A.V., Nikolai İvanoviç Lobachevsky, St. Petersburg, 1914; Sintsov D.M., Nikolai İvanoviç Lobaçevski, Harkov, 1941; Nikolai İvanoviç Lobachevsky (doğumunun 150. yıldönümünde; P. S. Aleksandrov ve A. N. Kolmogorov'un makaleleri), M. - L., 1943; Nikolai Ivanovich Lobachevsky (makaleler B.L. Laptev, P.A. Shirokov, N.G. Chebotarev), ed. SSCB Bilimler Akademisi, M. - L., 1943; Kagan V.F., Büyük bilim adamı N. I. Lobachevsky ve dünya bilimindeki yeri, M. - L., 1943; kendi, N. I. Lobachevsky, ed. SSCB Bilimler Akademisi, M.-L., 1944.
Nikolai Ivanovich Lobachevsky - kırk yıldır seçkin bir Rus matematikçi - rektör, halk eğitimi aktivisti, Öklid dışı geometrinin kurucusu.
Bu, zamanının birkaç on yıl ötesinde olan ve çağdaşları tarafından yanlış anlaşılan bir adam.
Lobachevsky Nikolai İvanoviç'in Biyografisi
Nicholas 11 Aralık 1792'de doğdu. fakir aile astsubay Ivan Maksimovich ve Praskovya Alexandrovna. Matematikçi Nikolai Ivanovich Lobachevsky'nin doğum yeri Nizhny Novgorod'dur. 9 yaşında, babasının ölümünden sonra annesi tarafından Kazan'a nakledildi ve 1802'de yerel spor salonuna kabul edildi. 1807'de mezun olduktan sonra Nikolai, yeni kurulan Kazan İmparatorluk Üniversitesi'nde öğrenci oldu.
M. F. Bartels'in vesayeti altında
Fiziksel ve matematiksel bilimlere özel bir sevgi, çalışmalarını derinden bilen ve takdir eden yetenekli bir öğretmen olan gelecekteki dahi Grigory Ivanovich Kartashevsky'ye aşılamayı başardı. Ne yazık ki, 1806 yılı sonunda, üniversitenin önderliği ile anlaşmazlıklar nedeniyle, "itaatsizlik ve anlaşmazlık ruhu sergilediği için" üniversite hizmetinden ihraç edildi. Ünlü Carl Friedrich Gauss'un öğretmeni ve arkadaşı olan Bartels, matematik dersleri vermeye başladı. 1808'de Kazan'a vardığında, yetenekli ama fakir bir öğrencinin himayesini aldı.
Yeni öğretmen, gözetimi altında Carl Gauss'un "Sayılar Teorisi" ve Fransız bilim adamı Pierre-Simon Laplace'ın "Gök Mekaniği" gibi klasikleri inceleyen Lobachevsky'nin ilerlemesini onayladı. Son yılında itaatsizlik, inatçılık ve tanrısızlık belirtileri için, Nikolai'nin kovulma olasılığı asılı kaldı. Üstün yetenekli öğrencinin üzerindeki tehlikenin ortadan kaldırılmasına katkıda bulunan Bartels'in himayesiydi.
Lobachevsky'nin hayatında
1811'de mezun olduktan sonra, kısa biyografisi genç neslin samimi ilgisi olan Nikolai İvanoviç, matematik ve fizikte usta olarak onaylandı ve eğitim kurumunda kaldı. İki bilimsel çalışma - cebir ve mekanikte, 1814'te (son teslim tarihinden önce) sunulan, yardımcı doçentliğe (doçent) yükselmesine yol açtı. Ayrıca, başarıları daha sonra torunları tarafından doğru bir şekilde değerlendirilecek olan Nikolai İvanoviç Lobachevsky, kendi kendine öğretmeye başladı, yavaş yavaş öğrettiği derslerin (matematik, astronomi, fizik) yelpazesini artırdı ve matematiksel ilkelerin yeniden yapılandırılması hakkında ciddi bir şekilde düşündü.
Öğrenciler, bir yıl sonra olağanüstü profesör unvanını alan Lobachevsky'nin derslerini sevdiler ve çok takdir ettiler.
Magnitsky'nin yeni siparişleri
Toplumdaki özgür düşünceyi ve devrimci havayı bastırmak için İskender I hükümeti, mistik-Hıristiyan öğretileriyle din ideolojisine güvenmeye başladı. Üniversiteler, sert denetimlerden ilk geçenler oldu. Mart 1819'da, okulların ana kurulunun bir temsilcisi olan M. L. Magnitsky, yalnızca kendi kariyerine özen göstererek bir denetimle Kazan'a geldi. Kontrolünün sonuçlarına göre, üniversitedeki durumun son derece içler acısı olduğu ortaya çıktı: bu kurumun öğrencilerinin burs eksikliği topluma zarar verdi. Bu nedenle, üniversitenin yıkılması (kamusal olarak yıkılması) gerekiyordu - geri kalanı için öğretici bir örnek olması amacıyla.
Bununla birlikte, İskender durumu aynı müfettişin elleriyle düzeltmeye karar verdim ve Magnitsky, özel bir gayretle kurumun duvarları içinde “işleri düzene koymaya” başladı: 9 profesörü işten çıkardı, en katı sansürü tanıttı dersler ve sert bir kışla rejimi.
Lobachevsky'nin geniş faaliyeti
Nikolai Ivanovich Lobachevsky'nin biyografisi, üniversitede kurulan ve 7 yıl süren kilise-polis sisteminin zor dönemini anlatıyor. Asi ruhun gücü ve bir dakika boş zaman bırakmayan bilim adamının mutlak istihdamı, zorlu testlere dayanmaya yardımcı oldu.
Nikolai Ivanovich Lobachevsky, üniversitenin duvarlarını terk eden ve tüm derslerde matematik öğreten Bartels'in yerini aldı, ayrıca fizik odasına yöneldi ve okudu verilen konu, öğrencilere astronomi ve jeodezi öğretti, I. M. Simonov ise Dünya Turu. Kütüphaneyi düzene sokmak ve özellikle fiziksel ve matematiksel kısmını doldurmak için muazzam bir çalışma yaptı. Yol boyunca, inşaat komitesinin başkanı olan matematikçi Nikolai Ivanovich Lobachevsky, üniversitenin ana binasının inşaatını denetledi ve bir süre Fizik ve Matematik Fakültesi dekanı olarak görev yaptı.
Lobachevsky'nin Öklid olmayan geometrisi
Muazzam sayıda güncel olay, kapsamlı pedagojik, idari ve araştırma çalışmaları, yaratıcı aktivite matematik: jimnastik salonları için 2 ders kitabı kaleminin altından çıktı - “Cebir” (kullanım için mahkum edildi ve “Geometri” (hiç yayınlanmadı). Magnitsky'den Nikolai Ivanovich, küstahlığı ve yerleşik kuralların ihlali nedeniyle sıkı denetim altına alındı. Bununla birlikte, insan onurunu küçük düşüren bu koşullar altında bile, Lobachevsky Nikolai İvanoviç geometrik temellerin katı bir şekilde inşası için çok çalıştı. Öklid dönemi (MÖ 3. yüzyıl).
1826 kışında, bir Rus matematikçi, birkaç seçkin profesöre inceleme için sunulan geometrik ilkeler üzerine bir rapor hazırladı. Ancak, beklenen inceleme (ne olumlu ne de olumsuz) alınmadı ve değerli raporun el yazması günümüze ulaşmadı. Bilim adamı bu materyali 1829-1830'da yayınlanan "Geometri İlkeleri Üzerine" adlı ilk çalışmasına dahil etti. Kazan Bülteni'nde. Önemli geometrik keşifler sunmanın yanı sıra, Nikolai İvanoviç Lobachevsky, haksız yere Alman matematikçi Dirichlet'e atfedilen (sürekliliği ve türevlenebilirliği arasında açıkça ayrım yapan) bir fonksiyonun rafine bir tanımını tanımladı. Ayrıca bilim adamları, birkaç on yıl sonra değerlendirilen trigonometrik seriler üzerinde dikkatli çalışmalar yaptılar. Yetenekli bir matematikçi, zaman içinde haksız yere “Greffe yöntemi” olarak adlandırılan denklemlerin sayısal çözümü için bir yöntemin yazarıdır.
Lobachevsky Nikolai İvanoviç: ilginç gerçekler
Birkaç yıl boyunca eylemleriyle korku uyandıran denetçi Magnitsky, tatsız bir kader tarafından bekleniyordu: özel bir denetim komisyonu tarafından ortaya çıkarılan birçok suistimal için görevinden alındı ve sürgüne gönderildi. Mikhail Nikolaevich Musin-Pushkin, eğitim kurumunun takdir edebilen bir sonraki mütevelli heyetine atandı. güçlü aktivite Nikolai Lobachevsky ve onu Kazan Üniversitesi rektörlüğü görevine tavsiye etti.
1827'den başlayarak 19 yıl boyunca Lobachevsky Nikolai Ivanovich (yukarıdaki Kazan'daki anıtın fotoğrafına bakın) bu yazıda çok çalıştı ve sevgili yavrularının şafağına ulaştı. Lobachevsky'den dolayı - genel olarak bilimsel ve eğitimsel faaliyetlerin düzeyinde açık bir gelişme, çok sayıda ofis binasının (fizik ofisi, kütüphane, kimya laboratuvarı, astronomik ve manyetik gözlemevi, mekanik atölyeler) inşası. Rektör aynı zamanda "Kazan Vestnik"in yerini alan ve ilk kez 1834'te yayınlanan "Kazan Üniversitesinin Bilimsel Notları" adlı katı bilimsel derginin de kurucusudur. 8 yıl boyunca rektörlük makamına paralel olarak Nikolai İvanoviç kütüphaneden sorumluydu, öğretim faaliyetlerinde bulundu ve matematik öğretmenlerine talimatlar yazdı.
Lobachevsky'nin meziyetleri arasında, üniversiteye ve öğrencilerine karşı samimi ve samimi ilgisi de bulunmaktadır. Böylece, 1830'da eğitim bölgesini izole etmeyi ve eğitim kurumu personelini kolera salgınından kurtarmak için kapsamlı bir dezenfeksiyon yapmayı başardı. Kazan'daki (1842) korkunç bir yangın sırasında neredeyse tüm eğitim binalarını, astronomik aletleri ve kütüphane malzemelerini kurtarmayı başardı. Nikolai İvanoviç ayrıca üniversite kütüphanesine ve müzelere halka ücretsiz erişim sağladı ve nüfus için popüler bilim dersleri düzenledi.
Lobachevsky'nin inanılmaz çabaları sayesinde, yetkili, birinci sınıf, iyi donanımlı Kazan Üniversitesi, Rusya'daki en iyi eğitim kurumlarından biri haline geldi.
Rus matematikçinin fikirlerinin yanlış anlaşılması ve reddedilmesi
Bunca zaman, matematikçi yeni geometri geliştirmeyi amaçlayan devam eden araştırmalarda durmadı. Ne yazık ki, derin ve taze fikirleri, çağdaşların başarısız olduğu ve belki de Lobachevsky'nin eserlerini takdir etmek istemediği genel kabul görmüş aksiyomlara karşı çıktı. Yanlış anlama ve bir dereceye kadar zorbalık Nikolai İvanoviç'i durdurmadı: 1835'te "Hayali Geometri" ve bir yıl sonra - "Hayali Geometrinin Bazı İntegrallere Uygulanması" yayınladı. Üç yıl sonra dünya, onun temel fikirlerinin kısa ve son derece net bir açıklamasını içeren en kapsamlı eseri olan New Principles of Geometry with a Complete Theory of Parallels'i gördü.
Bir matematikçinin hayatında zor bir dönem
Anlam alamamak memleket, Lobachevsky bunun dışında benzer düşünen insanları almaya karar verdi.
1840'ta Lobachevsky Nikolai Ivanovich (incelemedeki fotoğrafa bakın) çalışmalarını Almanca olarak açıkça belirtilen ana fikirlerle yayınladı. Bu baskının bir nüshası, kendisi gizlice Öklidyen olmayan geometriyle uğraşan, ancak düşünceleriyle alenen konuşmaya cesaret edemeyen Gauss'a verildi. Rus meslektaşının çalışmalarına aşina olan Alman, Rus meslektaşının Göttingen Kraliyet Derneği'ne ilgili üye olarak seçilmesini tavsiye etti. Gauss, Lobachevsky hakkında sadece kendi günlüklerinde ve en güvenilir insanlar arasında övgü dolu sözler söyledi. Yine de Lobachevsky'nin seçimi gerçekleşti; bu 1842'de oldu, ancak Rus bilim adamının konumunu hiçbir şekilde iyileştirmedi: üniversitede 4 yıl daha çalışmak zorunda kaldı.
Nicholas hükümeti, Nikolai İvanoviç Lobachevsky'nin uzun yıllara dayanan çalışmalarını değerlendirmek istemedim ve 1846'da onu üniversitedeki işten uzaklaştırdı ve resmi olarak nedenini açıkladı: sağlıkta keskin bir bozulma. Resmi olarak, eski rektöre mütevelli yardımcısı pozisyonu teklif edildi, ancak maaşsız. Profesörlük bölümünün görevden alınmasından ve yoksun bırakılmasından kısa bir süre önce, kısa biyografisi hala şu anda incelenmekte olan Lobachevsky Nikolai Ivanovich Eğitim Kurumları, kendisi yerine doktora tezini mükemmel bir şekilde savunan Kazan spor salonu A.F. Popov'un öğretmenini önerdi. Nikolai İvanoviç, genç yetenekli bir bilim insanına hayatta doğru yolu vermenin gerekli olduğunu düşündü ve bu koşullar altında sandalyeyi işgal etmeyi uygun bulmadı. Ancak, her şeyi bir anda kaybetmiş ve kendini kendisi için tamamen gereksiz bir konumda bulan Lobachevsky, sadece üniversiteye liderlik etme fırsatını değil, aynı zamanda bir şekilde eğitim kurumunun faaliyetlerine katılma fırsatını da kaybetti.
Aile hayatında, 1832'den beri Lobachevsky Nikolai Ivanovich, Varvara Alekseevna Moiseeva ile evlendi. Bu evlilikte 18 çocuk doğdu, ancak sadece yedi kişi hayatta kaldı.
hayatın son yılları
Hayatının işinden zorla uzaklaştırma, yeni geometrinin reddedilmesi, çağdaşlarının kaba nankörlüğü, finansal durumda keskin bir bozulma (harap nedeniyle, karısının mülkü borçlar için satıldı) ve aile kederi (kaybı) 1852'deki en büyük oğlu) fiziksel ve ruhsal sağlık üzerinde yıkıcı bir etkiye sahipti Rus matematikçi: gözle görülür şekilde bitkin düştü ve görüşünü kaybetmeye başladı. Ancak kör Nikolai İvanoviç Lobachevsky bile sınavlara katılmayı bırakmadı, ciddi olaylara geldi, bilimsel tartışmalara katıldı ve bilimin yararına çalışmaya devam etti. Rus matematikçi "Pangeometri" nin ana çalışması, öğrenciler tarafından ölümünden bir yıl önce kör Lobachevsky'nin diktesi altında yazılmıştır.
Geometrideki keşifleri ancak on yıllar sonra takdir edilen Lobachevsky Nikolai Ivanovich, yeni matematik alanındaki tek araştırmacı değildi. Macar bilim adamı Janos Bolyai, Rus meslektaşından bağımsız olarak, 1832'de Öklid dışı geometri vizyonunu meslektaşlarının mahkemesine getirdi. Ancak eserleri çağdaşları tarafından takdir edilmedi.
Tamamen Rus bilimine ve Kazan Üniversitesine adanmış seçkin bir bilim adamının hayatı 24 Şubat 1856'da sona erdi. Hayatı boyunca hiç tanınmayan Lobachevsky'yi Kazan'daki Arsky mezarlığına gömdüler. Sadece birkaç on yıl sonra bilim dünyasındaki durum çarpıcı bir şekilde değişti. Nikolai Lobachevsky'nin eserlerinin tanınmasında ve kabul edilmesinde büyük bir rol Henri Poincare, Eugenio Beltrami, Felix Klein'ın çalışmaları tarafından oynandı. Öklid geometrisinin tam teşekküllü bir alternatifi olduğunun farkına varılması, bilim dünyası üzerinde önemli bir etkiye sahipti ve kesin bilimlerdeki diğer cesur fikirlere ivme kazandırdı.
Nikolai İvanoviç Lobachevsky'nin doğum yeri ve tarihi, kesin bilimlerle ilgili birçok çağdaş tarafından bilinmektedir. Nikolai İvanoviç Lobachevsky'nin onuruna Ay'daki bir krater seçildi. Büyük Rus bilim adamının adı bilimsel Kütüphane Hayatının büyük bir bölümünü adadığı Kazan'daki üniversite. Moskova, Kazan, Lipetsk dahil olmak üzere Rusya'nın birçok şehrinde Lobachevsky sokakları da var.
İyi çalışmalarınızı bilgi tabanına gönderin basittir. Aşağıdaki formu kullanın
Bilgi tabanını çalışmalarında ve çalışmalarında kullanan öğrenciler, yüksek lisans öğrencileri, genç bilim adamları size çok minnettar olacaktır.
Yayınlanan http://www.allbest.ru/
Uhta Eyaleti Teknik Üniversite, Ukhta
N.I.'nin Hayatı Lobachevsky ve bilimsel etkinliği
"Bazen bir kişiye borç vermemiş olsa bile kredi verilir."
Nikolai İvanoviç Lobachevsky, 1792'de Nizhny Novgorod'da doğdu. Nikolai İvanoviç'in büyük ve küçük erkek kardeşleri vardı. Nikolai'nin babası Ivan Maksimovich Lobachevsky, Nizhny Novgorod'da memur olarak çalıştı. Karısı Praskovya Alexandrovna, fakir kasaba halkının kızıydı, onun hakkında daha fazla bir şey bilinmiyor. Nikolai'nin ailesi genç yaşta evlendi, ikisi de düğün sırasında henüz on sekiz yaşında değildi. Taşındıktan kısa bir süre sonra, geleceğin büyük bilim adamının babası 40 yaşında ölür ve ailesini zor bir mali durumda bırakır. Ancak Lobachevsky kardeşler, anketör Sergei Stepanovich Shebarshin'in evinde büyüdüler ve yoksulluk içinde yaşamadılar. 1802'de Praskovya Alexandrovna, oğullarını devlet desteği için Kazan spor salonuna gönderdi. İlk başta, Üniversite programı spor salonundan çok farklı değildi, ancak 1808'de matematik profesörü Kaspar Renner, aynı zamanda bir matematik profesörü olan ve aynı zamanda bir matematik profesörü olan Martin Bartels'in gelmesiyle durum daha iyiye doğru değişti. ve Karl Gauss'un arkadaşı. İkincisi, Lobachevsky'ye geometriye ilgi duydu. Zaten 19 yaşındayken Nikolai İvanoviç bir yüksek lisans derecesi aldı ve profesörlüğe hazırlanmak için üniversitede kaldı. Aynı yıl M. Bartels ile birlikte Gauss ve Laplace'ın klasik eserleri olan “Sayılar Teorisi” ve “Gök Mekaniği”nin ilk ciltlerini derinlemesine incelerler. Bu eserlerin incelenmesi Lobachevsky'yi kendi araştırmasını başlatmaya sevk etti. 1811'de "Cisimlerin eliptik hareketi teorisi" ve 1813'te - "Çözünürlük Üzerine" yayınladı. cebirsel denklem x m? 1 = 0". 1814'te öğretmenliğe başladı.
Öklid Dışı Geometri - Lobachevsky'nin hayatının ana çalışması, bilimsel bir başarı, matematiğin ve matematiksel düşüncenin daha da geliştirilmesi üzerinde büyük bir etkiye sahipti. Bu konuyla ilgili ilk çalışma, 1826'da Kazan Üniversitesi rektörü olan Lobachevsky tarafından yayınlandı "Paralel teoremlerin titiz bir kanıtı ile geometrinin temellerinin özlü bir sunumu." Lobachevsky, bu konuda kamu çalışmalarına sunan ilk bilim adamıydı. Diğer bilim adamları da bu problemle uğraştı, ancak çözümüne en büyük katkıyı Lobachevsky yaptı, bu nedenle yarattığı geometri onun adını taşıyor. Ayrıca, bilim insanının yayınlanmış eserleri arasında: “Geometri ilkeleri üzerine” (1829-1830), “Hayali geometri” (1835), “Hayali geometrinin belirli integrallere uygulanması” (1836), “Yeni geometri ilkeleri tam bir paralel teorisi ile” (1835-1838), “Paralel çizgiler teorisi üzerine geometrik çalışmalar” (1840). Matematik disiplininin kalbinde bir varsayımlar ve aksiyomlar sistemi vardır. Lobachevsky'nin geometrisi bir istisna değildir. Lobachevsky, Öklid geometrisi tarafından önerilen tüm aksiyomları ve varsayımları kabul eder ve V varsayımına bağlı değildir ve V varsayımını kendisininkiyle değiştirir: “Düzlemde, bir çizgi üzerinde uzanmayan bir noktadan, birden fazla bununla kesişmeyen bir çizgi çizilebilir.”
İki sınır çizgisi xx" ve yy" (Şekil 1) R doğrusunu kesmez ve P noktasında ona paralel olarak adlandırılır.
xPy açısının içindeki tüm doğrular R doğrusuyla kesişir. PB, R doğrusuna diktir.
Açıya paralellik açısı denir.
xPy" ve yPx" açılarının içindeki çizgilere R- doğrusunu kesmez, R doğrusundan ıraksayan olarak adlandırılır.
Lobachevsky geometrisi ile Öklid geometrisi arasındaki temel fark budur. Lobachevsky geometrisinde şunu da belirtmek önemlidir:
1) Bir üçgenin açılarının toplamı her zaman 2d'den küçüktür (iki doğru)
2) Benzer rakamlar yok.
3) Uzunluk birimi, bazı geometrik yapılarla, yani uzayın kendisi ile birlikte verilir. geometrik özellikler belirli bir uzunluk birimini tanımlar.
4) Paralelliğin yönü ayarlanır.
Lobachevsky aksiyomunun yerine getirilmesi gereken uzaya Lobachevsky uzayı denir. karşılıklı düzenleme uzaydaki çizgiler ve düzlemler, paralellik açısı kavramının bir analogu olan paralellik konisi ile karakterize edilir. Alfa düzlemi ve üzerinde yer almayan bir P noktası (Şekil 2) verilsin, PP "Alfa'ya diktir. Pb, Alfa düzlemine paralel düz bir çizgidir ve P"B" onun bu düzlem üzerindeki izdüşümüdür. bPP" açısı, P"B"ye göre P noktasındaki paralellik açısıdır. Pb çizgisini PP dik ekseni etrafında döndüreceğiz" ve sonra Pb, P noktasında bir tepe noktası olan konik bir yüzey tanımlayacaktır. Bu yüzeye paralellik konisi denir. Bu nedenle, bu koninin tüm üreteçleri alfa düzlemine paraleldir. Koninin içindeki P noktasından geçen herhangi bir doğru, koninin dışından geçen alfa düzlemini keser - alfadan uzaklaşır.
· İki jeneratör boyunca bir koniyi kesen herhangi bir düzlem Alfa ile kesişir.
· Koninin bir generatrisi boyunca geçen herhangi bir düzlem Alfa'ya paraleldir.
· Koninin sadece tepesiyle kesişen herhangi bir düzleme Alfa düzleminden sapma denir.
İlk kez, Lobachevsky'nin yüzeyler üzerindeki geometrisinin gerçekleştirilmesi, 1868'de İtalyan matematikçi Beltrami tarafından belirlendi (Şekil 3). Lobachevsky düzleminin bir parçasındaki geometrinin, sabit negatif eğrilikli yüzeylerdeki geometriyle çakıştığını fark etti, en basit örnek hangi sözde küre temsil eder. Bununla birlikte, burada, Lobachevsky düzleminin tamamında değil, sınırlı bir alanda geometrinin yalnızca yerel bir yorumu verilmiştir.
Üç yıl sonra, 1871'de Alman matematikçi Klein, tam teşekküllü başka bir model buldu (Şekil 4). İçindeki düzlem dairenin içi, düz çizgi kiriş, uçlar hariç, nokta daire içindeki nokta. Aralarındaki aidiyet olağan Öklid anlamında anlaşılır, ancak Öklid'in V postülası burada artık yerine getirilmez, ancak Lobachevsky'nin aksiyomu yerine getirilir: P noktasından a doğrusunu kesmeyen sonsuz sayıda doğru geçer. Ayrıca, aksiyomun tüm sonuçları yerine getirilir.
1882'de Lobachevsky'nin geometrisinin başka bir modeli Fransız matematikçi Poincare tarafından sunuldu (Şekil 5). Lobachevsky düzleminin rolü, açık yarım düzlem P tarafından oynanır, düz çizgilerin rolü, içinde bulunan yarım daireler tarafından, merkezler sınır çizgisi p üzerinde ve bu çizgiye dik olan ışınlar tarafından oynanır. “Düz” nokta, iki ışının başlangıcı, iki yarım daire yayı (uçları hariç tutulmuş) olarak hizmet eder. Sınırlayıcı çizgi de hariç tutulur. Açı, bir düz çizgide yer almayan, ortak bir kökene sahip iki ışının bir şeklidir. Sınır çizgisine dik olan yarım çizgiler, dikkate alınan yarım dairelerin sınırlarıdır (bkz. Şekil b). Yarım dairenin merkezi sınırlayıcı düz çizgi boyunca uzaklaştığında ve yarım daire noktanın içinden geçtiğinde, sınırda "düzleşir" ve aynı zamanda bir yarım çizgi haline gelir. Bu nedenle, sonsuz yarıçaplı yarım daireler bu modelde düz çizgiler olarak kabul edilir. Paralel aksiyom dışında Öklid geometrisinin tüm aksiyomları burada sağlanır. Böylece bu modelde Lobachevsky geometrisi karşılanmıştır. Noktaları koordinatlar olarak temsil ederek ve mesafeyi koordinatlarda bir formül olarak ifade ederek analitik bir geometri modeli oluşturabilirsiniz. Lobachevsky'nin geometrisinin böyle bir modeli, Alman matematikçi Riemann tarafından, kendisi tarafından tanımlanan ve şimdi Riemannian olarak adlandırılan genel geometrinin özel bir durumu olarak verildi.
Lobachevsky'nin bilimsel fikirleri çağdaşlarının çoğu tarafından anlaşılmadı ve “hayali geometri” üzerine ilk çalışmanın yayınlanmasından sonra Nikolai İvanoviç anavatanında en şiddetli zulme maruz kaldı. Bilimsel değerlerinin ömür boyu tanınması, Gauss'un tavsiyeleri sayesinde Göttingen Kraliyet Bilim Derneği'ne seçilmesiydi. Ancak yine de Lobachevsky pes etmedi ve hayatının sonuna kadar fikirlerinin zaferinin kaçınılmaz olduğuna inanıyordu. 1855'te, zor deneyimler ve sürekli zihinsel stres nedeniyle görüşünü kaybetti, son iş"Pangeometri". Ertesi yıl öldü. Ancak, Lobachevsky'nin ölümünden sonra, fikirleri bilim camiasının dikkatini çekti ve geometrinin temelleri hakkındaki görüşleri gözden geçirmek için güçlü bir teşvik görevi gördü. Geometrisi, genel ve özel görelilikte, sayı teorisinde (geometrik yöntemlerinde) uygulama bulmuştur. Lobachevsky'nin geometrisi, dünyanın ve uzayın yapısı hakkındaki anlayışımızı genişlettiği için felsefi bir anlama da sahiptir. Şu anda, hem yerli literatürde hem de yabancı literatürde Lobachevsky'nin geometrisine adanmış birçok bilimsel eser var. Lobachevsky geometrisi çalışması, üniversitelerimizin çoğunun ve tüm pedagojik enstitülerin matematik bölümleri programının zorunlu bir parçasıdır - bu geometrik sistemin temellerine aşina olmak, gelecekteki bir öğretmenin eğitiminin gerekli bir parçası olarak kabul edilir. lise. Lobachevsky'nin geometri dersleri de okul matematik çevrelerinde yaygın olarak yetiştirilmektedir.
geometri eliptik lobachevsky
kullanılmış literatür listesi
1) Lobachevsky'nin Geometrisi [Elektronik kaynak]:
http://en.wikipedia.org/wiki/Lobachevsky_geometry
2) Lobachevsky'nin Geometrisi [Elektronik kaynak]:
http://geom.kgsu.ru/index.php
3) Lobachevsky, Nikolai İvanoviç [Elektronik kaynak]:
http://en.wikipedia.org/wiki/Nikolai_Lobachevsky
4) Poincare modeli [Elektronik kaynak]:
http://geometrie.ru/site/lobachevskiy/m1.htm
5) Shirokov P. A. Lobachevsky'nin geometrisinin temellerinin kısa bir özeti [metin]: /P. A. Shirokov - 2. baskı - M.: Nauka, 1983 - 80 s.
Allbest.ru'da barındırılıyor
...Benzer Belgeler
Öklid dışı geometrinin kökeni. "Lobachevsky geometrisinin" ortaya çıkışı. Lobachevsky planimetrisinin aksiyomatiği. Lobachevsky geometrisinin üç modeli. Poincare ve Klein modeli. Lobachevsky geometrisinin bir psödoküre üzerinde haritalanması (Beltrami'nin yorumu).
özet, eklendi 03/06/2009
N.I.'nin Biyografisi Lobaçevski. Lobachevsky'nin basılı bir üniversite organı düzenleme faaliyetleri ve üniversitede kuruluş girişimleri bilim topluluğu. N.I. tarafından geometrinin tanınmasının tarihi. Rusya'da Lobachevsky. Öklidyen olmayan geometrinin ortaya çıkışı.
tez, eklendi 09/14/2011
Öklid dışı geometrinin ortaya çıkış tarihi. Öklid ve Lobachevsky'nin paralel önermelerinin karşılaştırılması. Lobachevsky geometrisinin temel kavramları ve modelleri. Üçgen ve çokgen hatası, mutlak uzunluk birimi. Paralel çizginin tanımı.
dönem ödevi, eklendi 03/15/2011
kısa özgeçmiş N.I. Lobaçevski. Öklid dışı geometrinin keşfinin tarihi. Lobachevsky geometrisinin temel gerçekleri ve tutarlılığı, matematik ve fizikteki önemi ve uygulaması. N.I.'nin fikirlerini tanımanın yolu. Lobachevsky Rusya'da ve yurtdışında.
tez, eklendi 21/08/2011
Öğrenci yılları N.I. Lobaçevski. Öğretmenliğin ilk yılları. Basılı bir üniversite organının organizasyonu. Öklid dışı geometrinin keşfinin tarihi. N.I.'nin geometrisinin tanınması. Lobachevsky ve matematik ve fizikteki uygulaması.
tez, eklendi 03/05/2011
Bir kürenin yüzeyindeki geometrik şekiller. Küresel geometrinin temel gerçekleri. Lobachevsky'nin geometri kavramları. Sabit negatif eğrilik yüzeyi. Lobachevsky'nin geometrisi gerçek dünya. Riemann'ın Öklidyen olmayan geometrisinin temel kavramları.
sunum, eklendi 04/12/2015
Lobachevsky geometrisinin Poincare modeli: tutarlılığı sorunu. Tersine çevirme, analitik görevi. Bir dairenin ve bir doğrunun dönüştürülmesi, ters çevirme sırasında açıların korunması. Değişmez çizgiler ve daireler. Lobachevsky'nin geometri aksiyomları sistemi.
tez, eklendi 09/10/2009
Lobachevsky'nin planimetrisinin dayandığı beş aksiyom grubuna genel bir bakış. Yüksek geometride Cayley-Klein modelinin özü. Kosinüs teoreminin ispatının özellikleri, bir üçgenin açılarının toplamına ilişkin teoremler, üçgenlerin uyumu için dördüncü kritere ilişkin teoremler.
dönem ödevi, eklendi 06/29/2013
Rus bilim adamı N.I.'nin biyografisi. Lobaçevski. Hilbert'in aksiyom sistemi. Lobachevsky'ye göre düzlem ve uzayda paralel doğrular, üçgenler ve dörtgenler. Küresel geometri kavramı. Çeşitli modellerde teoremlerin ispatı.
özet, eklendi 11/12/2010
Geometrinin gelişim aşamalarının incelenmesi - inceleyen bir bilim Mekansal ilişkiler ve formların yanı sıra yapılarında mekansal olanlara benzer diğer ilişkiler ve formlar. Geometri Antik Mısır, Yunanistan, Orta Çağ. N.I.'nin postülaları Lobaçevski.
N.I. Lobachevsky. Hayatı ve bilimsel etkinliği Litvinova Elizaveta Fedorovna
Bölüm VII
Lobachevsky'nin bilimsel etkinliği. – Öklidyen olmayan veya hayali geometrinin tarihinden. – Lobachevsky'nin bu bilimin yaratılmasına katılımı. - Öklid dışı geometrinin geleceği ve Öklid ile ilişkisi üzerine farklı, modern görüşler. – Kopernik ve Lobachevsky arasında bir paralellik. – Bilgi teorisi için Lobachevsky'nin çalışmalarından elde edilen sonuçlar. – Lobachevsky'nin saf matematik, fizik ve astronomi üzerine çalışmaları .
Hayali veya Öklid dışı geometrinin kökeni, hepimizin temel geometri sırasında karşılaştığımız Öklid varsayımından kaynaklanır. Çocuklukta geometri çalışırken, genellikle kanıtlanmadan kabul edilen varsayımın kendisine değil, öğretmenin şimdiye kadar kanıtlamaya yönelik tüm girişimlerin başarısız olduğunu açıklamasına şaşırırız.
Birincisi, dik ve eğik olanın yeterli devamlılıkla kesişeceği bize açık görünüyor ve ikincisi, kanıtlaması çok kolay görünüyor. Geometri eğitimi almış ve Öklid'in postülatını hiçbir zaman kanıtlamaya çalışmamış birini bulmak zordur. Yetenekli ve vasat insanların da bu ayartmaya eşit derecede maruz kaldıkları söylenebilir, tek farkla, birincisi kısa sürede delillerinin tutarsızlığına ikna olurken, ikincisi kendi görüşlerinde ısrar eder. Bu nedenle, bahsedilen varsayımı kanıtlamak için sayısız girişim.
Bu postülada, bilindiği gibi, Thales teoreminin bir üçgenin açılarının toplamının iki dik açıya eşitliği üzerinde kanıtlandığı temelinde paralel çizgiler teorisi inşa edilmiştir. Bir üçgenin açılarının toplamının iki dik açıya eşit olduğunu kanıtlamak, paraleller teorisine başvurmadan mümkün olsaydı, o zaman bu teoremden Öklid'in postulasının kanıtları çıkarılabilirdi ve bu durumda tüm temel geometri kesinlikle tümdengelimli bir bilim olurdu.
13. yüzyılın ortalarında yaşamış İranlı bir matematikçinin Thales teoremini ilk kez dikkate aldığını ve paralellikler teorisini kullanmadan ispatlamaya çalıştığını geometri tarihinden biliyoruz. AT temel Bu ispatta, sonraki tüm ispatlarda olduğu gibi, aynı Öklid postülatının sessiz varsayımını görmek kolaydı. Daha sonraki bu tür sayısız girişimden sadece, neredeyse yarım asırdır bu konuyu ele alan Legendre'nin eserleri ilgiyi hak ediyor.
Legendre, bir üçgenin açılarının toplamının iki çizgiden fazla ya da az olamayacağını kanıtlamaya çalıştı; bundan, elbette, iki düz çizgiye eşit olması gerektiği sonucu çıkar. Şu anda, Legendre'nin kanıtı savunulamaz olarak kabul ediliyor. Her ne olursa olsun, Legendre, asıl amacına ulaşmadan, Öklid geometrisini yeni zamanın gereksinimlerine uyarlama anlamında ve şimdi geçildiği biçimde temel geometri sunmak için çok şey yaptı. tüm avantajları ve dezavantajları Legendre'ye aittir.
1733'teki İtalyan Cizvit Saccheri, çalışmalarında Lobachevsky'nin fikirlerine yaklaştı, yani Öklid'in varsayımını reddetmeye hazırdı, ancak bunu ifade etmeye cesaret edemedi, ancak ne pahasına olursa olsun çabaladı. kanıtlamak onu ve tabii ki, aynı şekilde başarısız.
Almanya'da geçen yüzyılın sonunda, 1792'de parlak Gauss ilk kez kendine cesur bir soru sordu: Öklid postülası reddedilirse geometriye ne olacak? Bu soru, kendi sorusunu yaratarak cevaplayan Lobachevsky ile birlikte doğduğu söylenebilir. hayali geometri. Burada, bu sorunun Lobachevsky'mizin zihninde bağımsız olarak ortaya çıkıp çıkmadığına veya yetenekli bir öğrenciye aktif kişisel ilişkilerini sürdürdüğü arkadaşı Gauss fikrini iletmiş olan Bartels tarafından gündeme getirilip getirilmediğine karar vermek gibi görünüyor. Rusya'ya hareket. Muhtemelen en iyi duyguların harekete geçirdiği bazı modern Rus matematikçiler, Gauss'un düşüncesinin Lobachevsky'nin zihninde oldukça bağımsız bir şekilde ortaya çıktığını kanıtlamaya çalışıyorlar. Kanıtlamak bu imkansız; Gauss'un 1799'a atıfta bulunan mektubunu herkes bilir: "Paralel doğrular aksiyomunun tutmadığı bir geometri inşa etmek mümkündür."
Lobachevsky'nin meziyetlerine ve hatırasına derin saygı duyduğunu kanıtlayan Kazan profesörü Vasiliev'in sözlerine değinelim; Bartels'in Gauss ile yakın ilişkisinden bahsederken şunları söylüyor:
Bu nedenle Gauss'un paralellikler teorisi hakkındaki düşüncelerini hocası ve arkadaşı Bartels ile paylaştığını ileri sürmek çok riskli kabul edilemez. Öte yandan Bartels, Gauss'un geometrinin temel sorularından biri hakkındaki cesur görüşlerini meraklı ve yetenekli Kazan öğrencisine bildirmekte başarısız olmuş olabilir mi? Elbette yapamazdı.
Ama bütün bunlar Lobachevsky'nin meziyetlerine gölge düşürüyor mu? Tabii ki değil.
Legendre'nin bahsettiğimiz eserleri 1794'te ortaya çıktı. Paraleller teorisine olan ilgiyi tatmin etmediler, ancak yeniden canlandırdılar ve biliyoruz ki, yüzyılımızın ilk yirmi beş yılında paralellikler teorisi ile ilgili yazılar durmadan ortaya çıktı. Profesör Vasiliev'e göre, birçoğu hala Kazan Üniversitesi kütüphanesinde korunuyor ve güvenilir bir şekilde bilindiği gibi Lobachevsky'nin kendisi tarafından satın alındı.
1816'da Gauss, tüm bu girişimleri şu şekilde değerlendirdi: "Matematik alanında, geometri ilkelerindeki bir boşluk hakkında bu kadar çok şey yazılacak çok az soru var ve yine de dürüst ve açık bir şekilde itiraf etmeliyiz ki, özü, Öklid'den iki bin yıldan daha ileri gitmedik. Böyle açık ve doğrudan bir bilinç, boşluğu gizlemek için boş arzulardan ziyade bilimin saygınlığına uygundur ... "
Bütün bunlardan, Lobaçevski'nin matematik alanına girdiği sırada, Lobaçevski'nin yaptığı anlamda paralellikler teorisi sorununun çözümü için her şeyin hazır olduğunu görüyoruz. 1825'te Alman matematikçi Taurinus'un Öklid'in postülatının tutmadığı böyle bir geometrinin olasılığından bahseden paralellikler teorisi ortaya çıktı. Lobachevsky'nin bu konudaki ilk çalışması 1826'da Kazan'daki Fizik ve Matematik Fakültesi'ne sunuldu; 1829'da yayınlandı ve 1832'de Macar bilim adamları, baba ve oğul Boliay'ın Öklid dışı geometri üzerine bir çalışma koleksiyonu ortaya çıktı. Peder Boliai'nin Gauss'un bir arkadaşı olduğunu biliyoruz; bundan, Gauss'un düşüncelerine Lobachevsky'den daha aşina olduğu sonucuna varabiliriz; bu arada, Lobachevsky'nin geometrisi Batı Avrupa'da vatandaşlık hakkını aldı. Lobachevsky'nin Almanca olarak yayınlanan ilk eseri, dediğimiz gibi Gauss'un onayını hak etti. Gauss onunla ilgili olarak Schumacher'e şunları yazdı: “Elli dört yıldır aynı görüşleri paylaştığımı biliyorsunuz. Aslında Lobachevsky'nin çalışmasında benim için yeni olan tek bir gerçek bulamadım; ama sunum çok farklı Bundan ben neyim bu konuyu vermek amaçlanmıştır. Yazar konuyu bir uzman gibi, gerçek bir geometrik ruhla anlatıyor. Okumaktan kesinlikle büyük keyif alacağınız bu "Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien" kitabına dikkatinizi çekmek zorunda hissettim kendimi. Bu mektup Göttingen'de yazılmıştır ve 1846'ya atıfta bulunmaktadır. Ancak Gauss'un daha önce Bartels'ten Lobachevsky'nin çalışmalarından haberdar olmadığı sonucuna varılamaz. Daha fazlasını söyleyeceğiz: Bartels'in yetenekli öğrencisinin başarıları hakkında sessiz kaldığını kabul etmek imkansız.
Söylediklerimizden, Lobachevsky'nin geometrisinin temel taşının, yaklaşık iki bin yıl boyunca geometrinin onsuz düşünülemez göründüğü Öklid'in postulatının olumsuzlanması olduğu açıktır. Yüzyılların mirasına insanların her zaman ne kadar sıkı sıkıya bağlı olduğunu ve asırlık kuruntuları yok eden bir insandan ne kadar cesaret gerektiğini biliyoruz. Lobachevsky'nin yaşamının taslağından, çağdaşları tarafından bir bilim adamı olarak ne kadar az takdir edildiğini ve anlaşıldığını gördük. Ve şimdi, doğumundan yüz yıl sonra, sıradan eğitimli insanlar Lobachevsky'nin geometrisine karşı derin bir önyargı besliyorlar, eğer varlığından haberdarlarsa. Bülbül trillerinin zevklerini sağır birine anlatmak nasıl mümkün değilse, bu geometriyi popüler bir biçimde ifade etmek de mümkün değildir. Bu soyut bilimin önemini anlamak için, ancak felsefe ve matematikte uzun çalışmalarla elde edilebilecek olan soyut düşünebilmek gerekir. Bunu akılda tutarak, sadece Lobachevsky'nin yarattığı geometri hakkında, nelerden oluştuğunu, modern bilim adamlarının ona ne gibi bir önem atfettiğini, Lobachevsky'den sonra nasıl ve kimler tarafından geliştirildiğini ve bu sonraki çalışmaların Lobachevsky'nin eserleri ile ne ilişkili olduğunu söyleyeceğiz. kendisi. Bütün bunlarda, sırlara inisiye olmayan okuyucuya yüksek Matematik, yetkililerin sözünü almak zorundasın.
Lobaçevski'nin anısına adanmış yıldönümü konuşmalarında ve broşürlerinde, Rus matematikçiler halka Lobachevsky'nin bilimsel değerlerinin doğasını ve önemini açıklamak için her türlü çabayı gösterdiler ve esas olarak hayali geometri ile ilgili oldukları için bu çabaları bu durumda kullanmak zorundayız. Ancak, eğitimli halkın sözlü ve basılı incelemelerini dikkatle takip ettikten sonra, genel bir memnuniyetsizlik ve aşağıdaki gereksinimlerin oldukça açık bir şekilde ifade edildiğini fark ettik: yalnızca Öklid geometrisini bilen bir kişi için en önemli soru, Lobachevsky'nin geometrisinin ne gibi bir ilişkisi olduğudur. ile Bu geometri. Ve bu konu bahsedilen konuşmalarda da tartışılıyor, ancak yine de burada, görünüşe göre, halk aşağıdaki sorulara doğrudan cevaplar talep ediyor: Lobachevsky'nin geometrisi Öklid'in geometrisini çürütüyor mu, onun yerini alıyor mu, onu gereksiz kılıyor mu, yoksa sadece bir genelleme mi? ikincisi? Ruhçulara böyle bir hizmette bulunmuş olan dördüncü boyutla ne ilgisi var? Lobachevsky, tüm erdemlerine rağmen bilimde bir hayalperest olarak görülmeli mi ve Lobachevsky neden geometrinin Kopernik'i olarak adlandırılıyor?
Lobachevsky'nin başlangıçta yalnızca Öklid geometrisinin açıklamasını geliştirmek, ilkelerine daha fazla titizlik kazandırmak niyetinde olduğunu ve bu ilkelerin altını oymayı hiç düşünmediğini daha önce söylemiştik. Legendre gibi güçlü bir zihnin girişimleri, sonunda gerçek matematikçileri, Öklid'in postulatını mantıksal olarak kanıtlamanın, yani onu bir düzlemin ve bir düz çizginin özelliklerinden türetmenin imkansızlığına ikna etti. Ardından, genel olarak felsefeye meraklı olan Lobachevsky, Öklid'in varsayımının bizim için erişilebilir en uzak mesafelerin sınırları dahilinde deneyimle doğrulanıp onaylanmadığını kontrol etme fikrini ortaya attı.
Deneyde aradığına dikkat edin. kontroller ve olumsuzluk kanıtı varsayım.
İnsan için mevcut olan en büyük mesafeler, ona astronomik gözlemler sağlayanlardır. Lobachevsky, bu mesafeler için gözlem sonuçlarının Öklid'in varsayımıyla uyumlu olduğundan emin oldu. Bundan şu sonucu çıkar ki, bu postulatın mantıksal bir kanıtının yokluğu, geometri gerçeğini en ufak bir şekilde baltalamaz. mevcut mesafeler ve aynı zamanda ona dayanan mekanik ve fizik yasaları doğruluğunu korur.
Ancak insanın kendine şu düşünceyle sorması doğaldır: “Bizim ulaşabileceğimiz mesafelerin ötesinde ne var? Sonsuz dediklerimiz için uzayımızın özelliklerinin mutlak anlamı var mı? İşte Lobachevsky'nin kendisine önerdiği soru.
Lobachevsky, doğru ve düzlemle ilgili bildiğimiz aksiyomları varsayarak ve bir üçgenin açılarının toplamının iki çizgiden az olduğunu bir hipotez olarak varsayarak geometrisini mantıksal olarak inşa etti. Ancak, yalnızca güneş sistemimizden çok daha büyük uzaylar için gerçekleşebilecek bu varsayımla bile, Lobachevsky'nin elimizdeki ölçümler için geometrisi, Öklid'in geometrisi ile aynı sonuçları veriyor. Oldukça doğru veya daha doğrusu, Lobachevsky'nin geometrisi olarak adlandırılan bir geometri yıldız geometri. Binlerce yıldır ışığın Dünya'ya ulaştığı yıldızların olduğu hatırlanırsa, sonsuz mesafeler fikri oluşturulabilir. Yani, Lobachevsky'nin geometrisi, Öklid'in geometrisini olduğu gibi değil özel, ancak özel olay. Bu anlamda birincisi, bildiğimiz geometrinin bir genellemesi olarak adlandırılabilir. Şimdi soru ortaya çıkıyor, Lobachevsky dördüncü boyutun icadına sahip mi? Hiç de bile. Dört ve birçok boyutun geometrisi, Gauss'un öğrencisi olan Alman matematikçi Riemann tarafından yaratıldı. boşlukların özelliklerinin incelenmesi Genel görünümşimdi Öklidyen olmayan bir geometri veya Lobachevsky geometrisi oluşturur. Lobachevsky uzayı üç boyutlu uzay, bizimkinden farklı olan, Öklid postülatının onun içinde yer almamasıdır. Bu uzayın özellikleri artık dördüncü bir boyut varsayılarak anlaşılmaktadır. Ancak bu adım zaten Lobachevsky'nin takipçilerine ait. Bu nedenle, Öklidyen olmayan geometri, pek çok geometri sorusuna büyük bir genellik ve soyutluk verirken, aynı zamanda birçok problemin çözümünde vazgeçilmez bir araç olan birçok boyutlu geometrisinin bir uzantısıdır ve onun bir devamıdır. analiz.
Riemann, Geometrinin Altında Olan Hipotezler Üzerine adlı incelemesinde, Öklid'in geometrisinin genel olarak uzay kavramlarımızın zorunlu bir sonucu olmadığı, ancak deneyimin, gözlemlerimizin sınırları içinde onaylarını bulan hipotezlerin bir sonucu olduğu fikrini dile getirdi. Riemann genel formüller verdi, hangisini kullanarak ve hangisini sözde küresel yüzey (cam görünümü) çalışmasına uygulayarak, İtalyan matematikçi Beltrami, çizgilerin ve geometri figürlerinin tüm özelliklerinin olduğunu buldu. Lobaçevski bu yüzeydeki çizgilere ve figürlere aittir. Birçok boyutun geometrisi, Lobachevsky'nin geometrisiyle bu şekilde ilişkilendirildi.
Beltrami'nin çalışmaları aşağıdaki önemli sonuçlara yol açtı: 1) geometri İkili boyutlar Lobachevsky hayali bir geometri değil, nesnel bir varlığa ve tamamen gerçek bir karaktere sahiptir; 2) Lobachevsky'nin geometrisinde bizim düzlemimize karşılık gelen şey, sahte küresel (cam) bir yüzeydir ve onun düz çizgi dediği şey, bu yüzeyin jeodezik bir çizgisidir (iki nokta arasındaki en kısa mesafe).
Bizim planimetrimizden farklı iki boyutlu bir geometrinin varlığını hayal etmek kolaydır. Eliptik veya bir tür içbükey küresel bir yüzey hayal edelim ve üzerinde çizgiler ve şekiller hayal edelim. Dışbükey ve içbükey yüzeylere denir eğriler yüzeyler.
Düz bir yüzey olan uçağımızın eğriliği yoktur ve matematikte şunu söylemek gelenekseldir: düzlemin eğriliği sıfırdır. Benzer şekilde, uzayımız da eğriliğe sahip değildir. Kavisli yüzeyler pozitif veya negatif eğriliğe sahiptir. Cam yüzey negatif bir eğriliğe sahipken, eliptik yüzey pozitif bir eğriliğe sahiptir. Benzer şekilde, bu Lobachevsky uzayına negatif eğrilik atfedilir.
Bizimkinden önemli ölçüde farklı olan Lobachevsky uzayı hayal edilemez. takdim etmek, sadece düşünülebilir. Aynısı dört ve birçok boyutlu uzaylar için de geçerlidir.
Riemann'ın araştırmasıyla yakından ilgili olan Helmholtz, haklı olarak: "Riemann bu yeni bilgi alanına girerken, en genel ve temel sorulardan başlayarak ben de benzer sonuçlara vardım."
Riemann araştırmasında iki sonsuz yakın nokta arasındaki uzaklık için cebirsel bir genel ifadeden yola çıktı ve bundan uzayların çeşitli özelliklerini çıkardı; Helmholtz, figürlerin ve cisimlerin uzayımızda hareket etme olasılığı gerçeğinden yola çıkarak nihayet Riemann formülünü çıkardı. Son derece net bir zihne sahip olan Helmholtz, Riemann'ın düşüncelerinin tüm derinliğini bizim için aydınlattı.
Bu durumda, bize geometrik aksiyomların kökenini açıklayarak, dolaylı olarak Lobachevsky'nin geometrisi ile bizimki arasındaki ilişkiyi belirlemesi bizim için özellikle önemlidir.
Helmholtz'a göre, tamamen geometrik çalışmalarda temel zorluk, burada günlük olarak karıştırmamızın kolaylığıdır. bir deneyimİle birlikte mantıklı Düşünme süreci. Helmholtz, Öklid'in geometrisinin çoğunun deneyime dayandığını ve mantıksal yollarla çıkarsanamayacağını kanıtlıyor. İnşaat problemlerinin geometride bu kadar önemli bir rol oynaması dikkat çekicidir. İlk bakışta, pratik eylemlerden başka bir şey değil gibi görünüyorlar, ama aslında hükümler gücüne sahipler. Eşitliği netleştirmek için geometrik şekiller, genellikle zihinsel olarak üst üste bindirilirler. Böyle bir durum ihtimalinde biz Erken yaş aslında ikna oldu. Helmholtz ayrıca uzayımızın özel karakteristik özelliklerinin deneyimsel kökenli olduğunu kanıtlıyor.
Duyu organlarımızın yapısıyla ilgili fizyolojik verilere dayanarak, Helmholtz, bizim için çok önemli olan, duyusal algı için tüm yeteneklerimizin üç boyutlu Öklid uzayına, her ne kadar herhangi bir uzaya kadar uzandığı kanısına varıyor. üç ancak bir eğriliğe veya üçten fazla boyuta sahip bir alana sahip olduğumuz için, organizasyonumuz nedeniyle hayal edemeyiz.
Bu nedenle, haklı olarak yüzyılımızın dehası olarak kabul edilen Helmholtz'un öğretisi, matematikçiler Riemann ve Lobachevsky'nin elde ettiği sonuçları kendi payına doğrulamaktadır. Ancak bunu elde etmek için herhangi bir doğal veya yapay yolla yapamıyorsak, verim, hala geometri iki bizim dışımızdaki ölçüler temsilimize açıktır. Helmholtz bize, elbette üzerinde durmayacağımız son derece ustaca yöntemlere başvurarak, sahte küresel ve küresel geometrinin özüne girmenin araçlarını veriyor. Bu durumda, bizim için en önemli şey, deneysel ve mantıksal doğruların kökeni arasında açık bir paralelliktir.
Helmholtz'un sonuçlarını kullanarak, üçten fazla boyutlu uzayın nasıl anlaşılacağını anlamak kolaydır. Helmholtz, yalnızca iki boyutu deneyimleyerek bilen, yani bir dünyada yaşayacak olan varlıkların geometrisinin ne olacağını merak etti. uçak, onunla oldukça uyumlu. Düz olduklarından, bu tür varlıklar, tüm planimetriyi tam olarak bizim - üç boyutlu varlıkların - şimdi bildiğimiz şekliyle bileceklerdir; ancak bu aynı varsayımsal varlıklar, üçüncü boyut hakkında en ufak bir fikre sahip olmayacaklardı ve tüm katı geometrimiz onlar için somut hiçbir şeye sahip olamazdı. Yine de, stereometriyi fiilen inşa etme olasılığından yoksun olan bu yassı yaratıklar, analizi kullanarak onu analitik olarak inceleyebilirler. Bizler, üç boyutlu varlıklar, dört boyutlu bir uzaya göre tamamen aynı konumdayız ve genel olarak bizimkinden farklıyız: Bu uzayın sentetik bir geometrisini oluşturamayız, ama hiçbir şey onun özelliklerini analitik olarak incelememizi engelleyemez. Lobachevsky, deneyimimizin dışında kalan böyle bir alanı inceleme deneyimini ilk veren kişiydi. Matematiksel analiz bilmeyen insanlar için ne Lobachevsky uzayı ne de birçok boyutun geometrisi vardır, tıpkı sadece teleskopla görülemeyenler gibi. gök cisimleriçıplak gözle gökyüzüne bakan insanlar için.
Burada anlattıklarımızdan sonra, Lobachevsky'nin bilimde bir hayalperest olup olmadığına karar vermek zor değil mi? Daha ileri bilimsel araştırmalar onun iki boyutlu geometrisinin gerçekliğini kanıtladı ve genel olarak bizim Öklidyen olandan farklı uzayların analitik bir incelemesinin olasılığını gösterdi. Ve denilebilir ki, zamanımızın en güçlü zihinleri Lobachevsky'nin ruhuyla çalışıyor ve Lobachevsky'nin çağdaşlarının bir rüya olarak gördüğü şey, şimdi derin, gerçekten bilimsel bir araştırma olarak kabul ediliyor.
Profesör Vasiliev'in dediği gibi, bu çalışma şimdi hem Lobachevsky'nin anavatanında hem de Avrupa'nın tüm kültürel ülkelerinde yürütülüyor: İngiltere, Fransa, Almanya, İtalya, İspanya'da zihinsel uykudan zar zor uyanıyor, Teksas'ın bakir ormanları arasında. .
Maneviyatçıların dört boyutun uzayı hakkındaki öğretisini açıklamak bizim görevimiz değil; sadece dört boyutlu bir uzayın gerçek varlığına ikna etmeye çalıştığını fark edeceğiz ve bu nedenle, tam tersine, bunun biz ölümlüler için tamamen imkansız olduğunu kanıtlayan gerçek matematikçilerin ve filozofların görüşlerine taban tabana zıttır. .
Lobachevsky'nin fikirlerinin gelişiminin sadece matematik alanında değil, büyüdüğünü görmek sevindiricidir; hem duyu organlarının fizyolojisi hem de artık geleneksel olarak bilgi teorisi olarak adlandırılan felsefe dalı, bunların içerdiği soruların çözümünde yer almalıdır. Lobachevsky'nin fikirlerinin etkisinin ne kadar genişlediğinin bir kanıtı olarak, Kazan Üniversitesi'ne gönderdiği tebrik telgrafında Bay Mihaylov'un sözlerini aktaralım: “1888-1889'da dünyanın felsefi ilkelerini birleştirebildiğim için mutluyum. büyük Rus geometricisi Lobachevsky ve simetri doktrini büyük Fransız Louis Pasteur, St. Petersburg Üniversitesi'nde fizyoloji üzerine verdiğim derslerde.
Lobachevsky'nin ana bilimsel değerlerinden ikincil olanlara geçelim. O, örneğin Alman matematikçi Steiner gibi yalnızca bir geometri değildi. Modern Rus matematikçileri, cebir ve analiz konusundaki çalışmalarına büyük ilgi duyuyor. Bu eserlerden biri Gauss'un düşüncelerinden birini tamamlıyor.
Lobachevsky, Riemann gibi, sadece bir matematikçi değil, aynı zamanda bir filozoftu ve çalışmalarının bilgi teorisi için önemi neredeyse matematik için olduğu kadar büyük. Sadece matematikte değil, o zamanın felsefesinde de geometrik aksiyomların özü ve kökeni sorununun gündeme gelmesi dikkat çekicidir.
Genel olarak, Lobachevsky'nin yaşadığı dönem zihinsel aktivitede önemliydi. Helmholtz bundan memnuniyetle bahseder: "Bu çağ ruhsal kutsamalar, ilham, enerji, ideal umutlar, yaratıcı düşünceler açısından zengindi." Kant'ın Saf Aklın Eleştirisi'nin ortaya çıkışı, yeni bir uzay doktrinini de içeren bu döneme aittir. Kant, bildiğiniz gibi, uzay fikrinin tüm deneyimlerden önce geldiğini ve bu nedenle deneyimden bağımsız olarak tamamen öznel bir görüşümüz olduğunu savundu. Böyle bir öğreti, Locke'un ve doğuştan gelen fikirleri ve öznel a priori görüş biçimlerini reddeden Fransız duyumcularının öğretilerine karşıydı. Matematikçiler, genel olarak konuşursak, ikincisinin varlığını inkar etmediler; bununla birlikte, Gauss'un şu görüşünü biliyoruz: “Geometrinin doğruları hakkındaki bilgimiz, nicelikler öğretisine ait olan, onların gerekliliğine (ve dolayısıyla mutlak doğruya) dair tam kanaatten yoksundur; Alçakgönüllü bir şekilde kabul etmeliyiz ki sayı yalnızca ruhumuzun bir ürünüyse, o zaman uzayın ruhumuzun yanı sıra a priori yasalar koyamayacağımız bir gerçekliği vardır.
Burada alıntılanan Gauss'un görüşünden, kavramlar arasında temel bir fark gördüğü açıktır. miktarlar hakkında ve uzayın temsili. Birincisi zihnimizin yasalarının sonuçları, ikincisi deneyimlerimizin veya sonuçlarımızın sonuçlarıdır. fizyolojik özellikler dış dünyaya ilişkin tüm algılarımızın doğasını belirleyen duyu organlarımız. Lobachevsky'de de aynı görüşlerle karşılaşıyoruz. Kant'ın görüşlerine taban tabana zıt olarak kabul edilirler. Özünde, Kant'ın ne demek istediğini derinlemesine araştırırsak, Kant'ın tüm görüşleri aynı görüşe indirgenir. sentetik Görüntüleme Önsel ve çevir modern dil. Bütün fark dilde, ifade biçimlerinde. Hem gerçekliğin yasalarını hem de bu gerçekliğe ilişkin duyusal algımızı eşit olarak öngöremeyiz. Bu, Kant'ın birçok taraftarının Lobachevsky'nin takipçisi olduğu gerçeğini açıklar. Onun mantıksal yapı Lobachevsky, Öklid postülası olmadan geometrinin mantıksal olarak çıkarılamayacağını ve dolayısıyla Öklid geometrisinin tümdengelimli bir bilim olmadığını ve hiçbir zaman, aklın herhangi bir çabası altında tümdengelimli olamayacağını dolaylı olarak kanıtladı. sonuçsuz sayılır. Ve Clifford haklı olarak, Lobachevsky'den sonra, hem Öklid tarafından incelenen uzay formunun hem de Lobachevsky tarafından incelenen uzay formunun ve Riemann adının ilişkilendirildiği modern geometrinin eşit derecede mantıksal olarak mümkün olduğunu söylüyor. uzayların bizim için erişilemeyen uzaklıklardaki özelliklerini genel olarak bildiğini iddia etme; ve hangi özellikleri yargılayabileceğini düşünmeyecek her neyse uzay ve ne olacak.
Bu nedenle, Lobachevsky ve Öklid dışı geometri ile ilgilenen diğer bilim adamlarının çalışmaları, sanki bir kişiye şöyle dediler: “Sizin için gerçekten var olan geometri, mantıklı ilişki mutlak geometrinin yalnızca özel bir durumudur; senin geometrin karasal ve insani." Bu tür bir keşiften sonra, aynı kişi, dünyanın merkezinin eşmerkezli kristal kürelerle çevrili olduğunu düşünmekten vazgeçip, birdenbire önemsiz bir kristal tanesi üzerinde yaşadığını fark ettikten sonra, bir kişinin ufkunun genişlediği gibi genişlemesi gerekirdi. dünyaların engin okyanusunda kum. Kopernik tarafından bilimde yapılan devrimin sonuçları bunlardı. Kopernik ve Lobachevsky arasındaki paralellik, ilk olarak Clifford tarafından Saf Bilimlerin Felsefesi'nde tanıtılmış ve şimdi en seçkin bilim adamlarının çoğu tarafından aydınlatılmıştır. “Lobachevsky'nin araştırması,” diyor Profesör Vasiliev, “doğa felsefesi için daha az önemli olmayan bir soru, uzayın özellikleri sorusu ortaya koydu: bu özellikler burada ve ışığın bize yüz binlerce ulaştığı uzak dünyalarda aynı mı? , milyonlarca yıl? Bu mülkler şimdiki zamanları gibi mi? Güneş Sistemi sisli bir noktadan oluşuyordu ve dünya, fizikçilerin dünyanın geleceğini gördüğü, her yere eşit olarak dağılmış enerji durumuna yaklaştığında nasıl olacak?
İlk temeli ünlü yurttaşımızın sağlam elleriyle atılan bu bilimsel araştırmaların bize açtığı geniş ufuk budur. Lobachevsky, gördüğümüz gibi, Rusya'nın uzak yarı vahşi doğu eteklerinde bilimin ışığını gören aydınlanmış bir hükümdarın iyi niyeti sayesinde genç bir halkın gerçek bir oğluydu.
Lobachevsky'nin geometrisinin hiçbir şekilde Öklid'in geometrisine zarar vermediğini söylemiştik; bu nedenle, temeli Lobachevsky tarafından adlandırılan geometrimiz olan tüm bilgimizi tehdit etmez. yaygın.
Bunu desteklemek için, hayali geometrinin yaratıcısının kendisinin sahip olduğu deneyime olan yüksek saygının kanıtını aktaralım. "Geometrinin Yeni İlkeleri"nde şöyle diyor: "İlk veriler, kuşkusuz, her zaman doğada duyularımızla edindiğimiz kavramlar olacaktır. Zihin onları en küçük sayıya indirebilir ve indirmelidir ki daha sonra bilim için sağlam bir temel olarak hizmet etsinler. Lobachevsky, Eğitimin En Önemli Konuları üzerine yaptığı konuşmada Bacon'ın şu sözlerine dikkat çeker:
“Zihinden tüm bilgeliği çıkarmaya çalışarak boşuna çalışmaya bırakın; doğaya sor, o tüm gerçekleri saklıyor ve senin sorularına cevap verecek tatmin edici biçimde".
Felsefi görüşlerini ifade etme biçiminde, Lobachevsky açıkça Locke'un takipçilerine aitti - doğuştan gelen fikirlerin varlığına inanmıyordu ve herhangi bir skolastisizmin büyük bir düşmanıydı.
Bütün bunlara rağmen, daha önce de söylediğimiz gibi, Lobachevsky'nin keşiflerinin Kant'ın uzay hakkındaki görüşlerine dolaylı ama ölümcül bir darbe vurduğu konusunda hemfikir olamayız. Ve Kant'la birlikte, mekan kavramının bizim örgütlenmemizin sonucu olduğunu, deneyimden kaynaklanmadığını, ancak deneyimi koşullandırdığını iddia eden bir kişinin bakış açısından, Lobachevsky'nin geometrisi tüm gücünü korur. Öklidyen olmayan geometri, yalnızca bizim geometrimizin, yani kullanımdaki geometrinin yalnızca mantıkla yaratılabileceği şeklindeki yanlış görüşün çürütülmesi işlevi görür. Locke'un karşıtları ve şehvetçiler, Öklidyen olmayan geometrinin birden fazla analiz için yararlı olduğunu kabul ederler. Aralarında Profesör Zinger; “(Lobachevsky'nin) araştırmaları da geometri için çok faydalı olabilir, çünkü geometrik ilişkilerin bir genellemesini temsil ederek, geometri önerileri arasındaki, onların yardımı olmadan fark edilmesi imkansız olan bu tür bağımlılıkları ve bağlantıları gösterebilirler. ve böylece gerçek uzay araştırmaları için yeni yollar açabilir."
Lobachevsky'nin saf matematik üzerine eserleri tercüme edilmemiştir. yabancı Diller, ancak bu daha önce yapılsaydı, yurtdışında tanınır olmaları çok muhtemeldir. Onlarda, Lobachevsky geometride keşfettiği aynı zihin niteliklerini gösterdi, konunun özünü araştırdı ve kavramlar arasındaki farkı büyük bir incelikle tanımladı. Ünlü modern matematikçi Weierstrass'ın öğrencisi olan Kazan profesörü Vasiliev, Lobachevsky'nin daha otuzlu yıllarda bir fonksiyonun sürekliliği ile türevlenebilirliği arasında ayrım yapma ihtiyacını dile getirdiğini bulur; yetmişlerde bu görev Weierstrass tarafından zekice başarıldı ve modern matematikte devrim yarattı. Lobachevsky ayrıca olasılık teorisi ve mekanik alanında da çalıştı; astronomiye de çok meraklıydı. 1842'de Penza'da tam bir güneş tutulması gözlemledi ve bu fenomenle çok ilgilendi. güneş koronası.
Bu astronomik keşif gezisine ilişkin raporunda, güneş tacının açıklanması konusunda çeşitli görüşleri ortaya koymakta ve eleştirmektedir. Bununla ilgili olarak, diğer şeylerin yanı sıra şöyle dediği ışık teorisi hakkındaki görüşünü ortaya koyar: "Gerçek bir teori, fenomenin tüm çeşitliliği ile zorunlu bir sonuç olarak alındığı basit, tek bir başlangıçtan oluşmalıdır. " Heyecan teorisi onu tatmin etmedi ve onu son kullanma teorisi ile birleştirmeye çalıştı. Yani, Lobachevsky hiç olmasa da matematik bilimleri kendi görüşlerini eşit bir başarıyla geliştirdi, ancak faaliyetinin genel doğası her yerde aynıydı: her yerde birbiriyle tamamen özdeş olmayan ortak ilkeler ve ayrı kavramlar oluşturmaya çalıştı. Böyle bir akıl gücü ve böyle bir istekle, geometriye ayırdığı kadar onlara da zaman ayırma imkanı olsaydı, diğer matematik bilimlerinde bir devrim yapabilirdi.
Lobachevsky, geometri üzerine yazılarından birinde, belki de bizim bilmediğimiz moleküler kuvvet yasalarının Öklidyen olmayan geometri kullanılarak ifade edileceği fikrini ifade eder. Büyük geometrinin bu düşüncesi gerçekleşirse, eseri daha da büyük bir önem kazanacaktır. Ancak her durumda, tüm bunlar hala rüyalar alemine aittir. Lobachevsky'nin çağdaş takipçileri de ayık matematikçiler ve fanteziye düşkün matematikçiler-hayalperestler olarak ikiye ayrılır. Bunlardan en önde gelenleri Beltrami, Sophus Lie ve Poincare; ikincisi arasında, birkaç yıl önce ölen ve uzayımızın bir eğriliği olduğunu iddia eden astronom Wallner tarafından önemli bir yer işgal edilmiştir. Amerika'daki ateşli takipçilerinden biri daha da ileri giderek birçok doğa olayını uzayın eğriliği ile açıklamaya çalıştı.
Profesör Vasiliev, "Sanırım," diyor, "Lobachevsky, uzayımızın mülkiyetiyle ilgili (böyle) spekülasyonları onaylamayacaktır."
Ve Lobachevsky'nin bilimsel değerlerine dair taslağımızı, Öklidyen olmayan geometriye dayalı rüyaları ve rüyaları karıştırmamızı engellemesi gereken bu kelimelerin geçerliliğini kabul ederek sonuçlandıracağız. bilimsel araştırma başlangıcı yurttaşımız Lobachevsky tarafından atılan bu konu.
Biron'un kitabından yazar Kurukin İgor VladimiroviçDördüncü Bölüm "BIRONOVSHINA": KAHRAMANSIZ BİR BÖLÜM Tüm mahkeme titrese de, Biron'un öfkesinden talihsizlik beklemeyen tek bir asilzade olmamasına rağmen, insanlar terbiyeli bir şekilde kontrol edildi. Vergi yükü altına girmedi, yasalar açıkça çıkarıldı, tam olarak uygulandı. MM.
Frank Zappa'nın Gerçek Kitabından yazar Zappa Frank9. BÖLÜM Babam İçin Bir Bölüm Edwards Hava Kuvvetleri Üssü'nde (1956-1959), babamın en katı askeri sırlar için güvenlik izni vardı. O zamanlar, ara sıra okuldan atılıyordum ve babam bu yüzden gizlilik derecesini düşürmelerinden mi korkuyordu? hatta işten atılmıştır. dedi ki,
Daniil Andreev - Gül Şövalyesi kitabından yazar Bejin Leonid EvgenievichKIRK BİRİNCİ BÖLÜM ANDROMEDA NEBULAR: YENİLENEN BÖLÜM Gorbov kardeşlerin en büyüğü olan Adrian, romanın en başında, ilk bölümde yer alır ve son bölümlerde anlatılır. İlk bölümün tamamını alıntılayacağız, çünkü bu tek bölümdür.
Anılarım kitabından. bir kitap yazar Benois Alexander Nikolaevich15. BÖLÜM Sessiz nişanımız. Muter'in kitabındaki bölümüm Yeniden bir araya gelmemizden yaklaşık bir ay sonra, Atya, kendisini hâlâ Bay Bay gibi kıskanılacak bir damatla evli görmeyi hayal eden kız kardeşlerine kararlı bir şekilde duyurdu.
Petersburg Masalı kitabından yazar Basina Marianna Yakovlevna"EDEBİYAT BAŞI, ŞAİRLERİN BAŞI" St. Petersburg yazarları arasında Belinski'nin kişiliği hakkında çeşitli rivayetler vardı. Yetersizliğinden üniversiteden atılan, yarı eğitimli bir öğrenci, makalelerini tıkınırcasına bırakmadan yazan buruk bir ayyaş... Tek gerçek şuydu ki...
Çirkin ördek yavrusu notları kitabından yazar Pomerants Grigory SolomonovichOnuncu Bölüm Beklenmedik Bir Bölüm Tüm ana düşüncelerim aniden, istemeden geldi. Bu da öyle. Ingeborg Bachmann'ın hikayelerini okudum. Ve aniden bu kadını mutlu etmek istediğimi hissettim. O çoktan öldü. Portresini hiç görmedim. tek şehvetli
Baron Ungern'in kitabından. Dahuryalı haçlı veya kılıçlı Budist yazar Zhukov Andrey ValentinoviçBölüm 14 Son Bölüm veya Bolşevik Tiyatrosu Baron Ungern'in yaşamının son ayının koşulları bizim için yalnızca Sovyet kaynaklarından biliniyor: sorgulama protokolleri (“ anketler”) “savaş esiri Ungern”, bu materyallere dayalı olarak derlenen raporlar ve raporlar
Hayatımın sayfaları kitabından yazar Krol Moses Aaronovich24. Bölüm Nisan 1899 geldi ve yine çok kötü hissetmeye başladım. Kitabımı yazarken hala fazla çalışmamın sonuçlarıydı. Doktor uzun bir dinlenmeye ihtiyacım olduğunu fark etti ve bana tavsiyede bulundu.
Pyotr İlyiç Çaykovski kitabından yazar Kunin Joseph FilippovichBölüm VI. RUS MÜZİĞİNİN BAŞI Şimdi bana öyle geliyor ki, tüm dünya tarihi iki döneme bölünmüştür, - Pyotr İlyiç yeğeni Volodya Davydov'a yazdığı bir mektupta kendi kendisiyle alay etti: "Maça Kraliçesi" nin yaratılmasına dünya. İkinci
Joseph Brodsky Olmak kitabından. Yalnızlığın ilahı yazar Solovyov Vladimir Isaakovich Ben, Maya Plisetskaya kitabından yazar Plisetskaya Maya Mihaylovna29. Bölüm gizemli dünya bağ! Ne acı bir ıstırap, Ne talihsizlik oldu! Mandelstam Tüm kötü şanslar benimle silahlandı!.. Sumarokov Bazen kendine karşı küskün olman gerekir. Gogol Düşmanlar arasında başka birine sahip olmak daha karlı,
Yazarın kitabındanBölüm 30. GÖZYAŞLARINDA KARIŞIKLIK Son bölüm, veda, bağışlayıcı ve şefkatli Yakında öleceğimi hayal ediyorum: Bazen etrafımdaki her şey bana veda ediyormuş gibi geliyor. Turgenev Tüm bunlara iyi bir göz atalım ve gönlümüz infial yerine samimiyetle dolsun.
Yazarın kitabındanBölüm 10. Apostasy - 1969 (Brodsky ile ilgili ilk bölüm) IB şiirinin ülkemizde neden yayınlanmadığı sorusu, IB ile ilgili değil, Rus kültürü hakkında, seviyesi hakkında bir sorudur. Basılmamış olması onun için değil, sadece kendisi için değil, okuyucu için de bir trajedi - henüz okumayacağı anlamında değil.
Yazarın kitabından47. BÖLÜM BAŞLIKSIZ BÖLÜM Bu bölüme hangi başlığı koyayım?.. Yüksek sesle düşünüyorum (Kendi kendime yüksek sesle konuşurum - beni tanımayanlar çekinir) "Benim Bolşoy Tiyatrosu değil mi"? Veya: “Bolşoy Balesi nasıl öldü”? Ya da belki o kadar uzun bir tane ki: “Lord hükümdarlar,
- Yer değiştirmeye yörüngenin başlangıç ve bitiş noktalarını birleştiren vektör denir Yolun başlangıcını ve sonunu birleştiren vektöre denir
- Yörünge, yol uzunluğu, yer değiştirme vektörü Başlangıç konumunu bağlayan vektör
- Bir çokgenin alanını köşelerinin koordinatlarından hesaplama Köşe formülünün koordinatlarından bir üçgenin alanı
- Kabul Edilebilir Değer Aralığı (ODZ), teori, örnekler, çözümler