Nicel ilişkiler ve uzamsal formlar bilimi. Sayıları ve nicel ilişkileri inceleyen bilimler
Nicelikleri, nicel ilişkileri ve mekansal biçimleri inceleyen bilim
İlk harf "m"
İkinci harf "a"
Üçüncü harf "t"
Son kayın "a" harfidir
"Nicelikleri, nicel ilişkileri ve uzamsal biçimleri inceleyen bilim" sorusunun cevabı, 10 harf:
Matematik
Matematik kelimesi için çapraz bulmacalarda alternatif sorular
Bu bilimin temsilcisi gelini Nobel'den dövdü ve bu nedenle başarı için Nobel Ödülü verme
Politeknik Üniversitesi programında "Kule"
Miktarları, nicel ilişkileri ve mekansal formları inceleyen kesin bir bilim
Nicelik bilimi, nicel ilişkiler, mekansal biçimler
Marina Neelova tarafından gerçekleştirilen "sevgili Elena Sergeevna" tarafından okulda öğretilen bu konuydu.
Sözlüklerde matematik için kelime tanımları
Sözlük yaşayan Büyük Rus dili, Vladimir Dal
Kelimenin sözlükteki anlamı Yaşayan Büyük Rus Dilinin Açıklayıcı Sözlüğü, Vladimir Dal
ve. büyüklük ve nicelik bilimi; sayılarla ifade edilebilen her şey matematiğe aittir. - saf, büyüklüklerle soyut olarak ilgilenir; - uygulanır, ilkini kasaya, nesnelere ekler. Matematik aritmetik ve geometriye ayrılmıştır, ilki ...
Vikipedi
Vikipedi sözlüğündeki kelimenin anlamı
Matematik (
Büyük Sovyet Ansiklopedisi
Sözlükteki kelimenin anlamı Büyük Sovyet Ansiklopedisi
I. Matematik konusunun tanımı, diğer bilimler ve teknoloji ile bağlantısı. Matematik (Yunanca mathematike, máthema ≈ bilgi, bilimden), nicel ilişkilerin bilimi ve gerçek dünyanın uzamsal biçimleri. "Saf matematiğin nesnesi...
Rus dilinin yeni açıklayıcı ve türev sözlüğü, T. F. Efremova.
Kelimenin sözlükteki anlamı Rus dilinin yeni açıklayıcı ve türev sözlüğü, T. F. Efremova.
ve. Gerçek dünyanın mekansal formları ve nicel ilişkileri hakkında bilimsel disiplin. Akademik konu içeren teorik temel bu bilimsel disiplin. açılmak Bunun içeriğini özetleyen ders kitabı ders. trans. açılmak Kesin,...
Matematik kelimesinin literatürdeki kullanımına örnekler.
İlk başta Trediakovski, Vasily Adadurov tarafından korunuyordu - matematikçi, büyük Jacob Bernoulli'nin bir öğrencisi ve bu sığınak için bilim adamının şairi Fransızca talimat verdi.
İçeri gitti matematikçi Adadurov, makinist Ladyzhensky, mimar Ivan Blank, çeşitli kolejlerden değerlendiriciler, doktorlar ve bahçıvanlar, ordu ve donanma subayları ortaya çıktı.
Uzun, cilalı ceviz bir masada koltuklarda iki kişi oturuyordu: Axel Brigov ve matematikçi Güçlü Sokratik kel kafasından tanıdığım Brodsky.
Çabaları yaratan Pontryagin yeni Kısım matematik- topolojik cebir, - topoloji ile donatılmış çeşitli cebirsel yapıların incelenmesi.
Bu arada şunu da belirtelim ki, tasvir ettiğimiz çağ, cebirin nispeten soyut bir dalı olan cebirin gelişimine tanık olmuştur. matematik, daha az soyut bölümleri olan geometri ve aritmetiği birleştirerek, cebirin bize gelen en eski tezahürlerinin kanıtladığı bir gerçektir, yarı cebir, yarı geometrik.
Matematik 1. Matematik kelimesi nereden geldi 2. Matematiği kim icat etti? 3. Ana temalar. 4. Tanım 5. Etimoloji Son slaytta.
Kelime nereden geldi (önceki slayda gidin) Yunancadan matematik - çalışma, bilim), tarihsel olarak nesnelerin şeklini sayma, ölçme ve tanımlama işlemlerine dayanan yapılar, düzen ve ilişkiler bilimidir. Matematiksel nesneler, gerçek veya diğer matematiksel nesnelerin özelliklerinin idealleştirilmesi ve bu özelliklerin biçimsel bir dilde yazılmasıyla oluşturulur.
Matematiği kim icat etti (menüye gidin) İlk matematikçiye genellikle VI. Yüzyılda yaşayan Milet Thales'i denir. M.Ö e. Yunanistan'ın sözde Yedi Bilge Adamından biri. Olursa olsun, uzun zamandır bildiği dünyada oluşan bu konudaki tüm bilgi tabanını ilk yapılandıran oydu. Ancak, bize ulaşan matematik üzerine ilk incelemenin yazarı Öklid'dir (MÖ III yy). O da haklı olarak bu bilimin babası olarak kabul edilir.
Ana konular (menüye gidin) Matematik alanı, yalnızca sıra veya ölçünün dikkate alındığı bilimleri içerir ve bunların sayı, şekil, yıldız, ses veya bu ölçümün olduğu herhangi bir şey olup olmadığı hiç önemli değildir. bulundu. Böylece, bazı olmalı Genel Bilim Herhangi bir özel konunun çalışmasına girmeden düzen ve ölçü ile ilgili her şeyi açıklayan ve bu bilime yabancı değil, Genel Matematiğin eski, zaten yaygın adı denilmelidir.
Tanım (menüye gidin) Modern analiz, matematiğin üç ana alanından biri olarak kabul edilen (cebir ve geometri ile birlikte) klasik matematiksel analize dayanmaktadır. Aynı zamanda klasik anlamdaki "matematiksel analiz" terimi esas olarak müfredat ve malzemeler. Anglo-Amerikan geleneğinde klasik matematiksel analiz, "hesap" adı verilen ders programlarına karşılık gelmektedir.
Etimoloji (menüye gidin) "Matematik" kelimesi diğer Yunancadan gelir. , çalışma, bilgi, bilim vb. anlamına gelir. - Yunanca, orijinal olarak alıcı, başarılı, daha sonra çalışma ile ilgili, daha sonra matematikle ilgili anlamına gelir. Özellikle Latince'de matematik sanatı anlamına gelir. Terim diğer -Yunanca. içinde modern anlam Bu "matematik" kelimesi, Aristoteles'in (MÖ 4. yy) kısaca dokuz ilham perisi ve yedi özgür sanat hakkında seçilmiş eserlerinde zaten bulunur" (1672)
İncelenen nesnelerin idealleştirilmiş özellikleri ya aksiyomlar olarak formüle edilir ya da karşılık gelen matematiksel nesnelerin tanımında listelenir. Daha sonra, katı mantıksal çıkarım kurallarına göre, bu özelliklerden diğer gerçek özellikler (teoremler) çıkarılır. Bu teori birlikte incelenen nesnenin matematiksel bir modelini oluşturur. Böylece, başlangıçta uzamsal ve niceliksel ilişkilerden yola çıkan matematik, çalışması aynı zamanda modern matematiğin konusu olan daha soyut ilişkiler elde eder.
Geleneksel olarak matematik, matematik içi yapıların derinlemesine bir analizini yapan teorik ve diğer bilimlere ve mühendislik disiplinlerine modellerini sağlayan uygulamalı olarak bölünmüştür ve bazıları matematikle sınırda bir konuma sahiptir. Özellikle biçimsel mantık, hem felsefi bilimlerin hem de felsefenin bir parçası olarak kabul edilebilir. matematik bilimleri; mekanik - hem fizik hem de matematik; bilişim, bilgisayar teknolojileri ve algoritmik, hem mühendislik hem de matematik bilimlerine vb. atıfta bulunur. Literatürde matematiğin birçok farklı tanımı önerilmiştir.
etimoloji
"Matematik" kelimesi diğer Yunancadan gelmektedir. μάθημα, yani çalışma, bilgi, Bilim, vb. - Yunanca. μαθηματικός, aslen anlamı alıcı, üretken, sonra çalışılabilir, daha sonra matematikle ilgili. Özellikle, μαθηματικὴ τέχνη , Latince matematik, anlamına geliyor matematik sanatı. Diğer Yunanca terimi. "Matematik" kelimesinin modern anlamıyla μᾰθημᾰτικά, Aristoteles'in (MÖ 4. yy) yazılarında zaten bulunur. Fasmer'e göre, kelime Rus diline ya Lehçe aracılığıyla geldi. matematyka veya lat aracılığıyla. matematik.
Tanımlar
Matematik konusunun ilk tanımlarından biri Descartes tarafından yapılmıştır:
Matematik alanı, yalnızca düzen veya ölçünün dikkate alındığı bilimleri içerir ve bunların sayılar, şekiller, yıldızlar, sesler veya bu ölçünün arandığı herhangi bir şey olup olmadığı hiç önemli değildir. Bu nedenle, herhangi bir özel konunun çalışmasına girmeden, düzen ve ölçü ile ilgili her şeyi açıklayan bir genel bilim olmalı ve bu bilim, yabancı tarafından değil, eski, zaten yaygın olan Genel Matematik adıyla adlandırılmalıdır.
Matematiğin özü, şimdi, onları tanımlayan belirli özellikler dışında, hakkında hiçbir şey bilinmeyen nesneler arasındaki ilişkilerin bir doktrini olarak sunulmaktadır - tam olarak aksiyomlar olarak teorinin temeline konanlar ... Matematik bir kümedir soyut şekiller- matematiksel yapılar.
Matematik dalları
1. Matematik olarak akademik disiplin
gösterim
Matematik son derece çeşitli ve oldukça karmaşık yapılarla ilgilendiğinden, gösterimi de çok karmaşıktır. Modern sistem Formül yazımı, Avrupa cebirsel geleneğinin yanı sıra matematiğin sonraki dallarının ihtiyaçları - matematiksel analiz, matematiksel mantık, küme teorisi vb. temelinde oluşturulmuştur. Geometri çok eski zamanlardan beri görsel (geometrik) bir temsil kullanmıştır. Modern matematikte karmaşık grafik sistemleri kayıtlarda (örneğin, değişmeli diyagramlar), grafik tabanlı gösterim de sıklıkla kullanılır.
Kısa hikaye
matematik felsefesi
Hedefler ve Yöntemler
Uzay R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)), n > 3 (\displaystyle n>3) matematiksel bir icattır. Bununla birlikte, karmaşık fenomenleri matematiksel olarak anlamaya yardımcı olan çok ustaca bir buluş».
Vakıflar
sezgicilik
yapıcı matematik
açıklamak
Ana konular
Miktar
Niceliğin soyutlanmasıyla ilgilenen ana bölüm cebirdir. "Sayı" kavramı, aslen aritmetik temsillerden kaynaklandı ve doğal sayılara atıfta bulundu. Daha sonra cebir yardımıyla kademeli olarak tamsayı, rasyonel, gerçek, karmaşık ve diğer sayılara genişletildi.
Dönüşümler
Dönüşüm ve değişim fenomenleri, Genel görünüm analizi inceler.
yapılar
Mekansal ilişkiler
Geometri, mekansal ilişkilerin temellerini dikkate alır. Trigonometri, trigonometrik fonksiyonların özelliklerini dikkate alır. Geometrik nesnelerin matematiksel analiz yoluyla incelenmesi, diferansiyel geometri ile ilgilenir. Sürekli deformasyonlar altında değişmeden kalan uzayların özellikleri ve süreklilik olgusu topoloji ile incelenir.
Ayrık Matematik
∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\displaystyle \forall x(P(x)\Rightarrow P(x"))) | |||
Matematik çok uzun zamandır var. Adam meyve topladı, meyve çıkardı, balık tuttu ve hepsini kış için sakladı. Ne kadar yiyecek depolandığını anlamak için bir kişi hesabı icat etti. Matematik böyle başladı.
Sonra adam tarımla uğraşmaya başladı. Arazileri ölçmek, konutlar inşa etmek, zamanı ölçmek gerekiyordu.
Yani, bir kişinin nicel bir oran kullanması gerekli hale geldi. gerçek dünya. Ne kadar mahsulün hasat edildiğini, arsanın boyutunu veya belirli sayıda parlak yıldızla gökyüzünün alanının ne kadar büyük olduğunu belirleyin.
Ayrıca bir kişi formları belirlemeye başladı: güneş yuvarlak, kutu kare, göl oval ve bu nesnelerin uzayda nasıl yer aldığı. Yani, bir kişi gerçek dünyanın mekansal biçimleriyle ilgilenmeye başladı.
Böylece kavram Matematik gerçek dünyanın nicel ilişkiler ve uzamsal biçimlerinin bilimi olarak tanımlanabilir.
Şu anda, matematik olmadan yapılabilecek tek bir meslek yok. "Matematiğin Kralı" olarak adlandırılan ünlü Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss bir keresinde şöyle demişti:
"Matematik bilimlerin kraliçesidir, aritmetik matematiğin kraliçesidir."
"Aritmetik" kelimesi Yunanca "arithmos" - "sayı" kelimesinden gelir.
Böylece, aritmetik sayıları ve üzerlerindeki işlemleri inceleyen bir matematik dalıdır.
AT ilkokul Her şeyden önce, aritmetik çalışırlar.
Bu bilim nasıl gelişti, gelin bu konuyu inceleyelim.
Matematiğin doğduğu dönem
Matematiksel bilgi birikiminin ana dönemi, MÖ 5. yy'dan önceki zaman olarak kabul edilir.
Matematiksel konumları kanıtlamaya başlayan ilk kişi, MÖ 7. yüzyılda, muhtemelen 625-545'te yaşayan eski bir Yunan düşünürdü. Bu filozof Doğu ülkelerini dolaştı. Gelenek, Mısırlı rahipler ve Babil Keldanileri ile çalıştığını söylüyor.
Milet'li Thales, Mısır'dan Yunanistan'a temel geometrinin ilk kavramlarını getirdi: çap nedir, üçgeni ne belirler, vb. tahmin etti Güneş tutulması, tasarlanmış mühendislik yapıları.
Bu dönemde aritmetik yavaş yavaş gelişir, astronomi ve geometri gelişir. Cebir ve trigonometri doğar.
İlköğretim matematik dönemi
Bu dönem MÖ VI ile başlar. Şimdi matematik, teorileri ve kanıtları olan bir bilim olarak ortaya çıkıyor. Sayılar teorisi, niceliklerin doktrini, bunların ölçümü ortaya çıkıyor.
Bu zamanın en ünlü matematikçisi Öklid'dir. MÖ III. Yüzyılda yaşadı. Bu adam, bize ulaşan matematik üzerine ilk teorik incelemenin yazarıdır.
Öklid'in eserlerinde Öklid geometrisinin temelleri verilir - bunlar gibi temel kavramlara dayanan aksiyomlardır.
İlköğretim matematik döneminde, sayılar teorisinin yanı sıra miktarlar ve bunların ölçümü doktrini doğdu. İlk kez, negatif ve irrasyonel sayılar ortaya çıkıyor.
Bu sürenin sonunda, gerçek bir hesap olarak cebirin oluşumu gözlemlenir. "Cebir" biliminin kendisi Araplar arasında denklemleri çözme bilimi olarak görünür. Arapça'da "cebir" kelimesi "kurtarma", yani negatif değerlerin denklemin başka bir bölümüne aktarılması anlamına gelir.
Değişkenlerin matematiği dönemi
Bu dönemin kurucusu MS 17. yüzyılda yaşamış olan Rene Descartes'tir. Descartes, yazılarında ilk kez değişken kavramını tanıtıyor.
Bu sayede bilim adamları, sabit miktarların çalışmasından değişkenler arasındaki ilişkilerin çalışmasına ve hareketin matematiksel tanımına geçerler.
Friedrich Engels, yazılarında bu dönemi en açık şekilde karakterize eder:
“Matematikte dönüm noktası Kartezyen değişkendi. Bu sayede hareket ve dolayısıyla diyalektik matematiğe girdi ve bu sayede hemen ortaya çıkan ve büyük ölçüde tamamlanmış olan ve Newton ve Leibniz tarafından icat edilmeyen diferansiyel ve integral hesabı hemen gerekli hale geldi.
Modern matematik dönemi
19. yüzyılın 20'li yıllarında Nikolai İvanoviç Lobachevsky, Öklid dışı geometrinin kurucusu oldu.
Bu andan itibaren modern matematiğin en önemli bölümlerinin gelişimi başlar. Olasılık teorisi, küme teorisi, matematiksel istatistikler vb.
Bütün bu keşifler ve çalışmalar bilimin çeşitli alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır.
Ve şu anda, matematik bilimi hızla gelişiyor, yeni formlar ve ilişkiler dahil olmak üzere matematik konusu genişliyor, yeni teoremler kanıtlanıyor ve temel kavramlar derinleşiyor.
İncelenen nesnelerin idealleştirilmiş özellikleri ya aksiyomlar olarak formüle edilir ya da karşılık gelen matematiksel nesnelerin tanımında listelenir. Daha sonra, katı mantıksal çıkarım kurallarına göre, bu özelliklerden diğer gerçek özellikler (teoremler) çıkarılır. Bu teori birlikte incelenen nesnenin matematiksel bir modelini oluşturur. Böylece, başlangıçta uzamsal ve nicel ilişkilerden yola çıkarak matematik, çalışması aynı zamanda modern matematiğin konusu olan daha soyut ilişkiler elde eder.
Geleneksel olarak matematik, matematik içi yapıların derinlemesine bir analizini yapan teorik ve diğer bilimlere ve mühendislik disiplinlerine modellerini sağlayan uygulamalı olarak bölünmüştür ve bazıları matematikle sınırda bir konuma sahiptir. Özellikle biçimsel mantık, hem felsefi bilimlerin hem de matematik bilimlerinin bir parçası olarak düşünülebilir; mekanik - hem fizik hem de matematik; bilgisayar bilimi, bilgisayar teknolojisi ve algoritmalar hem mühendislik hem de matematik bilimleridir, vb. Literatürde matematiğin birçok farklı tanımı önerilmiştir (bkz.).
etimoloji
"Matematik" kelimesi diğer Yunancadan gelmektedir. μάθημα ( matematik), yani çalışma, bilgi, Bilim, vb. - Yunanca. μαθηματικός ( matematikçi), orijinal anlamı alıcı, üretken, sonra çalışılabilir, daha sonra matematikle ilgili. Özellikle, μαθηματικὴ τέχνη (matematikḗ tékhnē), Latince matematik, anlamına geliyor matematik sanatı.
Tanımlar
Matematik alanı, yalnızca düzen veya ölçünün dikkate alındığı bilimleri içerir ve bunların sayılar, şekiller, yıldızlar, sesler veya bu ölçünün arandığı herhangi bir şey olup olmadığı hiç önemli değildir. Bu nedenle, herhangi bir özel konunun çalışmasına girmeden, düzen ve ölçü ile ilgili her şeyi açıklayan bir genel bilim olmalı ve bu bilim, yabancı tarafından değil, eski, zaten yaygın olan Genel Matematik adıyla adlandırılmalıdır.
Sovyet döneminde, A. N. Kolmogorov tarafından verilen TSB tanımı klasik olarak kabul edildi:
Matematik ... gerçek dünyanın nicel ilişkiler ve uzamsal biçimlerinin bilimi.
Matematiğin özü, şimdi, onları tanımlayan bazı özellikler dışında, hakkında hiçbir şey bilinmeyen nesneler arasındaki ilişkilerin bir doktrini olarak sunulmaktadır - tam olarak teorinin temeline aksiyomlar olarak konanlar ... Matematik, bir dizi soyut form - matematiksel yapılar.
İşte bazı daha modern tanımlar.
Modern teorik (“saf”) matematik, matematiksel yapıların, matematiksel değişmezlerin bilimidir. çeşitli sistemler ve süreçler.
Matematik, standart (kanonik) bir forma indirgenebilen modelleri hesaplama yeteneği sağlayan bir bilimdir. Resmi dönüşümler yoluyla analitik modellere (analiz) çözümler bulma bilimi.
Matematik dalları
1. Matematik olarak akademik disiplin Alt bölümlere ayrılmış Rusya Federasyonu ortaokulda okutulan ve disiplinler tarafından eğitilen ilköğretim matematik üzerine:
- temel geometri: planimetri ve stereometri
- teori temel fonksiyonlar ve analiz unsurları
4. Amerikan Matematik Derneği (AMS), matematiğin dallarını sınıflandırmak için kendi standardını geliştirmiştir. Buna Matematik Konu Sınıflandırması denir. Bu standart periyodik olarak güncellenmektedir. Geçerli sürüm MSC 2010'dur. Önceki sürüm MSC 2000'dir.
gösterim
Matematiğin son derece çeşitli ve oldukça karmaşık yapılarla uğraşması nedeniyle, gösterim de çok karmaşıktır. Modern formül yazma sistemi, Avrupa cebirsel geleneğinin yanı sıra matematiksel analiz (fonksiyon kavramı, türev vb.) temelinde oluşturulmuştur. Çok eski zamanlardan beri, geometri görsel (geometrik) bir temsil kullanmıştır. Modern matematikte, karmaşık grafik notasyon sistemleri (örneğin değişmeli diyagramlar) da yaygındır ve grafiklere dayalı notasyon da sıklıkla kullanılır.
Kısa hikaye
Matematiğin gelişimi yazmaya ve sayıları yazma yeteneğine dayanır. Muhtemelen, eski insanlar miktarı ilk önce yere çizgiler çizerek veya tahtaya çizerek ifade ettiler. Başka bir yazı sistemine sahip olmayan antik İnkalar, quipu adı verilen karmaşık bir ip düğüm sistemi kullanarak sayısal verileri temsil etti ve sakladı. Birçok farklı sayı sistemi vardı. Bilinen ilk sayı kayıtları, Orta Krallık Mısırlıları tarafından oluşturulan Ahmes Papirüsünde bulundu. Hint uygarlığı moderni geliştirdi ondalık sistem sıfır kavramı da dahil olmak üzere hesaplaşma.
Tarihsel olarak, başlıca matematik disiplinleri, ticari alanda, arazi ölçümünde ve tahminde hesaplama yapma ihtiyacından etkilenmiştir. astronomik olaylar ve daha sonra, yeni fiziksel sorunları çözmek için. Bu alanların her biri, yapıların, boşlukların ve değişikliklerin incelenmesinden oluşan matematiğin geniş gelişiminde büyük rol oynar.
matematik felsefesi
Hedefler ve Yöntemler
Matematik, resmi bir dil kullanarak hayali, ideal nesneleri ve aralarındaki ilişkileri inceler. Genel olarak, matematiksel kavramlar ve teoremler, fiziksel dünyadaki herhangi bir şeye mutlaka karşılık gelmez. Ana görev uygulamalı matematiğin dalı - incelenen gerçek nesne için yeterince yeterli olan bir matematiksel model oluşturmak. Teorik matematikçinin görevi, bu amaca ulaşmak için yeterli bir dizi uygun araç sağlamaktır.
Matematiğin içeriği, yaratılmaları için bir matematiksel modeller ve araçlar sistemi olarak tanımlanabilir. Nesne modeli, tüm özelliklerini dikkate almaz, yalnızca çalışma amaçları için en gerekli olanı (idealleştirilmiş) dikkate alır. Örneğin, ders çalışmak fiziksel özellikler portakalı, renginden ve tadından soyutlayabilir ve (tam doğru olmasa da) bir top olarak temsil edebiliriz. Eğer iki ve üçü toplarsak kaç tane portakal elde ettiğimizi anlamamız gerekirse, o zaman formdan da soyutlayarak modeli tek bir karakteristik - miktar ile bırakabiliriz. Soyutlama ve nesneler arasındaki ilişkilerin en genel haliyle kurulması matematiksel yaratıcılığın ana alanlarından biridir.
Soyutlama ile birlikte başka bir yön de genellemedir. Örneğin, "uzay" kavramını n-boyutlu uzaya genellemek. " Buradaki boşluk matematiksel bir kurgudur. Bununla birlikte, karmaşık fenomenleri matematiksel olarak anlamaya yardımcı olan çok ustaca bir buluş».
Matematiksel nesnelerin incelenmesi, kural olarak, aksiyomatik yöntem kullanılarak gerçekleştirilir: önce, incelenen nesneler için temel kavramların ve aksiyomların bir listesi formüle edilir ve daha sonra, birlikte oluşturan çıkarım kurallarını kullanarak aksiyomlardan anlamlı teoremler elde edilir. matematiksel bir model.
Vakıflar
Matematiğin özü ve temelleri sorunu Platon'dan beri tartışılmaktadır. 20. yüzyıldan beri, kesin bir matematiksel kanıt olarak kabul edilmesi gereken şey üzerinde karşılaştırmalı bir anlaşma olmuştur, ancak matematikte neyin doğru olduğu konusunda bir anlaşma olmamıştır. Bu, hem aksiyomatik sorularda hem de matematiğin dalları arasındaki ilişkide ve seçimde anlaşmazlıklara yol açar. mantıksal sistemler ispatlarda kullanılmalıdır.
Şüphecilere ek olarak, bu konuya aşağıdaki yaklaşımlar bilinmektedir.
Küme-teorik yaklaşım
Tüm matematiksel nesnelerin küme teorisi çerçevesinde, çoğunlukla Zermelo-Fraenkel aksiyomatikleriyle (buna eşdeğer başka birçokları olmasına rağmen) düşünülmesi önerilir. Bu yaklaşım, 20. yüzyılın ortalarından beri baskın olarak kabul edilmiştir, ancak gerçekte, çoğu matematiksel çalışma, kendi ifadelerini kesin olarak küme teorisinin diline çevirme görevini üstlenmez, ancak bazı alanlarda yerleşik kavramlar ve gerçeklerle çalışır. matematiğin. Bu nedenle, küme teorisinde bir çelişki bulunursa, bu, sonuçların çoğunun geçersiz kılınmasını gerektirmez.
mantıkçılık
Bu yaklaşım, matematiksel nesnelerin katı bir şekilde yazıldığını varsayar. Küme teorisinde yalnızca özel numaralarla kaçınılan birçok paradoks, prensipte imkansız hale gelir.
formalizm
Bu yaklaşım, klasik mantığa dayalı biçimsel sistemlerin incelenmesini içerir.
sezgicilik
Sezgicilik, matematiğin temelinde, kanıtlama araçları bakımından daha sınırlı olan (ama aynı zamanda daha güvenilir olduğuna inanılan) sezgici bir mantığı varsayar. Sezgicilik, çelişki yoluyla ispatı reddeder, birçok yapıcı olmayan ispat imkansız hale gelir ve küme teorisinin birçok problemi anlamsız hale gelir (formalize edilemez).
yapıcı matematik
Yapıcı matematik, yapıcı yapıları inceleyen sezgiciliğe yakın bir matematik eğilimidir. açıklamak] . İnşa edilebilirlik kriterine göre - " var olmak inşa etmek demektir". Yapıcılık kriteri, tutarlılık kriterinden daha güçlü bir gerekliliktir.
Ana konular
Sayılar
"Sayı" kavramı başlangıçta doğal sayılara atıfta bulundu. Daha sonra kademeli olarak tamsayı, rasyonel, gerçek, karmaşık ve diğer sayılara genişletildi.
sayısal sistemler | |
---|---|
sayma setler |
Doğal sayılar () Tamsayılar () Rasyoneller () Cebirsel () Periyotlar Hesaplanabilir Aritmetik |
Gerçek sayılar ve uzantıları |
Reel () Kompleks () Kuaterniyonlar () Cayley sayıları (oktavlar, oktonlar) () Sedenyonlar () Alternions Cayley-Dixon prosedürü İkili Hiperkompleks Süper Gerçek Hiperreal Gerçeküstü sayı ( ingilizce) |
Başka sayı sistemleri |
Ana sayılar Sıra sayıları (sonlu, sıralı) p-adic Doğaüstü sayılar |
Ayrıca bakınız | çift sayılar İrrasyonel sayılar transandantal sayı ışını bikuaterniyon |
Dönüşümler
Ayrık Matematik
Bilgi sınıflandırma sistemlerindeki kodlar
Çevrimiçi hizmetler
var Büyük sayı matematiksel hesaplamalar için hizmet veren siteler. Çoğu İngilizcedir. Rusça konuşanlardan biri matematiksel sorguların hizmetini not edebilir arama motoru Nigma.
Ayrıca bakınız
Bilimin PopülerleştiricileriNotlar
- britanika Ansiklopedisi
- Webster'ın Çevrimiçi Sözlüğü
- Bölüm 2. Bilimin dili olarak matematik. Sibirya Açık Üniversitesi. 2 Şubat 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 5 Ekim 2010.
- Büyük Antik Yunanca Sözlük (αω)
- XI-XVII yüzyılların Rus dili sözlüğü. Sayı 9 / Böl. ed. F.P. Filin. - E.: Nauka, 1982. - S. 41.
- Descartes R. Zihni yönlendirmek için kurallar. M.-L.: Sotsekgiz, 1936.
- Bakınız: TSB Matematik
- Marx K., Engels F.İşler. 2. baskı. T. 20. S. 37.
- Burbaki N. Matematik mimarisi. Matematik tarihi üzerine denemeler / Çeviren I. G. Bashmakova, ed. K.A. Rybnikova. M.: IL, 1963. S. 32, 258.
- Kaziev V.M. Matematiğe Giriş
- Muhin O.İ. Sistem Modelleme öğretici. İzin: RCI PSTU.
- Herman Weil // Kline M.. - M.: Mir, 1984. - S. 16.
- Durum eğitim standardı daha yüksek profesyonel eğitim. Özel 01.01.00. "Matematik". Yeterlilik - Matematikçi. Moskova, 2000 (O. B. Lupanov'un rehberliğinde derlenmiştir)
- 25 Şubat 2009 tarih ve 59 sayılı Rusya Eğitim ve Bilim Bakanlığı'nın emriyle onaylanan bilimsel çalışanların uzmanlıklarının isimlendirilmesi
- UDC 51 Matematik
- Ya.S. Bugrov, S.M. Nikolsky. Lineer cebir ve analitik geometrinin öğeleri. M.: Nauka, 1988. S. 44.
- N.I. Kondakov. Mantıksal sözlük-başvuru kitabı. M.: Nauka, 1975. S. 259.
- G.I. Ruzavin. Matematiksel bilginin doğası üzerine. M.: 1968.
- http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
- Örneğin: http://mathworld.wolfram.com
Edebiyat
ansiklopediler- // ansiklopedik sözlük Brockhaus ve Efron: 86 ciltte (82 cilt ve 4 ek). - St.Petersburg. , 1890-1907.
- Matematik Ansiklopedisi (5 cilt halinde), 1980'ler. // EqWorld'de genel ve özel matematik referansları
- Kondakov N.I. Mantıksal sözlük-başvuru kitabı. Moskova: Nauka, 1975.
- Matematik Bilimleri Ansiklopedisi ve Uygulamaları (Almanca) 1899-1934 (en büyük inceleme edebiyat XIX yüzyıl)
- G. Korn, T. Korn. Bilim adamları ve mühendisler için matematik el kitabı M., 1973
- Kline M. Matematik. Kesinlik kaybı. - M.: Mir, 1984.
- Kline M. Matematik. Hakikat arayışı. M.: Mir, 1988.
- Klein F. Daha yüksek bir bakış açısıyla temel matematik.
- Cilt I. Aritmetik. Cebir. Analiz M.: Nauka, 1987. 432 s.
- Cilt II. Geometri M.: Nauka, 1987. 416 s.
- Courant R., G. Robbins. matematik nedir? 3. baskı, rev. ve ek - E.: 2001. 568 s.
- Pisarevsky B.M., Kharin V.T. Matematik hakkında, matematikçiler ve sadece. - M.: Binom. Bilgi Laboratuvarı, 2012. - 302 s.
- Poincare A. Bilim ve yöntem (rus.) (fr.)
Matematik bunlardan biridir eski bilimler. Vermek kısa tanım matematik hiç de kolay değil, içeriği seviyeye bağlı olarak büyük ölçüde değişecektir. matematik eğitimi kişi. Okul çocuğu ilkokul Aritmetik öğrenmeye yeni başlayan , matematiğin nesneleri sayma kurallarını incelemek olduğunu söyleyecektir. Ve haklı olacak, çünkü ilk başta bununla tanışıyor. Daha büyük öğrenciler, matematik kavramının cebiri ve geometrik nesnelerin incelenmesini içerdiği söylenenlere ekleyeceklerdir: çizgiler, bunların kesişimleri, düzlem şekilleri, geometrik cisimler, farklı tür dönüşümler. mezunlar lise ayrıca matematiğin tanımına fonksiyonların incelenmesini ve limite geçme eylemini ve ayrıca ilgili türev ve integral kavramlarını da dahil edeceklerdir. Yüksek teknik mezunlar Eğitim Kurumları veya üniversitelerin doğa bilimleri fakülteleri ve pedagojik enstitüler matematiğin olasılık teorisi, matematiksel istatistik, diferansiyel hesap, programlama, hesaplama yöntemlerinin yanı sıra bu disiplinlerin üretim süreçlerini modellemek, deneysel verileri işlemek, iletmek ve bilgi işleme. Ancak, listelenenler matematiğin içeriğini tüketmez. Küme teorisi, matematiksel mantık, optimal kontrol, rastgele süreçler teorisi ve çok daha fazlası da bileşimine dahil edilmiştir.
Matematiği oluşturan dalları listeleyerek tanımlama girişimleri bizi yanlış yönlendiriyor çünkü matematiğin tam olarak ne çalıştığı ve çevremizdeki dünyayla ilişkisi hakkında bir fikir vermiyorlar. Eğer benzer soru bir fizikçiye, biyologa veya astronoma sorulduğunda, her biri, çalıştıkları bilimi oluşturan bölümlerin bir listesini içermeyen çok kısa bir cevap verirdi. Böyle bir cevap, araştırdığı doğa fenomenlerinin bir göstergesini içerecektir. Örneğin, bir biyolog, biyolojinin yaşamın çeşitli tezahürlerinin incelenmesi olduğunu söyleyebilir. Bu cevap tamamen tam olmasa da, yaşam ve yaşam fenomenlerinin ne olduğunu söylemediğinden, yine de böyle bir tanım, biyoloji biliminin içeriği ve bu bilimin farklı seviyeleri hakkında oldukça eksiksiz bir fikir verecektir. . Ve bu tanım biyoloji bilgimizin genişlemesiyle değişmeyecekti.
Böyle bir doğa olayı, teknik veya sosyal süreçler matematiğin konusu olacak, ancak fiziksel, biyolojik, kimyasal, mühendislik veya sosyal fenomenlerle ilgili olmayacak. Her doğa bilimi disiplini: biyoloji ve fizik, kimya ve psikoloji - konusunun maddi özellikleri, çalıştığı gerçek dünyanın alanının belirli özellikleri ile belirlenir. Nesne veya fenomenin kendisi, matematiksel olanlar da dahil olmak üzere farklı yöntemlerle incelenebilir, ancak yöntemleri değiştirerek, bu bilimin içeriği araştırma yöntemi değil gerçek konu olduğu için hala bu disiplinin sınırları içinde kalırız. Matematik için, çalışmanın materyal konusunun hiçbir hayati kullanılan yöntem önemlidir. Örneğin, trigonometrik fonksiyonlar hem salınım hareketini incelemek hem de erişilemeyen bir nesnenin yüksekliğini belirlemek için kullanılabilir. Ve matematiksel yöntem kullanılarak gerçek dünyanın hangi fenomenleri araştırılabilir? Bu fenomenler maddi doğaları tarafından değil, yalnızca biçimsel yapısal özellikler tarafından ve hepsinden öte, içinde bulundukları nicel ilişkiler ve uzamsal biçimler tarafından belirlenir.
Bu nedenle, matematik maddi nesneleri incelemez, ancak belirli işlemlerin (toplama, türev alma, vb.) Ancak matematiksel problemlerin, kavramların ve teorilerin önemli bir kısmı, birincil kaynağı gerçek olgu ve süreçlere sahiptir. Örneğin, aritmetik ve sayı teorisi, nesneleri saymanın birincil pratik görevinden ortaya çıktı. Temel geometri, mesafeleri karşılaştırma, düzlem şekillerin alanlarını veya uzamsal cisimlerin hacimlerini hesaplama ile ilgili kaynak problemlerine sahipti. Tüm bunların bulunması gerekiyordu, çünkü araziyi kullanıcılar arasında yeniden dağıtmak, savunma yapılarının inşası sırasında tahıl ambarlarının boyutunu veya toprak işlerinin hacmini hesaplamak gerekiyordu.
Matematiksel bir sonuç, yalnızca belirli bir fenomenin veya sürecin incelenmesinde kullanılamayacağı, aynı zamanda diğer fenomenleri incelemek için de kullanılabileceği özelliğine sahiptir. fiziksel doğa daha önce tartışılanlardan temel olarak farklıdır. Bu nedenle, aritmetik kuralları hem ekonomik problemlerde hem de teknik konularda ve problemlerin çözümünde geçerlidir. Tarım, ve bilimsel araştırma. Aritmetik kuralları binlerce yıl önce geliştirildi, ancak pratik değerlerini sonsuza kadar korudular. aritmetik kurucu kısım matematik, geleneksel kısmı artık yaratıcı Gelişim matematik çerçevesinde, ancak sayısız yeni uygulama bulur ve bulmaya devam edecektir. Bu uygulamalar olabilir büyük bir değer insanlık için, ama artık matematiğe uygun bir katkıda bulunmayacaklar.
Yaratıcı bir güç olarak matematiğin amacı, çok sayıda özel durumda kullanılması gereken genel kuralların geliştirilmesidir. Bu kuralları yaratan, yeni bir şey yaratan, yaratır. Hazır kuralları uygulayan kişi artık matematiğin kendisinde yaratmaz, büyük ihtimalle matematiksel kuralların yardımıyla diğer bilgi alanlarında yeni değerler yaratır. Örneğin, günümüzde uydu görüntülerinin yorumlanmasından elde edilen veriler, ayrıca kayaların bileşimi ve yaşı, jeokimyasal ve jeofizik anomaliler hakkında bilgiler bilgisayarlar kullanılarak işlenmektedir. Jeolojik araştırmalarda bir bilgisayarın kullanılması kuşkusuz bu araştırmayı jeolojik bırakır. Bilgisayarların ve yazılımlarının çalışma prensipleri, jeoloji biliminin çıkarları için kullanım olasılıkları dikkate alınmadan geliştirilmiştir. Bu olasılığın kendisi, jeolojik verilerin yapısal özelliklerinin belirli bilgisayar programlarının mantığına uygun olmasıyla belirlenir.
Matematiğin iki tanımı yaygınlaşmıştır. Bunlardan ilki F. Engels tarafından Anti-Dühring'de, diğeri ise Nicolas Bourbaki olarak bilinen bir grup Fransız matematikçi tarafından The Architecture of Mathematics (1948) makalesinde verilmiştir.
"Saf matematik, nesnesi olarak gerçek dünyanın uzamsal biçimlerine ve nicel ilişkilerine sahiptir." Bu tanım sadece matematiğin çalışma nesnesini tanımlamakla kalmaz, aynı zamanda kökenini de gösterir - gerçek dünya. Ancak F. Engels'in bu tanımı, matematiğin 19. yüzyılın ikinci yarısındaki durumunu büyük ölçüde yansıtmaktadır. ve nicel ilişkilerle veya geometrik formlarla doğrudan ilişkili olmayan yeni alanlarını hesaba katmaz. Bu, her şeyden önce, matematiksel mantık ve programlama ile ilgili disiplinlerdir. Bu yüzden bu tanım biraz açıklamaya ihtiyacı var. Belki de matematiğin çalışma konusunun uzamsal biçimler, nicel ilişkiler ve mantıksal yapılar olduğu söylenmelidir.
Bourbaki, "yalnızca matematiksel nesnelerin, tam anlamıyla, matematiksel yapılar olduğunu" savunuyorlar. Başka bir deyişle matematik, matematiksel yapıların bilimi olarak tanımlanmalıdır. Bu tanım aslında bir totolojidir, çünkü tek bir şeyi ifade eder: matematik, incelediği nesnelerle ilgilenir. Bu tanımın bir diğer kusuru, matematiğin çevremizdeki dünyayla ilişkisini netleştirmemesidir. Ayrıca Bourbaki, matematiksel yapıların gerçek dünyadan ve onun fenomenlerinden bağımsız olarak yaratıldığını vurgular. Bu nedenle Bourbaki, “asıl problem deneysel dünya ile matematik dünyası arasındaki ilişkidir” demeye zorlanmıştır. Deneysel fenomenler ile matematiksel yapılar arasında yakın bir ilişki olduğu, keşiflerle tamamen beklenmedik bir şekilde doğrulanmış gibi görünüyor. modern fizik ama bunun derin nedenlerinden tamamen habersiziz ... ve belki de onları asla bilemeyeceğiz.
F. Engels'in tanımından böyle bir hayal kırıklığı yaratan bir sonuç çıkarılamaz, çünkü daha şimdiden matematiksel kavramların gerçek dünyanın belirli ilişkilerinden ve biçimlerinden soyutlamalar olduğu iddiasını içerir. Bu kavramlar gerçek dünyadan alınır ve onunla ilişkilendirilir. Özünde, bu, matematiğin sonuçlarının çevremizdeki dünyanın fenomenlerine şaşırtıcı uygulanabilirliğini ve aynı zamanda bilginin matematikleştirilmesi sürecinin başarısını açıklar.
Matematik, tüm bilgi alanlarından bir istisna değildir - aynı zamanda pratik durumlardan ve sonraki soyutlamalardan ortaya çıkan kavramları da oluşturur; kişinin gerçekliği yaklaşık olarak da incelemesine izin verir. Ancak matematiğin gerçek dünyadaki şeyleri incelemediği akılda tutulmalıdır. soyut kavramlar ve mantıksal sonuçlarının kesinlikle katı ve kesin olduğunu. Yakınlığı doğada içsel değildir, ancak fenomenin matematiksel bir modelinin derlenmesiyle ilişkilidir. Ayrıca matematik kurallarının mutlak uygulanabilirliği olmadığını, aynı zamanda sınırlı bir uygulama alanına sahip olduklarını ve üstün olduklarına dikkat çekiyoruz. İfade edilen fikri bir örnekle açıklayalım: İki ve ikinin her zaman dörde eşit olmadığı ortaya çıkıyor. 2 litre alkol ve 2 litre su karıştırıldığında 4 litreden az karışım elde edildiği bilinmektedir. Bu karışımda moleküller daha kompakt bir şekilde düzenlenir ve karışımın hacmi, bileşen bileşenlerin hacimlerinin toplamından daha azdır. Aritmetiğin toplama kuralı ihlal edildi. Diğer aritmetik gerçeklerinin ihlal edildiği örnekler de verebilirsiniz, örneğin, bazı nesneler eklerken, toplamın toplama sırasına bağlı olduğu ortaya çıkıyor.
Pek çok matematikçi, matematiksel kavramları saf aklın bir yaratımı olarak değil, gerçekten var olan şeylerden, fenomenlerden, süreçlerden veya önceden kurulmuş soyutlamalardan (daha yüksek dereceli soyutlamalardan) soyutlamalar olarak görür. "Doğanın Diyalektiği"nde, F. Engels şöyle yazmıştır: "... tüm sözde saf matematik, soyutlamalarla uğraşır... tüm nicelikleri, kesinlikle, hayali niceliklerdir..." kuruculardan birinin görüşü Marksist felsefe soyutlamaların matematikteki rolü üzerine. Tüm bu "hayali nicelikler"in gerçeklikten alındığını ve özgür bir düşünce uçuşuyla keyfi olarak oluşturulmadığını eklememiz gerekir. Sayı kavramı bu şekilde genel kullanıma girmiştir. İlk başta bunlar birimler içindeki sayılardı ve dahası sadece tam sayılardı. pozitif sayılar. Sonra deneyim, sayıların cephaneliğini onlarca ve yüzlerce genişletmeye zorladı. Bir tamsayı dizisinin sınırsızlığı kavramı, tarihsel olarak bize yakın bir çağda doğdu: Arşimet "Psammit" ("Kum tanelerinin hesaplanması") kitabında, verilenlerden bile daha büyük sayıların nasıl oluşturulabileceğini gösterdi. . Aynı zamanda, kesirli sayılar kavramı pratik ihtiyaçlardan doğdu. En basit geometrik şekillerle ilgili hesaplamalar, insanlığı yeni sayılara - irrasyonel olanlara - yönlendirdi. Böylece, tüm gerçek sayılar kümesi fikri yavaş yavaş oluştu.
Aynı yol diğer matematik kavramları için de izlenebilir. Hepsi pratik ihtiyaçlardan doğdu ve yavaş yavaş soyut kavramlara dönüştü. F. Engels'in şu sözleri tekrar hatırlanabilir: “... saf matematiğin her bireyin özel deneyiminden bağımsız bir anlamı vardır ... Ancak saf matematikte zihnin yalnızca kendi ürünleriyle uğraşması tamamen yanlıştır. yaratıcılık ve hayal gücü. Sayı ve şekil kavramları herhangi bir yerden değil, sadece gerçek dünyadan alınmıştır. İnsanların saymayı, yani ilk aritmetik işlemi yapmayı öğrendiği on parmak, bir çarpımdan başka bir şey değildir. özgür yaratıcılık zihin. Saymak için sadece sayılacak nesnelere sahip olmak değil, bu nesneleri sayı dışında diğer tüm özelliklerden değerlendirirken zaten dikkati dağıtabilme yeteneğine sahip olmak gerekir ve bu yetenek uzun bir sürecin sonucudur. tarihsel gelişim deneyime dayalıdır. Hem sayı kavramı hem de şekil kavramı, yalnızca dış dünya, ve kafada saf düşünceden doğmadı. Belirli bir biçimi olan şeyler olmalıydı ve kişi bir figür kavramına gelmeden önce bu biçimlerin karşılaştırılması gerekiyordu.
Bilimde, bilimin geçmişteki ilerleyişi ve pratiğin şu anki ilerleyişi ile bağlantısız yaratılmış kavramlar olup olmadığını düşünelim. Bilimsel matematiksel yaratıcılıktan önce okulda, üniversitede, kitap okumak, makale okumak, hem kendi alanında hem de diğer bilgi alanlarında uzmanlarla sohbet etmek gibi birçok konunun çalışılmasının geldiğini çok iyi biliyoruz. Bir matematikçi toplumda yaşar ve kitaplardan, radyodan, diğer kaynaklardan bilimde, mühendislikte ortaya çıkan sorunları öğrenir. kamusal yaşam. Ayrıca, araştırmacının düşüncesi, bilimsel düşüncenin önceki tüm evriminden etkilenir. Dolayısıyla bilimin ilerlemesi için gerekli olan bazı problemlerin çözümüne hazırlıklı olduğu ortaya çıkmaktadır. Bu nedenle bir bilim adamı, istediği gibi, bir hevesle problem ortaya koyamaz, bilim için, diğer araştırmacılar için ve insanlık için değerli olacak matematiksel kavramlar ve teoriler yaratmalıdır. Ancak matematiksel teoriler, çeşitli toplumsal oluşumların ve tarihsel dönemlerin koşullarında önemlerini korurlar. Ek olarak, çoğu zaman aynı fikirler, hiçbir şekilde bağlantılı olmayan bilim adamlarından ortaya çıkar. Bu ek argüman matematiksel kavramların özgürce yaratılması kavramına bağlı kalanlara karşı.
Böylece "matematik" kavramına nelerin dahil olduğunu anlattık. Ama uygulamalı matematik diye bir şey de var. Hepsinin toplamı olarak anlaşılır. matematiksel yöntemler ve matematik dışındaki uygulamaları olan disiplinler. Eski zamanlarda, geometri ve aritmetik tüm matematiği temsil ediyordu ve her ikisi de ticaret borsalarında, alanların ve hacimlerin ölçülmesinde ve navigasyon konularında sayısız uygulama bulduğundan, tüm matematik sadece teorik değil, aynı zamanda uygulandı. Ondan sonra Antik Yunan, matematik ve uygulamalı matematik olarak bir bölünme vardı. Bununla birlikte, tüm seçkin matematikçiler, yalnızca teorik araştırmalarla değil, uygulamalarla da meşguldü.
Matematiğin daha da gelişmesi, sürekli olarak yeni sosyal ihtiyaçların ortaya çıkmasıyla doğa bilimleri ve teknolojinin ilerlemesiyle bağlantılıydı. İle geç XVIII içinde. matematiksel bir hareket teorisi yaratmak için (öncelikle navigasyon ve topçu problemleriyle bağlantılı olarak) bir ihtiyaç vardı. Bu, çalışmalarında G. V. Leibniz ve I. Newton tarafından yapıldı. Uygulamalı matematik, çok güçlü yeni bir araştırma yöntemi olan matematiksel analiz ile yenilenmiştir. Neredeyse aynı anda, demografi ve sigorta ihtiyaçları, olasılık teorisinin başlangıçlarının oluşmasına yol açtı (bkz. Olasılık Teorisi). 18. ve 19. yüzyıllar teoriyi ekleyerek uygulamalı matematiğin içeriğini genişletti diferansiyel denklemler adi ve kısmi türevler, matematiksel fiziğin denklemleri, matematiksel istatistik unsurları, diferansiyel geometri. 20. yüzyıl pratik problemlerin yeni matematiksel araştırma yöntemlerini getirdi: rastgele süreçler teorisi, çizge teorisi, fonksiyonel analiz, optimal kontrol, doğrusal ve doğrusal olmayan programlama. Dahası, sayı teorisi ve soyut cebirin fizik problemlerine beklenmedik uygulamalar bulduğu ortaya çıktı. Sonuç olarak, uygulamalı matematiğin ayrı bir disiplin olarak var olmadığı ve tüm matematiğin uygulamalı olarak kabul edilebileceği kanısı şekillenmeye başlamıştır. Belki de matematiğin uygulamalı ve teorik olduğunu değil, matematikçilerin uygulamalı ve teorisyen olarak ikiye ayrıldığını söylemek gerekir. Bazıları için matematik, çevreleyen dünyanın ve içinde meydana gelen fenomenlerin bir biliş yöntemidir, bu amaçla bilim adamının matematiksel bilgiyi geliştirmesi ve genişletmesidir. Diğerleri için, matematiğin kendisi, çalışmaya ve gelişmeye değer bütün bir dünyayı temsil eder. Bilimin ilerlemesi için her iki tür bilim insanına da ihtiyaç vardır.
Matematik, herhangi bir fenomeni kendi yöntemleriyle incelemeden önce matematiksel modelini oluşturur, yani fenomenin dikkate alınacak tüm özelliklerini listeler. Model, araştırmacıyı, incelenen olgunun özelliklerini ve evrimini yeterince aktarmaya izin verecek matematiksel araçları seçmeye zorlar. Örnek olarak gezegen sistemi modelini ele alalım: Güneş ve gezegenler maddi noktalar karşılık gelen kütlelerle. Her iki noktanın etkileşimi, aralarındaki çekim kuvveti tarafından belirlenir.
burada m 1 ve m 2 etkileşen noktaların kütleleridir, r aralarındaki mesafedir ve f yerçekimi sabitidir. Bu modelin sadeliğine rağmen, son üç yüz yıldır güneş sisteminin gezegenlerinin hareketinin özelliklerini büyük bir doğrulukla iletmektedir.
Elbette, her model gerçekliği kabalaştırıyor ve araştırmacının görevi, her şeyden önce, bir yandan konunun olgusal yönünü (dedikleri gibi, fiziksel özelliklerini) en iyi şekilde aktaran bir model önermek. ve diğer yandan, gerçeğe önemli bir yaklaşım sağlar. Tabii ki, aynı fenomen için birkaç matematiksel model önerilebilir. Model ve gerçeklik arasında önemli bir farklılık oluşmaya başlayana kadar hepsinin var olma hakkı vardır.
Nicel ilişkilerin ve gerçekliğin mekansal biçimlerinin bilimi olarak matematik, çevremizdeki dünyayı, doğal ve sosyal fenomenler. Ancak diğer bilimlerden farklı olarak matematik, diğerlerinden soyutlayarak onların özel özelliklerini inceler. Bu nedenle geometri, nesnelerin şeklini ve boyutunu, diğer özelliklerini dikkate almadan inceler: renk, kütle, sertlik vb. Genel olarak matematiksel nesneler (geometrik şekil, sayı, değer) insan zihni tarafından oluşturulur ve yalnızca insan düşüncesinde, matematik dilini oluşturan işaret ve sembollerde bulunur.
Matematiğin soyutluğu, çeşitli alanlarda uygulanmasına izin verir, doğayı anlamak için güçlü bir araçtır.
Bilgi biçimleri iki gruba ayrılır.
İlk grupçeşitli duyu organlarının yardımıyla yürütülen duyusal biliş biçimlerini oluşturur: görme, işitme, koku, dokunma, tat.
Co. ikinci grup formları dahil et soyut düşünme, özellikle kavramlar, ifadeler ve sonuçlar.
Duyusal biliş biçimleri şunlardır: Hissetmek, algı ve temsil.
Her nesnenin bir değil, birçok özelliği vardır ve bunları duyumların yardımıyla biliriz.
His- bu, doğrudan (yani şu anda) duyularımızı etkileyen, maddi dünyanın nesnelerinin veya fenomenlerinin bireysel özelliklerinin bir yansımasıdır. Bunlar, nesnelerin kırmızı, sıcak, yuvarlak, yeşil, tatlı, pürüzsüz ve diğer bireysel özelliklerinin duyumlarıdır [Getmanova, s. 7].
Bireysel duyumlardan, tüm nesnenin algısı oluşur. Örneğin, bir elmanın algısı şu tür duyumlardan oluşur: küresel, kırmızı, tatlı ve ekşi, kokulu vb.
Algı duyularımızı doğrudan etkileyen dışsal bir maddi nesnenin bütünsel bir yansımasıdır [Getmanova, s. sekiz]. Örneğin, bir tabak, bardak, kaşık, diğer mutfak eşyaları görüntüsü; şimdi nehir boyunca ilerliyorsak veya kıyısındaysak nehrin görüntüsü; ormanın görüntüsü, şimdi ormana geldiysek vs.
Algılar, zihnimizdeki gerçekliğin duyusal bir yansıması olmasına rağmen, büyük ölçüde insan deneyimine bağlıdır. Örneğin, bir biyolog bir çayırı bir şekilde algılayacaktır (görecektir). Farklı çeşit bitkiler), ancak bir turist veya bir sanatçı tamamen farklıdır.
Verim- bu, şu anda bizim tarafımızdan algılanmayan, ancak daha önce bizim tarafımızdan bir biçimde algılanan bir nesnenin şehvetli bir görüntüsüdür [Getmanova, s. on]. Örneğin tanıdıklarımızın yüzlerini, evdeki odamızı, huş ağacını veya mantarı görsel olarak hayal edebiliriz. Bunlar örnekler üreme temsiller, bu nesneleri gördüğümüz gibi.
sunum olabilir yaratıcı, içermek harika. A.S.'nin masallarından güzel Prenses Kuğu veya Çar Saltan veya Altın Horoz ve diğer birçok karakteri sunuyoruz. Hiç görmediğimiz ve asla görmeyeceğimiz Puşkin. Bunlar sözlü açıklama yerine yaratıcı sunum örnekleridir. Ayrıca Snow Maiden, Noel Baba, deniz kızı vb.
Dolayısıyla duyusal bilginin biçimleri duyumlar, algılar ve temsillerdir. Onların yardımıyla, nesnenin dış yönlerini öğreniriz (özellikleri dahil olmak üzere özellikleri).
Soyut düşünme biçimleri kavramlar, ifadeler ve sonuçlardır.
Kavramlar. Kavramların kapsamı ve içeriği
"Kavram" terimi genellikle, belirli bir karakteristik (ayırt edici, temel) özelliğe veya bu tür özelliklerin bir bütününe, yani o sınıfın üyelerine özgü özellikler.
Mantık açısından, kavram, aşağıdakilerle karakterize edilen özel bir düşünme biçimidir: 1) kavram, oldukça organize bir maddenin bir ürünüdür; 2) kavram maddi dünyayı yansıtır; 3) kavram bilinçte bir genelleme aracı olarak ortaya çıkar; 4) kavram özellikle anlamına gelir insan aktivitesi; 5) Bir kişinin zihninde bir kavramın oluşumu, onun konuşma, yazı veya sembol yoluyla ifade edilmesinden ayrılamaz.
Herhangi bir gerçeklik nesnesi kavramı zihnimizde nasıl ortaya çıkar?
Belirli bir kavramı oluşturma süreci, birbirini izleyen birkaç aşamanın görülebildiği kademeli bir süreçtir. En basit örneği kullanarak bu süreci düşünün - çocuklarda 3 sayısı kavramının oluşumu.
1. Bilişin ilk aşamasında, çocuklar konu resimlerini kullanarak ve üç elementten oluşan çeşitli setleri (üç elma, üç kitap, üç kalem vb.) göstererek çeşitli özel setlerle tanışırlar. Çocuklar sadece bu setlerin her birini görmekle kalmaz, aynı zamanda bu setleri oluşturan nesnelere de dokunabilirler (dokunabilirler). Bu "görme" süreci, çocuğun zihninde gerçekliğin özel bir yansıma biçimi yaratır. algı (his).
2. Her kümeyi oluşturan nesneleri (nesneleri) çıkaralım ve çocukları, her bir kümeyi karakterize eden ortak bir nokta olup olmadığını belirlemeye davet edelim. Her setteki nesnelerin sayısı, her yerde “üç” olduğu çocukların zihinlerine kazınacaktı. Eğer öyleyse, o zaman çocukların zihninde bir yeni form – üç numara fikri.
3. Bir sonraki aşamada, bir düşünce deneyine dayanarak, çocuklar "üç" kelimesiyle ifade edilen özelliğin, formun (a; b; c) herhangi bir farklı öğelerini karakterize ettiğini görmelidir. Bu önemli bir vurgu yapacak ortak özellik bu tür setler "üç elemente sahip olmak". Artık çocukların zihinlerinde şekillendiğini söyleyebiliriz. 3 numara kavramı.
kavram- bu özel şekil nesnelerin veya çalışma nesnelerinin temel (ayırt edici) özelliklerini yansıtan düşünme.
Bir kavramın dilsel biçimi bir sözcük veya bir sözcük grubudur. Örneğin, “üçgen”, “üç numara”, “nokta”, “düz çizgi”, “ikizkenar üçgen”, “bitki”, “iğdeli ağaç”, “Yenisey Nehri”, “masa” vb.
Matematiksel kavramların bir takım özellikleri vardır. Bunlardan en önemlisi, hakkında bir kavram oluşturmanın gerekli olduğu matematiksel nesnelerin gerçekte var olmamasıdır. Matematiksel nesneler insan zihni tarafından yaratılır. Bunlar, gerçek nesneleri veya fenomenleri yansıtan ideal nesnelerdir. Örneğin, geometride nesnelerin şekli ve boyutu, diğer özellikleri dikkate alınmadan incelenir: renk, kütle, sertlik vb. Bütün bunlardan dikkatleri dağılır, soyutlanırlar. Bu nedenle geometride "nesne" yerine "geometrik şekil" derler. Soyutlamanın sonucu da "sayı" ve "değer" gibi matematiksel kavramlardır.
Ana Özellikler hiç kavramlar aşağıdakiler: 1) Ses; 2) içerik; 3) kavramlar arasındaki ilişkiler.
Matematiksel bir kavram hakkında konuştuklarında, genellikle bir terimle (kelime veya kelime grubu) belirtilen tüm nesneler kümesini (kümesini) kastederler. Yani, bir kare hakkında konuşurken, herkes demek geometrik şekiller, hangi kareler. Tüm kareler kümesinin "kare" kavramının kapsamı olduğuna inanılmaktadır.
kavramın kapsamı Bu kavramın uygulanabilir olduğu nesneler veya nesneler kümesine denir.
Örneğin, 1) "paralelkenar" kavramının kapsamı, uygun paralelkenarlar, eşkenar dörtgenler, dikdörtgenler ve kareler gibi dörtgenler kümesidir; 2) "belirsiz" kavramının kapsamı doğal sayı» bir set olacak - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Herhangi bir matematiksel nesnenin belirli özellikleri vardır. Örneğin, bir karenin dört kenarı vardır, köşegenlere eşit dört dik açı vardır, köşegenler kesişme noktası tarafından ikiye bölünür. Diğer özelliklerini belirtebilirsiniz, ancak bir nesnenin özellikleri arasında şunlar vardır: önemli (ayırt edici) ve gerekli olmayan.
mülk denir önemli (ayırt edici) bir nesne için, bu nesnenin doğasında varsa ve onsuz var olamaz; mülk denir önemsiz bir nesne için onsuz var olabilirse.
Örneğin bir kare için yukarıda sayılan tüm özellikler esastır. “AD kenarı yataydır” özelliği ABCD karesi için önemsiz olacaktır (Şekil 1). Bu kare döndürülürse, AD tarafı dikey olacaktır.
Görsel materyal kullanan okul öncesi çocuklar için bir örnek düşünün (Şekil 2):
Figürü tanımlayın.
Küçük siyah üçgen. Pirinç. 2
Büyük beyaz üçgen.
Rakamlar nasıl benzer?
Rakamlar nasıl farklı?
Renk, boyut.
Üçgende ne var?
3 taraf, 3 köşe.
Böylece çocuklar "üçgen" kavramının temel ve temel olmayan özelliklerini öğrenirler. Temel özellikler - "üç kenar ve üç açıya sahip", temel olmayan özellikler - renk ve boyut.
Bir nesnenin veya nesnenin tüm temel (ayırt edici) özelliklerinin toplamı, bu kavram, aranan kavramın içeriği .
Örneğin, "paralelkenar" kavramı için içerik bir dizi özelliktir: dört kenarı vardır, dört açısı vardır, karşılıklı kenarları çift paraleldir, karşıt taraflar eşittir, karşıt açılar eşittir, kesişme noktalarındaki köşegenler yarıya bölünmüş.
Bir kavramın hacmi ile içeriği arasında bir bağlantı vardır: Bir kavramın hacmi artarsa içeriği azalır ve bunun tersi de geçerlidir. Bu nedenle, örneğin, "ikizkenar üçgen" kavramının kapsamı, "üçgen" kavramının kapsamının bir parçasıdır ve "ikizken üçgen" kavramının içeriği, "üçgen" kavramının içeriğinden daha fazla özellik içerir, çünkü bir ikizkenar üçgen, yalnızca bir üçgenin tüm özelliklerine değil, aynı zamanda yalnızca doğasında bulunan diğer özelliklere de sahiptir. ikizkenar üçgenler(“iki kenar eşittir”, “iki açı eşittir”, “iki ortanca eşittir” vb.).
Kavramlar ikiye ayrılır tek, ortak ve kategoriler.
Hacmi 1 olan kavramlara denir. tek kavram .
Örneğin, kavramlar: "Yenisey Nehri", "Tuva Cumhuriyeti", "Moskova şehri".
Hacmi 1'den büyük olan kavramlara denir. genel .
Örneğin, kavramlar: "şehir", "nehir", "dörtgen", "sayı", "çokgen", "denklem".
Herhangi bir bilimin temellerini inceleme sürecinde çocuklar, esas olarak, Genel konseptler. örneğin, ilkokulÖğrenciler “sayı”, “sayı”, “tek basamaklı sayılar”, “iki basamaklı sayılar”, “çok basamaklı sayılar”, “kesir”, “paylaşma”, “toplama”, “terim” gibi kavramlarla tanışırlar. ”, “toplam”, “çıkarma”, “çıkarılan”, “indirgenmiş”, “fark”, “çarpma”, “çarpan”, “çarpım”, “bölme”, “bölünebilir”, “bölen”, “bölüm”, “top”, “silindir” ”, “koni”, “küp”, “paralel boru”, “piramit”, “açı”, “üçgen”, “dörtgen”, “kare”, “dikdörtgen”, “çokgen”, “ daire”, “daire”, “eğri”, “çok çizgi”, “parça”, “parçanın uzunluğu”, “ışın”, “düz doğru”, “nokta”, “uzunluk”, “genişlik”, “yükseklik”, "çevre", "şekil alanı", "hacim", "zaman", "hız", "kütle", "fiyat", "maliyet" ve diğerleri. Bütün bu kavramlar genel kavramlardır.
- Yer değiştirmeye yörüngenin başlangıç ve bitiş noktalarını birleştiren vektör denir Yolun başlangıcını ve sonunu birleştiren vektöre denir
- Yörünge, yol uzunluğu, yer değiştirme vektörü Başlangıç konumunu bağlayan vektör
- Bir çokgenin alanını köşelerinin koordinatlarından hesaplama Köşe formülünün koordinatlarından bir üçgenin alanı
- Kabul Edilebilir Değer Aralığı (ODZ), teori, örnekler, çözümler